51526

Диференціальні рівняння у частинних похідних

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Проведемо дискретизацію крайових умов отримаємо: Початкову матрицю обираємо як нульову. На кожній ітерації перераховуємо значення елементів матриці за попередніми формулами. Умова завершення

Украинкский

2014-02-12

52.85 KB

1 чел.

Науково-навчальний комплекс "Інститут прикладного системного аналізу"  

при Національному технічному університеті України "КПІ"

Кафедра математичних методів системного аналізу

Лабораторна робота № 2

з курсу "Чисельні методи"

на тему "Диференціальні рівняння у частинних похідних"

                                

                                       Виконав:    студент 3-го курсу

                                        групи КА-06

                                        Анікін Вадим

                                   Прийняв:  Коновалюк М. М.

Київ 2012

 Дано:  Еліптична задача. Розв'язати рівняння Лапласа

uxx + uyy = 0,     0 < x < L1; 0 < y < L2 

var

L1

L2

При x = 0

При x = L1

При y = 0

При y = L2

1

0.90

1.10

u(0, y) - ux(0, y) = g1

ux(L1, y) = g2

uy(x, 0) = g3

uy(x, L2) = g4

 Як точний розвязок беремо функцію:

вар

a

b

c

d

f

1

-0.30

1.50

0.70

0.50

1.30

u(x,y) = a (x2 - y2) + b x y + c x + d y + f

Ход работы:

Розіб’ємо відрізок на відрізків довжиною

  ,

а відрізок на відрізків довжиною

  .

Позначимо , ; , .

Нехай – це значення точного розв’язку рівняння, а – значення наближеного розв’язку.

Проведемо дискретизацію рівняння:

В нашому випадку  При :

Проведемо дискретизацію крайових умов отримаємо:

Початкову матрицю обираємо як нульову. На кожній ітерації перераховуємо значення елементів матриці за попередніми формулами. Умова завершення

Результат:

//Result.txt

1.3 1.353 1.412  1.477 1.548  1.625 1.708  1.797 1.892  1.993 2.1  2.213

1.367  1.435 1.509  1.589 1.675  1.767 1.865  1.969 2.079  2.195 2.317  2.445

1.428  1.511 1.6  1.695 1.796  1.903 2.016  2.135 2.26  2.391 2.528  2.671

1.483  1.581 1.685  1.795 1.911  2.033 2.161  2.295 2.435  2.581 2.733  2.891

1.532  1.645 1.764  1.889 2.02  2.157 2.3  2.449 2.604  2.765 2.932  3.105

1.575  1.703 1.837  1.977 2.123  2.275 2.433  2.597 2.767  2.943 3.125  3.313

1.612  1.755 1.904  2.059 2.22  2.387 2.56  2.739 2.924  3.115 3.312  3.515

1.643  1.801 1.965  2.135 2.311  2.493 2.681  2.875 3.075  3.281 3.493  3.711

1.668  1.841 2.02  2.205 2.396  2.593 2.796  3.005 3.22  3.441 3.668  3.901

1.687  1.875 2.069  2.269 2.475  2.687 2.905  3.129 3.359  3.595 3.837  4.085

Приложение:

//method.cpp

#include <iostream>

#include <fstream>

#include <math.h>

#include <vector>

using namespace std;

const double eps = 0.000001;

const double a = -0.3, b = 1.5, c = 0.7, d = 0.5, f = 1.3, l1 = 0.9, l2 = 1.1, h1 = 0.1, h2 = 0.1;

const int n1 = (int)(l1 / h1), n2 = (int)(l2 / h2);

 

double u(double x, double y)

{

 return a * (x * x - y * y) + b * x * y + c * x + d * y + f;

}

double g1(const double y)

{

return -a * y * y + (d - b) * y + f - c;

}

double g2(const double y)

{

return 2 * a * l1 + b * y + c;

}

double g3(const double x)

{

return b * x + d;

}

double g4(const double x)

{

return - 2 * a * l2 + b * x + d;

}

double norm(vector< vector<double> >& matr)

{

 double sk = 0;

   for(int i = 0; i < matr.size(); i++)

   {

       for(int j = 0; j < matr[i].size(); j++)

 {

  sk += matr[i][j] * matr[i][j];

 }

   }

 return sqrt(sk);

}

int copy_matr(const vector< vector<double> > & source, vector< vector<double> > & cop)

{

 for(int i = 0; i < cop.size(); i++)

{

 for(int j = 0; j < cop[i].size(); j++)

 {

  cop[i][j] = source[i][j];

 }

}

   return 0;

}

int sub_matr(const vector< vector<double> > & source1, const vector< vector<double> > & source2, vector< vector<double> > & cop)

{

 for(int i = 0; i < cop.size(); i++)

{

 for(int j = 0; j < cop[i].size(); j++)

 {

  cop[i][j] = source1[i][j] - source2[i][j];

 }

}

   return 0;

}

int out_matrix(const vector< vector<double> > & matr, char * name_file, char * coment)

{

   ofstream f_out(name_file, ios :: app);

   f_out << coment;

   int size = matr.size();

   for(int i = 0; i < size; i++)

