50971

Информационная мера Шеннона

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Количество информации и избыточность Дисктретные системы передачи информации Непрерывные системы передачи информации Слайды к лекции Количество информации и избыточность Количество информации и избыточность.

Русский

2014-02-03

440 KB

6 чел.

Курс: Информатика                                     ВМ, САПР, АСОИ, Т28 -2 курс

ЛЕКЦИЯ №4

Тема: Информационная мера Шеннона

1. ИНФОРМАЦИОННАЯ МЕРА ШЕННОНА

1.1. Количество информации и избыточность

1.2. Энтропия непрерывных сообщений

2. УСЛОВНАЯ ЭНТРОПИЯ И ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

2.1. Дисктретные системы передачи информации

  1.  Непрерывные системы передачи информации

Слайды к лекции №4

1. Условная энтропия и взаимная информация.

2. Количество информации и избыточность

3. Аддитивность информационной меры

Лекция №4

Тема: ИНФОРМАЦИОННАЯ МЕРА ШЕННОНА.

1. ИНФОРМАЦИОННАЯ МЕРА ШЕННОНА.

 1.1.  Количество информации и избыточность.

Дискретные системы связи - системы, в которых как реализации сообщения, так и реализации сигнала представляют собой последовательности символов алфавита, содержащего конечное число элементарных символов.  

Пусть  и  - случайные величины с множествами возможных значений  

Количество информации  при наблюдении случайной величины  с распределением вероятностей задается формулой Шеннона:

Единицей измерения количества информации является бит, который представляет собой количество информации, получаемое при наблюдении случайной величины, имеющей два равновероятных значения.

При равномерном распределении  количество информации задается формулой Хартли:

.

Справедливы следующие соотношения:

1)

2)  

3)  если  и  - независимы.

Избыточностью называется

Рассмотрим примеры.

 Пример 1. Имеются два источника информации, алфавиты и распределения вероятностей которых заданы матрицами:

 

Определить, какой источник дает большее количество информации, если

1)  2)

 Решение. Для первого источника при равновероятном распределении воспользуемся формулой Хартли. Для  и  имеем

Следовательно, источник с тремя символами дает большее количество информации. Для второго случая воспользуемся формулой Шеннона:

с учетом условия задачи имеем

С другой стороны,

Поскольку

  то

 Пример 2. Источник сообщений выдает символы из алфавита   с вероятностями     Найти количество информации и избыточность.

 Решение. По формуле Шеннона

(бит).

По определению избыточности

 


1.2. Энтропия непрерывных сообщений

Непрерывные системы передачи информации - системы, в которых как реализации сообщения, так и реализации сигнала на конечном временном интервале  представляют собой некоторые непрерывные функции времени.

Пусть  - реализации непрерывного сообщения на входе какого-либо блока схемы связи,  - реализация выходного сообщения (сигнала),  - плотность вероятности ансамбля входных сообщений,  - плотность вероятности ансамбля выходных сообщений

Формулы для энтропии  непрерывных сообщений получаются путем обобщения формул для энтропии дискретных сообщений. Если  - интервал квантования (точность измерения), то при достаточно малом  энтропия непрерывных сообщений

где  По аналогии

Пример 1. По линии связи передаются непрерывные амплитудно-модулированные сигналы  распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием  и дисперсией

Определить энтропию  сигнала при точности его измерения  

 Решение. По условию плотность вероятности сигнала

Подставляя числовые значения, получаем

дв. ед.

2. УСЛОВНАЯ ЭНТРОПИЯ И ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

2.1. Дисктретные системы передачи информации.

Условной энтропией величины  при наблюдении величины  называется

Справедливы соотношения:

 

Взаимной информацией величин  и  называется

Справедливы следующие соотношения:

  

 

Если  и независимы, то =0.

При расчетах условной энтропии и взаимной информации удобно пользоваться следующими соотношениями теории вероятностей:

1) теорема умножения вероятностей ;

2) формула полной вероятности  

3) формула Байеса

Рассмотрим пример.

 Пример 1. Дана матрица

,  .

Определить:      

 Решение. По формуле полной вероятности имеем:  

   

Следовательно,

 

По теореме умножения

  

  

 

Следовательно,

Аналогично

 

 

2.2. Непрерывные системы передачи информации.

