50572

КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Лабораторная работа

Физика

Найти зависимость от времени радиусвектора частицы вектора ее мгновенной скорости и векторов полного нормального и тангенциального ускорений. Определить в этот момент времени радиусвектор частицы вектор ее мгновенной скорости и средней скорости а также векторы полного нормального и тангенциального ускорений радиус кривизны траектории и показать их на графике в самостоятельно выбранном масштабе. Найти зависимость от времени радиусвектора частицы вектора ее мгновенной скорости и векторов полного тангенциального и нормального...

Русский

2014-01-26

1.12 MB

14 чел.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ 1 «КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ»

Зависимость координат частицы от времени t указана в таблице вариантов (1).

1. Найти зависимость от времени радиус-вектора частицы, вектора ее мгновенной скорости и векторов полного, нормального и тангенциального ускорений.

2. Записать уравнение траектории  и построить ее в плоскости  за промежуток времени , выбранный самостоятельно. Определить в этот момент времени радиус-вектор частицы, вектор ее мгновенной скорости и средней скорости, а также векторы полного, нормального и тангенциального ускорений, радиус кривизны траектории и показать их на графике в самостоятельно выбранном масштабе. Определить путь, пройденный частицей за это время.

Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону .

3. Найти промежуток времени , по истечении которого частица остановится и путь , который она пройдет за это время.

4. Определить время , по истечении которого частица вернется в исходную точку и путь , который она пройдет при этом.

На тело массой , лежащее на горизонтальной плоскости, в течение времени t действует горизонтально направленная сила, зависящая от времени по закону .

5. Найти величину перемещения тела по горизонтали от начала движения до момента остановки. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен .

В стену на высоте  вмонтирован под углом  к горизонту стержень AD длиной L, по которому может свободно скользить шарик массой  со сквозным отверстием. Между шариком и стеной на стержне находится пружина длиной , не прикрепленная к шарику. Длина пружины в сжатом состоянии . Трение между шариком и стержнем отсутствует.

6. На каком расстоянии  от стенки упадет шарик после соскальзывания со стержня?

На тело массой , лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, действует сила, зависящая от времени по закону  и направленная под углом  к горизонту.

7. Найти дальность полета и высоту подъема тела.

В стену на высоте  вмонтирован под углом  к горизонту стержень AD длиной L, по которому может свободно скользить шарик массой  со сквозным отверстием. Между шариком и стеной на стержне находится пружина длиной , не прикрепленная к шарику. Длина пружины в сжатом состоянии . Коэффициент трения между шариком и стержнем равен .

8. На каком расстоянии от стенки упадет шарик после соскальзывания со стержня?

В стену на высоте  вмонтирован под углом  к горизонту стержень AD длиной L, по которому может свободно скользить шарик массой  со сквозным отверстием. Между шариком и стеной на стержне находится пружина длиной , не прикрепленная к шарику. Длина пружины в сжатом состоянии . Коэффициент трения между шариком и стержнем равен . Шарику сообщен электрический заряд q Кл. Вся система находится в вертикально направленном магнитном поле с индукцией В Тл.

9. Найти скорость движения шарика в момент соскальзывания со стержня.

10. Определить на каком расстоянии от стенки упадет шарик после соскальзывания со стержня?

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

варианта

L

q

В

Самостоятельно проставьте размерности в таблице исходных данных. варианта равен порядковому номеру студента в журнале группы. Число  задается преподавателем, ведущим занятия.


ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ (1)

N


МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТИПОВОГО РАСЧЕТА 1 «КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ»

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Координаты  и  частицы зависят от времени t следующим образом:  и .

Найти зависимость от времени радиус-вектора частицы, вектора ее мгновенной скорости и векторов полного, тангенциального и нормального ускорений. Записать уравнение траектории движения частицы.

Решение. Радиус-вектор частицы запишется в соответствии с формулой (1.1):

.

Вектор мгновенной скорости запишется в виде:

.

Вектор полного ускорения равен

.

Вектор тангенциального ускорения вычисляем по формуле

.

Вектор нормального ускорения находим из соотношения

Уравнение траектории получается посредством исключения переменной  из исходной системы уравнений. Вначале из уравнения для координаты  выражаем время: и подставляем это значение в уравнение для координаты. В результате получим уравнение траектории: .

