50502

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

Практическая работа

Математика и математический анализ

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

Русский

2014-01-25

471 KB

64 чел.

Исследовательская работа

Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат

Автор: Комарова О.Ф.

Чувашская республика

г. Чебоксары

МОУ «Гимназия №1»

11 класс

Научный руководитель:

Сафиуллина Л.В.

Преподаватель математики

МОУ «Гимназия№1»

  

Чебоксары 2003

 

Введение

В этой работе выведены теоремы и формулы с помощью которых можно исследовать функции в полярной системе координат. Целью этой работы является разработка исследований функций и построение их графиков в полярной системе координат.

Обычно функции исследуются в декартовой системе координат, а графики функций, заданных в полярной системе координат, строят по точкам, не приводя полного исследования, подобное тому которое проводится в декартовой системе координат. Но построение графика по точкам не является математически строгим, так как например оно не позволяет определить интервалы возрастания и убывания функции, ее выпуклость и вогнутость или найти асимптоты.

При выводе формул и при их доказательстве мы использовали методы дифференциального исчисления функций. Работа состоит из 4 параграфов: 1. Условия убывания и возрастания функции. Точки максимума и минимума. 2. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба. 3. Асимптоты графика функции   . 4.  Пример, в котором применены полученные нами формулы и теоремы.

Данная работа актуальна, так как свойства функций в полярной системе координат используются для решения задач повышенной сложности.

При написании работы мы использовали справочник Корна, в котором в сжатой форме даются некоторые примеры, определения и свойства заданные в полярной системе координат

§1 Условия убывания и возрастания функции .

Точки максимума и минимума

Определение 1.1

Функцияназывается возрастающей на (a;b) если для всех и , то .

Определение 1.2

Функция называется убывающей на (a;b) если для всех  и  , то .

Определение 1.3

Функция  называется убывающей в точке , если для всех  достаточно близком ,  и если для всех  достаточно близком ; .

Определение 1.4

Функция  называется возрастающей в точке . Если для всех  достаточно близком  и для всех  достаточно близком .

Теорема 1.1

Функция  убывает на (a;b) тогда и только тогда , когда  убывает для всех точек (a;b).

Теорема 1.2

Функция  возрастает на (a;b) тогда и только тогда , когда  возрастает для всех точек (a;b).

Теорема 1.3

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда , когда график функции входит в круг, ограниченный окружностью  при переходе через .

Теорема 1.4

Функция  возрастает в точке  тогда и только тогда, когда график функции  выходит из круга, ограниченного окружностью  при переходе  через .

        Теоремы 1.1-1.4 не доказаны, так как их доказательство очевидно.

       Исходя из геометрического смысла убывания и возрастания функции с помощью

теоремы 1.3  и теоремы 1.4 можно установить возрастание и убывание функции в терминах производной. 

Пусть М точка пересечения графика функции .

МN-касательная к графику  в точке М .

Теорема 1.5

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда , когда угол между прямыми ОМ и MN – тупой , то есть                                                                            (1.5)

Теорема 1.6

Функция  убывает в точке  тогда и только тогда, когда имеет место неравенство (1.7) , где k1, k2 определяется по формуле (1.6).

Доказательство

k1- угловой коэффициент прямой ОМ, то есть k1= tg

 k2- угловой коэффициент прямой MN, то есть k2=                                             (1.6)        По формуле угла между двумя прямыми :                     tg                        (1.7)

                                                                                    Теорема доказана.

Теорема 1.7

Функция  возрастает в точке тогда и только тогда, когда угол между прямыми

OM и MN острый, то есть                                                                               (1.8)

Теорема 1.8

Функция  возрастает в точке  тогда и только тогда, когда имеет место неравенство                                           tg       (1.9)

Пример 1.1

Доказать, что функция - возрастающая .

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем:         k1=tg                                                        k2==

2. По формуле (1.9), имеем:        , то есть  >0

3. Отсюда по теореме 1.8 функция - возрастающая             

                                                                                                                       Пример доказан.

Пример 1.2

Доказать, что функция  - убывающая.

Доказательство.

1. По формуле (1.6), имеем:         k1=tg                                                    

k2==

2.По формуле (1.7), имеем:

  , то есть  -1<0.

3. Отсюда, по теореме (1.5) функция - убывающая

Пример доказан.

Пример 1.3

Дана функция , где . Определите возрастающей или убывающей является   функция .

Решение:

  1.  По формуле (1.6) найдем k1 и k2:

  1.  Имеем:
  2.  Получили при tg>0, 0функция возрастающая ;приtg,функция убывающая.

