50971

Информационная мера Шеннона

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Количество информации и избыточность Дисктретные системы передачи информации Непрерывные системы передачи информации Слайды к лекции Количество информации и избыточность Количество информации и избыточность.

Русский

2014-02-03

440 KB

7 чел.

Курс: Информатика                                     ВМ, САПР, АСОИ, Т28 -2 курс

ЛЕКЦИЯ №4

Тема: Информационная мера Шеннона

1. ИНФОРМАЦИОННАЯ МЕРА ШЕННОНА

1.1. Количество информации и избыточность

1.2. Энтропия непрерывных сообщений

2. УСЛОВНАЯ ЭНТРОПИЯ И ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

2.1. Дисктретные системы передачи информации

  1.  Непрерывные системы передачи информации

Слайды к лекции №4

1. Условная энтропия и взаимная информация.

2. Количество информации и избыточность

3. Аддитивность информационной меры

Лекция №4

Тема: ИНФОРМАЦИОННАЯ МЕРА ШЕННОНА.

1. ИНФОРМАЦИОННАЯ МЕРА ШЕННОНА.

 1.1.  Количество информации и избыточность.

Дискретные системы связи - системы, в которых как реализации сообщения, так и реализации сигнала представляют собой последовательности символов алфавита, содержащего конечное число элементарных символов.  

Пусть  и  - случайные величины с множествами возможных значений  

Количество информации  при наблюдении случайной величины  с распределением вероятностей задается формулой Шеннона:

Единицей измерения количества информации является бит, который представляет собой количество информации, получаемое при наблюдении случайной величины, имеющей два равновероятных значения.

При равномерном распределении  количество информации задается формулой Хартли:

.

Справедливы следующие соотношения:

1)

2)  

3)  если  и  - независимы.

Избыточностью называется

Рассмотрим примеры.

 Пример 1. Имеются два источника информации, алфавиты и распределения вероятностей которых заданы матрицами:

 

Определить, какой источник дает большее количество информации, если

1)  2)

 Решение. Для первого источника при равновероятном распределении воспользуемся формулой Хартли. Для  и  имеем

Следовательно, источник с тремя символами дает большее количество информации. Для второго случая воспользуемся формулой Шеннона:

с учетом условия задачи имеем

С другой стороны,

Поскольку

  то

 Пример 2. Источник сообщений выдает символы из алфавита   с вероятностями     Найти количество информации и избыточность.

 Решение. По формуле Шеннона

(бит).

По определению избыточности

 


1.2. Энтропия непрерывных сообщений

Непрерывные системы передачи информации - системы, в которых как реализации сообщения, так и реализации сигнала на конечном временном интервале  представляют собой некоторые непрерывные функции времени.

Пусть  - реализации непрерывного сообщения на входе какого-либо блока схемы связи,  - реализация выходного сообщения (сигнала),  - плотность вероятности ансамбля входных сообщений,  - плотность вероятности ансамбля выходных сообщений

Формулы для энтропии  непрерывных сообщений получаются путем обобщения формул для энтропии дискретных сообщений. Если  - интервал квантования (точность измерения), то при достаточно малом  энтропия непрерывных сообщений

где  По аналогии

Пример 1. По линии связи передаются непрерывные амплитудно-модулированные сигналы  распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием  и дисперсией

Определить энтропию  сигнала при точности его измерения  

 Решение. По условию плотность вероятности сигнала

Подставляя числовые значения, получаем

дв. ед.

2. УСЛОВНАЯ ЭНТРОПИЯ И ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

2.1. Дисктретные системы передачи информации.

Условной энтропией величины  при наблюдении величины  называется

Справедливы соотношения:

 

Взаимной информацией величин  и  называется

Справедливы следующие соотношения:

  

 

Если  и независимы, то =0.

При расчетах условной энтропии и взаимной информации удобно пользоваться следующими соотношениями теории вероятностей:

1) теорема умножения вероятностей ;

2) формула полной вероятности  

3) формула Байеса

Рассмотрим пример.

 Пример 1. Дана матрица

,  .

Определить:      

 Решение. По формуле полной вероятности имеем:  

   

Следовательно,

 

По теореме умножения

  

  

 

Следовательно,

Аналогично

 

 

2.2. Непрерывные системы передачи информации.

