52134

Дидактичний матеріал для рівневого навчання

Книга

Педагогика и дидактика

Опрацювавши матеріали розділу учні зможуть упізнавати функції встановлювати умови при яких вони мають певні властивості за однією властивістю “бачити †інші зводити розв’язування задач до розв’язування відомих.

Украинкский

2014-02-13

520.5 KB

0 чел.

ЛЬВІВСЬКА СЕРЕДНЯ ШКОЛА № 1

Ф   У   Н   К   Ц   І  Я

Дидактичний матеріал для рівневого навчання

8 клас

Упорядкувала

вчитель математики

ЛЕВ А.Я.


Львів –2013
В С Т У П

 Знання про будь–які об’єкти є основою для виконання з ними різних дій. Мірою засвоєння наукових понять є розуміння, осмислення їх змісту як основи дій з об’єктами. Діями, що виконують з математичними об’єктами на основі понять про них є:

  •  зорове впізнання математичних об’єктів і їх елементів, заданих у тій чи іншій словесно–символічній чи графічній формі;
  •  логічне і алгоритмічне розпізнання об’єктів;
  •  конструювання (побудова) з об’єктами об’єкта за даними його властивостями, елементами;
  •  перетворення об’єкта, зведення до стандартного вигляду;
  •  знаходження невідомих елементів за відомими;
  •  логічне (дедуктивне) виведення, встановлення властивостей об’єкта;
  •  моделювання – конструювання математичного об’єкта як моделі предметів матеріальної дійсності.

Виконання дій з математичними об'єктами висупає як розв’язування задач, оскільки дія завжди спрямована на виконання деякої вимоги, а самі математичні об’єкти задані в певних умовах. Тому вміння об’єктів розв'язувати задачі, що включають основні дії з об’єктами, і є показником засвоєння наукових понять про них.

Рівні засвоєння математичних понять

Освоювати існуючі об’єкти людина може на різних рівнях. Так, наприклад, телевізор можна освоїти на рівні споживача (вмикати і вимикати, настроювати на різні програми), а  можна на рівні майстра (знаходити пошкодження і ремонтувати) або винахідника (створювати нові моделі).

Рівні освоєння об’єкта відрізняються як складом дій, так особливостями застосування знань. Якщо людина може застосовувати знання як норму, правила дій з об’єктами в певних незмінних, стандартних ситуаціях, то говорять про репродуктивне або нормативно–алгоритмічне освоєння об’єкта та знань про нього. Можна сказати, що користувач телевізора освоїв його на репродуктивному рівні.

Більш високим рівнем є конструктивно–репродуктивне (або конструктивно–алгоритмічне) освоєння об’єктів. Воно означає, що людина не просто володіє певним набором алгоритмічних дій з об’єктом, а може проаналізувати ситуацію, вибрати або сконструювати з відомих дій таку, що відповідає ситуації. Рівень освоєння телевізора майстром по ремонту і є прикладом конструктивно–репродуктивного освоєння об’єкта.

Коли людина, освоюючи об’єкт, виявляє нові його властивості, створює нові продукти, об’єкти, то говорять про продуктивне освоєння.

Пропонований матеріал містить теоретичні відомості, задачі і вправи та рівневі перевірочні роботи. Він зорієнтований на алгоритмічне і конструктивно–алгоритмічне освоєння математичних об’єктів. При цьому виділено чотири рівні засвоєння математичних понять: перші два відповідають алгоритмічному освоєнню, а два наступних – конструктивно–алгоритмічному. Ці рівні можна коротко охарактеризувати так:

перший рівень: первинне розуміння і осмислення поняття – застосування поняття як заданої системи знань для виконання основних дій з математичними об'єктами (впізнання, розпізнавання, конструювання, встановлення властивостей) в ситуаціях, що безпосередньо відповідають умовам означень, теорем, а також для зведення алгоритмічних задач по відомих;

другий рівень: алгоритмічний – застосування поняття в системі з іншими поняттями для розв'язування типових алгоритмічних задач;

третій рівень: конструктивно–алгоритмічний – застосування поняття як системи знань для аналізу умов і вимог задач та конструювання способів їх розв'язування з відомими;

четвертий рівень: ускладнений конструктивно–алгоритмічний – застосування поняття в деякій системі понять для аналізу і конструювання способів розв’язування задач у ситуаціях ускладнених, нестандартних стосовно умов означень і теорем, що утворюють поняття.

Рівнева навчальна діяльність

із засвоєння математичних понять

Навчання автор образно уявляє як поступове сходження східцями чотириповерхової будівлі. Сходженню на новий поверх відповідає розділ теми, а східцями – завдання в ньому. Кожний поверх будівля – це рівень освоєння математичних об’єктів, засвоєння понять про них.

Навчальні матеріали з теми поділені на чотири розділи. Головним розділом є I. У ньому міститься інформація про об’єкт у вигляді коротких текстів трьох видів.

Тексти першого виду, позначені  , містять означення об’єкта, його елементів та теорем про них. з них учні дізнаються, які саме предмети і при яких умовах позначаються тим чи іншим терміном, які властивості їм притаманні. За кожною інформацією зі знаком йде система завдань, яка допоможе її зрозуміти, запам’ятати і застосувати до розв’язання задач. Набори завдань сконструйовані за принципом зростання самостійності виконання дій. Спочатку учень вибирає правильні відповіді, тобто оцінює правильність уже виконаної дії, далі вибирає доповнення записів до правильних тверджень, і нарешті, самостійно виконує завдання. До кожного номера входить кілька однотипних завдань.

Другий вид інформації поданий у коротких текстах зі знаком . Їх треба сприймати як повідомлення, що “освітлюють”, пояснюють шлях виконання завдань. Спеціально запам’ятовувати їх не потрібно.

 Третім видом повідомлень є тексти зі знаком  . У них інформація першого виду розгорнута в правила, алгоритми дій з об’єктами, заданими в ситуаціях, що відповідають умовам означень, теорем (стандартних). Алгоритми, що є в таких текстах, – це приписи, що вказують послідовність дій, які треба виконати, щоб звести розв’язання будь-якої задачі з деякого класу до розв’язань відомих задач. Образно кажучи, алгоритми – це ключі до розв’язування задач.

Матеріали I розділу зорієнтовані на вивчення дій з математичними об’єктами в ситуаціях, які безпосередньо відповідають умовам означень і теорем. Опрацювавши матеріали розділу, учні зможуть упізнавати функції, встановлювати умови, при яких вони мають певні властивості, за однією властивістю “бачити ” інші, зводити розв’язування задач до розв’язування відомих. Такі дії і будуть показниками засвоєння математичних функцій на першому рівніпервинного розуміння і осмислення наукових понять.

Бажано матеріали I розділу здебільшого опрацьовувати в класі під керівництвом учителя. Учні активно міркують над запитаннями, даючи власні відповіді, слухаючи пояснення товаришів. Виконання всіх вправ носить переважно усний характер, на дошці чи в зошиті слід записувати тільки деякі короткі відповіді. У досить швидкому темпі за урок, інколи за два, можна опрацювати зміст розділу.

Матеріали трьох інших розділів містять тільки задачі.

IІ розділ – це основні типи задач, які є показником засвоєння поняття на другому рівні – алгоритмічному. Усі типи задач продубльовані чотирма вправами.

Якщо учні засвоїли знання про функцію і володіють системою знань про розв’язані з нею математичні об’єкти, то достатньо розв’язати одну вправу з кожного номера другого розділу або відразу виконати перевірочну роботу. Якщо в них є деякі прогалини в знаннях, бажано розв’язати кілька вправ кожного номера.

III і IV розділи складають задачі, умови і вимоги яких безпосередньо не відповідають означенням і теоремам. Щоб розв’язати такі задачі,  треба їх проаналізувати – розчленити умову і вимогу; вивести наслідки з умови; відшукати достатні умови для виконання вимоги; знайти допоміжні елементи; ввести в хід міркувань нові об'єкти. Одна чи кілька з таких пошукових дій допоможуть звести ситуацію до стандартної, виконати відомий алгоритм чи їх послідовність, тим самим сконструювати спосіб розв’язування задачі. Таке застосування знань свідчить про їх засвоєння на конструктивному рівні.

Третьому рівню навчання відповідають нескладні задачі конструктивно–алгоритмічного типу, а четвертому – ускладнені. Для знаходження способів розв’язування задач III розділу достатньо застосувати поняття про функцію. Задачі IV розділу можна розв’язати, якщо залучити до аналізу умов і вимог раніше вивчені поняття. Задачі IV розділу віднесені до підвищеного рівня.

