50578

Специальные главы математического анализа

Другое

Математика и математический анализ

Общее решение - это решение, зависящее от произвольных констант или совокупность всех частных решений. Частное решение - это решение при фиксированном значении произвольных констант. Общий интеграл дифференциального уравнения

Русский

2014-03-24

125.5 KB

19 чел.

Федеральное агентство связи

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Зачетная работа

Билет №17

По дисциплине: Специальные главы математического анализа

                                  

Выполнил:

Группа:

Вариант:

    

Проверил:

Новосибирск, 2014 г

Дистанционное обучение

Дисциплина «Высшая математика»

Факультет - Заочный

Курс 2 Семестр 4

Билет 17

1.  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Понятие общего и частного решения. Однородные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p(x) и h(y) - непрерывные функции.

Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.

Обозначив , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены, и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C - постоянная интегрирования. 

Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и её производные.

Общий вид , где 

n - порядок старшей производной, который определяет порядок дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения является всякая функция, которое превращает уравнение в тождество.

Примеры:

Общее решение - это решение, зависящее от произвольных констант или совокупность всех частных решений. Частное решение - это решение при фиксированном значении произвольных констант. Общий интеграл дифференциального уравнения:

Пример:

 - дифференциальное уравнение в дифференциалах.

 или     

 - общий интеграл.

Однородное уравнение 1-ого порядка.

- называется однородным если функция , является однородной функцией, нулевого измерения.

 - однородная функция n-ого измерения если 

 (0-е измерение)

 (2-ого порядка)

 (неоднородная)

Введем новую функцию:

Уравнение примет вид:

 - уравнение с разделяющимися переменными

2. Найти область сходимости ряда

Воспользуемся признаком Деламбера

Следовательно, получаем

3. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд

4. Вычислить контурный интеграл от функции комплексной переменной с помощью вычетов ,

окружность с R=3

Особые точки:

;  лежат внутри окружности, тогда по основной теореме о вычетах имеем:

 

Так как  и => полоса первого порядка имеет вид:

Следовательно, интервал равен:

5. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

;  так как 

;  следовательно:

так как ;  имеем:


y

-i

3

2

3i


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53616. Татаро-монгольское иго на Руси 44 KB
  С именем какого князя связано основание Москвы Какой была местность где была основана Москва – Где построил город князь Юрий Долгорукий Вывод. Москва построена на удобном месте где сливались речка Неглинная с Москвойрекой. – Простояла деревянная Москва не долго 81 год.
53617. Поиск данных в БД: фильтры 29 KB
  Задачи урока: Образовательные: получение новых знаний; формирование умений и навыков; научиться использовать приемы фильтрации данных; Развивающие: развитие логического мышления расширение кругозора. Изучение нового материала Итак запишите пожалуйста тему урока: Поиск данных в БД: фильтры. Наша цель: познакомиться с фильтрацией данных и использовать ее на практике.
53618. Личная гигиена и здоровье 53.5 KB
  Как ни тверды зубы но ини часто разрушаются и болят. Это происходит кода мы пытаемся разгрызть очень твердые продукты используем зубы не по назначению или едим одновременно холодную и горячую пищу. Зубы страдают не только от кариеса но и от других болезней в частности от пародонтита который нередко возникает не как продолжение кариеса и пульпита а от механического повреждения десны например зубной щеткой или грубой пищей неправильного смыкания зубов болезней желудка и других причин.  В третьих увеличивается нагрузка на другие...
53619. Анализ денежных потоков 28 KB
  Движение денежных средств, получаемых и расходуемых предприятием в наличной и безналичной форме, называют в финансовом менеджменте денежными потоками. Эти потоки бывают двух видов: положительные и отрицательные. Положительные потоки (притоки) отражают поступление денег на предприятие, отрицательные (оттоки) – выбытие или расходование денег предприятием.
53620. Геометрические тела. Куб 49.5 KB
  Цели урока: а обучающая познакомить учащихся с элементами ввести понятие развертки куба модели тела; вывести формулу площади поверхности куба; б развивающая развивать математическое мышление; ...
53621. Движение автомобилей через железнодорожные пути 94 KB
  Учитывая что остановочный путь поезда многократно превышает остановочный путь автомобиля Правила предоставляют абсолютный приоритет поезду на нерегулируемых железнодорожных переездах поэтому водитель транспортного средства может пересекать пути только при безусловном выполнении требования уступить дорогу хотя в данном случае более корректно было бы говорить о необходимости пропустить поезд. Для того чтобы водитель имел возможность заблаговременно убедиться в отсутствии приближающегося поезда с места водителя должна быть обеспечена...
53622. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД 194.5 KB
  Цели урока: а обучающая познакомить учащихся с элементами прямоугольного параллелепипеда; ввести понятие развертки прямоугольного параллелепипеда; вывести формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда;...
53623. «Одежда»; выражения have on, put on 73 KB
  We have already read the first part of the tale about Baby Elephant. Who can say, what did Father Elephant buy for his son in the shop?
53624. England, Scotland, Wales and Northern Ireland 138.5 KB
  There are four countries in Great Britain. They are England, Scotland, Wales and Northern Ireland. Look at the map of Great Britain. Let’s read their names. Let’s find them on the map. Would you like to learn about these countries? Today we have such a chance. Well, let’s start our lesson.