4. - точка максимума ; - точка максимума.

5.Функция  в декартовой системе координат имеет вид:

Ответ: 1. при - функция возрастает; 2.при - функция убывает.

 С помощью теоремы (1.6) и (1.8) можно доказывать сложные тригонометрические неравенства.

1.  Возьмем . Очевидно эта функция возрастает при всех . Поэтому для нее

выполняется неравенство .

Запишем неравенство:                      

Теорема 1.9

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство :

                                              (1.10)

2.Функция - убывающая .

    

Запишем неравенство:   

Теорема 1.10

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                                     (1.11)

3. Возьмем функцию ,очевидно, возрастающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство : .           k1=tg   k2=          Запишем неравенство:

Теорема1.11

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                  (1.12)

4.Возьмем функцию ,очевидно, убывающую при всех . Поэтому для нее выполняется неравенство:    tg.

    Запишем неравенство:    

Теорема 1.12

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                                  (1.13)

5.Возьмем функцию   , функция возрастает на. Поэтому выполняется неравенство .

         Запишем неравенство:

Теорема 1.13

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                                                                         (1.14)

6.Возьмем функцию , функция убывает на . Поэтому выполняется неравенство:  tg                                                                      

  

Запишем неравенство: .

Теорема 1.14

При всех допустимых значениях  справедливо неравенство:

                                                  .                                                                (1.15)

§2 Выпуклость и вогнутость функции.
Точки перегиба

Определение 2.1 Пусть дана функция . Рассмотрим ее график на отрезке .

Функция  называется выпуклой на , если для любого , то  

Определение 2.2

Функция  называется вогнутой на , если для любого  , то

       Но эти определения не удобны для исследования функции на выпуклость и вогнутость. Поэтому, мы даем следующее определения.

 Определение 2.1

Функцияназывается выпуклой, если является выпуклой параметрическая функция    ,  заданная в декартовой системе координат.

Определение 2.2

Функция называется вогнутой, если является вогнутой параметрическая функция    ,  заданная в декартовой системе координат.

Теорема 2.1

Если вторая производная  на интервале , то функция - является выпуклой на этом же интервале.

Теорема 2.2

Если вторая производная  на интервале , то функция - является вогнутой на этом же интервале.

Пример 2.1

Рассмотрим функцию  - окружность радиусом R.

  

1.  

2.

3. Исследуем знак, где .                    

- критические точки.

  1.  выпуклая   вогнутая

Ответ: 1. при  функция  выпуклая;

           2. при  функция вогнутая.

                                               §3 Асимптоты графика функции

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где , где - значение угла , для которого

при  или  при

Теорема 3.1

Уравнение наклонной асимптоты для функции  имеет вид:  y=kx+b, где ,        .

Пример 3.1

Функция y= имеет две асимптоты y=x и y=0.

В полярной системе координат это уравнение имеет вид:

k=         b=

В полярной системе координат уравнение наклонной асимптоты функции y= имеет вид:  y=kx+b, где  k= и b=                         

§4 Пример

Исследовать функцию  в полярной системе координат. (Определить возрастание и убывание, найти наклонную асимптоту функции.)

Решение.1. Определим возрастание и убывание функции. По формуле (1.6), имеем:  и

Найдем О.Д.З. функции:

             

        

   О.Д.З.      О.Д.З.           

      

Функция   возрастает при   

                                   убывает при

  1.  Найдем наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где

,  

Ответ: функция  возрастает при   

убывает при . Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y=kx+b, где ,  ..

Заключение

Мы поставили своей целью научиться определять возрастание и убывание функции, точки максимума и минимума, интервалы выпуклости и вогнутости, находить асимптоты и в конечном итоге научились строить графики функций в полярной системе координат. В этой работе выведены формулы и теоремы, которые помогают исследовать функции в полярной системе координат, а также выведено уравнение наклонной асимптоты графика функции , кроме того с помощью наших теорем можно вывести сложные неравенства, связанные с тригонометрией.

В дальнейшем нам бы хотелось предоставить больше примеров, в которых находят применение формулы, выведенные в этой работе.

Литература

1. Н.Я.Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.-М.: Просвещение, 1995.-334 с.

2. А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-10 классов средней школы.-М.: Просвещение, 1986.-334 с.

3. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.: Наука, 1984.-831 с.


