50502

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

Практическая работа

Математика и математический анализ

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

Русский

2014-01-25

471 KB

69 чел.

Исследовательская работа

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

Автор: Комарова О.Ф.

Чувашская республика

г. Чебоксары

МОУ «Гимназия №1»

11 класс

Научный руководитель:

Сафиуллина Л.В.

Преподаватель математики

МОУ «Гимназия№1»

  

Чебоксары 2003

 

Введение

В этой работе выведены теоремы и формулы с помощью которых можно исследовать функции в полярной системе координат. Целью этой работы является разработка исследований функций и построение их графиков в полярной системе координат.

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

При выводе формул и при их доказательстве мы использовали методы дифференциального исчисления функций. Работа состоит из 4 параграфов: 1. Условия убывания и возрастания функции. Точки максимума и минимума. 2. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба. 3. Асимптоты графика функции   . 4.  Пример, в котором применены полученные нами формулы и теоремы.

Данная работа актуальна, так как свойства функций в полярной системе координат используются для решения задач повышенной сложности.

При написании работы мы использовали справочник Корна, в котором в сжатой форме даются некоторые примеры, определения и свойства заданные в полярной системе координат

§1 Условия убывания и возрастания функции .

Точки максимума и минимума

Определение 1.1

Функцияназывается возрастающей на (a;b) если для всех и , то .

Определение 1.2

Функция называется убывающей на (a;b) если для всех  и  , то .

Определение 1.3

Функция  называется убывающей в точке , если для всех  достаточно близком ,  и если для всех  достаточно близком ; .

Определение 1.4

Функция  называется возрастающей в точке . Если для всех  достаточно близком  и для всех  достаточно близком .

Теорема 1.1

Функция  убывает на (a;b) тогда и только тогда , когда  убывает для всех точек (a;b).

Теорема 1.2

Функция  возрастает на (a;b) тогда и только тогда , когда  возрастает для всех точек (a;b).

Теорема 1.3

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда , когда график функции входит в круг, ограниченный окружностью  при переходе через .

Теорема 1.4

Функция  возрастает в точке  тогда и только тогда, когда график функции  выходит из круга, ограниченного окружностью  при переходе  через .

        Теоремы 1.1-1.4 не доказаны, так как их доказательство очевидно.

       Исходя из геометрического смысла убывания и возрастания функции с помощью

теоремы 1.3  и теоремы 1.4 можно установить возрастание и убывание функции в терминах производной. 

Пусть М точка пересечения графика функции .

МN-касательная к графику  в точке М .

Теорема 1.5

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда , когда угол между прямыми ОМ и MN – тупой , то есть                                                                            (1.5)

Теорема 1.6

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда, когда имеет место неравенство (1.7) , где k1, k2 определяется по формуле (1.6).

Доказательство

k1- угловой коэффициент прямой ОМ, то есть k1= tg

 k2- угловой коэффициент прямой MN, то есть k2=                                             (1.6)        По формуле угла между двумя прямыми :                     tg                        (1.7)

                                                                                    Теорема доказана.

Теорема 1.7

Функция  возрастает в точке тогда и только тогда, когда угол между прямыми

OM и MN острый, то есть                                                                               (1.8)

Теорема 1.8

Функция  возрастает в точке  тогда и только тогда, когда имеет место неравенство                                           tg       (1.9)

Пример 1.1

Доказать, что функция - возрастающая .

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем:         k1=tg                                                        k2==

2. По формуле (1.9), имеем:        , то есть  >0

3. Отсюда по теореме 1.8 функция - возрастающая             

                                                                                                                       Пример доказан.

Пример 1.2

Доказать, что функция  - убывающая.

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем:         k1=tg                                                    

k2==

2.По формуле (1.7), имеем:

  , то есть  -1<0.

3. Отсюда, по теореме (1.5) функция - убывающая

Пример доказан.

Пример 1.3

Дана функция , где . Определите возрастающей или убывающей является   функция .

Решение:

  1.  По формуле (1.6) найдем k1 и k2:

  1.  Имеем:
  2.  Получили при tg>0, 0функция возрастающая ;приtg,функция убывающая.

4. - точка максимума ; - точка максимума.

5.Функция  в декартовой системе координат имеет вид:

Ответ: 1. при - функция возрастает; 2.при - функция убывает.

 С помощью теоремы (1.6) и (1.8) можно доказывать сложные тригонометрические неравенства.

