51353

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Руководство программиста Описание структуры программы Функции PHod осуществляет прямой ход; OHod осуществляет обратный ход; Описание структур данных Описание глобальных переменных использующихся в программе: int n размер матрицы; flot rr массив в котором хрантся элементы матрицы; flot ms копия масива rr; flot x массив решений системы уравнений; FILE file файл из которого берется матрица; FILE file2 файл в который записываются результаты; Описание алгоритмов Метод Гаусса для решения системы линейных...

Русский

2014-02-10

158 KB

7 чел.

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Отчёт по лабораторной работе

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Выполнил:

 студент ф-та ВМК гр. 81-05

Ляшук Д.А.

Проверил:

 ассистент каф. МО ЭВМ, ВМК

Кукаева С.А.

Нижний Новгород

2013 г.


Содержание

[1] Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

[2] Введение

[3] Постановка задачи

[4] Руководство пользователя

[5]
Руководство программиста

[5.1] Описание структур данных

[5.2] Описание алгоритмов

[6]
Заключение

[7] Приложения

[7.1] Приложение 1


Введение

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица  называется основной матрицей системы,  — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):


Постановка задачи

При выполнении лабораторной работы необходимо разработать программный комплекс для поиска методом Гаусса решений систем линейных уравнений вида

A*x = b,                                   

где А - числовая не особая (т.е. имеющая не равный нулю детерминант) квадратная матрица размером N на N, b - числовой вектор-столбец размером N, а x - искомый вектор-столбец размером N. Программный комплекс должен обеспечивать:

задание пользователем исходной системы уравнений  в текстовом файле;

решение полученной системы уравнений методом Гаусса;

экранное отображение формирующейся системы уравнений, результата, а так же запись результатов в текстовый файл.

 


Руководство пользователя

Для работы с программой пользователю необходимо ввести значения элементов матрицы в файл inp.txt. Причем матрица в файле должна быть записана следующим образом – первое число должно означать размер матрицы, а далее со следующей строки записана сама матрица, элементы которой разделены пробелом. Затем запустить программу.

Файл inp.txt.

Работа программы.

Результаты вычислений записываются в файл out.txt.


Руководство программиста

Описание структуры программы

Функции

PHod – осуществляет прямой ход;

OHod – осуществляет обратный ход;

Описание структур данных

Описание глобальных переменных, использующихся в программе:

     int n – размер матрицы;

 float** arr – массив, в котором хрантся элементы матрицы;

 float** mas – копия масива arr;

 float* x – массив решений системы уравнений;

FILE* file – файл, из которого берется матрица;

FILE* file2 – файл в который записываются результаты;

Описание алгоритмов

Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений состоит в приведении матрицы А посредством эквивалентных преобразований (не меняющих решение системы [12]) к треугольному виду и последующему поиску решений для вновь полученной матрицы. Краткая схема первой части метода Гаусса - прямого хода - состоит в следующем.

Алгоритм прямого хода.

  1.  Движение по главной диагонали матрицы  А.
    В цикле по переменной  
    I  от  1 до N выполняются  Шаг 2 Шаг 6.

Выбор главного элемента. Полагается R:=A[I, I]. Если R=0, то реализуется поиск главного элемента.

Преобразование текущей строки матрицы путем деления всех значений ее элементов на главный элемент. В цикле по переменной  J  от  I до N+1 выполняются вычисления
A[IJ]:= A[IJ] / R.

Вычитание текущей строки из всех ниже расположенных строк с занулением I - ого элемента в каждой из них. В цикле по K от I + 1 до N выполняются Шаг 5 Шаг 6.

Полагается m:= A[KI].

Вычитание из очередной строки текущей строки. В  цикле по J  от  I  до  N+1  делаем A[KJ]:= A[KJ] - A[IJ]* m.

Конец алгоритма.

Алгоритм обратного хода.

  1.  Поиск, начиная с последнего, всех неизвестных системы - элементов вектора x. В цикле по переменной I от N до 0 выполняются Шаг 2 Шаг 3.

Задается начальное значение элемента x[I].
x[I]:=A[I,N] .

Корректируется искомое значение x[I]. В цикле по J от N-1 до I+1 (в случае, когда I=N, этот шаг не выполняется) производятся вычисления x[I]:=  x[I] - x[J]* A[IJ].

Конец алгоритма. 

Поиск главного элемента

  1.  Если главный элемент R=A[II] равен нулю, то в остальных элементах этого столбца ищется первый ненулевой элемент. Если такой найден и его номер равен K, то меняются местами I -ая и K -ая строки матрицы А.


Заключение

В данной программе реализован метод гаусса, с помощью которого решаются системы линейных уравнений. В ней реализован прямой ход, где считается сначала верхняя треугольная матрица, и обратный ход, где находятся решения уравнений.


