52134
Дидактичний матеріал для рівневого навчання
Книга
Педагогика и дидактика
Опрацювавши матеріали розділу учні зможуть упізнавати функції встановлювати умови при яких вони мають певні властивості за однією властивістю âбачити â інші зводити розвязування задач до розвязування відомих.
Украинкский
2014-02-13
520.5 KB
0 чел.
ЛЬВІВСЬКА СЕРЕДНЯ ШКОЛА № 1
Ф У Н К Ц І Я
Дидактичний матеріал для рівневого навчання
8 клас
Упорядкувала
вчитель математики
ЛЕВ А.Я.
Львів 2013
В С Т У П
Знання про будьякі обєкти є основою для виконання з ними різних дій. Мірою засвоєння наукових понять є розуміння, осмислення їх змісту як основи дій з обєктами. Діями, що виконують з математичними обєктами на основі понять про них є:
Виконання дій з математичними об'єктами висупає як розвязування задач, оскільки дія завжди спрямована на виконання деякої вимоги, а самі математичні обєкти задані в певних умовах. Тому вміння обєктів розв'язувати задачі, що включають основні дії з обєктами, і є показником засвоєння наукових понять про них.
Рівні засвоєння математичних понять
Освоювати існуючі обєкти людина може на різних рівнях. Так, наприклад, телевізор можна освоїти на рівні споживача (вмикати і вимикати, настроювати на різні програми), а можна на рівні майстра (знаходити пошкодження і ремонтувати) або винахідника (створювати нові моделі).
Рівні освоєння обєкта відрізняються як складом дій, так особливостями застосування знань. Якщо людина може застосовувати знання як норму, правила дій з обєктами в певних незмінних, стандартних ситуаціях, то говорять про репродуктивне або нормативноалгоритмічне освоєння обєкта та знань про нього. Можна сказати, що користувач телевізора освоїв його на репродуктивному рівні.
Більш високим рівнем є конструктивнорепродуктивне (або конструктивноалгоритмічне) освоєння обєктів. Воно означає, що людина не просто володіє певним набором алгоритмічних дій з обєктом, а може проаналізувати ситуацію, вибрати або сконструювати з відомих дій таку, що відповідає ситуації. Рівень освоєння телевізора майстром по ремонту і є прикладом конструктивнорепродуктивного освоєння обєкта.
Коли людина, освоюючи обєкт, виявляє нові його властивості, створює нові продукти, обєкти, то говорять про продуктивне освоєння.
Пропонований матеріал містить теоретичні відомості, задачі і вправи та рівневі перевірочні роботи. Він зорієнтований на алгоритмічне і конструктивноалгоритмічне освоєння математичних обєктів. При цьому виділено чотири рівні засвоєння математичних понять: перші два відповідають алгоритмічному освоєнню, а два наступних конструктивноалгоритмічному. Ці рівні можна коротко охарактеризувати так:
перший рівень: первинне розуміння і осмислення поняття застосування поняття як заданої системи знань для виконання основних дій з математичними об'єктами (впізнання, розпізнавання, конструювання, встановлення властивостей) в ситуаціях, що безпосередньо відповідають умовам означень, теорем, а також для зведення алгоритмічних задач по відомих;
другий рівень: алгоритмічний застосування поняття в системі з іншими поняттями для розв'язування типових алгоритмічних задач;
третій рівень: конструктивноалгоритмічний застосування поняття як системи знань для аналізу умов і вимог задач та конструювання способів їх розв'язування з відомими;
четвертий рівень: ускладнений конструктивноалгоритмічний застосування поняття в деякій системі понять для аналізу і конструювання способів розвязування задач у ситуаціях ускладнених, нестандартних стосовно умов означень і теорем, що утворюють поняття.
Рівнева навчальна діяльність
із засвоєння математичних понять
Навчання автор образно уявляє як поступове сходження східцями чотириповерхової будівлі. Сходженню на новий поверх відповідає розділ теми, а східцями завдання в ньому. Кожний поверх будівля це рівень освоєння математичних обєктів, засвоєння понять про них.
Навчальні матеріали з теми поділені на чотири розділи. Головним розділом є I. У ньому міститься інформація про обєкт у вигляді коротких текстів трьох видів.
Тексти першого виду, позначені , містять означення обєкта, його елементів та теорем про них. з них учні дізнаються, які саме предмети і при яких умовах позначаються тим чи іншим терміном, які властивості їм притаманні. За кожною інформацією зі знаком йде система завдань, яка допоможе її зрозуміти, запамятати і застосувати до розвязання задач. Набори завдань сконструйовані за принципом зростання самостійності виконання дій. Спочатку учень вибирає правильні відповіді, тобто оцінює правильність уже виконаної дії, далі вибирає доповнення записів до правильних тверджень, і нарешті, самостійно виконує завдання. До кожного номера входить кілька однотипних завдань.
Другий вид інформації поданий у коротких текстах зі знаком . Їх треба сприймати як повідомлення, що “освітлюють”, пояснюють шлях виконання завдань. Спеціально запамятовувати їх не потрібно.
Третім видом повідомлень є тексти зі знаком . У них інформація першого виду розгорнута в правила, алгоритми дій з обєктами, заданими в ситуаціях, що відповідають умовам означень, теорем (стандартних). Алгоритми, що є в таких текстах, це приписи, що вказують послідовність дій, які треба виконати, щоб звести розвязання будь-якої задачі з деякого класу до розвязань відомих задач. Образно кажучи, алгоритми це ключі до розвязування задач.
Матеріали I розділу зорієнтовані на вивчення дій з математичними обєктами в ситуаціях, які безпосередньо відповідають умовам означень і теорем. Опрацювавши матеріали розділу, учні зможуть упізнавати функції, встановлювати умови, при яких вони мають певні властивості, за однією властивістю “бачити ” інші, зводити розвязування задач до розвязування відомих. Такі дії і будуть показниками засвоєння математичних функцій на першому рівні первинного розуміння і осмислення наукових понять.
