52247

Теория вероятностей и математическая статистика

Книга

Математика и математический анализ

Определение: Вероятностью случайного события А называется отношение числа m исходов благоприятствующих событию А к числу всех равновозможных исходов испытания составляющих полную группу несовместных событий. Найти вероятность того что в случайно выбранном четырехзначном числе все цифры различны и оно образованно из цифр 2 4 6 8 9. Найти вероятность того что книги по какой либо тематике окажутся рядом. Найти вероятность того что среди выбранных окажется 6 мужчин.

Русский

2014-02-13

1.94 MB

70 чел.

Астраханский государственный технический университет

Институт информационных технологий

Кафедра прикладной математики и криптографии

Методическое пособие

Лабораторный практикум

по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов специальности

351400 «Прикладная информатика (в экономике)»

Астрахань

2005

Разработано:    Холодов Ю.В., к.ф-м.н., доцент каф.ПМК,

 Лежнина Ю.А., ассистент каф.ПМК.

Рецензент:  Квятковская И.Ю., зав.кафедрой ПИЭ.

Данное пособие является руководством к выполнению лабораторных работ по теории вероятностей и математической статистике, содержит необходимые теоретические сведения, контрольные вопросы, задания.

Методическое пособие утверждено на заседании кафедры ПМК

Протокол № 8 от  5 мая 2005г.


[0.1] Лабораторная работа №1. «Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики».

[0.2]
Лабораторная работа №2. «Геометрическое определение вероятности».

[0.3]
Лабораторная работа №3. «Формула Бернулли».

[1]
Часть вторая «Случайные величины»

[1.1] Лабораторная работа №4. «Одномерные случайные величины. Их числовые характеристики».

[1.2]
Лабораторная работа №5. «Двумерные случайные величины.».

[1.3]
Лабораторная работа №6. «Числовые характеристики двумерных случайных величин».

[2]
Часть третья «Математическая статистика»

[2.1] Лабораторная работа №7. «Моделирование одномерных случайных величин. Экспериментальный анализ одномерной случайной величины».

[2.2] Лабораторная работа №8. «Проверка гипотезы о нормальном законе распределения».

[2.3]
Лабораторная работа №9. «Изучение линейной корреляционной связи между двумя случайными величинами».

[3] Литература.


Часть первая «Случайные события»

Лабораторная работа №1. «Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики».

Теоретическая часть.

Классическая схема позволяет вычислять вероятности без проведения случайного эксперимента, основываясь лишь на свойстве симметрии возможных исходов испытания, так что нет оснований считать какой-либо из исходов более вероятным, чем другой.

Определение: Вероятностью случайного события  А, называется отношение числа m исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех равновозможных исходов испытания, составляющих полную группу несовместных событий.

Р(А)=

При непосредственном подсчете вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Простейшими из них являются перестановки, сочетания, размещения и разбиения.

Перестановки отличаются друг от друга только порядком входящих в них элементов. Количество перестановок из n элементов:

Пример 1:  Сколькими способами можно рассадить 10 человек за круглым столом, если имеет значение только порядок соседей.

Отметим, что вращение людей вокруг стола не меняет их взаимного расположения, поскольку соседи справа и слева остаются прежними. Если место за столом уникально, то существует 10! Способов рассадить людей за столом. Существует 10 вращений вокруг стола, поэтому делим на 10 и получаем 9! Способов рассадить людей за круглым столом, если значение имеет только порядок соседей.

Пусть М – множество, состоящее из n элементов.

Размещением из n элементов по m или упорядоченной  (n,m)– выборкой, называется любой кортеж, состоящий из m, попарно различных элементов множества М.

Число размещений из n по m элементов:

Пример 2: Сколько различных четырехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, …, 9, если все цифры различны.

Существует

Сочетанием из n элементов по m или неупорядоченной (n,m)– выборкой, называется любое подмножество множества M, состоящее из m элементов.

Надо заметить, что количество сочетаний отличается от числа размещений количеством перестановок каждого сочетания, то есть

Пример 3: Сколько существует вариантов выбора 5 карт трефовой масти из колоды, состоящей из 54  карт.

В колоде имеется 13 треф, из которых выбирается 5, поэтому

Пусть множество М разбито на k таких различных типов, что имеется n1 неразличимых объектов типа 1, n2 неразличимых объектов типа 2, и, вообще, ni неразличимых объектов типа i (i=1,2,3,…,k), тогда количество различных размещений элементов множества:

Пример 4: Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 4 одинаковых учебника по математике, 6 одинаковых по информатике, 2 одинаковых по химии.

Если трактовать повторения как возвращения объекта во множество М и повторное его использование, то возникает идея размещений  и сочетаний с повторениями. Их количество можно вычислить по формулам:

– количество размещений из n элементов по m с повторениями.

– количество сочетаний из n элементов по m с повторениями.

Пример 5: Сколько различных четырехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, …, 9.

Так как нет ограничения на повторение цифр, то существует

Теорема: Если необходимо выбрать хотя бы по одному объекту из n по m с повторением, то количество различных сочетаний равно

Пример 6: Если в булочной продается 10 видов различных пончиков, то сколькими способами можно выбрать 12 пончиков.

Поскольку 12 пончиков выбираются из 10 видов с повторениями, то

Пример 7: Если в булочной продается 10 видов различных пончиков, то сколькими способами можно выбрать 12 пончиков, если необходимо выбрать хотя бы по одному пончику каждого вида .

Поскольку 12 пончиков выбираются из 10 видов с повторениями, то

Пример 8: Найдем количество различных решений уравнения , где каждое слагаемое в левой части – неотрицательное число. Это эквивалентно вопросу о том, сколько существует выборок вида , где имеется  объектов типа  и , но количество таких выборок  - это количество различных сочетаний из 25 элементов по 5 элементов с повторениями. Итак, существуют

В среде MathCad нет встроенных функций для подсчета количества способов выбора объектов, поэтому необходимо воспользоваться возможностью программирования.

Чтобы создать программный модуль:

Введите выражение, которое будет находиться  слева от знака присваивания (имя функции);

Вызовите на экран панель Programming (программирование);

Нажмите на кнопку Add line1 необходимое число раз;

В появившиеся местозаполнители введите необходимый программный код.

