52121

Розвязування тригонометричних рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Розв’язування тригонометричних рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції. Формування в учнів умінь розв’язувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції алгебраїчний спосіб розвивати логічне мислення уяву пам'ять виховувати інтерес до математики уважність відповідальність культуру математичних записів. Ми ніколи не станемо математиками...

Украинкский

2014-02-13

7.06 MB

30 чел.

Тема уроку. Розв’язування   тригонометричних  рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції.

Мета. Формування в учнів умінь розв’язувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції (алгебраїчний спосіб), розвивати логічне мислення, уяву, пам'ять, виховувати інтерес до математики, уважність, відповідальність, культуру математичних записів.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: дошка, комп’ютер, мультимедійний проектор, екран.

Хід уроку.

                                          Ми ніколи не станемо математиками,                                                                                                               навіть знаючи напам’ять усі чужі доведення,                                                                    якщо наш розум нездатний самостійно                                                                                   розв’язувати які б то не було проблеми.

                                                                                   Р. Декарт

І. Вступна бесіда   

   Ми навчилися розв’язувати  найпростіші тригонометричні рівняння  sin x = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a.

   Сьогодні на уроці ми будемо розв’язувати складніші тригонометричні рівняння і познайомимось з одним із способів розв’язування тригонометричних рівнянь, а саме, способом зведення до однієї тригонометричної функції, тобто алгебраїчним способом.

Повідомлення теми, мети уроку.

Слайд 1

Слайд 2

   Епіграфом сьогоднішнього уроку я взяла слова великого математика Р.Декарта.

Слайд 3

   Кожен наш урок – це невеликий крок до зовнішнього незалежного оцінювання. Тому всі завдання, які ми будемо розв’язувати на уроці, підібрані із збірників завдань по підготовці до ЗНО з математики.    

Слайд 4

ІІ. Актуалізація опорних знань

1. Фронтальне опитування

   Пригадаємо, для чого у 10 класі було введено поняття арксинуса, арккосинуса, арктангенса і арккосинуса (для розв’язування тригонометричних рівнянь).

Слайд 5

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння cos x = a ?
  •   При якому значенні а рівняння cos x = a має розвязок ?
  •   Який розвязок рівняння cos x = 0 ?
  •   Який розвязок рівняння cos x = 1 ?
  •  Який розвязок рівняння cos x = -1 ?
  •  Якою є функція  arccos а ?  Як знайти  arccos (-а) ?

Слайд 6

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння sin x = a ?
  •   При якому значенні а рівняння sin x = a має розвязок ?
  •   Який розвязок рівняння sin x = 0 ?
  •  Який розвязок рівняння sin x = 1 ?
  •  Який розвязок рівняння sin x = -1 ?
  •   Якою є функція  arcsin а ?  Як знайти  arcsin (-а) ?

Cлайд 7

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння tg x = a ?
  •   Який розвязок рівняння tg x = 0 ?
  •   Якою є функція  arctg а ?  Як знайти arctg (-а) ?

Слайд 8

  •  Якою формулою записується розвзок рівняння сtg x = a ?
  •   Який розвязок рівняння ctg x = 0 ?
  •   Якою є функція  arсctg а ?  Як знайти  arсctg (-а) ?

Слайд 9

Пригадаємо деякі значення arcsin x, arccos x, arcctg x, arctg x.

Слайд 10

  1.  Усне розвязування вправ

Слайд 11

Слайд 12

  1.  Самостійна робота

Слайд 13

ІІІ. Сприймання та усвідомлення нового матеріалу   

Сьогодні на уроці ми навчимось розв’язувати складніші тригонометричні рівняння, які шляхом поточних перетворень можна привести до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і звести до алгебраїчного рівняння

Слайд 14

Розглянемо приклади розвязання тригонометричних рівнянь.

Приклад 1. Розв’язати рівняння
2
sin2x + sinx – 1 = 0

   В ході пояснення задаю питання учням, спонукаю до спільного обговорення розв’язку, учні записують розв’язання у зошит.

Слайд 15

Слайд 16

Приклад 2. Розв’язати рівняння

6sin2x + 5cosx – 2 = 0

   Обговорюється хід розв’язування рівняння, проектується розв’язання, учні записують у зошит.

Слайд 17

Слайд 18

Приклад 3. Розв’язати рівняння
tg x + 2 сtg x = 3.

   Чи можна це рівняння записати відносно однієї тригонометричної функції? Виконайте це.

   Чи можна це рівняння записати у вигляді квадратного рівняння відносно  однієї змінної?

   Розв’яжіть рівняння, перевірте правильність виконання, виправте помилки.

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

IV. Формування вмінь і навичок.

Слайд 22

  1.  Розв’язати рівняння  cos2x = 7 – 8sinx

Розв’язання.

