52083

Абсолютна величина в математичних задачах

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Для успішного розв’язання цих завдань потрібно не стільки мати гарну інтуїцію і неабиякі здібності скільки мати спеціальну підготовку. Вона полягає в знайомстві ретельному вивченні й застосуванні методів розв’язування таких задач. Розв’язування задач з модулями приводить учнів до необхідності використання класифікації й освоєння навичок дослідження та готують до розв’язання важких задач з параметрами. У цій роботі йдеться про методи розв’язування раціональних рівнянь і нерівностей що містять знак абсолютної величини.

Украинкский

2014-02-13

1.11 MB

3 чел.

Управління освіти м. Ковеля

Ковельська міська гімназія

 

Абсолютна величина

в математичних

задачах.

                      (методичні рекомендації)

                                                                  номінація

                                                               «Математика»

                 

                                    Автор

                                       Ільюх

                                             Світлана Миколаївна

                                                     вчитель математики

 

    

Ковель – 2011 рік

Анотація.

Задачі з абсолютною величиною (модулем) займають не досить багато часу в шкільній програмі з математики. Але, останнім часом, особливо з введенням зовнішнього незалежного оцінювання, учні і вчителі звертають посилену увагу на цей матеріал, адже нерідко, саме він стає значною перешкодою для випускників.

Для успішного розв’язання цих завдань потрібно не стільки мати гарну інтуїцію і неабиякі здібності, скільки мати спеціальну підготовку. Вона полягає в знайомстві, ретельному вивченні й застосуванні методів розв’язування таких задач.

Тим часом у навчальній літературі відчувається дефіцит збірників, присвяченим задачам з модулями. Тому підбір і класифікація таких задач, безумовно, необхідні.

Поняття модуля неодноразово зустрічається в курсі математики в середній школі. Це й абсолютна похибка наближеного значення, властивості кореня парного степеня, границя послідовності, рівняння, нерівності, системи, графіки з модулями, задачі з параметрами.

Розв’язування задач з модулями приводить учнів до необхідності використання класифікації й освоєння навичок дослідження та готують до розв’язання важких задач з параметрами.

У цій роботі йдеться про методи розв’язування раціональних рівнянь і нерівностей, що містять знак абсолютної величини. Типи задач, що приведені в цій роботі, і методи їх розв’язування дають можливість розширити арсенал засобів, які застосовуються у розв’язанні досить складних завдань. Метод, що добре спрацьовує в декількох випадках, перестає бути складним. Тому в роботі дуже багато задач, при розв’язанні яких можна використати один і той же метод. Поступово в роботі йде перехід до задач з параметрами, що містять абсолютну величину, розв’язувати їх вже не так складно, як на початку, адже учні озброєні навиками роботи з не досить складними методами. Останній параграф роботи присвячений нестандартним задачам, що містять модуль, але поетапне засвоєння даного матеріалу дає змогу розібратися і в них.

В роботі наведено детальне розв’язання багатьох задач, до деяких даються вказівки та плани розв’язання. Всього розв’язано більш ніж 45задач, після кожного параграфа пропонуються завдання для самостійного розв’язання, що, звичайно, може сформувати уявлення про досліджувані методи.

Задачі в основному підібрані із збірників вищих навчальних закладів, раніше пропонованих для вступних іспитів: КПІ, КНЕУ, КНАУ,ЛНПУ та інших, велика увага приділена завданням із збірника А. В. Століна «комплексні завдання з математики», та завданням які пропонуються в тренувальних тестах, чи були в ЗНО минулих років.

Для відпрацювання навиків з даної теми, робота буде корисна старшокласникам та вчителям, при підготовці учнів до тестування, при підготовці до проведення факультативів чи курсів за вибором з даної теми.


         
Зміст роботи.

І. Рівняння, системи рівнянь, нерівності та системи нерівностей, які містять знак абсолютної  величини. Теоретичні відомості.

ІІ. Рівняння.

- Завдання для самостійного розв’язання.

ІІІ. Нерівності.

1. Нерівності загального виду.

2. Нерівності виду  або  .

3. Нерівності виду   .

4. Нерівність виду .

5. Нерівність виду

6. Застосування заміни змінної в нерівностях.

7. Нерівності виду , що розв’язуються розкладанням лівої частини на   

   множники.

