52121

Розвязування тригонометричних рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Розв’язування тригонометричних рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції. Формування в учнів умінь розв’язувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції алгебраїчний спосіб розвивати логічне мислення уяву пам'ять виховувати інтерес до математики уважність відповідальність культуру математичних записів. Ми ніколи не станемо математиками...

Украинкский

2014-02-13

7.06 MB

28 чел.

Тема уроку. Розв’язування   тригонометричних  рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції.

Мета. Формування в учнів умінь розв’язувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції (алгебраїчний спосіб), розвивати логічне мислення, уяву, пам'ять, виховувати інтерес до математики, уважність, відповідальність, культуру математичних записів.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: дошка, комп’ютер, мультимедійний проектор, екран.

Хід уроку.

                                          Ми ніколи не станемо математиками,                                                                                                               навіть знаючи напам’ять усі чужі доведення,                                                                    якщо наш розум нездатний самостійно                                                                                   розв’язувати які б то не було проблеми.

                                                                                   Р. Декарт

І. Вступна бесіда   

   Ми навчилися розв’язувати  найпростіші тригонометричні рівняння  sin x = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a.

   Сьогодні на уроці ми будемо розв’язувати складніші тригонометричні рівняння і познайомимось з одним із способів розв’язування тригонометричних рівнянь, а саме, способом зведення до однієї тригонометричної функції, тобто алгебраїчним способом.

Повідомлення теми, мети уроку.

Слайд 1

Слайд 2

   Епіграфом сьогоднішнього уроку я взяла слова великого математика Р.Декарта.

Слайд 3

   Кожен наш урок – це невеликий крок до зовнішнього незалежного оцінювання. Тому всі завдання, які ми будемо розв’язувати на уроці, підібрані із збірників завдань по підготовці до ЗНО з математики.    

Слайд 4

ІІ. Актуалізація опорних знань

1. Фронтальне опитування

   Пригадаємо, для чого у 10 класі було введено поняття арксинуса, арккосинуса, арктангенса і арккосинуса (для розв’язування тригонометричних рівнянь).

Слайд 5

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння cos x = a ?
  •   При якому значенні а рівняння cos x = a має розвязок ?
  •   Який розвязок рівняння cos x = 0 ?
  •   Який розвязок рівняння cos x = 1 ?
  •  Який розвязок рівняння cos x = -1 ?
  •  Якою є функція  arccos а ?  Як знайти  arccos (-а) ?

Слайд 6

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння sin x = a ?
  •   При якому значенні а рівняння sin x = a має розвязок ?
  •   Який розвязок рівняння sin x = 0 ?
  •  Який розвязок рівняння sin x = 1 ?
  •  Який розвязок рівняння sin x = -1 ?
  •   Якою є функція  arcsin а ?  Як знайти  arcsin (-а) ?

Cлайд 7

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння tg x = a ?
  •   Який розвязок рівняння tg x = 0 ?
  •   Якою є функція  arctg а ?  Як знайти arctg (-а) ?

Слайд 8

  •  Якою формулою записується розвзок рівняння сtg x = a ?
  •   Який розвязок рівняння ctg x = 0 ?
  •   Якою є функція  arсctg а ?  Як знайти  arсctg (-а) ?

Слайд 9

Пригадаємо деякі значення arcsin x, arccos x, arcctg x, arctg x.

Слайд 10

  1.  Усне розвязування вправ

Слайд 11

Слайд 12

  1.  Самостійна робота

Слайд 13

ІІІ. Сприймання та усвідомлення нового матеріалу   

Сьогодні на уроці ми навчимось розв’язувати складніші тригонометричні рівняння, які шляхом поточних перетворень можна привести до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і звести до алгебраїчного рівняння

Слайд 14

Розглянемо приклади розвязання тригонометричних рівнянь.

Приклад 1. Розв’язати рівняння
2
sin2x + sinx – 1 = 0

   В ході пояснення задаю питання учням, спонукаю до спільного обговорення розв’язку, учні записують розв’язання у зошит.

Слайд 15

Слайд 16

Приклад 2. Розв’язати рівняння

6sin2x + 5cosx – 2 = 0

   Обговорюється хід розв’язування рівняння, проектується розв’язання, учні записують у зошит.

Слайд 17

Слайд 18

Приклад 3. Розв’язати рівняння
tg x + 2 сtg x = 3.

   Чи можна це рівняння записати відносно однієї тригонометричної функції? Виконайте це.

   Чи можна це рівняння записати у вигляді квадратного рівняння відносно  однієї змінної?

   Розв’яжіть рівняння, перевірте правильність виконання, виправте помилки.

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

IV. Формування вмінь і навичок.

Слайд 22

  1.  Розв’язати рівняння  cos2x = 7 – 8sinx

Розв’язання.

