50572

КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Лабораторная работа

Физика

Найти зависимость от времени радиусвектора частицы вектора ее мгновенной скорости и векторов полного нормального и тангенциального ускорений. Определить в этот момент времени радиусвектор частицы вектор ее мгновенной скорости и средней скорости а также векторы полного нормального и тангенциального ускорений радиус кривизны траектории и показать их на графике в самостоятельно выбранном масштабе. Найти зависимость от времени радиусвектора частицы вектора ее мгновенной скорости и векторов полного тангенциального и нормального...

Русский

2014-01-26

1.12 MB

16 чел.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ 1 «КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ»

Зависимость координат частицы от времени t указана в таблице вариантов (1).

1. Найти зависимость от времени радиус-вектора частицы, вектора ее мгновенной скорости и векторов полного, нормального и тангенциального ускорений.

2. Записать уравнение траектории  и построить ее в плоскости  за промежуток времени , выбранный самостоятельно. Определить в этот момент времени радиус-вектор частицы, вектор ее мгновенной скорости и средней скорости, а также векторы полного, нормального и тангенциального ускорений, радиус кривизны траектории и показать их на графике в самостоятельно выбранном масштабе. Определить путь, пройденный частицей за это время.

Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону .

3. Найти промежуток времени , по истечении которого частица остановится и путь , который она пройдет за это время.

4. Определить время , по истечении которого частица вернется в исходную точку и путь , который она пройдет при этом.

На тело массой , лежащее на горизонтальной плоскости, в течение времени t действует горизонтально направленная сила, зависящая от времени по закону .

5. Найти величину перемещения тела по горизонтали от начала движения до момента остановки. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен .

В стену на высоте  вмонтирован под углом  к горизонту стержень AD длиной L, по которому может свободно скользить шарик массой  со сквозным отверстием. Между шариком и стеной на стержне находится пружина длиной , не прикрепленная к шарику. Длина пружины в сжатом состоянии . Трение между шариком и стержнем отсутствует.

6. На каком расстоянии  от стенки упадет шарик после соскальзывания со стержня?

На тело массой , лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, действует сила, зависящая от времени по закону  и направленная под углом  к горизонту.

7. Найти дальность полета и высоту подъема тела.

В стену на высоте  вмонтирован под углом  к горизонту стержень AD длиной L, по которому может свободно скользить шарик массой  со сквозным отверстием. Между шариком и стеной на стержне находится пружина длиной , не прикрепленная к шарику. Длина пружины в сжатом состоянии . Коэффициент трения между шариком и стержнем равен .

8. На каком расстоянии от стенки упадет шарик после соскальзывания со стержня?

В стену на высоте  вмонтирован под углом  к горизонту стержень AD длиной L, по которому может свободно скользить шарик массой  со сквозным отверстием. Между шариком и стеной на стержне находится пружина длиной , не прикрепленная к шарику. Длина пружины в сжатом состоянии . Коэффициент трения между шариком и стержнем равен . Шарику сообщен электрический заряд q Кл. Вся система находится в вертикально направленном магнитном поле с индукцией В Тл.

9. Найти скорость движения шарика в момент соскальзывания со стержня.

10. Определить на каком расстоянии от стенки упадет шарик после соскальзывания со стержня?

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

варианта

L

q

В

Самостоятельно проставьте размерности в таблице исходных данных. варианта равен порядковому номеру студента в журнале группы. Число  задается преподавателем, ведущим занятия.


ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ (1)

N


МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТИПОВОГО РАСЧЕТА 1 «КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ»

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Координаты  и  частицы зависят от времени t следующим образом:  и .

Найти зависимость от времени радиус-вектора частицы, вектора ее мгновенной скорости и векторов полного, тангенциального и нормального ускорений. Записать уравнение траектории движения частицы.

Решение. Радиус-вектор частицы запишется в соответствии с формулой (1.1):

.

Вектор мгновенной скорости запишется в виде:

.

Вектор полного ускорения равен

.

Вектор тангенциального ускорения вычисляем по формуле

.

Вектор нормального ускорения находим из соотношения

Уравнение траектории получается посредством исключения переменной  из исходной системы уравнений. Вначале из уравнения для координаты  выражаем время: и подставляем это значение в уравнение для координаты. В результате получим уравнение траектории: .

2. На тело массой m кг, лежащее на горизонтальной плоскости с коэффициентом трения , действует в течение времени t горизонтально направленная сила, величина которой увеличивается пропорционально времени.

Íàéòè величину скорость движения до момента прекращения действия силы.

Решение. Вначале тело движется под действием силы , силы тяжести , силы трения скольжения  и силы реакции опоры . Согласно второму закону Ньютона, ðåçóëüòèðóþùàÿ этих сил придает телу ускорение :

,

где — масса тела. Проецируя предыдущее уравнение на оси координат, получим

,

.