Бажано матеріали I розділу здебільшого опрацьовувати в класі під керівництвом учителя. Учні активно міркують над запитаннями, даючи власні відповіді, слухаючи пояснення товаришів. Виконання всіх вправ носить переважно усний характер, на дошці чи в зошиті слід записувати тільки деякі короткі відповіді. У досить швидкому темпі за урок, інколи за два, можна опрацювати зміст розділу.
Матеріали трьох інших розділів містять тільки задачі.
IІ розділ це основні типи задач, які є показником засвоєння поняття на другому рівні алгоритмічному. Усі типи задач продубльовані чотирма вправами.
Якщо учні засвоїли знання про функцію і володіють системою знань про розвязані з нею математичні обєкти, то достатньо розвязати одну вправу з кожного номера другого розділу або відразу виконати перевірочну роботу. Якщо в них є деякі прогалини в знаннях, бажано розвязати кілька вправ кожного номера.
III і IV розділи складають задачі, умови і вимоги яких безпосередньо не відповідають означенням і теоремам. Щоб розвязати такі задачі, треба їх проаналізувати розчленити умову і вимогу; вивести наслідки з умови; відшукати достатні умови для виконання вимоги; знайти допоміжні елементи; ввести в хід міркувань нові об'єкти. Одна чи кілька з таких пошукових дій допоможуть звести ситуацію до стандартної, виконати відомий алгоритм чи їх послідовність, тим самим сконструювати спосіб розвязування задачі. Таке застосування знань свідчить про їх засвоєння на конструктивному рівні.
Третьому рівню навчання відповідають нескладні задачі конструктивноалгоритмічного типу, а четвертому ускладнені. Для знаходження способів розвязування задач III розділу достатньо застосувати поняття про функцію. Задачі IV розділу можна розвязати, якщо залучити до аналізу умов і вимог раніше вивчені поняття. Задачі IV розділу віднесені до підвищеного рівня.
Основною формою навчання на III і IV рівнях є самостійна пошукова діяльність учня з наступним колективним обговоренням розвязань. Розвязання значної частини задач цих рівнів учні зможуть сконструювати самостійно, а частина за допомогою вказівок учителя.
Передбачається, що з одного рівня навчання на інший вони будуть переходити, виконавши відповідну перевірочну роботу (для першого рівня тестову).
Форми навчання
Матеріал розрахований на різні форми організації навчання.
Перший режим навчання фронтально-індивідуальний. Ця форма групового (класного) навчання є основною в школі. Сприйнявши пояснення вчителем теоретичного матеріалу, зразки розвязання задач, учні колективно чи самостійно виконують завдання з їх застосуванням. Кількість і складність завдань, що виконує кожний, може бути різною. Однак від одного етапу до іншого учні переходять одночасно.
Навчання у фронтально-індивідуальному режимі схематично можна представити так:
Другий режим навчання індивідуально-консультаційний передбачає, що учні самостійно опрацьовують усі розділи з теми, причому I, як правило, вдома. У всіх здубльованих номерах виконують одну вправу. Виконання завдань кожного рівня перевіряє вчитель, вони зараховуються як перевірочні роботи. У разі потреби учні отримують консультації у вчителя. Завершити завдання з теми можна як на четвертому рівні, так і на третьому. У кінці вивчення теми учні виконують перевірочну роботу (відповідно четвертого або третього рівня).
Третій режим навчання комбінований. Він передбачає, що на першому рівні учні навчаються у фронтально-індивідуальному режимі, а на решті в індивідуально-консультаційному. Вчитель вважає цю форму навчання найбільш оптимальною.
Четвертий режим фронтально-додаткове навчання. У цьому режимі будуть навчатися ті, хто не досягає одночасно з усіма учнями мінімально-обовязкової навченості на першому і другому рівнях. Він передбачає повторне опрацювання матеріалів I розділу повне чи вибіркове; додаткове навчання розвязування раніше вивчених алгоритмічних задач, які є складовими виучуваних; повторне виконання рівневих перевірочних робіт.
Зупинимося на наукових критеріях навченості на кожному рівні. Виділяють три степені навченості на будь-якому рівні: мінімально-достатню, середню (неповну) і повну.
Якщо з набору завдань, який містить всі основні типи задач рівня, учень правильно розвязує 70 % задач (наприклад, 7 з 10), він досяг мінімальної навченості. Вважають, що хоча при такому засвоєнні учень допускає ще багато помилок, однак має обєктивну можливість їх виправити і самостійно знайти правильні варіанти розвязування інших задач. Зауважимо, що інколи показник мінімальної навченості для вищих рівнів знижують і до 50 %.
Другої степені навченості середньої (неповної) учень досягає, якщо правильно виконує 80 % завдань набору.
90 % правильно виконаних завдань розглядається як показник повної навченості.
Для оцінювання поступального руху в освоєнні математичних обєктів використовуємо дванадцятибальну систему. Мінімально-достатній, неповній (середній) і повній навченості на першому рівні відповідають бали “1”, “2” і “3”.
Другому рівню навчання відповідають бали “4”, “5” і “6”, третьому “7”, “8”, “9”, а четвертому “10”, “11” і “12”. Загальним показником результатів навчання, їх оцінкою є не сума більша за кожний рівень, а бал, який одержав учень за найвищий рівень, на якому навчався.
Оцінки в межах “3” “1” показують, що учень уміє застосовувати поняття для виконання основних дій з математичними обєктами в ситуаціях, що відповідають умовам означень, теорем, а також зводити розвязання основних задач до раніше вивчених. При цьому він може виконувати всі основні дії з виучуваними математичними обєктами в повному обсязі і безпомилково (бал “3”), може інколи допускати помилки (бал “2”) або навіть не володіти деякими діями (бал “1”).
Оцінки в межах “6” “4” є показниками того, що учень уміє застосовувати в стандартних ситуаціях як виучуване поняття, так і звязані з ним, тобто в цілому сформована система знань, якою він уміє оперувати в ситуаціях алгоритмічного типу. При цьому систему знань він може застосовувати практично безпомилково (бал “6”), допускати інколи помилки (бал “5”). При балі “4” частота таких помилок значно більша.
