506

Основы теории систем управления

Другое

Информатика, кибернетика и программирование

Математическое описание системы. Передаточная функция. Переходные процессы в системе. Качество управления. Временные динамические характеристики.

Русский

2013-01-06

194.29 KB

99 чел.

Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра систем информатики и управления

Основы  теории  управления

Методические указания и контрольные задания к выполнению          контрольных и курсовых работ по дисциплинам «Основы теории управления», «Теория автоматического управления», «Практика      конкретных автоматизированных технологий» для специальностей 071900 «Информационные системы  и технологии», 351400 «Прикладная информатика (в управлении)», 120400 «Машины и технологии обработки металлов давлением»

Новокузнецк  2004

УДК 669.01 – 035

Рецензент: к.т.н, доцент кафедра систем автоматизации Андрианов О.Н.

Огнев С.П., Ляховец М.В. Основы теории управления: методические указания. – Новокузнецк: ГОУ ВПО «СибГИУ», 2004. –   45 с.

Рассмотрены основные вопросы по курсам «Основы теории управления», «Теория автоматического управления», решены примеры по рассматриваемым темам, приведены варианты заданий для выполнения контрольных и самостоятельных работ студентов.

Предназначено для студентов специальностей 071900 «Информационные системы  и технологии», 351400 «Прикладная информатика (в управлении)», 120400 «Машины и технологии обработки металлов давлением»

Печатается по решению редакционно-издательского совета университета

Содержание

1. Математическое описание системы. Передаточная функция 4

2. Структурная схема системы 7

3. Статическая характеристика системы 10

4. Временные динамические характеристики 13

5. Частотные характеристики 15

6. Устойчивость системы 19

7. Критерии устойчивости 20

8. Переходные процессы в системе. Качество управления 26

Контрольная проверка знаний 31

Список рекомендуемой литературы 44

1. Математическое описание системы.  Передаточная функция

Математическое описание поведение системы в статическом и динамическом режимах в виде различных математических зависимостей, степенных и дифференциальных уравнений, отражающих с заданной точностью свойства системы называется математической моделью данной системы.

Поведение любой непрерывной динамической системы во времени можно описать линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка

                 (1)

где - входное воздействие системы; - выходная величина, характеризующая состояние системы в зависимости от входного воздействия и собственных свойств.

Постоянные коэффициенты характеризуют свойства конкретной системы и определяются, исходя из физических, конструктивных и прочих параметров системы.

Правая часть уравнения (1) описывает возмущенное движение системы, то есть изменение состояния системы под воздействием внешних факторов. Левая часть описывает невозмущенное свободное движение за счет внутренних собственных свойств системы.

Решение дифференциальных уравнений высоких порядков представляет сложную задачу, поэтому в теории управления применяется интегральное преобразование Лапласа. Преобразования по Лапласу основных функций, используемых в теории управления, приведены в таблице 1.

Применяя прямое преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (1) при нулевых начальных условиях, получаем уравнение системы в операторной форме

               ,    (2)

где р – комплексная переменная Лапласа.

Таблица 1 – Преобразование по Лапласу

Вид функции (оригинал)

Изображение функции по Лапласу

x(t)

ax(t)

1(t)

(t)

,

при нулевых начальных условиях

x(p)

ax(p)

1/p

1

x(p)/p

Отношение преобразования Лапласа выходной величины у(р) к преобразованию Лапласа входного воздействия v(p) при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией

.                            (3)

Передаточная функция, как и дифференциальное уравнение полностью определяет свойства системы.

Для описания дискретных систем или описания динамики системы в дискретной форме служит аналог дифференциального уравнения при представлении дифференциала функции разностью

,

где - время дискретизации, определяющее период отсчета дискретных значений функции x(t); - дискретное время ; - дискретные значения функции x(t) в моменты времени .

Соответствие функций в непрерывной и разносной формах приведено в таблице 2. Представление динамики системы в разностной форме называется разностным уравнением

,           (4)

где n, m – количество отсчетов сдвига функций y, v.

Таблица 2 – Разностная форма представления непрерывных функций

Вид непрерывной функции

Разностная форма

x(t)

ax(t)

2. Структурная схема системы

Любая система может быть представлена как взаимосвязанная совокупность частей, элементов, звеньев, определенным образом взаимодействующих между собой. Этим определяется структура системы. Структурная схема системы отражает организацию частей системы, обладающих определенными динамическими свойствами, путем установления между ними взаимосвязей. Структура и свойства элементов определяют индивидуальные характеристики системы и позволяют рассматривать ее как целостное образование.

