52124

Розвязування систем рівнянь методом заміни змінної

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета: освітня: формувати поняття однорідного многочлена симетричного многочлена; формувати умінь і навичок розв’язування систем рівнянь методом заміни змінної та вироблення вмінь і навичок застосовувати цей спосіб під час розв’язування систем рівнянь; розвиваюча: формувати вміння знаходити зв’язок з раніше вивченим: переносити набуті знання в нові ситуації; стимулювати учнів до висловлювань без побоювань помилитися; заохочувати знаходити свій спосіб фіксації пояснення нового матеріалу; виховна: виховувати культуру математичних міркувань;...

Украинкский

2014-02-13

4.01 MB

15 чел.

Тема: розвязування систем рівнянь методом заміни змінної.

Мета: освітня: формувати поняття однорідного многочлена, симетричного многочлена; формувати умінь і навичок розв’язування систем рівнянь методом заміни змінної та вироблення вмінь і навичок застосовувати цей спосіб під час розв’язування систем рівнянь;

розвиваюча: формувати вміння знаходити зв’язок з раніше вивченим: переносити набуті знання в нові ситуації; стимулювати учнів до висловлювань без побоювань помилитися; заохочувати знаходити свій спосіб фіксації пояснення нового матеріалу;

виховна: виховувати культуру математичних міркувань; дружелюбність, уміння тактовно висловлювати свою думку; інтерес учнів до вивчення математики, пробуджувати пізнавальний інтерес до наукових відкриттів.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь і навичок.

Обладнання: сигнальні картки, схема самооцінки «Піраміда знань» мультимедійне презентаційне обладнання.

Методи:

за джерелами знань – словесні, наочні, практичні;

за ступенем взаємодії учителя та учня – викладання, бесіда;

залежно від конкретних дидактичних завдань – підготовка до сприйняття, пояснення, закріплення;

за характером пізнавальної діяльності учнів та участі вчителя в навчальному процесі – пояснювально-ілюстративний, репродуктивний, частково-пошуковий;

за принципом поділу або поєднання знань – аналітичний, порівняльний, класифікаційний.

Очікувані результати: після цього уроку учні повинні

формулювати:

  •  означення розв’язку рівняння з двома змінними;
  •  означення системи рівнянь;
  •  означення розв’язку системи рівнянь;

знати:

  •  алгоритм розв’язування рівнянь методом заміни змінної;
  •  основні підстановки;

вміти:

  •  розв’язувати системи рівнянь методом заміни змінної.

Завдання уроку:

  •  формування поняття однорідного многочлена;
  •  формування поняття симетричного многочлена;
  •  формування умінь і навичок розв’язування систем рівнянь методом заміни змінної;
  •  вироблення вмінь і навичок застосовувати цей спосіб під час розв’язування систем рівнянь

Хід уроку

І. Організаційний етап.

Рефлексія.

Доброго усім дня. Дня третього місяця лютого 2010 року. Цей день пам’ятний на події. Так, 3 лютого 1957 року відбувся запуск супутника, що доправив на навколоземну орбіту першу живу істоту земного походження – собаку Лайку. У 1966 році радянська непілотована космічна станція «Луна-9» здійснила м’яку посадку на поверхню Місяця. Цього дня у 1847 році народився американський вчений, винахідник телефону Александер Белл. Для того, щоб відбулися такі події, людство мало плідно працювати протягом десятиліть. 

А починалося все з азів математики. Тож сьогодні ми формуємо основу для майбутніх відкриттів та винаходів.

Зараз відкрийте зошити, запишіть число, класна робота.

На ваших партах ви бачите конверт. Його колір зелений – це символ початку руху. У кожному конверті є ось такі смайлики, що відповідають настроям людини. Визначте кожен свій настрій і смайлик, що відповідає цьому настрою, закріпіть на полях нашого зошита напроти числа. Подайте, будь ласка, сигнал, хто сьогодні засмучений. ***** Хто має бадьорий настрій та готовий до взаємодії зі мною? ***** А хто трохи розгублений? **** Знайте, що поряд з вами ваші друзі, які завжди готові  прийти вам на допомогу. Сподіваюсь, що на кінець уроку ваш настрій стане ще кращим, ніж зараз. Отже, до роботи.