Для подсчета факториала можно организовать цикл. В среде MathCad это можно сделать с помощью оператора for и ранжирванной переменной, которая пробегает некоторое множество значений.

Фрагмент документа MathCad для подсчета факториала:

После того как программный модуль полностью определен и ни один из местозаполнителей ни остался пустым, функция может использоваться обычным образом.

Пример решения задачи на подсчет вероятности в среде МathCad:

Теоретические вопросы.

Классическое определение вероятности.

Частота появления событий, относительная частота.

Статистическое определение вероятности. Его недостаток.

Свойства вероятности.

Перестановки.

Размещения.

Сочетания.

Разбиения.

Размещения и сочетания с повторениями.

Комбинаторный принцип сложения.

Комбинаторный принцип умножения.

Достоверное и невозможное события.

Практическая часть.

Задание №1. Создать в среде MathCad программный модуль для каждой из комбинаторных конфигураций.

Задание    №2.  Решить задачи своего варианта при помощи функций, полученных в задании №1.

Варианты заданий к лабораторной работе №1.

Вариант №1.

Задача №1. Найти вероятность того, что в случайно выбранном четырехзначном числе все цифры различны и оно образованно из цифр 2, 4, 6, 8, 9.

Задача №2. На полке расположены 10 различных книг по математике, 12 – по физике, 16 – по химии. Найти вероятность того, что книги по какой- либо тематике окажутся рядом.

Задача №3. Из группы, состоящей из 12 мужчин и 20 женщин, выбирается комитет из 14 человек. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется 6 мужчин.

Вариант №2.

Задача №1. Найти вероятность того, что наугад выбранное четырехзначное число будет иметь сумму цифр равную 9.

Задача №2. Числа натурального ряда до 20 расставлены в случайном порядке. Найти вероятность того, что числа 1, 2, 3, 4 расположены рядом и притом в порядке возрастания.

Задача №3. На полке расставлены наудачу 10 книг. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.

Вариант №3.

Заадча№1. Найти вероятность того, что среди пяти мужчин и пяти женщин, случайно рассаженных за круглым столом, никакие двое мужчин не сидят рядом, если имеет значение только порядок соседей.

Задача №2. Числа натурального ряда до 20 расставлены в случайном порядке. Найти вероятность того, что числа 1, 2, 3, 4 расположены рядом.

Задача№3. На каждой из семи карточек  написаны буквы е, в, и, н, о, с, ь. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут рядом. Найти вероятность, что получится слово «осень»

Вариант №4.

Задача №1.Найти вероятность того, что случайно выбранное четырехзначное число образованно из цифр 1, 2, 3, 4, 5.

Задача №2. Найти вероятность того, что случайно выбранной перестановке слова «Эквивалентность» можно будет прочесть слово «лето».

Задача №3. В ящике 20 деталей, среди которых 9 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 12 окажется не более одной нестандартной детали.

Вариант №5.

Задача №1. Найти вероятность того, что, случайно расставленные пять мальчиков и шесть девочек встанут в ряд таким образом, что ни две девочки, ни два мальчика не будут стоять рядом.

Задача №2. В булочной продается 10 различных видов пончиков. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 24 пончиков имеется хотя бы по одному пончику разного вида.

Задача №3. Группа студентов, состоящая из 10 юношей и 15 девушек, делится на две группы по 12 и 13 человек. Найти вероятность того, что в каждой из подгрупп по 5 юношей.

Вариант №6.

Задача №1. Найти вероятность того, что, случайно расставленные пять мальчиков и пять девочек встанут в ряд таким образом, что ни две девочки, ни два мальчика не будут стоять рядом.

Задача №2. Брошено 10 игральных костей. Предполагая, что все комбинации выпавших очков равновероятны, найти вероятность, что выпала хотя бы одна «5».

Задача №3. Из 30 последовательных натуральных чисел отбирается 10 различных чисел. Найти вероятность того, что среди этих чисел  три делится на пять.

Вариант №7.

Задача №1. Среди всех четырехзначных чисел, состоящих из различных цифр, наугад выбирают одно. Найти вероятность того, что оно состоит из цифр 3, 4, 8, 0.

Задача №2. Цветочник продает пять видов цветов. Найти вероятность того, что произвольно составленный букет из 7 цветков будет иметь хотя бы по одному цветку разного типа.

Задача №3. На каждой из девяти карточек  написаны буквы е, в, и, и, н, о, с, ь, и. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут рядом. Найти вероятность, что получится слово «осень».

Вариант №8.

Задача №1.Найти вероятность того, что пяти карточный расклад из колоды в 36 карт содержит четырех тузов.

Задача №2. Из всех двузначных чисел отбирается 10. Найти вероятность того, что все цифры имеют сумму цифр, равную 8.

Задача №3. В соревнованиях участвуют 12 команд, из которых случайным образом формируют две группы  по 6 команд. Всего имеется 4 команды экстра – класса попадут в одну и ту же группу.

Вариант №9.

Задача №1. В записанном телефонном номере 134- _ _- _ _ стерлись четыре последние цифры. Найти вероятность того, что стерлись одинаковые цифры, предполагая, что все комбинации равновероятны.

Задача №2. В корзине находится 26 красных, 10 зеленых шаров. Найти вероятность, что из 14 наудачу выбранных шаров два будут зелеными.

Задача №3. На полке расставлены наудачу 10 книг. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом, в определенном порядке.

Вариант №10.

Задача №1. Найти вероятность того, что среди трехзначных чисел выбрано число, меньшее 450.

Задача №2. В корзине находится 26 красных, 10 зеленых шаров. Шар достают, фиксируют цвет и опускают назад. Найти вероятность, что из 14 наудачу выбранных шаров два будут зелеными.

Задача №3. Какова вероятность того, что среди вынутых наудачу семи карт полной колоды (54 карты) три окажутся трефовой масти.


Лабораторная работа №2. «Геометрическое определение вероятности».

Теоретическая часть.

Пусть Ω – множество точек конечной меры (длины, площади, объема), А – некоторое подмножество множества Ω. Тогда  вероятность случайного события А будет определяться по формуле

где mesA–мера подмножества А,  mes Ω–мера множества Ω.

Это определение можно рассматривать как обобщение классического определения вероятности на случай  несчетного числа исходов.

