51526

Диференціальні рівняння у частинних похідних

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Проведемо дискретизацію крайових умов отримаємо: Початкову матрицю обираємо як нульову. На кожній ітерації перераховуємо значення елементів матриці за попередніми формулами. Умова завершення

Украинкский

2014-02-12

52.85 KB

1 чел.

Науково-навчальний комплекс "Інститут прикладного системного аналізу"  

при Національному технічному університеті України "КПІ"

Кафедра математичних методів системного аналізу

Лабораторна робота № 2

з курсу "Чисельні методи"

на тему "Диференціальні рівняння у частинних похідних"

                                

                                       Виконав:    студент 3-го курсу

                                        групи КА-06

                                        Анікін Вадим

                                   Прийняв:  Коновалюк М. М.

Київ 2012

 Дано:  Еліптична задача. Розв'язати рівняння Лапласа

uxx + uyy = 0,     0 < x < L1; 0 < y < L2 

var

L1

L2

При x = 0

При x = L1

При y = 0

При y = L2

1

0.90

1.10

u(0, y) - ux(0, y) = g1

ux(L1, y) = g2

uy(x, 0) = g3

uy(x, L2) = g4

 Як точний розвязок беремо функцію:

вар

a

b

c

d

f

1

-0.30

1.50

0.70

0.50

1.30

u(x,y) = a (x2 - y2) + b x y + c x + d y + f

Ход работы:

Розіб’ємо відрізок на відрізків довжиною

  ,

а відрізок на відрізків довжиною

  .

Позначимо , ; , .

Нехай – це значення точного розв’язку рівняння, а – значення наближеного розв’язку.

Проведемо дискретизацію рівняння:

В нашому випадку  При :

Проведемо дискретизацію крайових умов отримаємо:

Початкову матрицю обираємо як нульову. На кожній ітерації перераховуємо значення елементів матриці за попередніми формулами. Умова завершення

Результат:

//Result.txt

1.3 1.353 1.412  1.477 1.548  1.625 1.708  1.797 1.892  1.993 2.1  2.213

1.367  1.435 1.509  1.589 1.675  1.767 1.865  1.969 2.079  2.195 2.317  2.445

1.428  1.511 1.6  1.695 1.796  1.903 2.016  2.135 2.26  2.391 2.528  2.671

1.483  1.581 1.685  1.795 1.911  2.033 2.161  2.295 2.435  2.581 2.733  2.891

1.532  1.645 1.764  1.889 2.02  2.157 2.3  2.449 2.604  2.765 2.932  3.105

1.575  1.703 1.837  1.977 2.123  2.275 2.433  2.597 2.767  2.943 3.125  3.313

1.612  1.755 1.904  2.059 2.22  2.387 2.56  2.739 2.924  3.115 3.312  3.515

1.643  1.801 1.965  2.135 2.311  2.493 2.681  2.875 3.075  3.281 3.493  3.711

1.668  1.841 2.02  2.205 2.396  2.593 2.796  3.005 3.22  3.441 3.668  3.901

1.687  1.875 2.069  2.269 2.475  2.687 2.905  3.129 3.359  3.595 3.837  4.085

Приложение:

//method.cpp

#include <iostream>

#include <fstream>

#include <math.h>

#include <vector>

using namespace std;

const double eps = 0.000001;

const double a = -0.3, b = 1.5, c = 0.7, d = 0.5, f = 1.3, l1 = 0.9, l2 = 1.1, h1 = 0.1, h2 = 0.1;

const int n1 = (int)(l1 / h1), n2 = (int)(l2 / h2);

 

double u(double x, double y)

{

 return a * (x * x - y * y) + b * x * y + c * x + d * y + f;

}

double g1(const double y)

{

return -a * y * y + (d - b) * y + f - c;

}

double g2(const double y)

{

return 2 * a * l1 + b * y + c;

}

double g3(const double x)

{

return b * x + d;

}

double g4(const double x)

{

return - 2 * a * l2 + b * x + d;

}

double norm(vector< vector<double> >& matr)

{

 double sk = 0;

   for(int i = 0; i < matr.size(); i++)

   {

       for(int j = 0; j < matr[i].size(); j++)

 {

  sk += matr[i][j] * matr[i][j];

 }

   }

 return sqrt(sk);

}

int copy_matr(const vector< vector<double> > & source, vector< vector<double> > & cop)

{

 for(int i = 0; i < cop.size(); i++)

{

 for(int j = 0; j < cop[i].size(); j++)

 {

  cop[i][j] = source[i][j];

 }

}

   return 0;

}

int sub_matr(const vector< vector<double> > & source1, const vector< vector<double> > & source2, vector< vector<double> > & cop)

{

 for(int i = 0; i < cop.size(); i++)

{

 for(int j = 0; j < cop[i].size(); j++)

 {

  cop[i][j] = source1[i][j] - source2[i][j];

 }

}

   return 0;

