50545

Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

Лабораторная работа

Физика

Составить интервальную таблицу частот статистический интервальный ряд распределения: а Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов: 107; 108 108; 109 и т. Строки 13 Таблицы 2 называют статистическим интервальным рядом распределения. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Русский

2014-01-25

95.5 KB

7 чел.

4

ЛАБОРАТОРНАЯ   РАБОТА  № 1

ТЕМА: Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

ЦЕЛЬ: Изучить статистические закономерности распределения случайных отклонений величины сопротивления резисторов от их номинала

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Например, если имеется партия резисторов, то качественным признаком может служить стандартность резистора, а количественным - контролируемое сопротивление резистора.

Изучение случайной величины связано с выполнением ряда независимых опытов (измерений), в которых она принимает определённые значения. Полученные опытные значения случайной величины представляют простой статистический ряд.

Генеральной совокупностью называют совокупность, включающая в себя все члены или объекты данной статистической совокупности, которые могут быть отнесены к этой совокупности.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов.

Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 резисторов отобрали для обследования 100, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

Пусть для изучения количественного признака R (сопротивления резисторов) из генеральной совокупности извлекается выборка  R1, R2, R3, …, Ri ,… объемом, равным n. Наблюдавшиеся значения Ri признака R называют вариантами, а последовательность вариант,  записанную в возрастающем порядке, вариационным рядом.

Число mi наблюдений некоторого признака R = Ri называют частотами, а их отношение к объему выборки n - относительными частотами: .

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

В случае большого количества вариант и непрерывности признака статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для этого весь диапазон значений случайных величин разбивают на k интервалов. Число интервалов определяют по формуле СТЕРДЖЕССА.

k = 1 + 3,333 lg n,

где n – объем выборки.

Ширину интервала находят по формуле: .

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Измерены сопротивления 100 резисторов одинакового номинала. Данные занесены в Таблицу 1 в порядке возрастания сопротивления.

Таблица 1.

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

1

107,5

21

109,1

41

110,0

61

110,8

81

111,5

2

107,7

22

109,2

42

110,0

62

110,8

82

111,5

3

108,0

23

109,3

43

110,1

63

110,8

83

111,6

4

108,1

24

109,3

44

110,1

64

110,8

84

111,8

5

108,2

25

109,4

45

110,1

65

110,8

85

111,9

6

108,2

26

109,4

46

110,2

66

110,9

86

111,9

7

108,3

27

109,4

47

110,2

67

111,0

87

111,9

8

108,4

28

109,6

48

110,2

68

111,0

88

112,0

9

108,5

29

109,6

49

110,2

69

111,0

89

112,1

10

108,5

30

109,6

50

110,2

70

111,1

90

112,1

11

108,7

31

109,6

51

110,3

71

111,2

91

112,1

12

108,8

32

109,6

52

110,3

72

111,2

92

112,2

13

109,0

33

109,7

53

110,3

73

111,2

93

112,3

14

109,0

34

109,7

54

110,3

74

111,3

94

112,4

15

109,0

35

109,8

55

110,4

75

111,3

95

112,5

16

109,0

36

109,8

56

110,4

76

111,3

96

112,5

17

109,0

37

109,9

57

110,5

77

111,4

97

112,9

18

109,0

38

110,0

58

110,5

78

111,4

98

112,9

19

109,0

39

110,0

59

110,5

79

111,5

99

113,3

20

109,1

40

110,0

60

110,6

80

111,5

100

113,5

1. Составить интервальную таблицу частот (статистический интервальный ряд распределения):

а) Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов:

[107; 108),         

[108; 109) и т.д.

Для удобства последующей обработки полученное значение k можно округлить до целых.

б) Подсчитать число случайных величин вошедших в каждый интервал (определить частоту событий mi).

в) Найти относительную частоту событий: .

г) Данные занести в Таблицу 2 (строки 1-3). Строки 1-3 Таблицы 2 называют статистическим интервальным рядом распределения.

2. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Для  построения гистограммы в прямоугольной системе координат на каждом интервале следует построить прямоугольник, площадь которого равна  – относительной частоте данного интервала. Для этого основание прямоугольника, в выбранном масштабе, должно быть равно длине интервала, а его высота (hi) – относительной  частоте, деленной на длину интервала.

 - плотность относительной частоты

Значения hi занести в Таблицу 2 (строка 4).

Таблица 2.

1

[R0; R1)

[R1; R2)

[Rk-1; Rk]

2

mi

3

4

5

6

Zi

7

(Zi)

8

По данным строк 1 и 4 в выбранном масштабе построить гистограмму (см. рис. 1).