8. Дробово – раціональні нерівності з невід’ємним знаменником.

9. Нерівності зі складним модулем.

- Завдання для самостійного розв’язання.

IV. Рівняння і нерівності з параметрами, що містять знак  абсолютної величини.

- Завдання для самостійного розв’язання

V. Системи рівнянь що містять абсолютну величину і параметри.

- Завдання для самостійного розв’язання.

VI. Використання властивостей модуля до розв’язування нестандартних завдань.

- Завдання для самостійного розв’язання.

 § І.Рівняння, системи рівнянь, нерівності та    

      системи нерівностей, які містять знак   

                     абсолютної  величини.

                       Теоретичні відомості.

Абсолютна величина (модуль) числа а позначається .

 Означення  = a, a

                                -а, а

Властивості абсолютної величини числа:

1.                   2.

3.             4.

5.  

Часто при розв’язуванні рівнянь та нерівностей користуються наступними властивостями модуля:

6.                                         7.

8.                   9.  

10.          11.

Схеми розв’язання основних типів рівнянь з модулем:

                            f (x) = g (x),

                            x ,

1. f     f (-x) = g (x),

                             x <0;

                             f (x) = g (x),

                             f (x) 0                         g (x),

2.                                     f (x)= g (x),

                             -f (x) = g (x),                 f (x) = -g (x);

                              f (x) < 0

                              f (x) = g (x),

3.                                     f(x) = g(x)

                              f (x) = -g(x)

  

4.

5.

6.

7.

8.

9.

                                                                                                                                                                    

10.  ,

де f(x), i =, g(x) – деякі функції.   

Часто розв’язування таких рівнянь послідовним розкриттям знаків модуля дуже громіздке. Такі рівняння найпростіше розв’язувати методом інтервалів. Для цього знаходять всі точки, в яких хоча б одна із функцій f(x), i= змінює знак. Ці точки ділять область допустимих значень рівняння на проміжки, на кожному з яких всі функції f(x), і = зберігають знак. Використовуючи означення модуля, переходять від рівняння до сукупності систем, які не містять знаків модулів.

Аналогічно можна розв’язувати і відповідні нерівності:

.


                       
§ 2.   Рівняння.

Для розв’язання рівняння, що містить модулі, у загальному випадку потрібно розглянути це рівняння на всіх проміжках, на яких вирази під знаками модулів не змінюють знак, розкрити модулі і розв’язати відповідні рівняння на кожному з проміжків.

Приклад 1.

Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання

Функції під знаками модуля дорівнюють нулю відповідно в точках х=-1 і х=0. Ці точки розбивають числову вісь на три проміжки. На кожному з цих проміжків обидві функції під знаками модуля зберігають знаки, і тому, враховуючи означення модуля, утворимо рівносильну сукупність мішаних систем:

 або     або    

Звідки отримуємо розв’язок, що випливає з першої системи.

Відповідь: .

Приклад 2.

Розв’язати рівняння : .

Розв’язання

Функція під першим знаком модуля має корені х=1, х=2, а дискримінант другого квадратного тричлена від’ємний, тому даному рівнянню відповідає така система:

якщо  

Розв’язавши яку, отримаємо рівносильну сукупність мішаних систем:

    або         

Перша і друга системи не мають розв’язків.

Відповідь: не моє розв’язків.

Приклад 3.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Розкриємо спочатку зовнішній модуль, а потім внутрішній, користуючись означенням модуля.

       

Відповідь:

 Приклад 4.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Під час розв’язання даного рівняння використаємо означення модуля, та після перетворень отримаємо:

1)

2)  дана система не має розв’язків.

Відповідь: 3.

Приклад 5.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Розкриваючи модуль, отримаємо сукупність двох систем:

1)

Другий розв’язок рівняння не задовольняє систему.

2)  

Відповідь: 

Приклад 6.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

1)          2)      3)

Відповідь: жодна із систем не має розв’язків.

Приклад 7.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

У цьому рівнянні користуватись методом інтервалів не доцільно, а слід згадати, що два модулі будуть рівними, якщо вирази під знаками модулів або рівні, або протилежні. Тому маємо рівносильну сукупність рівнянь:

                        

З якої знаходимо результат.