}

int out_matrix(const vector< vector<double> > & matr, char * name_file, char * coment)

{

   ofstream f_out(name_file, ios :: app);

   f_out << coment;

   int size = matr.size();

   for(int i = 0; i < size; i++)

   {

       int size_i = matr[i].size();

       for(int j= 0; j< size_i; j++)  if(!f_out.fail()) f_out << matr[i][j] << "\t";

       f_out << endl;

   }

   f_out << endl;

   return 0;

}

int main()

{

 char* name_file = "result.txt";

ofstream f_ou(name_file, ios :: trunc);

f_ou.close();

ofstream f_out(name_file, ios :: app);

vector< vector<double> > now(n1 + 1, vector<double>(n2 + 1));

vector< vector<double> > last(n1 + 1, vector<double>(n2 + 1));

vector< vector<double> > temp(n1 + 1, vector<double>(n2 + 1));

 for(int i = 0; i <= n1; i++)

{

 for(int j = 0; j <= n2; j++)

 {

  last[i][j] = 0;

 }

}

copy_matr(last, now);

out_matrix(last, name_file, "pochatkova:\n");

f_out << norm(last) << endl;

 int i = 0;

 do

{

 copy_matr(now, last);

 for(int j = 0; j <= n2 - 1; j++)

 { now[0][j] = (now[1][j] + h1 * g1(j * h2)) / (h1 + 1); }

 

 for(int j = 0; j <= n2 - 1; j++)

 { now[n1][j] = now[n1-1][j] + h1 * g2(j * h2); }

 for(int i = 1; i <= n1 - 1; i++)

 { now[i][0] = now[i][1] - h2 * g3(i * h1); }

 for(int i = 0; i <= n1; i++)

 { now[i][n2] = now[i][n2-1] + h2 * g4(i * h1); }

 for(int i = 1; i <= n1 - 1; i++)

 {

  for(int j = 1; j <= n2 - 1; j++)

  {

   now[i][j] = ( now[i-1][j] + now[i+1][j] + now[i][j-1] + now[i][j+1] ) / 4;

  }

 }

 i++;

 f_out << i << " ";

 out_matrix(now, name_file, "iter:\n");

 f_out << norm(last) << endl;

 sub_matr(now, last, temp);

} while( h1 * norm(temp) >= eps);

vector< vector<double> > real(n1 + 1, vector<double>(n2 + 1));

 for(int i = 0; i <= n1; i++)

{

 for(int j = 0; j <= n2; j++)

 {

  real[i][j] = u(i * h1, j * h2);

 }

}

out_matrix(real, name_file, "real:\n");

f_out << "norm(real)=" << norm(real) << endl;

 return 0;

}


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1929. Вычисления в таблицах MS Excel 92.38 KB
  Изучить возможности применения формул для выполнения расчетов при представлении данных в табличном виде; приобрести опыт работы с мастером функций MS Excel.
1930. Определение горизонтальной составляющей индукции магнитного поля земли 233.1 KB
  Ознакомление с определением индукции магнитного поля Земли методом тангенс-гальванометра. Определение горизонтальной составляющей индукции магнитного поля Земли.
1931. У природи нема поганої погоди 22.27 KB
  Виявити та узагальнити ознаки весни, літа, осені, зими в природі. Розширити та збагатити знання про пори року. Розвити естетичний смак. Формувати уміння розкрити красу кожної пори року. Виховувати любов до рідної природи, бажання оберігати її.
1932. Виховний захід: Я і природа 20.12 KB
  Формувати уміння встановлювати взаємозв'язок між природними об'єктами, підсумувати пізнавальні інтереси учнів, сприяти вихованню в них почуття прекрасного.
1933. Поликультурный мир 22.28 KB
  Дать элементарные представления о детях, которые отличаются от них по языковому, этническому, национальному или расовому признаку. Формирование толерантности детей. Формирование представления детей о взаимозависимости людей проживающих на планете.
1934. У гостях в Лісовичка. Виховний захід 24.15 KB
  Вивчення значення мови для кожної людини. Пісня та вірш про рідну мову, зупинки з вимовлянням звуків. Артикуляційна гімнастика, і підготовка до мовлення.
1935. Здоров’я людини 23.11 KB
  Здоров’я людини ґрунтується на основі генетичних факторів, способу життя та екологічних умов. Однак певною мірою воно залежить також від свідомого ставлення людини до себе та оточуючого середовища.
1936. Життя утворено від жита, бо хліб – усьому голова 25.74 KB
  Вшанувати працю хліборобів, виховувати повагу до праці та шанобливе ставлення до хліба.
1937. Противоречие как движущая сила воспитательного процесса в современных условиях 21.81 KB
  Общефилософский закон единства и борьбы противоположностей. Внешние противоречия, порожденные взаимодействием человека с окружающим миром. Индивидуальные противоречия, обусловленные конкретной ситуацией развития каждого человека.