Основною формою навчання на III і IV рівнях є самостійна пошукова діяльність учня з наступним колективним обговоренням розв’язань. Розв’язання значної частини задач цих рівнів учні зможуть сконструювати самостійно, а частина – за допомогою вказівок учителя.

Передбачається, що з одного рівня навчання на інший вони будуть переходити, виконавши відповідну перевірочну роботу (для першого рівня – тестову).

Форми   навчання

Матеріал розрахований на різні форми організації навчання.

 Перший режим навчання – фронтально-індивідуальний. Ця форма групового (класного) навчання є основною в школі. Сприйнявши пояснення вчителем теоретичного матеріалу, зразки розв’язання задач, учні колективно чи самостійно виконують завдання з їх застосуванням. Кількість і складність завдань, що виконує кожний, може бути різною. Однак від одного етапу до іншого учні переходять одночасно.

Навчання у фронтально-індивідуальному режимі схематично можна представити так:

  •  перший етап: колективне опрацювання матеріалів I розділу; самостійне виконання завдань розділу; тестова перевірочна робота;
  •  другий етап: колективне розв’язування основних стандартних задач; самостійна тренувальна робота; перевірочна робота другого рівня;
  •  третій етап: самостійна робота (класна чи домашня) пошукового характеру розв’язання задач III розділу; колективний аналіз розв’язань задач; перевірочна робота третього рівня;
  •  четвертий етап (необов’язковий для всіх): індивідуальна або групова консультація; самостійне розв’язування задач IV розділу (домашня робота); перевірочна робота четвертого рівня.

Другий режим навчання – індивідуально-консультаційний – передбачає, що учні самостійно опрацьовують усі розділи з теми, причому I, як правило, вдома. У всіх здубльованих номерах виконують одну вправу. Виконання завдань кожного рівня перевіряє вчитель, вони зараховуються як перевірочні роботи. У разі потреби учні отримують консультації у вчителя. Завершити завдання з теми можна як на четвертому рівні, так і на третьому. У кінці вивчення теми учні виконують перевірочну роботу (відповідно четвертого або третього рівня).

 Третій режим навчання – комбінований. Він передбачає, що на першому рівні учні навчаються у фронтально-індивідуальному режимі, а на решті – в індивідуально-консультаційному. Вчитель вважає цю форму навчання найбільш оптимальною.

Четвертий режим – фронтально-додаткове навчання. У цьому режимі будуть навчатися ті, хто не досягає одночасно з усіма учнями мінімально-обов’язкової навченості на першому і другому рівнях. Він передбачає повторне опрацювання матеріалів I розділу – повне чи вибіркове; додаткове навчання розв’язування раніше вивчених алгоритмічних задач, які є складовими виучуваних; повторне виконання рівневих перевірочних робіт.

Критерії   та   оцінювання

Зупинимося на наукових критеріях навченості на кожному рівні. Виділяють три степені навченості на будь-якому рівні: мінімально-достатню, середню (неповну) і повну.

Якщо з набору завдань, який містить всі основні типи задач рівня, учень правильно розв’язує 70 % задач (наприклад, 7 з 10), він досяг мінімальної навченості. Вважають, що хоча при такому засвоєнні учень допускає ще багато помилок, однак має об’єктивну можливість їх виправити і самостійно знайти правильні варіанти розв’язування інших задач. Зауважимо, що інколи показник мінімальної навченості для вищих рівнів знижують і до 50 %.

Другої степені навченості – середньої (неповної) учень досягає, якщо правильно виконує 80 % завдань набору.

90 % правильно виконаних завдань розглядається як показник повної навченості.

Для оцінювання поступального руху в освоєнні математичних об’єктів використовуємо дванадцятибальну систему. Мінімально-достатній, неповній (середній) і повній навченості на першому рівні відповідають бали “1”, “2” і “3”.

 Другому рівню навчання відповідають бали “4”, “5” і “6”, третьому – “7”, “8”, “9”, а четвертому – “10”, “11” і “12”. Загальним показником результатів навчання, їх оцінкою є не сума більша за кожний рівень, а бал, який одержав учень за найвищий рівень, на якому навчався.

Оцінки в межах “3” – “1” показують, що учень уміє застосовувати поняття для виконання основних дій з математичними об’єктами в ситуаціях, що відповідають умовам означень, теорем, а також зводити розв’язання основних задач до раніше вивчених. При цьому він може виконувати всі основні дії з виучуваними математичними об’єктами в повному обсязі і безпомилково (бал “3”), може інколи допускати помилки (бал “2”) або навіть не володіти деякими діями (бал “1”).

Оцінки в межах “6” – “4” є показниками того, що учень уміє застосовувати в стандартних ситуаціях як виучуване поняття, так і зв’язані з ним, тобто в цілому сформована система знань, якою він уміє оперувати в ситуаціях алгоритмічного типу. При цьому систему знань він може застосовувати практично безпомилково (бал “6”), допускати інколи помилки (бал “5”). При балі “4” частота таких помилок значно більша.

Оцінки в межах “9” – “7” свідчать, що учень уміє оперувати поняттям – системою знань – як у стандартних ситуаціях, так і застосовувати знання для аналізу нескладних змінених ситуацій, конструювати способи розв’язування задач. Бал “9” говорить про готовність учня розв’язувати будь-які нескладні задачі на застосування виучуваного поняття. Бал “8” – про те, що він може це робити в більшості випадків, а бал “7” – що аналітичні вміння сформовані в мінімальній степені.

Оцінки в межах “12” – “9” інформують про вміння учня застосовувати виучуване поняття в системі з раніше виучуваними в ситуаціях суттєво змінених, ускладнених порівняно з основними, в яких відбувалося питання формування поняття. Діапазон виходу за межі основного навчання може бути різним: максимальним (12 балів), середнім (11 балів) і мінімальним (10 балів).

Я сподівається, що розповідь про деякі особливості математичних об’єктів, рівні їх засвоєння, рівневу навчальну діяльність та оцінювання її результатів допоможуть виробити власну стратегію і тактику навчання і досягти максимальних результатів у вивченні запропонованого матеріалу.


Н А В Ч А Л Ь Н І   М А Т Е Р І А Л И

ОЗНАЧЕННЯ,  ОБЛАСТЬ   ВИЗНАЧЕННЯ,  МНОЖИНА   ЗНАЧЕНЬ   ФУНКЦІЇ

О С Н О В Н Е      Н А В Ч А Н Н Я

Розділ I

 В алгебрі буквені позначення чисел x, y, z, t, …,  а також вирази, що їх містять, називаються змінними, якщо вони можуть набувати різних числових значень.

Якщо значення, яких набуває одна із змінних, залежить від значень, яких набуває інша змінна, то першу змінну називають залежною, а другу – незалежною

  1.  Перевірити, чи правильно заповнена таблиця значень залежної змінної (другий рядок):

а)

– 4

– 3

– 2

– 1

0

1

2

3

4

– 12

– 9

– 6

– 3

0

3

6

9

12

б)

x

– 4

– 3

– 2

– 1

0

1

2

3

4

16

9

4

1

0

1

4

9

16

в)

x

– 4

– 3

– 2

– 1

0

1

2

3

4

– 6

– 5

– 4

– 3

– 2

– 1

0

1

2

г)

x

– 4

– 3

– 2

– 1

0

1

2

3

4

4

3

2

1

0

1

2

3

4

  1.  Заповнити таблицю значень залежної змінної:

а)

x

– 4

– 3

– 2

– 1

0

1

2

3

4

б)

x

– 4

– 3

– 2

– 1

0

1

2

3

4

в)

– 4

– 3

– 2

– 1

0

1

2

3

4

г)

– 4

– 3

– 2

– 1

0

1

2

3

4

  1.  Обчислити значення залежної змінної:

1) , якщо залежна змінна t дорівнює 0; – 10;

2) , якщо незалежна змінна x набуває значень – 2; 4;

3) , якщо незалежна змінна y дорівнює – 3; 0;

4)  , якщо z дорівнює 3; – 4.

 Якщо кожному значенню незалежної змінної x з множини D відповідає значення змінної y (причому одне і тільки одне), то змінну y називають функцією від незалежної змінної x (аргументу) на множині D.

