52121

Розвязування тригонометричних рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Розвязування тригонометричних рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції. Формування в учнів умінь розвязувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції алгебраїчний спосіб розвивати логічне мислення уяву пам'ять виховувати інтерес до математики уважність відповідальність культуру математичних записів. Ми ніколи не станемо математиками...

Украинкский

2014-02-13

7.06 MB

30 чел.

Тема уроку. Розв’язування   тригонометричних  рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції.

Мета. Формування в учнів умінь розв’язувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції (алгебраїчний спосіб), розвивати логічне мислення, уяву, пам'ять, виховувати інтерес до математики, уважність, відповідальність, культуру математичних записів.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: дошка, комп’ютер, мультимедійний проектор, екран.

Хід уроку.

                                          Ми ніколи не станемо математиками,                                                                                                               навіть знаючи напам’ять усі чужі доведення,                                                                    якщо наш розум нездатний самостійно                                                                                   розв’язувати які б то не було проблеми.

                                                                                   Р. Декарт

І. Вступна бесіда   

   Ми навчилися розв’язувати  найпростіші тригонометричні рівняння  sin x = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a.

   Сьогодні на уроці ми будемо розв’язувати складніші тригонометричні рівняння і познайомимось з одним із способів розв’язування тригонометричних рівнянь, а саме, способом зведення до однієї тригонометричної функції, тобто алгебраїчним способом.

Повідомлення теми, мети уроку.

Слайд 1

Слайд 2

   Епіграфом сьогоднішнього уроку я взяла слова великого математика Р.Декарта.

Слайд 3

   Кожен наш урок – це невеликий крок до зовнішнього незалежного оцінювання. Тому всі завдання, які ми будемо розв’язувати на уроці, підібрані із збірників завдань по підготовці до ЗНО з математики.    

Слайд 4

ІІ. Актуалізація опорних знань

1. Фронтальне опитування

   Пригадаємо, для чого у 10 класі було введено поняття арксинуса, арккосинуса, арктангенса і арккосинуса (для розв’язування тригонометричних рівнянь).

Слайд 5

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння cos x = a ?
  •   При якому значенні а рівняння cos x = a має розвязок ?
  •   Який розвязок рівняння cos x = 0 ?
  •   Який розвязок рівняння cos x = 1 ?
  •  Який розвязок рівняння cos x = -1 ?
  •  Якою є функція  arccos а ?  Як знайти  arccos (-а) ?

Слайд 6

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння sin x = a ?
  •   При якому значенні а рівняння sin x = a має розвязок ?
  •   Який розвязок рівняння sin x = 0 ?
  •  Який розвязок рівняння sin x = 1 ?
  •  Який розвязок рівняння sin x = -1 ?
  •   Якою є функція  arcsin а ?  Як знайти  arcsin (-а) ?

Cлайд 7

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння tg x = a ?
  •   Який розвязок рівняння tg x = 0 ?
  •   Якою є функція  arctg а ?  Як знайти arctg (-а) ?

Слайд 8

  •  Якою формулою записується розвзок рівняння сtg x = a ?
  •   Який розвязок рівняння ctg x = 0 ?
  •   Якою є функція  arсctg а ?  Як знайти  arсctg (-а) ?

Слайд 9

Пригадаємо деякі значення arcsin x, arccos x, arcctg x, arctg x.

Слайд 10

  1.  Усне розвязування вправ

Слайд 11

Слайд 12

  1.  Самостійна робота

Слайд 13

ІІІ. Сприймання та усвідомлення нового матеріалу   

Сьогодні на уроці ми навчимось розв’язувати складніші тригонометричні рівняння, які шляхом поточних перетворень можна привести до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і звести до алгебраїчного рівняння

Слайд 14

Розглянемо приклади розвязання тригонометричних рівнянь.

Приклад 1. Розв’язати рівняння
2
sin2x + sinx – 1 = 0

   В ході пояснення задаю питання учням, спонукаю до спільного обговорення розв’язку, учні записують розв’язання у зошит.

Слайд 15

Слайд 16

Приклад 2. Розв’язати рівняння

6sin2x + 5cosx – 2 = 0

   Обговорюється хід розв’язування рівняння, проектується розв’язання, учні записують у зошит.

Слайд 17

Слайд 18

Приклад 3. Розв’язати рівняння
tg x + 2 сtg x = 3.

   Чи можна це рівняння записати відносно однієї тригонометричної функції? Виконайте це.

