50545

Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

Лабораторная работа

Физика

Составить интервальную таблицу частот статистический интервальный ряд распределения: а Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов: 107; 108 108; 109 и т. Строки 13 Таблицы 2 называют статистическим интервальным рядом распределения. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Русский

2014-01-25

95.5 KB

7 чел.

4

ЛАБОРАТОРНАЯ   РАБОТА  № 1

ТЕМА: Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

ЦЕЛЬ: Изучить статистические закономерности распределения случайных отклонений величины сопротивления резисторов от их номинала

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Например, если имеется партия резисторов, то качественным признаком может служить стандартность резистора, а количественным - контролируемое сопротивление резистора.

Изучение случайной величины связано с выполнением ряда независимых опытов (измерений), в которых она принимает определённые значения. Полученные опытные значения случайной величины представляют простой статистический ряд.

Генеральной совокупностью называют совокупность, включающая в себя все члены или объекты данной статистической совокупности, которые могут быть отнесены к этой совокупности.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов.

Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 резисторов отобрали для обследования 100, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

Пусть для изучения количественного признака R (сопротивления резисторов) из генеральной совокупности извлекается выборка  R1, R2, R3, …, Ri ,… объемом, равным n. Наблюдавшиеся значения Ri признака R называют вариантами, а последовательность вариант,  записанную в возрастающем порядке, вариационным рядом.

Число mi наблюдений некоторого признака R = Ri называют частотами, а их отношение к объему выборки n - относительными частотами: .

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

В случае большого количества вариант и непрерывности признака статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для этого весь диапазон значений случайных величин разбивают на k интервалов. Число интервалов определяют по формуле СТЕРДЖЕССА.

k = 1 + 3,333 lg n,

где n – объем выборки.

Ширину интервала находят по формуле: .

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Измерены сопротивления 100 резисторов одинакового номинала. Данные занесены в Таблицу 1 в порядке возрастания сопротивления.

Таблица 1.

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

1

107,5

21

109,1

41

110,0

61

110,8

81

111,5

2

107,7

22

109,2

42

110,0

62

110,8

82

111,5

3

108,0

23

109,3

43

110,1

63

110,8

83

111,6

4

108,1

24

109,3

44

110,1

64

110,8

84

111,8

5

108,2

25

109,4

45

110,1

65

110,8

85

111,9

6

108,2

26

109,4

46

110,2

66

110,9

86

111,9

7

108,3

27

109,4

47

110,2

67

111,0

87

111,9

8

108,4

28

109,6

48

110,2

68

111,0

88

112,0

9

108,5

29

109,6

49

110,2

69

111,0

89

112,1

10

108,5

30

109,6

50

110,2

70

111,1

90

112,1

11

108,7

31

109,6

51

110,3

71

111,2

91

112,1

12

108,8

32

109,6

52

110,3

72

111,2

92

112,2

13

109,0

33

109,7

53

110,3

73

111,2

93

112,3

14

109,0

34

109,7

54

110,3

74

111,3

94

112,4

15

109,0

35

109,8

55

110,4

75

111,3

95

112,5

16

109,0

36

109,8

56

110,4

76

111,3

96

112,5

17

109,0

37

109,9

57

110,5

77

111,4

97

112,9

18

109,0

38

110,0

58

110,5

78

111,4

98

112,9

19

109,0

39

110,0

59

110,5

79

111,5

99

113,3

20

109,1

40

110,0

60

110,6

80

111,5

100

113,5

1. Составить интервальную таблицу частот (статистический интервальный ряд распределения):

а) Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов:

[107; 108),         

[108; 109) и т.д.

Для удобства последующей обработки полученное значение k можно округлить до целых.

б) Подсчитать число случайных величин вошедших в каждый интервал (определить частоту событий mi).

в) Найти относительную частоту событий: .

г) Данные занести в Таблицу 2 (строки 1-3). Строки 1-3 Таблицы 2 называют статистическим интервальным рядом распределения.

2. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Для  построения гистограммы в прямоугольной системе координат на каждом интервале следует построить прямоугольник, площадь которого равна  – относительной частоте данного интервала. Для этого основание прямоугольника, в выбранном масштабе, должно быть равно длине интервала, а его высота (hi) – относительной  частоте, деленной на длину интервала.

 - плотность относительной частоты

Значения hi занести в Таблицу 2 (строка 4).

Таблица 2.

1

[R0; R1)

[R1; R2)

[Rk-1; Rk]

2

mi

3

4

5

6

Zi

7

(Zi)

8

По данным строк 1 и 4 в выбранном масштабе построить гистограмму (см. рис. 1).

 

    

            107  108  109    110     111    112   113   114                                      R, Ом

Рис. 1

Всю совокупность  полученных полосок  ограничим сверху  ломаной  ступенчатой линией. Эта линия и называется гистограммой и характеризует распределение результатов данной серии наблюдений. Площадь всех прямоугольников будет равна единице, т.е. .