ІІ. Підготовка до свідомої навчальної праці.

Актуалізація опорних знань.

1. Фронтальне опитування

Недарма місяць лютий називають лютим. Він роздмухав фрази у визначеннях. Відновіть їх. 

1. Якщо потрібно знайти … утворюють систему… два і більше рівнянь… всі їх спільні розв’язки. (Два і більше рівнянь утворюють систему, якщо потрібно знайти всі їх спільні розв’язки).

2. пара значень змінних… розв’язком системи рівнянь… з двома змінними… називається … в правильну рівність… яка перетворює кожне рівняння системи (Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називається пара значень змінних, яка перетворює кожне рівняння системи в правильну рівність)

3. знайти всі її розв’язки… розв’язати систему рівнянь… або довести, що їх немає… означає. (Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає)

У наступних визначеннях я самостійно змогла відшукати початок, але не знайшла кінця. Закінчіть ці визначення.

4. Два рівняння називаються рівносильними,  якщо всі розв'язки першого рівняння … (Два рівняння називаються рівносильними,  якщо всі розв'язки першого рівняння є розв'язками другого і, навпаки, всі розв'язки другого рівняння є розв'язками першого).

5. Ми познайомилися з такими методами розв’язування систем рівнянь, як … (графічний, метод додавання, метод підстановки)

А інформація по наступним питанням взагалі загубилася.

6. Які недоліки графічного методу розв’язування систем рівнянь? (графічний спосіб не гарантує того, що отриманий результат є точним)

7. Коли графічний метод розв’язування рівнянь є ефективним? (коли потрібно визначити кількість розв’язків системи або достатньо знайти їх наближено)

8. У чому полягає сутність методу підстановки? (в заміні даної системи рівнянь рівносильною системою, в якій одне з рівнянь містить тільки одну змінну)

9. Які системи рівнянь можна розв’язати методом додавання? (систему рівнянь, в якій коефіцієнти при одній і тій самій змінній в обох рівняннях є протилежними числами)

Дякую. Я впевнилася, що ваш попередній досвід дозволить нам рухатися далі сьогодні, 3 лютого. Магія цифр тлумачить трійку як знак інтелектуальних здібностей,  кмітливості, впевненості у собі.

Мотивація навчальної діяльності.

Давайте зберемо в собі ці якості й розглянемо систему рівнянь:

Спробуємо три відомих Вам методи розв’язування системи рівнянь. Міркуємо! Жоден із раніше вивчених методів розв’язування систем рівнянь до даної системи застосувати не так просто, тому, напевно, повинен існувати ще якийсь метод розв’язування систем рівнянь.

Повідомлення теми уроку. Постановка завдань уроку.

Застосування цього методу для розв’язування системи рівнянь і є темою нашого уроку. Учні записують тему уроку в зошит.

Ключові поняття уроку: однорідні многочлени; симетричні многочлени; метод заміни змінної.

Спираючись на тему та ключові поняття теми сформулюйте завдання нашого уроку такі, якими ви їх бачите.

Завдання уроку: 

  •  формування поняття однорідного многочлена;
  •  формування поняття симетричного многочлена;
  •  формування умінь і навичок розв’язування систем рівнянь методом заміни змінної;
  •  вироблення вмінь і навичок застосовувати цей спосіб під час розв’язування систем рівнянь.

Із завдань, які ми ставимо перед собою на цей урок, ми отримали чудове дерево, на якому, як квіточки, рясніють наші завдання. Тепер протягом уроку будемо намагатися реалізувати завдання уроку.

ІІІ. Етап організації виконання плану діяльності.

Пояснення нового матеріалу.

Розгляньте многочлен х2 + 2ху + у2. З одночленів якого степеня складається цей многочлен? 2 – 3ху + 5у2?

Яку особливість цих многочленів ви помітили?

Такі многочлени називаються однорідними. Сформулюйте означення однорідних многочленів.

Многочлени, усі члени якого мають один і той самий степінь, називають однорідним многочленом.

Перевіряємо визначення за підручником.

Усне виконання вправ.

З’ясуйте, чи є дані многочлени однорідними: міркуйте, пояснюйте.

