52121

Розвязування тригонометричних рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Розв’язування тригонометричних рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції. Формування в учнів умінь розв’язувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції алгебраїчний спосіб розвивати логічне мислення уяву пам'ять виховувати інтерес до математики уважність відповідальність культуру математичних записів. Ми ніколи не станемо математиками...

Украинкский

2014-02-13

7.06 MB

30 чел.

Тема уроку. Розв’язування   тригонометричних  рівнянь зведенням до однієї тригонометричної функції.

Мета. Формування в учнів умінь розв’язувати тригонометричні рівняння способом зведення до однієї тригонометричної функції (алгебраїчний спосіб), розвивати логічне мислення, уяву, пам'ять, виховувати інтерес до математики, уважність, відповідальність, культуру математичних записів.

Тип уроку: комбінований.

Обладнання: дошка, комп’ютер, мультимедійний проектор, екран.

Хід уроку.

                                          Ми ніколи не станемо математиками,                                                                                                               навіть знаючи напам’ять усі чужі доведення,                                                                    якщо наш розум нездатний самостійно                                                                                   розв’язувати які б то не було проблеми.

                                                                                   Р. Декарт

І. Вступна бесіда   

   Ми навчилися розв’язувати  найпростіші тригонометричні рівняння  sin x = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a.

   Сьогодні на уроці ми будемо розв’язувати складніші тригонометричні рівняння і познайомимось з одним із способів розв’язування тригонометричних рівнянь, а саме, способом зведення до однієї тригонометричної функції, тобто алгебраїчним способом.

Повідомлення теми, мети уроку.

Слайд 1

Слайд 2

   Епіграфом сьогоднішнього уроку я взяла слова великого математика Р.Декарта.

Слайд 3

   Кожен наш урок – це невеликий крок до зовнішнього незалежного оцінювання. Тому всі завдання, які ми будемо розв’язувати на уроці, підібрані із збірників завдань по підготовці до ЗНО з математики.    

Слайд 4

ІІ. Актуалізація опорних знань

1. Фронтальне опитування

   Пригадаємо, для чого у 10 класі було введено поняття арксинуса, арккосинуса, арктангенса і арккосинуса (для розв’язування тригонометричних рівнянь).

Слайд 5

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння cos x = a ?
  •   При якому значенні а рівняння cos x = a має розвязок ?
  •   Який розвязок рівняння cos x = 0 ?
  •   Який розвязок рівняння cos x = 1 ?
  •  Який розвязок рівняння cos x = -1 ?
  •  Якою є функція  arccos а ?  Як знайти  arccos (-а) ?

Слайд 6

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння sin x = a ?
  •   При якому значенні а рівняння sin x = a має розвязок ?
  •   Який розвязок рівняння sin x = 0 ?
  •  Який розвязок рівняння sin x = 1 ?
  •  Який розвязок рівняння sin x = -1 ?
  •   Якою є функція  arcsin а ?  Як знайти  arcsin (-а) ?

Cлайд 7

  •  Якою формулою записується розвязок рівняння tg x = a ?
  •   Який розвязок рівняння tg x = 0 ?
  •   Якою є функція  arctg а ?  Як знайти arctg (-а) ?

Слайд 8

  •  Якою формулою записується розвзок рівняння сtg x = a ?
  •   Який розвязок рівняння ctg x = 0 ?
  •   Якою є функція  arсctg а ?  Як знайти  arсctg (-а) ?

Слайд 9

Пригадаємо деякі значення arcsin x, arccos x, arcctg x, arctg x.

Слайд 10

  1.  Усне розвязування вправ

Слайд 11

Слайд 12

  1.  Самостійна робота

Слайд 13

ІІІ. Сприймання та усвідомлення нового матеріалу   

Сьогодні на уроці ми навчимось розв’язувати складніші тригонометричні рівняння, які шляхом поточних перетворень можна привести до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і звести до алгебраїчного рівняння

Слайд 14

Розглянемо приклади розвязання тригонометричних рівнянь.

Приклад 1. Розв’язати рівняння
2
sin2x + sinx – 1 = 0

   В ході пояснення задаю питання учням, спонукаю до спільного обговорення розв’язку, учні записують розв’язання у зошит.

Слайд 15

Слайд 16

Приклад 2. Розв’язати рівняння

6sin2x + 5cosx – 2 = 0

   Обговорюється хід розв’язування рівняння, проектується розв’язання, учні записують у зошит.