Оцінки в межах “9” “7” свідчать, що учень уміє оперувати поняттям системою знань як у стандартних ситуаціях, так і застосовувати знання для аналізу нескладних змінених ситуацій, конструювати способи розвязування задач. Бал “9” говорить про готовність учня розвязувати будь-які нескладні задачі на застосування виучуваного поняття. Бал “8” про те, що він може це робити в більшості випадків, а бал “7” що аналітичні вміння сформовані в мінімальній степені.
Оцінки в межах “12” “9” інформують про вміння учня застосовувати виучуване поняття в системі з раніше виучуваними в ситуаціях суттєво змінених, ускладнених порівняно з основними, в яких відбувалося питання формування поняття. Діапазон виходу за межі основного навчання може бути різним: максимальним (12 балів), середнім (11 балів) і мінімальним (10 балів).
Я сподівається, що розповідь про деякі особливості математичних обєктів, рівні їх засвоєння, рівневу навчальну діяльність та оцінювання її результатів допоможуть виробити власну стратегію і тактику навчання і досягти максимальних результатів у вивченні запропонованого матеріалу.
Н А В Ч А Л Ь Н І М А Т Е Р І А Л И
ОЗНАЧЕННЯ, ОБЛАСТЬ ВИЗНАЧЕННЯ, МНОЖИНА ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ
Розділ I
В алгебрі буквені позначення чисел x, y, z, t, …, а також вирази, що їх містять, називаються змінними, якщо вони можуть набувати різних числових значень.
Якщо значення, яких набуває одна із змінних, залежить від значень, яких набуває інша змінна, то першу змінну називають залежною, а другу незалежною
а)
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
12 |
9 |
6 |
3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
б)
x |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
16 |
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
в)
x |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
г)
x |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
а)
x |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
б)
x |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
в)
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
г)
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1) , якщо залежна змінна t дорівнює 0; 10;
2) , якщо незалежна змінна x набуває значень 2; 4;
3) , якщо незалежна змінна y дорівнює 3; 0;
4) , якщо z дорівнює 3; 4.
Якщо кожному значенню незалежної змінної x з множини D відповідає значення змінної y (причому одне і тільки одне), то змінну y називають функцією від незалежної змінної x (аргументу) на множині D.
Змінна y задана як функція від змінної x ( y = f (x)), якщо:
1) визначена множина значень, яких може набувати змінна x (область визначення функції (D));
2) встановлене правило (спосіб, закон), за яким можна для кожного допустимого значення змінної x знайти відповідне єдине значення змінної y .
Усі значення, яких набуває змінна y , утворюють множину значень функції.
x |
10 |
5 |
1 |
0 |
1 |
5 |
10 |
y |
100 |
25 |
1 |
0 |
1 |
25 |
100 |
Які з тверджень є правильними ?
1) Область визначення функції y є множина 10; 5; 1; 0; 1; 5; 10.
2) Область визначення функції складається з семи чисел.
3) Множиною значень функції є 0; 1; 25; 100 .
4) Множина значень функції складається з чотирьох чисел.
5) Найменше число в області визначення функції число 10.
6) Найбільше число в множині значень функції число 10.
7) При значенні аргументу 5 функція набуває значення, що дорівнює 25.
8) Значення 100 функція набуває при значеннях аргументу, що дорівнюють 5 і 5.
9) .
10) f (10) = 100 і f (10) = 100.
x |
4 |
3 |
1 |
0 |
1 |
3 |
4 |
y |
9 |
7 |
3 |
0 |
3 |
7 |
9 |
Доповнити записи до правильних тверджень, вибравши одне з доповнень а) б).
а) 0; 3; 7; 9; б) 4; 3; 1; 0; 1; 3; 4.
а) 4; 3; 1; 0; 1; 3; 4; б) 0; 3; 7; 9.
а) 4; б) 0.
4) При значенні аргументу 1 функція набуває значення …
а) 3; б) 3.
а)
X |
1 |
2 |
4 |
5 |
Y |
2 |
3 |
5 |
6 |
б)
x |
10 |
8 |
6 |
4 |
2 |
y |
10 |
8 |
6 |
4 |
2 |
в)
x |
20 |
10 |
10 |
20 |
y |
20 |
10 |
10 |
20 |
г)
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
y |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Вказати:
1) область визначення функції;
2) множину значень функції.
Записати пари відповідних значень змінних у вигляді рівності y = f (x) , де x значення змінної x , y відповідне значення функції y.
1) якщо y = f (x), то x незалежна змінна (аргумент), а y залежна змінна (функція).
2) якщо s = (t), то t аргумент, s функція;
3) якщо m = (v), то m незалежна змінна, а v функція від неї;
4) якщо y = (x), то x незалежна змінна, а y функція від неї;
5) якщо s = f ( x), то s аргумент, x функція;
6) якщо y = f (t), то t аргумент, y функція.
1) якщо y = f ( x ), то … незалежна змінна, а … залежна змінна;
2) якщо y = ( x ), то x … , y …;
3) якщо s = f ( a) , … аргумент, … функція;
4) якщо s = ( t ) , то t … , а s … ;
5) якщо y = ( x ), то … незалежна змінна, а … функція;
6) якщо m = ( v ) , то … аргумент, а … залежна змінна.
1) При значенні аргумента 3 значення функція y = f (x) набуває значення, що дорівнює 5.
а) f (3) = 5 ; б) f (5) = 3.
2) Для функції y = f ( x ) аргументу 2 відповідає значення функції 8.
а) f (8 ) = 2; б) f (2) = 8.
3) При значеннях аргументу 3 і 3 функція y = f ( x) набуває значення, що дорівнює 9.
а) f (9) = 3 і f ( 9 ) = 3; б) f ( 3 ) = 9 і f ( 3 ) = 9.
4) Значенню функції y = ( x ) , яке дорівнює 20 , відповідає значення незалежної змінної 2.
а) ( 2 ) = 20 ; б) ( 20 ) = 2.