х – 2у (так)

х2 – ху + у2 (так)

х2 + ху + у (ні)

х3 + 3х2у – у2 х (так)

2у + 2ху (ні)

Ви можете розпізнавати однорідні многочлени. Це допоможе вам використовувати метод заміни змінної   при розв’язуванні систем рівнянь.

Тепер повернемося до системи рівнянь, яку ми розглядали на початку уроку.

Аналізуйте! (Ліва частина цих рівнянь є однорідними многочленами.) Для розв’язання системи  де F(x,y) і G(x,y) – однорідні многочлени, ефективною є заміна .

Не складно переконатися, що пара (х0; 0) не є розв’язком даної системи. Поділивши обидві частини першого рівняння на у2, отримаємо систему, рівносильну даній:

Нехай . Тоді 2t2 – 5t – 3 = 0. Звідси t = 3 або t = .

Задана система рівносильна сукупності таких систем:

Розв’язавши кожну з цих систем методом підстановки отримуємо відповідь.

Відповідь: (), (), (3; 1), (-3; -1).

Такий метод розв’язування системи рівнянь називають методом заміни змінної.

Домінуюча цифра у відповіді – 2. до того ж, лютий – другий місяць року. Що ж символізує двійка? 2 – це символ спілкування, надійності, співпраці. Отож, співпрацюємо далі.  

Позначимо довільний многочлен F(x,y). Якщо в многочленні замінимо х на у, а у на х, то отриманий многочлен позначатимемо F(y, х).

Розглянемо многочлен F(x,y) = х + у. F(y, х) = у + х. Помітили, що F(x,y) = F(y).

Якщо при будь-яких значеннях х і у  виконується рівність F(x,y) = F(y), то многочлен F(x,y) називають симетричним. Робота з підручником.

Наприклад:

F(x,y) = х2 – ху + у2;

F(x,y) = х2 – у2;

F(x,y) = х3 + 5ху + у3.

Усне виконання вправ.

З’ясуйте, чи є даний многочлен симетричним:

х4 + х2у + у4; (ні)

(х + у)(х2 + у2); (так)

2 + у)(х + у2); (так)

х2 + ху + у. (ні)

Уміння визначати симетричність многочленна знадобиться для застосування наступної теореми.

Спробуйте усвідомити справедливість такої теореми.

Будь-який симетричний многочлен від х і у можна подати у вигляді многочленна від u та v такі, що u = x + y; v = xy. Ці многочлени називаються елементарними симетричними многочленами.

Продемонструємо справедливість цієї теореми на деяких прикладах:

х2 + у2 = u2 – 2v;

x3 + y3 = u3 – 3uv. Таких прикладів можна приводити ще багато.

Розглянемо приклад розв’язування системи рівнянь із застосуванням такої заміни.

Зауважимо, що ліві частини рівнянь системи є симетричними многочленами.

Підготуємо задану систему до заміни u = x + y; v = xy.

Звідси

Тоді 4,5v – 2v = 5, v = 2.

Маємо:

Задана система рівносильна сукупності двох систем:

Відповідь: (1;2), (2;1), (-2;-1), (-1;-2).

Щойно ми розглянули системи рівнянь, ліві частини рівнянь яких є симетричними або однорідними многочленами. Визначтеся, який із відомих вам методів розв’язування систем рівнянь з двома змінними  є оптимальним.

У відповіді ми зустрілися ще з однією цифрою – одиницею. Вона є символом життєвої енергії, сили волі, і ще раз підкреслює вашу впевненість у собі.

IV. Етап застосування набутих знань.

Зараз ви маєте достатню кількість інформації, щоб розв’язувати системи рівнянь методом заміни змінної. Спробуємо застосувати її на практиці:

Нехай . Тоді . Маємо . Звідси t =  і t =

Задана система рівносильна сукупності таких систем:

Розв’язавши кожну з цих систем методом підстановки отримуємо відповідь.

Відповідь: (3; 2), (-3; -2).

Тепер, розв’язавши цю систему ми можемо зробити висновок, що метод заміни змінної є раціональним не тільки для систем рівнянь ліва частина яких є однорідним або симетричним многочленом, а і для інших типів систем.

V. Підведення підсумків уроку.

А зараз саме час повернутися до нашого дерева завдань. Скажіть, які на вашу думку завдання уроку нам вдалося виконати, а над якими доведеться попрацювати ще.

