50622

Метод золотого сечения

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Золотым сечением отрезка называется деление отрезка на две неравные части так что отношение всего отрезка к длине большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части отрезка. Нетрудно проверить что золотое сечение отрезка производится двумя точками x1=3b 2=0.61803b расположенными симметрично относительно середины отрезка. Замечательно здесь то что точка x1 в свою очередь производит золотое сечение отрезка x2.

Русский

2014-01-27

122.5 KB

19 чел.

Лабораторная работа

№2

Тема

Метод золотого сечения

Ф.И.О.

Пастухова Светлана Владимировна

Группа

403

Вариант

15

, B=1, C=0.7, D=0.07

Рассмотрим метод минимизации унимодальной функции на отрезке столь же простой, как и дихотомия, но позволяющей решить задачу с требуемой точностью при меньшем количестве вычислений значений функций. Речь пойдет о методе золотого сечения. Золотым сечением отрезка называется деление отрезка на две неравные части так, что отношение всего отрезка к длине большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части отрезка. Нетрудно проверить, что золотое сечение отрезка производится двумя точками

x1=a+(3-)(b-a)/2=a+0.38196*(b-a) и

x2=a+(-1)(b-a)/2=a+1.61803*(b-a) ,

расположенными симметрично относительно середины отрезка.

При этом (b-a)/(b-x1 )=(b-x1)/(x-a)=(b-a)/(x2 -a)=(x2-a)/(b-x2 )=( +1)/2=1.618033....

Замечательно здесь то, что точка x1 в свою очередь производит золотое сечение отрезка [a,x2]. Аналогично точка x2 производит золотое сечение отрезка [x1 ,b]. Свойства золотого сечения обнаруживаются и находят применение в самых разнообразных областях человеческой деятельности, таких как техника, архитектура, музыка и в природе.

Опираясь на вышеуказанное свойство золотого сечения можно предложить следующий метод минимизации унимодальной функции f(x) на отрезке [a,b].

Положим a1=a, b1=b. На отрезке [a1 ,b1 ] возьмем точки x1,x2,производящие золотое сечение, и вычислим значения f(x1 ),f(x2 ). Если f(x1 ) ≤ f(x2 ), то примем a2=a1,b2=x2,x2*=x1; если же f(x1 ) > f(x2), то a2=x1,b2=b1,x1*=x2.

Так как функция унимодальна на [a,b], то отрезок [a2 ,b2 ] имеет хотя бы одну общую точку со множеством X* - точек минимума на [a,b]. Кроме того b2 -a2=( -1)(b-a)/2, и весьма важно то, что внутри [a2 ,b2 ] содержится точка x2* с вычисленным значением f(x2* )=min{ f(x1 ),f(x2) }, которая производит золотое сечение отрезка [a2 ,b2 ].

Пусть уже определены точки x1,x2,...,x n-1,вычислены значения f(x1 ), f(x2 ),..., f(x n-1). Найдем отрезок [a n-1 ,b n-1 ] такой, что [a n-1 ,b n-1 ]=X* и b n-1 -a n-1=((-2 )/2)n-2 (b-a).При этом известна точка x*,производящая золотое сечение отрезка [a n-1 ,b n-1 ] такая, что f(x n-1* )=min{f(x i ), 1 ≤ i ≤n-1 }. Тогда в качестве следующей точки возьмем xn=a n-1 +b n-1 - x n-1* также производящую золотое сечение отрезка [a n-1 ,b n-1 ] и вычислим значение f(x n ).

Пусть для определенности a n-1< x n < x* n-1 < b n-1 (случай x* n-1 < x n рассматривается аналогично).

Если f(x n ) ≤ f(x* n),то a n=a n-1,b n=x* n-1,x n*=x n-1,если же f(x n ) > f(x* n ),то a n=x n,b n=b n-1,x* n=x* n-1.Новый отрезок [a n,b n ] таков, что [a n ,b n ]=X*, b n -a n=(( -1)/2)n-1 (b-a), точка xn 0производит золотое сечение [an ,bn ] и f(x*n )=min{ f(xn), f(x* n-1) }=min{ f(xi ), i ≤ n }.

Если число вычислений значений f(x) заранее не ограничено, то описанный процесс можно продолжать, например, до выполнения условия bn-an < ε, где ε - заранее заданная точность.

Если же число вычислений значений функций f(x) заранее жестко

задано и равно n, то процесс на этом заканчивается. В качестве решения задачи можно принять пару x*n,f(x*n), при этом (x*n,xn)  max{bn-x*n ,x*n-an}=(-1)(b n -a n)/2=( (-1)/2)n(b-a )=A n.

С помощью дихотомии за n=2k вычислений значений функций мы получили точку x*n с погрешностью

(x* n ,X* ) ≤ 2–n/2(b-a- ) < 2-n/2 (b-a)=B n.

Отсюда имеем A n /B n=2 ( +1))n=(0.87) n.

Очевидно, что уже при небольших n (числе итераций) преимущество золотого сечения перед дихотомией становится ощутимым.

Порядок выполнения лабораторной работы и варианты задания такие же, как в методе дихотомии.

График:

   

Получим минимум:

 -0.2889

Количество итераций:

13

   

   

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65789. Классификация наук 50.5 KB
  Наука как целостное развивающееся формообразование включает в себя ряд частных наук которые подразделяются в свою очередь на множество научных дисциплин. Выявление структуры науки в этом ее аспекте ставит проблему классификации наук раскрытие их взаимосвязи...
65790. Предмет социальной психологии. Основные точки зрения на предмет социальной психологии в различных школах и направлениях 31 KB
  Предметом является исследование закономерностей психического взаимодействия личностей и способов влияния на человека коллектив социально-психологические характеристики индивида как субъекта социальных отношений изучение закономерностей поведения и деятельности людей...
65791. Национальный вопрос в программах и деятельности общероссийских политических партий с момента их образования и до октября 1917 года 18.46 KB
  Право наций на самоопределение вплоть до отделения; среди большевиков шла дискуссия по поводу включения этого пункта в программу; Ленин настоял на нём заявив при этом что он выступает за права но эти права можно реализовывать большевики не прилагали механизма реализации...
65792. Статика и динамика 31 KB
  В динамичной композиции взгляд зрителя непроизвольно начинает воспринимать элементы в определенном порядке. Таким образом с помощью динамики можно привлечь внимание к главному элементу или главной части композиции. В динамичной композиции движение может быть направлено к центру и иметь как бы конечную...
65793. Нормативный аспект культуры речи. Понятие нормы. Виды норм 38.17 KB
  Важнейший признак литературного языка нормированность. Нормы литературного языка это правила которым должны следовать все носители литературного языка. В современном языкознании выделяют такие свойства языковой нормы как объективность изменчивость вариативность.