 Пусть  - реализации непрерывного сообщения на входе какого-либо блока схемы связи,  - реализация выходного сообщения (сигнала),  - одномерная плотность вероятности ансамбля входных сообщений,  - одномерная плотность вероятности ансамбля выходных сообщений,  - совместная плотность вероятности,  - условная плотность вероятности

при известном  Тогда для количества информации  справедливы следующие соотношения:

 

,

 

Здесь  - взаимная информация между каким-либо значением входного и значением выходного сообщений,   - средние значения условной информации,  - полная средняя взаимная информация.

Условная энтропия определяется по формуле:

 

Когда  и  статистически связаны между собой, то

При независимых  и

Полная средняя взаимная информация определяется формулой:

Рассмотрим пример.

 Пример 1. На вход приемного устройства воздействует колебание  где сигнал  и помеха  - независимые гауссовские случайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями, равными соответственно  и

Определить: 1) количество взаимной информации  которое содержится в каком-либо значении принятого колебания  о значении сигнала  2) полную среднюю взаимную информацию

 Решение. По условию задачи  представляет собой сумму независимых колебаний  и  которые имеют нормальные плотности вероятности. Поэтому

 

1. Количество информации определяется по формуле:

 

2. Полная средняя взаимная информация:

где  - знак усреднения по множеству.

Таким образом,

дв. ед.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61096. Внутрішня політика Володимира Великого. Прийняття християнства 31.5 KB
  Володимир проводив широкомаштабну і далекоглядну внутрішню політику спрямовану на зміцнення могутності Київської Русі через концентрацію державної влади у руках князя. Адміністративна: всю країну було поділено на вісім округів округи на волості на чолі яких стояли довірені особи...
61097. Київська Русь за часів князя Володимира Великого 98 KB
  Київська Русь за часів князя Володимира Великого. Проаналізувати основні напрямки політики князя Володимира визначити роль його діяльності для зміцнення держави на Русі.
61098. ПИСЬМОВИЙ ТВІР-ОПИС МІСЦЕВОСТІ (ВУЛИЦІ, СЕЛА, МІСТА) НА ОСНОВІ ОСОБИСТИХ СПОСТЕРЕЖЕНЬ І ВРАЖЕНЬ У ХУДОЖНЬОМУ СТИЛІ 44.5 KB
  З якою метою їх можна використовувати Яку структуру має текстопис місцевості У яких стилях мовлення використовується опис місцевості Навести приклади. Зясувати які з них належать текстамописам місцевості.
61099. Київська Русь за часів правління князя Ярослава Мудрого 115 KB
  Київська Русь за часів правління князя Ярослава Мудрого. У цікавій формі уявної подорожі ознайомити учнів з життям та діяльністю великого князя Ярослава Мудрого визначити його роль і місце в історії України.
61100. РЕЧЕННЯ ДВОСКЛАДНІ Й ОДНОСКЛАДНІ, ПРОСТІ І СКЛАДНІ 1.82 MB
  Правопис: розділові знаки в кінці речення повторення. Використовуючи подане висловлювання і власні знання розгорнути зміст останнього речення. Усно схарактеризувати речення в тексті за наявністю головних і другорядних членів.
61101. Політичний, соціальний устрій та господарське життя Київської Русі 17.65 MB
  Мета: формувати в учнів знання про політичний та соціальний устрій, господарське життя Київської, Русі; удосконалювати навички роботи з історичними джерелами та на їх основі аналізувати історичні факти...
61102. Культурне життя Київської Русі доби розквіту 66.5 KB
  Мета: ознайомити учнів з основними досягненнями культури періоду Київської Русі; дати уявлення про досягнення в літературі, літописанні, іконописі, архітектурі; вчити учнів працювати з текстом підручників, ілюстраціями, розвивати в учнів уяву...
61103. ПОРЯДОК СЛІВ У РЕЧЕННІ. ЛОГІЧНИЙ НАГОЛОС 27.66 KB
  Мета: дати восьмикласникам поняття про прямий і зворотний порядок слів у реченні, навчати дотримуватися логічного наголосу при інтонуванні речень; розвивати організаційно-контрольні вміння виконувати спеціальні спостереження над мовним матеріалом; формувати загально-пізнавальні вміння правильно інтонувати різні за метою висловлювання речення...
61104. Утворення Єгипетської держави 59 KB
  Мета: на конкретному історичному матеріалі показати процес утворення Давньоєгипетської держави; розкрити суть понять: ном номарх держава фараон. Основні поняття: Єгипет Африка Ніл дельта Середземне море...