Змінна  y  задана як функція від змінної  x  ( y = f (x)), якщо:

1) визначена множина значень, яких може набувати змінна x (область визначення функції (D));

2) встановлене правило (спосіб, закон), за яким можна для кожного допустимого значення змінної x знайти відповідне єдине значення    змінної  y .

Усі значення, яких набуває змінна  y , утворюють множину значень функції.

  1.  Функція    задана таблицею:

x

– 10

– 5

– 1

0

1

5

10

y

100

25

1

0

1

25

100

Які з тверджень є правильними ?

1) Область визначення функції  y  є множина –10; –5; –1; 0; 1; 5; 10.

2) Область визначення функції складається з семи чисел.

3) Множиною значень функції є 0; 1; 25; 100 .

4) Множина значень функції складається з чотирьох чисел.

5) Найменше число в області визначення функції – число –10.

6) Найбільше число в множині значень функції – число 10.

7) При значенні аргументу –5 функція набуває значення, що дорівнює 25.

8) Значення 100 функція набуває при значеннях аргументу, що дорівнюють –5 і 5.

9) .

10)  f (10) = 100  і   f (–10) = 100.

  1.  Функція  y = f (x)  задана таблицею:

x

– 4

– 3

– 1

0

1

3

4

y

9

7

3

0

3

7

9

Доповнити записи до правильних тверджень, вибравши одне з доповнень а) – б).

  1.  Область визначення функції є множина …

а) 0; 3; 7; 9; б) –4; –3; –1; 0; 1; 3; 4.

  1.  Множиною значень функції є …

а) –4; –3; –1; 0; 1; 3; 4;  б) 0; 3; 7; 9.

  1.  Найменше значення аргументу …

а) – 4;  б) 0.

4) При значенні аргументу –1 функція набуває значення …

а)– 3; б) 3.

  1.   Функція y = f (x)  задана таблицею (верхній рядок – значення незалежної змінної   x, нижній рядок – відповідні значення змінної y).

а)

X

1

2

4

5

Y

2

3

5

6

б)

x

– 10

– 8

– 6

– 4

– 2

y

10

8

6

4

2

в)

x

– 20

– 10

10

20

y

20

10

– 10

– 20

г)

x

1

2

3

4

5

y

0

0

0

0

0

Вказати:

1) область визначення функції;

2) множину значень функції.

Записати пари відповідних значень змінних у вигляді рівності   y = f (x) , де  xзначення змінної  x , y – відповідне значення функції y. 

  1.  З наведених тверджень вибрати правильні:

1) якщо y = f (x), то  x незалежна змінна (аргумент), а  y – залежна змінна (функція).

2) якщо s = (t), то  t аргумент,  s – функція;

3) якщо m = (v), то m – незалежна змінна, а  v – функція від неї;

4) якщо  y = (x), то x незалежна змінна, а y функція від неї;

5) якщо  s = f ( x), то  s  – аргумент,  x –  функція;

6) якщо  y = f (t), то  t  – аргумент,  y  – функція.

  1.  Доповнити записи до правильних тверджень:

1) якщо  y = f ( x ), то … – незалежна змінна, а … – залежна змінна;

2) якщо  y = ( x ), то  x    ,   y  –  …;

3) якщо  s = f ( a) , … – аргумент,  … – функція;

4) якщо  s  = ( t ) , то  t  – … ,  а  s … ;

5) якщо  y = ( x ), то  … –  незалежна змінна, а … – функція;

6) якщо m = ( v ) , то  … – аргумент, а  … – залежна змінна.

  1.  Яке з позначень а) – б) є символічним записом словесного твердження   1) – 6) ?

1) При значенні аргумента 3 значення функція y = f (x) набуває значення, що дорівнює 5.

а)  f  (3) = 5 ;     б)  f (5) = 3.

2) Для функції  y = f ( x )  аргументу 2 відповідає значення функції   –8.

а)  f (–8 ) = 2;      б)   f (2) = –8.

3) При значеннях аргументу –3 і 3 функція  y = f ( x)  набуває значення, що дорівнює 9.

а)  f (9) = 3  і   f ( 9 ) = –3; б)  f ( –3  ) = 9  і   f ( 3 ) = 9.

4) Значенню функції y = ( x ) , яке дорівнює 20 , відповідає значення незалежної змінної 2.

а)   ( 2 ) = 20 ;  б)   ( 20 ) = 2.

5) значення 16 функція  y = ( x ) набуває при значеннях аргументу –4 і 4.

а)   (4) = 16  і   (–4 )=16;   і   б)  (16) = 4   і    (16) = –4.

6) При значеннях аргументу 2 і 5 значення функції y = f ( x) дорівнюють 0.

а)  f ( 0 ) = 2   і    f ( 0 ) = 5;       б)  f ( 2 ) =0   і    f ( 5 ) = 0.

  1.  Записати символічно словесні твердження:

1) якщо значення аргументу –2, значення функції y=f (x) дорівнює 10;

2) коли значення аргументу 5, значення функції y=f (x) дорівнює 0;

3) якщо значення незалежної змінної x  дорівнює 6, то відповідне значення функції  y =  ( x )  дорівнює 12;

4) значення –20 функція y=f (x)  набуває при значенні аргументу 1;

5) при значеннях аргументу –6 і 6 функція y=f (x) набуває значення 36;

6) значення 100 функція y=f (x) набуває при значеннях аргументу –10 і 10.

  1.  Доповнити записи до правильних тверджень:

1) Змінна y є функцією від змінної x на деякій області, якщо кожному значенню змінної … з цієї області відповідає одне і … значення змінної … При цьому одне й те саме значення змінна … може набувати при різних значеннях змінної … .

2) Змінна s є функцією від змінної t на деякій області, якщо кожному значенню змінної … з цієї області поставлено у відповідність певним способом … значення змінної …

3) Змінна x є функцією від змінної … на деякій області, якщо кожному значенню змінної y з цієї області відповідає … значення змінної … . Змінна … може набувати одне й те саме значення при різних значеннях змінної … .

4) Змінна y є функцією від змінної x, якщо кожному дійсному числу з деякої множини, яке є значенням змінної … , відповідає одне  і … число, яке є значенням змінної …

Функція y від змінної x задана формулою, якщо вона записана у вигляді рівності, лівою частиною якої є її скорочене позначення (y  чи f(x)), а у правій частині вона подана (виражена) як алгебраїчний вираз зі змінною x (тобто, як запис, що містить змінну x і числа, сполучені знаками математичних дій).

  1.  В яких записах змінна y задана формулою як функція від змінної x ?

1) y > x + 5;  2) y = x + 5;    3) x = y + 5;

4) x + y = y + x;  5) y = x2 + x – 3;   6) xy + 5 = y.

  1.  З наведених тверджень вибрати правильні:

1) Якщо y = 2x + 3, то x – незалежна змінна, а 2x + 3 – функція від x.

2) Якщо s = 2t + 3, то s –незалежна змінна, а 2t + 3 – функція від неї.

3) Якщо y = 3x, то x – незалежна змінна, а 3x – залежна від неї змінна.

4) Якщо y = x2 + 4 , то y – незалежна змінна, а x2 + 4 – функція.

5) Якщо y = 5(x + 3) , то x – незалежна змінна, а  x + 3 – функція від неї.

6) Якщо u = 5t23 , то t – незалежна змінна, а 5t23 – функція від t.

  1.  Функція задана формулою y = 5x + 1. Які з тверджень є правильними, а які – неправильними ?

1) x – незалежна змінна;

2) y – аргумент;

3) 5x + 1 – функція;

4) 5x + 1 – незалежна змінна;

5) y – функція;

6) y і 5x + 1 – різні позначені функції.

  1.  Функція задана формулою y = x215. Доповнити записи до правильних тверджень:

1) … – незалежна змінна;

2) y – … або … ;

3) … і … – два позначення функції;

4) … – аргумент.

  1.  З наведених тверджень вибрати правильні:  

Щоб знайти при заданому значенні аргументу значення функції …

1) y = x + 3, треба виконати одну дію: додавання;

2) y = 5x + 3, треба виконати дві дії в порядку: множення, додавання;

3) y = x2 + 3, треба виконати одну дію: додавання;

4) y = , треба виконати дві дії в порядку: ділення, додавання;

5) y = x2 + 4x, треба виконати три дії в порядку: піднесення до квадрата, множення, додавання;

6) y = , треба виконати чотири дії в порядку: піднесення до квадрата, множення, додавання, ділення.