Приложения

Приложение 1

Исходный код программы

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#include<stdio.h>

#include<Windows.h>

void phod(float**,int);

void ohod(float**, float*, int);

int main()

{

 int n,i,j;

 float** arr;

 float** mas;

 float* x;

FILE* file;

FILE* file2;

 

{

 file=fopen("inp.txt","r+");

 fscanf(file,"%d\n",&n);

}

   x=(float*)malloc(n*sizeof(float));

arr=(float**)malloc(n*sizeof(float*));

 for(i=0; i<n; ++i)

{

 arr[i]=(float*)malloc(n*sizeof(float));

}

mas=(float**)malloc(n*sizeof(float*));

 for(i=0; i<n; ++i)

{

 mas[i]=(float*)malloc(n*sizeof(float));

}

 for(i=0; i<n; ++i)

{

 for(j=0; j<n+1; ++j)

 {

  fscanf(file,"%f ",&arr[i][j]);

  mas[i][j]=arr[i][j];

 }

}

 //вывод массива  

 for(i=0; i<n; ++i)

{

 for(j=0; j<n+1; ++j)

 {

  printf("%.3f ", arr[i][j]);

 }

 printf("\n");

}

printf("\n");

//прямой ход  

 phod(arr,n);

 //зануляем массив x

  for(i=0; i<n+1; ++i)

  {

   x[i]=0;

  }   

//обратный ход

ohod(arr,x,n);

 

 for(i=0; i<n; ++i)

  {

   printf("\n x%d=%.4f ",i+1,x[i]);

  }

//запись результатов в файл

 

 file2=fopen("out.txt","w");

 

 for(i=0; i<n; ++i)

 {

  fprintf(file2,"x%d=%.4f  ",i+1,x[i]);

 }

 fprintf(file2,"\n\n");

 fclose(file2);

 

{

 return 0;

}

 

}

 //прямой ход

void phod(float** arr,int n)

{

 int i,j,k,l;

 float r,m;

 float h;

 

 

  for(i=0; i<n; ++i)

  {

   if (arr[i][i]==0)

   {

    for(l=i+1; l<n; ++l)

    {

     if (arr[l][i]!=0)

     {

      for(j=0; j<n+1; ++j)

      {

      h=arr[l][j];

      arr[l][j]=arr[i][j];

      arr[i][j]=h;

      }

     }

   }

   }

   r=(arr[i][i]);

   for(j=0; j<n+1; ++j)

   {

  (arr[i][j])= (arr[i][j])/r;

   }

  

   for(k=i+1; k<n; ++k)

  {

   m=arr[k][i];

   for(j=i; j<n+1; ++j)

   {

    arr[k][j]= arr[k][j]- arr[i][j]*m;

   }

     }

    }

// вывод прямого хода

 for(i=0; i<n; ++i)

{

 for(j=0; j<n+1; ++j)

 {

  printf("%.3f ", arr[i][j]);

   

 }

printf("\n");

}

}

//обратный ход

void ohod(float** arr, float* x, int n)

{

 int i,j;

 float c;

  for(i=n-1; i>=0; --i)

  {

   c=arr[i][n];

   x[i]=c;

   for(j=n-1; j>i; j--)

   {

    x[i]=x[i]-x[j]*arr[i][j];

   }

  }

  system("pause");

}


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11123. Професія тесля 32 KB
  ТЕСЛЯ Зміст праці. Предметом праці теслі є деревина як будівельний матеріал. Зміст праці теслі дуже різноманітний. Вони зводять різні деревяні конструкції розповсюджені в сільському господарстві задіяні в будівництві міських споруджень і заміських будинків. Теслі...
11124. Задачи и метод сопротивления материалов. Растяжение и сжатие 977 KB
  Задачи и метод сопротивления материалов. Растяжение и сжатие. Общие понятия. Возведение сооружений и строительство машин которые далее будем называть конструкциями начинается с составления проекта в котором определяют форму размеры и материал конструкции. Каждая
11125. Геометрические характеристики плоских сечений. Статические моменты площади. Центр тяжести площади 1.28 MB
  Геометрические характеристики плоских сечений. Основным объектом изучаемым в курсе сопротивление материалов является стержень. Сопротивление стержня различным видам деформации часто зависит не только от его материалов и размеров но и от очертаний оси формы попер...
11126. Основы теории напряженного состояния 1.08 MB
  Основы теории напряженного состояния. Напряжения в точке. Если мысленно вырезать вокруг какойнибудь точки тела элемент в виде бесконечного малого кубика то по его граням в общем случае будут действовать напряжения представленные на рис. 3.1. Совокупность нормальных...
11127. Теории прочности. Чистый сдвиг 786 KB
  Теории прочности. Чистый сдвиг Теории прочности. Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности элемента конструкции по известному напряженному состоянию. Для простых видов деформаций в частности для одноосных напряженных состояний определение з...
11128. Кручение. Кручение бруса некруглого сечения 911.5 KB
  Кручение. Кручение бруса некруглого сечения. Кручение прямого круглого бруса. Деформация кручения вызывается парами сил плоскости действия которых перпендикулярны к оси стержня. Поэтому при кручении в произвольном поперечном сечении стержня из шести внутренних сил
11129. Чистый изгиб. Поперечный изгиб 623 KB
  Чистый изгиб. Поперечный изгиб. Общие понятия. Деформация изгиба заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня рис. 6.1. Ознакомимся с основными понятиями которые используются при рассмотрении деформации изгиба. С
11130. Полный расчет балок на прочность при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси 704 KB
  Полный расчет балок на прочность при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси Касательные напряжения при изгибе. Присутствие поперечных сил при поперечном изгибе свидетельствует о наличии в поперечном сечении касательных напряжений. ...
11131. Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров. Определение перемещений в балках переменного сечения 396 KB
  Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров. Определение перемещений в балках переменного сечения Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциаль...