51385

Электронный аналоговый милливольтметр среднеквадратического значения

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Пределы допускаемых значений основной относительной погрешности при измерении напряжения равны: при измерении постоянного напряжения; при измерении переменного напряжения во всем диапазоне частот где Uk конечное значение установленного предела измерений U значение измеряемого напряжения на входе мультиметра; пределы допускаемых значений основной погрешности мультиметра при измерении активного электрического сопротивления равны в процентах где Rk конечное значение...

Русский

2014-02-10

2.41 MB

8 чел.

Электронный аналоговый милливольтметр среднеквадратического значения

Модель электронного аналогового милливольтметра среднеквадратического значения служит для измерения среднеквадратического значения напряжения в цепях переменного тока синусоидальной и искаженной формы.

Ниже приведены некоторые характеристики модели:

в режиме измерения переменного напряжения пределы измерения могут выбираться в диапазоне от 1,0 мВ до 300 В;

диапазон рабочих частот от 10 Гц до 10 МГц;

пределы допускаемой приведенной основной погрешности в области частот от 50 Гц до 100 кГц не превышают значений:

hпр ≤1% в диапазонах 1-3 мВ или 0,1-1 А;

hпр ≤ 0,5% в диапазонах 10 мВ-300 В или 0,01-30 мА.
На лицевой панели модели расположены (рис, П.1.7):

кнопка (1) «СЕТЬ» для включения питания;

световые индикаторы (2) включения питания и установленных пределов «V» и «mV»;

шкала (3) отсчетного устройства со стрелочным указателем и с указанием параметра, для которого выполнялась градуировка;

Рис. П. 1.7. Внешний вид модели

электронного аналогового милливольтметра

среднеквадратического значения

кнопка калибровки (4);

кнопочный переключатель (5) пределов измеряемой величины;

электрические разъемы (6) для подключения к источнику измеряемого напряжения.

Магнитоэлектрический вольтамперметр

Модель магнитоэлектрического вольтамперметра служит для измерения постоянного напряжения и силы постоянного тока.

Ниже приведены некоторые характеристики модели:

в режиме измерения постоянного напряжения пределы измерения могут выбираться в диапазоне от 0,075 В до 600 В;

в режиме измерения постоянного тока пределы измерения могут выбираться в диапазоне от 0,075 мА до 3А;

класс точности нормирован для приведенной погрешности и равен 0,5;

входное сопротивление в режиме измерения напряжения равно 30 кОм;

внутреннее сопротивление в режиме измерения тока составляет 0,1 Ом. На лицевой панели модели расположены (рис. П. 1.1):

шкала (1) отсчетного устройства со стрелочным указателем;

ручка (2) переключателя пределов измерения и выбора рода работ (ток или
напряжение);

ручка (3) переключателя множителя пределов измерения;

клеммы (4) для подключения к электрической цепи.

Электронный цифровой мультиметр

Модель электронного цифрового мультиметра  служит для измерения постоянного тока и напряжения, измерения среднеквадратических значений тока и напряжения в цепях переменного тока синусоидальной формы, измерения сопротивления постоянному току. Ниже приведены некоторые характеристики модели:

в режиме измерения постоянного и переменного напряжения пределы измерения могут выбираться в диапазоне от 1,0 мВ до 300 В;

при измерении напряжения могут быть установлены следующие поддиапазоны: от 0,0 мВ до 199,9 мВ; от 0,000 В до 1,999 В; от 0,00 В до 19,99 В; от0,0 В до 199,9 В; от О В до 1999 В.

диапазон рабочих частот от 20 Гц до 100 кГц;

пределы допускаемых значений основной относительной погрешности при измерении напряжения равны:

•  % - при измерении постоянного напряжения;

• % - при измерении переменного напряжения во всем диапазоне частот, где Uk - конечное значение установленного предела измерений, U - значение измеряемого напряжения на входе мультиметра;

• пределы допускаемых значений основной погрешности мультиметра при измерении активного электрического сопротивления равны (в процентах)

%, где Rk - конечное значение установленного предела измерений; R значение измеряемого сопротивления. На лицевой панели модели расположены (рис. П. 1.11):

тумблер (1) «ВКЛ» включения питания со световым индикатором;

четырехразрядный индикатор (2) цифрового отсчетного устройства;

кнопка (3) «<-» со световым индикатором для выбора меньшего рабочего предела;

кнопка (4) «->» со световым индикатором для выбора большего рабочего предела;

кнопка (5) автоматического выбора предела работы «АВП» со световым индикатором;

группа кнопок (6) выбора рода работы (при измерении постоянного напряжения должна быть нажата кнопка «U-») со световыми индикаторами;

электрические разъемы (7) для подключения к электрической цепи;

световые индикаторы (8) значения измеряемого напряжения «кило В»,
«В», «милли В», «микро В».

Рис. П.1,11. Внешний вид модели электронного цифрового мультиметра

Магазин сопротивлений

Ниже приведены некоторые характеристики модели:

сопротивление магазина устанавливается с помощью расположенного на
его передней панели восьмидекадного переключателя;

предел допускаемого отклонения действительного значения установленного сопротивления магазина от номинального значения в процентах определяется по формуле

, где К – номинальное значение включенного сопротивления в омах,

Кк= 111 111,110 Ом:

На лицевой панели модели магазина сопротивлений расположен восьмидекадный переключатель (1), с помощью которого устанавливается выбранное сопротивление, кроме того, на передней панели имеются клеммы «Кл. 1» (2), «Кл. 2» (3), «Кл. 3» (4), позволяющие использовать магазин в различных электрических схемах, в частности в качестве делителя напряжения. Электрическая схема модели магазина сопротивлений приведена на рис. П. 1.20.

Метрология – наука об измерения, о методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Основные понятия и определения метрологии.

Единство измерений – применение в результатах измерений узаконенных единиц, а погрешность результата измерений определена с заданной вероятностью.

Точность измерений – качество измерений, отражающее фактическую близость результатов измерений истинному значению измеряемой величины.

Технологические измерения – это технические измерения режимных параметров, протекающих технологических процессов с использованием специальных методов и средств измерения.

Технические измерения – измерения физических величин с помощью методов и средств измерения, имеющих нормированные метрологические характеристики.

Контроль – отражение качественной стороны свойств объекта, при которых устанавливается соответствие между нормой и свойством.

Измерение – нахождение истинного значения физической величины опытным путём с использованием специальных технологических устройств, имеющих нормированные характеристики.

Стандартизация – наука о методах и принципах установления эффективных норм и правил для: совместимости, унификации и рациональной организации общественного производства.

Отличия измерения от контроля.

 При контроле проверяется нахождение физической величины в заданных пределах, а при измерении фиксированные текущие значения измеряемой величины во всём диапазоне её измерения, т.е. при контроле измерения не производятся.

3 принципиальных отличая измерения от контроля:

1) измерение носит познавательный характер;

2) измерение проводится путем физического эксперимента;

3) при измерении осуществляется сравнение полученных измерений информации с единицей измерения.

Понятие измерения. Классификация видов измерений.

Измерение – нахождение истинного значения физической величины опытным путём с использованием специальных технологических устройств, имеющих нормированные характеристики.

Существует 4 основных вида измерений:

1)Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение физической величины находят непосредственно из опытных данных или с помощью технического средства измерения непосредственно отсчитывающего значение измеряемой величины по шкале. В этом случае уравнение измерения имеет вид: Q=qU .

2)Косвенное измерение – измерение, при котором значение физической величины находят на основании известной функциональной зависимости между этой величиной и величинами, подлежащими прямым измерениям. В этом случае уравнение измерения имеет вид: Q=f(x1,x2,…,xn) , где x1 - xn – физические величины, полученные путём прямых измерений.

3)Совокупные измерения – производятся одновременно измерение нескольких одноименных величин, при котором искомое значение находят путём решения системы уравнений, полученных при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.

4)Совместные измерения – производимые одновременно двух или нескольких неодноимённых физических величин для нахождения функциональной зависимости между ними. Как правило, эти измерения проводятся путём клонирования эксперимента и составления таблицы матрицы рангов.

Принцип и метод измерения. Классификация методов измерения.

Принцип измер –это совокупность физических явлений на которых основаны измер.

Метод измер-это совок примеров использования принципов и средств измерения.

Все методы иземр делят на – метод непосредственной оценки,при котором знач величины опред непосредственно по отсчетному устройству прибора при его действии;- метод сравнения с мерой, при котором измер вел сравнивается с вел задаванмой мерой.

МИ:

-метод непосредственной оценки: метод с отсчетом по шагам и методс отсчетом по шагам и нониусу;

- метод сравнения с мерой: нулевой метод(метод противопоставлений;метод замещения;метод совпадения);дифференциальный метод (метод противопоставлений;метод замещения;метод совпадения).

Погрешность измерения. Классификация погрешностей измерения.

Погрешность измерения– нахождение отклонения результатов измерения от истинного значения измеряемой величины.

КЛАССИФИКАЦИЯ:

1. По способу выражения: абсолютные, приведенные и относительные

2. По источнику возникновения: методические и инструментальные.

3. По условиям и причинам возникновения: основные и дополнительные

4. По характеру изменения: систематические и случайные.

5. По зависимости от входной измеряемой величины: аддитивные и мультипликативные

6. По зависимости от инерционности: статические и динамические.

 

Метрологические характеристики средств
измерений

Все средства измерений независимо от их исполнения имеют ряд общих свойств, необходимых для выполнения ими функционального назначения. Технические характеристики, описывающие эти свойства и оказывающие влияние на результаты и погрешности измерений, называются метрологическими характеристиками средств измерений.

В зависимости от специфики и назначения средств измерений нормируются различные наборы или комплексы метрологических характеристик. Однако эти комплексы должны быть достаточны для учета свойств средств измерений при ' оценке погрешностей измерений.

Набор метрологических характеристик, входящие в установленный комплекс, выбирают такими образом, чтобы обеспечить возможность их контроля при приемлемых затратах. В эксплуатационной документации на средства измерений указывают рекомендуемые методы расчета инструментальной составляющей погрешности измерений при использовании средств измерения данного типа в реальных условиях применения.

По ГОСТ 8.009-84 «ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений» предусмотрена следующая номенклатура метрологических характеристик:

1. Характеристики, предназначенные для определения результатов измерений
(без введения поправок):

  •  функция преобразования измерительного преобразователя — f(x);
  •  значение однозначной или многозначной меры — у;
  •  цена деления шкалы измерительного прибора или многозначной меры;
  •  вид входного кода, число разрядов кода, цена единицы наименьшего разряда средств измерений, предназначенных для выдачи результатов в цифровом коде.

2. Характеристики погрешностей средств измерений включают: значение по
грешности, ее систематические и случайные составляющие, погрешности случайной составляющей
сл H от гистерезиса — вариация H выходного сигнала
(показания).

Для систематической составляющей сист погрешности средств измерений выбирают характеристики из числа следующих:

  •  значение систематической составляющей сист;
  •  значение систематической составляющей сист. математическое ожидание М[сист] и среднее квадратическое отклонение δ[сист] систематической составляющей погрешности.

Для случайной составляющей сл погрешности выбирают характеристики из числа следующих:

  •  среднее квадратическое отклонение δ[сл] случайной составляющей погрешности;
  •  среднее квадратическое отклонение δ[сл] случайной составляющей погрешности и нормализованная автокорреляционная функция rсл (τ)или функция спектральной плотности sсл (ω)случайной составляющей погрешности.

В нормативно-технической документации на средства измерений конкретных видов или типов допускается нормировать функции или плотности распределения вероятностей систематической и случайной составляющих погрешности.

3. Характеристики чувствительности средств измерений к влияющим величинам выбираются из числа следующих:

  •  функция влияния Ψ(ξ);
  •  изменения ε (ξ);значений метрологических характеристик средства измерения, вызванные изменением влияющих величин ξ в установленных пределах.

4. Динамические характеристики отражают инерционные свойства средства измерений при воздействии на него меняющихся во времени величин — параметров входного сигнала, внешних влияющих величин, нагрузки.

По степени полноты описания инерционных свойств средств измерений динамические характеристики делятся на полные и частные.

К полным динамическим характеристикам относятся:

дифференциальное уравнение, описывающее работу средства измерений;

  •  передаточная функция;
  •  переходная характеристика;
  •  импульсная переходная характеристика;
  •  амплитудно-фазовая характеристика;
  •  амплитудно-частотная характеристика для минимально-фазовых средств измерения;
  •  совокупность амплитудно-фазовых и фазово-частотных характеристик.

Частичными динамическими характеристиками могут быть отдельные параметры полных динамических характеристик или характеристики, не отражающие полностью динамических свойств средств измерений, но необходимые для выполнения измерений с требуемой точностью (например, время реакции, коэффициент демпфирования, значение амплитудно-частотной характеристики на резонансной частоте, значение резонансной собственной круговой частоты). Комплекс их оговаривается в соответствующих стандартах.

Нормы на отдельные метрологические характеристики приводятся в эксплуатационной документации (паспорте, техническом описании, инструкции по эксплуатации и т. д.) в виде номинальных значений, коэффициентов функций, заданных формулами, таблицами или графиками пределов допускаемых отклонений от номинальных значений функций.

В ГОСТ 8.009-84 приведены способы нормирования рассмотренных выше метрологических характеристик.

Классы точности средств измерений

Учет всех нормируемых метрологических характеристик средств измерений является сложной и трудоемкой процедурой. На практике такая точность не нужна. Поэтому для средств измерений, используемых в повседневной практике, принято деление на классы точности, которые дают их обобщенную метрологическую характеристику.

Требования к метрологическим характеристикам устанавливаются в стандартах на средства измерений конкретного типа.

Классы точности присваиваются средствам измерений с учетом результатов государственных приемочных испытаний.

Обозначения классов точности наносятся на циферблаты, щитки и корпуса средств измерений, приводятся в нормативно-технических документах. Классы точности могут обозначаться буквами (например, М, С и т. д.) или римскими цифрами (I, II, III и т. д.). Обозначение классов точности по ГОСТу 8.401-80 может сопровождаться дополнительными условными знаками:

0,5,  1,6,  2,5 и т. д. — для приборов, приведенная погрешность у = /XN которых составляет 0,5,  1,6,  ,5% от нормирующего значения XN ( — пределы

допустимой абсолютной погрешности). При этом XN принимается равным большему из модулей пределов измерений, если нулевое значение входного (выходного) сигнала находится на краю или вне диапазона измерений;

 

— то же, что и в предыдущем случае, но при XN равным длине шкалы или ее части;

а и т. д. — для приборов, у которых относительная погрешность δ = = /x составляет 0,1, 0,4, 1,0% непосредственно от полученного значения измеряемой величины х;

0,02/0,01 — для приборов, у которых измеряемая величина не может отличаться от значения х, показанного указателем, больше, чем на где С и d — числитель и знаменатель соответственно в обозначении класса точности; Хк - больший (по модулю) из пределов измерений прибора. Примеры обозначения классов точности приведены на рис. 3.2.

