50625

Метод градиентного спуска

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Минимизировать функцию fxy=x by expcx2 dy2 методом градиентного спуска. Методы построения таких последовательностей называются методами спуска. В этих методах элементы последовательности Xk вычисляются по формуле Xk1=Xkk Pk k=012 где Pk направление спуска; длина шага в этом направлении.

Русский

2014-01-27

54.5 KB

36 чел.

Лабораторная работа

5

Тема

Метод градиентного спуска

Ф.И.О.

Пастухова Светлана Владимировна

Группа

403

Вариант

15

Минимизировать функцию f(x,y)=ax + by + exp(cx2 + dy2 ) методом градиентного спуска.

 N

a

b

c

d

15

15

-0.0

1.96

0.25

Рассмотрим задачу минимизации функции f(x)=f(x1 ,x2 ,..,xn ), заданной во всем n-мерном евклидовом пространстве E n.

Как правило, численные методы отыскания экстремума состоят в построении последовательности векторов { Xk }, удовлетворяющих условию: f( X1) > f(X2 ) >... > f(Xn ). Методы построения таких последовательностей называются методами спуска. В этих методах элементы последовательности { Xk} вычисляются по формуле

Xk+1=Xk-k Pk, k=0,1,2,…,

где Pk направление спуска; k - длина шага в этом направлении.

Как известно, градиент функции в некоторой точке Xk направлен в сторону наискорейшего локального возрастания функции. Следовательно, при поиске минимума спускаться нужно по антиградиенту. Выбирая вектор антиградиента в качестве направления спуска,приходим к итерационному процессу вида

Xk+1=Xk-k gradf(Xk)Pk.

В методе наискорейшего спуска величина k определяется из условия f( Xk - k gradf( Xk)=min f(Xk - α gradf(Xk)), 0, то есть на каждом шаге решается одномерная задача минимизации. Геометрическая интерпретация этого метода достаточно просто.Заметим, что на двух последовательных шагах направления спуска ортогональны.

Рассмотрим метод градиентного спуска с дроблением шага. Выбираем некоторое начальное значение X0. Затем выбираем некоторое k==const и на каждом шаге процесса (2) проверяем условие монотонности f(Xk+1 ) f(Xk ). Если это условие нарушается, то дробим до тех пор пока монотонность не восстановится. Время от времени полезно пробовать увеличить  с сохранением условия монотонности.

Для окончания счета можно использовать различные критерии. В данной работе итерации прекращаем, если ║grad f(X k+1)║ < ε. В этом случае полагаем X min=Xk+1. Здесь ║gradf║=

Порядок выполнения работы:

  1.  Построим график заданной функции:

ezsurf('15*x+(-0.0)*y+exp(1.96*x^2+0.25*y^2)')

  1.  Напишем программу минимизации данной функции методом градиентного спуска:

Получим:

min =[ -0.8695         0]

f(xmin)=  -7.6317

Заданная точность eps=0.001 достигнута за n=237 шагов.

  1.  При минимизации функции стандартными средствами MatLab

x = [0,-6];

min = fminsearch(@my_fun,x)

где x=[0,-6] – начальное приближение, а @my_fun:

function f = my_fun(x)

f =22*x(1)+0.6*x(2)+exp(5.02*x(1)^2+0.32*x(2)^2); 

Получим:

min =[-1.0167, 0.0974]

f(xmin)=  -8.7965


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43116. Разработка технологического процесса механической обработки детали «Корпус насоса» 678.5 KB
  Такт выпуска определяется по формуле: где годовая программа запуска изделий в производство шт; =28010 шт. Чтобы получить окончательный ответ относительно способа получения заготовки производится экономическое сравнение себестоимости получения деталей при данных методах литья по формуле 5. Стоимость заготовок получаемых такими методами как литьё по выплавляемым моделям и литьё под давлением можно с достаточной для курсового проектирования точностью определить по формуле: где СI базовая стоимость одной тонны...
43117. Проектирование привода ленточного конвейера 462 KB
  Применим индустриальное масло для тяжело нагруженных систем с антиокислительными, антикоррозийными, противоизносными и противозадирными присадками И-Т-Д-220, которое заливается в кратер редуктора до оси червяка.
43118. Проектирование специальных режущих инструментов 1.4 MB
  Графическое и математическое выражение фасонного профиля обрабатываемой детали определяется относительно координатных осей X и Y. Центр координатных осей О находится в точке пересечения левого края детали и ее оси вращения. Координатная ось X совмещается с осью вращения детали. Координатная ось Y проводится из центра координатных осей О перпендикулярно оси X.
43119. Кондуктор для сверления отверстия 10Н7 3.28 MB
  Частая смена объектов производства, связанная с нарастанием темпов технологического процесса, требует создание конструкций приспособлений, методов их расчёта и проектирования, обеспечивающих неуклонное сокращение сроков подготовки производства. Затраты на изготовление технологической оснастки составляют 15…20% от затрат на оборудования для технологического процесса обработки деталей машин или 10…24% от себестоимости машины. Станочные приспособления занимают наибольший удельный вес по стоимости и трудоёмкости изготовления в общем количестве различных типов технологической оснастки.
43120. Проектирование производственного здания «Завод по ремонту двигателей» 314.5 KB
  Проектирование начинается с задания. Задание на проектирование, которое определяется в основном технологическими процессами или назначением объекта, составляется с участием архитекторов, технологов и строителей-проектировщиков. В результате совместной разработки наряду с объемно-планировочной компоновкой, должны быть получены принципиальные решения конструктивной формы здания или сооружения. Эти принципиальные решения согласовываются с технологической и проектной организациями, после чего может быть начато проектирование.
43121. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПРИВОДА. РАСЧЕТ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ 375 KB
  Определяем общий коэффициент полезного действия КПД привода где коэффициенты полезного действия ременной передачи цилиндрической передачи редуктора муфты и опор подшипников. где предел контактной выносливости для углеродистых сталей твердостью поверхностей зубьев менее НВ 350 и термической обработкой улучшением коэффициент долговечности при числе циклов нагружения больше базового что имеет место при длительной эксплуатации редуктора принимаем ; коэффициент безопасности; коэффициент учитывающий влияние...
43122. Разработка технологического процесса изготовления и сборки вала H40-ИНА 125.02.106 802 KB
  Графический материал объемом 4 листа формата А1 в том числе чертеж сборки заданного узла анализ точности изготовления операционные эскизы чертеж приспособления. Схема представлена на листе КП.106 Технологические схемы сборки приведены на листе 1.203 показаны на листе КП.
43123. Реконструкция четырехэтажного жилого дома серии 1-447 С-35 451 KB
  Характеристика объёмнопланировочного конструктивного и архитектурнохудожественного решения здания подлежащего реконструкции. Объемно планировочное решение здания и его соответствие нормативным требованиям Конструктивное решение здания и техническое состояние несущих и ограждение элементов Архитектурнохудожественное решение здания его соответствие требованиям предъявляемым к застройке Перечень и содержание мероприятий необходимых при проведении реконструкции здания Объемнопланировочное...
43124. Обработка числовых данных с использованием ППП 101 KB
  Исходные данные представлены в виде ряда чисел, связанных между собой последовательностью Х1-У1, Х2-У2 и т.д. Данные имеют уточнение в два знака после запятой. Все остальные данные, необходимые для выполнения поставленной задачи, рассчитываются в ходе выполнения контрольно - курсовой работы и определяются разработчиком. Так, все необходимые выходные данные будут округлены до целого значения. Промежуточные расчетные данные будем оставлять без изменений (по умолчанию уточнение до четвертого знака после запятой).