Відповідь: 

Приклад 8.

Розв’язати рівняння:

 

Розв’язання

Використовуючи властивість рівності модулів, отримаємо рівносильне рівняння даному:

 

Розв’язавши дану систему отримаємо

Відповідь:

         Рівняння для самостійного розв’язання:

1.                                     7.

2.                                         8.

3.                             9.

4.                                       10. 

5.;

6.


                                        
§ 3. Нерівності.

Нагадаємо деякі відомості про нерівності.

Дві нерівності A>B i C>D називаються нерівностями однакового змісту. Дві нерівності A>B i C<D є нерівностями протилежного змісту. Нерівності A>B i C>D називаються строгими, а нерівності AB i CD – нестрогими.

Деякі корисні нерівності.

1.

2.

3. Якщо  то  Рівняння має місце тільки при

4. Якщо  тобто середнє геометричне двох додатних чисел не більше за їх середнє арифметичне. Рівність  має місце тільки у випадку

Як і у випадку рівнянь з модулями після їх розкриття зводиться до раціональних нерівностей.

Розкриття модуля в нерівностях.

Модулі в нерівностях можна розкривати користуючись означенням абсолютної величини виразу:

                              І. Нерівності загального виду.

Приклад 1.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Відмітивши на числовій осі ті значення х, при яких вирази під знаками модуля перетворюються на нуль, одержуємо три інтервали, на кожному з яких ці вирази знакосталі:

1)         2)          3)

Враховуючи, що на кожному з цих інтервалів вирази під модулем не змінюють знак, складемо і развяжемо сукупність трьох систем нерівностей, розкривши модулі за означенням на кожному з інтервалів.

1)

2)

3)

Таким чином, маємо сукупність трьох нерівностей:

Розв’язавши графічно, знайдемо об’єднання розв’язків усіх трьох нерівностей.

Відповідь: х

Приклад 2.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Нерівності з великою кількістю лінійних виразів під знаками модулів зручно розв’язувати графічно, оскільки у цьому разі розкриття модулів за означенням технічно ускладнює розв’язання задачі.

Обчислимо значення лівої частини нерівності в тих точках, де вирази під знаками модулів дорівнюють нулю.

    x

 

   -2

    -1

    0

    1

    2

 

    y

 Y=-x

    2

     3

    2

    3

    2

 Y=x

        

Графіком лівої частини буде неперервна ламана лінія, яку легко побудувати за виразами тільки на двох проміжках  і за значеннями в точках  х=-2, -1, 0, 1, 2.

Відповідь:

                  ІІ. Нерівності виду  або  .

При розв’язуванні таких нерівностей із знаком модуля можна користуватися наступними властивостями абсолютної величини:

  1.  Нерівність рівносильна подвійній нерівності  , або, що те ж саме, системі нерівностей:
  2.  Нерівність  рівносильна сукупності двох нерівностей:

У разі нестрогої нерівності усі знаки нерівностей доповнюються знаком рівності.

Приклад 3.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Дана нерівність за властивістю (2) рівносильна сукупності двох нерівностей:

  

Відповідь: .

Приклад 4 .

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Задана нерівність з модулем рівносильна системі нерівностей:

Розв’язком є перетин проміжків

Відповідь: 

                 ІІІ. Нерівності виду   

Такі нерівності зводяться до системи раціональних нерівностей.

У нерівності виду  вираз g(x) більший за невід’ємну величину  , тому він повинен набувати лише додатних значень, а нерівність даного виду рівносильна системі нерівностей:

 

Приклад 5.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Права частина нерівності може набувати тільки додатних значень, тому маємо систему нерівностей:

Друга нерівність виконується при всіх хR, бо дискримінант:  від’ємний.

Графічно знаходимо множини розв’язків системи нерівностей.

Відповідь: (0;6).

                      IV.  Нерівність виду

Дана нерівність рівносильна такій сукупності:

 

Приклад 6.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Нерівність виконується в кожній точці, що належить області допустимих значень, бо права частина нерівності від’ємна. Областю допустимих значень даної нерівності є всі точки числової осі, крім х=3.

Відповідь: х

Приклад 7.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Задана нерівність з модулем рівносильна сукупності трьох систем нерівностей:

Розв’язок якої знаходимо об’єднанням проміжків, що є розв’язками системи цієї сукупності.

