5167

Реализация решения уравнения программным способом

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

1. Постановка задачи В данном программном продукте необходимо реализовать решение на примере уравнения: y(x)=x3+a*x2+b*x+c. Вместо коэффициентов должны использоваться параметры a, b, c, которые принимают значения, вводимые пользователем. Для нахожде...

Русский

2012-12-04

157 KB

36 чел.

1. Постановка задачи

В данном программном продукте необходимо реализовать решение на примере уравнения: y(x)=x3+a*x2+b*x+c. Вместо коэффициентов должны использоваться параметры a, b, c, которые принимают значения, вводимые пользователем. Для нахождения корней, обязательным является указание промежутков, на которых определена функция, поэтому пользователь обязательно вводит промежутки функции n, m. Метод Ньютона является итерационным методом, следовательно, должна указываться погрешность вычисления ε. Обязательным является построение графика выбранной функции на заданном промежутке.


2. МАТЕМЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Дисциплина "Численные методы" содержит набор методов и алгоритмов приближенного (численного) решения разнообразных математических задач, для которых точное аналитическое решение либо не существует, либо слишком сложно для использования на практике. При численном решении задач всегда возникает погрешность.

Выделяют абсолютную и относительную погрешность. Пусть р – точное значение искомого ответа, а p – приближённое значение, полученное с помощью численного метода.

Тогда  – абсолютная погрешность,

– относительная погрешность.

На первом этапе необходимо найти отрезок [a,b], на котором функция имеет ровно один корень. На втором этапе происходит уточнение корня на отрезке с заданной точностью с помощью одного из численных методов.

Метод, реализуемый в РУОП, называется методом Ньютона. Другое название метода – метод касательных.

Начальное условие:

Дано:

уравнение f(x) =0,

где f(x) C'' [m,n], f(m) f(n) <0,

f(x) и f''(x) знакопостоянны на отрезке [m,n] ;

точность .

Найти: решение уравнения с заданной точностью.

Пусть корень  где  – некоторое приближение к корню,  – необходимая поправка. Разложим f(x) линейно в ряд Тейлора в окрестности xn (что соответствует замене функции в точке на касательную):

f(ξ) =0=f(xi+hi) ≈f(xi) +f'(xi) hi.

Отсюда:

.

Закон получения приближений к корню:

(2.1)

Начальное приближение x0 выбирается из условия:

. (2.2)

Графическая иллюстрация метода приведена на рисунке 2.1. Начальная точка в этом случае совпадает с n.

Рисунок 2.1. – Метод Ньютона

Идея метода заключается в том, что последовательность приближений к корню строится путем проведения касательных к графику функции и нахождения их точек пересечения с осью ОХ.

Алгоритм метода.

Шаг 1. Найти первое приближение к корню x0 по формуле (2.2).

Шаг 2. Находить следующие приближения к корню по формуле (2.1), пока не выполнится условия окончания:

|xi-xi+1|<.

Последнее найденное приближение и будет корнем.


3. ОПИСАНИ ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

3.1 Информационные потоки

Для наглядности работы программы, движению информации и взаимодействия программной части с аппаратной, разработана схема информационных потоков (рисунок 3.1).

ПРОГРАММА

Рисунок 3.1 – Схема информационных потоков


3.2. Описание функционирования программы

При запуске программы на экране появляется титульный лист, отображающий информацию о студенте; далее осуществляется ввод коэффициентов уравнения и интервалов определения функции:

Рисунок 3.2 – Схема функционирования программы

3.3. Описание процедур и функций программы

Function F () – Вычисление функции F(x);

Function F1 () – Вычисление первой производной функции F’(x);

Function F2 () – Вычисление второй производной функции F’’(x);

Procedure Newton () – Вычисление приближения к корню функции F(x)


3.5. Перечень обозначений

3.5.1 Обозначения вводимых данных

n, m, – промежутки функции;

a, b, c – коэффициенты уравнения, представленные в виде параметров;

eps – погрешность, аналог ε в разделе "Описании математической модели" и в разделе "Описание (и обоснование выбора) метода решения".

3.5.2 Обозначения выводимых данных

y(x)=x3+a*x2+b*x+c – уравнене используемое в программе;

x – неизвестная, корень уравнения;

x^2 – неизвестная x в степени 2.

x^3 – неизвестная x в степени 3.

3.6 Входные и выходные данные

3.6.1 Входные данные

n, m: real – левый и правый промежутки функции соответственно;

a, b, c: real – параметры, коэффициенты уравнения;

eps: real – погрешность;

3.6.2 Выходные данные

x1: real – значение корня уравнения;

k: integer – количество итераций.

3.6.3 Промежуточные данные

tmp:real – Проверка водимых значений.

k: integer – счетчик итераций.

check: integer – проверка вводимых значений

flag: Boolean – служебная переменная проверки значений

3.7. Алгоритм решения задачи

3.7.1. Алгоритм нахождения корня уравнения y(x)=x3+a*x2+b*x+c

Алгоритм решения уравнения вида y(x)=x3+a*x2+b*x+c приводится на рисунке 3.4.

4. ТЕСТОВЫЕ ПРИМЕРЫ

Тестовые примеры необходимы пользователю для того, чтобы узнать возможности, которые предоставляет данный программный продукт или протестировать его на правильность решения уравнений.

Тестовые примеры для решения уравнения вида y(x)=x3+a*x2+b*x+c приводятся в таблице 4.1.