Слайд 17

Слайд 18

Приклад 3. Розв’язати рівняння
tg x + 2 сtg x = 3.

   Чи можна це рівняння записати відносно однієї тригонометричної функції? Виконайте це.

   Чи можна це рівняння записати у вигляді квадратного рівняння відносно  однієї змінної?

   Розв’яжіть рівняння, перевірте правильність виконання, виправте помилки.

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

IV. Формування вмінь і навичок.

Слайд 22

  1.  Розв’язати рівняння  cos2x = 7 – 8sinx

Розв’язання.

   Застосуємо формулу косинуса подвійного кута у вигляді  

сos2x = 12sin2 x,

12sin2 x = 7 – 8sinx,

12sin2 x – 7 + 8sinx = 0,

2sin2 x + 8sinx – 6 = 0,

sin2 x – 4sinx + 3 = 0,

sin x = t,

t2 – 4t + 3 = 0,

t1 = 1,  t2 = 3.

sin x = 1,      sin x = 3,

x = π/2 + 2πk, kZ,      коренів немає.

Відповідь. π/2 + 2πk, kZ.   

  1.  Розв’язати рівняння  2сos23x + sin(– 3x) – 1 = 0

Розв’язання.

   За формулами зведення  sin(– 3x) = сos3x,

os23x + сos3x – 1 = 0,

cos3x = t,

2t2 + t – 1 = 0,

D = 1 + 8 = 9,

t1 =  = 1,               t2 =  = ,

cos3x = 1,             cos3x = ,

3x = π + 2πk, kZ,        3x = ± arccos + 2πn, nZ,

 x =  +  , kZ,        3x = ± + 2πn, nZ,

      x = ± +  , nZ.

Відповідь.  +  , kZ;   ± +  , nZ.

  1.  Розв’язати рівняння (tgx + ctgx)2 + 3(tgx + ctgx) = 4

Розв’язання.

tgx + ctgx = t,

t2 + 3t – 4 = 0,

t1 = –4,   t2 = 1,

 tgx + ctgx = – 4,    tgx + ctgx = 1,

tgx + + 4 = 0,                                   tgx +  – 1 = 0,

tgx = y                                            tgx = z

у +  + 4 = 0                                    z +   1 = 0

= 0,                                          = 0,

при      у ≠ 0                                          при      z ≠ 0

маємо рівняння                                   маємо рівняння                             

у2 + 4у +1 = 0,                                      z2 z + 1 = 0,   

D = 16 – 4 = 12,     D= 1 – 4 = – 3 < 0, 

y1 == = –2 -   коренів немає 

y2 == = –2 + 

tgx = 2 –      tgx = 2 +

x = arctg(–2 –) + πn, nZ,  x = arctg(–2 + ) + πk, kZ,

x = arctg(2 + ) + πn, nZ.

Відповідь.  arctg(–2 + ) + πk, kZ,  –arctg(2 + ) + πn, nZ.

   4. Розв’язати рівняння 2 cos2 x – 5cos(π – x) + 2 = 0

   Розв’язання.

2 cos2 x – 5cos(π – x) + 2 = 0

За формулами зведення  cos(π – x) = сosx,

2 cos2 x + 5cosx + 2 = 0,

cos x = t,

2t2 + 5t + 2 = 0,

D = 25 – 16 = 9,

t1 =  = –2,                  t2 =  = – ,

cos x = –2                           cos x = –

коренів немає                    x = ± arccos(–) + 2πn, nZ,

                                           x = ± (π – ) + 2πn, nZ,

                                           x = ±  + 2πn, nZ.

Відповідь. ±  + 2πn, nZ.

5. Розв’язати рівняння  cos 2х +sin²x +sin х = 0,25

Розв’язання.

cos² х  sin²x +sin²x +sin х 0,25 = 0,

1 sin²x +sin х  0,25 = 0,

4sin²x 4sin х  3 = 0,

sin x = t,

4t²  4t  3=0,

D = 16 + 48 = 64,

t1 = 1/2,   t2=3/2

sin х = 1/2                                                    sin x = 3/2

                                                                      коренів немає

  

                        

 Відповідь. .

V. Робота в групах

Слайд 23

   Учні розбиваються на групи по 3-4 учні і розвязують тригонометричне рівняння, потім звіряють відповідь з кодовим словом і в результаті отримують зашифроване слово.

