50463

Дифракция на щели и на решетки

Лабораторная работа

Физика

Распределение интенсивности от N источников света. В действительности как известно нельзя создать даже двух одинаковых источников света. Поместим пластинку Р которая состоит из прозрачных и непрозрачных промежутков на пути параллельного пучка света даваемого одним источником. Сколько же света будет в точке наблюдения Р до которой доходят лучи от N прозрачных промежутков и распространяющихся под углом  к оси Ответ на этот вопрос дает формула 12.

Русский

2014-01-24

98.5 KB

0 чел.

РАБОТА № 18

Дифракция на щели и на решетки.

Цель работы: изучить явление дифракции.

Введение. 

Согласно теории Максвелла, свет представляет собой электромагнитную волну, характеризуемую частотой , длиной волны и скоростью распространения с E = Eo cos(t - r/c) = Re Eo e i(t - r/c)

H = Ho cos(t - r/c) = Re Ho e i(t - r/c)   (1)

где Е, Н - напряженности электрического и магнитного полей в световой волне, прошедшей расстояние r от источника до точки наблюдения (рис. 1). Величины , и с связаны между собой соотношениями

 = с; = 2; /2c = /

Рис. 1.

Освещенность, создаваемая такими источниками на экране, равна квадрату модуля амплитуды вектора электрического поля, т. е.

   (2)

1.Распределение интенсивности от N - источников света.

Предположим, что у нас имеется N одинаковых источников, расположенных на расстоянии d друг от друга и освещающих экран (рис. 2), который достаточно далеко удален от источников. Чему равна освещенность точки Р на экране?

Согласно (2), для того чтобы ответить на этот вопрос, надо вычислить величину амплитуды электрического поля, создаваемого всеми источниками при освещении точки Р.

Электрическое поле световой волны, создаваемой каждым источником в отдельности, описывается выражениями (1), а расстояние r увеличивается на величину при переходе от первого источника к последующим, т. е.

rN > rN-1 >... > r2 > r1

И электрическое поле, создаваемое всеми источниками в точке Р, равно сумме:

E = Eo Re [ e i(t - r1/c) + e i(t - r2/c) +... + e i(t - rN/c) ]            (3)

Поскольку расстояние между источниками одно и то же и равно d, то разность = r2 - r1 = r3 - r2 =....... = rN - rN-1 одинакова и равна (см. рис. 2)

= d sin   (4)

Величину обычно называют оптической разности хода.

Учитывая (4), выражение (3) можно записать в виде

E = Eo Re [ e i(t - r1/c) + e i(t - r1+ /c) +... + e i(t - r1 + N /c) ]  (5)

Если вынести за знак суммы множитель e i(t - r1/c), то получим геометрическую прогрессию вида

1 + e i(/c) + e i(/c)2 +... + e i(/c)N   (6)

общий член которой равен e i(/c)

Известно, что сумма геометрической прогрессии дается выражением

1 + x + x2 +... + xN = 1 - xN/1 - x   (7)

Применяя формулу (7) для нашего случая, получим

1 + e i(/c) + e i(/c)2 +... + e i(/c)N = 1 - e i(/c)N / 1 - e i(/c)     (8)

Если воспользоваться равенством 1 - ei = - (e i / 2i)  sin /2    (9)

то получим

 (10)

Тогда для суммарного электрического поля (формула 5) можно записать равенство

 (11)

Если сравнить формулы (1) и (2), то видно, что выражение, состоящее в квадратных скобках, дает амплитуду суммарного электрического поля световой волны в точке Р экрана.

Рис. 2.

Освещенность на экране, равная квадрату модуля амплитуды электрического поля, определяется равенством

  (12)

Анализ выражения (12) мы приведем в следующем параграфе, а сейчас рассмотрим вопрос о том, как можно создать N одинаковых источников?

2.Дифракционная решетка.

В действительности, как известно, нельзя создать даже двух одинаковых источников света. Однако, если воспользоваться схемой, изображенной на рис. 3., то кое-чего можно добиться.

Рис. 3.

Поместим пластинку Р, которая состоит из прозрачных и непрозрачных промежутков, на пути параллельного пучка света, даваемого одним источником. Очевидно, свет будет проходить через прозрачные промежутки, они - то и образуют N одинаковых источников.