   {

       int size_i = matr[i].size();

       for(int j= 0; j< size_i; j++)  if(!f_out.fail()) f_out << matr[i][j] << "\t";

       f_out << endl;

   }

   f_out << endl;

   return 0;

}

int main()

{

 char* name_file = "result.txt";

ofstream f_ou(name_file, ios :: trunc);

f_ou.close();

ofstream f_out(name_file, ios :: app);

vector< vector<double> > now(n1 + 1, vector<double>(n2 + 1));

vector< vector<double> > last(n1 + 1, vector<double>(n2 + 1));

vector< vector<double> > temp(n1 + 1, vector<double>(n2 + 1));

 for(int i = 0; i <= n1; i++)

{

 for(int j = 0; j <= n2; j++)

 {

  last[i][j] = 0;

 }

}

copy_matr(last, now);

out_matrix(last, name_file, "pochatkova:\n");

f_out << norm(last) << endl;

 int i = 0;

 do

{

 copy_matr(now, last);

 for(int j = 0; j <= n2 - 1; j++)

 { now[0][j] = (now[1][j] + h1 * g1(j * h2)) / (h1 + 1); }

 

 for(int j = 0; j <= n2 - 1; j++)

 { now[n1][j] = now[n1-1][j] + h1 * g2(j * h2); }

 for(int i = 1; i <= n1 - 1; i++)

 { now[i][0] = now[i][1] - h2 * g3(i * h1); }

 for(int i = 0; i <= n1; i++)

 { now[i][n2] = now[i][n2-1] + h2 * g4(i * h1); }

 for(int i = 1; i <= n1 - 1; i++)

 {

  for(int j = 1; j <= n2 - 1; j++)

  {

   now[i][j] = ( now[i-1][j] + now[i+1][j] + now[i][j-1] + now[i][j+1] ) / 4;

  }

 }

 i++;

 f_out << i << " ";

 out_matrix(now, name_file, "iter:\n");

 f_out << norm(last) << endl;

 sub_matr(now, last, temp);

} while( h1 * norm(temp) >= eps);

vector< vector<double> > real(n1 + 1, vector<double>(n2 + 1));

 for(int i = 0; i <= n1; i++)

{

 for(int j = 0; j <= n2; j++)

 {

  real[i][j] = u(i * h1, j * h2);

 }

}

out_matrix(real, name_file, "real:\n");

f_out << "norm(real)=" << norm(real) << endl;

 return 0;

}


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2756. Статистическая физика 985.5 KB
  Основные идеи статистической физики Краткие сведения из теории вероятностей Фазовое пространство. Теорема Лиувилля Статистический вес, энтропия, микроканоническое распределение Вероятностные процессы Каноническое распределение Гиббса...
2757. Теории линий передачи СВЧ 2.01 MB
  Основы теории линий передачи СВЧ. Классификация линий передачи СВЧ. В соответствии с ГОСТ линией передачи СВЧ называется устройство, ограничивающее область распространения электромагнитных колебаний и направляющее поток электромагнитной энерги...
2758. Первоначальные действия по факту пожара 372.67 KB
  Изложены основные вопросы квалификации правонарушений, связанных с пожарами, проведения проверки заявлений и сообщений о происшествиях такого рода, производства по ним неотложных следственных действий. Учтены происшедшие изменения в законодательстве...
2759. Экономическая диагностика предприятия 176.37 KB
  Содержатся теоретические основы, методика и алгоритм диагностики экономического состояния предприятия по данным бухгалтерской отчетности. Приведены формулы для расчета показателей и учета факторов, влияющих на их значения, формы для представления ис...
2760. Рейтинговая оценка финансового состояния, рентабельности и деловой активности предприятия 4.51 MB
  Изучение явлений природы и общественной жизни невозможно без анализа. Сам термин анализ происходит от греческого слова analysis, что в переводе означает разделяю, расчленяю. Понятие о экономическом анализе и его содержание
2761. Автомобильные эксплуатационные материалы 1.5 MB
  Изложены вопросы получения автомобильных топлив, их применение в двигателях внутреннего сгорания. Рассмотрены альтернативные виды топлива, как аналогичные нефтяным, так и отличные от них. Для студентов и преподавателей кафедр, изучающих эксплуатацию автомобильной техники, а также для инженерно-технических работников автотранспортных и авторемонтных предприятий.
2762. Производство алюминия и магния 2.85 MB
  В рамках лабораторного практикума изложены вопросы теории и технологии производства легких металлов на примере наиболее востребованных из них – алюминия и магния. Уделяется внимание знакомству с традиционными способами получения легких металлов...
2763. Административное право России 470.86 KB
  Административное право России является одной из наиболее многогранных и сложных отраслей российского права. Сложность освоения учебного материала по дисциплине Административное право России обусловлена следующими основными фактами: во-первых, адми...
2764. Детали машин. Контрольные задания. Примеры решения 1.26 MB
  Данные методические указания и контрольные задания составлены в полном соответствии с программами курсов Детали машин, Детали машин и основы конструирования и Детали машин и подъемно-транспортные устройства и предназначены студентам всех специальностей заочного факультета, для которых по учебному плану предусмотрены такие курсы.