Уравнение, представляющее проекцию на ось ОХ, перепишем в виде

,

(где  имеет размерность Н/с). Выражая из уравнения, представляющего проекцию на ось ОУ, величину силы реакции опоры N, и подставляя его в предыдущее уравнение, приведем его к виду, удобному для интегрирования:

.

После интегрирования получим

,

где  — постоянная интегрирования. Применяя начальные условия:  при , находим, что . Следовательно скорость движения до момента прекращения действия силы равна:

.

3. В стену на высоте  вмонтирован под углом  к горизонту стержень AD длиной L, по которому может свободно скользить шарик со сквозным отверстием. Между шариком и стеной на стержне находится пружина длиной , не прикрепленная к шарику. Длина пружины в сжатом состоянии .

Определить значение скорости шарика в момент отрыва от пружины.

Решение. До отрыва от пружины шарик движется под действием силы упругости , силы тяжести  и силы реакции опоры . Согласно второму закону Ньютона, ðåçóëüòèðóþùàÿ этих сил придает телу ускорение :

.

где — масса шарика. Составляя проекции этого уравнения на оси координат, получим

,

.

Сила упругости, согласно закону Гука, пропорциональна величине деформации пружины, которая в нашем случае равна , где x — координата шарика (величиной радиуса шарика в данном случае можно пренебречь). Уравнение, представляющее проекцию на ось ОХ, запишется в виде

Последнее уравнение перепишем

откуда после несложных преобразований получим уравнение, пригодное для интегрирования:

После интегрирования получим, что

Применяя начальные условия:  при , находим, что  Следовательно скорость движения до отрыва зависит от координаты шарика следующим образом:

Подставляя вместо координаты значение длины ненагруженной пружины получим значение скорости шарика в момент отрыва от пружины:

ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК (1)

Механическим движением называется изменение положения тела относительно других тел1 с течением времени.

Положение тела, которое можно считать материальной точкой2, указывается при помощи радиуса-вектора , соединяющего начало системы координат с данной точкой:

,                                                                                                               (1.1)

где:  —единичные векторы (орты), направленные вдоль соответствующих осей координат; — время. Проекции радиуса-вектора на оси координат определяют координаты  данной точки.

Модуль радиуса-вектора, его величина вычисляется по формуле:

.                                                                                                               (1.2)

Направление радиуса-вектора задается углами , которые он составляет с осями координат  Эти углы определяются при помощи так называемых направляющих косинусов:

                    (1.3)

При изменении положения точки в пространстве, ее координаты и радиус-вектор некоторым образом зависят от времени:   В этом случае зависимости вида

.                                                                                                 (1.4)

называют кинематическими законами движения точки. Если исключить время из уравнений (1.4), то получим уравнение траектории:                                        .                                                                                           (1.5)

Траекторией называют, воображаемую линии вдоль которой движется тело. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности, криволинейное движение и т. п.

Расстояние между двумя точками определяется по формуле:

,                                                            (1.6)

где , ,  — изменения координат материальной точки.

Вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории, называют перемещением:

.                                                         (1.7)

Модуль вектора перемещения определяется по формуле (1.6), а его направление — при помощи направляющих косинусов:

.                                               (1.8)

Изменение перемещения точки характеризуется вектором мгновенной скорости, который находится как производная от радиуса-вектора по времени3

                                                                   (1.9)

Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории движения точки и показывает как быстро и в каком направлении она движется. Вектор мгновенной скорости материальной точки и ее радиус-вектор всегда взаимноперпендикулярны.

Модуль вектора мгновенной скорости, ее величина, вычисляется по формуле:

,                                                                            (1.10)

где ,  и  — компоненты вектора мгновенной скорости вдоль соответствующих осей координат.

Направление вектора мгновенной скорости определяется при помощи направляющих косинусов:

.                                                 (1.11)

где  — углы между вектором мгновенной скорости  и координатными осями

Средняя скорость  за время от  до  находится по формуле:

,                                                          (1.12)

где  —вектор перемещения точки за то же время. Из предыдущей формулы следует, что перемещение можно выразить через мгновенную и среднюю скорость:

.                                                                (1.13)

Длина траектории, т.е. расстояние между двумя точками траектории, отсчитанное вдоль траектории, называется путем. При смещении точки на бесконечно малую величину вдоль траектории, ее путь совпадает с расстоянием между этими точками:

.

Поделив предыдущее равенство на промежуток времени , в течение которого произошло смещение точки, и, проинтегрировав полученное выражение по времени от  до , найдем, что в общем случае путь определяется по формуле:

.                                                                            (1.14)

Изменение вектора мгновенной скорости характеризуется вектором мгновенного ускорения, который находится как производная от вектора скорости по времени и показывает как быстро и в каком направлении происходит изменение вектора мгновенной скорости:

.                                                                               (1.15)

Модуль вектора мгновенного ускорения вычисляется следующим образом:

,                                                                                 (1.16)

где ,  и  — компоненты мгновенного ускорения вдоль соответствующих осей координат.