   Чи можна це рівняння записати у вигляді квадратного рівняння відносно  однієї змінної?

   Розв’яжіть рівняння, перевірте правильність виконання, виправте помилки.

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

IV. Формування вмінь і навичок.

Слайд 22

  1.  Розв’язати рівняння  cos2x = 7 – 8sinx

Розв’язання.

   Застосуємо формулу косинуса подвійного кута у вигляді  

сos2x = 12sin2 x,

12sin2 x = 7 – 8sinx,

12sin2 x – 7 + 8sinx = 0,

2sin2 x + 8sinx – 6 = 0,

sin2 x – 4sinx + 3 = 0,

sin x = t,

t2 – 4t + 3 = 0,

t1 = 1,  t2 = 3.

sin x = 1,      sin x = 3,

x = π/2 + 2πk, kZ,      коренів немає.

Відповідь. π/2 + 2πk, kZ.   

  1.  Розв’язати рівняння  2сos23x + sin(– 3x) – 1 = 0

Розв’язання.

   За формулами зведення  sin(– 3x) = сos3x,

os23x + сos3x – 1 = 0,

cos3x = t,

2t2 + t – 1 = 0,

D = 1 + 8 = 9,

t1 =  = 1,               t2 =  = ,

cos3x = 1,             cos3x = ,

3x = π + 2πk, kZ,        3x = ± arccos + 2πn, nZ,

 x =  +  , kZ,        3x = ± + 2πn, nZ,

      x = ± +  , nZ.

Відповідь.  +  , kZ;   ± +  , nZ.

  1.  Розв’язати рівняння (tgx + ctgx)2 + 3(tgx + ctgx) = 4

Розв’язання.

tgx + ctgx = t,

t2 + 3t – 4 = 0,

t1 = –4,   t2 = 1,

 tgx + ctgx = – 4,    tgx + ctgx = 1,

tgx + + 4 = 0,                                   tgx +  – 1 = 0,

tgx = y                                            tgx = z

у +  + 4 = 0                                    z +   1 = 0

= 0,                                          = 0,

при      у ≠ 0                                          при      z ≠ 0

маємо рівняння                                   маємо рівняння                             

у2 + 4у +1 = 0,                                      z2 z + 1 = 0,   

D = 16 – 4 = 12,     D= 1 – 4 = – 3 < 0, 

y1 == = –2 -   коренів немає 

y2 == = –2 + 

tgx = 2 –      tgx = 2 +

x = arctg(–2 –) + πn, nZ,  x = arctg(–2 + ) + πk, kZ,

x = arctg(2 + ) + πn, nZ.

Відповідь.  arctg(–2 + ) + πk, kZ,  –arctg(2 + ) + πn, nZ.

   4. Розв’язати рівняння 2 cos2 x – 5cos(π – x) + 2 = 0

   Розв’язання.

2 cos2 x – 5cos(π – x) + 2 = 0

За формулами зведення  cos(π – x) = сosx,

2 cos2 x + 5cosx + 2 = 0,

cos x = t,

2t2 + 5t + 2 = 0,

D = 25 – 16 = 9,

t1 =  = –2,                  t2 =  = – ,

cos x = –2                           cos x = –

коренів немає                    x = ± arccos(–) + 2πn, nZ,

                                           x = ± (π – ) + 2πn, nZ,

                                           x = ±  + 2πn, nZ.

Відповідь. ±  + 2πn, nZ.

5. Розв’язати рівняння  cos 2х +sin²x +sin х = 0,25

Розв’язання.

cos² х  sin²x +sin²x +sin х 0,25 = 0,

1 sin²x +sin х  0,25 = 0,

4sin²x 4sin х  3 = 0,

sin x = t,

4t²  4t  3=0,

D = 16 + 48 = 64,

t1 = 1/2,   t2=3/2

sin х = 1/2                                                    sin x = 3/2

                                                                      коренів немає

  

                        

 Відповідь. .

V. Робота в групах

Слайд 23

   Учні розбиваються на групи по 3-4 учні і розвязують тригонометричне рівняння, потім звіряють відповідь з кодовим словом і в результаті отримують зашифроване слово.

