50969

ИНФОРМАЦИОННАЯ МЕРА ШЕННОНА

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Количество информации и избыточность. Пусть и случайные величины с множествами возможных значений Количество информации при наблюдении случайной величины с распределением вероятностей задается формулой Шеннона: Единицей измерения количества информации является бит который представляет собой количество информации получаемое при наблюдении случайной величины имеющей два равновероятных значения. При равномерном распределении количество информации задается формулой Хартли: . Имеются два источника информации алфавиты и...

Русский

2014-02-03

431 KB

3 чел.

Лекция №4

Тема: ИНФОРМАЦИОННАЯ МЕРА ШЕННОНА.

1. ИНФОРМАЦИОННАЯ МЕРА ШЕННОНА.

 1.1.  Количество информации и избыточность.

Дискретные системы связи - системы, в которых как реализации сообщения, так и реализации сигнала представляют собой последовательности символов алфавита, содержащего конечное число элементарных символов.  

Пусть  и  - случайные величины с множествами возможных значений  

Количество информации  при наблюдении случайной величины  с распределением вероятностей задается формулой Шеннона:

Единицей измерения количества информации является бит, который представляет собой количество информации, получаемое при наблюдении случайной величины, имеющей два равновероятных значения.

При равномерном распределении  количество информации задается формулой Хартли:

.

Справедливы следующие соотношения:

1)

2)  

3)  если  и  - независимы.

Избыточностью называется

Рассмотрим примеры.

 Пример 1. Имеются два источника информации, алфавиты и распределения вероятностей которых заданы матрицами:

 

Определить, какой источник дает большее количество информации, если

1)  2)

 Решение. Для первого источника при равновероятном распределении воспользуемся формулой Хартли. Для  и  имеем

Следовательно, источник с тремя символами дает большее количество информации. Для второго случая воспользуемся формулой Шеннона:

с учетом условия задачи имеем

С другой стороны,

Поскольку

  то

 Пример 2. Источник сообщений выдает символы из алфавита   с вероятностями     Найти количество информации и избыточность.

 Решение. По формуле Шеннона

(бит).

По определению избыточности

 


1.2. Энтропия непрерывных сообщений

Непрерывные системы передачи информации - системы, в которых как реализации сообщения, так и реализации сигнала на конечном временном интервале  представляют собой некоторые непрерывные функции времени.

Пусть  - реализации непрерывного сообщения на входе какого-либо блока схемы связи,  - реализация выходного сообщения (сигнала),  - плотность вероятности ансамбля входных сообщений,  - плотность вероятности ансамбля выходных сообщений

Формулы для энтропии  непрерывных сообщений получаются путем обобщения формул для энтропии дискретных сообщений. Если  - интервал квантования (точность измерения), то при достаточно малом  энтропия непрерывных сообщений

где  По аналогии

Пример 1. По линии связи передаются непрерывные амплитудно-модулированные сигналы  распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием  и дисперсией

Определить энтропию  сигнала при точности его измерения  

 Решение. По условию плотность вероятности сигнала

Подставляя числовые значения, получаем

дв. ед.

2. УСЛОВНАЯ ЭНТРОПИЯ И ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

2.1. Дисктретные системы передачи информации.

Условной энтропией величины  при наблюдении величины  называется

Справедливы соотношения:

 

Взаимной информацией величин  и  называется

Справедливы следующие соотношения:

  

 

Если  и независимы, то =0.

При расчетах условной энтропии и взаимной информации удобно пользоваться следующими соотношениями теории вероятностей:

1) теорема умножения вероятностей ;

2) формула полной вероятности  

3) формула Байеса

Рассмотрим пример.

 Пример 1. Дана матрица

,  .

Определить:      

 Решение. По формуле полной вероятности имеем:  

   

Следовательно,

 

По теореме умножения

  

  

 

Следовательно,

Аналогично

 

 

2.2. Непрерывные системы передачи информации.