Пример решения задачи Бюффона в среде MathCad:

Пример отыскания вероятности попадания точки в фигуру, ограниченную линиями, на примере одной из областей:

Теоретические вопросы.

Чему равна вероятность попадания в одну точку фигуры с классической точки зрения.

Чему равна вероятность попадания в часть отрезка L.

Чему равна вероятность попадания в часть плоской фигуры.

Чему равна вероятность попадания в часть пространственной фигуры.

В каждом практическом задании определите, какому событию соответствует попадание точки в каждую из полученных областей.

Свойства геометрической вероятности.

Практическая часть.

Задание №1. Решить задачу Бюффона с заданными для своего варианта параметрами a и l.

Задание    №2.  Решить задачу №2 своего варианта геометрическим способом.

Задание    №3.  Найти вероятность попадания точки в каждую из областей, ограниченных линиями из задачи №3.

Варианты заданий к лабораторной работе №2.

Вариант №1.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 4.5. На плоскость наудачу бросают иглу длины 6. Найти вероятность, что игла пересечет хотя бы одну из прямых.

Задача №2. На отрезке ОА длины 4 числовой оси Ох поставлены наудачу две точки В(х) и С(у), причем у≥х. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС больше длины отрезка АC. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок не зависит от длины отрезка и положения на числовой оси.

Задача №3. ,    1≤х≤9,  -1≤у≤2.

Вариант №2.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 3. На плоскость наудачу бросают иглу длины 2.4. Найти вероятность, что игла не пересечет ни одну из прямых.

Задача №2. На отрезке ОА длины 4 числовой оси Ох поставлены наудачу две точки В(х) и С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше расстояния от точки О до ближайшей к ней точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок не зависит от длины отрезка и положения на числовой оси.

Задача №3. ,    0,3≤х≤1,5,  0≤у≤2.

Вариант №3.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 8. На плоскость наудачу бросают иглу длины 10.6. Найти вероятность, что игла не пересечет ни одну из прямых.

Задача №2. Имеется магнитофонная лента длины 200 м, на обеих сторонах которой написаны сообщения, на одной 30 м, на другой – 50 м. Местоположение записей неизвестно. В связи с повреждением ленты пришлось удалить участок длиной 10 м на расстоянии 80 м от начала. Найти вероятность того, что ни та, ни другая записи не повреждены.

Задача №3. ,    5≤х≤7,  -2≤у≤1.

Вариант №4.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 3.8. На плоскость наудачу бросают иглу длины 1.4. Найти вероятность, что игла пересечет одну из прямых.

Задача №2. По радиоканалу в течение промежутка времени (0;1) передаются два сигнала, длительностью 0.3 каждый. Каждый из них с одинаковой возможностью начинается в любой момент времени (0; 0.7). Если сигналы перекроют друг друга, то они искажаются, и не могут быть приняты. Найти вероятность того, что сигналы будут приняты.

Задача №3. ,    -1≤х≤1,  -1≤у≤2.

Вариант №5.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 4. На плоскость наудачу бросают иглу длины 3.8. Найти вероятность, что игла пересечет  одну из прямых.

Задача №2. Имеются две параллельные линии телефонной связи длиной 10 км, расстояние между которыми 1 км. Известно, что на каждой из линий есть где-то разрыв (его местоположение равновероятно в любой точке каждой из линий). Найти вероятность того, что расстояние между точками разрыва будет не больше 3 км.

Задача №3. ,    -1≤х≤1,  -1≤у≤1.

Вариант №6.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 6. На плоскость наудачу бросают иглу длины 8.4. Найти вероятность, что игла не пересечет ни одну из прямых.

Задача №2. Два теплохода Х и У могут подойти к причалу в любое время для разгрузки, продолжительность которой равна 6 часам. У причала может разгружаться только один теплоход. Найти вероятность того, что ни одному теплоходу не придется ждать освобождения причала, если время прихода для каждого теплохода равновероятно в течение суток.

Задача №3. ,    0≤х≤2,  0≤у≤2.

Вариант №7.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 5. На плоскость наудачу бросают иглу длины 7.4. Найти вероятность, что игла пересечет хотя бы одну из прямых.

Задача №2. На отрезке ОА длины 14 числовой оси Ох поставлены наудачу две точки В(х) и С(у), причем у≥х. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше 7. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок не зависит от длины отрезка и положения на числовой оси.

Задача №3. ,    2≤х≤4,  0≤у≤2.

Вариант №8.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 7. На плоскость наудачу бросают иглу длины 9.4. Найти вероятность, что игла пересечет хотя бы одну из прямых.

Задача №2. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от12 до 13 часов).

Задача №3. ,    1≤х≤3,  0≤у≤3.

Вариант №9.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 3.4. На плоскость наудачу бросают иглу длины 3.2. Найти вероятность, что игла пересечет одну из прямых.

Задача №2. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 12. Найти вероятность того, что произведение ху будет не больше 1, а частное х/у не больше 12.

Задача №3. ,    -1≤х≤1,  1≤у≤3.

Вариант №10.

Задача №1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2.8. На плоскость наудачу бросают иглу длины 3.4. Найти вероятность, что игла пересечет хотя бы одну из прямых.

Задача №2. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 10. Найти вероятность того, что разность х–у будет не больше 5, а частное у/х не меньше 0.05.

Задача №3. ,    3≤х≤6,  0≤у≤1,5.


Лабораторная работа №3. «Формула Бернулли».

Теоретическая часть.

При проведении ряда повторных независимых испытаний событие А может появиться с некоторой вероятностью р и не появиться с вероятностью 1-р=q. Ставится задача определить вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно m раз. Искомая вероятность определяется отношением:

Данная формула является единственной точной формулой в схеме независимых повторных испытаний. Однако, использовать ее можно в ограниченных условиях (n≤15, р отлично от 0 и 1). Поэтому, на практике часто используют приближенные формулы:

– формула Пуассона, где λ=np.