Пластинка Р называется дифракционной решеткой. Видно, что если экран находится далеко от решетки, то углы, образованные лучами от 1 - го источника и источника с номером N, с осью системы, можно считать равными./см. рис. 2 и 3/. Тогда положение точки на экране можно характеризовать углом .

Сколько же света будет в точке наблюдения Р, до которой доходят лучи от N прозрачных промежутков и распространяющихся под углом к оси? Ответ на этот вопрос дает формула (12). В самом деле, воспользуемся выражением (4) для разности хода и подставим его в (12). Получим

   (13)

Из формулы (13) видно, что:

1.Интенсивность в разных точках экрана разная.

2.Интенсивность I есть функция синуса, который может принимать значение 0 и 1. Поэтому на экране будут точки, в которых света вообще нет, и точки, в которых света очень много.

1.В каких же точках света совсем не будет? Очевидно, что если свет идет под углом  к оси, таким, что величина

( / 2c) Nd sin = k, k = 1, 2, 3,...           (14)

где к - целое число, то числитель в формуле (13) обращается в нуль, и значит, что I = 0, т. е. света нат. Т. к. ( / 2c) = / , то условие (14) можно записать в виде

d sin = k / N                      (15)

2.А под каким углом свет должен распространяться, чтобы освещенность на экране бала максимальной? Для ответа на этот вопрос надо, во-первых, найти условие, при котором выражение (13) имеет максимальное значение, во-вторых, помнить, что синус - функция периодическая, следовательно, максимум света будет повторяться периодически.

Для удобства положим x = ( / 2c) d sin, тогда выражение (13) можно записать в виде:

                    (16)

Нам надо найти хотя бы одно максимальное значение функции (16). Очень легко можно показать, что функция (16) имеет максимум при x = 0. Известно, что при малых значениях аргумента x значение синуса можно заменить значением аргумента, т. е. sin x x  (17a)  sin Nx Nx (17б)    sin Nx / sim x N  (17в)

Очевидно, что x 0 при   0. Т. е. мы рассматриваем лучи, распространяющиеся параллельно оси системы. Эти лучи света соберутся в точке А на экране (см. рис. 3). Если воспользоваться соотношениями (17) в нашем случае, то выражение (13) для освещенности в точке А на экране дает:

          (17)

Таким образом, если лучи распространяются параллельно оси системы, то в точке А на экране (рис. 3) света от N источников будет N2 раз больше, чем от одного источника. Итак, мы получили одну точку, в которой будет очень много света.

А будут ли еще на экране точки с максимальной освещенностью? Если они есть, то под каким углом должен идти свет в эти точки? Для ответа на этот вопрос заметим, что:

1) при x = 0 в формуле (16) и (15) мы получаем деление "нуль на нуль" и, как мы показали, в этой точке максимум света;

2) и в числителе и в знаменателе выражений (15) и (16) стоят синусы, т. е. периодические функции.

Следовательно, можно сделать вывод, что всякий раз, как только числитель и знаменатель в формуле (15) обращается в нуль, мы получим максимум света.

Из этого условия можно найти угол , под которым распространяются лучи, дающие максимум света на экране. Действительно, и числитель и знаменатель в выражении (15) обращаются в нуль, если

/2c d sin = m                      (18)

где m - целое число. Откуда получаем, что лучи света создают максимальную освещенность на экране, если распространяются под углом , удовлетворяющим условию:

sin = m / d                 (19)

Напомним, что здесь d - расстояние между прозрачными промежутками,   - направление на точку наблюдения на экране, - длина волны света.

При m = 0 получаем = 0, т. е. разобранный выше случай распространения лучей параллельно оси системы, m = 1 - соответствует максимуму и т. д. Итак, мы получили, что на экране, поставленном за дифракционной решеткой, наблюдаются максимумы света, образованные лучами, распространяющимися под углами к оси системы и удовлетворяющими условию (19).

3.Дифракция на щели.