   І група   3sin²x + 2cos x – 2 = 0

Відповідь. (Д)

   ІІ група  cos 2x + sin x = 0

Відповідь.  (Р)

   ІІІ група  2sin²x  cos x  1= 0

Відповідь.                                 (У)

   ІV група  tg x – 2 ctg x + 1 = 0

Відповідь.    (Ж)

   V група   cos 2xsin x = 0

Відповідь. (Б)

   VІ група  tg x + 5 ctg x = 6

Відповідь. (А)

Слайд 24

Слайд 25

VІ. Підсумок уроку

Слайд 26

Виставлення оцінок.

   Сьогоднішній урок я б хотіла закінчити словами Сократа: «Те, що я встиг пізнати, - чудове. Сподіваюся, таке ж чудове те, що ще мені доведеться пізнати».

Слайд 27

VІІ. Домашнє завдання

Слайд 28

Слайд 29


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64479. ВИКОРИСТАННЯ ІМУНОСТИМУЛЮЮЧИХ ПРЕПАРАТІВ ДЛЯ ПІДВИЩЕННЯ ПРИРОДНОЇ РЕЗИСТЕНТНОСТІ ТА ПРОФІЛАКТИКИ СТРЕСІВ У ПОРОСЯТ 281 KB
  Для поліпшення стану природної резистентності організму поросят-сисунів можна використовувати різні препарати у тому числі і виготовлені із природної сировини зокрема з тимусу...
64480. КОНСТРУКТИВНО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ МЕТОД ПІДВИЩЕННЯ ВТОМНОЇ ДОВГОВІЧНОСТІ РОЗНІМНИХ БОЛТОВИХ З’ЄДНАНЬ ЕЛЕМЕНТІВ ПЛАНЕРА ЛІТАКА 5.5 MB
  Їх довговічність має бути не меншою за довговічність нерознімних поздовжніх болтових з’єднань силових елементів планера виконаних з осьовим і радіальним натягом.
64481. ГЕНЕРАЦІЯ СИГНАЛІВ ЕЛЕКТРОРУШІЙНОЇ СИЛИ В СПЛАВАХ З ВИБУХОВОЮ КІНЕТИКОЮ МАРТЕНСИТНОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ 1.84 MB
  До таких нетрадиційних проявів слід віднести звукову емісію та генерацію електричних сигналів. Появу електричних сигналів при протіканні прямого МП зареєстрували у різних сплавах...
64482. Особливості правового регулювання трудової діяльності депутатів Верховної Ради України як суб’єктів трудового права 162.5 KB
  За цей період відбулися значні зміни в економічному, політичному й громадському житті країни, що, у свою чергу, зумовило зміни в урегулюванні діяльності народних депутатів.
64484. СТРУМИННА ТЕХНІКА В ОПАЛЮВАЛЬНО – ВЕНТИЛЯЦІЙНИХ СИСТЕМАХ 369.5 KB
  Подальший науковотехнічний прогрес який спрямований на вирішення найважливіших проблем що поставлені перед промисловістю України в першу чергу паливних енергетичних екологічних галузях є неможливим без підвищення ефективності опалювальновентиляційних систем ОВС.
64485. АУДИТОРСЬКІ ПОСЛУГИ В СИСТЕМІ ЕКОНОМІКО-ПРАВОВОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ГОСПОДАРСЬКОЇ ДІЯЛЬНОСТІ 313.5 KB
  Економіко-політичні зміни трансформація законодавчої бази розширення зовнішньоекономічної діяльності викликають стрімкий розвиток ринку аудиторських послуг в Україні.
64486. Поліпшення енергетичних показників і паливної економічності бензинового двигуна в режимах повних навантажень 2.1 MB
  Актуальність теми полягає у тому що теоретичними та експериментальними дослідженнями показано як добавкою закису азоту до повітряного заряду можна одночасно покращити енергетичні показники і паливну економічність та створити сприятливі умови для роботи каталітичних нейтралізаторів.
64487. ЛЮБОМИР ВИНАР ЯК ДОСЛІДНИК УКРАЇНСЬКОЇ ІСТОРІЇ ТА ІСТОРІОГРАФІЇ 179.5 KB
  Винара що зумовлює актуальність даної теми адже науковий доробок вченого є важливим надбанням української історичної думки. Винара в дослідження проблем історії України та української історіографії.