50502

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

Практическая работа

Математика и математический анализ

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

Русский

2014-01-25

471 KB

85 чел.

Исследовательская работа

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

Автор: Комарова О.Ф.

Чувашская республика

г. Чебоксары

МОУ «Гимназия №1»

11 класс

Научный руководитель:

Сафиуллина Л.В.

Преподаватель математики

МОУ «Гимназия№1»

  

Чебоксары 2003

 

Введение

В этой работе выведены теоремы и формулы с помощью которых можно исследовать функции в полярной системе координат. Целью этой работы является разработка исследований функций и построение их графиков в полярной системе координат.

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

При выводе формул и при их доказательстве мы использовали методы дифференциального исчисления функций. Работа состоит из 4 параграфов: 1. Условия убывания и возрастания функции. Точки максимума и минимума. 2. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба. 3. Асимптоты графика функции   . 4.  Пример, в котором применены полученные нами формулы и теоремы.

Данная работа актуальна, так как свойства функций в полярной системе координат используются для решения задач повышенной сложности.

При написании работы мы использовали справочник Корна, в котором в сжатой форме даются некоторые примеры, определения и свойства заданные в полярной системе координат

§1 Условия убывания и возрастания функции .

Точки максимума и минимума

Определение 1.1

Функцияназывается возрастающей на (a;b) если для всех и , то .

Определение 1.2

Функция называется убывающей на (a;b) если для всех  и  , то .

Определение 1.3

Функция  называется убывающей в точке , если для всех  достаточно близком ,  и если для всех  достаточно близком ; .

Определение 1.4

Функция  называется возрастающей в точке . Если для всех  достаточно близком  и для всех  достаточно близком .

Теорема 1.1

Функция  убывает на (a;b) тогда и только тогда , когда  убывает для всех точек (a;b).

Теорема 1.2

Функция  возрастает на (a;b) тогда и только тогда , когда  возрастает для всех точек (a;b).

Теорема 1.3

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда , когда график функции входит в круг, ограниченный окружностью  при переходе через .

Теорема 1.4

Функция  возрастает в точке  тогда и только тогда, когда график функции  выходит из круга, ограниченного окружностью  при переходе  через .

        Теоремы 1.1-1.4 не доказаны, так как их доказательство очевидно.

       Исходя из геометрического смысла убывания и возрастания функции с помощью

теоремы 1.3  и теоремы 1.4 можно установить возрастание и убывание функции в терминах производной. 

Пусть М точка пересечения графика функции .

МN-касательная к графику  в точке М .

Теорема 1.5

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда , когда угол между прямыми ОМ и MN – тупой , то есть                                                                            (1.5)

Теорема 1.6

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда, когда имеет место неравенство (1.7) , где k1, k2 определяется по формуле (1.6).

Доказательство

k1- угловой коэффициент прямой ОМ, то есть k1= tg

 k2- угловой коэффициент прямой MN, то есть k2=                                             (1.6)        По формуле угла между двумя прямыми :                     tg                        (1.7)

                                                                                    Теорема доказана.

Теорема 1.7

Функция  возрастает в точке тогда и только тогда, когда угол между прямыми

OM и MN острый, то есть                                                                               (1.8)

Теорема 1.8

Функция  возрастает в точке  тогда и только тогда, когда имеет место неравенство                                           tg       (1.9)

Пример 1.1

Доказать, что функция - возрастающая .

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем:         k1=tg                                                        k2==

2. По формуле (1.9), имеем:        , то есть  >0

3. Отсюда по теореме 1.8 функция - возрастающая             

                                                                                                                       Пример доказан.

Пример 1.2

Доказать, что функция  - убывающая.

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем:         k1=tg                                                    

k2==

2.По формуле (1.7), имеем:

  , то есть  -1<0.

3. Отсюда, по теореме (1.5) функция - убывающая

Пример доказан.

Пример 1.3

Дана функция , где . Определите возрастающей или убывающей является   функция .

Решение:

  1.  По формуле (1.6) найдем k1 и k2:

  1.  Имеем:
  2.  Получили при tg>0, 0функция возрастающая ;приtg,функция убывающая.

4. - точка максимума ; - точка максимума.

5.Функция  в декартовой системе координат имеет вид:

Ответ: 1. при - функция возрастает; 2.при - функция убывает.