2. На тело массой m кг, лежащее на горизонтальной плоскости с коэффициентом трения , действует в течение времени t горизонтально направленная сила, величина которой увеличивается пропорционально времени.

Íàéòè величину скорость движения до момента прекращения действия силы.

Решение. Вначале тело движется под действием силы , силы тяжести , силы трения скольжения  и силы реакции опоры . Согласно второму закону Ньютона, ðåçóëüòèðóþùàÿ этих сил придает телу ускорение :

,

где — масса тела. Проецируя предыдущее уравнение на оси координат, получим

,

.

Уравнение, представляющее проекцию на ось ОХ, перепишем в виде

,

(где  имеет размерность Н/с). Выражая из уравнения, представляющего проекцию на ось ОУ, величину силы реакции опоры N, и подставляя его в предыдущее уравнение, приведем его к виду, удобному для интегрирования:

.

После интегрирования получим

,

где  — постоянная интегрирования. Применяя начальные условия:  при , находим, что . Следовательно скорость движения до момента прекращения действия силы равна:

.

3. В стену на высоте  вмонтирован под углом  к горизонту стержень AD длиной L, по которому может свободно скользить шарик со сквозным отверстием. Между шариком и стеной на стержне находится пружина длиной , не прикрепленная к шарику. Длина пружины в сжатом состоянии .

Определить значение скорости шарика в момент отрыва от пружины.

Решение. До отрыва от пружины шарик движется под действием силы упругости , силы тяжести  и силы реакции опоры . Согласно второму закону Ньютона, ðåçóëüòèðóþùàÿ этих сил придает телу ускорение :

.

где — масса шарика. Составляя проекции этого уравнения на оси координат, получим

,

.

Сила упругости, согласно закону Гука, пропорциональна величине деформации пружины, которая в нашем случае равна , где x — координата шарика (величиной радиуса шарика в данном случае можно пренебречь). Уравнение, представляющее проекцию на ось ОХ, запишется в виде

Последнее уравнение перепишем

откуда после несложных преобразований получим уравнение, пригодное для интегрирования:

После интегрирования получим, что

Применяя начальные условия:  при , находим, что  Следовательно скорость движения до отрыва зависит от координаты шарика следующим образом:

Подставляя вместо координаты значение длины ненагруженной пружины получим значение скорости шарика в момент отрыва от пружины:

ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК (1)

Механическим движением называется изменение положения тела относительно других тел1 с течением времени.

Положение тела, которое можно считать материальной точкой2, указывается при помощи радиуса-вектора , соединяющего начало системы координат с данной точкой:

,                                                                                                               (1.1)

где:  —единичные векторы (орты), направленные вдоль соответствующих осей координат; — время. Проекции радиуса-вектора на оси координат определяют координаты  данной точки.

Модуль радиуса-вектора, его величина вычисляется по формуле:

.                                                                                                               (1.2)

Направление радиуса-вектора задается углами , которые он составляет с осями координат  Эти углы определяются при помощи так называемых направляющих косинусов:

                    (1.3)

При изменении положения точки в пространстве, ее координаты и радиус-вектор некоторым образом зависят от времени:   В этом случае зависимости вида

.                                                                                                 (1.4)

называют кинематическими законами движения точки. Если исключить время из уравнений (1.4), то получим уравнение траектории:                                        .                                                                                           (1.5)

Траекторией называют, воображаемую линии вдоль которой движется тело. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности, криволинейное движение и т. п.

Расстояние между двумя точками определяется по формуле:

,                                                            (1.6)

где , ,  — изменения координат материальной точки.

Вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории, называют перемещением:

.                                                         (1.7)

Модуль вектора перемещения определяется по формуле (1.6), а его направление — при помощи направляющих косинусов:

.                                               (1.8)

Изменение перемещения точки характеризуется вектором мгновенной скорости, который находится как производная от радиуса-вектора по времени3

                                                                   (1.9)

Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории движения точки и показывает как быстро и в каком направлении она движется. Вектор мгновенной скорости материальной точки и ее радиус-вектор всегда взаимноперпендикулярны.

Модуль вектора мгновенной скорости, ее величина, вычисляется по формуле:

,                                                                            (1.10)

где ,  и  — компоненты вектора мгновенной скорости вдоль соответствующих осей координат.