1.  Возьмем . Очевидно эта функция возрастает при всех . Поэтому для нее

выполняется неравенство .

Запишем неравенство:                      

Теорема 1.9

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство :

                                              (1.10)

2.Функция - убывающая .

    

Запишем неравенство:   

Теорема 1.10

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                                     (1.11)

3. Возьмем функцию ,очевидно, возрастающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство : .           k1=tg   k2=          Запишем неравенство:

Теорема1.11

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                  (1.12)

4.Возьмем функцию ,очевидно, убывающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство:    tg.

    Запишем неравенство:    

Теорема 1.12

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                                  (1.13)

5.Возьмем функцию   , функция возрастает на. Поэтому выполняется неравенство .

         Запишем неравенство:

Теорема 1.13

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                         (1.14)

6.Возьмем функцию , функция убывает на . Поэтому выполняется неравенство:  tg                                                                      

  

Запишем неравенство: .

Теорема 1.14

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                  .                                                                (1.15)

§2 Выпуклость и вогнутость функции.
Точки перегиба

Определение 2.1 Пусть дана функция . Рассмотрим ее график на отрезке .

Функция  называется выпуклой на , если для любого , то  

Определение 2.2

Функция  называется вогнутой на , если для любого  , то

       Но эти определения не удобны для исследования функции на выпуклость и вогнутость. Поэтому, мы даем следующее определения.

 Определение 2.1

Функцияназывается выпуклой, если является выпуклой параметрическая функция    ,  заданная в декартовой системе координат.

Определение 2.2

Функция называется вогнутой, если является вогнутой параметрическая функция    ,  заданная в декартовой системе координат.

Теорема 2.1

Если вторая производная  на интервале , то функция - является выпуклой на этом же интервале.

Теорема 2.2

Если вторая производная  на интервале , то функция - является вогнутой на этом же интервале.

Пример 2.1

Рассмотрим функцию  - окружность радиусом R.

  

1.  

2.

3. Исследуем знак, где .                    

- критические точки.

  1.  выпуклая   вогнутая

Ответ: 1. при  функция  выпуклая;

           2. при  функция вогнутая.

                                               §3 Асимптоты графика функции

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где , где - значение угла , для которого

при  или  при

Теорема 3.1

Уравнение наклонной асимптоты для функции  имеет вид:  y=kx+b, где ,        .

Пример 3.1

Функция y= имеет две асимптоты y=x и y=0.

В полярной системе координат это уравнение имеет вид:

k=         b=

В полярной системе координат уравнение наклонной асимптоты функции y= имеет вид:  y=kx+b, где  k= и b=                         

§4 Пример

Исследовать функцию  в полярной системе координат. (Определить возрастание и убывание, найти наклонную асимптоту функции.)

Решение.1. Определим возрастание и убывание функции. По формуле (1.6), имеем:  и

Найдем О.Д.З. функции:

             

        

   О.Д.З.      О.Д.З.           

      

Функция   возрастает при   

                                   убывает при

  1.  Найдем наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где

,  

Ответ: функция  возрастает при   

убывает при . Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где ,  ..

Заключение

Мы поставили своей целью научиться определять возрастание и убывание функции, точки максимума и минимума, интервалы выпуклости и вогнутости, находить асимптоты и в конечном итоге научились строить графики функций в полярной системе координат. В этой работе выведены формулы и теоремы, которые помогают исследовать функции в полярной системе координат, а также выведено уравнение наклонной асимптоты графика функции , кроме того с помощью наших теорем можно вывести сложные неравенства, связанные с тригонометрией.

В дальнейшем нам бы хотелось предоставить больше примеров, в которых находят применение формулы, выведенные в этой работе.

Литература

1. Н.Я.Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение, 1995.-334 с.

2. А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-10 классов средней школы.-М.: Просвещение, 1986.-334 с.

3. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.: Наука, 1984.-831 с.


