50502

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

Практическая работа

Математика и математический анализ

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

Русский

2014-01-25

471 KB

54 чел.

Исследовательская работа

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

Автор: Комарова О.Ф.

Чувашская республика

г. Чебоксары

МОУ «Гимназия №1»

11 класс

Научный руководитель:

Сафиуллина Л.В.

Преподаватель математики

МОУ «Гимназия№1»

  

Чебоксары 2003

 

Введение

В этой работе выведены теоремы и формулы с помощью которых можно исследовать функции в полярной системе координат. Целью этой работы является разработка исследований функций и построение их графиков в полярной системе координат.

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

При выводе формул и при их доказательстве мы использовали методы дифференциального исчисления функций. Работа состоит из 4 параграфов: 1. Условия убывания и возрастания функции. Точки максимума и минимума. 2. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба. 3. Асимптоты графика функции   . 4.  Пример, в котором применены полученные нами формулы и теоремы.

Данная работа актуальна, так как свойства функций в полярной системе координат используются для решения задач повышенной сложности.

При написании работы мы использовали справочник Корна, в котором в сжатой форме даются некоторые примеры, определения и свойства заданные в полярной системе координат

§1 Условия убывания и возрастания функции .

Точки максимума и минимума

Определение 1.1

Функцияназывается возрастающей на (a;b) если для всех и , то .

Определение 1.2

Функция называется убывающей на (a;b) если для всех  и  , то .

Определение 1.3

Функция  называется убывающей в точке , если для всех  достаточно близком ,  и если для всех  достаточно близком ; .

Определение 1.4

Функция  называется возрастающей в точке . Если для всех  достаточно близком  и для всех  достаточно близком .

Теорема 1.1

Функция  убывает на (a;b) тогда и только тогда , когда  убывает для всех точек (a;b).

Теорема 1.2

Функция  возрастает на (a;b) тогда и только тогда , когда  возрастает для всех точек (a;b).

Теорема 1.3

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда , когда график функции входит в круг, ограниченный окружностью  при переходе через .

Теорема 1.4

Функция  возрастает в точке  тогда и только тогда, когда график функции  выходит из круга, ограниченного окружностью  при переходе  через .

        Теоремы 1.1-1.4 не доказаны, так как их доказательство очевидно.

       Исходя из геометрического смысла убывания и возрастания функции с помощью

теоремы 1.3  и теоремы 1.4 можно установить возрастание и убывание функции в терминах производной. 

Пусть М точка пересечения графика функции .

МN-касательная к графику  в точке М .

Теорема 1.5

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда , когда угол между прямыми ОМ и MN – тупой , то есть                                                                            (1.5)

Теорема 1.6

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда, когда имеет место неравенство (1.7) , где k1, k2 определяется по формуле (1.6).

Доказательство

k1- угловой коэффициент прямой ОМ, то есть k1= tg

 k2- угловой коэффициент прямой MN, то есть k2=                                             (1.6)        По формуле угла между двумя прямыми :                     tg                        (1.7)

                                                                                    Теорема доказана.

Теорема 1.7

Функция  возрастает в точке тогда и только тогда, когда угол между прямыми

OM и MN острый, то есть                                                                               (1.8)

Теорема 1.8

Функция  возрастает в точке  тогда и только тогда, когда имеет место неравенство                                           tg       (1.9)

Пример 1.1

Доказать, что функция - возрастающая .

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем:         k1=tg                                                        k2==

2. По формуле (1.9), имеем:        , то есть  >0

3. Отсюда по теореме 1.8 функция - возрастающая             

                                                                                                                       Пример доказан.

Пример 1.2

Доказать, что функция  - убывающая.

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем:         k1=tg                                                    

k2==

2.По формуле (1.7), имеем:

  , то есть  -1<0.

3. Отсюда, по теореме (1.5) функция - убывающая

Пример доказан.

Пример 1.3

Дана функция , где . Определите возрастающей или убывающей является   функция .

Решение:

  1.  По формуле (1.6) найдем k1 и k2:

  1.  Имеем:
  2.  Получили при tg>0, 0функция возрастающая ;приtg,функция убывающая.

4. - точка максимума ; - точка максимума.

5.Функция  в декартовой системе координат имеет вид:

Ответ: 1. при - функция возрастает; 2.при - функция убывает.

 С помощью теоремы (1.6) и (1.8) можно доказывать сложные тригонометрические неравенства.

1.  Возьмем . Очевидно эта функция возрастает при всех . Поэтому для нее

выполняется неравенство .

Запишем неравенство:                      

Теорема 1.9

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство :

                                              (1.10)

2.Функция - убывающая .

    

Запишем неравенство:   

Теорема 1.10

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                                     (1.11)

3. Возьмем функцию ,очевидно, возрастающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство : .           k1=tg   k2=          Запишем неравенство:

Теорема1.11

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                  (1.12)

4.Возьмем функцию ,очевидно, убывающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство:    tg.

    Запишем неравенство:    

Теорема 1.12

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                                  (1.13)

5.Возьмем функцию   , функция возрастает на. Поэтому выполняется неравенство .

         Запишем неравенство:

Теорема 1.13

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                         (1.14)

6.Возьмем функцию , функция убывает на . Поэтому выполняется неравенство:  tg                                                                      

  

Запишем неравенство: .

Теорема 1.14

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                  .                                                                (1.15)

§2 Выпуклость и вогнутость функции.
Точки перегиба

Определение 2.1 Пусть дана функция . Рассмотрим ее график на отрезке .