   Застосуємо формулу косинуса подвійного кута у вигляді  

сos2x = 12sin2 x,

12sin2 x = 7 – 8sinx,

12sin2 x – 7 + 8sinx = 0,

2sin2 x + 8sinx – 6 = 0,

sin2 x – 4sinx + 3 = 0,

sin x = t,

t2 – 4t + 3 = 0,

t1 = 1,  t2 = 3.

sin x = 1,      sin x = 3,

x = π/2 + 2πk, kZ,      коренів немає.

Відповідь. π/2 + 2πk, kZ.   

  1.  Розв’язати рівняння  2сos23x + sin(– 3x) – 1 = 0

Розв’язання.

   За формулами зведення  sin(– 3x) = сos3x,

os23x + сos3x – 1 = 0,

cos3x = t,

2t2 + t – 1 = 0,

D = 1 + 8 = 9,

t1 =  = 1,               t2 =  = ,

cos3x = 1,             cos3x = ,

3x = π + 2πk, kZ,        3x = ± arccos + 2πn, nZ,

 x =  +  , kZ,        3x = ± + 2πn, nZ,

      x = ± +  , nZ.

Відповідь.  +  , kZ;   ± +  , nZ.

  1.  Розв’язати рівняння (tgx + ctgx)2 + 3(tgx + ctgx) = 4

Розв’язання.

tgx + ctgx = t,

t2 + 3t – 4 = 0,

t1 = –4,   t2 = 1,

 tgx + ctgx = – 4,    tgx + ctgx = 1,

tgx + + 4 = 0,                                   tgx +  – 1 = 0,

tgx = y                                            tgx = z

у +  + 4 = 0                                    z +   1 = 0

= 0,                                          = 0,

при      у ≠ 0                                          при      z ≠ 0

маємо рівняння                                   маємо рівняння                             

у2 + 4у +1 = 0,                                      z2 z + 1 = 0,   

D = 16 – 4 = 12,     D= 1 – 4 = – 3 < 0, 

y1 == = –2 -   коренів немає 

y2 == = –2 + 

tgx = 2 –      tgx = 2 +

x = arctg(–2 –) + πn, nZ,  x = arctg(–2 + ) + πk, kZ,

x = arctg(2 + ) + πn, nZ.

Відповідь.  arctg(–2 + ) + πk, kZ,  –arctg(2 + ) + πn, nZ.

   4. Розв’язати рівняння 2 cos2 x – 5cos(π – x) + 2 = 0

   Розв’язання.

2 cos2 x – 5cos(π – x) + 2 = 0

За формулами зведення  cos(π – x) = сosx,

2 cos2 x + 5cosx + 2 = 0,

cos x = t,

2t2 + 5t + 2 = 0,

D = 25 – 16 = 9,

t1 =  = –2,                  t2 =  = – ,

cos x = –2                           cos x = –

коренів немає                    x = ± arccos(–) + 2πn, nZ,

                                           x = ± (π – ) + 2πn, nZ,

                                           x = ±  + 2πn, nZ.

Відповідь. ±  + 2πn, nZ.

5. Розв’язати рівняння  cos 2х +sin²x +sin х = 0,25

Розв’язання.

cos² х  sin²x +sin²x +sin х 0,25 = 0,

1 sin²x +sin х  0,25 = 0,

4sin²x 4sin х  3 = 0,

sin x = t,

4t²  4t  3=0,

D = 16 + 48 = 64,

t1 = 1/2,   t2=3/2

sin х = 1/2                                                    sin x = 3/2

                                                                      коренів немає

  

                        

 Відповідь. .

V. Робота в групах

Слайд 23

   Учні розбиваються на групи по 3-4 учні і розвязують тригонометричне рівняння, потім звіряють відповідь з кодовим словом і в результаті отримують зашифроване слово.

   І група   3sin²x + 2cos x – 2 = 0

Відповідь. (Д)

   ІІ група  cos 2x + sin x = 0

Відповідь.  (Р)

   ІІІ група  2sin²x  cos x  1= 0

Відповідь.                                 (У)

   ІV група  tg x – 2 ctg x + 1 = 0

Відповідь.    (Ж)

   V група   cos 2xsin x = 0

Відповідь. (Б)

   VІ група  tg x + 5 ctg x = 6

Відповідь. (А)

Слайд 24

Слайд 25

VІ. Підсумок уроку

Слайд 26

Виставлення оцінок.

   Сьогоднішній урок я б хотіла закінчити словами Сократа: «Те, що я встиг пізнати, - чудове. Сподіваюся, таке ж чудове те, що ще мені доведеться пізнати».