Исходя из условия, формулу Пуассона удобно применять при n→∞, p→0. Если же р существенно отличается  от нуля, то используется локальная теорема Муавра-Лапласа:

, где

Отыскание вероятности того, что число m появления события А заключено в некотором интервале от m1 до m2 связано с интегральной теоремой Муавра- Лапласа:

,

где ,

Если npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула

,

где ,

Интегральная теорема Муавра- Лапласа позволяет найти вероятность того, что отклонение относительной частоты появления некоторого события m/n от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного положительного числа ε:

, где

Можно определить количество испытаний необходимых для того, чтобы отклонение относительной частоты успехов от вероятности р было меньше ε с вероятностью большей или равной β, то есть найти n, для которого выполняется неравенство:

Доказано, что число n обеспечивает выполнение этого неравенства, если оно удовлетворяет соотношению

, где хβ –решение уравнения Ф(хβ)=

Если вероятность р известна, то необходимое число испытаний определяется формулой

, значение корня уравнения Ф(хβ)=а дает функция qnorm(a,0,1).

Для вычисления значений функции Лапласа Ф(х) предназначена функция pnorm(x,0,1).

Список некоторых распределений, представленных в библиотеке MathCad, и имена соответствующих функций:

биномиальное распределение – dbinom(k,n,p), pbinom(k,n,p), qbinom(k,n,p);

нормальное распределение – dnorm(x,μ,σ), pnorm(x,μ,σ), qnorm(x,μ,σ);

распределение Пуассона – dpois(x,λ), pnorm(x,μ,σ), qnorm(x,μ,σ).

Теоретические вопросы.

Дайте определение независимых и несовместных событий.

Как с помощью формулы Бернулли вычислить вероятность того, что событие наступит:

- менее m раз;

- более m раз;

- не менее m раз;

- не более m раз.

Перечислите ряд практических задач для которых схема Бернулли является базовой.

Опишите формальную схему Бернулли.

При каких условиях применима формула Пуассона.

Опишите схему применения локальной и интегральной теорем Муавра- Лапласа.

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности при независимых испытаниях.

Практическая часть.

Задание №1. Провести исследование точности асимптотической формулы Пуассона или Муавра - Лапласа. Для этого выберите, исходя из условий задачи, необходимую формулу, проведите вычисления по точной формуле и по приближенной. Проведите вычисления для n1 и р1. Сделайте выводы.

Задание    №2.  Решить задачу по точной формуле Бернулли и с помощью подходящей приближенной формулы.

Задание №3. Найти необходимое число испытаний в заданных условиях, для того чтобы относительная частота появления события не превысила данного числа ε.

Варианты заданий к лабораторной работе №3.

Вариант №1.

Задача №1. Провайдер обслуживает n=1000 абонентов сети Интернет. Вероятность того, что любой абонент захочет войти в сеть в течение часа равна р=0,003.  Найти вероятность того, что в течение часа более k=3 абонентов попытаются войти в сеть. (n1=10 и р1=0,3 )

Задача №2. В роддоме да месяц рождается 600 детей найдите вероятность того, что среди этих детей не более 300 мальчиков. Вероятность рождения мальчика р=0,51.

Задача №3. Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β=0,9 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной  вероятности не более, чем на ε=0,02. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р=0,016).

Вариант №2.

Задача №1. Провайдер обслуживает n=1700 абонентов сети Интернет. Вероятность того, что любой абонент захочет войти в сеть в течение часа равна р=0,0023.  Найти вероятность того, что в течение часа более k=6 абонентов попытаются войти в сеть. (n1=17 и р1=0,23)

Задача №2.Вероятность поражения мишени при одном выстреле р=0,8. Найти вероятность того, что при 1000 выстрелах мишень будет поражена ровно 850 раз.

Задача №3. Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β=0,91 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной  вероятности не более, чем на ε=0,03. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р=0,05).

Вариант №3.

Задача №1. Вероятность того, что произвольно выбранный абонент сети Интернет – студент равна р=0,41. Найти вероятность того, что среди n=10000 абонентов некоторого провайдера  студентов не менее k1=4000 и не более k2=6000. (р1=0,35, n1=1000, k1.1=400, k1.2=600).

Задача №2. Монета брошена 5000 раз. Найти вероятность того, что герб выпал ровно 2500 раза.

Задача №3. Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β=0,92 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной  вероятности не более, чем на ε=0,04. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р=0,1).

Вариант №4.

Задача №1. Вероятность того, что произвольно выбранный абонент сети Интернет – студент равна р=0,46. Найти вероятность того, что среди n=14000 абонентов некоторого провайдера  студентов не менее k1=4400 и не более k2=6400. (р1=0,85, n1=1400, k1.1=440, k1.2=640).

Задача №2. Игральная кость брошена 2000 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет не более 300 раз.

Задача №3. Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β=0,93 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной  вероятности не более, чем на ε=0,015. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р=0,02).

Вариант №5.

Задача №1. Магазин продает в течение одного дня n=2000 коробок конфет, часть которых с сюрпризом. Вероятность того, что коробка с сюрпризом, равна р=0,002. Найти вероятность того, что в течение дня продано более k=6 коробок с сюрпризом. (n1=20 и р1=0,2 )

Задача №2. Игральная кость брошена 1000 раз. Найти вероятность того, что пятерка выпадет не менее 100 раз.

Задача №3. Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β=0,94 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной  вероятности не более, чем на ε=0,05. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р=0,04).

Вариант №6.

Задача №1. Магазин продает в течение одного дня n=2400 коробок конфет, часть которых с сюрпризом. Вероятность того, что коробка с сюрпризом, равна р=0,0016. Найти вероятность того, что в течение дня продано более k=8 коробок с сюрпризом. (n1=24 и р1=0,16 )

Задача №2. Монета брошена 600 раз. Найти вероятность того, что «орел» выпадет не менее 290 и не более 310 раз.

Задача №3. Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β=0,95 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной  вероятности не более, чем на ε=0,023. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р=0,056).

Вариант №7.

Задача №1. Банк посещают в течение дня n=100 человек. Вероятность того, что человек снимет деньги со счета равна р= 0,48. Найти вероятность того, что в течение дня деньги со счета снимут k=50 человек. (n1=10 и р1=0,048 )

Задача №2. Вероятность появления события в каждом из 800 испытаний составляет р=0.7. Найти вероятность того, что событие наступит в большинстве случаев.

Задача №3. Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β=0,96 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной  вероятности не более, чем на ε=0,06. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р=0,012).

Вариант №8.

