50622

Метод золотого сечения

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Золотым сечением отрезка называется деление отрезка на две неравные части так что отношение всего отрезка к длине большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части отрезка. Нетрудно проверить что золотое сечение отрезка производится двумя точками x1=3b 2=0.61803b расположенными симметрично относительно середины отрезка. Замечательно здесь то что точка x1 в свою очередь производит золотое сечение отрезка x2.

Русский

2014-01-27

122.5 KB

20 чел.

Лабораторная работа

№2

Тема

Метод золотого сечения

Ф.И.О.

Пастухова Светлана Владимировна

Группа

403

Вариант

15

, B=1, C=0.7, D=0.07

Рассмотрим метод минимизации унимодальной функции на отрезке столь же простой, как и дихотомия, но позволяющей решить задачу с требуемой точностью при меньшем количестве вычислений значений функций. Речь пойдет о методе золотого сечения. Золотым сечением отрезка называется деление отрезка на две неравные части так, что отношение всего отрезка к длине большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части отрезка. Нетрудно проверить, что золотое сечение отрезка производится двумя точками

x1=a+(3-)(b-a)/2=a+0.38196*(b-a) и

x2=a+(-1)(b-a)/2=a+1.61803*(b-a) ,

расположенными симметрично относительно середины отрезка.

При этом (b-a)/(b-x1 )=(b-x1)/(x-a)=(b-a)/(x2 -a)=(x2-a)/(b-x2 )=( +1)/2=1.618033....

Замечательно здесь то, что точка x1 в свою очередь производит золотое сечение отрезка [a,x2]. Аналогично точка x2 производит золотое сечение отрезка [x1 ,b]. Свойства золотого сечения обнаруживаются и находят применение в самых разнообразных областях человеческой деятельности, таких как техника, архитектура, музыка и в природе.

Опираясь на вышеуказанное свойство золотого сечения можно предложить следующий метод минимизации унимодальной функции f(x) на отрезке [a,b].

Положим a1=a, b1=b. На отрезке [a1 ,b1 ] возьмем точки x1,x2,производящие золотое сечение, и вычислим значения f(x1 ),f(x2 ). Если f(x1 ) ≤ f(x2 ), то примем a2=a1,b2=x2,x2*=x1; если же f(x1 ) > f(x2), то a2=x1,b2=b1,x1*=x2.

Так как функция унимодальна на [a,b], то отрезок [a2 ,b2 ] имеет хотя бы одну общую точку со множеством X* - точек минимума на [a,b]. Кроме того b2 -a2=( -1)(b-a)/2, и весьма важно то, что внутри [a2 ,b2 ] содержится точка x2* с вычисленным значением f(x2* )=min{ f(x1 ),f(x2) }, которая производит золотое сечение отрезка [a2 ,b2 ].

Пусть уже определены точки x1,x2,...,x n-1,вычислены значения f(x1 ), f(x2 ),..., f(x n-1). Найдем отрезок [a n-1 ,b n-1 ] такой, что [a n-1 ,b n-1 ]=X* и b n-1 -a n-1=((-2 )/2)n-2 (b-a).При этом известна точка x*,производящая золотое сечение отрезка [a n-1 ,b n-1 ] такая, что f(x n-1* )=min{f(x i ), 1 ≤ i ≤n-1 }. Тогда в качестве следующей точки возьмем xn=a n-1 +b n-1 - x n-1* также производящую золотое сечение отрезка [a n-1 ,b n-1 ] и вычислим значение f(x n ).

Пусть для определенности a n-1< x n < x* n-1 < b n-1 (случай x* n-1 < x n рассматривается аналогично).

Если f(x n ) ≤ f(x* n),то a n=a n-1,b n=x* n-1,x n*=x n-1,если же f(x n ) > f(x* n ),то a n=x n,b n=b n-1,x* n=x* n-1.Новый отрезок [a n,b n ] таков, что [a n ,b n ]=X*, b n -a n=(( -1)/2)n-1 (b-a), точка xn 0производит золотое сечение [an ,bn ] и f(x*n )=min{ f(xn), f(x* n-1) }=min{ f(xi ), i ≤ n }.

Если число вычислений значений f(x) заранее не ограничено, то описанный процесс можно продолжать, например, до выполнения условия bn-an < ε, где ε - заранее заданная точность.

Если же число вычислений значений функций f(x) заранее жестко

задано и равно n, то процесс на этом заканчивается. В качестве решения задачи можно принять пару x*n,f(x*n), при этом (x*n,xn)  max{bn-x*n ,x*n-an}=(-1)(b n -a n)/2=( (-1)/2)n(b-a )=A n.

С помощью дихотомии за n=2k вычислений значений функций мы получили точку x*n с погрешностью

(x* n ,X* ) ≤ 2–n/2(b-a- ) < 2-n/2 (b-a)=B n.

Отсюда имеем A n /B n=2 ( +1))n=(0.87) n.