Для упрощения анализа системы и построения ее математической модели систему любой сложности рассматривают как совокупность трех видов типовых соединений звеньев: последовательного, параллельного и с обратной связью.

При последовательном соединении звеньев выходная величина предыдущего звена является входным воздействием последующего (рисунок 1, а). Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев

                               (5)

При параллельном соединении звеньев входное воздействие является общим для всех звеньев, а выходная величина является суммой выходных величин звеньев (рисунок 1, б). Передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев

                           (6)

Обратной связью (ОС) называется такое соединение звеньев, при котором часть выходной величины возвращается на вход системы (рисунок 1, в). При этом, если выходная величина суммируется с входным воздействием, то обратная связь положительная (ПОС), если вычитается от входного воздействия, то отрицательная (ООС). Передаточная функция соединения звеньев с обратной связью равна

                                          (7)

v

y1=v2

y

v

y1

y2

yn

y

a)

б)

yос

y

в)

v

Рисунок 1 – Типовые соединения звеньев:

а) последовательное; б) параллельное; в) с обратной связью

3. Статическая характеристика системы

Работа системы характеризуется двумя режимами. Статический режим или установившееся состояние характеризует неизменное значение выходной величины у системы во времени при каком-либо значении входного воздействия v. Динамический режим или переходный процесс характеризует переход системы из одного установившегося состояния в другое при каком-либо значении входного воздействия v. Характеристики, определяющие свойства звеньев, их соединений и системы в целом в статическом и динамическом режимах называются, соответственно, статическими и динамическими характеристиками.

Рисунок 2 – Статические характеристики линейной и нелинейной системы

Зависимость выходной величины звена или системы в установившихся режимах от различных постоянных значений входной величины называется статической характеристикой (рисунок 2). Система со статической характеристикой, описывающейся уравнением прямой , является линейной системой ( на рисунке 2). Если статическая характеристика описывается иной зависимостью, то система является нелинейной ( на рисунке 2).

При анализе систем (прямая задача) статические характеристики строят на основе известных статических характеристик элементов, входящих в эту систему (графическими или аналитическими методами). При линеаризации системы, реализация необходимой линейной характеристики системы осуществляется подбором статической характеристики одного из звеньев системы при известных характеристиках остальных звеньев (обратная задача).

Для получения статической характеристики системы, состоящей из параллельно соединенных звеньев, в одной четверти координатной плоскости строят характеристики этих звеньев , , и т.д. Результирующая характеристика системы находится как сумма характеристик составляющих ее звеньев     (рисунок 3).

Для системы, состоящей из последовательно соединенных звеньев, выходная величина первого звена является входным воздействием второго y1= v2  и т.д. Статические характеристики звеньев , , откладываются последовательно, каждая в своей четверти координатной плоскости,  результирующая характеристика системы находится в последующей четверти (рисунок 4).

Рисунок 3 – Построение статической характеристики системы

                    с параллельным соединением звеньев

Точка на статической характеристике системы

Рисунок 4 – Построение статической характеристики системы

                    c последовательным соединением звеньев

Точка на статической характеристике системы

Статическая характеристика замкнутой системы с обратной связью находится следующим образом (рисунок 5). Статическую характеристику звена в прямой цепи откладывают в первом квадранте, а  звена обратной связи во втором квадранте. Через произвольную точку А1 на статической характеристике   проводят прямую до пересечения ее во втором квадранте со статической характеристикой (точка В1). Из точки В1 опускают перпендикуляр на ось абсцисс (точка пересечения С1). Длину отрезка ОС1 откладывают от точки А1 вправо (при ООС) или влево (при ПОС). Полученная точка D1 принадлежит искомой характеристике системы . Аналогично определяют и другие точки характеристики.

Рисунок 5 – Построение статической характеристики системы

                    c обратной связью

Точка на статической характеристике системы

4. Временные динамические характеристики

Зависимость выходной величины системы или элемента от времени при переходе из одного установившегося состояния в другое в результате поступления на вход типового воздействия называется временной динамической характеристикой. При исследовании динамических свойств системы наиболее широкое применение находят типовые входные воздействия в виде единичной ступенчатой и единичной импульсной функций.

Единичное ступенчатое воздействие описывается функцией

где 1 – относительная величина входного воздействия.

Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой .

Единичное импульсное воздействие описывается функцией

   где tи – время действия импульса.

Реакция системы на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях называется импульсной характеристикой .

         Рисунок 6 – Переходная и импульсная характеристики системы

a)

б)

1/ tи

Переходная и импульсная характеристики связаны зависимостями

                                                    (8)

5. Частотные характеристики

Частотные характеристики описывают вынужденные колебания на выходе системы, вызванные гармоническими воздействиями на ее входе. Если на вход системы подается комплексное гармоническое воздействие то на выходе формируется гармоническое воздействие с той же частотой , но с иной амплитудой и фазовым сдвигом .

