5215

Розв’язування типових математичних задач засобами табличного процесора

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Розв’язування типових математичних задачзасобами табличного процесора Задача підбору параметрів Означення.Задачею підбору параметра називається знаходження такого значення аргумента даної функції, при якому ця функція на...

Украинкский

2012-12-04

55.23 KB

41 чел.


Розв’язування типових математичних задач засобами табличного процесора

  1.  Задача підбору параметрів

Означення. Задачею підбору параметра називається знаходження такого значення  аргумента даної функції, при якому ця функція набуває заданого значення.

Зокрема, це може бути пошук коренів заданого рівняння f(x)=0, коли необхідно знайти такі значення аргумента, за яких функція набуває нульового значення.

Розглянемо задачу знаходження коренів рівняння . Якщо має простий вигляд, то корені можна знайти аналітичним методом, тобто за формулами:

  1.  при маємо лінійне рівняння , корінь якого ;
  2.  при маємо квадратне рівняння , дійсні корені якого .

Але у більш складних випадках формул для обчислення коренів рівняння не існує. Тому застосовують наступну чисельну методику:

  1.  спочатку здійснюють відокремлення всіх коренів, тобто на заданому широкому проміжку для кожного кореня знаходять досить вузький проміжок , на якому відсутні інші корені;
  2.  уточнюють корені, тобто на кожному з вузьких проміжків знаходять значення кореня із заданою точністю.

Розглянемо відокремлення коренів. Основні методи відокремлення коренів: графічний та табличний.

У відповідності з графічним методом необхідно побудувати графік заданої функції на всьому заданому проміжку , після чого візуально локалізувати точки його перетину з віссю Ox. Далі в околі точок перетину треба довільним способом вибрати вузькі проміжки так, щоб на кожному з них знаходилась лише одна точка перетину графіка з віссю. Один із недоліків даного методу – його громіздкість. Другий недолік – ненадійність – пов’язаний з можливістю втратити корені при неякісній побудові графіка.

Більш зручним слід вважати табличний метод, оскільки він досить формальний і зводиться до послідовності простих обчислювальних операцій. У відповідності з цим методом, на всьому широкому проміжку визначають знаки функції з певним кроком h. З одержаної таблиці знаків вибирають вузькі проміжки , на кінцях яких функція має протилежні знаки. Чим дрібніший крок h, тим надійніше будуть відокремлені корені, тим менша ймовірність їх втратити.

Приклад. Відокремимо корені рівняння на широкому проміжку . Виберемо крок . При цьому ми припускаємо, що відстань між найближчими коренями даного рівняння перевищує вибраний крок, і тому корені втрачені не будуть. Складемо таблицю знаків функції на проміжку .

x

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

Знак f(x)

+

+

+

0

+

+

Таким чином, таблиця показує, що на широкому проміжку знаходяться два корені: перший – в межах вузького проміжка , другий – в межах вузького проміжка .

Подібну таблицю для заданої функції можна скласти засобами MS Excel. Для цього достатньо знати широкий проміжок , а також правильно вибрати крок побудови таблиці h.

Для уточнення коренів в MS Excel використовують підбір параметрів. При цьому порядок дій для кожного вузького проміжка  може бути наступним:

  1.  Вибрати комірки для розміщення значення аргумента x і функції y (наприклад, A1 і A2 відповідно).
  2.  В комірку A1 ввести орієнтовне значення кореня. Це має бути один із кінців вузького проміжка .
  3.  В комірку A2 ввести формулу для обчислення значення функції , вважаючи, що аргумент x знаходиться в комірці A1.
  4.  Виконати команду Сервис-Подбор параметра.... Внаслідок цього на екрані з’являється діалогове вікно Подбор параметра.   
  5.  В поле Установить в ячейке: ввести адресу комірки значення функції, тобто A2. 
  6.  В поле Значение: ввести нульове значення.
  7.  В поле Изменяя значение ячейки: ввести адресу комірки значення аргумента, тобто A1.
  8.  Натиснути кнопку OK діалогового вікна. З’являється нове вікно Результат подбора параметра, в якому повідомляється, вдалося чи ні розв’язати рівняння.
  9.  Значення кореня рівняння з’являється у комірці A1.

Якщо користувача не задовольняє точність знайденого значення, то він може її змінити. Для цього треба виконати команду Сервис-Параметры..., у діалоговому вікні Параметры вибрати вкладинку Вычисления, а полі Относительная погрешность: цієї вкладинки ввести інше значення (наприклад, 0.00001 замість 0.001).

2. Використання надбудов

Розглянемо приклад. Деяка установа надає послуги виду 1 та виду 2. Кожна послуга виду 1 дає прибуток 60 грн., а на її надання витрачається 1 одиниця ресурсу 1, 0.5 одиниць ресурсу 2 і 1 одна одиниця ресурсу 3. Кожна послуга виду 2 дає прибуток 160 грн., а на її надання витрачається 2 одиниці ресурсу 1, 0.4 одиниці ресурсу 2 і 4 одиниці ресурсу 3. Ресурси установи обмежені: щотижня вона може отримувати від своїх постачальників 130 одиниць ресурсу 1, 50 одиниць ресурсу 2 і 220 одиниць ресурсу 3. Наведені дані зафіксуємо у таблиці.