  1.  Для даних функцій вказати кількість дій і записати їх назви в порядку виконання (якщо дій кілька):

1) y = 5x;  2) y = ;  3) y = ; 4) y = 5x2;  

5) y = x (x + 5); 6) y = x2 – 5x; 7) y = x2 + 5x +5; 8) y = x2 + .

  1.  Записати приклад формули функції, значення якої обчислюється виконанням:

1) однієї дії – множення;

2) однієї дії – додавання;

3) однієї дії – ділення;

4) двох дій у порядку – множення, додавання;

5) двох дій у порядку – додавання, множення;

6) трьох дій у порядку – піднесення до степеня, додавання, ділення.

  1.  Яка з формул а) – г) відповідає словесному заданню функції 1) – 4) ?

Кожному значенню змінної x ставиться у відповідність значення змінної y, яке є:

  1.  числом, оберненим до значення змінної x.

а) y = x;  б) y =  ;  в) y = – x;  г) x = y;  

  1.  сумою значення змінної x і числа 6.

а) y = x – 6;  б) y = 6x;  в) x = y + 6;  г) y = x + 6;

  1.  добутком значення змінної x і числа 5.

а) y = 5x;  б) x = 5y;  в) y = 5 + x;  г) y = ;

  1.  часткою від ділення змінної x і числа 8.

а) y =  ;  б) y = 8x;  в) x =  ;  г) y = .

  1.  Задану словесну відмінність між змінною y  і змінною x  записати за допомогою формули. Пояснити, чому зміна y є функцією від змінної x.

Кожному значенню змінної x відповідає значення змінної y, яке є:

1) числом, протилежним значенню змінної x ;

2) подвоєним значенням змінної x ;

3) квадратом значення змінної x ;

4) сумою значення змінної x і числа 5 ;   

5) добутком значення змінної x і числа 20;

6) часткою від ділення числа 10 на значення змінної x .

Якщо функція задана формулою, в якій права частина є цілим раціональним виразом (тобто виразом, у якій можуть входити чотири арифметичні дії і піднесення до степеня, але який не містить ділення на зміну чи вираз зі змінною), то функцію називають цілою раціональною.  

Якщо функція задана формулою, в якій права частина є дробовим раціональним виразом (містить ділення на змінну  або на вираз зі змінною ), то функцію називають дробовою раціональною.

  1.  В яких із формул змінна y виражена через змінну x за допомогою цілого раціонального виразу, а в яких – за допомогою дробового раціонального виразу:

1) y = x + 4;  2) y = ;  3) y = ; 

4) y = x2  + ; 5) y = x3  –  ; 6) y = x2  3x + 1?

  1.  Записати три функції, в яких змінна y виражена через змінну x за допомогою:

1) цілого раціонального виразу;

2) дробового раціонального виразу.

Алгоритм знаходження значення функції, заданої формулою, за даним значенням аргументу

  1.  Замість незалежної змінної (аргументу) підставити у формулу дане її значення.
  2.  Обчислити значення одержаного числового виразу в порядку, заданому формулою

Одержане число – шукане значення функції.

23. Функція задана формулою y = 5x–3. Які з тверджень є правильними?

  1.  Щоб обчислити значення функції y = 5x–3 у точці x0 = –1, треба у вираз  5x – 3 підставити замість x число –1 і знайти значення виразу .
  2.  .
  3.  .
  4.  Значенню незалежної змінної 0 відповідає значення залежної змінної 2.
  5.  Значенню аргументу 10 відповідає значення функції 47.
  6.  Числу 4 (значенню змінної x) відповідає число 17 (значення функції y).

24. функція задана формулою y=x2+5. Знайти значення функції, яке відповідає значенню аргументу:

1) –1;  2) 1; 3) 0;  4) 3; 5) 4;  6) 10.

25. Функція задана формулою s=3t+4. Знайти значення функції, яке відповідає значенню аргументу:

1) –2; 2) -1;  3) 0;  4) 1; 5) 2;   6) 3.

26. Функція задана формулою f(x)=x2   +4. Обчислити:

1) ; 2) ;  3) ;  4) f(–1); 5) ; 6) .

27. Функція задана формулою. Обчислити:

1) ; 2) ;  3) ;  4) ; 5) ;  6) .

28. Функція задана формулою y=3x+2 на множині [0;5]. Чи входять в область визначення функції числа:

1) –2;  2) 0;  3)  ;   4) 5;  5) 6;  6) 3 ?

Для чисел, які належать області визначення, знайти відповідні їм значення функції.

29. Дано функцію y=–2x+3 з областю визначення D(y)=(0;+). Чи входять в область визначення функції числа:

1) –2;  2) 0;  3) 1;   4) –1;   5) 2;  6) ?

Для чисел, які належать області визначення, знайти відповідні їм значення функції.

30. Дано функцію y=4x+3, яка визначена на множині натуральних чисел. Чи входять в область визначення функції числа:

1)  -3;  2) 3; 3) 3;   4) ;  5) 0;   6) 100 ?

Для чисел, які належать області визначення, знайти відповідні їм значення функції.

31. Функція y = 2x + 5 задана на множині D = {0; 1; 2; 3; 4}. Знайти множину значень функції.

Функція може бути задана кількома формулами, записаними для різних проміжків області визначення. Наприклад: y = x, якщо x  0 і y = – x, якщо x < 0, або скорочено

  1.  Функція y = f  (x) задана формулами:

Які із записів є правильними:

1) f (5) = 5;   2) f (–13) = 13;

3) f (10) = – 10;   4) f (–12) = – 12;

5) f (0) = 0;   6) f (–20) = –20; 7) f (–20) = – 20 ?

33. Функція задана формулами

Обчислити:

1) f (3);  2) f (–3);  3) f (10); 4) f (–10);

5) f (0);  6) f (–1);  7) f (–0,5); 8) f (0,5).

 Якщо функція задана формулою і область визначення не вказана, то вважають, що її область визначення складається з усіх значень незалежної змінної, при яких формула має зміст. (Таку область визначення називають природною).

Знайти область визначення функції, заданої формулою, означає знайти природну область визначення.

34. Які з тверджень правильні ?

  1.  Формула y = 2x + 3 має зміст при всіх значеннях змінної  x.
  2.  Природною областю визначення функції y = 5x – 3 є множина всіх дійсних чисел.
  3.  Формула y = має зміст при всіх дійсних числах.
  4.  Природною областю визначення функції y = є множина всіх дійсних чисел.
  5.  В область визначення функції y = не входить число 2.
  6.  Формула y = має зміст при всіх значеннях змінної x, крім x = 0.

35. Які числа не входять в область визначення функції:

1) y = ;    2) y = ;

3) y = ;   4) y = ;

5) y = ;  6) y = ;

7) y = ;  8) y = ?

 Якщо функція задана формулою через цілий вираз, то областю визначення (природною) є множина всіх дійсних чисел.

Щоб знайти область визначення функції, заданої формулою через дробовий раціональний вираз, треба:

  1.  Прирівняти  до  нуля  вираз із змінною, який є знаменником дробу.
  2.  Розв’язати одержане рівняння.
  3.  Виключити з множини дійсних чисел корені рівняння.

Одержана множина є шуканою областю визначення функції.

  1.   В якій функції область визначення є множина всіх дійсних чисел:

1) y = 4x + 11;  2) y =  ;

3) y = ;  4) y = x2 + 4x ;

5) y = ;  6) y = x7 + 6x5 + 3 ?

37. Знайти область визначення функції:

1) y = ;   2) y = ;

3) y = ;  4) y = ;

5) y = ;  6) y = .

38. Знайти область визначення функції:

1) y = 4x ;  2) y = x24x + 3 ; 3) y = x ;

4) y = ;  5) y = ;  6) y = ;

7) y = ; 8) y = .

39. Записати три функції, областю визначення яких є:

  1.  множина всіх дійсних чисел;
  2.  множина всіх дійсних чисел, крім 0;
  3.  множина всіх дійсних чисел, крім числа 3;
  4.  множина всіх дійсних чисел, крім числа –1;
  5.  множина всіх дійсних чисел, крім чисел 0 і 1;
  6.  множина всіх дійсних чисел, крім 0 і –4.

Алгоритм знаходження значення аргументу для даного

значення функції, заданої формулою

  1.  Скласти рівняння, в якого одна частина функція, виражна через аргумент, а друга – значення функції.
  2.  Розв’язати одержане рівняння.

Корені рівняння – шукані значення аргументу.

