50502

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

Практическая работа

Математика и математический анализ

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

Русский

2014-01-25

471 KB

59 чел.

Исследовательская работа

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

Автор: Комарова О.Ф.

Чувашская республика

г. Чебоксары

МОУ «Гимназия №1»

11 класс

Научный руководитель:

Сафиуллина Л.В.

Преподаватель математики

МОУ «Гимназия№1»

  

Чебоксары 2003

 

Введение

В этой работе выведены теоремы и формулы с помощью которых можно исследовать функции в полярной системе координат. Целью этой работы является разработка исследований функций и построение их графиков в полярной системе координат.

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

При выводе формул и при их доказательстве мы использовали методы дифференциального исчисления функций. Работа состоит из 4 параграфов: 1. Условия убывания и возрастания функции. Точки максимума и минимума. 2. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба. 3. Асимптоты графика функции   . 4.  Пример, в котором применены полученные нами формулы и теоремы.

Данная работа актуальна, так как свойства функций в полярной системе координат используются для решения задач повышенной сложности.

При написании работы мы использовали справочник Корна, в котором в сжатой форме даются некоторые примеры, определения и свойства заданные в полярной системе координат

§1 Условия убывания и возрастания функции .

Точки максимума и минимума

Определение 1.1

Функцияназывается возрастающей на (a;b) если для всех и , то .

Определение 1.2

Функция называется убывающей на (a;b) если для всех  и  , то .

Определение 1.3

Функция  называется убывающей в точке , если для всех  достаточно близком ,  и если для всех  достаточно близком ; .

Определение 1.4

Функция  называется возрастающей в точке . Если для всех  достаточно близком  и для всех  достаточно близком .

Теорема 1.1

Функция  убывает на (a;b) тогда и только тогда , когда  убывает для всех точек (a;b).

Теорема 1.2

Функция  возрастает на (a;b) тогда и только тогда , когда  возрастает для всех точек (a;b).

Теорема 1.3

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда , когда график функции входит в круг, ограниченный окружностью  при переходе через .

Теорема 1.4

Функция  возрастает в точке  тогда и только тогда, когда график функции  выходит из круга, ограниченного окружностью  при переходе  через .

        Теоремы 1.1-1.4 не доказаны, так как их доказательство очевидно.

       Исходя из геометрического смысла убывания и возрастания функции с помощью

теоремы 1.3  и теоремы 1.4 можно установить возрастание и убывание функции в терминах производной. 

Пусть М точка пересечения графика функции .

МN-касательная к графику  в точке М .

Теорема 1.5

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда , когда угол между прямыми ОМ и MN – тупой , то есть                                                                            (1.5)

Теорема 1.6

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда, когда имеет место неравенство (1.7) , где k1, k2 определяется по формуле (1.6).

Доказательство

k1- угловой коэффициент прямой ОМ, то есть k1= tg

 k2- угловой коэффициент прямой MN, то есть k2=                                             (1.6)        По формуле угла между двумя прямыми :                     tg                        (1.7)

                                                                                    Теорема доказана.

Теорема 1.7

Функция  возрастает в точке тогда и только тогда, когда угол между прямыми

OM и MN острый, то есть                                                                               (1.8)

Теорема 1.8

Функция  возрастает в точке  тогда и только тогда, когда имеет место неравенство                                           tg       (1.9)

Пример 1.1

Доказать, что функция - возрастающая .

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем:         k1=tg                                                        k2==

2. По формуле (1.9), имеем:        , то есть  >0

3. Отсюда по теореме 1.8 функция - возрастающая             

                                                                                                                       Пример доказан.

Пример 1.2

Доказать, что функция  - убывающая.

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем:         k1=tg                                                    

k2==

2.По формуле (1.7), имеем:

  , то есть  -1<0.

3. Отсюда, по теореме (1.5) функция - убывающая

Пример доказан.

Пример 1.3

Дана функция , где . Определите возрастающей или убывающей является   функция .

