5167

Реализация решения уравнения программным способом

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

1. Постановка задачи В данном программном продукте необходимо реализовать решение на примере уравнения: y(x)=x3+a*x2+b*x+c. Вместо коэффициентов должны использоваться параметры a, b, c, которые принимают значения, вводимые пользователем. Для нахожде...

Русский

2012-12-04

157 KB

36 чел.

1. Постановка задачи

В данном программном продукте необходимо реализовать решение на примере уравнения: y(x)=x3+a*x2+b*x+c. Вместо коэффициентов должны использоваться параметры a, b, c, которые принимают значения, вводимые пользователем. Для нахождения корней, обязательным является указание промежутков, на которых определена функция, поэтому пользователь обязательно вводит промежутки функции n, m. Метод Ньютона является итерационным методом, следовательно, должна указываться погрешность вычисления ε. Обязательным является построение графика выбранной функции на заданном промежутке.


2. МАТЕМЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Дисциплина "Численные методы" содержит набор методов и алгоритмов приближенного (численного) решения разнообразных математических задач, для которых точное аналитическое решение либо не существует, либо слишком сложно для использования на практике. При численном решении задач всегда возникает погрешность.

Выделяют абсолютную и относительную погрешность. Пусть р – точное значение искомого ответа, а p – приближённое значение, полученное с помощью численного метода.

Тогда  – абсолютная погрешность,

– относительная погрешность.

На первом этапе необходимо найти отрезок [a,b], на котором функция имеет ровно один корень. На втором этапе происходит уточнение корня на отрезке с заданной точностью с помощью одного из численных методов.

Метод, реализуемый в РУОП, называется методом Ньютона. Другое название метода – метод касательных.

Начальное условие:

Дано:

уравнение f(x) =0,

где f(x) C'' [m,n], f(m) f(n) <0,

f(x) и f''(x) знакопостоянны на отрезке [m,n] ;

точность .

Найти: решение уравнения с заданной точностью.

Пусть корень  где  – некоторое приближение к корню,  – необходимая поправка. Разложим f(x) линейно в ряд Тейлора в окрестности xn (что соответствует замене функции в точке на касательную):

f(ξ) =0=f(xi+hi) ≈f(xi) +f'(xi) hi.

Отсюда:

.

Закон получения приближений к корню:

(2.1)

Начальное приближение x0 выбирается из условия:

. (2.2)

Графическая иллюстрация метода приведена на рисунке 2.1. Начальная точка в этом случае совпадает с n.

Рисунок 2.1. – Метод Ньютона

Идея метода заключается в том, что последовательность приближений к корню строится путем проведения касательных к графику функции и нахождения их точек пересечения с осью ОХ.

Алгоритм метода.

Шаг 1. Найти первое приближение к корню x0 по формуле (2.2).

Шаг 2. Находить следующие приближения к корню по формуле (2.1), пока не выполнится условия окончания:

|xi-xi+1|<.

Последнее найденное приближение и будет корнем.


3. ОПИСАНИ ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

3.1 Информационные потоки

Для наглядности работы программы, движению информации и взаимодействия программной части с аппаратной, разработана схема информационных потоков (рисунок 3.1).

ПРОГРАММА

Рисунок 3.1 – Схема информационных потоков


3.2. Описание функционирования программы

При запуске программы на экране появляется титульный лист, отображающий информацию о студенте; далее осуществляется ввод коэффициентов уравнения и интервалов определения функции:

Рисунок 3.2 – Схема функционирования программы

3.3. Описание процедур и функций программы

Function F () – Вычисление функции F(x);

Function F1 () – Вычисление первой производной функции F’(x);

Function F2 () – Вычисление второй производной функции F’’(x);

Procedure Newton () – Вычисление приближения к корню функции F(x)


3.5. Перечень обозначений

3.5.1 Обозначения вводимых данных

n, m, – промежутки функции;

a, b, c – коэффициенты уравнения, представленные в виде параметров;

eps – погрешность, аналог ε в разделе "Описании математической модели" и в разделе "Описание (и обоснование выбора) метода решения".

3.5.2 Обозначения выводимых данных

y(x)=x3+a*x2+b*x+c – уравнене используемое в программе;

x – неизвестная, корень уравнения;

x^2 – неизвестная x в степени 2.

x^3 – неизвестная x в степени 3.

3.6 Входные и выходные данные

3.6.1 Входные данные

n, m: real – левый и правый промежутки функции соответственно;

a, b, c: real – параметры, коэффициенты уравнения;

eps: real – погрешность;

3.6.2 Выходные данные

x1: real – значение корня уравнения;

k: integer – количество итераций.

3.6.3 Промежуточные данные

tmp:real – Проверка водимых значений.

k: integer – счетчик итераций.

check: integer – проверка вводимых значений

flag: Boolean – служебная переменная проверки значений

3.7. Алгоритм решения задачи

3.7.1. Алгоритм нахождения корня уравнения y(x)=x3+a*x2+b*x+c

Алгоритм решения уравнения вида y(x)=x3+a*x2+b*x+c приводится на рисунке 3.4.

4. ТЕСТОВЫЕ ПРИМЕРЫ

Тестовые примеры необходимы пользователю для того, чтобы узнать возможности, которые предоставляет данный программный продукт или протестировать его на правильность решения уравнений.

Тестовые примеры для решения уравнения вида y(x)=x3+a*x2+b*x+c приводятся в таблице 4.1.