3. Для определения закона распределения случайной величины предположим, что случайная величина R подчиняется нормальному закону, т.е. её плотность распределения её вероятности задается формулой:

Один из методов определения неизвестных параметров состоит в том, что их выбирают таким образом, чтобы математическое ожидание было равно выборочному среднему значению, а среднее квадратичное выборочному среднему квадратичному, т.е.  = ;  = в.

Тогда функция распределения примет вид:

4. Определить  для каждого интервала и внести значения в строку 5 Таблицы 2. Значения  можно получить как середины рассматриваемых промежутков, тем самым формально заменяя интервальный ряд дискретным.

5. По следующей формуле определить  для всей выборки, т. е. искомое :

6. Определить выборочное среднее квадратическое отклонение:

7. Для определения частных значений функции распределения  следует предварительно вычислить значение Zi по формуле:

и занести в строку 6 Таблицы 2.

С учетом известных Zi функция распределения примет вид:

8. Выделим функцию , тогда .

Значения функции  определить из таблицы Приложения 1 (Лобоцкая Н. Л. Высшая математика, 1987 – стр. 295) и поместить в соответствующую строку Таблицы 2.

9. Определить значение функции

и заполнить последнюю строку таблицы.

10. По данным строк 5 и 8 Таблицы 2 в координатных осях рисунка 1 построить точки с координатами (; ) и соединить их плавной кривой.

11. Сравнить площади под гистограммой и кривой распределения, сделать заключения о характере распределения исследуемой случайной величины.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76418. Типовые сигналы 139.87 KB
  Дельтафункция является четной функцией между функцией Хэвисайда и Дирака существует связь выраженная соотношением: или На практике считается что на вход объекта подана функция функция если время действия прямоугольно го импульса намного меньше времени переходного процесса. Сдвинутые элементарные функции К этим функциям относятся функции Хевисайда и Дирака с запаздыванием т. и Рисунок 4 при этом Все...
76419. Типовые динамические звенья 34.53 KB
  Преобразуемая физическая величина поступающая на вход динамического звена называется входной х а преобразованная величина получаемая на выходе звена выходнойy. Статической характеристикой звена называется зависимость между его выходной и входной величинами в установившемся состоянии. Динамические свойства звена могут быть определены на основании дифференциального уравнения описывающего поведение звена в переходном режиме. Решение дифференциального уравнения дает возможность получить переходную или иначе временную характеристику...
76420. Минимально фазовые и не минимально фазовые звенья 21.74 KB
  Если в передаточной функции произвести замену то получаем называемое частотной характеристикой звена частотный коэффициент передачи звена. Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Если хотя бы один из корней звена расположен справа то такое звено не минимально фазовое звено.
76421. Интегрирующие и дифференцирующие динамические звенья и их характеристики 24.88 KB
  В этом случае для установившегося режима будет справедливым равенство откуда и произошло название этого типа звеньев. Такое звено является идеализацией реальных интегрирующих звеньев. Примерами идеальных интегрирующих звеньев могут служить операционный усилитель в режиме интегрирования гидравлический двигатель емкость и др. Дифференцирующие звенья В звеньях дифференцирующего типа линейной зависимостью связаны в установившемся режиме выходная величина и производная входной откуда и произошло название этого типа звеньев.
76422. Апериодическое звено 39.34 KB
  Временные характеристики Переходная функция: Весовая функция: Передаточная функция Передаточная функция апериодического звена 1го порядка получается путем применения к дифференциальному уравнению свойства дифференцирования оригинала преобразования Лапласа: . В целом считается что почти любой объект управления в первом приближении очень грубо можно описать апериодическим звеном 1го порядка.[1] Апериодическое звено второго порядка Уравнение апериодического звена 2го порядка имеет вид Передаточная функция апериодического звена 2го...
76423. Форсирующее звено первого порядка 30.34 KB
  Передаточную функцию форсирующего звена можно представить как сумму передаточных функций идеального дифференцирующего и пропорционального звена. Уравнение звена. ЛАЧХ и ЛФЧХ Асимптотическая ЛАЧХ форсирующего звена состоит из двух прямых. Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена для.
76424. Колебательное звено 120.05 KB
  Колебания будут затухать с течением времени т. В автоматических системах различают свободные и вынужденные колебания. Вынужденные колебания выходной величины звена возникают из-за колебаний воздействия например при синусоидальном воздействии. Колебания переходной функции колебательного звена это свободные колебания: воздействие на звено не периодическое а колебания возникают из-за собственных колебательных свойств звена.
76425. Запаздывающее звено и его свойства 45.78 KB
  Переходную функцию звена получим решив уравнение. Переходная характеристика звена приведена на рисунке. Переходная характеристика запаздывающего звена Импульсная переходная функция запаздывающего звена имеет вид: Импульсная переходная характеристика запаздывающего звена представлена...
76426. Виды соединений звеньев САУ 50.49 KB
  Соединение звеньев в САУ может выполняться в 3-х основных формах: последовательная, параллельная и соединение с обратной связью. Последовательное соединение звеньев (a)