40. Які з тверджень правильні:

  1.  Щоб знайти значення аргументу, при якому функція y = 3x + 5 дорівнює 14, треба скласти рівняння 3x + 5 = 14 і розв’язати його.
  2.  Щоб знайти значення аргументу, при якому функція y = x2 + 4 набуває значення 5, треба підставити у вираз x2 + 4 число 5 і обчислити значення одержаного числового виразу.
  3.  Значення аргументу, при якому функція y = 4x – 3 набуває значення 13, є таке x0, для якого виконується рівність 4x03 = 13.
  4.  Функція y = 8x набуває значення, що дорівнює 16, при значенні аргументу 2.
  5.  Функція y = набуває значення, що дорівнює 4, при значенні аргументу 3.
  6.  Якщо y = 3x + 5, то y0 = 14 при  x0 = 3 ?

41. При якому значенні аргументу функція y = 4x набуває значення, що дорівнює:

1) 8;  2) 32; 3) –40;  4) 10; 5) 0;  6) –100 ?

42. При якому значенні аргументу функція S = 5t + 2 набуває значення, що дорівнює:

1) 7; 2) 17; 3) –8;  4) 2; 5) 52; 6)–48 ?

  1.  Знайти значення аргументу, при якому функція набуває значення, що дорівнює 10:

1) y = 3x + 1;  2) y = –4x  7;  3) y =  ; 4) y =  .

Нулями функції називають значення аргументу, при яких значення функції дорівнює 0.

Алгоритм знаходження нулів функції, заданої формулою y = f(x)

  1.  Записати рівняння, ліва частина якого – функція, виражена через змінну x, а права частина – число 0 (f (x) = 0).
  2.  Розв’язати рівняння.

Одержані корені рівняння – шукані нулі функції.

Якщо рівняння не має коренів, то функція не має нулів.

44. Записати рівняння для знаходження нулів функції:

1) y = 5x;  2) y = 5x – 3 ; 3) y = ;

4) y = x24 ; 5) y = x2 + 4 ;  6) y = .

45. Знайти нулі функції:

1) y = 4x;  2) y = 4x + 1;   3) y = –4x + 1;  4) y =  

46. Довести, що функція не має нулів:

1) y = x2 + 2;  2) y = 2x2 + 10;

3) y = –x2 – 2;  4) y = –2x2 – 4.

Якщо функція задана формулою y = f (x), то її множину значень  складають  усі дійсні  числа a, при яких рівняння f (x) = a має розв’язки.

Якщо функція задана формулою y = f (x) і рівняння  f (x) = a не має розв’язків, то число a не належить множині значень функції.

Якщо функція задана формулою y = f (x) і рівняння f (x) = a  при будь–якому дійсному a має розв’язки, то множиною значень функції y = f (x) є множина всіх дійсних чисел, тобто проміжок ().

47. Доповнити записи доведення до правильних тверджень.

  1.  Довести, що множиною значень функції y = 5x є множина всіх дійсних чисел.

Доведення

Рівняння 5x = a при будь–якому a має розв’язок: x = … .

Отже, множиною значень функції y = 5x є … .

  1.  Довести, що множиною значень функції, заданої формулою y = 3x + 5, є множина всіх дійсних чисел

Доведення

Рівняння 3x + 5 = a при будь–якому дійсному a має розв’язок 3x = … , x = … .

Отже, множиною значень функції y = 3x + 5 є … .

  1.  Довести, що число –3 не належить множині значень функції y = x2.

Доведення.

Рівняння x2 = –3 … , бо при будь–якому значенні x вираз x2  0. Отже, число –3 не входить у … .

  1.  Довести, що множиною значень функції y = x2 є множина невід’ємних дійсних чисел

Доведення.

Рівняння x2 = a має розв’язки, якщо a … . Якщо a < 0, то рівняння    x2 = a … .

Отже, множиною значень функції y = x2 є … .

48. Вказати функції, множиною значень яких є всі дійсні числа:

1) y = x;   2) y = 3x – 4;  3) y = x2 + 5;

4) y = x – 5;   5) y = ;  6) y = –x23.

49. Довести, що до множини значень функції не входять невід’ємні числа:

1) y = x2;  2) y = 4x;  3) y = x2 + 1; 4) y = 3x2 + 2.

Проміжками знакосталості функції називають найбільші проміжків області визначення, на яких функція набуває або тільки додатних значень, або тільки від’ємних.

50. Доповнити записи до правильних тверджень:

  1.  Функція y = x3  набуває додатних значень на проміжках (2; 5); (2; 10); (0; 1); (0; )  та інших, однак, проміжком знакосталості (додатних значень) функції є найбільший серед проміжків – … .
  2.   Функція y = x3 набуває від’ємних значень на проміжках (–1; 0); (–5; –2);(; –4); (; 0) та інших, однак, проміжком знакосталості (від’ємних значень) є найбільший серед проміжків – … .

Алгоритм знаходження проміжків додатних (від’ємних) значень функції, заданої формулою (y = f(x))

  1.  Скласти нерівність зі знаком  > (<), ліва частина якої – функція, виражена через незалежну змінну x, а права частина – число 0: f(x) > 0 (f(x) < 0).

2. Розв’язати нерівність.

Множина розв’язків нерівності є шуканим проміжком

додатних (від’ємних) значень функції.

Якщо нерівність не має розв’язків, то функція набуває додатних (від’ємних) значень.

51. Знайти проміжки області визначення, на яких функція набуває додатних значень:

1) y = 3x;   2) y = – 2x;  3) y =2x – 5;  4) y = –3x + 2.

52. Знайти значення незалежної змінної x, при яких функція набуває від’ємних значень:

1) y = 3x;  2) y = –2x; 3) y = 2x – 5;   4) y = –3x + 4.

Алгоритм знаходження значень незалежної змінної, при яких функції, задані формулами y = f (x)  і   y = (x), набувають однакових значень

  1.  Записати рівняння, лівою і правою частинами якого є дані функції, виражені через незалежну змінну: f (x) = (x).
  2.  Розв’язати рівняння.

Розв’язки рівняння є шуканими значеннями незалежної змінної.

53. Скласти рівняння для знаходження значень аргументів, при яких функції y = f(x) і  y = (x) набувають однакових значень:

  1.  f(x) = 3x – 2  і  (x)= x + 2;
  2.  f(x) = x24x + 3  і (x) = x + 1;
  3.  f(x) = x2 + 2x  і (x) = x3 ;
  4.  f(x) =   і  (x) = x + 4

54. Знайти значення змінної x при яких функції y = f(x) і y = (x) набувають однакових значень:

  1.  f(x) = 4x  і   (x) = x + 3 ;
  2.  f(x) = 5x – 2  і  (x) = 3x – 8 ;
  3.  f(x) = x + 4  і  (x) = 5x – 8 ;
  4.  f(x) = 7x – 2  і  (x) = x + 22 .

Алгоритм знаходження значень незалежної змінної, при яких одна з функцій  (y = f(x)) набуває значень, більших (менших) від значень другої функції  (y = (x)).

  1.  Записати нерівність зі знаком  > (<), у якій лівою частиною є перша функція, а правою – друга функція, виражені через змінну  x: f(x) > (x ) ( f(x) < (x) ).
  2.  Розв’язати нерівність.

Множина розв’язків нерівності є шуканою множиною значень аргументу.

55. Скласти нерівність для знаходження значень змінної x, при яких функція y = f(x) набуває значень, більших за відповідні значення функції y = (x):

  1.  f(x) = x24x + 3  і (x) = x + 3;
  2.  f(x) = x3 + x2 3 і (x) = x32x;
  3.  (x) = x3 + 2x  і f(x) = x4 + x3 + 2x;

4)(x) =   і  f(x) = x.

56. Скласти нерівність для знаходження значень змінної x, при яких функція  y = f(x) набуває значень, менших за відповідні значення функції y = (x):

  1.  f(x) =  і  (x) = x;
  2.  f(x) = –   і  (x)= –x;
  3.  (x) = x3  і  f(x) = x2;
  4.  (x) = x2 + 1  і  f(x) = x4 + 1.

57. Знайти значення змінної x, при яких функція  y = f(x) набуває значень, більших за відповідні значення функції y = (x):       

  1.  f(x) = 2x – 5  і  (x) = x – 2;
  2.  f(x) = 4x – 3   і   (x) = x;
  3.  f(x) = 2x + 1   і   (x) = x – 5;
  4.  f(x) = 2x + 7   і   (x) = 3x – 2.