Задача №1. Банк посещают в течение дня n=200 человек. Вероятность того, что человек снимет деньги со счета равна р= 0,55. Найти вероятность того, что в течение дня деньги со счета снимут k=100 человек. (n1=20 и р1=0,055 )

Задача №2. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна р=0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит не более пяти бракованных книг.

Задача №3. Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β=0,97 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной  вероятности не более, чем на ε=0,025. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р=0,06).

Вариант №9.

Задача №1. Вероятность того, что человек, посетивший магазин, купит что- либо, равна р=0,67. Найти вероятность того, что среди n=22000 посетителей магазина покупателей окажется не менее k1 =6200 и не более k2 =8200. (р1=0,75, n1=2200, k1.1=620, k1.2=820).

Задача №2. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути р=0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено более 15 изделий.

Задача №3. Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β=0,98 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной  вероятности не более, чем на ε=0,08. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р=0,3).

Вариант №10.

Задача №1. Вероятность того, что человек, посетивший магазин, купит что- либо, равна р=0,4. Найти вероятность того, что среди n=19000 посетителей магазина покупателей окажется не менее k1 =4900 и не более k2 =6900. (р1=0,35, n1=1900, k1.1=490, k1.2=690).

Задача №2. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность выхода из строя любого элемента в течение времени Т равна0,001. Найти вероятность того, что за время Т откажут не более 6 элементов.

Задача №3. Сколько коробок конфет необходимо проверить, чтобы с вероятностью не меньшей β=0,99 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза не будет отличаться от заявленной  вероятности не более, чем на ε=0,039. (Для сравнения решить задачу при условии, что известна вероятность появления сюрприза р=0,08).


Часть вторая «Случайные величины»

Лабораторная работа №4. «Одномерные случайные величины. Их числовые характеристики».

Теоретическая часть.

Одним из центральных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Определение: Случайной величиной называется числовая функция, определенная на множестве случайных событий.

Если ξ- случайная величина, то функция F(x)=Fξ(x)=P(ξ<x) есть функция распределения.

Пример вычисления функции распределения в среде MathCad:

Более наглядной формой закона распределения является плотность распределения, которая связана с функцией распределения следующими формулами:

                              

Числовые характеристики позволяют судить об особенностях случайной величины в сжатой форме.

Математическое ожидание  - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины:

- для дискретных,  

- для непрерывных

Если случайная величина η является функцией случайной величины ξ, то есть η=f(ξ), то

- для дискретных,  

- для непрерывных

Дисперсия – мера разброса значений случайной величины около ее математического ожидания

- для дискретных величин,

- для непрерывных

Среднеквадратическое отклонение – σξ=

Коэффициент асимметрии позволяет по его знаку судить о характере асимметрии:  

Эксцесс:    

Теоретические вопросы.

Что называется случайной величиной.

Что называется функцией распределения. Ее свойства.

Что называется плотностью распределения. Ее свойства.

Математическое ожидание. Его свойства.

Что называется дисперсией. Ее свойства.

Дайте характеристику асимметрии и эксцесса.

Практическая часть.

Задание №1. Задайте дискретную случайную величину, определенную на множестве из n значений, рядом распределения с помощью функций rnd(x), rsort(A,i). Найдите для полученной величины числовые характеристики. Сделайте выводы, постройте график функции распределения.

Задание    №2. Вычислите числовые характеристики, постройте графики функции распределения и плотности распределения для случайной величины ξ=S(η), которая представляет собой площадь указанной в задании геометрической фигуры, для случайной величины распределенной равномерно на промежутке [a,b].

Варианты заданий к лабораторной работе №4.

Вариант №1.

Задание №1. n=15, х=30.

Задание №2. Правильный треугольник со стороной η, a=2, b=6.

Вариант №2.

Задание №1. n=16, х=29.

Задание №2. Круг радиуса η, a=3, b=9.

Вариант №3.

Задание №1. n=17, х=28.

Задание №2. Правильный шестиугольник со стороной η, a=5, b=7.

Вариант №4.

Задание №1. n=18, х=27.

Задание №2. Боковая поверхность тетраэдра с боковым ребром η, a=6, b=8.

Вариант №5.

Задание №1. n=19, х=26.

Задание №2. Поверхность шара радиуса η, a=7, b=9.

Вариант №6.

Задание №1. n=20, х=25.

Задание №2. Прямоугольник со сторонами η и 2η, a=8, b=10.

Вариант №7.

Задание №1. n=21, х=24.

Задание №2. Осевое сечение конуса с радиусом основания η и высотой η, a=9, b=11,5.

Вариант №8.

Задание №1. n=22, х=23.

Задание №2. Прямоугольный треугольник с катетами η и 2η, a=10, b=11,5.

Вариант №9.

Задание №1. n=23, х=22.

Задание №2. Прямоугольный треугольник с катетом η и гипотенузой 2η, a=9, b=12,5.

Вариант №10.

Задание №1. n=24, х=21.

Задание №2. Квадрат с диагональю η, a=1, b=3.


Лабораторная работа №5. «Двумерные случайные величины.».

Теоретическая часть.

Функцией распределения системы случайных величин (Х1, Х2,…, Хn) называется вероятность того, что в результате испытания наступит событие (Х1<x1, X2<x2,…, Xn<xn).

Для системы двух случайных величин (ξ, η) функция распределения имеет вид

F(x, y)=P(X<x, Y<y), где (х, у) – фиксированная точка области D.

Зная совместное распределение (ξ, η) можно определить распределение каждой составляющей.

η ξ       

y1

y2

ym

x1

p11

p12

p1m

x2

p21

p22

p2m

xn

pn1

pn2

pnm

Можно найти распределение каждой из случайных величин ξ и η по формулам:

- суммирование по строкам;  - суммирование по столбцам.

Обратную задачу восстановления совместного распределения (ξ, η) по распределениям ξ, η возможно, если случайные величины ξ, η независимы, то есть для них выполняется

Fξ,η(x, y)=Fξ (x)Fη (y)

Условным распределением составляющей случайной величины ξ при условии, что случайная величина η приняла значение η=уj называется следующее распределение

ξ/η=yj

x1

x2

xm

p(X=xi/Y=yj)

p1,j/py,j

p2,j/py,j

pm,j/py,j

В условиях предыдущего примера найдем условное распределение случайной величины ξ при условии, что η=0:

Случайный вектор (ξ,η) – называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция рξ,η(х,у), что для любого прямоугольника на плоскости (х,у) вероятность события (ξ,η)Ω равна

, где рξ,η(х,у) – совместная плотность распределения.