 Пусть  - реализации непрерывного сообщения на входе какого-либо блока схемы связи,  - реализация выходного сообщения (сигнала),  - одномерная плотность вероятности ансамбля входных сообщений,  - одномерная плотность вероятности ансамбля выходных сообщений,  - совместная плотность вероятности,  - условная плотность вероятности

при известном  Тогда для количества информации  справедливы следующие соотношения:

 

,

 

Здесь  - взаимная информация между каким-либо значением входного и значением выходного сообщений,   - средние значения условной информации,  - полная средняя взаимная информация.

Условная энтропия определяется по формуле:

 

Когда  и  статистически связаны между собой, то

При независимых  и

Полная средняя взаимная информация определяется формулой:

Рассмотрим пример.

 Пример 1. На вход приемного устройства воздействует колебание  где сигнал  и помеха  - независимые гауссовские случайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями, равными соответственно  и

Определить: 1) количество взаимной информации  которое содержится в каком-либо значении принятого колебания  о значении сигнала  2) полную среднюю взаимную информацию

 Решение. По условию задачи  представляет собой сумму независимых колебаний  и  которые имеют нормальные плотности вероятности. Поэтому

 

1. Количество информации определяется по формуле:

 

2. Полная средняя взаимная информация:

где  - знак усреднения по множеству.

Таким образом,

дв. ед.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1026. Общие вопросы практической философии 524.5 KB
  Проблема рождения философии. Космоцентризм и основные понятия античной философии. Бог, человек и мир в средневековой христианской философии. Антропоцентризм и гуманизм в философской мысли Возрождения. Система и метод философии Гегеля. П.Я. Чаадаев о российской истории и историософии.
1027. Исследование системы биометрической аутентификации пользователя ПК по клавиатурному почерку 422 KB
  Теоретические принципы построения биометрических систем динамической аутентификации личности по рукописному и клавиатурному почеркам. Получение вектора биометрических параметров при анализе рукописного почерка. Аутентификация пользователя на основе измерения близости образа к биометрическому эталону мерой Хэмминга. Биометрическая аутентификация на основе аддитивной модели сравнения биометрических характеристик пользователей.
1028. Создание и обработка изображений для печатной рекламы средствами программы Corel Draw 573.5 KB
  Краткое описание продукта Corel Draw. Особенности разработки элементов наружной рекламы в пакетах Corel Draw. Состав изображений. Графические объекты. Использование пиксельных изображений в Corel Draw и функция импорт. Перспектива, тени и экструзия. Цветовые палитры и модели цвета.
1029. Методика викладання математики та її зв'язок з іншими науками 453.5 KB
  Огляд програмного забезпечення навчального процесу у вищій школі. Математичні методи наукових досліджень і сучасне природознавство. Сучасні тенденції розвитку математичної освіти у середній і вищій школі. Філософські проблеми математики в історичному контексті. Формування наукового світогляду при вивченні математики. Методика формування математичних понять. Організація, зміст і перспективи дистанційної освіти.
1030. Технологический процесс при производстве ударопрочного полистирола 469.64 KB
  Разработка системы управления технологическими процессами. Описание алгоритмов сбора, первичной обработки информации и циклического опроса датчиков. Спецификация на приборы и средства автоматизации. Контроллер РСУ и ПАЗ.
1031. Теории организации и управление предприятием и персоналом 706 KB
  Виды социальных систем их особенности. Схемы отношений индивидов в организации. Особенности их применения. Отличия форм собственности хозяйственных операций. Особенности национальных моделей менеджмента (японская, американская, европейская, российская). Функции в организации. Их классификация и состав. Управление противоречиями в организации. Пути формирования организационной культуры.
1032. Учет в производственных подразделениях, учет денежных средств, расчетов и кредитных операций 477 KB
  Организационно-экономическая и правовая характеристика ООО Хлебозавод №5. Организация учета в производственных подразделениях ООО Хлебозавод №5. Учет на складах и других местах хранения готовой продукции и материальных производственных запасов. Учет кредитных операций
1033. Системы принятия решения и оптимизация в электронных таблицах, конструирование баз данных 469 KB
  Краткие сведения о системах принятия решения. Системы искусственного интеллекта, имитирующие на компьютере мышление человека при решении различных задач. Разработка системы принятия решения для аттестации знаний студентов по курсу Финансовая математика.
1034. Разработка защиты кабинета руководителя 558 KB
  Моделирование угроз утечки информации. Моделирование радиоэлектронного канала утечки информации. Предотвращение перехвата радио и электрических сигналов. Перечень программно-аппаратных средств защиты информации. Меры по защите речевой информации от подслушивания.