51353

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Руководство программиста Описание структуры программы Функции PHod осуществляет прямой ход; OHod осуществляет обратный ход; Описание структур данных Описание глобальных переменных использующихся в программе: int n – размер матрицы; flot rr – массив в котором хрантся элементы матрицы; flot ms – копия масива rr; flot x – массив решений системы уравнений; FILE file – файл из которого берется матрица; FILE file2 – файл в который записываются результаты; Описание алгоритмов Метод Гаусса для решения системы линейных...

Русский

2014-02-10

158 KB

7 чел.

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Отчёт по лабораторной работе

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Выполнил:

 студент ф-та ВМК гр. 81-05

Ляшук Д.А.

Проверил:

 ассистент каф. МО ЭВМ, ВМК

Кукаева С.А.

Нижний Новгород

2013 г.


Содержание

[1] Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

[2] Введение

[3] Постановка задачи

[4] Руководство пользователя

[5]
Руководство программиста

[5.1] Описание структур данных

[5.2] Описание алгоритмов

[6]
Заключение

[7] Приложения

[7.1] Приложение 1


Введение

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица  называется основной матрицей системы,  — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):


Постановка задачи

При выполнении лабораторной работы необходимо разработать программный комплекс для поиска методом Гаусса решений систем линейных уравнений вида

A*x = b,                                   

где А - числовая не особая (т.е. имеющая не равный нулю детерминант) квадратная матрица размером N на N, b - числовой вектор-столбец размером N, а x - искомый вектор-столбец размером N. Программный комплекс должен обеспечивать:

задание пользователем исходной системы уравнений  в текстовом файле;

решение полученной системы уравнений методом Гаусса;

экранное отображение формирующейся системы уравнений, результата, а так же запись результатов в текстовый файл.

 


Руководство пользователя

Для работы с программой пользователю необходимо ввести значения элементов матрицы в файл inp.txt. Причем матрица в файле должна быть записана следующим образом – первое число должно означать размер матрицы, а далее со следующей строки записана сама матрица, элементы которой разделены пробелом. Затем запустить программу.

Файл inp.txt.

Работа программы.

Результаты вычислений записываются в файл out.txt.


Руководство программиста

Описание структуры программы

Функции

PHod – осуществляет прямой ход;

OHod – осуществляет обратный ход;

Описание структур данных

Описание глобальных переменных, использующихся в программе:

     int n – размер матрицы;

 float** arr – массив, в котором хрантся элементы матрицы;

 float** mas – копия масива arr;

 float* x – массив решений системы уравнений;

FILE* file – файл, из которого берется матрица;

FILE* file2 – файл в который записываются результаты;

Описание алгоритмов

Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений состоит в приведении матрицы А посредством эквивалентных преобразований (не меняющих решение системы [12]) к треугольному виду и последующему поиску решений для вновь полученной матрицы. Краткая схема первой части метода Гаусса - прямого хода - состоит в следующем.

Алгоритм прямого хода.

  1.  Движение по главной диагонали матрицы  А.
    В цикле по переменной  
    I  от  1 до N выполняются  Шаг 2 Шаг 6.

Выбор главного элемента. Полагается R:=A[I, I]. Если R=0, то реализуется поиск главного элемента.

Преобразование текущей строки матрицы путем деления всех значений ее элементов на главный элемент. В цикле по переменной  J  от  I до N+1 выполняются вычисления
A[IJ]:= A[IJ] / R.

Вычитание текущей строки из всех ниже расположенных строк с занулением I - ого элемента в каждой из них. В цикле по K от I + 1 до N выполняются Шаг 5 Шаг 6.

Полагается m:= A[KI].

Вычитание из очередной строки текущей строки. В  цикле по J  от  I  до  N+1  делаем A[KJ]:= A[KJ] - A[IJ]* m.

Конец алгоритма.

Алгоритм обратного хода.

  1.  Поиск, начиная с последнего, всех неизвестных системы - элементов вектора x. В цикле по переменной I от N до 0 выполняются Шаг 2 Шаг 3.

Задается начальное значение элемента x[I].
x[I]:=A[I,N] .

Корректируется искомое значение x[I]. В цикле по J от N-1 до I+1 (в случае, когда I=N, этот шаг не выполняется) производятся вычисления x[I]:=  x[I] - x[J]* A[IJ].

Конец алгоритма. 

Поиск главного элемента

  1.  Если главный элемент R=A[II] равен нулю, то в остальных элементах этого столбца ищется первый ненулевой элемент. Если такой найден и его номер равен K, то меняются местами I -ая и K -ая строки матрицы А.


Заключение

В данной программе реализован метод гаусса, с помощью которого решаются системы линейных уравнений. В ней реализован прямой ход, где считается сначала верхняя треугольная матрица, и обратный ход, где находятся решения уравнений.


Приложения

Приложение 1

Исходный код программы

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#include<stdio.h>

#include<Windows.h>

void phod(float**,int);

void ohod(float**, float*, int);

int main()

{

 int n,i,j;

 float** arr;

 float** mas;

 float* x;

FILE* file;

FILE* file2;

 

{

 file=fopen("inp.txt","r+");

 fscanf(file,"%d\n",&n);

}

   x=(float*)malloc(n*sizeof(float));

arr=(float**)malloc(n*sizeof(float*));

 for(i=0; i<n; ++i)

{

 arr[i]=(float*)malloc(n*sizeof(float));

}

mas=(float**)malloc(n*sizeof(float*));

 for(i=0; i<n; ++i)

{

 mas[i]=(float*)malloc(n*sizeof(float));

}

 for(i=0; i<n; ++i)

{

 for(j=0; j<n+1; ++j)