5) значення 16 функція y = ( x ) набуває при значеннях аргументу 4 і 4.
а) (4) = 16 і (4 )=16; і б) (16) = 4 і (16) = 4.
6) При значеннях аргументу 2 і 5 значення функції y = f ( x) дорівнюють 0.
а) f ( 0 ) = 2 і f ( 0 ) = 5; б) f ( 2 ) =0 і f ( 5 ) = 0.
1) якщо значення аргументу 2, значення функції y=f (x) дорівнює 10;
2) коли значення аргументу 5, значення функції y=f (x) дорівнює 0;
3) якщо значення незалежної змінної x дорівнює 6, то відповідне значення функції y = ( x ) дорівнює 12;
4) значення 20 функція y=f (x) набуває при значенні аргументу 1;
5) при значеннях аргументу 6 і 6 функція y=f (x) набуває значення 36;
6) значення 100 функція y=f (x) набуває при значеннях аргументу 10 і 10.
1) Змінна y є функцією від змінної x на деякій області, якщо кожному значенню змінної … з цієї області відповідає одне і … значення змінної … При цьому одне й те саме значення змінна … може набувати при різних значеннях змінної … .
2) Змінна s є функцією від змінної t на деякій області, якщо кожному значенню змінної … з цієї області поставлено у відповідність певним способом … значення змінної …
3) Змінна x є функцією від змінної … на деякій області, якщо кожному значенню змінної y з цієї області відповідає … значення змінної … . Змінна … може набувати одне й те саме значення при різних значеннях змінної … .
4) Змінна y є функцією від змінної x, якщо кожному дійсному числу з деякої множини, яке є значенням змінної … , відповідає одне і … число, яке є значенням змінної …
Функція y від змінної x задана формулою, якщо вона записана у вигляді рівності, лівою частиною якої є її скорочене позначення (y чи f(x)), а у правій частині вона подана (виражена) як алгебраїчний вираз зі змінною x (тобто, як запис, що містить змінну x і числа, сполучені знаками математичних дій).
1) y > x + 5; 2) y = x + 5; 3) x = y + 5;
4) x + y = y + x; 5) y = x2 + x 3; 6) xy + 5 = y.
1) Якщо y = 2x + 3, то x незалежна змінна, а 2x + 3 функція від x.
2) Якщо s = 2t + 3, то s незалежна змінна, а 2t + 3 функція від неї.
3) Якщо y = 3x, то x незалежна змінна, а 3x залежна від неї змінна.
4) Якщо y = x2 + 4 , то y незалежна змінна, а x2 + 4 функція.
5) Якщо y = 5(x + 3) , то x незалежна змінна, а x + 3 функція від неї.
6) Якщо u = 5t2 3 , то t незалежна змінна, а 5t2 3 функція від t.
1) x незалежна змінна;
2) y аргумент;
3) 5x + 1 функція;
4) 5x + 1 незалежна змінна;
5) y функція;
6) y і 5x + 1 різні позначені функції.
1) … незалежна змінна;
2) y … або … ;
3) … і … два позначення функції;
4) … аргумент.
Щоб знайти при заданому значенні аргументу значення функції …
1) y = x + 3, треба виконати одну дію: додавання;
2) y = 5x + 3, треба виконати дві дії в порядку: множення, додавання;
3) y = x2 + 3, треба виконати одну дію: додавання;
4) y = , треба виконати дві дії в порядку: ділення, додавання;
5) y = x2 + 4x, треба виконати три дії в порядку: піднесення до квадрата, множення, додавання;
6) y = , треба виконати чотири дії в порядку: піднесення до квадрата, множення, додавання, ділення.
1) y = 5x; 2) y = ; 3) y = ; 4) y = 5x2;
5) y = x (x + 5); 6) y = x2 5x; 7) y = x2 + 5x +5; 8) y = x2 + .
1) однієї дії множення;
2) однієї дії додавання;
3) однієї дії ділення;
4) двох дій у порядку множення, додавання;
5) двох дій у порядку додавання, множення;
6) трьох дій у порядку піднесення до степеня, додавання, ділення.
Кожному значенню змінної x ставиться у відповідність значення змінної y, яке є:
а) y = x; б) y = ; в) y = x; г) x = y;
а) y = x 6; б) y = 6x; в) x = y + 6; г) y = x + 6;
а) y = 5x; б) x = 5y; в) y = 5 + x; г) y = ;
а) y = ; б) y = 8x; в) x = ; г) y = .
Кожному значенню змінної x відповідає значення змінної y, яке є:
1) числом, протилежним значенню змінної x ;
2) подвоєним значенням змінної x ;
3) квадратом значення змінної x ;
4) сумою значення змінної x і числа 5 ;
5) добутком значення змінної x і числа 20;
6) часткою від ділення числа 10 на значення змінної x .
Якщо функція задана формулою, в якій права частина є цілим раціональним виразом (тобто виразом, у якій можуть входити чотири арифметичні дії і піднесення до степеня, але який не містить ділення на зміну чи вираз зі змінною), то функцію називають цілою раціональною.
Якщо функція задана формулою, в якій права частина є дробовим раціональним виразом (містить ділення на змінну або на вираз зі змінною ), то функцію називають дробовою раціональною.
1) y = x + 4; 2) y = ; 3) y = ;
4) y = x2 + ; 5) y = x3 ; 6) y = x2 3x + 1?
1) цілого раціонального виразу;
2) дробового раціонального виразу.
Алгоритм знаходження значення функції, заданої формулою, за даним значенням аргументу
Одержане число шукане значення функції.
23. Функція задана формулою y = 5x3. Які з тверджень є правильними?
24. функція задана формулою y=x2+5. Знайти значення функції, яке відповідає значенню аргументу:
1) 1; 2) 1; 3) 0; 4) 3; 5) 4; 6) 10.
25. Функція задана формулою s=3t+4. Знайти значення функції, яке відповідає значенню аргументу:
1) 2; 2) -1; 3) 0; 4) 1; 5) 2; 6) 3.