 Пусть  - реализации непрерывного сообщения на входе какого-либо блока схемы связи,  - реализация выходного сообщения (сигнала),  - одномерная плотность вероятности ансамбля входных сообщений,  - одномерная плотность вероятности ансамбля выходных сообщений,  - совместная плотность вероятности,  - условная плотность вероятности

при известном  Тогда для количества информации  справедливы следующие соотношения:

 

,

 

Здесь  - взаимная информация между каким-либо значением входного и значением выходного сообщений,   - средние значения условной информации,  - полная средняя взаимная информация.

Условная энтропия определяется по формуле:

 

Когда  и  статистически связаны между собой, то

При независимых  и

Полная средняя взаимная информация определяется формулой:

Рассмотрим пример.

 Пример 1. На вход приемного устройства воздействует колебание  где сигнал  и помеха  - независимые гауссовские случайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями, равными соответственно  и

Определить: 1) количество взаимной информации  которое содержится в каком-либо значении принятого колебания  о значении сигнала  2) полную среднюю взаимную информацию

 Решение. По условию задачи  представляет собой сумму независимых колебаний  и  которые имеют нормальные плотности вероятности. Поэтому

 

1. Количество информации определяется по формуле:

 

2. Полная средняя взаимная информация:

где  - знак усреднения по множеству.

Таким образом,

дв. ед.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17289. КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ Короткий конспект лекцій 3.51 MB
  Курс вищої математики. Частина 1.€ КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ Короткий конспект лекцій ЧАСТИНА 1 2005 Комплексні числа. Визначення. Комплексним числом z називається вираз де a і b – дійсні числа i – уявна одиниця що визначається співвідношенням...
17290. КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ. Диференціальне числення функції однієї змінної 2.83 MB
  Курс вищої математики. Частина 2.€ КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ЧАСТИНА 2 2005 Диференціальне числення функції однієї змінної. Похідна функції її геометричний і фізичний зміст. Визначення. Похідної функції fx у точці х = х0 називається границя ...
17291. Основні поняття інформаційної безпеки 60.5 KB
  Лекція 1. Основні поняття інформаційної безпеки Під інформаційною безпекою розуміють стан захищеності оброблюваних даних та даних що зберігаються та передаються від незаконного ознайомлення перетворення і знищення а також стан захищеності інформаційних ресурсів
17292. Ідентифікація та автентифікація 136.5 KB
  Лекція 2. Ідентифікація та автентифікація Основні поняття і класифікація Застосування при міжмережевій взаємодії відкритих каналів передачі даних створює потенційну загрозу проникнення зловмисників порушників. Якщо пасивний порушник має нагоду тільки проглядати
17293. Моделі загроз та порушників безпеки 127.5 KB
  Лекція 3. Моделі загроз та порушників безпеки Поняття загрози інформації Безпечна або захищена система – це система із засобами захисту які успішно і ефективно протистоять визначеним загрозам безпеки. Виходячи із цього першим кроком в побудові захищеної системи є ід
17294. Політика безпеки 103.5 KB
  Лекція 4. Політика безпеки Поняття політики безпеки Фундаментальним поняттям захисту інформації є політика безпеки ПБ або політика захисту. Важливість цього поняття важко переоцінити – існують ситуації коли правильно сформульована політика є чи не єдиним механізм
17295. Вступ до криптології 111 KB
  Лекція 5. Вступ до криптології Виключно важливим механізмом захисту інформації є криптографія. Оскільки цей складний і широкий розділ математики вимагає окремого детального вивчення тут подамо лише основні відомості з криптології. Проблема захисту інформації шляхом...
17296. Віруси. Загальні відомості 92.5 KB
  Лекція 6. Віруси. Загальні відомості Створенням будьякої комп'ютерної програми її автор переслідує певну мету. Іноді їм можуть бути допущені помилки і написана програма буде робити не зовсім те що спочатку задумувалося або навіть зовсім не те. Однак кожна програма обов'...
17297. Методи та засоби антивірусного захисту 111 KB
  Лекція 7. Методи та засоби антивірусного захисту Загальні відомості Усі знають що для захисту від шкідливих програм потрібно використовувати антивіруси. Але в той же час нерідко можна почути про випадки проникнення вірусів на захищені антивірусом комп'ютери. У кожном...