Направляющие косинусы позволяют определить направление вектора полного ускорения:

                      (1.17)

где  — углы между вектором полного ускорения  и координатными осями

Зная ускорение, можно определить вектор скорости при помощи неопределенного интеграла

,                                                                                      (1.18)

где  — векторная постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий;  — начальный момент времени.

Зная скорость, можно определить радиус-вектор точки

,                                                                                      (1.19)

где  — векторная постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Таким образом решается прямая задача кинематики.

Полное ускорение характеризует изменение направления и величины скорости. Полное ускорение равно векторной (геометрической) сумме нормального и тангенциального ускорений:

.                                                                                                     (1.20)

Модуль полного ускорения определяется при помощи теоремы Пифагора:

.                                                                                                 (1.21)

Нормальное ускорение показывает скорость измененения направления вектора скорости в данный момент времени:

,                                                                                                      (1.22)

где  — радиус кривизны траектории, равный радиусу соприкасающейся окружности;  — единичный вектор нормали к траетории, направленный в сторону ее вогнутости. Соприкасающейся окружностью называют окружность, которая сливается в данном месте с кривой на бесконечно малом ее участке. Центр такой окружности называют центром кривизны для данной точки траектории, а ее радиус равен радиусу кривизны траектории. Нормальное ускорение направлено в сторону центра соприкасающейся окружности к данной точке траектории со стороны ее вогнутости.

Тангенциальное ускорение показывает скорость изменения величины вектора скорости в данный момент времени. Тангенциальное ускорение направлено вдоль касательной к траетории в данной точке:

                                                                                                       (1.23)

где — модуль мгновенной скорости, а — единичный вектор, сонаправленный вектору скорости. Если >0, то скорость по величине возрастает и вектор тангенциального ускорения сонаправлен с вектором скорости, если <0, то скорость по величине убывает и вектор тангенциального ускорения направлен в противоположную сторону по отношению к вектору скорости. Кроме того, тангенциальное ускорение равно проекции вектора полного ускорения на направление вектора скорости:

,                                                                                                  (1.24)

где  — угол между направлением вектора скорости и вектора ускорения. Поскольку скалярное произведение , то, сравнивая данную формулу с предыдущей, получаем еще одну формулу для вычисления тангенциального ускорения:

.                                                              (1.25)

Второй закон Ньютона гласит, что быстрота изменения вектора импульса  точки равна действующей на тело геометрической сумме сил :

.                                                                                                             (1.26)

Уравнение (1.19) называют уравнением движения материальной точки. В общем случае сила  равна равнодействующей всех сил, действующих на материальную точку: .

Если масса m частицы постоянна, то второй закон Ньютона можно представить в виде

                                                                                                             (1.27)

или

.                                                                                                       (1.28)

Последнее уравнение в случае зависимости  от  дает возможность представить скорость частицы как функцию от времени4:

.                                                                                (1.29)

где  — начальная скорость;  — начальный момент времени;  — конечный момент времени. В случае, если равнодействующая не зависит от времени, из последнего уравнения получается известная из школьного курса физики формула: ,— формула для скорости при равноускоренном движении.

Если равнодействующая зависит только от пространственных координат, то для интегрирования уравнения движения необходимо от дифференцирования по времени перейти к дифференцированию по пространственной координате. Например, для координаты  это можно сделать следующим образом:

                                 (1.30)

тогда второй закон Ньютона в одномерном случае перепишется в виде:

.

Подставляя в это уравнение предыдущее выражение, получим:

.

Разделяя переменные и интегрируя полученное уравнение, находим:

,                                                               (1.31)

где — начальная скорость;  — начальная координата;  — конечная координата.

Типовой расчет и методическое сопровождение составлены В. И. Гладковским.

1 Любое из «других тел» может быть выбрано в качестве тела отсчета. Тело отсчета, снабженное системой координат и часами, называют системой отсчета. Шкалирование координатных осей в физике производится при помощи реальных измерительных инструментов: линеек. Среди всех возможных систем отсчета выделяют особый класс систем отсчета, называемых инерциальными. Ускорение инерциальных систем отсчета рано нулю. Движение в таких системах отчета выглядит наиболее просто.

2 Положение тела в пространстве можно охарактеризовать набором координат, определяющих положение одной какой-либо точки этого тела в том случае, если тело не вращается и у него нет внутренних вращений. Если размеры тела и его форма не играют никакой роли при данных условиях, то в этом случае тело называют материальной точкой.