58. Знайти значення змінної x, при яких функція  y = f(x)  набуває значень, менших за відповідні значення функції  y = (x): 

1) f(x) = x + 4  і  (x) = 2x;

2) f(x) = –4x – 3  і  (x) = x + 2;

3) f(x) = 2x + 3   і   (x) = –x;

4) f(x) = 7x – 2   і   (x) = x + 14.

Додатковий матеріал

 Дві функції задані однією і тією самою формулою, але на різних областях визначення, різні.

Дві функції називаються рівними, якщо в них однакові області визначення і при однакових значеннях аргументу вони набувають рівних значень.

Функції, задані формулами, є рівними, якщо в них однакові області визначення і вони виражені тотожно рівними виразами.

Алгоритм розпізнавання рівних функцій, заданих формулами

  1.  Встановити, що області визначення функцій однакові.
  2.  Показати, що вираз, яким представлена одна з функцій, тотожно дорівнює виразу, яким представлена інша функція.
  3.  Доповнити записи доведення до правильних тверджень.
  4.  Задано функції  f(x) = x(x + 1)  і  (x) = x2 + x.

Доведемо, що функції  f(x) і  (x)  рівні.

  1.  D(f) = … ,  D() = … .
  2.  x(x+1) = … .

Отже,  f(x)  і  (x) … .

  1.  Задано функції  f(x) = x(x + 1)x2 і  (x) =  x.

Доведемо, що  f(x) = (x).

  1.  1. D (f) = … ,   D () = …  .
  2.  x(x + 1) – x2 = = .

Отже,  f(x) = … .

3) Задано функції  f(x) = x  і  (x) = . Довести, що функції не рівні.

D (f) = … ,   D () = …  .

Оскільки області визначення функції … , то функції … .

4) Функції f(x) = x  і  (x) =  задані на області визначення  (–; 0)  (0; +). Доведемо їх рівність.

  1.  За умови D (f) = D () = (–; 0)  (0; +).
  2.  Оскільки x 0, то  = … .

Оскільки, функції  f(x) і  (x)  – … на області визначення … .

  1.  Встановити, чи є рівними функції  y = f(x) і  y = (x) :

1) f(x) = 3x + 4, D (f) = (–; 0) ;   (x) = 3x + 4, D(x) = (0; +);

2) f(x) = , D(f) = (1;5);    (x) = , D() = [0;4].

3) f(x) = x(x + 2),  D(f) = [0;4];    (x) = x2 + 2x,  D() = [0;4];

4) f(x) = 5(x–2) + 10,  D(f) = [0;4];    (x) = 5x, D() = (0;4).

5) f(x) =  ;    (x) = x ;

6) f(x) =  ;    (x) = x,  D() = (–; 0)  (0; +).

  1.  Довести, що функції  y = f(x) і  y = (x) рівні:

1) f(x) = x(x – 4) + 4x   і  (x) = x2;

2) f(x) = – 5(x–3) – 15    і   (x) = –5x;

3) f(x) = x(x–3) – x2   і   (x) = – 3x;

4) f(x) = 2x,    (x) = –x2 + x(x + 2).

  1.  Контрольні запитання.
  2.  В якому випадку змінну y називають функцією від змінної x ?
  3.  Як називається множина значень, яких набуває незалежна змінна (аргумент), залежна змінна (функція) ?
  4.  Чи є залежність змінної y  від змінної  x  функцією, якщо  y(2)=10  і   y(2) = 20? Відповідь пояснити.
  5.  Як знайти значення функції, заданої формулою, при даному значенні аргументу ?
  6.  Як зайти значення аргументу функції, заданої формулою, при даному значенні функції ?
  7.  Що є областю визначення (природною) функції, яка задана формулою через цілий раціональний вираз ?
  8.  Як знайти область визначення (природну) функції, яка задана формулою через дробовий раціональний вираз ?
  9.  При якій умові множину значень функції, яка задана формулою y = f(x), складають усі дійсні числа ?
  10.  При якій умові дійсне число a не входить до множини значень функції, заданої формулою  y = f(x) ?
  11.  Які числа називаються нулями функції ?
  12.  Як знайти нулі функції ?
  13.  Які проміжки області визначення функції називають проміжками знакосталості?
  14.  Як знайти проміжки, на яких функція набуває додатніх значень; від'ємних значень ?
  15.  В якому випадку функції, задані формулами через різні вирази, є рівними ?
  16.  Як знайти значення аргументу, при яких функції, задані формулами, набувають однакових значень ?
  17.   Як знайти значення аргументу, при яких одна з функцій, заданих формулами, набуває значень, більших від значень іншої ?


Розділ II

  1.  Дано функцію:
  2.  y = 5x – 2. Знайти значення змінної y, якщо змінна x дорівнює  –2; 1;  3.
  3.  f(x) = x2 –  4. Знайти  f(–1);  f(1);  f(10).
  4.  y =  . Знайти значення функції  y , яке відповідає значенню незалежної змінної: –10; 2; 5.
  5.  y = . Знайти значення функції, яке відповідає значенню аргументу: –2; 4, 8.
  6.  Дано функції.:
  7.  y = 6x . Знайти значення змінної  x , якщо значення змінної y дорівнює  –24.
  8.  y = –10x . Знайти значення  x , якщо  y = 50.  
  9.  f(x) = 5x – 4 . Знайти  x , якщо   f(x) = 44 .    
  10.  y = –2x + 1. Знайти значення аргументу  x , що відповідає значенню функції –33.
  11.  Дано функцію:
  12.  y = 2x + 4 . Знайти значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 0.
  13.  f (x ) = –x + 5x . Знайти значення x  при якому  f(x) = 0 .
  14.  f(x) = 2x + 3 . Знайти нулі функції.
  15.  y = – 4x –1 . Знайти значення аргументу, при якому функція набуває значення, що дорівнює 0.
  16.  Знайти область визначення функції, заданої формулою:

1)  y = ; 2) y = ;  

3) y = ;   4) y = .

67. Довести, що додатним значенням аргументу відповідають додатні значення функції:

1) y = 5x ;  2) y = ;   3) y = ax,  де  a>0 ;   4) y = ,  a > 0.

68. Довести, що від’ємним значенням аргументу відповідають від’ємні значення функції:

1) y = 7x ;  2) y = ;  3) y = ax ,  де  a>0;   4) y = , де  a>0.

69. Довести, що від’ємним значенням аргументу відповідають додатні значення функції:

1) y = – 6x ; 2) y = ;

3) y = ax ,  де a < 0;   4) y = , де  a < 0 .

70. Довести, що додатним значенням аргументу відповідають від’ємні значення функції:

1) y = – 7x ;  2) y = ;

3) y = ax , де a < 0;    4) y = , де a <0 .

71. Довести, що будь–яке дійсне c належить множині значень функції:

1) y = 5x ;  2) y =  ;  

3) y = ax ,  де a 0;   4) y = , де a  0 .

72. Довести, що будь–яке від’ємне дійсне число c не належить множині значень функції:

1) y = x2 ;   2) y = 5x2 ;

3) y =  ;   4) y = ax2 ;  де  a > 0 .

73. Довести, що будь–яке додатне дійсне число c не належить множині значень функції:

1) y = – x2 ;   2) y = –5x2 ;

3) y = ;   4) y = ax2 ,  де  a < 0 .

74. Знайти обчисленням значення  x , при якому набувають однакових значень функції:

1) f(x) = 4x – 4     і      (x) = 11 ;

2) f(x) = 5x – 2      і     (x) = x – 18 .

75. 1) Знайти обчисленням значення змінної  x , при яких функція f(x) = 3x – 2  набуває значень, більших за відповідні значення функції  (x) = 7 .

2) Знайти обчисленням значення змінної  x , при яких функція f(x) = 4x + 5 набуває значень, менших за відповідні значення функції  (x) = x – 4 .

76. Задати формулою y як функцію від змінної  x, якщо кожному значенню змінної  x відповідає таке значення змінної  y, яке дорівнює:

  1.  значенню змінної  x;
  2.  числу, протилежному значенню змінної  x;
  3.  квадрату значення змінної  x;
  4.  добутку числа 5 і значення змінної  x;
  5.  числу, оберненому до значення змінної  x;
  6.  сумі числа 8 та добутку числа 5 і значення змінної  x.   