Відповідь:

                         V.   Нерівність виду

Схеми розв’язання відповідних нерівностей:

1.

2.

3.

4.

Приклад 8.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Піднесемо обидві частини цієї нерівності до квадрата і подамо отриману рівносильну нерівність у вигляді різниці квадратів:

Застосуємо формулу різниці квадратів двох виразів, звідки одержимо рівносильну нерівність:

Або

Коренями лівої частини нерівності є множина чисел , де корінь 1 є двократним. За допомогою «змійки» знаходимо розв’язок вихідної нерівності.

Відповідь: 

Приклад 9.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Оскільки обидві частини нерівності додатні, то при  вона рівносильна такій нерівності:

Звівши останню нерівність до квадрата й перенісши всі члени в ліву частину, після перетворень за формулою різниці квадратів, одержимо нерівність:

Розв’язуючи яку, знаходимо відповідь.

Відповідь: 

        VI. Застосування заміни змінної в нерівностях.

Завдання подані в цьому розділі можуть бути розв’язані методом інтервалів для нерівностей, однак застосувавши відповідні заміни дістатися результату можна швидше.

Приклад 10.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Покладемо  тоді нерівність набуде вигляду:

Оскільки  при усіх  то  Повертаючись до вихідної змінної, маємо:

Відповідь:

          VII.   Нерівності виду , що розв’язуються   

              розкладанням лівої частини на множники.

Приклад 11.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Відповідь: 

Приклад 12.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Нехай  тоді нерівність має вигляд:

Отже,   З огляду на те, що  маємо сукупність нерівностей:

Відповідь: 

 

  VIII. Дробово – раціональні нерівності з невід’ємним   

                               знаменником.

Приклад 13.

Знайти найменше від’ємне ціле значення х, що задовольняє нерівність:

Розв’язання

Область визначення нерівності  Помноживши обидві частини нерівності на знаменник, одержимо:

З урахуванням умови  маємо:

Відповідь: -2.

               IX. Нерівності зі складним модулем.

Приклад 14.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Розкриємо внутрішній модуль. Якщо  то нерівність набуде вигляду:

Враховуючи область, яку розглянули,

Якщо  то маємо:

Враховуючи область, яку розглянули,  Поєднуючи розв’язки в обох проміжках, одержуємо відповідь.                                                                      Відповідь: 

Приклад 15.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Областю визначення даної нерівності є :

Використовуючи основну властивість логарифмів, маємо:

Відповідь:

                    Нерівності для самостійного розв’язання.

1. 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. 


  §4.
Рівняння і нерівності з параметрами, що  

          містять знак  абсолютної величини.

Приклад 1.

При яких значеннях параметра а серед коренів рівняння  є лише один додатній корінь?

Розв’язання

При а< дане рівняння розв’язків не має, оскільки ліва частина рівняння набуває невід’ємних значень.

Нехай а. Тоді дане рівняння рівносильне сукупності

Перше рівняння має два розв’язки    причому  Знайдемо а при яких . Маємо:

Друге рівняння сукупності при а>1 розв’язків не має.

Отже, при   дане рівняння має один додатній корінь.

Нехай  В цьому випадку - корені другого рівняння сукупності. Оскільки  то рівняння буде мати один додатній корінь, якщо Маємо:

Тоді

Відповідь: 

Приклад 2.

Скільки розв’язків має рівняння

Розв’язання.

Застосуємо графічний метод перерізів.  Для цього побудуємо графіки функцій:

                                                                                                                                                          

  

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

Зрозуміло, що рівняння буде мати стільки розв’язків, скільки спільних точок мають графіки функцій. При  або  горизонтальна пряма y=a не має спільних точок з графіком функції f(x). В цьому випадку рівняння має порожню множину розв’язків. При 0<a<1 графіки мають дві спільні точки А і В, тобто рівняння має два розв’язки. Нарешті, якщо а=1, то рівняння має безліч розв’язків  

Відповідь: порожня множина, якщо

                  два корені, якщо   

                  безліч коренів, якщо а=1.

Приклад 3.

Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання

Дане рівняння рівносильне системі

Оскільки  то  Тоді  Крім того

Отже ліва частина рівняння  є сумою двох невід’ємних доданків  Рівність можлива, якщо  тобто при х=1 і а=-1. Перевірка показує, що значення х=1 при а=-1 задовольняє дане рівняння.