Пропоную вам за допомогою піраміди самооцінки знань визначити, на якому рівні сьогодні вам вдалося засвоїти новий матеріал і чи далеко вам залишилося до вершини цієї піраміди…….

Звичайно, для вдосконалення навичок розв’язування систем рівнянь методом заміни змінної нам доведеться розв’язати ще не одну систему, тому пропоную вам попрацювати над цим завданням вдома.

Вдома ви маєте опрацювати п. 18 підручника. Там, крім означень розглянутих нами понять, ви зможете ще розглянути приклади розв’язування систем рівнянь методом заміни змінної. Пропоную до прикладу 6 на с. 173 скласти план розв’язування системи. А для вдосконалення вмінь розв’язувати системи рівнянь методом заміни змінної виконайте вправу 18.2(2)

Для тих дітей, кому подобається відкривати в математиці нове пропоную попрацювати додатково над таким завданням:

Розв’язати систему рівнянь способом заміни змінної:

Рефлексія.

На початку уроку ми з вами зверталися до свого внутрішнього стану. Зробіть зараз те саме. Наклейте відповідний смайлик на полях вашого зошита. Скажіть, у кого настрій після уроку став краще? У кого гіршим? Чому? У кого залишився таким самим?

Скажіть, чи сподобався вам урок?

Сьогодні на уроці нас супроводжували цифри 1,2,3. І сьогоднішня дата теж є комбінацією цих цифр: 03.02.2010. Сума цифр дати  складає число 8. Вісімка – символ лідерства, інтуїтивності, винахідливості, дружелюбності, справедливості.

Сподіваюся, що через декілька років ваші імена будуть вписані в історію людства, як ім’я винахідника Александера Белла, конструктора літальних апаратів Сергія Корольова, математика Франсуа Вієта. А допомагатимуть вам у цьому знання з математики.

До побачення.

Підручник: Алгебра для класів з поглибленим вивченням математики, 9 клас. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16881. ДНК и другие дизайны 114 KB
  PAGE 1 ДНК и другие дизайны Стефан Мейер На протяжении 2 тысячелетий аргумент дизайна обеспечивал интеллектуальную основу для большей части Западного мышления. От классической античности до подъема современной науки ведущие философы теологи и ученые ...
16885. Эволюция надеется, что вы не знаете химию: проблема с хиральностью 63.5 KB
  Эволюция надеется что вы не знаете химию: проблема с хиральностью Чарлз Маккомб Когда в 1953 году появился газетный заголовок Жизнь в пробирке сообщество эволюционистов пришло в восторг. Работа Миллера рассматривалась ими как научное доказательство того что жизнь ...
16886. Эволюция – религия, а не наука 49 KB
  Эволюция – религия а не наука В двух своих предыдущих статьях [12] автор задокументировал с признаний эволюционистов тот факт что идея эволюции от молекулы к человеку не соответствует критериям научной теории. Не существует ни одного эволюционного перехода переходн
16887. Свидетельство химии о сотворении 53 KB
  Свидетельство химии о сотворении Эдвард А. Бордо Большинство доводов из области химии выдвигаемых против теории эволюции и в поддержку сотворения акцентируют внимание на биохимическом ракурсе проблемы происхождения жизни. Хотя никто и не говорит что эти биохимич...
16888. ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ КОРПУСНЫХ ДЕТАЛЕЙ МЕТАЛЛОРЕЖУЩИХ СТАНКОВ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММЫ ANSYS 127 KB
  ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ КОРПУСНЫХ ДЕТАЛЕЙ МЕТАЛЛОРЕЖУЩИХ СТАНКОВ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММЫ ANSYS Описана процедура оптимизации формы корпуса шпиндельной бабки токарного станка. Задача оптимизации заключалась в нахождении таких толщин стенок корпуса при которых он бы имел макси
16889. Расчет силовых смещений корпуса шпиндельной бабки токарного станка 119 KB
  Расчет силовых смещений корпуса шпиндельной бабки токарного станка 1.Описание конструкции шпиндельной бабки токарного станка 16К20 Шпиндельная бабка токарного станка 16К20 предназначена для базирования подшипников шпинделя а также для передачи вращения от шкива ремен