52121

Розвязування тригонометричних рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Розвязування тригонометричних рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції. Формування в учнів умінь розвязувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції алгебраїчний спосіб розвивати логічне мислення уяву пам'ять виховувати інтерес до математики уважність відповідальність культуру математичних записів. Ми ніколи не станемо математиками...

Украинкский

2014-02-13

7.06 MB

30 чел.

Тема уроку. Розв’язування   тригонометричних  рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції.

Мета. Формування в учнів умінь розв’язувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції (алгебраїчний спосіб), розвивати логічне мислення, уяву, пам'ять, виховувати інтерес до математики, уважність, відповідальність, культуру математичних записів.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: дошка, комп’ютер, мультимедійний проектор, екран.

Хід уроку.

                                          Ми ніколи не станемо математиками,                                                                                                               навіть знаючи напам’ять усі чужі доведення,                                                                    якщо наш розум нездатний самостійно                                                                                   розв’язувати які б то не було проблеми.

                                                                                   Р. Декарт

І. Вступна бесіда   

   Ми навчилися розв’язувати  найпростіші тригонометричні рівняння  sin x = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a.

   Сьогодні на уроці ми будемо розв’язувати складніші тригонометричні рівняння і познайомимось з одним із способів розв’язування тригонометричних рівнянь, а саме, способом зведення до однієї тригонометричної функції, тобто алгебраїчним способом.

Повідомлення теми, мети уроку.

Слайд 1

Слайд 2

   Епіграфом сьогоднішнього уроку я взяла слова великого математика Р.Декарта.

Слайд 3

   Кожен наш урок – це невеликий крок до зовнішнього незалежного оцінювання. Тому всі завдання, які ми будемо розв’язувати на уроці, підібрані із збірників завдань по підготовці до ЗНО з математики.    

Слайд 4

ІІ. Актуалізація опорних знань

1. Фронтальне опитування

   Пригадаємо, для чого у 10 класі було введено поняття арксинуса, арккосинуса, арктангенса і арккосинуса (для розв’язування тригонометричних рівнянь).

Слайд 5

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння cos x = a ?
  •   При якому значенні а рівняння cos x = a має розвязок ?
  •   Який розвязок рівняння cos x = 0 ?
  •   Який розвязок рівняння cos x = 1 ?
  •  Який розвязок рівняння cos x = -1 ?
  •  Якою є функція  arccos а ?  Як знайти  arccos (-а) ?

Слайд 6

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння sin x = a ?
  •   При якому значенні а рівняння sin x = a має розвязок ?
  •   Який розвязок рівняння sin x = 0 ?
  •  Який розвязок рівняння sin x = 1 ?
  •  Який розвязок рівняння sin x = -1 ?
  •   Якою є функція  arcsin а ?  Як знайти  arcsin (-а) ?

Cлайд 7

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння tg x = a ?
  •   Який розвязок рівняння tg x = 0 ?
  •   Якою є функція  arctg а ?  Як знайти arctg (-а) ?

Слайд 8

  •  Якою формулою записується розвзок рівняння сtg x = a ?
  •   Який розвязок рівняння ctg x = 0 ?
  •   Якою є функція  arсctg а ?  Як знайти  arсctg (-а) ?

Слайд 9

Пригадаємо деякі значення arcsin x, arccos x, arcctg x, arctg x.

Слайд 10

  1.  Усне розвязування вправ

Слайд 11

Слайд 12

  1.  Самостійна робота

Слайд 13

ІІІ. Сприймання та усвідомлення нового матеріалу   

Сьогодні на уроці ми навчимось розв’язувати складніші тригонометричні рівняння, які шляхом поточних перетворень можна привести до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і звести до алгебраїчного рівняння

Слайд 14

Розглянемо приклади розвязання тригонометричних рівнянь.

Приклад 1. Розв’язати рівняння
2
sin2x + sinx – 1 = 0

   В ході пояснення задаю питання учням, спонукаю до спільного обговорення розв’язку, учні записують розв’язання у зошит.

Слайд 15

Слайд 16

Приклад 2. Розв’язати рівняння

6sin2x + 5cosx – 2 = 0

   Обговорюється хід розв’язування рівняння, проектується розв’язання, учні записують у зошит.