Відповідь:  х=1, якщо а=-1; х, якщо а-1.

Приклад 4.

Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання

Запишемо рівняння у вигляді

і  

Отже, дане рівняння обертається в тотожність, як тільки виконується система нерівностей

 

При а=0 система не має розв’язків. Нехай а0. Порівнявши між собою числа -2, а, і  та врахувавши, що розв’язок нерівності ах1 залежить від знаку а, дістанемо такі розв’язки рівняння:

  1.  а, тоді ха;
  2.  тоді х
  3.  тоді рівняння не має розв’язків;
  4.   тоді
  5.   тоді

Приклад 5.

Скільки розв’язків має рівняння залежно від параметра а:

?

Розв’язання

Запишемо ліву частину рівняння у вигляді:

І побудуємо її графік.       Пряма у=а і графік функції f(x) мають:

                                             1) одну спільну точку, якщо а<-2 або ;

                                             2)дві спільні точки, якщо 0<a<4;

                                             3)не мають спільних точок, якщо

                                                                                                                                   Відповідь: не має розв’язків, якщо

                  один корінь, якщо а<-2 або 

                  два корені, якщо

Приклад 6.                                                                                                                                   Знайти дійсні розв’язки рівняння і визначити при яких значеннях а воно має єдиний дійсний розв’язок:

Розв’язання

Розглянемо два випадки.

Якщо  то отримаємо рівняння:

Виконується при  Більше двох цей корінь бути не може.

Для  потрібно розв’язати дві нерівності:

Перша нерівність виконується при

а друга при

Розглянемо другий випадок, нехай:

Дане рівняння стає лінійним і ми знайдемо

Розв’яжемо нерівність:

Отже при  корені  співпадають, а корінь  не існує, тобто рівняння має єдиний розв’язок  

Якщо  то рівняння має два різні розв’язки  якщо  то  якщо ж   то два розв’язки  

Корені  різні, так як  лежить поза цим інтервалом.

Відповідь: 


           
§5. Системи рівнянь що містять абсолютну    

                        величину і параметри.

Приклад 1.

Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання

Якщо  то отримаємо систему:

Якщо  то

Якщо  то

Якщо  то

Кожні із чотирьох розв’язків задовольняють записані умови.

Відповідь: (2; 1); (0; -3); (-6; 9); (0; -3).

Приклад 2.

В області дійсних чисел розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання

Якщо  то отримаємо систему:

яка при  має розв’язки:  за умови

Якщо то

Із умови  знаходимо  а з другої умови:

Обидві нерівності відповідають умові:

Якщо ж  то:

Підставляючи знайдені значення х і у в умови, отримаємо:

На кінець, якщо  то отримаємо:

Це означає, що при  так як  але  то

Отже отримуємо при

Відповідь: при

                 при

                 при

                 при

Приклад 3.

При яких значеннях а система має дійсні розв’язки. Знайти ці розв’язки.

Розв’язання

Рівняння при  не має розв’язків. Якщо то геометричною інтерпретацією цього рівняння є коло радіуса  з центром в початку координат. Друге рівняння визначає сторони квадрата, діагоналі якого рівні 2 і розміщені на осях координат.

При збільшенні а коло буде збільшуватися і  спочатку буде вписаним в квадрат, потім перетне його в восьми точках і, буде описаним навколо квадрата.

Отже, якщо  то система не має розв’язків.

Якщо отримаємо чотири розв’язки:  і три симетричних розв’язки:  

Якщо  то маємо вісім розв’язків. Ми знайдемо їх піднісши перше рівняння до квадрату і отримавши за допомогою другого рівняння

В результаті отримаємо систему рівнянь:

До цих розв’язків потрібно додати ще шість симетричних.

Якщо  то система має чотири розв’язки:

При система не має розв’язків.

Приклад 4.

Знайти всі значення  при яких система має один розв’язок:

(дійсні числа)

Розв’язання

Нехай  - розв’язок системи. Тоді друге рівняння задовольняє ще три пари змінних:  Легко переконатися, що перше рівняння поряд з розв’язком  має також розв’язком і :

Таким чином система може мати один розв’язок лише при умові, що

Підставимо це значення у в систему, отримаємо а=0.