Очевидно, что уже при небольших n (числе итераций) преимущество золотого сечения перед дихотомией становится ощутимым.

Порядок выполнения лабораторной работы и варианты задания такие же, как в методе дихотомии.

График:

   

Получим минимум:

 -0.2889

Количество итераций:

13

   

   

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39690. Поднастройка станков. Автоматическое управление точностью в процессе обработки 134 KB
  Автоматическое управление точностью в процессе обработки Для обеспечения требуемой точности обработки партии заготовок недостаточно правильно осуществить настройку станка. Под влиянием погрешностей в процессе обработки происходит смещение поля рассеивания размеров деталей к границе допуска. Задача состоит в том чтобы обеспечить необходимую точность обработки в пределах поля допуска и иметь наименьшее количество поднастроек. Для повышения точности и производительности обработки необходимо или уменьшать составляющие погрешности обработки т.
39691. Анализ точности методами математической статистики 149.5 KB
  Систематические постоянные погрешности могут быть выявлены измерением деталей после обработки и их влияние может быть уменьшено технологическими мерами. Кривые распределения и оценка точности на их основе Статистический метод оценки точности применяется в условиях производства большого количества деталей. Для его применения необходимо произвести выборку деталей из обрабатываемых на исследуемой операции. По результатам измерения деталей выборки строится опытная кривая распределения к которой по критерию согласия подбирается теоретический...
39692. Вибрации при механической обработке 55 KB
  Наибольшее влияние на процессы резания оказывают вынужденные колебания и автоколебания. В отличие от вынужденных колебаний автоколебания начинаются одновременно с началом процесса резания и прекращаются с его окончанием. Причиной возникновения автоколебаний является сам процесс резания Переменная сила поддерживающая колебания создается и управляется процессом резания и при его прекращении исчезает. Автоколебания возникают в связи с непостоянством сил резания вследствие изменения сил трения стружки по передней поверхности режущего...
39693. Особенности проектирования технологических процессов механической обработки для ГПС без использования ПР 39 KB
  Заготовки устанавливаются и закрепляются в приспособлениях которые в виде различных наладок монтируются на палетах. Наладчик комплектует наладку и устанавливает заготовки в соответствии со схемой установки транслируемой системой управления ГПС на экран терминала участка комплектации. Наиболее приемлемы три варианта обработки: сохранение на окончательно обработанной заготовке одной необработанной поверхности для базирования закрепления и обработки заготовок за один установ; предварительная обработка вне ГПС на участке подготовки баз...
39694. Точность и надежность обработки заготовок в ГПС 43.5 KB
  На основании оценки надежности технологических систем производится: оптимизация технологических маршрутов операций и режимов обработки; выбор средств технологического оснащения; установление периодичности замены режущего инструмента; установление такта выпуска изделий. При ужесточении этих требований например для квалитетов IT5 и IT6 возрастает роль составляющих погрешностей обработки обусловленных ошибками начальной настройки инструмента его износа тепловыми деформациями технологической системы ошибками установки инструмента...
39695. ТЕХНОЛОГИЯ ПРОИЗВОДСТВА ДЕТАЛЕЙ МАШИН В ГИБКИХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМАХ 111.5 KB
  Опыт внедрения гибких автоматизированных систем в механообработке показывает возможность снижения трудоемкости обработки заготовок в несколько раз; сокращения обслуживающего персонала; увеличения выпуска продукции за счет повышения загрузки оборудования сокращения сроков и стоимости подготовки производства. К основным преимуществам гибких производственных систем механообработки относится: резкое увеличение производительности труда в процессе изготовления единичной и мелкосерийной продукции; быстрое реагирование на изменение требований...
39696. Особенности проектирования технологических процессов для ГПС 114 KB
  Дальнейший анализ заготовок обработка которых предполагается в ГПС производится в следующей последовательности: анализ возможности унификации конструктивных элементов и параметров деталей подготовка предложений по отработке конструкций на технологичность; анализ возможности получения заготовок более прогрессивными методами формообразования в целях уменьшения трудоемкости механообработки расхода материалов улучшения качества изделий и подготовка предложений по переводу технологии на прогрессивные методы получения заготовок; ...
39697. Технология изготовления деталей машин 147 KB
  Технологическая база поверхности центровых отверстий или наружные цилиндрические поверхности вала. Технологическая база наружная поверхность и торец прутка. Технологическая база отверстие на оправке. Технологическая база черная поверхность обода или ступицы и торец Выполняется в зависимости от конструкции и типа производства на токарном револьверном или карусельном станке.
39698. ТЕХНОЛОГИЯ СБОРКИ ИЗДЕЛИЙ И ИЗГОТОВЛЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ 414.5 KB
  Значение сборки при изготовлении машин Сборка является заключительным этапом изготовления машин и в значительной степени определяет ее эксплуатационные качества. Одни и те же детали соединенные при разных условиях сборки могут значительно изменять долговечность их службы. Технологические процессы изготовления деталей в большинстве случаев подчинены технологии сборки машины.