26. Функція задана формулою f(x)=x2 +4. Обчислити:
1) ; 2) ; 3) ; 4) f(1); 5) ; 6) .
27. Функція задана формулою. Обчислити:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
28. Функція задана формулою y=3x+2 на множині [0;5]. Чи входять в область визначення функції числа:
1) 2; 2) 0; 3) ; 4) 5; 5) 6; 6) 3 ?
Для чисел, які належать області визначення, знайти відповідні їм значення функції.
29. Дано функцію y=2x+3 з областю визначення D(y)=(0;+). Чи входять в область визначення функції числа:
1) 2; 2) 0; 3) 1; 4) 1; 5) 2; 6) ?
Для чисел, які належать області визначення, знайти відповідні їм значення функції.
30. Дано функцію y=4x+3, яка визначена на множині натуральних чисел. Чи входять в область визначення функції числа:
1) -3; 2) 3; 3) 3; 4) ; 5) 0; 6) 100 ?
Для чисел, які належать області визначення, знайти відповідні їм значення функції.
31. Функція y = 2x + 5 задана на множині D = {0; 1; 2; 3; 4}. Знайти множину значень функції.
Функція може бути задана кількома формулами, записаними для різних проміжків області визначення. Наприклад: y = x, якщо x 0 і y = x, якщо x < 0, або скорочено
Які із записів є правильними:
1) f (5) = 5; 2) f (13) = 13;
3) f (10) = 10; 4) f (12) = 12;
5) f (0) = 0; 6) f (20) = 20; 7) f (20) = 20 ?
33. Функція задана формулами
Обчислити:
1) f (3); 2) f (3); 3) f (10); 4) f (10);
5) f (0); 6) f (1); 7) f (0,5); 8) f (0,5).
Якщо функція задана формулою і область визначення не вказана, то вважають, що її область визначення складається з усіх значень незалежної змінної, при яких формула має зміст. (Таку область визначення називають природною).
Знайти область визначення функції, заданої формулою, означає знайти природну область визначення.
34. Які з тверджень правильні ?
35. Які числа не входять в область визначення функції:
1) y = ; 2) y = ;
3) y = ; 4) y = ;
5) y = ; 6) y = ;
7) y = ; 8) y = ?
Якщо функція задана формулою через цілий вираз, то областю визначення (природною) є множина всіх дійсних чисел.
Щоб знайти область визначення функції, заданої формулою через дробовий раціональний вираз, треба:
Одержана множина є шуканою областю визначення функції.
1) y = 4x + 11; 2) y = ;
3) y = ; 4) y = x2 + 4x ;
5) y = ; 6) y = x7 + 6x5 + 3 ?
37. Знайти область визначення функції:
1) y = ; 2) y = ;
3) y = ; 4) y = ;
5) y = ; 6) y = .
38. Знайти область визначення функції:
1) y = 4x ; 2) y = x2 4x + 3 ; 3) y = x ;
4) y = ; 5) y = ; 6) y = ;
7) y = ; 8) y = .
39. Записати три функції, областю визначення яких є:
Алгоритм знаходження значення аргументу для даного
значення функції, заданої формулою
Корені рівняння шукані значення аргументу.
40. Які з тверджень правильні:
41. При якому значенні аргументу функція y = 4x набуває значення, що дорівнює:
1) 8; 2) 32; 3) 40; 4) 10; 5) 0; 6) 100 ?
42. При якому значенні аргументу функція S = 5t + 2 набуває значення, що дорівнює:
1) 7; 2) 17; 3) 8; 4) 2; 5) 52; 6)48 ?
1) y = 3x + 1; 2) y = 4x 7; 3) y = ; 4) y = .
Нулями функції називають значення аргументу, при яких значення функції дорівнює 0.
Алгоритм знаходження нулів функції, заданої формулою y = f(x)
Одержані корені рівняння шукані нулі функції.
Якщо рівняння не має коренів, то функція не має нулів.
44. Записати рівняння для знаходження нулів функції:
1) y = 5x; 2) y = 5x 3 ; 3) y = ;
4) y = x2 4 ; 5) y = x2 + 4 ; 6) y = .
45. Знайти нулі функції:
1) y = 4x; 2) y = 4x + 1; 3) y = 4x + 1; 4) y =
46. Довести, що функція не має нулів:
1) y = x2 + 2; 2) y = 2x2 + 10;
3) y = x2 2; 4) y = 2x2 4.
Якщо функція задана формулою y = f (x), то її множину значень складають усі дійсні числа a, при яких рівняння f (x) = a має розвязки.
Якщо функція задана формулою y = f (x) і рівняння f (x) = a не має розвязків, то число a не належить множині значень функції.
Якщо функція задана формулою y = f (x) і рівняння f (x) = a при будьякому дійсному a має розвязки, то множиною значень функції y = f (x) є множина всіх дійсних чисел, тобто проміжок ().
47. Доповнити записи доведення до правильних тверджень.
Доведення
Рівняння 5x = a при будьякому a має розвязок: x = … .
Отже, множиною значень функції y = 5x є … .
Доведення
Рівняння 3x + 5 = a при будьякому дійсному a має розвязок 3x = … , x = … .
Отже, множиною значень функції y = 3x + 5 є … .
Доведення.
Рівняння x2 = 3 … , бо при будьякому значенні x вираз x2 0. Отже, число 3 не входить у … .
Доведення.
Рівняння x2 = a має розвязки, якщо a … . Якщо a < 0, то рівняння x2 = a … .
Отже, множиною значень функції y = x2 є … .
48. Вказати функції, множиною значень яких є всі дійсні числа:
1) y = x; 2) y = 3x 4; 3) y = x2 + 5;
4) y = x 5; 5) y = ; 6) y = x2 3.
49. Довести, що до множини значень функції не входять невідємні числа:
1) y = x2; 2) y = 4x; 3) y = x2 + 1; 4) y = 3x2 + 2.
Проміжками знакосталості функції називають найбільші проміжків області визначення, на яких функція набуває або тільки додатних значень, або тільки відємних.