=1

Плотность распределения компонент равны:

,       

Условные плотности распределений ξ при условии, что η=у0 и η при условии, что ξ=х0 определяются соответственно формулами:

,     

Пример. Пусть двумерная случайная величина распределена равномерно в круге . Тогда плотность совместного распределения равна

Плотности вероятностей каждой ее компоненты вычисляются по формулам:

,   

Условная плотность распределения случайной величины ξ при условии, что случайная величина η=0, равна

Условная плотность распределения случайной величины ξ при условии, что случайная величина η=0,5, равна

Видно, что условное распределение случайной величины ξ зависит от значения, которое примет величина η. Это приводит к мысли, что величины ξ и η зависимы.

Теоретические вопросы.

Что называется законом распределения системы случайных величин.

Перечислите основные свойства функции распределения.

Дайте определение и перечислите основные свойства плотности распределения.

Как определяются плотности распределения составляющих системы.

Сформулируйте признак независимости составляющих системы.

Как определяются условные плотности составляющих системы.

Практическая часть.

Задание №1. Задайте совместное распределение двух случайных величин, определенных на множестве из n и m значений соответственно, с помощью функций rnd(x). Найдите распределение каждой из них и все их условные распределения. Постройте многоугольники соответствующих распределений. Сделайте выводы о независимости компонент, предложите такое изменение совместного распределения, чтобы его компоненты стали независимыми.

Задание    №2. Вычислите распределение компонент двумерной случайной величины и их условные распределения, если эта случайная величина распределена равномерно в области .

Варианты заданий к лабораторной работе №5.

Вариант №1.

Задание №1. n=2 , m=5 , x=3 .

Задание №2. a=1 , b=2 .

Вариант №2.

Задание №1. n=3 , m=4 , x=7 .

Задание №2. a=1,2 , b=2,3 .

Вариант №3.

Задание №1. n=4 , m=4 , x=10 .

Задание №2. a=2 , b=4 .

Вариант №4.

Задание №1. n=8 , m=5 , x=6 .

Задание №2. a=2,2 , b=4,4 .

Вариант №5.

Задание №1. n=7 , m=5 , x=4 .

Задание №2. a=1,5 , b=2,5 .

Вариант №6.

Задание №1. n=8 , m=7 , x=9 .

Задание №2. a=2,5 , b=3,5 .

Вариант №7.

Задание №1. n=3 , m=5 , x=12 .

Задание №2. a=3,5 , b=4,5 .

Вариант №8.

Задание №1. n=5 , m=4 , x=8 .

Задание №2. a=4,5 , b=5,5 .

Вариант №9.

Задание №1. n=4 , m=5 , x=11 .

Задание №2. a=5,5 , b=6,5 .

Вариант №10.

Задание №1. n=6 , m=4 , x=9 .

Задание №2. a=6,5 , b=7,5 .


Лабораторная работа №6. «Числовые характеристики двумерных случайных величин».

Теоретическая часть.

Если (ξ,η) – дискретный случайный вектор с распределением

Η         ξ       

y1

y2

ym

x1

p11

p12

p1m

x2

p21

p22

p2m

xn

pn1

pn2

pnm

то математическое ожидание компонент вычисляют по формулам:

,   

Если рξ,η(х,у) – совместная плотность распределения двумерной случайной величины (ξ,η), то

,   

 

Дисперсия вычисляется по формулам:

,     

Условные математические ожидания вычисляются по формулам:

,    

Если рξ,η(х,у) – совместная плотность распределения двумерной случайной величины (ξ,η), то   

,  

Условное математическое ожидание случайной величины ξ является функцией η, то есть М(ξ/η=у)=f1(y). Функцию f1(y) называют регрессией случайной величины ξ на случайную величину η. Аналогичные рассуждения можно провести для М(η/ξ=х)=f2(x).

В случае дискретных величин корреляционный момент вычисляется по формуле:

Если рξ,η(х,у) – совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (ξ,η), то   

Теоретические вопросы.

Как определяются условные математические ожидания компонент системы случайных величин.

Что называется коэффициентом корреляции, что он характеризует.

Что называется уравнениями регрессии. Что характеризует взаимное расположение линий регрессии.

Практическая часть.

Задание №1. Вычислите математическое ожидание, дисперсию, условные математические ожидания, постройте графики регрессий компонент двумерной случайной величины из задания №1, №2 лабораторной работы №5, определите коэффициент корреляции.


Часть третья «Математическая статистика»

Лабораторная работа №7. «Моделирование одномерных случайных величин. Экспериментальный анализ одномерной случайной величины».

Теоретическая часть.

Случайные величины могут подчиняться различным законам распределения. Наиболее часто приходится иметь дело с равномерно распределенными на единичном отрезке случайными последовательностями, которые потом легко преобразовать в любые другие с заданными законами распределения.

Нормально распределенные на интервале (0,1) случайные величины обычно получают из равномерно распределенных по алгоритму:

, где , - псевдослучайное число с равномерным распределением на отрезке (0,1).

Чтобы получить случайную величину равномерно распределенную на интервале (a,b), из случайной величины равномерно распределенной на интервале (0,1), используется преобразование:

Аналогично, с.в. с нормальным законом распределения и произвольными находится из соотношения:

Для преобразования законов могут использоваться методы: обратных функций, Неймана, моделирования условий предельных теорем. Наиболее часто используется метод обратных функций, который основан на известном математическом соотношении, связывающем случайные числа с заданным законом распределения и равномерно распределенными числами на интервале (0,1).  

Итак, для получения случайных чисел ξi с некоторым требуемым законом распределения F(ξ) из случайных чисел  с известным законом распределения необходимо решить уравнение  относительно ξ:  

Таблица функций для наиболее часто встречающихся распределений:

Распределение, которое нужно получить

или

Экспоненциальное

Гамма распределение (целочисленные η)

Хи-квадрат

Вейбулла

Пуассона

ξ =k, где k – такое наименьшее число, что

Биномиальное

, где ,

Логарифмически нормальное

Группировка данных в вариационный ряд и представление его в виде функции распределения.

В исходной таблице найти наибольшее и наименьшее значения.