Слайд 27

VІІ. Домашнє завдання

Слайд 28

Слайд 29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29082. Вещи как объект гражданского права и их классификация. Особенности применения классификации вещей в различных институтах гражданского права 26.5 KB
  Особенности применения классификации вещей в различных институтах гражданского права. Классификации вещей: 1.
29083. Ценные бумаги как объекты гражданского права и их классификация. Характеристика источников правового регулирования 31 KB
  Ценные бумаги как объекты гражданского права и их классификация. Характеристика источников правового регулирования Ценной бумагой является документ удостоверяющий с соблюдением установленной формы и обязательных реквизитов имущественные права осуществление или передача которых возможны только при его предъявлении. Признаки: Письменность Легальность субъекта права Предъявление Абстрактность предъявляемого К ценным бумагам относятся: облигация вексель чек депозитный и сберегательный сертификаты банковская сберегательная книжка на...
29084. Интеллектуальная собственность как объект гражданского права. Интеллектуальные права и их виды. Характеристика источников правового регулирования 23 KB
  Интеллектуальные права и их виды. Виды интеллектуальных прав: авторское право отношения возникающие в связи с созданием и использованием произведений науки литературы и искусства смежные права – исключительное право музыкантовисполнителей изготовителей фонограмм организаций эфирного вещания патентное право порядок охраны изобретений полезных моделей промышленных образцов Только обладатель интеллектуальной собственности и в первую очередь автор располагает исключительными правами на ее использование а так же то что никакое...
29085. Результаты интеллектуальной деятельности (общая характеристика, виды, сроки охраны, правообладатели). Исключительные права и особенности их передачи 27.5 KB
  Результаты интеллектуальной деятельности общая характеристика виды сроки охраны правообладатели. Результатами интеллектуальной деятельности и приравненными к ним средствами индивидуализации юридических лиц товаров работ услуг и предприятий которым предоставляется правовая охрана интеллектуальной собственностью являются: произведения науки литературы и искусства; программы для электронных вычислительных машин; базы данных; фонограммы; селекционные достижения; фирменные наименования; товарные знаки и знаки обслуживания....
29086. Средства индивидуализации (общая характеристика, виды, сроки, особенности охраны, правообладатели) 27.5 KB
  Средства индивидуализации общая характеристика виды сроки особенности охраны правообладатели. Средство индивидуализации обозначение служащее для различения товаров услуг предприятий организаций и других объектов в сфере хозяйственного оборота. Виды средств индивидуализации: фирменное наименование наименование некоммерческой организации товарный знак знак обслуживания коммерческое обозначение наименование места происхождения товара доменное имя. Исключительные права на результаты интеллектуальной деятельности и на средства...
29087. Сделки (понятие, виды, условия действительности) 28.5 KB
  Сделки понятие виды условия действительности. Виды сделок: По количеству субъектов Односторонние завещание Многосторонние Двусторонние купля продажа По критерию встречности Возмездные аренда Безвозмездные дарение По способу закрепления Вербальные Литеральные По риску Алеаторные рисковые Нейтральные По особенностям механизма Под условием Без уловия Действительность сделки определяется законодательством посредством следующей системы условий: а законность содержания;б способность физических и юридических лиц...
29088. Гражданское право как отрасль права. Система гражданско-правовых институтов 25 KB
  Гражданское право как отрасль права. Отрасль гражданского права совокупностью правовых норм регулирующих имущественные и связанные с ними личные неимущественные отношения основанные на равенстве автономии воли и имущественной самостоятельности их участников а в случаях прямо предусмотренных действующим законодательством и на властном подчинении одной стороны другой а также защищающих неотчуждаемые права и свободы человека и другие нематериальные блага. Система гражданского права: Лица правоспособные дееспособные полная...
29089. Предмет гражданского права 27.5 KB
  Предметом гражданского права являются три группы отношений: 1 имущественные отношения – только товароденежные: отношения собственности и другие вещные отношения; отношения связанные с исключительными правами на результаты интеллектуальной деятельности отношения возникающие в рамках договорных и иных обязательств 2 относительно имущественные: отношения авторства на произведения науки литературы искусства изобретения результаты интеллектуальной деятельности 3 личные неимущественные отношения: отношения невозможно оценить в...
29090. Методология гражданского права. Приемы и методы гражданского права. Элементы юридической техники, применяемые в гражданском праве (отраслевые аксиомы, презумпции, фикции, юридические конструкции) 28.5 KB
  Методология гражданского права. Приемы и методы гражданского права. В методологию входят: Правопонимание нормативное психологическое историческое Методы общенаучные частнонаучные специальные Толкование интерпретация норм обычаев принципов права Отраслевая техника аксиомы презумпции фикции юридические конструкции договор сделка юр. лицо Методы гражданского права – способ регуляции или защиты: Общенаучные – анализ синтез системно структурный Частнонаучные – метод толкования права сравнительно – правовой...