50. Доповнити записи до правильних тверджень:
Алгоритм знаходження проміжків додатних (відємних) значень функції, заданої формулою (y = f(x))
2. Розвязати нерівність.
Множина розвязків нерівності є шуканим проміжком
додатних (відємних) значень функції.
Якщо нерівність не має розвязків, то функція набуває додатних (відємних) значень.
51. Знайти проміжки області визначення, на яких функція набуває додатних значень:
1) y = 3x; 2) y = 2x; 3) y =2x 5; 4) y = 3x + 2.
52. Знайти значення незалежної змінної x, при яких функція набуває відємних значень:
1) y = 3x; 2) y = 2x; 3) y = 2x 5; 4) y = 3x + 4.
Алгоритм знаходження значень незалежної змінної, при яких функції, задані формулами y = f (x) і y = (x), набувають однакових значень
Розвязки рівняння є шуканими значеннями незалежної змінної.
53. Скласти рівняння для знаходження значень аргументів, при яких функції y = f(x) і y = (x) набувають однакових значень:
54. Знайти значення змінної x при яких функції y = f(x) і y = (x) набувають однакових значень:
Алгоритм знаходження значень незалежної змінної, при яких одна з функцій (y = f(x)) набуває значень, більших (менших) від значень другої функції (y = (x)).
Множина розвязків нерівності є шуканою множиною значень аргументу.
55. Скласти нерівність для знаходження значень змінної x, при яких функція y = f(x) набуває значень, більших за відповідні значення функції y = (x):
4)(x) = і f(x) = x.
56. Скласти нерівність для знаходження значень змінної x, при яких функція y = f(x) набуває значень, менших за відповідні значення функції y = (x):
57. Знайти значення змінної x, при яких функція y = f(x) набуває значень, більших за відповідні значення функції y = (x):
58. Знайти значення змінної x, при яких функція y = f(x) набуває значень, менших за відповідні значення функції y = (x):
1) f(x) = x + 4 і (x) = 2x;
2) f(x) = 4x 3 і (x) = x + 2;
3) f(x) = 2x + 3 і (x) = x;
4) f(x) = 7x 2 і (x) = x + 14.
Дві функції задані однією і тією самою формулою, але на різних областях визначення, різні.
Дві функції називаються рівними, якщо в них однакові області визначення і при однакових значеннях аргументу вони набувають рівних значень.
Функції, задані формулами, є рівними, якщо в них однакові області визначення і вони виражені тотожно рівними виразами.
Алгоритм розпізнавання рівних функцій, заданих формулами
Доведемо, що функції f(x) і (x) рівні.
Отже, f(x) і (x) … .
Доведемо, що f(x) = (x).
Отже, f(x) = … .
3) Задано функції f(x) = x і (x) = . Довести, що функції не рівні.
D (f) = … , D () = … .
Оскільки області визначення функції … , то функції … .
4) Функції f(x) = x і (x) = задані на області визначення (; 0) (0; +). Доведемо їх рівність.
Оскільки, функції f(x) і (x) … на області визначення … .
1) f(x) = 3x + 4, D (f) = (; 0) ; (x) = 3x + 4, D(x) = (0; +);
2) f(x) = , D(f) = (1;5); (x) = , D() = [0;4].
3) f(x) = x(x + 2), D(f) = [0;4]; (x) = x2 + 2x, D() = [0;4];
4) f(x) = 5(x2) + 10, D(f) = [0;4]; (x) = 5x, D() = (0;4).
5) f(x) = ; (x) = x ;
6) f(x) = ; (x) = x, D() = (; 0) (0; +).
1) f(x) = x(x 4) + 4x і (x) = x2;
2) f(x) = 5(x3) 15 і (x) = 5x;
3) f(x) = x(x3) x2 і (x) = 3x;
4) f(x) = 2x, (x) = x2 + x(x + 2).
Розділ II
1) y = ; 2) y = ;
3) y = ; 4) y = .
67. Довести, що додатним значенням аргументу відповідають додатні значення функції:
1) y = 5x ; 2) y = ; 3) y = ax, де a>0 ; 4) y = , a > 0.
68. Довести, що відємним значенням аргументу відповідають відємні значення функції:
1) y = 7x ; 2) y = ; 3) y = ax , де a>0; 4) y = , де a>0.
69. Довести, що відємним значенням аргументу відповідають додатні значення функції:
1) y = 6x ; 2) y = ;
3) y = ax , де a < 0; 4) y = , де a < 0 .
70. Довести, що додатним значенням аргументу відповідають відємні значення функції:
1) y = 7x ; 2) y = ;
3) y = ax , де a < 0; 4) y = , де a <0 .
71. Довести, що будьяке дійсне c належить множині значень функції:
1) y = 5x ; 2) y = ;
3) y = ax , де a 0; 4) y = , де a 0 .
72. Довести, що будьяке відємне дійсне число c не належить множині значень функції:
1) y = x2 ; 2) y = 5x2 ;
3) y = ; 4) y = ax2 ; де a > 0 .
73. Довести, що будьяке додатне дійсне число c не належить множині значень функції:
1) y = x2 ; 2) y = 5x2 ;
3) y = ; 4) y = ax2 , де a < 0 .
74. Знайти обчисленням значення x , при якому набувають однакових значень функції:
1) f(x) = 4x 4 і (x) = 11 ;
2) f(x) = 5x 2 і (x) = x 18 .
75. 1) Знайти обчисленням значення змінної x , при яких функція f(x) = 3x 2 набуває значень, більших за відповідні значення функції (x) = 7 .
2) Знайти обчисленням значення змінної x , при яких функція f(x) = 4x + 5 набуває значень, менших за відповідні значення функції (x) = x 4 .
76. Задати формулою y як функцію від змінної x, якщо кожному значенню змінної x відповідає таке значення змінної y, яке дорівнює:
77. 1) У порожній бак починають наливати воду, щохвилини по 15 л. Задати формулою залежність обєму води V в баку (у літрах) від часу заповнення t (у хвилинах).