77. 1) У порожній бак починають наливати воду, щохвилини по 15 л. Задати формулою залежність об’єму води V в баку (у літрах) від часу заповнення  t  (у хвилинах).

2) З пункту A виїхав мотоцикліст, швидкість руху якого 50 км/год. Задати формулою залежність відстані s (у кілометрах), що проїхав мотоцикліст, від часу t
(у годинах).

3) Кожної години робітник виготовляв 3 деталі. Задати формулою залежність кількості деталей  n , що виготовив робітник, від часу  t  (у годинах).

4) Один зошит коштує 0,4 грн. Задати формулою залежність вартості зошитів  K  від їх кількості  n.


РОЗДІЛ ІІІ

78. Залежність між значеннями змінної  і відповідними значеннями змінної  виражається рівняннями:

1) ; 2) ;  3) ;

4) ;  5) ;  6) ;

7) ; 8) .

Задати формулою змінну  як функцію від змінної .

79. Задати формулою  змінну  як функцію від змінної , якщо кожному значенню змінної  поставлено у відповідність таке значення змінної , що:

  1.  їх добуток дорівнює 30;
  2.  їх сума дорівнює 10;
  3.  добуток значення змінної  і числа, оберненого до значення змінної , дорівнює 20;
  4.  сума числа 5 і добутку відповідних значень змінних  і  дорівнює 30;
  5.  сума квадрата значення змінної  і відповідного значення змінної  дорівнює 10.

80. 1) Дано функція f(x) = x22 . Знайти:

а) f(2) – f(1);

б) f(4) – f(0);.

в) f(–2) – f(1).

2) Дано функцію f(x) = –3x + 4. Довести, що  

а) f(2) + f(0) = 2 f(1) ;

б) f(3) + f(–2) = f(0) ;

в) f(a – 1) + f(a + 2) = 2 f(a) . 

  1.  Дано функцію  f(x) = x2 + x + a . Довести, що  f(a – 1) = a2 2a .
  2.  Дано функцію  f(x) =  .  Довести, що  f(a+1) = .

81. Дано функцію:

  1.    
  2.  
  3.  
  4.  

Знайти: а) f(–2);     б) f(10).

82. 1) Функція  y = 3x + 2 задана на відрізку [2;10]. Які з чисел 5; 14; 31 належать множині значень функції ?     

2) Функція  y = 4x + 3 задана на відрізку  [–2;20]. Довести, що функція не набуває значення, що дорівнює –19.

3) Функція  y = –3x + 5 задана на відрізку    [–5;1]. Довести, що функція не має нулів.

4) Функція  y = 3x + 2  задана на відрізку  [0;10]. Довести, що функція не набуває значення, що дорівнює 0.

83. 1) Дано функцію

Знайти значення аргументу, при яких функція набуває значення, що дорівнює 15.

2)  Дано функцію

Знайти  значення аргументу, при яких функція набуває значення, що дорівнює 10.

3) Дано функцію  

Довести, що до множини значень функції не входить число – 40.

4) Дано функцію

Довести, що до множини значень функції не входить число 12.

84. Знайти область визначення функції  y = f(x) і y = (x) та множину значень змінної  x, на якій функції рівні.

1) f(x) =     і     (x) = x ;

2) f(x) =      і     (x) = ;

3) f(x) =     і     (x) = x + 3 ;

4) f(x) =      і      (x) = x – 4 .


ПІДВИЩЕН
ИЙ РІВЕНЬ

Розділ   IV

85. Дано рівняння:

1) x + y = 5;  2) x + 2y = 3;    

3) 2x + y = 5;   4) 3x – y = 5.

Виразити змінну  x  через змінну  y . Пояснити, чому змінну x можна розглядати як функцію від змінної  y  з областю визначення  (–; +).

86. Дано рівняння:

1) xy = 10 ;   2) xy = –10.

Виразити змінну  x  через змінну  y . Пояснити, чому змінна x є функцією від змінної  y на області визначення  (–; 0) (0; +).

87. Дано функцію  f(x) = 5x . аргументу

1) більших на 7 від значень даної функції;

2) менших на 3 від значень даної функції.

Знайти  f(10)  і  (10)  та порівняти їх.

88. Дано функцію f(x) = 2x – 3. Записати формулу функції y = (x), якщо для будь–якого  x0  з області визначення цієї функції виконується рівність:

1) (x0) = 5 f(x0);   2) f(x0)  = 3 (x0).

89. Дано функцію:

1) f(x) = 4x ; 2) f(x) = –3x ; 3) f(x) = 4x – 1; 4) f(x) = –5x – 2 .

Записати формулу функції  y = (x), яка при тих самих значеннях аргументу набуває значень, протилежних значенням даної функції.

90. Дано функцію:

1) f(x) = –3x ;  2) f(x) = 2x + 1 ; 3) f(x) = 4x – 3 ; 4) f(x) = –5x – 2 .

Записати формулу функції  y = (x) , яка набуває однакових значень з функцією  y = f(x) , якщо значення аргументу – протилежні.

91. Дано функцію  f(x) = 5x + 1 . Записати формулу функції  y = (x) , яка набуває з даною однакових значень при значеннях аргументу, які менші від значень аргументу даної функції на :

1) 3;    2) 2.

92. Дано функцію f(x) = 5x + 1 . Записати формулу функції, яка набуває тих самих значень, що і дана функція, при значеннях аргументу, які більші від значень аргументу даної функції на:

1) 4;    2) 10.

93. Дано функцію  y = f(x) . Записати через  f(x)  функцію  (x), яка:

  1.  при однакових значеннях аргументу з даною функцією:

а) набуває значень, більших від її значень на  a ;

б) набуває значень, менших від її значень на  a ;

в) набуває з нею протилежних значень функції ;

  1.  набуває однакових з даною функцією значень:

а) при протилежних значеннях аргументів;

б) при значеннях аргументу, які на a менші від значення аргументу функції f(x ;

в) при значеннях аргументу, які на b більші від значень аргументу функції  f(x) .

94. Дано функцію:

1) f(x) = ;2) y = 2  ;  3) y =  – 4 ;  4) y = 3  – 5.

Представити дану функцію у вигляді двох виразів, що не містять знака модуля.

95. Дано функцію:

1) ;2) ; 3) ;4) .

96. Доповнити записи представлення функцій, заданих через модуль, у вигляді двох виразів:

1) y = ;   

2) y = ;

3) y =  ;   

4) y = ;

97. Записати функцію у вигляді двох виразів, що не містять знака модуля:

1) y = ;  2) y = f () .

98. Задати формулою за допомогою знака модуля функцію y = f(x) , яка при невід’ємних значеннях аргументу набуває значень:

1) що дорівнюють почетвереному значенню аргументу, а при від’ємних – значення функції, протилежні почетвереному значенню аргументу. Знайти f(–5) ;   f(5) .

2) протилежних значенню аргументу, а при від’ємних значеннях аргументу значення функції дорівнюють значенню аргументу. Знайти  f(–10)  і  f(10).

99. 1) Природна область визначення функції y = f(x) – проміжок
(0; ). Знайти область визначення функції   
y = f(–x) .

2) Природна область визначення функції  y = f(x)  – множина  
(– ; 2)   (2; ) . Знайти область визначення функції  
y = f(–x) .

100. 1) Природна область визначення функції  y = f(x)  – проміжок  (0; ). Знайти область визначення функції   y = – f(x) .

2) Природна область визначення функції  y = f(x)  – проміжок  (–; 0). Знайти область визначення функції   y = – f(x) .

101. 1) Природна область визначення функції  y = f(x)  – проміжок  (0; ). Знайти область визначення функції   y = .

2) Природна область визначення функції  y = f(x)  – проміжок  (–; 0). Знайти область визначення функції  y = .

102. Множиною значень функції  y = f(x) є проміжок  [1; 5]. Знайти множину значень функції:

1) y = – f(x) ;   2) y = f(x) + 2 ;

3) y = f(x) – 5 ;   4) y = 3 f(x) .

103. Знайти множину значень функції  y =  , якщо множиною значень функції y = f(x)  є проміжок:

1) [1; 105] ;  2) [–10; –2] ;  3) [–4; 1] ; 4) [– 4; 7] .

104. 1) Знайти множину значень функції  y = f () , якщо множиною значень функції  y = f(x) :

а) для додатних значень аргументу є проміжок (1; 5), а для від’ємних значень аргументу – (6; 10).

б) для додатних значень аргументу є проміжок (–10; –1), а для від’ємних – (1; 10).