Какова будет освещенность экрана, если на пути параллельного пучка света поставить щель? Для ответа на этот вопрос воспользуемся следующей моделью: представим светящуюся щель в виде N источников, расстояние d между которыми очень мало. Т. е. источники практически непрерывно заполняют всю щель. Их очень много. Тогда можно воспользоваться формулой (15), которая дает распределение света на экране от N источников:

               (16)

Т. к. мы считаем, что расстояние между источниками света d в щели очень мало, т. е. d 0, то

x = ( / 2c) d sin  0

Тогда, учитывая равенство (17а), можно преобразовать формулу для интенсивности (16) к виду:

                  (20)

Поскольку реальной измеримой величиной является ширина щели b, а не расстояние между условными источниками, то в формулу (20) удобно ввести именно эту величину. Мы предположили, что на щели шириной b находится N источников, следовательно, расстояние между ними равно: d = b/N. Подставляя это в формулу (20), получим:

                 (21)

Если вновь обозначить

x = ( / 2c) b sin                    (22)

то формула примет вид:

                  (23)

График этой функции хорошо известен (рис. 4). синус изменяется от 0 до 1, а x увеличивается от нуля до бесконечности, следовательно:

 

Рис. 4.

Таким образом, на экране мы вновь получим темные и светлые области. Причем как и в дифракционной решетке, максимальную освещенность создают лучи, идущие параллельно оси системы, т. е. = 0 и под углами, удовлетворяющими условию:

x = (2k + 1) /2                      (24)

где к - целое число.

Вспомним, что x = ( / 2c) b sin и /2c = / получим из (24) условие для угла:

sin = (k + 1/2) /b                     (25)

На экране света не будет, если x =к ; (sin r =0), т. е. если лучи распространяются под углом, таким, что

sin = k / b                          (26)

где к = 1, 2, 3, 4,....

Таким образом, вместо того чтобы получить на экране изображение щели, мы получаем светлое пятно, которое тем больше, чем меньше ширина щели.

После центрального пятна света совсем нет, это первый минимум (к = 1) свет не проходит в этом направлении:

sin = / b

Экспериментальная часть.

Схема экспериментальной установки показана на рис. 5.

Рис. 5.

В качестве источника света в работе используется лазер ЛГ-126, который создает параллельный пучок света определенной длины волны. На пути лазерного луча помещают либо щель, либо дифракционную решетку. В работе используется щель с регулируемой шириной и дифракционная решетка, на которую нанесено 100 прозрачных штрихов на миллиметр (d = 1/100 мм-1). Распределение освещенности наблюдают на экране. Вся система помещена на скамье, позволяющей измерять расстояния между элементами установки.

Задание 1.

В этой части работы наблюдают распределение интенсивности света за решеткой, измеряют расстояния между максимумами и по формуле (22) определяют длину волны лазерного излучения.

Задание 2.

В этом задании исследуется зависимость угла образования максимума света от расстояния между щелями дифракционной решетки. Если пучок света падает на решетку под некоторым углом, то эффективное расстояние между прозрачными промежутками будет отличаться от d.

 

Рис. 6.

Из рис. 6. видно, что эффективное расстояние между прозрачными штрихами равно:

dэф = d cos

где - угол между перпендикуляром к поверхности решетки и падающими лучами.

Тогда лучи, дающие максимум света, распространяются под углом, удовлетворяющим равенству

sin = n / d cos                     (27)

Если изменять угол падения лучей на решетку, то измениться и угол образования максимума.

Задание 3.

В этой части работы исследуются размеры центрального светового пятна, зависимого от ширины щели. Как видно из формулы (29), размеры его тем больше, чем меньше ширина щели. Кроме того, как и для решетки, надо измерить углы, при которых образуется минимум света, и сравнить их с результатами, предсказываемыми теорией.

Порядок выполнения работы.

1.Попросить преподавателя включить лазер. Вставить дифракцтонную решетку в оправу. Добиться того, чтобы луч, отраженный от решетки, попадал обратно на лазерное зеркало. Это означает, что решетка установлена перпендикулярно лазерному лучу.

2.По лимбу снять отсчет нулевого угла о. На большом расстоянии от решетки поместить экран, на котором предварительно закрепить лист миллиметровки.

3.Зарисовать положение максимумов света. Определить и записать расстояние от решетки до экрана.

