50578

Специальные главы математического анализа

Другое

Математика и математический анализ

Общее решение - это решение, зависящее от произвольных констант или совокупность всех частных решений. Частное решение - это решение при фиксированном значении произвольных констант. Общий интеграл дифференциального уравнения

Русский

2014-03-24

125.5 KB

19 чел.

Федеральное агентство связи

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Зачетная работа

Билет №17

По дисциплине: Специальные главы математического анализа

                                  

Выполнил:

Группа:

Вариант:

    

Проверил:

Новосибирск, 2014 г

Дистанционное обучение

Дисциплина «Высшая математика»

Факультет - Заочный

Курс 2 Семестр 4

Билет 17

1.  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Понятие общего и частного решения. Однородные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p(x) и h(y) - непрерывные функции.

Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.

Обозначив , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены, и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C - постоянная интегрирования. 

Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и её производные.

Общий вид , где 

n - порядок старшей производной, который определяет порядок дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения является всякая функция, которое превращает уравнение в тождество.

Примеры:

Общее решение - это решение, зависящее от произвольных констант или совокупность всех частных решений. Частное решение - это решение при фиксированном значении произвольных констант. Общий интеграл дифференциального уравнения:

Пример:

 - дифференциальное уравнение в дифференциалах.

 или     

 - общий интеграл.

Однородное уравнение 1-ого порядка.

- называется однородным если функция , является однородной функцией, нулевого измерения.

 - однородная функция n-ого измерения если 

 (0-е измерение)

 (2-ого порядка)

 (неоднородная)

Введем новую функцию:

Уравнение примет вид:

 - уравнение с разделяющимися переменными

2. Найти область сходимости ряда

Воспользуемся признаком Деламбера

Следовательно, получаем

3. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд

4. Вычислить контурный интеграл от функции комплексной переменной с помощью вычетов ,

окружность с R=3

Особые точки:

;  лежат внутри окружности, тогда по основной теореме о вычетах имеем:

 

Так как  и => полоса первого порядка имеет вид:

Следовательно, интервал равен:

5. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

;  так как 

;  следовательно:

так как ;  имеем:


y

-i

3

2

3i


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72692. Перевірка рівня сформованості основних навичок роботи з електронними таблицями 104 KB
  Права частина служить для переміщення по таблиці вправо уліво а ліва частина що містить ярлички аркушів дозволяє переміщатися між аркушами. Створення таблиці Створіть заготівлі таблиці самостійно застосовуючи наступні операції: запуск Excel; форматування рядка заголовка.
72693. Дослідження мультивібратора на напівпровідникових транзисторах 2.58 MB
  Відповідно, параметри транзисторів повинні бути повністю ідентичні. І така ідеальна схема буде непрацездатною: обидва транзистори будуть відкриті. Неможливість реально забезпечити абсолютну симетрію і наявність додатного зворотного зв’язку призводять до того, що після подачі напруги живлення...
72696. Знайомство з можливостями баз даних Excel 103 KB
  Уявіть себе власником невеличкого магазину. Необхідно вести постійний облік приходу і витрати товарів, щодня мати перед очима реальний залишок, мати можливість роздрукувати найменування товарів по відділах і т.д. Допомогти у цьому може Excel.
72697. ДОСЛІДЖЕННЯ НАПІВПРОВІДНИКОВИХ ВИПРЯМЛЯЧІВ 823 KB
  Трансформатор використовується для перетворення напруги мережі до необхідної величини а також для розділення кіл постійного і змінного струмів. Електричний вентиль здійснює перетворення змінної напруги в пульсуючу де частота пульсації залежить від використання схеми за якою побудовано випрямляч.
72698. ДОСЛІДЖЕННЯ ПІДСИЛЮВАЧА НА ТРАНЗИСТОРІ 650 KB
  Схема підсилювача із загальним емітером наведена на рис. Так як схема підсилювача містить у собі реактивні елементи а якості транзистора залежать від частоти то коефіцієнт підсилення має різнізначення на різних частотах. Це явище називається частотними викривленнями підсилювача.
72699. Дослідження транзисторів по схемі із спільним емітером 104 KB
  Зняти вхідну і вихідну статичні характеристики визначати коефіцієнт підсилення по струму і вхідний опір транзистора. Як основну схему включення біполярного транзистора застосовують схему включення із спільним емітером. Схема для зняття характеристик транзистора із спільним емітером приведена на малюнку.
72700. Электричество и магнетизм 16.86 MB
  Сила тока проходящего через организм зависит от приложенного напряжения и от сопротивления того участка тела через который проходит ток. Необходимо помнить что предел безопасной величины переменного тока с частотой 50 Гц равен 10 мА.