2) Знайти множину значень функції  y = h () , якщо множиною значень функції  y = h (x) для додатних значень аргументу є проміжок
[–3; 10], а для від’ємних – відрізок [1; 12].

105. Знайти множину значень функції  y = , якщо множиною значень функції y = f(x) :

  1.  для додатних значень аргументу є відрізок  [3; 10], а для від’ємних – [–4; –1].
  2.   для додатних значень аргументу є проміжок [–3; 10], а для від’ємних – [15; 20]. 


РІВНЕВІ   ПЕРЕВІРОЧНІ    РОБОТИ

1-й рівень

Кількість завдань

9-10

8

7

Бал

3

2

1

  1.  Змінна  є функцією від змінної  на множині , якщо …

а) кожному значенню змінної  відповідає деяке значення змінної ;

б) кожному значенню змінної  з множини  відповідають значення змінної ;

в) деяким значенням змінної  з множини  відповідають значення змінної ;

г) кожному значенню змінної  з множини  відповідає одне і тільки одне значення змінної .

  1.  Множину значень функції утворюють …

а) усі значення незалежної змінної;

б)  усі значення аргументу;

в) усі значення залежної змінної.

  1.  Функцію  задана  таблицею:

-10

-5

-1

1

5

10

20

10

2

2

10

20

Які з тверджень є правильними:

  1.  при значенні вргументу –5 функція набуває значення 10;
  2.  значення 20 функція набуває при значенні аргументу –10 і 10;
  3.  ;
  4.  ?
  5.  Записати приклад формули функції, значення якої обчислюються виконанням двох дій у порядку: множення, віднімання.
  6.  Щоб знайти значення функції  при значенні аргументу 10, треба …:
  7.  обчислити значення числового виразу ;
  8.  розв’язати рівняння .
  9.  Щоб знайти значення аргументу, при якому функція  нгабуває значення, що дорівнює –15, треба …:
  10.  обчислити значення числового виразу ;
  11.  розв’язати рівняння .
  12.  Число 10 не належить області визначення функції …:

а) ; б) ;  в) ;  г) .

  1.  Число –3 не входить до множини значень функції… :

а)  ; б) ; в) ;  г) .

  1.  Які твердження є правильними:
  2.  нулем функції називають значення функції при значенні аргументу, що дорівнює 0;
  3.  нулем функції називають значення аргументу, при яких значення функції дорівнює 0;
  4.  щоб знайти нулі функції , треба знайти значення числового виразу ;
  5.  щоб знайти нулі функції , треба розв’язати рівняння .
  6.  Щоб знайти проміжки, на яких функція набуває додатних значень, треба розв’язати …:
  7.  рівняння ;
  8.  нерівність ;
  9.  нерівність .

2-й рівень

Кількість завдань

6

5

4

Бал

6

5

4

  1.  Знайти значення функції  при значенні аргументу –3.
  2.  Знайти значення аргументу, при якому функція  набуває значення, що дорівнює 16.
  3.  Знайти область визначення функції .
  4.  Знайти обчисленням значення , при якому функції   і  набувають однакових значень.
  5.  Кожному значенню змінної  відповідає значення змінної , яке дорівнює сумі числа 10 і квадрата значення змінної . Задати формулою змінну  як функцію від змінної .
  6.  З пункту  виїхав велосипедист із швидкістю 20км/год. Задати формулою залежність відстані  ( у кілометрах), яку проїхав велосипедист, від часу руху  ( у годинах).

3-й рівень

Кількість завдань

5

4

3

Бал

9

8

7

  1.  Функцію задано формулами:

Знайти ; .

  1.  Дано функцію . Довести, що .
  2.  Функція задана на відрізку . Довести, що функція не набуває значення, що дорівнює 62.
  3.  Дано: . Задати формулою змінну  як функцію від змінної .
  4.  Задати формулою змінну  як функцію від змінної , якщо кожному значенню змінної  поставлено у відповідність таке значення змінної , що різниця числа 10 і добутку відповідних значень змінних  і  дорівнює 20.

4-й рівень

Кількість завдань

4

3

2

Бал

12

11

10

  1.  Дано рівняння . Виразити змінну  через змінну . Чи є змінна  функцією від змінної ? Відповідь пояснити.
  2.  Дано функцію . Записати формулу функції , яка при тих самих значеннях аргументу набуває з даною функцією протилежних значень.
  3.  Дано функцію . Записати дану функцію у вигляді двох виразів, що не містить модуля.
  4.  Множиною значень функції  є відрізок . Знайти множину значень функції .


Список літератури

  1.  Гальперіна А.Р., Міхеєва О.Я. Математика: типові тестові завдання. – Х: Веста, 2010. – 112 с.
  2.  Математика: Зб. тест. завдань для підготов. до зовніш. незалеж. оцінювання / Захарійченко Ю.О., Школьний О.В. – К.: Генеза, 2009. – 114c.
  3.  Математика: комплексний тренажер: практична підготовка до ЗНО / Авт.-уклад. О.М.Роганін та ін. – Х. : Торсінг плюс, 2009. – 480с.
  4.  Мерзляк А. Г. Алгебра. 8 клас: підручник для класів з поглибленим вивченням математики / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. – Х. : Гімназія, 2009. – 386 с.
  5.  Мігов В.І. Готуємося до уроку розв’язування задач / В.І. Мігов // Математика в школах України: Науково-методичний журнал.. – 2010. – № 2 (266). – С. 18-20.
  6.  Торбан В.С. Міркуємо разом: Для чого розв’язувати задачі? / С.В. Торбан // Математика в школах України: Науково-методичний журнал.. – 2005. – № 33 (117). – С. 2-3.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9834. Крещение Руси и его историческое значение 29.32 KB
  Крещение Руси и его историческое значение. Важнейшим событием в истории Древнерусского государства явилось принятие князем Владимиром христианства в его православном варианте. Для исторических исследований характерна общность взглядов на предпосылки...
9835. Советская модель модернизации: консервативная революция в экономике и становление нового хозяйственного механизма в 1930 годах 36.09 KB
  Советская модель модернизации: консервативная революция в экономике и становление нового хозяйственного механизма в 1930 годах. К весне 1921 г. советская республика оказалась в тяжелейшем кризисе. Внутриполитический кризис, проявился в возникновении...
9836. Политический распад Руси в 12 веке. Княжества - государства как различные модели развития общества 35.75 KB
  Политический распад Руси в 12 веке. Княжества – государства как различные модели развития общества. С рубежа XI-XII веков Русская земля вступает в полосу феодальной раздробленности, которая стала закономерным этапом в развитии раннесредневековый...
9837. Промышленный переворот в России 27.99 KB
  Промышленный переворот в России ХIХ век - время утверждения промышленного производства. Осуществление промышленного переворота являлось началом индустриальной цивилизации. Темпы, глубина технических преобразований в обществе зависели от политических...
9838. Монголо-татарское вторжение на Руси. Социально-политические изменения в русских землях в период ордынского владычества 29.9 KB
  Монголо-татарское вторжение на Руси. Социально-политические изменения в русских землях в период ордынского владычества. Древняя Русь в течение столетий противостояла набегам кочевников, но наиболее разорительным и губительным для русских земель стал...
9839. Формирования советской политической системы: образование СССР, механизмы власти, массовый терро 38.54 KB
  Формирования советской политической системы: образование СССР, механизмы власти, массовый террор. Первоочередными задачами большевиков стало укрепление собственной власти и разрушение прежних общественных структур. Становление жесткой организа...
9840. Специфика формирования единого российского государства 14-17 века роль русской православной церкви в объединении Руси 30.44 KB
  Специфика формирования единого российского государства 14-17 века роль русской православной церкви в объединении Руси. Образование Русского централизованного государства плело значительные особенности по сравнению с аналогичными совпавшими по времен...
9841. Февраль 1917 года и альтернативы развития России. Большевицкие этапы революции 33.95 KB
  Февраль 1917 года и альтернативы развития России. Большевицкие этапы революции. Революцию организационно, технически не готовила ни одна партия или организация. Но она пришла во всем своем величии. Быстрая победа была неожиданной, ошеломляющей даже ...
9842. Сословная система российского общества 15-17 века 27.82 KB
  Сословная система российского общества 15-17 века. Процесс завершения образования Российского государства хронологически совпадает с образованием западноевропейских стран и приходится на время правления Ивана III (1462-1505) и Василия III (1505-1533...