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Основной задачей физического эксперимента является измерение численных значений наблюдаемых физических величин. Измерением называется операция сравнения величины исследуемого объекта с величиной единичного объекта. Так, например, за единицу длины принят метр, и в результате измерения длины некоторого отрезка определяется, сколько метров содержится в этом отрезке.

Принято различать прямые и косвенные измерения. При прямом измерении производится непосредственное сравнение величины измеряемого объекта с величиной единичного объекта. В результате искомая величина находится прямо по показаниям измерительного прибора, например, сила тока - по отклонению стрелки амперметра, вес - по растяжению пружинных весов и т.д. Однако гораздо чаще измерения проводят косвенно, например, площадь прямоугольника определяют по измерению длин его сторон, электрическое сопротивление - по измерениям силы тока и напряжения и т.д. Во всех этих случаях искомое значение измеряемой величины получается путем соответствующих расчетов.

Результат всякого измерения всегда содержит некоторую погрешность. Поэтому в задачу измерений входит не только нахождение самой величины, но также и оценка допущенной при измерении погрешности. Напомним, что абсолютной погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением, причем ни точное значение, ни абсолютная погрешность принципиально неизвестны и подлежат оценке по результатам измерений. Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу. Если оценка погрешности результата физического измерения не сделана, то можно считать, что измеряемая величина вообще неизвестна, поскольку погрешность может, вообще говоря, быть того же порядка, что и сама измеряемая величина или даже больше. В этом состоит отличие физических измерений от бытовых или технических, в которых в результате практического опыта заранее известно, что выбранный измерительный инструмент обеспечивает приемлемую точность, а влияние случайных факторов на результат измерений пренебрежимо мало по сравнению с ценой деления применяемого прибора.

Погрешности физических измерений принято подразделять на систематические, случайные и грубые. Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Систематические погрешности скрыты в неточности самого инструмента и неучтенных факторах при разработке метода измерений. Обычно величина систематической погрешности прибора указывается в его техническом паспорте. Что же касается метода измерений, то здесь все зависит от квалификации экспериментатора. Хотя суммарная систематическая погрешность во всех измерениях, проводимых в рамках данного эксперимента, будет приводить всегда либо к увеличению, либо к уменьшению правильного результата, знак этой погрешности неизвестен. Поэтому на эту погрешность нельзя внести поправку, а приходится приписывать эту погрешность окончательному результату измерений.

Случайные погрешности обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено. Они имеют различные значения даже для измерений, выполненных одинаковым образом, то есть носят случайный характер. Допустим, что сделано n повторных измерений одной и той же величины. Если они выполнены одним и тем же методом, в одинаковых условиях и с одинаковой степенью тщательности, то такие измерения называются равноточными.

Пусть минимальный интервал значений измеряемой величины, через который ведутся отсчеты (цена деления прибора), будет h, а среднее арифметическое всех результатов измерений пусть будет < x> . Обозначим через ki число тех результатов, которые отклонились от среднего < x> на величину D x= ih. Отложив по оси абсцисс величину абсолютных погрешностей D x, а по оси ординат значения k, получим ступенчатый график, называемый гистограммой (рис.1).

Если устремить число измерений к бесконечности, а интервал h - к нулю, то гистограмма переходит в пределе в непрерывную кривую, которая является кривой распределения погрешностей. При некоторых условиях, которые обычно выполняются при проведении измерений, эта кривая представляет собой график функции Гаусса, имеющей следующий вид:

Рис. 2

(1)

где параметр s определяет ширину распределения. Несколько кривых Гаусса для разных значений параметра s показаны на рис.2.

Третий тип погрешностей, с которыми приходится иметь дело - грубые погрешности или промахи. Под грубой погрешностью измерения понимается погрешность, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях. Она может быть сделана вследствие неправильного применения прибора, неверной записи показаний прибора, ошибочно прочитанного отсчета, неучета множителя шкалы и т.п.

Вычисление погрешностей. В дальнейшем будем предполагать, что

1) грубые погрешности исключены;

2) поправки, которые следовало определить (например, смещение нулевого деления шкалы), вычислены и внесены в окончательные результаты;

3) все систематические погрешности известны (с точностью до знака).