3 Переход к пределу при  ограничен такими промежутками времени, при которых тело проходит расстояния, соизмеримые с размерами атомов или молекул. Другими словами, понятие производной в физике несколько отличается от соответствующего понятия в математике, где дробление пространства на все меньшие и меньшие участки в принципе возможно до бесконечности.

4 Данное уравнение получается следующим образом. Из предыдущего уравнения выражается дифференциал скорости:  и затем от обеих частей полученного равенства вычисляется определенный интеграл.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37165. Предпосылки объединения русских земель в XIV в. Начало возвышения Московского княжества 20.47 KB
  Предпосылки объединения русских земель в XIV в. В то же время стержнем политической жизни этого периода становится объединительный процесс русских земель. Территориальным ядром формирования русской народности и Русского государства становится ВладимироСуздальская земля в которой постепенно возвышается Москва превращаясь в центр политического объединения русских земель. В условиях феодальной раздробленности и агрессии немецких рыцарских орденов южные и югозападные земли в том числе и Киев вошли в состав Княжества Литовского поэтому...
37166. Образование централизованного Российского государства. Иван Третий. Свержение ордынского ига 13.64 KB
  Завершение процесса объединения русских земель вокруг Москвы в централизованное государство приходится на годы правления Ивана III 1462 1505 гг. и Василия III 1505 1533 гг. На протяжении 150 лет до Ивана III шло собирание русских земель и сосредоточение власти в руках Московских князей. При Иване III великий князь возвышается над остальными князьями не только количеством силы и владений но и объемом власти.
37167. Россия при Иване Четвертом. Избранная Рада. Реформы 17.36 KB
  Борьба эта протекала на глазах малолетнего Ивана IV. вокруг молодого Ивана IV сложился совет близких к нему людей получивший название âИзбранная радаâ. Костомарова который считал что âэтот государь всю жизнь находился под влиянием то тех то другихâ и âчто дела составившие славу царствования до падения Сильвестра исходили от этого последнего и его кружка и совершались не только не по его Ивана IV указанию но часто против желанияâ. Провозглашая эти реформы правительство Ивана IV изображало их как мероприятия цель которых...
37168. Иван Грозный в фильме Эйзенштейна. Опричнина, ее суть и последствия 16.5 KB
  Иван Грозный в фильме Эйзенштейна. Иван Грозный в фильме Эйзенштейна Смотрите фильм в папке Фильм Сергея Эйзенштейна ИВАН ГРОЗНЫЙ 1944 Опричнина К 1557 г. При решении этого вопроса произошел разрыв Ивана Грозного с Избранной Радой которая в отличии от намерений царя завоевать Ливонию предлагала овладеть Крымом. Несогласие в политических взглядах усугубилось смертью жены Ивана Грозного Анастасии в которой обвиняли Сильвестра и Адашева.
37169. Смутное время в истории России. Польско-шведская интервенция. Народные ополчения 24.35 KB
  Смутное время в истории России. В условиях всеобщего недовольства на западных границах России появляется самозванец выдававший себя за чудесно спасшегося в Угличе царевича Дмитрия сына Ивана Грозного. Шведские войска оккупировали значительную часть севера России и захватили Новгород. В России росло недовольство.
37170. Начало династии Романовых. Россия в первой половине XVII в 21.22 KB
  Россия в первой половине XVII в. Россия в XVII в. Главной тенденцией политического развития России в первой половине XVII в. Внешняя политика в XVII в.
37171. Социально-политические изменения в XVII в. Соборное уложение 1649 г. Народные бунты 14.46 KB
  Социальнополитические изменения в XVII в. Общие факты Характерной чертой экономического развития России в XVII веке стало безраздельное господство феодальнокрепостнической системы. Прекратился созыв Земских Соборов которые являлись неотъемлемой частью государственной власти в первой половине XVII в. âБунташный векâ XVII в.
37172. Церковные реформы. Алексей Михайлович Романов и патриарх Никон. Раскол как общественное явление 20.59 KB
  Алексей Михайлович Романов и патриарх Никон. патриархом был избран митрополит Новгородский Никон один из самых крупных могучих русских деятелей XVII века по замечанию историка С. Никон ещё будучи в Новгороде старался привести духовенство к благочестию и соблюдению церковного устава. Став патриархом Никон занялся просмотром патриаршей библиотеки где нашёл древнюю грамоту об учреждении патриаршества в Москве подписанную восточными иерархами.
37173. Предпосылки преобразований в конце XVII века и начало правления Петра I. Вестернизация 34 KB
  Предпосылки преобразований в конце XVII века и начало правления Петра I. Но самое главное отличие от вестернизации Петра Первого то что это мало влияло на обычаи русского народа. Начало правления Петра Первого связанное с европеизацией. Царь отправился в путешествие под именем урядника Преображенского полка Петра Михайлова.