50446

Статистические модели сигналов в линейных системах

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Пусть стационарный случайный процесс заданный своим математическим ожиданием 1 и ковариационной функцией 2 поступает на вход стационарной линейной системы с весовой функцией . Ковариационная функция сигнала на выходе системы описывается выражением ....

Русский

2014-01-23

5.07 MB

1 чел.

Лабораторная работа №6.

Статистические модели сигналов в линейных системах.

Цель работы.

 Исследование характеристик стационарных случайных процессов в линейных системах.

 Основные положения.

Пусть стационарный случайный процесс, заданный своим математическим ожиданием

,                                                (1)

и ковариационной функцией

,                                          (2)

поступает на вход стационарной линейной системы с весовой

функцией . Весовая функция является полной характеристикой, описывающей преобразование сигналов, осуществляемое непрерывной линейной системой.

Тогда получим сигнал на выходе

.                                            (3)

Из (3) следует, что математическое ожидание сигнала на выходе

 .                  (4)

При этом     принимаем , согласно (1), постоянным и выносим за знак интеграла.                                                       

Ковариационная функция сигнала на выходе системы описывается выражением

.           (5)

Формула (5) используется для случая установившегося режима, когда система асимптотически устойчива, т.е. .

Дисперсия сигнала на выходе системы определяется как значение ковариационной функции при :

,                                                 (6)

тогда из (5), сделав соответствующую подстановку,  получим

.                          (7)

Спектральная плотность сигнала на выходе системы

,                    (8)

где:  -- спектральная плотность сигнала на входе системы,

        --передаточная функция системы.

Таким образом, спектральная плотность сигнала на выходе асимптотически устойчивой стационарной линейной системы в установившемся режиме равна спектральной плотности сигнала на входе, умноженной на квадрат модуля частотной характеристики системы.

Применив обратное преобразование Фурье к обеим частям выражения (8) получим связь между ковариационной функцией и спектральной плотностью сигнала

.                   (9)

Тогда из (6) и (9) получим выражение, связывающее дисперсию и спектральную плотность сигнала

                                    (10)

Для расчета оценок мат. ожидания, дисперсии, ковариационной функции на ЭВМ удобнее использовать рекуррентные формулы, приведенные далее.

Рекуррентная формула для вычисления оценки мат. ожидания:

                                         (11)

где: --оценка мат. ожидания на i-том шаге,

      --i-тое измеренное значение сигнала,

       n—количество измерений.

Рекуррентная формула для вычисления оценки дисперсии:

                                      (12)

где: --оценка дисперсии на i-том шаге,

      --i-тое измеренное значение сигнала,

       n—количество измерений.

Формула для вычисления оценки ковариационной функции  (в установившемся режиме):

                     ,                                  (13)

где: --i-тое измеренное значение сигнала,

        n—количество измерений.

Формула (13) используется для нахождения ковариационной функции на основании экспериментально снятой кривой случайного процесса при наличии достаточно длительной записи.

Описание модели.

На вход формирующего фильтра поступает единичный белый шум. Формирующий фильтр представляет собой звено с такой частотной характеристикой, которое формирует случайный процесс с заданной спектральной плотностью (ковариационной функцией) из единичного белого шума.

Рис.1

Далее полученный сигнал   поступает на вход линейной системы. В данном случае линейная система представляет собой апериодическое или колебательное (два варианта) звено. На выходе линейной системы получаем случайный сигнал с соответствующей ковариационной функцией и спектральной плотностью чем на входе. Связь между ковариационной функцией на входе и выходе линейной системы можно получить по формуле (5), между спектральной плотностью на входе и выходе по формуле (8). Характеристики сигналов  на входе линейной системы, а также типы исследуемых линейных систем представлены ниже.

Характеристики сигналов  на входе линейной системы.

Сигнал  №1.

Ковариационная функция .

Спектральная плотность .

 

Сигнал  №2.

Ковариационная функция .

Спектральная плотность .

 Типы систем.

1.Апериодическое звено.

Передаточная функция

2.Колебательное звено.

Передаточная функция .

 Блок оценочных характеристик представляет собой программу на языке MATLAB составленную на основе формул (11),(12),(13). Программа строит  для заданных параметров ковариационной функции сигнала на входе и передаточной функции линейной системы:

1)на входе системы-- ковариационную функцию, спектральную плотность, оценки мат. ожидания, дисперсии;

2)на выходе системы-- оценки мат. ожидания, дисперсии, ковариационной функции, спектральной плотности.

Программа исследований.

  1.  Получить у преподавателя вариант задания.
  2.  Запустить MATLAB для WINDOWS.

В каталоге LAB6 запустить файл lab51.m.

  1.  В меню «ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ» выбрать заданный тип сигнала на входе.
  2.  В появившихся полях для ввода ввести заданные параметры ковариационной функции сигнала на входе.
  3.  В меню «ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ» выбрать заданный тип системы.
  4.  В появившихся полях для ввода ввести заданные параметры передаточной функции системы.
  5.  В меню «ВЫВОД ХАРАКТЕРИСТИК» выбрать подпункт «На входе системы».
  6.  Снять полученные результаты. При необходимости кнопкой «Увеличить» увеличить окно вывода графика.
  7.  В меню «ВЫВОД ХАРАКТЕРИСТИК» выбрать подпункт «На выходе системы».
  8.  Снять полученные результаты. При необходимости увеличить или уменьшить количество реализаций (соответствует масштабу по времени).
  9.  Изменив параметры ковариационной функции сигнала на входе и передаточной функции линейной системы повторить пункты 2—10.

Примечание. При увеличении количества реализаций до трехзначного числа и более программе требуется достаточно долгое время для расчета оценок характеристик на выходе системы.

 Содержание отчета.

  1.  Цель работы.
  2.   Теоретические сведения о проделанной работе.
  3.  Вариант задания.
  4.  Результаты исследований.
  5.  Выводы о проделанной работе.

 Литература.

  1.  Ю.М. Астапов, В.С. Медведев «Статистическая теория систем автоматического регулирования». Изд. «Наука». 1982.
  2.  А.А. Свешников «Прикладные методы теории случайных функций». Изд. «Наука». 1968.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48914. Технико-экономическое обоснование инвестиционного проекта 1.01 MB
  Расчет себестоимости 1 тонны алюминия и всего объема увеличивается растворимость и потери алюминия. Количество технологического алюминия характеризуется уровнем металла в ванне. Уровень металла в силу высокой теплопроводности алюминия позволяет регулировать теплоотдачу электролизера: чем выше этот уровень тем больше тепла отводится через боковые поверхности электролизера.
48920. Проектирование основания и фундамента 13 этажного жилого дома в городе Великий Устюг 6.71 MB
  Глубина заложения подошвы фундамента мелкого заложения равна: d = dв hs hcf hц = 22 03 02 06 = 21 м где dв= 22м размер от чистого пола подвала до пола 1го этажа hs =03м – величина заглубления подошвы фундамента от низа пола подвала hcf = 02 высота пола подвала hц = 06 – высота цокольной части здания 3. Великий Устюг нормативная глубина сезонного промерзания do= 03м для песка Kn = 06 жилое здание Вывод: Глубина залегания фундамента равна 21м т. Глава IV Определение размеров фундамента мелкого заложения на...
48921. Расчет асинхронного електродвигателя 1.01 MB
  Для проверки прочности рассчитывают пальцы на изгиб, а резину – по напряжениям смятия на поверхности соприкасания втулок с пальцами. При этом полагают, что все пальцы нагружены одинаково, а напряжения смятия распределены равномерно по длине втулки