 С помощью теоремы (1.6) и (1.8) можно доказывать сложные тригонометрические неравенства.

1.  Возьмем . Очевидно эта функция возрастает при всех . Поэтому для нее

выполняется неравенство .

Запишем неравенство:                      

Теорема 1.9

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство :

                                              (1.10)

2.Функция - убывающая .

    

Запишем неравенство:   

Теорема 1.10

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                                     (1.11)

3. Возьмем функцию ,очевидно, возрастающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство : .           k1=tg   k2=          Запишем неравенство:

Теорема1.11

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                  (1.12)

4.Возьмем функцию ,очевидно, убывающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство:    tg.

    Запишем неравенство:    

Теорема 1.12

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                                  (1.13)

5.Возьмем функцию   , функция возрастает на. Поэтому выполняется неравенство .

         Запишем неравенство:

Теорема 1.13

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                         (1.14)

6.Возьмем функцию , функция убывает на . Поэтому выполняется неравенство:  tg                                                                      

  

Запишем неравенство: .

Теорема 1.14

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                  .                                                                (1.15)

§2 Выпуклость и вогнутость функции.
Точки перегиба

Определение 2.1 Пусть дана функция . Рассмотрим ее график на отрезке .

Функция  называется выпуклой на , если для любого , то  

Определение 2.2

Функция  называется вогнутой на , если для любого  , то

       Но эти определения не удобны для исследования функции на выпуклость и вогнутость. Поэтому, мы даем следующее определения.

 Определение 2.1

Функцияназывается выпуклой, если является выпуклой параметрическая функция    ,  заданная в декартовой системе координат.

Определение 2.2

Функция называется вогнутой, если является вогнутой параметрическая функция    ,  заданная в декартовой системе координат.

Теорема 2.1

Если вторая производная  на интервале , то функция - является выпуклой на этом же интервале.

Теорема 2.2

Если вторая производная  на интервале , то функция - является вогнутой на этом же интервале.

Пример 2.1

Рассмотрим функцию  - окружность радиусом R.

  

1.  

2.

3. Исследуем знак, где .                    

- критические точки.

  1.  выпуклая   вогнутая

Ответ: 1. при  функция  выпуклая;

           2. при  функция вогнутая.

                                               §3 Асимптоты графика функции

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где , где - значение угла , для которого

при  или  при

Теорема 3.1

Уравнение наклонной асимптоты для функции  имеет вид:  y=kx+b, где ,        .

Пример 3.1

Функция y= имеет две асимптоты y=x и y=0.

В полярной системе координат это уравнение имеет вид:

k=         b=

В полярной системе координат уравнение наклонной асимптоты функции y= имеет вид:  y=kx+b, где  k= и b=                         

§4 Пример

Исследовать функцию  в полярной системе координат. (Определить возрастание и убывание, найти наклонную асимптоту функции.)

Решение.1. Определим возрастание и убывание функции. По формуле (1.6), имеем:  и

Найдем О.Д.З. функции:

             

        

   О.Д.З.      О.Д.З.           

      

Функция   возрастает при   

                                   убывает при

  1.  Найдем наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где

,  

Ответ: функция  возрастает при   

убывает при . Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где ,  ..

Заключение

Мы поставили своей целью научиться определять возрастание и убывание функции, точки максимума и минимума, интервалы выпуклости и вогнутости, находить асимптоты и в конечном итоге научились строить графики функций в полярной системе координат. В этой работе выведены формулы и теоремы, которые помогают исследовать функции в полярной системе координат, а также выведено уравнение наклонной асимптоты графика функции , кроме того с помощью наших теорем можно вывести сложные неравенства, связанные с тригонометрией.

В дальнейшем нам бы хотелось предоставить больше примеров, в которых находят применение формулы, выведенные в этой работе.

Литература

1. Н.Я.Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение, 1995.-334 с.

2. А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-10 классов средней школы.-М.: Просвещение, 1986.-334 с.

3. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.: Наука, 1984.-831 с.