В этом случае результаты измерений оказываются все же не свободными от случайных погрешностей. Если случайная погрешность окажется меньше систематической, то, очевидно, нет смысла пытаться уменьшить величину случайной погрешности - все равно результаты измерений не станут значительно лучше и, желая получить большую точность, нужно искать пути к уменьшению систематической погрешности. Наоборот, если случайная погрешность больше систематической, то именно случайную погрешность нужно уменьшить в первую очередь и добиться того, чтобы случайная погрешность стала меньше систематической, с тем чтобы последняя опять определяла окончательную погрешность результата. На практике обычно уменьшают случайную погрешность до тех пор, пока она не станет сравнимой по величине с систематической погрешностью. Как будет видно из дальнейшего, случайная погрешность уменьшается при увеличении числа измерений.

Поскольку из-за наличия случайных погрешностей результаты измерений по своей природе представляют собой тоже случайные величины, истинного значения xист измеряемой величины указать нельзя. Однако можно установить некоторый интервал значений измеряемой величины вблизи полученного в результате измерений значения xизм, в котором с определенной вероятностью содержится xист. Тогда результат измерений можно представить в следующем виде:

(2)

где D x - погрешность измерений. Вследствие случайного характера погрешности точно определить ее величину невозможно. В противном случае найденную погрешность можно было бы ввести в результат измерения в качестве поправки и получить истинное значение xист.. Задача наилучшей оценки значения xист и определения пределов интервала (2) по результатам измерений является предметом математической статистики. Воспользуемся некоторыми ее результатами.

Пусть проведено n измерений величины x. Тогда за лучшую оценку истинного значения результата измерений принимается среднее арифметическое значение

(3)

где xi - результат i -го измерения.

Для оценки случайной погрешности измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или средней квадратичной погрешности s (ее часто называют стандартной погрешностью или стандартом измерений).

Средней квадратичной погрешностью называется величина

(4)

где n - число наблюдений.

Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным колебаниям величина Sn стремится к постоянному значению s :

.

Именно этот предел и входит в качестве параметра s в распределение Гаусса (1). Квадрат этой величины называется дисперсией измерений. В действительности, по результатам измерений всегда вычисляется не s , а ее приближенное значение Sn, которое, вообще говоря, тем ближе к s , чем больше n.

Все сказанное выше о погрешностях относится к погрешностям отдельного измерения. Однако важнее знать, насколько может уклоняться от истинного значения x среднее арифметическое < x> , полученное по формуле (3) для n повторных равноточных измерений. Теория показывает, что средняя квадратичная погрешность среднего арифметического S равна средней квадратичной погрешности отдельного результата измерений Sn, деленной на корень квадратный из числа измерений n, то есть

(5)

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений.

Пусть a означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного на величину, не большую, чем Dx. Вероятность a в этом случае носит название доверительной вероятности, а интервал значений измеряемой величины от < x> - Dx до < x> +Dx называется доверительным интервалом.

Определим доверительный интервал. Чем большим будет установлен этот интервал, тем с большей вероятностью xист попадает в этот интервал. С другой стороны, более широкий интервал дает меньшую информацию относительно величины xист. Если ограничиться учетом только случайных погрешностей, то при небольшом числе измерений n для уровня доверительной вероятности a полуширина доверительного интервала (2) равна

(6)

где ta,n - коэффициент Стьюдента.

Таблица 1.

Коэффициенты Стьюдента.

a =0,68

a =0,95

a =0,99

n

ta ,n

n

ta ,n

n

ta ,n

2

2,0

2

12,7

2

63,7

3

1,3

3

4,3

3

9,9

4

1,3

4

3,2

4

5,8

5

1,2

5

2,8

5

4,6

6

1,2

6

2,6

6

4,0

7

1,1

7

2,4

7

3,7

8

1,1

8

2,4

8

3,5

9

1,1

9

2,3

9

3,4

10

1,1

10

2,3

10

3,3

15

1,1

15

2,1

15

3,0

20

1,1

20

2,1

20

2,9

30

1,1

30

2,0

30

2,8

100

1,0

100

2,0

100

2,6

Смысл понятий "доверительный интервал" и "доверительная вероятность" состоит в следующем: пусть a =0.95, тогда можно утверждать с надежностью 95%, что истинное значение величины xист не отличается от оценки (3) больше, чем на ± D xсл. Значения коэффициентов ta ,n в зависимости от a и n табулированы (см. табл. Чтобы окончательно установить границы доверительного интервала необходимо расширить его с учетом систематической погрешности Dxсист. Систематическая погрешность, как правило, указана в паспорте или на шкале прибора, а в простейших случаях может быть принята равной половине цены деления младшего разряда шкалы. Обычно (хотя, строго говоря, и неверно) суммарная погрешность определяется как корень квадратный из суммы квадратов случайной и систематической погрешностей:

(7)

Определенная согласно (7) величина Dx является абсолютной погрешностью. Очевидно, что при одном и том же значении Dx результат может оказаться достаточно точным при измерении некоторой большой величины, тогда как при измерении малой величины его точность будет недостаточной. Например, пусть имеется возможность измерять линейные размеры с погрешностью Dx=1 мм. Ясно, что это заведомо превышает необходимую точность при измерении, скажем, размеров комнаты, но измерение окажется слишком грубым при определении толщины монеты. Таким образом, становится понятной необходимость введения относительной погрешности, которая определяется как

(8)

и выражается, обычно, в процентах. Как видно, выражение (8) позволяет оценить величину погрешности по отношению к самой измеряемой величине. Очевидно, что в тех случаях, когда измеряемая величина представляет собой условное число, например, астрономическое время в данный момент (но не интервал времени между двумя событиями), пространственная координата (но не расстояние между двумя точками) и т.п., определение относительной погрешности смысла не имеет. Действительно, точность определения текущего времени по одним и тем же часам одинакова и в 12 часов, и в 1 час.