Послуги

Ресурс 1

Ресурс 2

Ресурс 3

Прибуток

Вид 1

1

0.5

1

60

Вид 2

2

0.4

4

160

Ресурси

130

50

220

Треба визначити, в якій кількості спланувати надання послуг виду 1 і виду 2, щоб прибуток був максимальним.

Подібні задачі називаються задачами лінійного програмування. Вони призначені для оптимального розподілу ресурсів, тобто для найбільш економічно ефективного використання цих ресурсів з урахуванням обмеженого їх обсягу.

Сформулюємо задачу математично. Позначимо через і заплановану до надання кількість послуг 1 і послуг 2 відповідно. Обмеженість ресурсів фірми означає, що мають задовольнятись такі нерівності: . Крім того, за змістом задачі її змінні мають бути невід’ємними, тобто: і . Вони також мають бути цілочисельними. Прибуток від запланованих до виробництва стільців та крісел визначається за формулою . Отже, оптимальний план фірми, тобто числа і мають бути такими, щоб задовольнялись всі наведені нерівності, а прибуток F досягав максимального значення.

Один із допустимих планів цієї задачі такий: і . При цьому: , тобто ресурсу 3 вистачає із запасом, а ресурси 1 і 2 використовуються повністю. Прибуток при цьому складає грн. Указаний план є допустимим, але він не є оптимальним. Дійсно, для іншого плану і отримуємо: . При цьому ресурсу 2 вистачає із запасом, ресурси 1 і 3 використовуються повністю, а прибуток складає грн., що суттєво краще у порівнянні з попереднім.

Отже, розв’язок задачі розподілу ресурсів має багатоваріантний характер.

В MS Excel для розв’язування задач лінійного програмування може використовуватись спеціальна надбудова, яка має назву Поиск решения.

Порядок розв’язування задачі лінійного програмування:

  1.  Установити надбудову Поиск решения. Для цього виконати команду Сервис-Надстройки.... Внаслідок цього з’являється вікно Надстройки. В цьому вікні у прокручуваному списку  Список надстроек: слід установити прапорець на пункті Поиск решения і натиснути кнопку OK.
  2.  В робочому листі Excel створити наступну форму:

A

B

1

Змінні:

2

x1 =

3

x2 =

4

5

Максимальне значення:

6

7

Обмеження:

8

№1:

9

№2:

10

№3:

  1.  В комірки B8, B9 і B10 внести такі формули: “=B2+2*B3”, “=0.5*B2+0.4*B3”, “=B2+4*B3”.
  2.  В комірку B5 внести формулу цільової функції: «=60*B2+160*B3».
  3.  Звернутися до надбудови Поиск решения з метою розв’язування задачі. Для цього виконати команду Сервис-Поиск решения.... Після цього на екрані з’являється вікно Поиск решения, в яке здійснюється внесення задачі лінійного програмування.
  4.  В полі Установить целевую ячеку: надрукувати $B$5.
  5.  Установити відмітку на пункті Равной: Максимальному значению.
  6.  В полі Изменяя ячейки: надрукувати $B$2:$B$3.
  7.  Ввести перше обмеження. Для цього натиснути кнопку Добавить. У діалоговому вікні Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку: ввести $B$8, в полі Ограничение: вибрати значок <=” і надрукувати значення 130. Натиснути кнопку ОК.
  8.  Аналогічно ввести друге і третє обмеження.
  9.  Ввести умови невід’ємності змінних. Для цього натиснути кнопку Добавить. У діалоговому вікні Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку: ввести $B$2:$B$3, в полі Ограничение: вибрати значок «>=» і надрукувати значення 0. Натиснути кнопку OK.
  10.  Ввести умови цілочисельності змінних. Для цього натиснути кнопку Добавить. У діалоговому вікні Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку: ввести $B$2:$B$3, в полі Ограничение: вибрати пункт цел. Натиснути кнопку OK.
  11.  Натиснути кнопку Параметри..., установити відмітку на пункті Линейная модель і натиснути кнопку OK.
  12.  Задачу ЛП повністю підготовлено. Натиснути у вікні Поиск решения кнопку Выполнить.
  13.  З’являється вікно Результаты поиска решения, в якому повідомляється, що Решение найдено. Відмітити пункт Сохранить найденное решение і натиснути кнопку OK. На листі електронної таблиці бачимо оптимальний план.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41346. Произвести градуировку термопары медь – константан 126 KB
  Для точного определения напряжения на краях необходимо скомпенсировать напряжение поданное с элемента Вестона на и . При этом напряжение от источника питания будет поделено таким образом что напряжение на будет равно напряжению от элемента Вестона что позволит рассчитать напряжение на . = 1156 ом = 600 ом Рассчет : Длина L =100мм тогда при положении ползунка в точке l снимаемое напряжение будет равно: Вычисление э.
41347. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости 418 KB
  Измерив кпв двумя методами можно сказать,что значения кпв водных растворов спирта соответственно совпали, с точностью до погрешности. Большое значение погрешности объясняется низкой точностью измерений, особенно в определении разности.
41349. Исследование дросселя. Феррорезонанс 418.85 KB
  Цель работы: экспериментально исследовать поведение катушки с железом в качестве дросселя изучить явление феррорезонанса и работу простейших феррорезонансных стабилизаторов напряжения.