 

    

            107  108  109    110     111    112   113   114                                      R, Ом

Рис. 1

Всю совокупность  полученных полосок  ограничим сверху  ломаной  ступенчатой линией. Эта линия и называется гистограммой и характеризует распределение результатов данной серии наблюдений. Площадь всех прямоугольников будет равна единице, т.е. .

3. Для определения закона распределения случайной величины предположим, что случайная величина R подчиняется нормальному закону, т.е. её плотность распределения её вероятности задается формулой:

Один из методов определения неизвестных параметров состоит в том, что их выбирают таким образом, чтобы математическое ожидание было равно выборочному среднему значению, а среднее квадратичное выборочному среднему квадратичному, т.е.  = ;  = в.

Тогда функция распределения примет вид:

4. Определить  для каждого интервала и внести значения в строку 5 Таблицы 2. Значения  можно получить как середины рассматриваемых промежутков, тем самым формально заменяя интервальный ряд дискретным.

5. По следующей формуле определить  для всей выборки, т. е. искомое :

6. Определить выборочное среднее квадратическое отклонение:

7. Для определения частных значений функции распределения  следует предварительно вычислить значение Zi по формуле:

и занести в строку 6 Таблицы 2.

С учетом известных Zi функция распределения примет вид:

8. Выделим функцию , тогда .

Значения функции  определить из таблицы Приложения 1 (Лобоцкая Н. Л. Высшая математика, 1987 – стр. 295) и поместить в соответствующую строку Таблицы 2.

9. Определить значение функции

и заполнить последнюю строку таблицы.

10. По данным строк 5 и 8 Таблицы 2 в координатных осях рисунка 1 построить точки с координатами (; ) и соединить их плавной кривой.

11. Сравнить площади под гистограммой и кривой распределения, сделать заключения о характере распределения исследуемой случайной величины.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67991. Навчання в Росії в 11-14 століттях 116.5 KB
  Історичні зведення про російські школи убогі. Аж до XVІІ століття, коли святитель Дмитрій Ростовський влаштував перші народні школи. Істотно те, що характер народної освіти в Руській державі споконвічно складається як церковний і сімейний. Церковним було мистецтво, зачинателем якого став...
67992. Освітня справа доби гетьманату (квітень — грудень 1918 року) 138 KB
  Щоб зрозуміти погляд П. Скоропадського на державу, треба пояснити, у якому середовищі формувався світогляд гетьмана і в якому контексті доводилося йому діяти. Насамперед він був глибоко пов’язаний з історичною традицією. П. Скоропадський належав до старого козацького роду, серед якого був...
67993. Історичні умови, освіта і наука в період українського культурного відродження ХIХ століття 60.5 KB
  У кінці XVIII ст. територія України була розділена між Австрійською (увійшло 20% площі) і Російською (80%) імперіями. До цього часу завершилася ліквідація української державності. В обох імперіях розгалужений бюрократичний апарат повністю контролював всі сторони життя суспільства.
67994. РОЗВИТОК ШКОЛИ Й ПЕДАГОГІЧНОЇ ДУМКИ НА БУКОВИНІ 129.5 KB
  Еволюція українського шкільництва й педагогічної думки Буковини протікала в загальнонаціональному руслі історії України й належить до цінних надбань виховної культури українського народу. Тим більше, що на цій предковічній території з давніх часів жили українські племена, переважно тиверці та уличі.
67995. Основные физические и логические параметры жестких дисков 23.33 KB
  Все накопители так или иначе соответствуют стандартам, определяемым либо независимыми комитетами и группами стандартизации, либо самими производителями. Среди множества технических характеристик отличающих одну модель от другой можно выделить некоторые, наиболее важные с точки зрения...
67998. Захаров Сергей Александрович 1.4 MB
  Сергей Александрович Захаров, доктор почвенных и сельскохозяйственных наук, прожил 71 год (1878–1949). Во время жизни ученого в России проводились буржуазные реформы. Освобождение крепостных крестьян 1861г. способствовало не только развитию капитализма в России...
67999. Парламентська реформа 1832 р. в Англії на початок чартистського руху 33 KB
  Безпосередньою причиною, яка дала поштовх зародженню чартизму, стали кризи 1825 та 1836 років і утворене ними безробіття 1825—1830 та 1836—1840 років, яке поширювалося переважно в на Ланкаширі. Криза викинула на ринок десятки тисяч робочих рук і значно знизила заробітню плату інших.