Таблица 4.1. Тестовые примеры для уравнения вида y(x) =a*x^2+b*x+c

m

n

a

b

c

E

Результат

-2

2

5

29

3

0.001

-0.105

-6

-3

5

3

5

0.001

-4.1583

5

20

5

29

4

0.01

Уравнение не имеет корня

При введении в программу данных, не отвечающих требованиям типу, будет появляться сообщение "Неверное значение, попробуйте снова", пока не будут введены правильные данные, соответствующие требованиям программы.

При введении в программу интервалов, при которых отсутствует решение, будет появляться сообщение "Интервал выбран не корректно, введите интервал снова", пока не будет введен правильные интервал, соответствующий требованиям программы.


ВЫВОДЫ

В процессе создания была написана программа, осуществляющая решение уравнения с одной переменной методом Ньютона (касательных). Программа способна решать один вид уравнений.

Корректная работа программы обеспечивается строгим следованием методическим указаниям, а также надёжной системой проверки промежуточных результатов в ходе выполнения самой программы.

Однако ощутимыми недостатками являются расчёт результатов всего для одной функции.

В целом получившийся программный продукт является пособием для студентов высших учебных заведений и для учащихся математических классов среднеобразовательных школ.


ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фаронов В.В. "Turbo Pascal 7.0. Начальный курс": учебное пособие. – М.: Кнорус, 2006. – 576 с.

2. Сухарёв М. Turbo Pascal 7.0. Теория и практика программирования. – СПб: "Наука и техника", 2003. – 576 с.

3. Конспект лекций по курсу «Информатика и программирование».


x

(x) 

m

n


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20095. Обработка резанием. Кинематические и геометрические параметры и процессы резания. Главное движение и движение подачи. Элементы режима резания и геометрические параметры срезаемого слоя 101 KB
  Кинематические и геометрические параметры и процессы резания. Элементы режима резания и геометрические параметры срезаемого слоя. Для осуществления резания необходимо относительное движение между заготовкой и режущим инструментом. Совокупность движений сообщаемых механизмом станка в процессе резания инструменту и обрабатываемой детали представляет кинематическую схему резания.
20096. Сборочные приспособления . Разновидности , область применения, особенности конструкций, назначение 25.5 KB
  Рабочие повти их тщательно обрся имеют Тобразные пазы для закрепления собираемых деталей изготавливаются из чугуна. Служат для временного скркпления деталей и узлов в собираемых изделиях. Служат для поддержки и выверки громоздких и тяжёлых деталей. Блоки и подъёмники для деталей до 1т а больше – краны.
20097. Контрольные приспособления. Разновидности, область применения, особенности конструкции, назначения 32 KB
  При выборе отсчетных измерительных средств в зависимости от допусков и серийности производства необходимо учитывать их метрологические и экономические показатели погрешность средства цена деления шкалы предел измерения чувствительность порог чувствительности и т. При конструировании контрольного приспособления одной из основных задач является уменьшение или полное устранение общей суммарной погрешности измерения. Погрешностью измерения называется отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Обязательными...
20098. Приспособления для фиксации крепления инструмента на станках. Особенности конструкций 55.5 KB
  Например для повышения произвти универсальных станков применяют многошпиндельные сверлильные и фрезерные головки многорезцовые поворотные резцедержатели к токарным станкам поворотное приспособление и т. Многошпиндельные головки. Головки: специальные универсальные. Специальными называют головки предназначенные для обработки деталей с определённым расположением отверстий.
20099. Элементы приспособлений для направления инструмента и контроля его положения 208 KB
  Расчет погрешностей настройки инструмента на размер. Эти элементы можно разбить на несколько групп: Элементы которые определяют момент прекращения момента подачи инструмента упоры. Элементы быстрой установки инструмента на размер шаблоны и установы.
20100. Автоматические приводы приспособлений. Особенности конструкций. Область применения 81 KB
  В этих приводах силовым источником является центробежная сила инерции вращающихся грузов. Достоинства: 1 автоматический зажим и разжим; 2 сила зажима возрастает с глубиной сверления. При этом появляется сила кот. Кулачки заклинивают заготовку еще больше и сила заклинивания будет пропорциональна силе .
20101. Делительные устройства приспособлений. Назначение и область применения, особенности конструкций. Расчет погрешности деления 59.5 KB
  Простейшее делительное устройство состоит из диска закрепленного на поворотной части приспособления неподвижной части корпуса и фиксатора. Количество делений или позиций определяется количеством отверстий подвижной части приспособления. δ – допуск на расстояние между осями 2х соседних отверстий подвижной части. 1й случай S1=0 S2 ≠ 0: В фиксаторе сопряжение рабочей части и втулки по посадке Н7 g6 для высокоточных Н6 h5.
20102. Приводы, основанные на использовании электрической энергии. Особенности конструкций, область применения 161 KB
  Притяжение заготовки к зеркалу плиты обуславливается тем что она являясь проводником магнитного потока дает возможность замыкаться этому потоку между полюсами электромагнита. Сила притяжения заготовки зависит от материала габаритов и шероховатости опорной поверхности заготовки а также от характеристики магнитной плиты. При закреплении тонкостенных заготовок величина силы притяжения зависит от толщины заготовки. Это связано с тем что при малой толщине заготовки не весь магнитный поток замыкается через нее а часть его рассеивается в...
20103. Многократные зажимные механизмы. Классификация, особенности конструкций, расчет сил зажима в них 2.51 MB
  Эти механизмы имеют ведомые звенья в виде прихватов или плунжеров. По направлению сил зажима многократные механизмы разделяются на группы: 1 механизмы последовательного действия передающие силу зажима в одном направлении от заготовки к заготовке. 2 механизмы параллельного действия передающие силу зажима в нескольких параллельных направлениях.