Выяснить диапазон изменения случайной величины  .

Наметить число интервалов группировки. Для этого можно воспользоваться формулами:  , , , S-число групп, n-объем выборки.

Определить длину интервала  

Составить интервальный ряд частот и относительных частот.

Перейти от интервального ряда к дискретному. Для этого каждый интервал заменить его средним значением.

Записать эмпирическую функцию распределения , где nx – число вариант, меньших чем x.

Графическое изображение вариационного ряда и эмпирической функции распределения.

Графически интервальный вариационный ряд изображается либо в виде гистограммы относительных частот, либо в виде гистограммы частот.

Дискретный ряд изображается в виде полигона частот или относительных частот.

Вычисление числовых характеристик.

Среднее арифметическое - .

Исправленная дисперсия - .

Исправленное среднеквадратическое отклонение - .

Момент к-ого порядка - .

Коэффициент асимметрии - .

Эксцесс - .

Коэффициент вариации - .

Пример построения гистограммы нормального распределения в среде MathCad:

Чтобы создать график в виде гистограммы, необходимо войти в диалоговое окно формат выбранного графика, перейти на вкладку трассировки и установить в поле Тип элемент списка гистограмма (solidbar).

Теоретические вопросы.

Какая совокупность называется генеральной.

Какие способы формирования выборки вы знаете.

Какие вариационные ряды вы знаете.

Как графически изобразить вариационный ряд.

Что определяет эмпирическая функция распределения.

Что характеризуют числовые характеристики распределения.

Практическая часть.

Задание №1. С помощью случайного датчика сформировать выборку объема n, подчиненную указанному в условии варианта закону распределения. Сгруппировать данные в вариационный ряд, перейти к дискретному. Построить эмпирическую функцию распределения.

Задание №2. Изобразить графически полученные интервальный и дискретный вариационный ряды.

Задание №3. Вычислить числовые характеристики полученных распределений.

Варианты к лабораторной работе №7:

Вариант №1.

Задание №1. Экспоненциальное. Гамма-распределение.

Вариант №2.

Задание №1. Вейбулла. Пуассона.

Вариант №3.

Задание №1. Биномиальное. Логнормальное.

Вариант №4.

Задание №1. Хи-квадрат. Логнормальное.

Вариант №5.

Задание №1.Пуассона. Хи-квадрат.

Вариант №6.

Задание №1. Вейбулла. Экспоненциальное.

Вариант №7.

Задание №1. Экспоненциальное. Пуассона.

Вариант №8.

Задание №1. Биномиальное. Хи-квадрат.

Вариант №9.

Задание №1. Гамма распределение. Биномиальное.

Вариант №10.

Задание №1.  Вейбулла. Хи-квадрат.


Лабораторная работа №8. «Проверка гипотезы о нормальном законе распределения».

Теоретическая часть.

Гипотеза о числовых значениях.

Задача проверки гипотезы о числовых значениях возникает, когда необходимо убедиться в том, что отклонение среднего значения параметра будет соответствовать номиналу, то есть проверить гипотезу Н0: , против альтернативной Н1: , или Н2: . Может возникнуть необходимость проверки гипотезы, что дисперсия равна заданной величине, или доля бракованных изделий равна некоторой заданной величине.

Соответствующие критерии приведены в таблице:

Нулевая

гипотеза

Предположения

Статистика критерия

Альтернативная гипотеза

Критерий отклонения гипотезы

а =а0

σ2 известна

σ2 неизвестна

σ202

а неизвестно

р =р0

n большое

Замечание: Критические значения статистик на уровне значимости α определяют по соответствующим таблицам приложений исходя из соотношений:

Суть проверки гипотезы о нормальном распределении состоит в сравнении эмпирических данных о случайной величине с теоретическими. Эта проверка осуществляется с помощью некоторой критериальной величины U.  U можно найти по формуле на основе эмпирических данных Uнабл и по специальной таблице Uтабл. Если гипотеза о выбранном распределении верна, то значение Uнабл не должно превышать ее теоретического значения Uтабл.

Критерий Пирсона.

Наиболее часто встречаемым на практике является критерий χ2-Пирсона: статистика

или  имеет χ2-распределение с k=m-r-1 степенями свободы, где m –число  интервалов эмпирического распределения, r- число параметров теоретического распределения, ni и npi- соответственно эмпирические и теоретические частоты.

Для расчета теоретических вероятностей используем

при гипотезе о нормальном распределении - функцию Лапласа:, r =2,

при гипотезе для распределения Пуассона ,где - выборочная средняя, r =1.

Критерий Колмогорова.

В данном критерии в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривают

, критериальной является величина , которая сравнивается с табличной.

Замечания:

Если в некотором интервале количество наблюдений меньше 5 имеет смысл объединить соседние интервалы.

Если при применении критерия Колмогорова использовать вместо значений параметров их оценки, то получим большее критическое значение , то есть вероятность принять нулевую гипотезу как правдоподобную, когда она на самом деле противоречит опытным данным.

Теоретические вопросы.

Какая гипотеза называется статистической, конкурирующей.

В чем заключаются ошибки первого и второго рода.

Как влияет изменение уровня значимости на критическую область.

Сформулировать схему проверки гипотезы согласно критерию Пирсона.

Сформулировать схему проверки гипотезы согласно критерию Пирсона

В чем суть критериев согласия, как выбирают критериальную величину.

Какие критерии согласия вы знаете.

Практическая часть.

Задание №1. Снять две выборки объемов N1<<N2 при заданных математическом ожидании и дисперсии.

Найти для каждой выборки точечные оценки .

Проверить гипотезу Н0: , против альтернативных Н1: ,  Н2: , Н3: .

Поверить гипотезу Н0: , против альтернативных Н1: , Н2: , Н3: ,

Задание №2. Случайным образом сформировать распределение, подчиненное нормальному закону. Проверить гипотезу о нормальном распределении и распределении Пуассона на двух различных уровнях значимости с помощью критериев Пирсона и Колмогорова.

Задание №3. Случайным образом сформировать распределение, подчиненное закону Пуассона. Проверить гипотезу о нормальном распределении и распределении Пуассона на двух различных уровнях значимости с помощью критериев Пирсона и Колмогорова.


Лабораторная работа №9. «Изучение линейной корреляционной связи между двумя случайными величинами».