Слайд 17

Слайд 18

Приклад 3. Розв’язати рівняння
tg x + 2 сtg x = 3.

   Чи можна це рівняння записати відносно однієї тригонометричної функції? Виконайте це.

   Чи можна це рівняння записати у вигляді квадратного рівняння відносно  однієї змінної?

   Розв’яжіть рівняння, перевірте правильність виконання, виправте помилки.

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

IV. Формування вмінь і навичок.

Слайд 22

  1.  Розв’язати рівняння  cos2x = 7 – 8sinx

Розв’язання.

   Застосуємо формулу косинуса подвійного кута у вигляді  

сos2x = 12sin2 x,

12sin2 x = 7 – 8sinx,

12sin2 x – 7 + 8sinx = 0,

2sin2 x + 8sinx – 6 = 0,

sin2 x – 4sinx + 3 = 0,

sin x = t,

t2 – 4t + 3 = 0,

t1 = 1,  t2 = 3.

sin x = 1,      sin x = 3,

x = π/2 + 2πk, kZ,      коренів немає.

Відповідь. π/2 + 2πk, kZ.   

  1.  Розв’язати рівняння  2сos23x + sin(– 3x) – 1 = 0

Розв’язання.

   За формулами зведення  sin(– 3x) = сos3x,

os23x + сos3x – 1 = 0,

cos3x = t,

2t2 + t – 1 = 0,

D = 1 + 8 = 9,

t1 =  = 1,               t2 =  = ,

cos3x = 1,             cos3x = ,

3x = π + 2πk, kZ,        3x = ± arccos + 2πn, nZ,

 x =  +  , kZ,        3x = ± + 2πn, nZ,

      x = ± +  , nZ.

Відповідь.  +  , kZ;   ± +  , nZ.

  1.  Розв’язати рівняння (tgx + ctgx)2 + 3(tgx + ctgx) = 4

Розв’язання.

tgx + ctgx = t,

t2 + 3t – 4 = 0,

t1 = –4,   t2 = 1,

 tgx + ctgx = – 4,    tgx + ctgx = 1,

tgx + + 4 = 0,                                   tgx +  – 1 = 0,

tgx = y                                            tgx = z

у +  + 4 = 0                                    z +   1 = 0

= 0,                                          = 0,

при      у ≠ 0                                          при      z ≠ 0

маємо рівняння                                   маємо рівняння                             

у2 + 4у +1 = 0,                                      z2 z + 1 = 0,   

D = 16 – 4 = 12,     D= 1 – 4 = – 3 < 0, 

y1 == = –2 -   коренів немає 

y2 == = –2 + 

tgx = 2 –      tgx = 2 +

x = arctg(–2 –) + πn, nZ,  x = arctg(–2 + ) + πk, kZ,

x = arctg(2 + ) + πn, nZ.

Відповідь.  arctg(–2 + ) + πk, kZ,  –arctg(2 + ) + πn, nZ.

   4. Розв’язати рівняння 2 cos2 x – 5cos(π – x) + 2 = 0

   Розв’язання.

2 cos2 x – 5cos(π – x) + 2 = 0

За формулами зведення  cos(π – x) = сosx,

2 cos2 x + 5cosx + 2 = 0,

cos x = t,

2t2 + 5t + 2 = 0,

D = 25 – 16 = 9,

t1 =  = –2,                  t2 =  = – ,

cos x = –2                           cos x = –

коренів немає                    x = ± arccos(–) + 2πn, nZ,

                                           x = ± (π – ) + 2πn, nZ,

                                           x = ±  + 2πn, nZ.

Відповідь. ±  + 2πn, nZ.

5. Розв’язати рівняння  cos 2х +sin²x +sin х = 0,25

Розв’язання.

cos² х  sin²x +sin²x +sin х 0,25 = 0,

1 sin²x +sin х  0,25 = 0,

4sin²x 4sin х  3 = 0,

sin x = t,

4t²  4t  3=0,

D = 16 + 48 = 64,

t1 = 1/2,   t2=3/2

sin х = 1/2                                                    sin x = 3/2

                                                                      коренів немає

  

                        

 Відповідь. .

