50545

Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

Лабораторная работа

Физика

Составить интервальную таблицу частот статистический интервальный ряд распределения: а Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов: 107; 108 108; 109 и т. Строки 13 Таблицы 2 называют статистическим интервальным рядом распределения. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Русский

2014-01-25

95.5 KB

7 чел.

4

ЛАБОРАТОРНАЯ   РАБОТА  № 1

ТЕМА: Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

ЦЕЛЬ: Изучить статистические закономерности распределения случайных отклонений величины сопротивления резисторов от их номинала

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Например, если имеется партия резисторов, то качественным признаком может служить стандартность резистора, а количественным - контролируемое сопротивление резистора.

Изучение случайной величины связано с выполнением ряда независимых опытов (измерений), в которых она принимает определённые значения. Полученные опытные значения случайной величины представляют простой статистический ряд.

Генеральной совокупностью называют совокупность, включающая в себя все члены или объекты данной статистической совокупности, которые могут быть отнесены к этой совокупности.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов.

Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 резисторов отобрали для обследования 100, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

Пусть для изучения количественного признака R (сопротивления резисторов) из генеральной совокупности извлекается выборка  R1, R2, R3, …, Ri ,… объемом, равным n. Наблюдавшиеся значения Ri признака R называют вариантами, а последовательность вариант,  записанную в возрастающем порядке, вариационным рядом.

Число mi наблюдений некоторого признака R = Ri называют частотами, а их отношение к объему выборки n - относительными частотами: .

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

В случае большого количества вариант и непрерывности признака статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для этого весь диапазон значений случайных величин разбивают на k интервалов. Число интервалов определяют по формуле СТЕРДЖЕССА.

k = 1 + 3,333 lg n,

где n – объем выборки.

Ширину интервала находят по формуле: .

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Измерены сопротивления 100 резисторов одинакового номинала. Данные занесены в Таблицу 1 в порядке возрастания сопротивления.

Таблица 1.

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

1

107,5

21

109,1

41

110,0

61

110,8

81

111,5

2

107,7

22

109,2

42

110,0

62

110,8

82

111,5

3

108,0

23

109,3

43

110,1

63

110,8

83

111,6

4

108,1

24

109,3

44

110,1

64

110,8

84

111,8

5

108,2

25

109,4

45

110,1

65

110,8

85

111,9

6

108,2

26

109,4

46

110,2

66

110,9

86

111,9

7

108,3

27

109,4

47

110,2

67

111,0

87

111,9

8

108,4

28

109,6

48

110,2

68

111,0

88

112,0

9

108,5

29

109,6

49

110,2

69

111,0

89

112,1

10

108,5

30

109,6

50

110,2

70

111,1

90

112,1

11

108,7

31

109,6

51

110,3

71

111,2

91

112,1

12

108,8

32

109,6

52

110,3

72

111,2

92

112,2

13

109,0

33

109,7

53

110,3

73

111,2

93

112,3

14

109,0

34

109,7

54

110,3

74

111,3

94

112,4

15

109,0

35

109,8

55

110,4

75

111,3

95

112,5

16

109,0

36

109,8

56

110,4

76

111,3

96

112,5

17

109,0

37

109,9

57

110,5

77

111,4

97

112,9

18

109,0

38

110,0

58

110,5

78

111,4

98

112,9

19

109,0

39

110,0

59

110,5

79

111,5

99

113,3

20

109,1

40

110,0

60

110,6

80

111,5

100

113,5

1. Составить интервальную таблицу частот (статистический интервальный ряд распределения):

а) Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов:

[107; 108),         

[108; 109) и т.д.

Для удобства последующей обработки полученное значение k можно округлить до целых.

б) Подсчитать число случайных величин вошедших в каждый интервал (определить частоту событий mi).

в) Найти относительную частоту событий: .

г) Данные занести в Таблицу 2 (строки 1-3). Строки 1-3 Таблицы 2 называют статистическим интервальным рядом распределения.

2. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Для  построения гистограммы в прямоугольной системе координат на каждом интервале следует построить прямоугольник, площадь которого равна  – относительной частоте данного интервала. Для этого основание прямоугольника, в выбранном масштабе, должно быть равно длине интервала, а его высота (hi) – относительной  частоте, деленной на длину интервала.

 - плотность относительной частоты

Значения hi занести в Таблицу 2 (строка 4).

Таблица 2.

1

[R0; R1)

[R1; R2)

[Rk-1; Rk]

2

mi

3

4

5

6

Zi

7

(Zi)

8

По данным строк 1 и 4 в выбранном масштабе построить гистограмму (см. рис. 1).