Функция  называется выпуклой на , если для любого , то  

Определение 2.2

Функция  называется вогнутой на , если для любого  , то

       Но эти определения не удобны для исследования функции на выпуклость и вогнутость. Поэтому, мы даем следующее определения.

 Определение 2.1

Функцияназывается выпуклой, если является выпуклой параметрическая функция    ,  заданная в декартовой системе координат.

Определение 2.2

Функция называется вогнутой, если является вогнутой параметрическая функция    ,  заданная в декартовой системе координат.

Теорема 2.1

Если вторая производная  на интервале , то функция - является выпуклой на этом же интервале.

Теорема 2.2

Если вторая производная  на интервале , то функция - является вогнутой на этом же интервале.

Пример 2.1

Рассмотрим функцию  - окружность радиусом R.

  

1.  

2.

3. Исследуем знак, где .                    

- критические точки.

  1.  выпуклая   вогнутая

Ответ: 1. при  функция  выпуклая;

           2. при  функция вогнутая.

                                               §3 Асимптоты графика функции

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где , где - значение угла , для которого

при  или  при

Теорема 3.1

Уравнение наклонной асимптоты для функции  имеет вид:  y=kx+b, где ,        .

Пример 3.1

Функция y= имеет две асимптоты y=x и y=0.

В полярной системе координат это уравнение имеет вид:

k=         b=

В полярной системе координат уравнение наклонной асимптоты функции y= имеет вид:  y=kx+b, где  k= и b=                         

§4 Пример

Исследовать функцию  в полярной системе координат. (Определить возрастание и убывание, найти наклонную асимптоту функции.)

Решение.1. Определим возрастание и убывание функции. По формуле (1.6), имеем:  и

Найдем О.Д.З. функции:

             

        

   О.Д.З.      О.Д.З.           

      

Функция   возрастает при   

                                   убывает при

  1.  Найдем наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где

,  

Ответ: функция  возрастает при   

убывает при . Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где ,  ..

Заключение

Мы поставили своей целью научиться определять возрастание и убывание функции, точки максимума и минимума, интервалы выпуклости и вогнутости, находить асимптоты и в конечном итоге научились строить графики функций в полярной системе координат. В этой работе выведены формулы и теоремы, которые помогают исследовать функции в полярной системе координат, а также выведено уравнение наклонной асимптоты графика функции , кроме того с помощью наших теорем можно вывести сложные неравенства, связанные с тригонометрией.

В дальнейшем нам бы хотелось предоставить больше примеров, в которых находят применение формулы, выведенные в этой работе.

Литература

1. Н.Я.Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение, 1995.-334 с.

2. А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-10 классов средней школы.-М.: Просвещение, 1986.-334 с.

3. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.: Наука, 1984.-831 с.


EMBED Equation.3  

                                                                                                       

       

     

                                                                                                       

       

     

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57369. Ознайомлення з дією додавання. Знак «+». Складання прикладів на додавання за предметними малюнками. Написання цифр 33.5 KB
  Мета: вчити учнів складати приклади на додавання; ознайомити зі знаком вчити читати цей знак; формувати вміння обчислювати приклади на додавання записувати приклади в зошит...
57370. Складання прикладів на додавання за малюнками монет. Порівняння чисел. Поняття на, над, під. Порівняння за віком (молодий — старий) 32.5 KB
  Мета: формувати в учнів вміння складати приклади на додавання на основі малюнків; вправляти учнів у засвоєнні результатів додавання в межах 5 на основі складу чисел; розвивати мислення.
57371. Число і цифра 8. Написання цифри 8. Порівняння чисел у межах 8. Послідовність чисел у межах 8. Додавання у випадку трьох доданків 36.5 KB
  Мета: ознайомити з числом і цифрою 8; пояснити утворення числа 8; вчити писати цифру 8; закріплювати нумерацію чисел у межах 8; розвивати логічне мислення вдосконалювати навички усної лічби. Фронтальне опитування Назвати числа від 1 до 7; від 3 до 7; від 1 до 5.
57372. Склад числа 10. Послідовність чисел у межах 10. Складання й розв’язання прикладів на додавання. Написання цифр 32.5 KB
  Мета: показати утворення числа 10 шляхом складання окремих групп предметів закріпити у дітей знання усної нумерації чисел першого десятка формувати навички кількісної та порядкової лічби; розвивати увагу уяву логічне мислення.
57373. Повторення складу числа 10. Складання прикладів за малюнками предметів та монет. Розпізнавання геометричних фігур. Написання цифр 31.5 KB
  Мета: продовжити роботу над формуванням у дітей вміння порівнювати числа в межах 10; закріплювати знання складу числа 10; вдосконалювати навички усної лічби; розвивати логічне мислення. Повторення складу числа 10 На дошці силуети будинків.
57374. Ознайомлення з термінами доданок, сума. Складання прикладів на додавання за числовим відрізком, за малюнком 35.5 KB
  Мета: розкрити зміст дії додавання; ознайомити учнів з компонентами дії додавання доданками сумою; продовжити формування вміння складати приклади на додавання; вдосконалювати навички усної лічби...
57375. Повторення складу чисел 5 і 6. Складання й розв’язання прикладів за малюнками предметів і монет 31 KB
  Назвіть усі числа від 1 до 7. Яке число стоїть за числом 7 Більше воно чи менше 7 Назвіть усі числа менше 7. За яким числом воно стоїть Як утворити число 6 додаючи 1 Порівняйте числа 6 і 7. Порівняйте числа 3 і 5.