EMBED Equation.3  

                                                                                                       

       

     

                                                                                                       

       

     

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39476. Проектирование корпоративных мультисервисных сетей 495.5 KB
  Технология Ethernet известна прежде всего как технология локальных вычислительных сетей имевшая некоторое количество существенных недостатков которые не позволяли строить на ее основе нормально работающие мультисервисные сети. Целью курсовой работы является создание проекта МСС для данного комплекса на базе EthernetIPсети. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ УСЛУГ ПРОЕКТИРУЕМОЙ СЕТИ Услуги которые предоставляет проектируемая мультисервисная сеть: Передача речи телефонная связь данная услуга будет реализована на базе средств IPтелефонии то есть будет...
39477. Барабанне сушило для сушки піску 63 KB
  Мета роботи: розрахувати горіння палива основні розміри сушила процес сушки тепловий баланс паливоспалювального пристрою для барабанного сушила для сушки піску. Розрахунок горіння палива основних розмірів сушила теплообміну теплового балансу паливо спалювального пристрою необхідно для проектування сушила. ТЕПЛОВИЙ БАЛАНС ГОРІННЯ ПАЛИВА БАРАБАН СУШИЛА ТЕПЛООБМІН ТЕМПЕРАТУРА ПРОДУКТИВНІСТЬ ДІАГРАМА ПАЛЬНИК МАТЕРІАЛ ЗАВАНТАЖУВАЛЬНИЙ ПРИСТРІЙ ОБЄМ ВОЛОГИ РОЗРАХУНОК ПАЛИВОСПАЛЮВАЛЬНИЙ ПРИСТРІЙ.6 Розрахунок горіння...
39478. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАЗРАБОТКИ ОДНОРОДНОГО ПЛАСТА НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ НЕПОРШНЕВОГО ВЫТЕСНЕНИЯ НЕФТИ ВОДОЙ В УСЛОВИЯХ ЖЕСТКОГО ВОДОНАПОРНОГО РЕЖИМА 197.5 KB
  Для большинства пластов при вытеснении из них нефти водой характерно возникновение в порах раздробленных диспернированных глобул нефти. В местах пористых сред где путь движению нефти преграждается плотными скоплениями зерен породы в тупиковых зонах в поровых ловушках остаточная нефть сохраняется в виде неподвижных глобул не извлекаемых из пористой среды даже при ее бесконечной промывки. Возникновению неподвижных глобул способствуют также различие вязкостей нефти и воды и наличие у нефти неньютоновских свойств.
39479. Взаимодействие Европейского суда по правам человека и Российской Федерации: проблемы и перспективы 236 KB
  Взаимодействие Европейского суда по правам человека и Российской Федерации: проблемы и перспективы.43 Введение Европейским судом по правам человека называют совестью Европы и это не просто красивая фраза. Это стало возможным благодаря тому что Конституция Российской Федерации впервые в юридической практике нашей страны установила международные гарантии соблюдения и защиты прав и свобод человека и гражданина: Каждый вправе в соответствии с международными договорами Российской Федерации обращаться в межгосударственные органы...
39480. Расчет годовой производственной программы ЭТС 103.5 KB
  Парк электрооборудования постоянно увеличивается. Опыт электрификации сельского хозяйства показывает что без хорошей работы электротехнической эксплуатационной службы только увеличение числа электроустановок не дает ожидаемого роста эффективности производства и не позволяет полностью использовать потенциальные возможности электрооборудования. Эксплуатационная надежность электрооборудования пока еще не удовлетворяет в достаточной мере требованиям сельскохозяйственного производства. Улучшение эксплуатации...
39481. Безопасность жизнедеятельности. Характеристика условий труда программиста 1.09 MB
  В связи с этим была создана и развивается наука о безопасности труда и жизнедеятельности человека. Охрана здоровья трудящихся обеспечение безопасности условий труда ликвидация профессиональных заболеваний и производственного травматизма составляет одну из главных забот человеческого общества. Обращается внимание на необходимость широкого применения прогрессивных форм научной организации труда сведения к минимуму ручного малоквалифицированного труда создания обстановки исключающей профессиональные заболевания и производственный...
39483. Использование наноматериалов в строительном материаловедении 1.34 MB
  «Нано» (от греческого слова «nanos» – карлик) – это приставка, обозначающая одну миллиардную долю исходной единицы. Поскольку в СИ единицей длины является метр, то нанометр означает одну миллиардную долю метра или миллионную долю миллиметра
39484. Разработка информационной системы сопровождения кредитной истории клиентов 3.89 MB
  Установление структуры и форм входных и выходных данных. Расчёт освещения Постоянное развитие и совершенствование вычислительной техники и программного обеспечения приводит к возникновению все новых технологий обработки данных. Поэтому эффективность системы обработки зависит от правильной организации входных и выходных потоков информации. Представить выходную информацию в необходимых для пользователя электронных форматах и виде печатных документов.