 

    

            107  108  109    110     111    112   113   114                                      R, Ом

Рис. 1

Всю совокупность  полученных полосок  ограничим сверху  ломаной  ступенчатой линией. Эта линия и называется гистограммой и характеризует распределение результатов данной серии наблюдений. Площадь всех прямоугольников будет равна единице, т.е. .

3. Для определения закона распределения случайной величины предположим, что случайная величина R подчиняется нормальному закону, т.е. её плотность распределения её вероятности задается формулой:

Один из методов определения неизвестных параметров состоит в том, что их выбирают таким образом, чтобы математическое ожидание было равно выборочному среднему значению, а среднее квадратичное выборочному среднему квадратичному, т.е.  = ;  = в.

Тогда функция распределения примет вид:

4. Определить  для каждого интервала и внести значения в строку 5 Таблицы 2. Значения  можно получить как середины рассматриваемых промежутков, тем самым формально заменяя интервальный ряд дискретным.

5. По следующей формуле определить  для всей выборки, т. е. искомое :

6. Определить выборочное среднее квадратическое отклонение:

7. Для определения частных значений функции распределения  следует предварительно вычислить значение Zi по формуле:

и занести в строку 6 Таблицы 2.

С учетом известных Zi функция распределения примет вид:

8. Выделим функцию , тогда .

Значения функции  определить из таблицы Приложения 1 (Лобоцкая Н. Л. Высшая математика, 1987 – стр. 295) и поместить в соответствующую строку Таблицы 2.

9. Определить значение функции

и заполнить последнюю строку таблицы.

10. По данным строк 5 и 8 Таблицы 2 в координатных осях рисунка 1 построить точки с координатами (; ) и соединить их плавной кривой.

11. Сравнить площади под гистограммой и кривой распределения, сделать заключения о характере распределения исследуемой случайной величины.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78190. Графы. Алгоритмы на графах 224.61 KB
  Геометрическое - графом называется фигура, состоящая из точек (называемых вершинами) и отрезков, соединяющих некоторые из этих вершин. Соединяющие отрезки могут быть направленными (дугами), ненаправленными (ребрами)
78191. Алгоритмы поиска кратчайших расстояний в графе 194.5 KB
  Требуется посетить все вершины графа и вернуться в исходную вершину минимизировав затраты на проезд или минимизировав время. Исходные данные это граф дугам которого приписаны положительные числа затраты на проезд или время необходимое для продвижения из одной вершины в другую. В общем случае граф является ориентированным и каждые две вершины соединяют две дуги туда и обратно. Пусть требуется найти расстояния от 1й вершины до всех остальных.
78192. Алгоритмы поиска с возвращением 87.5 KB
  Рассмотрим общий случай, когда решение задачи имеет вид вектора (а1, а2,), длина которого не определена, но ограничена сверху некоторым (известным или неизвестным) числом r, а каждое аi является элементом некоторого конечного линейно упорядоченного множества
78193. Типы файлов. Организация файловой системы. Текстовые файлы. Нетипизированные файлы 109.5 KB
  В Паскале понятие файла употребляется в двух смыслах: как поименованная информация на внешнем устройстве внешний файл; как переменная файлового типа в Паскальпрограмме внутренний файл. С элементами файла можно выполнять только две операции: читать из файла и записывать в файл. Существует специальная ячейка памяти которая хранит адрес элемента файла предназначенного для текущей обработки записи или чтения. Этот адрес называется указателем или окном файла.
78195. Элементы системного программирования. Прерывания. Резидентные программы 118 KB
  Системным программированием называют разработку программ, которые выполняют действия, возлагаемые на ОС. Это операции с файлами, управление выполнением программ, работа с устройствами и т.д.
78196. Объектно-ориентированное программирование: объект, наследование, инкапсуляция, полиморфизм 117.5 KB
  Объекты представляют собою упрощенное, идеализированное описание реальных сущностей предметной области. Если соответствующие модели адекватны решаемой задаче, то работать с ними оказывается намного удобнее, чем с низкоуровневым описанием всех возможных свойств и реакций объекта.
78197. Инициализация и разрушение объектов. Виртуальная функция 68.5 KB
  В программе концепция полиморфизма реализуется при помощи виртуальных методов. Виртуальный метод объявляется в базовом объектном типе и в порожденных от базового типах. После его объявления должно быть помещено зарезервированное слово virtual.
78198. Массивы в С# 94.5 KB
  В языке С# массив относится к ссылочным типам данных, то есть располагается только в динамической памяти, поэтому создание массива начинается с выделения памяти под его элементы. Всем элементам при создании массива присваиваются значения по умолчанию – нули для значимых типов, и null для ссылочных.