   Застосуємо формулу косинуса подвійного кута у вигляді  

сos2x = 12sin2 x,

12sin2 x = 7 – 8sinx,

12sin2 x – 7 + 8sinx = 0,

2sin2 x + 8sinx – 6 = 0,

sin2 x – 4sinx + 3 = 0,

sin x = t,

t2 – 4t + 3 = 0,

t1 = 1,  t2 = 3.

sin x = 1,      sin x = 3,

x = π/2 + 2πk, kZ,      коренів немає.

Відповідь. π/2 + 2πk, kZ.   

  1.  Розв’язати рівняння  2сos23x + sin(– 3x) – 1 = 0

Розв’язання.

   За формулами зведення  sin(– 3x) = сos3x,

os23x + сos3x – 1 = 0,

cos3x = t,

2t2 + t – 1 = 0,

D = 1 + 8 = 9,

t1 =  = 1,               t2 =  = ,

cos3x = 1,             cos3x = ,

3x = π + 2πk, kZ,        3x = ± arccos + 2πn, nZ,

 x =  +  , kZ,        3x = ± + 2πn, nZ,

      x = ± +  , nZ.

Відповідь.  +  , kZ;   ± +  , nZ.

  1.  Розв’язати рівняння (tgx + ctgx)2 + 3(tgx + ctgx) = 4

Розв’язання.

tgx + ctgx = t,

t2 + 3t – 4 = 0,

t1 = –4,   t2 = 1,

 tgx + ctgx = – 4,    tgx + ctgx = 1,

tgx + + 4 = 0,                                   tgx +  – 1 = 0,

tgx = y                                            tgx = z

у +  + 4 = 0                                    z +   1 = 0

= 0,                                          = 0,

при      у ≠ 0                                          при      z ≠ 0

маємо рівняння                                   маємо рівняння                             

у2 + 4у +1 = 0,                                      z2 z + 1 = 0,   

D = 16 – 4 = 12,     D= 1 – 4 = – 3 < 0, 

y1 == = –2 -   коренів немає 

y2 == = –2 + 

tgx = 2 –      tgx = 2 +

x = arctg(–2 –) + πn, nZ,  x = arctg(–2 + ) + πk, kZ,

x = arctg(2 + ) + πn, nZ.

Відповідь.  arctg(–2 + ) + πk, kZ,  –arctg(2 + ) + πn, nZ.

   4. Розв’язати рівняння 2 cos2 x – 5cos(π – x) + 2 = 0

   Розв’язання.

2 cos2 x – 5cos(π – x) + 2 = 0

За формулами зведення  cos(π – x) = сosx,

2 cos2 x + 5cosx + 2 = 0,

cos x = t,

2t2 + 5t + 2 = 0,

D = 25 – 16 = 9,

t1 =  = –2,                  t2 =  = – ,

cos x = –2                           cos x = –

коренів немає                    x = ± arccos(–) + 2πn, nZ,

                                           x = ± (π – ) + 2πn, nZ,

                                           x = ±  + 2πn, nZ.

Відповідь. ±  + 2πn, nZ.

5. Розв’язати рівняння  cos 2х +sin²x +sin х = 0,25

Розв’язання.

cos² х  sin²x +sin²x +sin х 0,25 = 0,

1 sin²x +sin х  0,25 = 0,

4sin²x 4sin х  3 = 0,

sin x = t,

4t²  4t  3=0,

D = 16 + 48 = 64,

t1 = 1/2,   t2=3/2

sin х = 1/2                                                    sin x = 3/2

                                                                      коренів немає

  

                        

 Відповідь. .

V. Робота в групах

Слайд 23

   Учні розбиваються на групи по 3-4 учні і розвязують тригонометричне рівняння, потім звіряють відповідь з кодовим словом і в результаті отримують зашифроване слово.

   І група   3sin²x + 2cos x – 2 = 0

Відповідь. (Д)

   ІІ група  cos 2x + sin x = 0

Відповідь.  (Р)

   ІІІ група  2sin²x  cos x  1= 0

Відповідь.                                 (У)

   ІV група  tg x – 2 ctg x + 1 = 0

Відповідь.    (Ж)

   V група   cos 2xsin x = 0

Відповідь. (Б)

   VІ група  tg x + 5 ctg x = 6

Відповідь. (А)

Слайд 24

Слайд 25

VІ. Підсумок уроку

Слайд 26

Виставлення оцінок.

   Сьогоднішній урок я б хотіла закінчити словами Сократа: «Те, що я встиг пізнати, - чудове. Сподіваюся, таке ж чудове те, що ще мені доведеться пізнати».