Отношение выходной величины системы к гармоническому (комплексному) входному воздействию называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ)

         

Отношение амплитуды выходного воздействия к амплитуде входного гармонического воздействия при изменении частоты называется амплитудо-частотной характеристикой (АЧХ)

                                            (9)

Разность фаз между выходным воздействием   и входным гармоническим воздействием   при изменении частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ)

                                     (10)

Следовательно, выражение КЧХ можно представить в виде

            (11)

которое также называется амплитудо-фазо-частотной характеристикой (АФХ).

Для системы, описанной передаточной функций (3), АФХ можно представить как соотношение изображений Фурье выходного и входного воздействий. Поскольку структура выражений для преобразований Лапласа и Фурье одинакова и различается только комплексными переменными  p  и , все операции, проводимые над изображениями функции по Лапласу, можно осуществлять над изображениями по Фурье.

где   - соответственно, действительная и мнимая частотные характеристики. Тогда АЧХ и ФЧХ системы определяется как

                                           (12)

Рисунок 7 – Построение годографа

При изменении частоты конец вектора описывает на комплексной плоскости кривую, которая называется годографом системы (рисунок 7). Причем длина векторов равна величине , а угол с положительной действительной осью составляет .

В замкнутых динамических системах при входном воздействии в общем случае возникают колебания выходной величины. Эти колебания могут быть затухающими, незатухающими и расходящимися. При расходящемся переходном процессе система является неработоспособной (идет «в разнос»). Поэтому при анализе систем необходимо исследовать такое поведение системы, связанной с понятием «устойчивости».

Устойчивость – это свойство системы сохранять состояние равновесие и, будучи выведенной из этого состояния внешним воздействием, снова возвращаться к нему при снятии внешнего воздействия. Устойчивость является необходимым условием работоспособности системы.

При определении устойчивости системы рассматривается ее свободное движение при равенстве нулю входных воздействий, такое выражение называется характеристическим уравнением. Для системы с передаточной функцией (3) характеристическое уравнение имеет вид

                             (13)

Устойчивость системы с характеристическим уравнением определяется теоремой А.М. Ляпунова:

1). Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть , то система является устойчивой.

2). Если хотя бы один из корней характеристического уравнения имеет положительную действительную часть , то система является неустойчивой.

3). При наличии нулевых и чисто мнимых корней характеристического уравнения при условии, что остальные корни имеют отрицательную действительную часть , система находится на границе устойчивости.

Рисунок 9 – Устойчивость системы

                       по Ляпунову

p1

р2

pn

pn-1

р3

Область устойчивости

Для устойчивой системы, расстояние от мнимой оси (границы устойчивости) до ближайшего корня (пары корней) называется степенью устойчивости . Наибольший угол между парой сопряженных корней называется степенью колебательности . Область, образованная прямой на расстоянии и углом , охватывающая все корни характеристического уравнения является областью  устойчивости системы (рисунок 9).

7. Критерии устойчивости

Решение характеристических уравнений высоких степеней затруднительно, поэтому существуют методы определения устойчивости системы по значениям коэффициентов уравнения или по частотным характеристикам системы, называемыми критериями устойчивости. 

Алгебраический критерий устойчивости Рауса-Гурвица.

  1.  Необходимым условием устойчивости системы является положительные значения всех коэффициентов характеристического уравнения (13) . Если хотя бы один из коэффициентов меньше или равен нулю, то система заведомо неустойчивая.
  2.  Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является положительное значение определителя, составленного из коэффициентов характеристического уравнения, называемого определителем Гурвица. По главной диагонали определителя располагаются все коэффициенты по убыванию от аn-1  до а0. В строках коэффициенты располагаются по убыванию через один. Пустые места заполняются нулями.

.            (14)

Частотный критерий Михайлова.

Частотная характеристика, описывающая свободное движение системы, называется годографом Михайлова. Система с характеристическим уравнением (13) описывается годографом Михайлова вида

       (15)

Устойчивость системы определяется поведением годографа Михайлова на комплексной плоскости при выполнении следующих условий.

1). При постоянном входном воздействии () годограф должен начинаться на положительной действительной полуоси.

2). При изменении  частоты годограф должен последовательно обходить в положительном направлении (против часовой стрелки) n четвертей комплексной плоскости, где n  – порядок характеристического уравнения.

3). При этом годограф должен повернуться на угол .

Если хотя бы одно из условий не соблюдается, то система неустойчива. Если годограф при соблюдении всех условий проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости (рисунок 10).