Вияснимо, чи достатньо умови а=0 для існування єдиного розв’язку даної системи рівнянь. Якщо а=0,то  а це означає, що або х=1, у – будь-яке число, або - будь-яке число,у=0. Значення параметра  повинні бути такими, щоб друге рівняння системи задовольняв тільки один з розв’язків першого рівняння системи.

Якщо у=0, то друге рівняння має єдиний розв’язок ( за умовою  при будь-якому  Тому  потрібно вибирати таким, щоб виключити випадок х=1, тобто таким, щоб рівняння  не мало дійсних розв’язків. Для цього необхідно і достатньо виконання умови

Якщо х=1, то друге рівняння має єдиний розв’язок тільки в тому випадку, коли  При цьому його задовольняє один із розв’язків першого рівняння системи: х=1, у=0.

Відповідь: 

Приклад 5.

При яких значеннях а система рівнянь має два розв’язки:

Розв’язання

Зауважимо, що якщо пара  є розв’язком даної системи, то пари  - також є розв’язками системи. Звідси випливає, що якщо система має два розв’язки, то вони мають вигляд . Отже, умова

є необхідною (але не достатньою) умовою існування у даної системи двох розв’язків. З цьому випадку маємо систему:

Розв’язавши вихідну систему при а=8, переконаємося, що вона дійсно має два розв’язки, а саме: (2; 2) , (-2; -2).

Відповідь: а=8.

 

Завдання для самостійного розв’язання

1.Скільки коренів має рівняння залежно від значень параметра а?

а)

б) 

в) 

г) 

д)

2. При яких значеннях а рівняння не мають розв’язків:

а) 

б)

в)

3. При яких значеннях а рівняння мають єдиний розв’язок:

а) 

б) 

в) 

4. При яких значеннях а рівняння мають три різні корені:

а) 

б) 

в) 


       
§6. Використання властивостей модуля до    

            розв’язування нестандартних завдань.

Приклад 1.

Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання

Враховуючи, що    та використовуючи геометричний зміст модуля, випливає, що   для всіх х та у. Отже, рівність виконується при  Тоді з другого рівняння системи отримуємо х=0.

Відповідь: (0; 0).

Приклад 2.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Використовуємо властивість:  якщо  Тоді рівняння рівносильне системі:

Оскільки  для всіх х, то

при  оскільки n – ціле, то n=0, 1, 2, 3,…  Звідки

Отже, система набуває вигляду:

Відповідь: 9.

Приклад 3.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Використовуючи геометричний зміст модуля, маємо:

Отже, якщо  то рівняння набуває вигляду:

Якщо  то маємо:  тобто  що не задовольняє умову

Відповідь: 

Приклад 4.

Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання

За властивістю  із першого рівняння системи маємо:

Додавши почленно ці нерівності, отримаємо:  

Оскільки за умовою  то   ( отримаємо з другої нерівності системи), тобто  Додамо до обох частин останньої нерівності  і отримаємо:

Отже, квадратний тричлен   набуває тільки значення, яке дорівнює 0.

отже,

Із другого рівняння системи, враховуючи, що  маємо:

Якщо  то  якщо  то

Відповідь:

Приклад 5.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

ОДЗ:

Оскільки  то вихідне рівняння можна записати у вигляді  тоді  причому рівність отримуємо при

Відповідь: 

Приклад 6.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Очевидно, що  при довільному х. Для оцінки лівої частини рівняння застосуємо властивість

Отримаємо:

Таким чином, вихідне рівняння рівносильне системі:

Відповідь:

Приклад 7.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Отримаємо рівносильну нерівність, якщо кожний множник замінимо за властивістю:

замінимо на

замінимо на

замінимо на

Тоді вихідна нерівність набуває вигляду:

розв’язками якої є:  

Відповідь:

Приклад 8.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Нехай  тоді  Отже нерівність набуває вигляду:

При  маємо  Розв’язки цієї нерівності з урахуванням умови  звідки  тоді

При  маємо:  тобто  Оскільки  для будь-яких t, то що не задовольняє умову

Відповідь: 

Приклад 9.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Областю визначення даного рівняння є:

Використавши означення модуля, перетворимо дане рівняння у дві системи.