 {

  fscanf(file,"%f ",&arr[i][j]);

  mas[i][j]=arr[i][j];

 }

}

 //вывод массива  

 for(i=0; i<n; ++i)

{

 for(j=0; j<n+1; ++j)

 {

  printf("%.3f ", arr[i][j]);

 }

 printf("\n");

}

printf("\n");

//прямой ход  

 phod(arr,n);

 //зануляем массив x

  for(i=0; i<n+1; ++i)

  {

   x[i]=0;

  }   

//обратный ход

ohod(arr,x,n);

 

 for(i=0; i<n; ++i)

  {

   printf("\n x%d=%.4f ",i+1,x[i]);

  }

//запись результатов в файл

 

 file2=fopen("out.txt","w");

 

 for(i=0; i<n; ++i)

 {

  fprintf(file2,"x%d=%.4f  ",i+1,x[i]);

 }

 fprintf(file2,"\n\n");

 fclose(file2);

 

{

 return 0;

}

 

}

 //прямой ход

void phod(float** arr,int n)

{

 int i,j,k,l;

 float r,m;

 float h;

 

 

  for(i=0; i<n; ++i)

  {

   if (arr[i][i]==0)

   {

    for(l=i+1; l<n; ++l)

    {

     if (arr[l][i]!=0)

     {

      for(j=0; j<n+1; ++j)

      {

      h=arr[l][j];

      arr[l][j]=arr[i][j];

      arr[i][j]=h;

      }

     }

   }

   }

   r=(arr[i][i]);

   for(j=0; j<n+1; ++j)

   {

  (arr[i][j])= (arr[i][j])/r;

   }

  

   for(k=i+1; k<n; ++k)

  {

   m=arr[k][i];

   for(j=i; j<n+1; ++j)

   {

    arr[k][j]= arr[k][j]- arr[i][j]*m;

   }

     }

    }

// вывод прямого хода

 for(i=0; i<n; ++i)

{

 for(j=0; j<n+1; ++j)

 {

  printf("%.3f ", arr[i][j]);

   

 }

printf("\n");

}

}

//обратный ход

void ohod(float** arr, float* x, int n)

{

 int i,j;

 float c;

  for(i=n-1; i>=0; --i)

  {

   c=arr[i][n];

   x[i]=c;

   for(j=n-1; j>i; j--)

   {

    x[i]=x[i]-x[j]*arr[i][j];

   }

  }

  system("pause");

}


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49926. Электроснабжение жилого района города 19.28 MB
  Все здания, представленные на плане застройке, являются жилыми. Общественные здания располагаются на первых этажах зданий (соответственно, первый этаж нежилой). Во всех корпусах предусмотрена подземная парковка на 100 машин мест.
49929. Проектирование участка ТО-2 на 323 автомобилей КамАЗ-5320 680.5 KB
  При ТО2 проводят более глубокую проверку состояния всех механизмов и приборов автомобиля со снятием приборов питания и электрооборудования для контроля и регулировки в специализированных цехах выполнение в установленном объёме крепёжных регулировочных смазочных и других работ обслуживание узлов и агрегатов со снятием кроме базовых с автомобиля. Общая информация по тягачам КамАЗ5320: Тягач Назначение: Автомобиль тягач предназначенный для работы преимущественно с прицепами Марка: КамАЗ Модель серия: 5320 Технические...
49930. Общая микробиология, вирусология и иммунология 509.5 KB
  В учебном пособии представлены краткие материалы в виде лекций по основным направлениям общей и частной бактериологии, вирусологии и иммунологии в соответствии с Программой по микробиологии, вирусологии, иммунологии для студентов лечебных, медико - профилактических и педиатрических факультетов высших медицинских учебных заведений
49931. Участок автоматизированной технологической линии для производства детали типа вал вторичный 2.45 MB
  Стоимость основного технологического оборудования определяется по выражению: где – балансовая стоимость единицы основного технологического оборудования занятого на iой операции определяемая по выражению: где – оптовая цена оборудования по прейскуранту; – коэффициент транспортно-заготовительных расходов; – коэффициент строительно-монтажных расходов; – коэффициент пусконаладочных расходов. Базовый вариант Проектный вариант руб.
49932. Электропривод подъемного механизма крана 286.47 KB
  К их числу относятся доставка сырья и полуфабрикатов к истокам технологических процессов и межоперационные перемещения изделий в процессе обработки погрузочно-разгрузочные работы на складах железнодорожных станциях и т. Основное внимание уделяется задаче регулирования координат тока и скорости. Грузоподъемность кг 7000 Масса захватного приспособления кг 25 Диаметр барабана мм 550 Передаточное число редуктора 50 Кратность полиспаста 1 КПД передачи 093 Скорость подъема м мин 15 Высота подъема м 17 Продолжительность включения механизма...
49933. Проект районної електричної мережі 5.1 MB
  Робота виконується з метою розробки ескізного проекту районної електричної мережі. Мета роботи –- спроектувати електричну мережу провести розрахунок режиму максимальних навантажень розрахувати післяаварійний режим та зробити аналіз режимів електричної мережі. ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра Електричні системи і мережі Дисципліна Електричні системи і мережі Спеціальність
49934. Эффект полного внутреннего отражения в оптических волноводах 4.38 MB
  С изобретением зеркал для передачи сигналов на значительные расстояния в качестве источника света стало использоваться солнце. Развитие подобных методов сдерживалось изза отсутствия хороших источников света и надежных каналов передачи с низкими потерями. не продемонстрировали что затухание света в волокне из плавленого кварца настолько мало что позволяет создавать протяженные линии связи. Рисунок 1 Пучок оптических волокон Оптическое волокно имеет световедущую сердцевину с показателем преломления света n1 окружённую оболочкой с...