Рассмотрим теперь случай, когда при повторении измерений в одних и тех же условиях устойчиво получаются одинаковые значения x=x0. В этом случае систематическая погрешность настолько превышает случайную, что влияние случайной погрешности полностью маскируется. Истинное значение x отнюдь не равно x0. Оно, по-прежнему, остается неизвестным, и для него можно записать x=x0±Dx, причем погрешность Dx определяется в данном случае воспроизводящимися от опыта к опыту ошибками, связанными с неточностью измерительных приборов или метода измерений. Такую погрешность Dx, как отмечалось, называют систематической. Для более точного определения физической величины x в данном случае необходимо изменить постановку самого опыта: взять прибор более высокого класса точности, улучшить методику измерений и т.п.

Класс точности прибора (приведенная погрешность) - это выраженная в процентах относительная погрешность, которую дает данный прибор при измерении им наибольшего значения измеряемой величины, указанной на шкале прибора. Тогда абсолютная погрешность оказывается одинаковой по всей шкале прибора. Например, пусть имеется амперметр класса 1,5 со шкалой 20 А. При измерении им любого значения тока абсолютная погрешность будет равна 0,015·20 = 0,3 А. Нетрудно видеть, что при измерениях в конце шкалы относительная погрешность оказывается меньше, приближаясь к приведенной. Класс точности обычно указывается на шкале прибора соответствующей цифрой. Если на шкале такого обозначения нет, то данный прибор внеклассный, и его приведенная погрешность более 4%.

Рассмотрим, каким образом оценить случайную погрешность косвенно измеряемой величины y, которая является функцией некоторого числа m непосредственно измеряемых величин xi, т.е.

(9)

Само среднее значение <y> можно найти из известной функциональной зависимости (9), подставляя в качестве аргументов усредненные по всем проведенным опытам значения непосредственно измеренных величин < xi> . Соответствующие вычисления показывают, что абсолютная погрешность Dy в этом случае определяется по формуле

(10)

где обозначает так называемую частную производную.

Частная производная - это такая производная, которая вычисляется от функции f по аргументу xi , притом как все остальные аргументы считаются постоянными.

Относительная погрешность для косвенно измеряемой величины y определяется как

(11)

Формулу (10) применяют в тех случаях, когда в зависимости (9) измеряемые величины xi входят, в основном, в виде слагаемых, а формула (11) оказывается особенно удобной тогда, когда правая часть (9) представляет собой произведение величин xi . Учитывая простую связь между абсолютной и относительной погрешностями d =Dy/< y> , легко по известной величине Dy вычислить d и наоборот. Рассмотрим применение формул (10) и (11) на примере. Пусть функциональная зависимость косвенно измеряемой величины y от непосредственно измеряемых величин xi имеет следующий простой вид:

.

Поскольку функция y представляет собой сумму двух слагаемых, находим частные производные

и подставляем их в формулу (10):

,

причем абсолютные погрешности D x1 и D x2 должны быть предварительно определены, как указано выше, по формулам (4) - (7).

Пусть теперь функциональная зависимость косвенно измеряемой величины y от непосредственно измеряемых величин xi имеет следующий вид:

.

В этом случае для определения погрешности косвенно измеряемой величины y воспользуемся формулой (11). Для этого сначала найдем логарифм, а затем - частные производные:

Подставляя в (11), найдем

.

Нетрудно видеть, что предварительное логарифмирование существенно упростило вид частных производных. Измеряемая величина y, вообще говоря, имеет какую-то размерность. Брать логарифм от размерной величины конечно же нельзя. Чтобы устранить некорректность, достаточно разделить y на постоянную, равную единице данной размерности (если y - длина, то разделим на 1 м). После логарифмирования получится дополнительное слагаемое, которое все равно исчезнет при взятии частных производных (производная от постоянной равна нулю), поэтому наличие такого слагаемого обычно подразумевается.

При обработке результатов измерений предлагается следующий порядок операций.

При прямых (непосредственных) измерениях

1. Вычисляется среднее из n измерений:

.

2. Определяется среднеквадратичная погрешность среднего арифметического:

.

3. Задается доверительная вероятность a и определяется коэффициент Стьюдента ta,n для заданного a и числа произведенных измерений n по табл. 1.

4. Находится полуширина доверительного интервала (абсолютная погрешность результата измерений):

, где D xсл = ta,n S.