   І група   3sin²x + 2cos x – 2 = 0

Відповідь. (Д)

   ІІ група  cos 2x + sin x = 0

Відповідь.  (Р)

   ІІІ група  2sin²x  cos x  1= 0

Відповідь.                                 (У)

   ІV група  tg x – 2 ctg x + 1 = 0

Відповідь.    (Ж)

   V група   cos 2xsin x = 0

Відповідь. (Б)

   VІ група  tg x + 5 ctg x = 6

Відповідь. (А)

Слайд 24

Слайд 25

VІ. Підсумок уроку

Слайд 26

Виставлення оцінок.

   Сьогоднішній урок я б хотіла закінчити словами Сократа: «Те, що я встиг пізнати, - чудове. Сподіваюся, таке ж чудове те, що ще мені доведеться пізнати».

Слайд 27

VІІ. Домашнє завдання

Слайд 28

Слайд 29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53017. Food traditions in different parts of the world 199.5 KB
  Привітання Повідомлення теми та мети уроку Tody we re going to spek bout food trditions in different prts of the world. Who is on duty tody записати число в зошити nd now get redy with your tongues to prctice sounds: wht sound is it: fried rice spicy to slice [i] показати на дошці to stir to serve to burn herb [з:] показати на дошці to chop cheese chicken crunchy chewy [t∫] Перевірка домашнього завдання Helthy food Unhelthy food You see list of foods nd your tsk is to sort them ccording to the tble робота в...
53018. Healthy food 136 KB
  The topic of our lesson is Healthy food. We must speak about food we like to eat, must explain about Healthy and Unhealthy food. At the end of the lesson we’ll answer the question “What kind of food people must to eat that to be healthy?”
53019. FOOD AND DRINKS 8.74 MB
  Good morning, children! I’m glad to see you. I think you’re well. I hope we’ll have a wonderful time together. Let’s begin our lesson. Today we are going to work at the topic “Food and Drinks”. You’ll learn new words and find out what food we must eat to be healthy, how to make your healthy diet and speak about the right food, our habits of eating.
53020. Щоденне меню 40 KB
  And at this lesson we’ll discuss daily menu of British and Ukrainian people, try to make your own menu and revise grammar material: conditional of the second type.
53021. Health Foods 62.5 KB
  Yesterday afternoon in a village near Bristol, a tall old man with a good suntan celebrated his birthday with some friends. After a party he played tennis and then went for a five mile walk with some of his guests. There was nothing unusual in this. The man, whose name was Mr. Misha Weibold has been celebrating his birthday in this way for a long time. The only unusual thing is that Mr.Weibold was 85 years old yesterday.
53022. Рівняння. (Математичний футбол) 297.5 KB
  Фінал Сьогоднішній урок пройде у вигляді футбольного матчу між командою Рівняння та учнями вашого класу. Ваша мета забити якомога більше голів у ворота суперника тобто розвязати всі рівняння й перемогти у товариській боротьбі. Перед кожним матчем відбувається розминка гравців щоб досягти максимальних результатів; ми з вами не виняток тому перед початком гри повторимо деякі теоретичні відомості про рівняння за допомогою кольорових означень Кольорові означення†являють собою закодовані окремим кольором частини кількох...
53023. Формування соціально-комунікативної активності молодших школярів на уроці 123.5 KB
  Мета роботи полягає в обґрунтуванні, виявленні та вивчені соціально-педагогічних умов, які забезпечують високу ефективність формування соціальної активності в молодших школярів.
53024. Формування інформатичної компетентності молодших школярів у контексті викликів сьогодення, використовуючи метод дослідження 116.5 KB
  Використовуючи інтелектуальне навчання та метод дослідження дітям пропонується дібрати самостійно або з батьками слова задані на певну букву. В класі вивішується планшет де діти вписують дібрані слова або добирають малюнки це можуть бути змагання між хлопчиками і дівчатками рядами групами різноманітні проектні роботи кінцевими результатами яких будуть книжки В гості до букви . Чим схожі всі ці слова Буква ел іменники назви тварин назви істот Доберіть синонім до слів: крокодил алігатор гавіал лисиця песець ...
53025. Підсумковий урок з розділу «Форма в образотворчому мистецтві» 315.5 KB
  Отож ви в класі поділились на три команди: Веселі акварелі олівцімолодцівеселкова палітра. На додатковій дошці я буду записувати бали отримані в ході урокугриа в кінці уроку за сумою балів кожної команди визначимо переможців. На учасників командипереможниці чекають нагороди Правила гри: кожен конкурс чи завдання оцінюється 13 балами; команда вирішує хто буде відповідати чи виконувати художнє завдання;...