Решение:

  1.  По формуле (1.6) найдем k1 и k2:

  1.  Имеем:
  2.  Получили при tg>0, 0функция возрастающая ;приtg,функция убывающая.

4. - точка максимума ; - точка максимума.

5.Функция  в декартовой системе координат имеет вид:

Ответ: 1. при - функция возрастает; 2.при - функция убывает.

 С помощью теоремы (1.6) и (1.8) можно доказывать сложные тригонометрические неравенства.

1.  Возьмем . Очевидно эта функция возрастает при всех . Поэтому для нее

выполняется неравенство .

Запишем неравенство:                      

Теорема 1.9

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство :

                                              (1.10)

2.Функция - убывающая .

    

Запишем неравенство:   

Теорема 1.10

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                                     (1.11)

3. Возьмем функцию ,очевидно, возрастающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство : .           k1=tg   k2=          Запишем неравенство:

Теорема1.11

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                  (1.12)

4.Возьмем функцию ,очевидно, убывающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство:    tg.

    Запишем неравенство:    

Теорема 1.12

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                                  (1.13)

5.Возьмем функцию   , функция возрастает на. Поэтому выполняется неравенство .

         Запишем неравенство:

Теорема 1.13

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                         (1.14)

6.Возьмем функцию , функция убывает на . Поэтому выполняется неравенство:  tg                                                                      

  

Запишем неравенство: .

Теорема 1.14

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                  .                                                                (1.15)

§2 Выпуклость и вогнутость функции.
Точки перегиба

Определение 2.1 Пусть дана функция . Рассмотрим ее график на отрезке .

Функция  называется выпуклой на , если для любого , то  

Определение 2.2

Функция  называется вогнутой на , если для любого  , то

       Но эти определения не удобны для исследования функции на выпуклость и вогнутость. Поэтому, мы даем следующее определения.

 Определение 2.1

Функцияназывается выпуклой, если является выпуклой параметрическая функция    ,  заданная в декартовой системе координат.

Определение 2.2

Функция называется вогнутой, если является вогнутой параметрическая функция    ,  заданная в декартовой системе координат.

Теорема 2.1

Если вторая производная  на интервале , то функция - является выпуклой на этом же интервале.

Теорема 2.2

Если вторая производная  на интервале , то функция - является вогнутой на этом же интервале.

Пример 2.1

Рассмотрим функцию  - окружность радиусом R.

  

1.  

2.

3. Исследуем знак, где .                    

- критические точки.

  1.  выпуклая   вогнутая

Ответ: 1. при  функция  выпуклая;

           2. при  функция вогнутая.

                                               §3 Асимптоты графика функции

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где , где - значение угла , для которого

при  или  при

Теорема 3.1

Уравнение наклонной асимптоты для функции  имеет вид:  y=kx+b, где ,        .

Пример 3.1

Функция y= имеет две асимптоты y=x и y=0.

В полярной системе координат это уравнение имеет вид:

k=         b=

В полярной системе координат уравнение наклонной асимптоты функции y= имеет вид:  y=kx+b, где  k= и b=                         

§4 Пример

Исследовать функцию  в полярной системе координат. (Определить возрастание и убывание, найти наклонную асимптоту функции.)

Решение.1. Определим возрастание и убывание функции. По формуле (1.6), имеем:  и

Найдем О.Д.З. функции:

             

        

   О.Д.З.      О.Д.З.           

      

Функция   возрастает при   

                                   убывает при

  1.  Найдем наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где

,  

Ответ: функция  возрастает при   

убывает при . Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где ,  ..

Заключение

Мы поставили своей целью научиться определять возрастание и убывание функции, точки максимума и минимума, интервалы выпуклости и вогнутости, находить асимптоты и в конечном итоге научились строить графики функций в полярной системе координат. В этой работе выведены формулы и теоремы, которые помогают исследовать функции в полярной системе координат, а также выведено уравнение наклонной асимптоты графика функции , кроме того с помощью наших теорем можно вывести сложные неравенства, связанные с тригонометрией.

