ID: 50625

Название работы: Метод градиентного спуска

Категория: Лабораторная работа

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: Минимизировать функцию fxy=x by expcx2 dy2 методом градиентного спуска. Методы построения таких последовательностей называются методами спуска. В этих методах элементы последовательности Xk вычисляются по формуле Xk1=Xkk Pk k=012 где Pk направление спуска; длина шага в этом направлении.

Язык: Русский

Дата добавления: 2014-01-27

Размер файла: 54.5 KB

Работу скачали: 42 чел.

Лабораторная работа	№5
Тема	Метод градиентного спуска
Ф.И.О.	Пастухова Светлана Владимировна
Группа	403
Вариант	15

Минимизировать функцию f(x,y)=ax + by + exp(cx2 + dy2 ) методом градиентного спуска.

N	a	b	c	d
15	15	-0.0	1.96	0.25

Рассмотрим задачу минимизации функции f(x)=f(x1 ,x2 ,..,xn ), заданной во всем n-мерном евклидовом пространстве E n.

Как правило, численные методы отыскания экстремума состоят в построении последовательности векторов { Xk }, удовлетворяющих условию: f( X1) > f(X2 ) >... > f(Xn ). Методы построения таких последовательностей называются методами спуска. В этих методах элементы последовательности { Xk} вычисляются по формуле

Xk+1=Xk-k Pk, k=0,1,2,…,

где Pk направление спуска; k - длина шага в этом направлении.

Как известно, градиент функции в некоторой точке Xk направлен в сторону наискорейшего локального возрастания функции. Следовательно, при поиске минимума спускаться нужно по антиградиенту. Выбирая вектор антиградиента в качестве направления спуска,приходим к итерационному процессу вида

Xk+1=Xk-k gradf(Xk)Pk.

В методе наискорейшего спуска величина k определяется из условия f( Xk - k gradf( Xk)=min f(Xk - α gradf(Xk)),  0, то есть на каждом шаге решается одномерная задача минимизации. Геометрическая интерпретация этого метода достаточно просто.Заметим, что на двух последовательных шагах направления спуска ортогональны.

Рассмотрим метод градиентного спуска с дроблением шага. Выбираем некоторое начальное значение X0. Затем выбираем некоторое k==const и на каждом шаге процесса (2) проверяем условие монотонности f(Xk+1 ) f(Xk ). Если это условие нарушается, то  дробим до тех пор пока монотонность не восстановится. Время от времени полезно пробовать увеличить  с сохранением условия монотонности.

Для окончания счета можно использовать различные критерии. В данной работе итерации прекращаем, если ║grad f(X k+1)║ < ε. В этом случае полагаем X min=Xk+1. Здесь ║gradf║=

Порядок выполнения работы:

1.  Построим график заданной функции:

ezsurf('15*x+(-0.0)*y+exp(1.96*x^2+0.25*y^2)')

1.  Напишем программу минимизации данной функции методом градиентного спуска:

Получим:

min =[ -0.8695         0]

f(xmin)=  -7.6317

Заданная точность eps=0.001 достигнута за n=237 шагов.

1.  При минимизации функции стандартными средствами MatLab

x = [0,-6];

min = fminsearch(@my_fun,x)

где x=[0,-6] – начальное приближение, а @my_fun:

function f = my_fun(x)

f =22*x(1)+0.6*x(2)+exp(5.02*x(1)^2+0.32*x(2)^2); 

Получим:

min =[-1.0167, 0.0974]

f(xmin)=  -8.7965