Слайд 27

VІІ. Домашнє завдання

Слайд 28

Слайд 29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53844. Сценарій виховного заходу за темою: «Наша мрія крилата – стати справжніми козачатами» 72 KB
  Не сумуйте гори й ріки Не журиться мами: Коли виростем великі – Будем козаками Приспів: Гей хто любить Наш козацький край З нами разом Козаком ставай Хлопець: Мамо моя За час за годину Свиснуть кулі заграють гармати. Звучить пісня Гей на горі та й женці жнуть. Для присяги звучить пісня Гей там на горі Січ іде: Гей там на горі Січ іде. Гей малиновий стяг несе.
53845. КОЗАЦЬКОМУ РОДУ – НЕМА ПЕРЕВОДУ 67 KB
  Карта козаків Козацька вікторина. Але підростають достойні нащадки козаків. А чи ж були у козаків скрині Дійсно кожному відомо що у козаків насамперед був кінь стрімкий шабля гостра шаровари червоного кольору А що ще ви знаєте про козаків Давайте – но пригадаємо історію Сьогодні ми станемо свідками Козацьких розваг між двома курінями козаків і козачок. Отже зустрічаємо наших сильних вихованих розумних чесних козаків та приголомшливо прекрасних чарівних спокусливих козачок Знайомство команд.
53846. Доба героїчних походів козаків. Петро Конашевич-Сагайдачний 116.5 KB
  Доба героїчних походів козаків. Мета: розглянути напрями морських походів козаків; охарактеризувати діяльність гетьмана П. Актуалізація опорних знань учнів: фронтальна бесіда: Про кого ми вивчаємо у 8класі про козаків; Хто такі козаки Які причини виникнення козацтва З ким воювали козаки поляками турками ІІІ. План Доба героїчних походів козаків.
53847. Козацькому роду нема переводу (конкурс-змагання 2-х команд) 3-і класи 47.5 KB
  Складемо Присягу юних козачат Бути чесним і сміливим Присягаємось Боронити справедливість Присягаємось Цінувати побратимство Присягаємось Шанувати всі народи Присягаємось І плекати рідну мову Присягаємось Щоб козацькому роду не було переводу. Присягаємось на вірність Вітчизні й народу. Присягаємось Присягаємось Присягаємось Журі підводить підсумки.
53848. Сценарій спортивного свята «Козацькому роду нема переводу» 29 KB
  Зал святково прикрашений вишитим рушником короваєм із калиною та барвінкомконкурсними газетами. Ведуча Оголошується перший конкурс: Переправа. Гетьман 2 Конкурс: Гиря. 3 конкурс Інтелектуальний.
53849. Козацька Україна і наш край 360.5 KB
  Мета: повторити і закріпити матеріал теми; ознайомити із подіями що відбувалися на території нашого краю в період козаччини; поглибити знання учнів; розвивати їх пам’ять творчу уяву; формувати інтерес до історії; виховувати повагу до славного минулого нашого народу і його захисників любов до рідного краю; підготуватись до тестування з даної теми. В програмі для 5 класу зібрані початкові відомості з найважливіших тем історії України від найдавніших часів до нашого часу. Однією з цих тем є тема нашого уроку що включає такі важливі питання...
53850. Інтелектуальна гра «Козацькими стежками» 42.5 KB
  Дозволяємо і призначаємо організовувати реєстрове військо в числі 20 тис. чоловік.Це військо гетьман і старшина повинні набрати і записати в реєстр,і вони мусять перебувати в маєтках, що містяться у воєводстві Київському,не маючи нічого до воєводств Брацлавського і Чернігівського. А маєтки шляхетські мусять лишатися вільними, і в них реєстрові козаки ніде не повинні лишатись
53851. Виникнення українського козацтва. Запорозька Січ 1.2 MB
  Мета: навчальна ознайомити учнів із виникненням на українських землях козацтва й Запорозької Січі; сформувати уявлення учнів про запорозьких козаків як хоробрих вояківземлеробів; розвивальна розвивати вміння знаходити необхідну інформацію в історичних джерелах; створення атмосфери довіри і відкритості робота з різними аналізаторами; виховна формування позиції взаємодії; виховувати повагу до українських козаків захисників рідної землі. Тип уроку Комбінований Основні дати Кінець ХV століття – перші відомості про українських козаків у...
53852. МИ РОДУ КОЗАЦЬКОГО НАЩАДКИ 47 KB
  Гей долиноюгей широкою козаки йдуть Звучить пісня Ой на горі та й женці жнуть. До залу урочисто входять козаки двох куренів команд зі своїми прапорами. Показати хочем нині Як колись в Україні Веселились козаки Наші прадіди й діди. З незапамятних часів в Україні козаки славилися силою та спритністю.