1)

2)

Відповідь:

Приклад 10.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Областю визначення даного рівняння є :

1) Якщо  то рівняння не має розв’язку.

2) Якщо

Якщо  то отримана система не має змісту.

Якщо

Якщо

Відповідь: 

Приклад 11.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання

Відповідь: 

Завдання для самостійного розв’язання.

1. Розв’язати рівняння:

Відповідь:

2. Розв’язати рівняння:

Відповідь:

3. Розв’язати рівняння:

Відповідь:

4. Розв’язати нерівність:

Відповідь:

5. Розв’язати нерівність:

Відповідь:

6. Розв’язати систему рівнянь:

Відповідь:


                             
 Література.

1. Апостолова Г. В. Хитромудрий модуль. – К.: Поліграф сервіс, 2001.

2. Нелін Є. П. Алгебра в таблицях: Навч. Посібник для учнів 7-11 класів. – Х.: світ дитинства, 2002.

3. Голубєв В. И., Тарасов В. А. Эффективные пути решения неравенств. Журнал «Квантор» - Львов, 1992.

4. Гайштут О. Г., Литвиненко Г. М. Розв’язування алгебраїчних задач. – К.: Радянська школа, 1991.

5. Репа В., Клешня Н. Задачі з параметрами. – Т.: Підручники і посібники, 2002.

6. Ваховский Е. Б., Рывкин А. А. Задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1971.

7. Гельфанд М. Б. Математика. Справочное пособие. – К.: Вища школа, 1982.

8. А. В. Столін. Комплексні вправи з математики. – Х.: «рубіком», 1995.

PAGE  4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57509. Групи слів за значенням (синоніми, антоніми, омоніми, пароніми) 35.5 KB
  Скласти речення до кожної групи слів. Синоніми допомагають точніше висловлювати думку уникнути повторення однакових або співзвучних слів. З одним із слів скласти речення.
57510. Іменники-синоніми. Іменники-антоніми. Багатозначні слова 35 KB
  Мета: удосконалювати вміння вживати в мовленні іменники-синоніми антоніми як засіб увиразнення мовивміти застосовувати в мовленні багатозначні словарозвивати і збагачувати мовлення дітей виховувати інтерес до рідної мови.
57511. Омоніми 91 KB
  Мета: дати учням поняття про омоніми, формувати вміння визначати омоніми в реченнях, пояснювати їхнє лексичне значення, доречно вживати їх у мовленні; удосконалювати орфографічні та пунктуаційні навички.
57513. Слово. Значення слова 230.5 KB
  Мета: закріплювати знання про пряме і переносне значення слів багатозначність слова синоніми і антоніми удосконалювати навички користування фразеологізмами; збагачувати словниковий запас розвивати творче мислення та мовлення учнів...
57514. Соціально-економічний розвиток українських земель у І половині ХVІІ століття 41.5 KB
  Мета: розглянути процес зростання магнатського землеволодіння, зростання міст; розвивати вміння узагальнювати матеріал; виховувати інтерес до предмету.
57515. Реформи адміністративно-полiтичного управління 60—70-х років ХІХ ст. у підросійській Україні 91 KB
  Реформи адміністративнополiтичного управління 60 70х років ХІХ ст.у Російській імперії розуміти значення та наслідки перетворень для українського народу аналізувати історичні події та давати характеристику історичним постатям того часу; розвивати історичне мислення учнів та вміння порівнювати реформи минулого з сучасними перетвореннями сприяти критичному осмисленню минулого...
57516. Наш край у I половині ХІХ століття 82 KB
  Мета уроку: Сприяти оволодінню учнями програмовим матеріалом із визначеної теми Самостійно структурувати зміст уроку, складати опорний конспект, аналізувати та узагальнювати історичні факти, визначати зв’зки між ними, їх причини, сутність, наслідки та значення.
57517. Внутрішня і зовнішня політика Павла Скоропадського 37.5 KB
  Внутрішня і зовнішня політика Павла Скоропадського. Як гетьман ставився до української національної справи 29 квітня 1918останній день правління УЦР і початок правління гетьманату Скоропадського. Саме так одним з факторів приходу Скоропадського до влади стала підтримка з боку окупаційних військ.