Направление вектора мгновенной скорости определяется при помощи направляющих косинусов:

.                                                 (1.11)

где  — углы между вектором мгновенной скорости  и координатными осями

Средняя скорость  за время от  до  находится по формуле:

,                                                          (1.12)

где  —вектор перемещения точки за то же время. Из предыдущей формулы следует, что перемещение можно выразить через мгновенную и среднюю скорость:

.                                                                (1.13)

Длина траектории, т.е. расстояние между двумя точками траектории, отсчитанное вдоль траектории, называется путем. При смещении точки на бесконечно малую величину вдоль траектории, ее путь совпадает с расстоянием между этими точками:

.

Поделив предыдущее равенство на промежуток времени , в течение которого произошло смещение точки, и, проинтегрировав полученное выражение по времени от  до , найдем, что в общем случае путь определяется по формуле:

.                                                                            (1.14)

Изменение вектора мгновенной скорости характеризуется вектором мгновенного ускорения, который находится как производная от вектора скорости по времени и показывает как быстро и в каком направлении происходит изменение вектора мгновенной скорости:

.                                                                               (1.15)

Модуль вектора мгновенного ускорения вычисляется следующим образом:

,                                                                                 (1.16)

где ,  и  — компоненты мгновенного ускорения вдоль соответствующих осей координат.

Направляющие косинусы позволяют определить направление вектора полного ускорения:

                      (1.17)

где  — углы между вектором полного ускорения  и координатными осями

Зная ускорение, можно определить вектор скорости при помощи неопределенного интеграла

,                                                                                      (1.18)

где  — векторная постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий;  — начальный момент времени.

Зная скорость, можно определить радиус-вектор точки

,                                                                                      (1.19)

где  — векторная постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Таким образом решается прямая задача кинематики.

Полное ускорение характеризует изменение направления и величины скорости. Полное ускорение равно векторной (геометрической) сумме нормального и тангенциального ускорений:

.                                                                                                     (1.20)

Модуль полного ускорения определяется при помощи теоремы Пифагора:

.                                                                                                 (1.21)

Нормальное ускорение показывает скорость измененения направления вектора скорости в данный момент времени:

,                                                                                                      (1.22)

где  — радиус кривизны траектории, равный радиусу соприкасающейся окружности;  — единичный вектор нормали к траетории, направленный в сторону ее вогнутости. Соприкасающейся окружностью называют окружность, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке. Центр такой окружности называют центром кривизны для данной точки траектории, а ее радиус равен радиусу кривизны траектории. Нормальное ускорение направлено в сторону центра соприкасающейся окружности к данной точке траектории со стороны ее вогнутости.

Тангенциальное ускорение показывает скорость изменения величины вектора скорости в данный момент времени. Тангенциальное ускорение направлено вдоль касательной к траетории в данной точке:

                                                                                                       (1.23)

где — модуль мгновенной скорости, а — единичный вектор, сонаправленный вектору скорости. Если >0, то скорость по величине возрастает и вектор тангенциального ускорения сонаправлен с вектором скорости, если <0, то скорость по величине убывает и вектор тангенциального ускорения направлен в противоположную сторону по отношению к вектору скорости. Кроме того, тангенциальное ускорение равно проекции вектора полного ускорения на направление вектора скорости:

,                                                                                                  (1.24)

где  — угол между направлением вектора скорости и вектора ускорения. Поскольку скалярное произведение , то, сравнивая данную формулу с предыдущей, получаем еще одну формулу для вычисления тангенциального ускорения:

.                                                              (1.25)

Второй закон Ньютона гласит, что быстрота изменения вектора импульса  точки равна действующей на тело геометрической сумме сил :

.                                                                                                             (1.26)

Уравнение (1.19) называют уравнением движения материальной точки. В общем случае сила  равна равнодействующей всех сил, действующих на материальную точку: .

Если масса m частицы постоянна, то второй закон Ньютона можно представить в виде

                                                                                                             (1.27)

или

.                                                                                                       (1.28)

Последнее уравнение в случае зависимости  от  дает возможность представить скорость частицы как функцию от времени4:

.                                                                                (1.29)

где  — начальная скорость;  — начальный момент времени;  — конечный момент времени. В случае, если равнодействующая не зависит от времени, из последнего уравнения получается известная из школьного курса физики формула: ,— формула для скорости при равноускоренном движении.