2) З пункту A виїхав мотоцикліст, швидкість руху якого 50 км/год. Задати формулою залежність відстані s (у кілометрах), що проїхав мотоцикліст, від часу t
(у годинах).
3) Кожної години робітник виготовляв 3 деталі. Задати формулою залежність кількості деталей n , що виготовив робітник, від часу t (у годинах).
4) Один зошит коштує 0,4 грн. Задати формулою залежність вартості зошитів K від їх кількості n.
РОЗДІЛ ІІІ
78. Залежність між значеннями змінної і відповідними значеннями змінної виражається рівняннями:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) .
Задати формулою змінну як функцію від змінної .
79. Задати формулою змінну як функцію від змінної , якщо кожному значенню змінної поставлено у відповідність таке значення змінної , що:
80. 1) Дано функція f(x) = x2 2 . Знайти:
а) f(2) f(1);
б) f(4) f(0);.
в) f(2) f(1).
2) Дано функцію f(x) = 3x + 4. Довести, що
а) f(2) + f(0) = 2 f(1) ;
б) f(3) + f(2) = f(0) ;
в) f(a 1) + f(a + 2) = 2 f(a) .
81. Дано функцію:
Знайти: а) f(2); б) f(10).
82. 1) Функція y = 3x + 2 задана на відрізку [2;10]. Які з чисел 5; 14; 31 належать множині значень функції ?
2) Функція y = 4x + 3 задана на відрізку [2;20]. Довести, що функція не набуває значення, що дорівнює 19.
3) Функція y = 3x + 5 задана на відрізку [5;1]. Довести, що функція не має нулів.
4) Функція y = 3x + 2 задана на відрізку [0;10]. Довести, що функція не набуває значення, що дорівнює 0.
83. 1) Дано функцію
Знайти значення аргументу, при яких функція набуває значення, що дорівнює 15.
2) Дано функцію
Знайти значення аргументу, при яких функція набуває значення, що дорівнює 10.
3) Дано функцію
Довести, що до множини значень функції не входить число 40.
4) Дано функцію
Довести, що до множини значень функції не входить число 12.
84. Знайти область визначення функції y = f(x) і y = (x) та множину значень змінної x, на якій функції рівні.
1) f(x) = і (x) = x ;
2) f(x) = і (x) = ;
3) f(x) = і (x) = x + 3 ;
4) f(x) = і (x) = x 4 .
ПІДВИЩЕНИЙ РІВЕНЬ
Розділ IV
85. Дано рівняння:
1) x + y = 5; 2) x + 2y = 3;
3) 2x + y = 5; 4) 3x y = 5.
Виразити змінну x через змінну y . Пояснити, чому змінну x можна розглядати як функцію від змінної y з областю визначення (; +).
86. Дано рівняння:
1) xy = 10 ; 2) xy = 10.
Виразити змінну x через змінну y . Пояснити, чому змінна x є функцією від змінної y на області визначення (; 0) (0; +).
87. Дано функцію f(x) = 5x . аргументу
1) більших на 7 від значень даної функції;
2) менших на 3 від значень даної функції.
Знайти f(10) і (10) та порівняти їх.
88. Дано функцію f(x) = 2x 3. Записати формулу функції y = (x), якщо для будьякого x0 з області визначення цієї функції виконується рівність:
1) (x0) = 5 f(x0); 2) f(x0) = 3 (x0).
89. Дано функцію:
1) f(x) = 4x ; 2) f(x) = 3x ; 3) f(x) = 4x 1; 4) f(x) = 5x 2 .
Записати формулу функції y = (x), яка при тих самих значеннях аргументу набуває значень, протилежних значенням даної функції.
90. Дано функцію:
1) f(x) = 3x ; 2) f(x) = 2x + 1 ; 3) f(x) = 4x 3 ; 4) f(x) = 5x 2 .
Записати формулу функції y = (x) , яка набуває однакових значень з функцією y = f(x) , якщо значення аргументу протилежні.
91. Дано функцію f(x) = 5x + 1 . Записати формулу функції y = (x) , яка набуває з даною однакових значень при значеннях аргументу, які менші від значень аргументу даної функції на :
1) 3; 2) 2.
92. Дано функцію f(x) = 5x + 1 . Записати формулу функції, яка набуває тих самих значень, що і дана функція, при значеннях аргументу, які більші від значень аргументу даної функції на:
1) 4; 2) 10.
93. Дано функцію y = f(x) . Записати через f(x) функцію (x), яка:
а) набуває значень, більших від її значень на a ;
б) набуває значень, менших від її значень на a ;
в) набуває з нею протилежних значень функції ;
а) при протилежних значеннях аргументів;
б) при значеннях аргументу, які на a менші від значення аргументу функції f(x ;
в) при значеннях аргументу, які на b більші від значень аргументу функції f(x) .
94. Дано функцію:
1) f(x) = ;2) y = 2 ; 3) y = 4 ; 4) y = 3 5.
Представити дану функцію у вигляді двох виразів, що не містять знака модуля.
95. Дано функцію:
1) ;2) ; 3) ;4) .
96. Доповнити записи представлення функцій, заданих через модуль, у вигляді двох виразів:
1) y = ;
2) y = ;
3) y = ;
4) y = ;
97. Записати функцію у вигляді двох виразів, що не містять знака модуля:
1) y = ; 2) y = f () .
98. Задати формулою за допомогою знака модуля функцію y = f(x) , яка при невідємних значеннях аргументу набуває значень:
1) що дорівнюють почетвереному значенню аргументу, а при відємних значення функції, протилежні почетвереному значенню аргументу. Знайти f(5) ; f(5) .
2) протилежних значенню аргументу, а при відємних значеннях аргументу значення функції дорівнюють значенню аргументу. Знайти f(10) і f(10).
99. 1) Природна область визначення функції y = f(x) проміжок
(0; ). Знайти область визначення функції y = f(x) .
2) Природна область визначення функції y = f(x) множина
( ; 2) (2; ) . Знайти область визначення функції y = f(x) .