Таблица 4.1. Тестовые примеры для уравнения вида y(x) =a*x^2+b*x+c

m

n

a

b

c

E

Результат

-2

2

5

29

3

0.001

-0.105

-6

-3

5

3

5

0.001

-4.1583

5

20

5

29

4

0.01

Уравнение не имеет корня

При введении в программу данных, не отвечающих требованиям типу, будет появляться сообщение "Неверное значение, попробуйте снова", пока не будут введены правильные данные, соответствующие требованиям программы.

При введении в программу интервалов, при которых отсутствует решение, будет появляться сообщение "Интервал выбран не корректно, введите интервал снова", пока не будет введен правильные интервал, соответствующий требованиям программы.


ВЫВОДЫ

В процессе создания была написана программа, осуществляющая решение уравнения с одной переменной методом Ньютона (касательных). Программа способна решать один вид уравнений.

Корректная работа программы обеспечивается строгим следованием методическим указаниям, а также надёжной системой проверки промежуточных результатов в ходе выполнения самой программы.

Однако ощутимыми недостатками являются расчёт результатов всего для одной функции.

В целом получившийся программный продукт является пособием для студентов высших учебных заведений и для учащихся математических классов среднеобразовательных школ.


ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фаронов В.В. "Turbo Pascal 7.0. Начальный курс": учебное пособие. – М.: Кнорус, 2006. – 576 с.

2. Сухарёв М. Turbo Pascal 7.0. Теория и практика программирования. – СПб: "Наука и техника", 2003. – 576 с.

3. Конспект лекций по курсу «Информатика и программирование».


x

(x) 

m

n


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21968. Италия в XVI-первой половине XVII вв. 71.5 KB
  новая эпоха в истории Италии эпоха феодальной реакции когда Италия уступает свои ведущие позиции другим западноевропейским странам. экономика Италии приходит в упадок по вопрос о том когда начался упадок и насколько он затрагивал отдельные области Италии и различные отрасли экономики как он протекал и в какой мере достижения прежних веков были утрачены представляется спорным. Большинство исследователей в последнее время предпочитают говорить не столько об упадке экономики Италии в это время а сколько об ее перестройке относя период...
21969. Китай в III-VIII-XII вв. 74 KB
  – в Северном Китае образовали свое государство в 316 г. ХоуЧжаю государство гуннов пало под ударами сяньбийцев. создали государство ЦяньЯнь просуществовало до 370 г. сяньбийские племена объединились под властью вождя Тоба Тобар Тобагуй и появилось государство ХоуВэй т.
21970. Китай в эпоху правления династии Юань (1271-1368 гг.) 71 KB
  на территории современного Китая сосуществовали 4 государства: на севере – чжуржэньская империя Цзинь на северозападе – тангутское государство Западное Ся на юге – Южносунская империя и государственное образование Ианьчжао Дали. – китайцысеверяне и ассимилированные кидане чжурчжэни корейцы и т. Этому способствовали политика властей власть монголов ослабла вместо единой монгольской империи было 4 государства: собственно Монголия Маньчжурия Китай Тибет входили в состав одного из них – государства великих ханов и стихийные...
21971. Контрреформация 39.5 KB
  пойти на реорганизацию внутренней структуры системы власти и управления она создала новые инструменты в частности появились новые религиозные ордена инквизиция книжная цензура постановления Тридентского собора. Некоторые ордена были реформированы. был реорганизован орден камальдулов ответвления бенедиктинцев в 1528 г. часть обсервантов францисканцы образовали орден капуцинов для деятельности в миру проповеди и служения среди простонародья.
21972. Крестовые походы 76 KB
  Наименование крестовых походов в истории получили военноколонизационные походы западноевропейских феодалов в страны Восточного Средиземноморья а также в пределы земель западных славян и прибалтийских народов. Современники не говорили крестовый поход называя это движение – войной за Гроб господень странствование заморское поход по стезе Господней путь в Святую землю. Термин крестовый поход появился в XVII в.
21973. Культура Западной Европы в XVI-XVII вв. 185 KB
  XVI в. XVI в. В XVIXVII вв.
21974. Австрийские земли в XVI-первой половине XVII вв. 54.5 KB
  в Австрии вместе с Чехией и Моравией проживало 55 млн. В Австрии население было распределено равномерно и все области были одинаково развиты в экономическом отношении. Австрийские правители добились чтобы экспортируемые из Венгрии медь и серебро в значительной мере обрабатывались в самой Австрии. был в Австрии бурным периодом перехода от ремесленного производства к ранней мануфактуре от аграрного хозяйства производящего на общину к производству на рынок.
21975. Австрийские земли в X-XV вв. 62 KB
  Хлебопашество играло определяющую роль на востоке – в Нижней Австрии оставаясь в рамках чиншевой системы. в Австрии было достаточное количество мелких и средних городов и один крупный – Вена. Формируется специализация городов и экономических зон Австрии. Ассортимент экспорта – бумазея вуаль из Вены и Тульна изделия из металла – иглы цепи кухонная утварь с х утварь ножи из Нижней Австрии – изделия из кожи стекло бумага кроме того австрийские купцы занимались экспорт и реэкспортом с х продуктов.
21976. Доколумбовая Америка. Ацтеки 228 KB
  Во влажных тропических лесах юга Месоамерики на сравнительно краткий исторический срок пышно расцвела цивилизация майя оставившая после себя обширные города и множество великолепных произведений искусства. Майя исторический и современный индейский народ создавший одну из самых высокоразвитых цивилизаций Америки и в целом Древнего мира. Некоторые культурные традиции древних майя сохраняют около 25 млн. народ майя говорящий на различных языках семьи майякиче расселился на обширной территории включающей южные штаты Мексики Табаско...