Рисунок 10 – Устойчивость системы по критерию Михайлова

Устойчивая

Неустойчивая

На границе устойчивости (n =3)

Частотный критерий Найквиста.

При разрывании обратной связи замкнутых систем (рисунок 1, в) с передаточной функцией    образуется структура с последовательным соединением звеньев .

Замкнутая система является устойчивой, если годограф разомкнутой системы при изменении частоты не охватывает критическую точку на комплексной плоскости. Данная точка является границей устойчивости (рисунок 12).                                                                                                                                                                                         

Рисунок 12 – Устойчивость системы по критерию Найквиста

Устойчивая

Неустойчивая

Условия работы систем характеризуются, в общем случае, нестационарностью. Поэтому, будучи устойчивой, система со временем может стать неустойчивой. Это необходимо учитывать при анализе устойчивости и обеспечивать гарантированную устойчивость системы при изменении ее параметров в некотором диапазоне. Такое свойство системы называется запасом устойчивости.

По критерию Найквиста определяют (рисунок 12):

а). Запас устойчивости по амплитуде  определяется наименьшим расстоянием от критической точки до точки пересечения годографа разомкнутой системы с действительной осью комплексной плоскости.

б). Запас устойчивости по фазе  определяется наименьшим углом между отрицательной действительной осью комплексной плоскости и прямой в точку пересечения годографа разомкнутой системы с единичной окружностью.

8. Переходные процессы в системе. Качество управления

Устойчивость является необходимым, но недостаточным свойством системы управления, поскольку в устойчивой системе могут возникать очень медленно затухающие, длительные переходные процессы. Переходным процессом называется  изменение во времени состояние системы, характеризующееся выходным параметром y(t) при изменении входного воздействия v(t). Возникает необходимость количественно оценить качество процесса управления при устойчивой работе системы. Анализ качества управления заключается  в определении количественных показателей, характеризующих соответствие реального изменения управляемого параметра системы y(t) заданному y*(t).

Показатели качества управления (рисунок 14) классифицируются на статические y, динамические y(t) и интегральные , определяемые, соответственно, в установившемся yуст(tупр), переходном  t0 < t < tупр  режимах и накопленные за цикл (период) управления  tупр.

Статической ошибкой y называется отклонение управляемого параметра системы  y(tуст) от заданного значения y* в установившемся режиме

y = |y* - y(tуст) |             (16)

К динамическим показателям качества управления относятся:

1. Максимальное динамическое отклонение  y max – наибольшая величина отклонения управляемого параметра y(t) системы в переходном режиме

ymax = max[y(t)]                   (17)

0

t

y(t)

y*

y0

t0

y

tуст

tупр

ymax

y1

y3

y2

Рисунок 14 – Определение показателей качества управления

2. Время управления или время переходного процесса tупр определяется как время от начала изменения входного воздействия v(t) до момента установившегося режима yуст. Установившийся режим реальных процессов оценивается «трубкой переходного процесса», которая определяется диапазоном (5%) изменения  y(t)  относительно y* . Временем  tупр  называется время окончательного захода параметра  y(t) в «трубку переходного процесса».

3. Перерегулированием называется относительная величина отклонения управляемого параметра системы  y(t) от заданного значения y*

 или

.              (18)

4. Степень затухания определяет относительную величину затухания колебаний в системе и определяется как

             (19)

5. Количество колебаний в системе за время переходного процесса n.

К интегральным показателям качества управления относятся:

1. Прямая интегральная ошибка определяется для апериодических переходных процессов

                     (20)

2. Модульная интегральная ошибка определяется для колебательных переходных процессов

                               (21)

3. Квадратичная интегральная ошибка определяется для колебательных переходных процессов

                               (22)