100. 1) Природна область визначення функції y = f(x) проміжок (0; ). Знайти область визначення функції y = f(x) .
2) Природна область визначення функції y = f(x) проміжок (; 0). Знайти область визначення функції y = f(x) .
101. 1) Природна область визначення функції y = f(x) проміжок (0; ). Знайти область визначення функції y = .
2) Природна область визначення функції y = f(x) проміжок (; 0). Знайти область визначення функції y = .
102. Множиною значень функції y = f(x) є проміжок [1; 5]. Знайти множину значень функції:
1) y = f(x) ; 2) y = f(x) + 2 ;
3) y = f(x) 5 ; 4) y = 3 f(x) .
103. Знайти множину значень функції y = , якщо множиною значень функції y = f(x) є проміжок:
1) [1; 105] ; 2) [10; 2] ; 3) [4; 1] ; 4) [ 4; 7] .
104. 1) Знайти множину значень функції y = f () , якщо множиною значень функції y = f(x) :
а) для додатних значень аргументу є проміжок (1; 5), а для відємних значень аргументу (6; 10).
б) для додатних значень аргументу є проміжок (10; 1), а для відємних (1; 10).
2) Знайти множину значень функції y = h () , якщо множиною значень функції y = h (x) для додатних значень аргументу є проміжок
[3; 10], а для відємних відрізок [1; 12].
105. Знайти множину значень функції y = , якщо множиною значень функції y = f(x) :
РІВНЕВІ ПЕРЕВІРОЧНІ РОБОТИ
1-й рівень
Кількість завдань |
9-10 |
8 |
7 |
Бал |
3 |
2 |
1 |
а) кожному значенню змінної відповідає деяке значення змінної ;
б) кожному значенню змінної з множини відповідають значення змінної ;
в) деяким значенням змінної з множини відповідають значення змінної ;
г) кожному значенню змінної з множини відповідає одне і тільки одне значення змінної .
а) усі значення незалежної змінної;
б) усі значення аргументу;
в) усі значення залежної змінної.
-10 |
-5 |
-1 |
1 |
5 |
10 |
|
20 |
10 |
2 |
2 |
10 |
20 |
Які з тверджень є правильними:
а) ; б) ; в) ; г) .
а) ; б) ; в) ; г) .
2-й рівень
Кількість завдань |
6 |
5 |
4 |
Бал |
6 |
5 |
4 |
3-й рівень
Кількість завдань |
5 |
4 |
3 |
Бал |
9 |
8 |
7 |
Знайти ; .
4-й рівень
Кількість завдань |
4 |
3 |
2 |
Бал |
12 |
11 |
10 |
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
73018. | ИЗМЕРЕНИЕ ВНУТРЕННИХ РАЗМЕРОВ ИНДИКАТОРНЫМ НУТРОМЕРОМ | 505 KB | |
Цель работы: изучить устройство и принцип работы индикаторного нутромера; приобрести практические навыки измерения внутренних размеров с помощью индикаторного нутромера. Приборы и инструменты: индикаторный нутромер с принадлежностями; плоскопараллельные концевые меры; штангенциркуль. | |||
73019. | ИЗМЕРЕНИЕ НАРУЖНЫХ РАЗМЕРОВ ДЕТАЛИ НА МИКРОКАТОРЕ И ОПТИКАТОРЕ | 1.2 MB | |
Цель работы: изучить устройство и принцип работы микрокатора и оптикатора; приобрести практические навыки измерения наружных размеров с помощью микрокатора и оптикатора. Приборы и инструменты: микрокатор; оптикатор; плоскопараллельные концевые меры. | |||
73020. | ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ДЕТАЛЕЙ ШТАНГЕНИНСТРУМЕНТАМИ | 1.44 MB | |
Цель работы: изучить назначение, особенность конструкции и область применения штангенинструмента; научиться правильно производить измерения геометрических параметров деталей. Приборы и инструменты: штангенциркуль; штангенглубиномер; щтангенрейсмас. | |||
73021. | ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ДЕТАЛЕЙ МИКРОМЕТРИЧЕСКИМИ ИНСТРУМЕНТАМИ | 1.23 MB | |
Особенности конструкции и принцип работы микрометрического инструмента. Навертывая гайку 6 на коническую часть хвостика можно уменьшить осевой люфт микрометрического винта 7 который перемещается внутри стебля по резьбовой поверхности с шагом резьбы. | |||
73022. | ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ КОНЦЕВЫЕ МЕРЫ | 479.5 KB | |
Инструменты: набор плоскопараллельных концевых мер длины; принадлежности к наборам плоскопараллельных концевых мер. Задание: составить блоки плиток по заданным размерам. Плоскопараллельные концевые меры длины составляют основу современных линейных измерений в машиностроении. | |||
73023. | СОЗДАНИЕ ЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДАННЫХ В IDEF1X | 306 KB | |
Она включает сущности и взаимосвязи отражающие основные бизнес-правила предметной области. Такая диаграмма не слишком детализирована в нее включаются основные сущности и связи между ними которые удовлетворяют основным требованиям предъявляемым к ИС. | |||
73024. | Ввод, редактирование и форматирование текста в Word | 61 KB | |
Изучить основные приемы ввода редактирования и форматирования текста; Контрольные вопросы Каково назначение программы Word Как изменить формат слова формат абзаца Как удалить ненужную часть текста Как изменить параметры страницы Как переместить и скопировать текст... | |||
73025. | Работа с таблицами в Word | 130 KB | |
Таблица представляет собой сетку из столбцов и строк, образующих ячейки, в которые можно поместить тексты и рисунки. Небольшие таблицы создают с помощью кнопки Добавить таблицу на панели инструментов | |||
73026. | Ввод, форматирование данных и составление формул | 126 KB | |
Цель работы: С помощью команды Формат Ячейки отформатируйте данные столбца D денежным форматом без десятичных разрядов. С помощью кнопки Формат по образцу скопируйте формат столбца D в E. Кнопками панели Форматирования задайте в столбце F процентный формат с двумя разрядами после запятой. | |||