Если равнодействующая зависит только от пространственных координат, то для интегрирования уравнения движения необходимо от дифференцирования по времени перейти к дифференцированию по пространственной координате. Например, для координаты  это можно сделать следующим образом:

                                 (1.30)

тогда второй закон Ньютона в одномерном случае перепишется в виде:

.

Подставляя в это уравнение предыдущее выражение, получим:

.

Разделяя переменные и интегрируя полученное уравнение, находим:

,                                                               (1.31)

где — начальная скорость;  — начальная координата;  — конечная координата.

Типовой расчет и методическое сопровождение составлены В. И. Гладковским.

1 Любое из «других тел» может быть выбрано в качестве тела отсчета. Тело отсчета, снабженное системой координат и часами, называют системой отсчета. Шкалирование координатных осей в физике производится при помощи реальных измерительных инструментов: линеек. Среди всех возможных систем отсчета выделяют особый класс систем отсчета, называемых инерциальными. Ускорение инерциальных систем отсчета рано нулю. Движение в таких системах отчета выглядит наиболее просто.

2 Положение тела в пространстве можно охарактеризовать набором координат, определяющих положение одной какой-либо точки этого тела в том случае, если тело не вращается и у него нет внутренних вращений. Если размеры тела и его форма не играют никакой роли при данных условиях, то в этом случае тело называют материальной точкой.

3 Переход к пределу при  ограничен такими промежутками времени, при которых тело проходит расстояния, соизмеримые с размерами атомов или молекул. Другими словами, понятие производной в физике несколько отличается от соответствующего понятия в математике, где дробление пространства на все меньшие и меньшие участки в принципе возможно до бесконечности.

4 Данное уравнение получается следующим образом. Из предыдущего уравнения выражается дифференциал скорости:  и затем от обеих частей полученного равенства вычисляется определенный интеграл.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7865. Перестрахування та співстрахування 142.5 KB
  Тема 10. Перестрахування та співстрахування План 1. Сутність, теоретичні основи та перспективи перестрахування в Україні 2. Методи перестрахування. 3. Форми проведення перестраху вальних операцій. 4. Співстрахування та механізм його застосування. Ре...
7866. Доходи, витрати і прибуток страховика 91.5 KB
  Тема 11. Доходи, витрати і прибуток страховика План 1. Склад і економічний зміст доходів та витрат страховика. 2. Визначення прибутку страховика. 3. Оподаткування страхових компаній. Рекомендована література Основна: Додатк...
7867. Фінансова надійність страхової компанії 99.5 KB
  Тема 12. Фінансова надійність страхової компанії План 1. Поняття фінансової надійності страховика та її значення. 2. Платоспроможність страховика, умови її забезпечення, оцінка. 3. Інвестиційна стратегія страхових компаній. 4. Превентивна діяльність...
7869. Общие цели и задачи дисциплины психология и педагогика 19.2 KB
  Общие цели и задачи дисциплины психология и педагогика Повышение общей психолого-педагогической культуры, формирование целостного представления о психологических особенностях человека для обеспечения успешности профессиональной деятельности инженеро...
7870. Этапы развития психолого-педагогических наук 19.66 KB
  Этапы развития психолого-педагогических наук План лекции: Древние цивилизации Эпоха средневековья Эпоха возрождения 18-21 век Развитие отечественной психологии и педагогики Древние цивилизации Первоначальные основы образования появились в странах др...
7871. Познавательные психические процессы 36.62 KB
  Познавательные психические процессы План: Понятие опознавательных психических процессов Чувственные формы освоения действительности Рациональные формы освоения действительности Понятие познавательных психических процессов Психологи...
7872. Эмоционально-волевая сфера человека 19.58 KB
  Эмоционально-волевая сфера человека. Чувства и эмоции Виды эмоциональных состояний Воля и волевая регуляция поведения Чувства и эмоции - взаимосвязанные, но различающиеся явления эмоциональной сферы личности. Эмоции - про...
7873. Психология личности. Современные теории личности 29.79 KB
  Психология личности Проблема личности в психологии Современные теории личности Психика и мозг Проблема личности в психологии Психолог Немов выделил соотношение понятий человек (родовое понятие, указывающее на принадлежность к выс...