В дальнейшем нам бы хотелось предоставить больше примеров, в которых находят применение формулы, выведенные в этой работе.

Литература

1. Н.Я.Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение, 1995.-334 с.

2. А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-10 классов средней школы.-М.: Просвещение, 1986.-334 с.

3. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.: Наука, 1984.-831 с.


EMBED Equation.3  

                                                                                                       

       

     

                                                                                                       

       

     

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65277. Підвищення зносостійкості деталей наплавленням економолегованого титановмісного залізовуглецевого сплаву 609.5 KB
  Створення абразивостійкого сплаву шляхом застосування такої технології та компонентів які разом з ефективністю надання необхідних властивостей матеріалу не призводили б до суттєвого підвищення вартості є актуальною задачею.
65278. Математичне моделювання гідродинаміки двофазового потоку в умовах безперервного віброекстрагування 16.53 MB
  Розроблення нової високоефективної екстракційної апаратури на основі використання низькочастотних механічних коливань в повній мірі віддзеркалює один із основних актуальних напрямів удосконалення виробничої бази переробних галузей промисловості.
65279. ТЕХНОЛОГІЯ БІСКВІТНИХ І ПІСОЧНИХ ВИРОБІВ ФУНКЦІОНАЛЬНОГО ПРИЗНАЧЕННЯ 2.2 MB
  Зниження якості життя окремої людини та індексу здоров'я нації в цілому при значному порушенні харчового статусу населення обумовлює необхідність створення функціональних продуктів харчування. Здоров'я населення на 70% залежить від способу життя, найважливішим чинником якого є харчування.
65280. Метод визначення втомного пошкодження обшивки фюзеляжу при ресурсних випробуваннях літака з використанням фрактальних моделей деформаційного рельєфу 14.58 MB
  Одним з інструментальних методів діагностики втомного пошкодження авіаційних конструкцій виготовлених з плакованих алюмінієвих сплавів є неруйнівний комп’ютеризований оптичний метод який базується на визначенні параметру...
65281. Оптимізація азотного живлення інтенсивних насаджень груші на вегетативних підщепах в зрошуваних умовах півдня України 326 KB
  Мета оптимізація азотного живлення інтенсивних насаджень груші при зрошенні за рахунок покращення поживного режиму чорнозему південного шляхом установлення оптимальних доз строків та способів внесення азотних добрив для ефективнішого використання азоту рослинами підвищення врожаю...
65282. Удосконалення електрогідравлічних установок з ємнісними накопичувачами енергії для забезпечення їх багатофункціональності 200.5 KB
  Метою досліджень є створення енергетичних установок і комплексів для здійснення електрогідравлічних процесів, що забезпечують ефективну та високопродуктивну роботу в різних галузях промисловості.
65283. Наукові основи об’єктивного цифрового визначення та стабілізації параметрів технологічних процесів рулонних друкарських машин 413.5 KB
  Науково-технічні розробки останнього десятиліття розширили теоретичні і прикладні аспекти способів друкування книжково-журнальної, рекламної та етикетко-пакувальної продукції. Але, не дивлячись на прогрес у проектуванні...
65285. НАУКОВІ ОСНОВИ ЕКОЛОГІЧНО ОЩАДНИХ ТЕХНОЛОГІЙ І ТЕХНІЧНИХ ЗАСОБІВ ДЛЯ ВНЕСЕННЯ РІДКИХ ДОБРИВ ТА ХІМЗАХИСТУ РОСЛИН 1.5 MB
  Стосовно ґрунтових препаратів таким методом є стрічкове внутрішньоґрунтове внесення. Таким чином розробка екологічно ощадних технологій і технічних засобів для внесення рідких добрив та хімзахисту рослин є актуальною науковоприкладною проблемою...