5. Оценивается относительная погрешность результата измерений

6. Окончательный результат записывается в виде

x=< x> ± D x.

При косвенных измерениях

1. Для каждой серии измерений величин, входящих в определение искомой величины, производится обработка в описанной выше последовательности. При этом для всех измеряемых величин задают одно и то же значение доверительной вероятности a .

2. Оценивается точность результата косвенных измерений по формуле (10) либо (11), где производные вычисляются при средних значениях величин.

3. Определяется относительная погрешность результата серии косвенных измерений.

4. Окончательный результат записывается в виде

y=< y> ± D y, где < y> =f(< x1> , < x2> ,...,< xm> ).

Возможен и другой подход к оценке погрешности результата косвенного измерения. Вместо определения искомой величины через средние значения < xi> как

< y> =f(< x1> , < x2> ,...,< xm> )

можно для каждого выполненного опыта вычислить

а затем найти < y> как среднее арифметическое согласно (3) и далее абсолютную погрешность Dy по формулам (4)- (6). Оба способа дают близкие результаты.

Правила округления значений погрешности
и результатов измерений


Рассчитывая значения погрешности по формулам особенно при пользовании электронным калькулятором, значения погрешностей получают с большим числом знаков.

Однако исходными данными для расчёта являются нормируемые значения погрешности СИ, которые указываются всего с одной или двумя значащими цифрами. Вследствие этого и в окончательном значении рассчитанной погрешности должны быть оставлены только первые одна-две значащие цифры.

При этом приходится учитывать следующее. Если полученное число начинается с цифр 1 или 2, то отбрасывание второго знака приводит к очень большой ошибке (до 30 – 50%), что недопустимо. Если же полученное число начинается, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, т. е. указание погрешности, например, 0,94 вместо 0,9, является дезинформацией, так как исходные данные не обеспечивают такой точности.

Исходя из этого, на практике установилось такое правило: если полученное число начинается с цифры, равной или большей , то в нём сохраняется лишь один знак; если же оно начинается с цифр, меньших 3, т. е. с цифр 1 и 2, то в нём сохраняют два знака. В соответствии с этим правилом установлены и нормируемые значения погрешностей средств измерений: в числах 1,5 и 2,5% указываются два знака, но в числах 0,5; 4; 6% указывается лишь один знак.


В итоге можно сформулировать три правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного экспериментального результата измерения.

  1.  Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, – если первая есть 3 и более.

  1.  Результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округлённое значение абсолютной погрешности.

  1.  Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.


На вольтметре класса точности 2,5 с пределом измерений 300 В был получен отсчёт измеряемого напряжения х = 267,5 В.

Расчёт погрешности удобнее вести в следующем порядке: сначала необходимо найти абсолютную погрешность, а затем – относительную.

Абсолютная погрешность


Δ(х) = γ
0Хк / 100,


при γ
0 = 2,5% и Хк = 300 В это даёт




относительная


.


Так как первая значащая цифра значения абсолютной погрешности (7,5 В) больше трёх, то это значение должно быть округлено по обычным правилам округления до 8 В, но в значении относительной погрешности (2,81%) первая значащая цифра меньше 3, поэтому здесь должны быть сохранены в ответе два десятичных разряда и указано γ(x) = 2,8%.

Полученное значение x = 267,5 В должно быть округлено до того же десятичного разряда, которым оканчивается округлённое значение абсолютной погрешности, т. е. до целых единиц вольт.

Таким образом, в окончательном ответе должно быть сообщено: "Измерение произведено с относительной погрешностью γ(x) = 2,8%. Измеренное напряжение х = (268 ± 8) В или х = 268 В ± 8 В".

При этом более наглядно указать пределы интервала неопределённости измеренной величины в виде х = 260 ÷ 276 В или 260 В < х < 276 В.

Наряду с изложенными правилами округления значений погрешностей результатов измерения, иногда (например, в [3]) предлагаются более обоснованные, но и более сложные правила.

Недостаток изложенных правил состоит в том, что относительная погрешность от округления изменяется скачком при переходе, например, от числа 0,29, когда она составляет (0,30 – 0,29) / 0,30 = 3%, к числу 0,3, когда она будет (0,4 – 0,3)/0,3 = 30%.

Для устранения столь резкого скачка относительной погрешности округления предлагается каждую декаду возможных значений округляемой погрешности делить на три части: от 0,1 до 0,2; от 0,2 до 0,5 и от 0,5 до 1,0; и в каждой из этих частей использовать свой шаг округления, соответственно, равный 0,02; 0,05 и 0,1. Тогда ряд разрешённых к употреблению округлённых значений погрешностей получает вид: 0,10 – 0,12 – 0,14 – 0,16 – 0,18 – 0,20 – 0,25 – 0,30 – 0,35 – 0,40 – 0,45 – 0,5 – 0,6 – 0,7 – 0,8 – 0,9 – 1,0.