4. Сменить лист миллиметровки на экране и установить экран на прежнее место.

5.Поворачивая решетку на угол , зарисовать положения центрального и первых двух максимумов. Проделать измерения для 10 различных углов.

6.Вынуть решетку из оправы, а на пути лазерного луча поместить щель так, чтобы щель была посреди луча. Установить щель перпендикулярно лазерному лучу. Сменить лист миллиметровки на экране и поставить экран в прежнее положение. Постепенно закрывая щель, определить отсчет А, соответствующий полностью закрытой щели. То же самое проделать, постепенно открывая щель. Взять среднее.

7.Постепенно открывая щель, зарисовать размеры центрального светового пятна. Измерения проделать не менее чем для 10 различных ширин щели.

15.Определить расстояние от экрана до щели.

Содержание отчета.

1. Результаты измерений, подписанные преподавателем.

2. Результаты обработки измерений:

а) длину волны лазерного излучения, вычисленную по формуле (19);

б) таблицу, в которой приведены значения угла образования первого максимума, вычисленные по формуле (27), и результаты измерений. сравнить данные измерений и вычислений;

в) график, в котором приведены результаты, предсказываемые теорией для угловой ширины главного максимума, вычисленные по формуле (26), и результаты измерений.

Вопросы к работе.

1. Дифракция на решетке.

2. Дифракция на щели / Вывод формул распределения интенсивности. Знать от чего зависит положение максимумов. Положение минимумов огибающей. Главные максимумы в картине. Дифракция на решетке./

5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4372. Программирование на языках высокого уровня, лабораторный практикум 305.5 KB
  Программирование на языках высокого уровня, включающей алгоритмизацию задач и изучение подмножества языка Си в средах программирования Borland C++ и Microsoft Visual C++, а также в приобретении практических навыков работы с персональным компьютером.
4373. Управление памятью на уровне пользователя 129.5 KB
  Управление памятью на уровне пользователя На этапе постановки задачи программист должен решить, какую программу он должен создать, что и какими данными она должна оперировать. То есть возникает вопрос о количественной оценке используемых данных. Есл...
4374. Знакомство со средой разработки Borland C++3.1. Создание и отладка простых консольных приложений на языке Си. 42.51 KB
  Знакомство со средой разработки BorlandC++ Создание и отладка простых консольных приложений на языке Си. Напишите программу, запрашивающую у пользователя фамилию, имя и отчества(например: Whatisyourname?, или ...
4375. Введение в программирование на языке Си 33.45 KB
  Введение Добро пожаловать в мир языка программирования Си, который за время своего существования – порядка 40 лет – уже успел стать классическим, однако его актуальность несомненна и по сей день. Язык Си популярен как среди профессионалов...
4376. Основы языка Си и элементы C++ 326.96 KB
  Основы языка Си и элементы C++ Создание проекта в Microsoft Visual Studio Для разработки программ в среде Microsoft Visual Studio и Microsoft Visual Studio Express следует создать так называемый проект или решение....
4377. Операции и выражения в программировании 88.34 KB
  Операции и выражения Операторы В данной теме мы зададимся вопросом: Из чего состоят программы Если посмотреть на программный код, то в нем можно увидеть различные слова, знаки, цифры. Каждый из этих элементов несет вполне конкретную смысловую наг...
4378. Основы языка Java 1.36 MB
  Основы языка Java Задание Установка Java Runtime Environment и интегрированной среды разработки Eclipse. Введите jre в поисковой системе и выберите первую сверху ссылку. Выберите Download JRE. Примите лицензионное соглашение и выбери...
4379. Язык программирования Си. Лекции 580 KB
  Язык Си создан в начале 70х годов Дэнисом Ритчи в Bell Telephone Laboratories для ОС UNIX. Предшественником Си является язык Би, созданный Кэном Томпсоном, который в свою очередь имеет корни в языке Мартина Ричардсона BCPL. В 1978 г. Брайн Керниган ...
4380. Введение в программирование на С++ 427 KB
  Введение в программирование на С++ Цель: получить основы программирования на С++ ознакомится с созданием простейшей программы в консольном режиме понять что такое переменная и её назначение, научится выводить информацию на экран. Теоретический мат...