V. Робота в групах

Слайд 23

   Учні розбиваються на групи по 3-4 учні і розвязують тригонометричне рівняння, потім звіряють відповідь з кодовим словом і в результаті отримують зашифроване слово.

   І група   3sin²x + 2cos x – 2 = 0

Відповідь. (Д)

   ІІ група  cos 2x + sin x = 0

Відповідь.  (Р)

   ІІІ група  2sin²x  cos x  1= 0

Відповідь.                                 (У)

   ІV група  tg x – 2 ctg x + 1 = 0

Відповідь.    (Ж)

   V група   cos 2xsin x = 0

Відповідь. (Б)

   VІ група  tg x + 5 ctg x = 6

Відповідь. (А)

Слайд 24

Слайд 25

VІ. Підсумок уроку

Слайд 26

Виставлення оцінок.

   Сьогоднішній урок я б хотіла закінчити словами Сократа: «Те, що я встиг пізнати, - чудове. Сподіваюся, таке ж чудове те, що ще мені доведеться пізнати».

Слайд 27

VІІ. Домашнє завдання

Слайд 28

Слайд 29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41299. Визначення ізотопічного зсуву в спектрі атомарного водню 357 KB
  Робоча формула : зведена маса або просто маса електрона.001 Обробка результатів Оскільки маса ядра не нескінченна і маса електрона не дорівнює нулю тоді система ядро електрон обертаються навколо спільного центра мас. І в формулі зведена маса примітка маса протона приблизно дорівнює масі нейтрона Ізотоп водню буде причиною появи дуплетів.
41300. Єфект Зеємана 76.5 KB
  Теоретичні відомості Розрізняють два ефекти Зеємана нормальний і аномальний . Якщо спектральні лінії розщеплюються на три крмпоненти тоді це нормальни ефект Зеємана якщо більше ніж на три тоді аномальний . Також розрізняють продольний ефект Зеємана якщо спостерігають у нарямі і поперечний якщо спостерігають у площині що перпенбикулярна додля нормального ефектунаш виподок .
41301. Визначення питомого заряду електрона методом магнетрона 157 KB
  Визначити питомий заряд електрона за допомогою магнетрона. 3 Побудували графіки залежності анодного струму від струму в обмотці магнетрона.5 Апроксимували формулою Fx=f0 wpi 22exp2xxc2 w2 По вісі іксів струм в обмотці електромагніта магнетрона m для напруги120V .
41302. Вивчення структури мультиплетів в атомних спектрах 420.5 KB
  Результати та обробка результатів Калібровка Зелена область Синя область Фіолетова область мм мм мм 545561 05 435155 096 407174 306 544692 109 432576 269 406798 382 543453 195 430932 445 40636 45 Для зеленої області Синя область Фіолетова область Зелена обдасть Синя область Фіолетова область Практично 546311 436221 404407 Таблично 546074 435835 404656 Похибка 0.
41303. Спектир випромінювання атомарного водню 370 KB
  Робоча формула : зведена маса або просто маса електрона. Друга частина Оскільки маса ядра не нескінченна і маса електрона не дорівнює нулю тоді система ядро електрон обертаються навколо спільного центра мас. І в формулі зведена маса примітка маса протона приблизно дорівнює масі нейтрона Ізотоп водню буде причиною появи дуплетів.
41304. Численные методы и компьютерные технологии решения дифференциальных уравнений 1-го порядка 456.91 KB
  Изучение численных методов и компьютерных технологий решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.
41305. Численные методы и компьютерные технологии решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-го порядка 778.94 KB
  Изучение численных методов и компьютерных технологий решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка и дифференциальных уравнений n-го порядка, приобретение практических навыков составления алгоритмов, программ и работы на ЭВМ.
41306. Построение сетевого графика разработки стандарта предприятия; построение, содержание и изложение стандарта предприятия 1.15 MB
  Целью данной работы является: построение сетевого графика разработки стандарта предприятия; построение, содержание и изложение стандарта предприятия; расчёт годового экономического эффекта от внедрения стандарта предприятия; описание функционирования служб стандартизации на предприятии и структурная схема; проведение нормаконтроля сборочного чертежа «привод электромагнита».