Бесспорное преимущество такого ряда состоит в том, что погрешность от округления на границах участков изменяется лишь от 5 до 10%. Однако при использовании такого правила округления погрешности последние цифры результата, оставляемые после округления, также должны соответствовать приведённому ряду.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83616. Выбор силовых трансформаторов на напряжение выше 1 кВ 44.49 KB
  Нормальный режим работы – раздельная работа трансформаторов это предусматривается в целях уменьшения токов короткого замыкания и позволяет применить более легкую и дешевую аппаратуру на стороне низшего напряжения трансформаторов. Номинальная мощность цеховых SНТ выбирается по расчетной мощности исходя из условия экономичной работы трансформаторов 6080 в нормальном режиме и допустимой перегрузки на 3040 от SНТ в послеаварийном режиме. После выбора мощности трансформаторов определим их количество: где Кз это...
83617. Типы проводников, применяемые в основных электрических цепях 29.51 KB
  Все соединения внутри закрытого РУ 610 кВ включая сборные шины выполняются жесткими голыми алюминиевыми шинами прямоугольного или коробчатого сечения. Токоведущие части в РУ 35 кВ и выше обычно выполняются сталеалюминиевыми проводами АС. В некоторых конструкциях ОРУ часть или вся ошиновка может выполняться алюминиевыми трубами. От стены ГРУ до выводов установленного вблизи ГРУ соединение выполняется жесткими алюминиевыми шинами.
83618. Выбор кабелей, марки кабелей 43.25 KB
  Если условия применения проводов и кабелей отличаются от приведённых то длительно допустимые токовые нагрузки пересчитывают по формуле: I\'доп=Iдоп K1K2 где Iдоп – длительно допустимый ток одиночного кабеля провода; K1 – коэффициент учитывающий количество кабелей; К2 – коэффициент допустимой перегрузки кабельной линии. Для кабелей напряжением до 10 кВ с бумажной пропитанной изоляцией несущих нагрузки меньше номинальных для таких кабелей допускается перегрузки в течение 5 суток в пределах указанных в таблицах справочника. Для кабелей с...
83619. Виды и системы освещения 30.21 KB
  Освещение безопасности предназначено для продолжения работы при аварийном отключении рабочего освещения. Светильники рабочего освещения и светильники освещения безопасности должны питаться от независимых источников. Устройство рабочего освещения обязательно во всех помещениях независимо от устройства в них других видов освещения.
83620. Расчет искусственного освещения методом коэффициента использования 43.18 KB
  1 где Е заданная минимальная освещенность лк; Кзап коэффициент запаса; коэффициент минимальной освещенности приближенно можно принимать z = 11 – для люминесцентных ламп z = 115 – для ламп накаливания и ДРЛ; S – освещаемая площадь м2; Еср средняя освещенность лк; N – число светильников намечается до расчета – коэффициент использования светового потока источника света доли единиц. Если такое приближение не реализуется то корректируется число светильников. Если световой поток ламп в каждом светильнике составляет...
83621. Точечный метод расчета освещенности 93.26 KB
  Расположение контрольной точки А при размещении светильников по углам квадрата и В по сторонам прямоугольника 3 по пространственным изолюксам горизонтальной освещенности находится освещенность е от каждого светильника; 4 находится общая условная освещенность от всех светильников ∑е; 5 рассчитывается горизонтальная освещенность от всех светильников в точке А: Еа = F х μ 1000х kз х ∑е где μ коэффициент учитывающий дополнительную освещенность от удаленных светильников и отраженного светового потока kз коэффициент запаса. Порядок по...
83622. Порядок расчета рабочего освещения любого цеха 73.69 KB
  Наметим число светильников в ряду: шт. тогда расстояние от торцевых стен до крайнего светильника составит: Расстояние от крайних светильников до стены принимается 03L 05L в зависимости от наличия рабочих мест у стен. Выберем расстояние между рядами LB при этом необходимо учесть следующее условие: Примем LB = 4м; Расстояние от боковых стен до крайних светильников составит: 5. Число светильников в цехе: Размещение светильников представлено на рис.
83623. Расчет аварийного освещения 28.4 KB
  Оно должно быть достаточным для безопасного выхода людей из помещения и продолжения работы в помещениях и на открытых пространствах в тех случаях когда отключение рабочего освещения может вызвать пожар взрыв отравление газами парами длительное расстройство технологического процесса нарушение работы важнейших объектов водоснабжение электростанции узлы радиопередачи и т. Для аварийного освещения разрешается применять как лампы накаливания так и люминесцентные лампы последние при минимальной температуре воздуха не менее 10 С.75...
83624. Расчёт осветительной сети 34.54 KB
  Освещение безопасности предназначено для продолжения работы при аварийном отключении рабочего освещения. Светильники рабочего освещения и светильники освещения безопасности должны питаться от независимых источников. Устройство рабочего освещения обязательно во всех помещениях независимо от устройства в них других видов освещения. Светильники аварийного освещения рекомендуется по возможности выделять из числа светильников рабочего освещения.