EMBED Equation.3  

                                                                                                       

       

     

                                                                                                       

       

     

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85304. Народная художественная культура как основа современного мирового культурного пространства 55.64 KB
  А что знает об этом современный житель России Какими представляет он себе своих предков какой видит культуру России прошлых веков и тысячелетийС уходом XX века и наступлением следующего столетия ученые вновь заговорили о кризисе и даже исчезновении культуры. Проблема состояния культуры соотношения ее структурных элементов выделения ее лидирующих компонентов приобретает особое значение в глобализирующемся мире где превалирует массовая культура постиндустриального общества. В настоящее время актуальным становится практическое решение...
85305. Образы древней мифологии 40.97 KB
  Греки довольно рано перешли к антропоморфизму создав своих богов по образу и подобию людей при этом наделив их непременными и непреходящими качествами красотой умением принимать любой образ и самое главное бессмертием. Человеческая жизнь неизбежно кончалась смертью боги же были бессмертны и не знали границ в выполнении своих желаний но все равно выше богов была судьба Мойры предопределение изменить которое не мог никто из них. Таким образом греки даже в участи бессмертных богов усматривали их сходство с судьбами...
85306. Основные мифологические циклы: классификация 36.49 KB
  К древнейшим и самым примитивным мифов принадлежали мифы о животных (или зооморфные) и зооантропоморфных мифы. Элементарные из них представляют собой наивное объяснение отдельных признаков животных. Глубоко архаические мифы - о происхождении животных от людей или мифологические представления о том, что люди были когда-то животными.
85307. Системы исходных понятий народной художественной культуры 37.16 KB
  Основными понятиями являются – культура ценности традиция этническая культура. Ценности – первым кто ввел это понятие в научный оборот был польский психолог В. Для большинства исследователей понятие ценности сродни понятию установка. Клакхон – ценностиэто осознанное или неосознанное характерное для индивида или группы индивидов представления о желаемом которое определяет выбор целей с учетом возможных последствий.
85308. Календарные праздники и обряды: структура, функции, художественные элементы 35.95 KB
  Основные зимние праздники приходились на январь. Дети девушки и парни под Рождество ходили по домам колядовать Колядовали и в Новый год. Молодежь наряжалась стариками и старухами цыганами гусарами; мазали лица сажей надевали вывороченные наизнанку шубы и ходили по деревне подшучивая над всеми разыгрывая сценки веселясь. Ходили друг к другу в гости обильно угощались блинами оладьями пирогами была и выпивка.
85309. Календарные праздники и обряды на Руси; их связь с зимним и летним солнцеворотами; весенним и осенним равноденствием; с циклами сельскохозяйственных работ; с языческими и христианскими основами веры 35 KB
  Важнейшие на Руси языческие обряды и праздники были слиты с земледельческим трудом с жизнью природы а значит с мифологическими олицетворениями природных сил. Первыми еще в глубокой древности возникли праздники связанные с земледельческим календарем предков восточных славян. Начинаясь в декабре когда солнце поворачивается на лето предвещая скорое пробуждение кормилицы материземли от зимнего сна и заканчиваясь осенью с завершением уборки урожая праздники составляли целостный календарный цикл.
85310. Система церковных праздников 35.79 KB
  Среди двунадесятых праздников три подвижных: Вход Господень в Иерусалим за неделю до Пасхи Вербное воскресенье Вознесение Господне Вознесение в 40й день по Пасхе и день Святой Троицы Пятидесятница Троица в 50й день по Пасхе. Неподвижные великие праздники: Крещение Господне Богоявление Водокрещи Иордань 619 января; Сретение Господне Сретение 215 февраля; Благовещение Пресвятой Богородицы Благовещенье 25 марта 7 апреля; Преображение Господне второй Спас Спас на горе средний Спас Спас яблочный 619...
85311. Классификация традиционных календарных праздников и обрядов русского народа 37.14 KB
  Расписное яйцо было столь важным атрибутом обрядов что длительное время примерно с Х века держался обычай пользоваться специально изготовленными керамическими разукрашенными яйцами писанками. Для землепашца это время критическое все что мог он на полях сделал брошенное зерно дало всходы теперь все зависело от природы а значит от прихоти управляющих природными стихиями существ. И ожидали в это время от русалок не только шалостей и козней но и орошения полей живительной влагой способствующей колошению хлебов. Во время праздника...
85312. Функции фольклора 29.24 KB
  Функции фольклора в целом и отдельных его жанров не могли не изменяться в зависимости от общих изменений структуры всей духовной культуры от типа соотношения фольклорных и условно говоря ldquo;нефольклорныхrdquo; форм и видов духовной культуры. Важнейшие общественные функции фольклора функции народной истории народной философии народной социологии.