Список рекомендуемой литературы

  1. Теория автоматического управления: Учебник для вузов / В.Н. Брюханов, М.Г. Косов, С.П. Протопопов и др. - М: Высшая школа, 2000. – 268 с.
  2. Методы классической и современной теории автоматического управления / К.А. Пупков, А.И. Баркин, Е.М. Воронов и др.; Под ред. Н.Д. Егупова. - М: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. - 748 с.
  3. Изерман Р. Цифровые системы управления /  Р. Изерман– М.: Мир, 1984. – 541 с.
  4. Цыпкин Я. З. Основы теории автоматических систем  / Я. З. Цыпкин – М.: Наука, 1977. – 560 с.
  5. Беседы по автоматике / Под ред. проф. П.И. Чинаева.– Киев: Техника, 1973.-236 c.
  6. Ротач В.Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами /  В.Я. Ротач– М.: Энергоатомиздат, 1985. – 296 с.
  7. Солодовников В.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования / В.В. Солодовников, В.Н. Плотников, А.В.Яковлев – М.: Машиностроение, 1985. –536 с.
  8. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования / Каганов В.Ю., Глинков Г.М., Климовицкий М.Д., Климушкин А.К. – М.: Металлургия, 1987.–270 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79976. Основы проектирования технологических процессов материального производства 63.5 KB
  Разрабатываемый технологический процесс должен оптимально сочетать наиболее полные возможности оборудования режущего инструмента приспособления и другой технологической оснастки при оптимальных режимах обработки минимальных затратах то есть при наименьшей технологической себестоимости. Технологический процесс должен использовать прогрессивные методы обработки удовлетворять требованиям чертежей и техническим условиям должен быть гибким обеспечивать повышение производительности культуры производства экологической безопасности....
79977. Технико-экономическая оценка и выбор технологических решений на предприятии 50.5 KB
  Технически обоснованной нормой называется время необходимое на выполнение данной операции в мин. Кроме того нормы времени не учитывают непредвиденные условия: не вовремя поставлены материалы инструмент перебои с электроэнергией с транспортом и т. Время затраченное на изготовление одной детали на данной операции называется штучным. Тп 42 где То основное время; Тв – вспомогательное время; Тт.
79978. Системы технологий формообразующих операций в машиностроительном производстве 1.74 MB
  Заготовки полученные литейным способом Суть литейного производства состоит в том что фасонную деталь или заготовку изготавливают заливанием жидкого металла в литейную форму пустота которой по размерам и конфигурации соответствует детали. 1; выплавление металла; заливание металла в форму; затвердение металла и охлаждение отливки; выбивание отливки из формы; обрубка и очищение отливки; термическая обработка отливки; контроль за качеством отливки и сдача его на механическую обработку. В процессе выполнения операций необходимо обеспечивать...
79979. Обработка материалов резанием в технологических системах машиностроительного производства 795 KB
  Цель конструктивно-технологической классификации деталей − снижение трудоемкости и сокращение сроков технологической и конструкторской подготовки производства, а так же повышение эффективности системы управления производством.
79980. Основы технологии сборочного производства 48 KB
  По стадиям различают следующие виды сборки: предварительная сборка – разборка с целью определения размера компенсатора; промежуточная – для общей дальнейшей обработки сборочной единицы например корпус и собранная с ним крышка растачиваются совместно под размер диаметра подшипника; под сварку может вводиться как сборочная операция в поточной линии; окончательная сборка после которой разборки не предусмотрено. В зависимости от метода образования соединений существуют следующие виды сборки: слесарная – слесарносборочные операции; монтаж –...
79981. Основы высоких технологий и инновационные технологии 35 KB
  Основы высоких технологий и инновационные технологии Сущность систем высоких технологий ВТ Каждое изделие поставляемое в условиях жесткой конкуренции на внутренний и в особенности на внешний рынок должно обладать новым уровнем свойств и отвечать все возрастающим требованиям предъявляемым потенциальным потребителем к функциональным экологическим и эстетическим свойствам. Эти названия новых технологий связаны с тем или иным признаком технологического процесса или свойствами изделия который принят авторами в качестве определяющего при...
79982. Основные технологии производства строительных материалов и жилищного строительства 1.35 MB
  Их используют для конструкционных ответственных деталей и элементов. Их используют главным образом в помещениях для облицовки кровли теплоизоляции и др. Лесные материалы широко используются в строительной промышленности пол двери дверные и оконные коробки стены кровля мебель и др. В строительной промышленности используют три группы лесных материалов: круглые пиломатериалы и полуфабрикаты.
79983. СОЗДАНИЕ 3D МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ КОСМОСЪЕМОК И НАЗЕМНЫХ СНИМКОВ 2.8 MB
  В настоящее время достаточно много внимания уделяется геоинформационным системам. Географическая информация является повсеместной практически в любом аспекте государственного управления и жизни граждан. В геоинформационных системах мы можем увидеть космоснимки и рельеф земной поверхности, а также есть возможность просмотреть трехмерные модели зданий
79984. РЕФАКТОРИНГ КЛИЕНТСКИХ ПРИЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ВАЛЮТНОЙ ТОРГОВЛИ НА ПЛАТФОРМАХ IOS И ANDROID 2.75 MB
  В ходе работы над проектом разработки системы для электронной валютной торговли, в рамках первого жизненного цикла разработки клиентских приложений для платформ iOS и Android, были реализованы два приложения. В рамках второго жизненного цикла, перед автором данной работы возникла проблема увеличения производительности разрабатываемых приложений.