EMBED Equation.3  

                                                                                                       

       

     

                                                                                                       

       

     

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42198. Повiрка цифрових та аналогових омметрiв 144.5 KB
  Програма роботи У процесі підготовки до заняття студенту потрібно ознайомитись з методикою повірки омметрів згідно ГОСТ 9. Здійснити повірку цифрових універсальних омметрів типу В7 20 та В7 16А.1 Будова аналогових омметрів Омметрами називають прилади прямої дії які служать для безпосереднього вимірювання активних опорів. Перевага двохрамочних омметрів у тому що їх покази не залежать від напруги джерела живлення.
42199. Калібрування і повірка термометрів опору 286.5 KB
  Засвоїти методику отримання практичних навиків при проведенні досліджень динамічних характеристик термометрів опору при нагріванні і охолодженні повірці термометрів опору та калібруванні напівпровідникових термометрів опору термісторів.2 Програма роботи Під час заняття студент повинен ознайомитись з будовою та принципом дії термометрів опору. Визначити динамічну похибку термометрів опору типу ТСП і ТСМ.
42200. Систематичні похибки вимірювань та методи їх зменшення 71.5 KB
  У процесі заняття провести вимірювання різних електричних величин різними способами і засобами визначити систематичні похибки ввести поправки до результатів вимірювань обчислити дійсні значення вимірюваних величин і впевнитись у правильності отриманих значень.1 Систематичні похибки вимірювань та методи їх зменшення Процес пізнання матеріального світу відбувається через експериментальне визначення вимірювання кількісних оцінок фізичних величин що характеризують досліджувані процеси явища. Таким чином результат...
42201. Вивчення будови, принципу дії та застосування електронного осцилографа для електричних вимірювань 461 KB
  Практичне виконання вимiрювань напруги струму часових iнтервалiв частоти кута зсуву фаз складової комплексного опору та iнших електричних величин з допомогою осцилографа. При пiдготовцi до роботи студенти повиннi самостiйно продумати i завчасно пiдготувати програму виконання роботи для заданого їм варiанта вибрати або скласти самостiйно необхiднi для цього схеми вимiрювань запропонувати свої рiшення в здiйсненнi вимiрювань дiючих значень синусоїдальних струмiв i напруг з допомогою осцилографа. Пропонується продумати методику...
42202. Вивчення методів та засобів вимірювання електричної ємності та індуктивності 245 KB
  Ознайомлення з різними методами вимірювання електричної ємності і індуктивності та приладами що використовуються для цього. Ознайомлення з будовою мостів змінного струму і універсальних мостів з будовою і застосуванням резонансних вимірювачів індуктивності L і ємності С. Отримання навичок практичного виконання вимірювань ємності і індуктивності.
42203. Електронні автоматичні мости і їх повірка 109 KB
  За результатами повірки зробити висновки про придатність до експлуатації автоматичного моста.3 Основні теоретичні відомості Електронні автоматичні мости Як правило термометри опору працюють в комплекті зі зрівноваженими електронними автоматичними мостами постійного або змінного струму або з логометрами. В автоматичних мостах використовується вимірювальна система чотириплечового моста з реохордом що забезпечує високу точність вимірювання. Термометр опору який є чутливим елементом моста включається в одне з його плечей.
42204. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 751 KB
  Ознакомление с пакетом прикладных программ SIMULINK и основными приемами моделирования линейных динамических систем. К занятию допускаются студенты составившие схемы моделирования заданных динамических систем см.1 могут быть составлены схемы моделирования уравнений 1. Для составления схемы моделирования дифференциальных уравнений 1.
42205. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 181.26 KB
  Математическая модель одной и той же линейной динамической системы может быть представлена в различных формах: в форме скалярного дифференциального уравнения -го порядка (модель вход-выход) или в форме системы из дифференциальных уравнений 1-го порядка (модель вход-состояние-выход). Следовательно, между различными формами представления математических моделей существует определенная взаимосвязь, т.е. модель вход-состояние-выход может быть преобразована к модели вход-выход и наоборот.
42206. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 215.45 KB
  Теоретические сведения. В ряде задач анализа и синтеза систем управления требуется построить дифференциальное уравнение по известному частному решению, заданному в виде функции времени. Такая задача возникает, например, при построении динамических моделей внешних воздействий (так называемых, командных генераторов) — сигналов задания и возмущений. Особо отметим, что, в известном смысле, данная задача является обратной по отношению к задаче нахождения решения дифференциального уравнения (см. лабораторную работу № 1)