Теоретическая часть.

Задача корреляционного анализа распадается на две:

-установление формы корреляционной связи,

-оценки силы корреляционной связи.

Пусть даны две случайные величины Х и У. Если связь между ними можно считать линейной, то первая задача сводится к отысканию уравнений линейной регрессии

у=ах+b – уравнение регрессии у на х

x=cy+d – уравнение регрессии х на у,

где х и у – средние значения случайных величин, а коэффициенты находятся методом наименьших квадратов.

Решение второй задачи сводится к нахождению выборочного коэффициента линейной корреляции

, где  – среднее значение произведений случайных величин Х, У, , .

Учитывая, что в работе необходимо не только установление формы связи, но и измерение ее тесноты, уравнение линейной регрессии удобно искать в следующем виде:

,

Решение обеих задач корреляционного анализа осуществляется на ограниченном числе наблюдений, поэтому вычисляемые характеристики отличаются от аналогичных характеристик генеральной совокупности. Возможно, что значение получилось случайно, поэтому необходимо убедиться, что вычисленное значение rв неслучайно.

Проверка этой гипотезы осуществляется по t-критерию. Сравнивается наблюдаемое значение  с критическим значением, взятым из таблицы.

Если n – велико, то tкр находят с помощью функции Лапласа, если n<100, то используют таблицу распределения критических точек Стьюдента.

Если , то величины действительно связаны линейной зависимостью.

Для случаев, когда зависимость между случайными величинами нелинейная по переменным, оценка параметров уравнений регрессии осуществляется тем же методом наименьших квадратов. Простейшие нелинейные формы, которые могут быть использованы, таковы:

, чтобы перейти к линейному уравнению, необходимо положить .

, полагаем .

, прологарифмировав обе части делаем замены , .

Теоретические вопросы.

Что понимается под корреляционной зависимостью.

Дайте определение коэффициента линейной корреляции генеральной совокупности.

Чем отличается корреляционный анализ от регрессионного.

На основе какого метода находятся параметры уравнения линейной регрессии.

Какой содержательный смысл имеет коэффициент линейной регрессии

Какой содержательный смысл имеет свободный член уравнения линейной регрессии.

Задание №1. По исходным данным построить точечную диаграмму. Вычислить коэффициент корреляции, определить силу и направление связи. Подсчитать возможную ошибку и установить значимость коэффициента линейной корреляции.

Варианты к лабораторной работе №9:

Вариант №1.

у      х

5

10

15

20

25

30

35

40

итого

100

2

1

-

-

-

-

-

-

3

120

3

4

3

-

-

-

-

-

10

140

-

-

5

10

8

-

-

-

23

160

-

-

-

1

-

6

1

1

9

180

-

-

-

-

-

-

4

1

5

итого

5

5

8

11

8

6

5

2

50

Вариант №2.

у      х

18

23

28

33

38

43

48

итого

125

-

1

-

-

-

-

-

1

150

1

2

5

-

-

-

-

8

175

-

3

2

12

-

-

-

17

200

-

-

1

8

7

-

-

16

225

-

-

-

-

3

3

-

6

250

-

-

-

-

-

1

1

2

итого

1

6

8

20

10

4

1

50

Вариант №3.

у      х

5

10

15

20

25

30

35

итого

100

-

-

-

-

-

6

1

7

120

-

-

-

-

-

4

2

6

140

-

-

8

10

5

-

-

23

160

3

4

3

-

-

-

-

10

180

2

1

-

1

-

-

-

4

итого

5

5

11

11

5

10

3

50

Вариант №4.

у          х

6

8

10

12

14

итого

30

2

17

9

3

-

31

35

-

10

17

9

-

36

40

-

3

24

16

13

56

45

-

-

6

24

12

42

50

-

-

2

11

22

35

итого

2

30

58

63

47

200

Вариант №5.

у          х

20

30

40

80

60

итого

15

7

5

-

-

-

12

25

20

23

-

-

-

43

35

-

30

47

2

-

79

45

-

10

11

20

6

47

55

-

-

9

7

3

19

итого

27

68

67

29

9

200

Вариант №6.

у          х

15

20

25

30

36

итого

40

5

7

-

-

-

12

50

-

4

16

23

-

43

60

-

8

20

32

27

87

70

-

-

11

29

2

42

80

-

-

-

9

7

16

итого

5

19

47

93

36

200

Вариант №7.

у          х

2

2.5

3

3.5

4

итого

1000

-

-

-

2

3

5

2000

-

-

3

6

2

11

3000

-

4

6

3

-

13

4000

1

6

4

1

-

12

5000

6

3

-

-

-

9

итого

7

13

13

12

5

50

Вариант №8.

у          х

1.25

1.5

1.75

2

2.25

итого

8

-

-

1

2

3

6

13

-

-

1

4

3

8

18

-

4

7

1

-

12

23

2

7

5

-

-

14

28

6

4

-

-

-

10

Итого

8

15

14

7

6

50

Вариант №9.

у         х

5

10

15

20

25

30

итого

10

3

3

-

-

-

-

6

20

-

4

4

-

-

-

8

30

-

-

7

35

8

-

50

40

-

-

2

10

8

-

20

50

-

2

-

5

6

3

16

итого

3

9

13

50

22

3

100

Вариант №10.

у         х

10

15

20

25

30

35

итого

50

2

2

-

-

-

-

4

60

2

4

5

6

4

-

21

70

-

2

7

12

10

4

35

80

-

-

-

10

10

6

26

90

-

-

-

8

-

6

14

итого

4

8

12

36

24

16

100

Литература.

Плис А.И., Сливина Н.А. MathCad 2000. Лабораторный практикум по высшей математике.- М.: Высшая школа., 2000.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа., 1999.

1 Для вставки программных операторов используйте только панель программирование или сочетания клавиш, которые приведены в тексте всплывающего меню.

PAGE  50


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34212. Образование ориктоценозов 20.78 KB
  Выделяют три основных этапа перехода: накопление органических остатков захоронение фоссилизация 1. Накопление органических остатков. Скопления остатков погибших организмов образуют танатоценоз – сообщество смерти.
34213. Основные этапы развития палеонтологии 29.91 KB
  Большое значение в развитии палеонтологии имели труды шведского учёного Карла Линнея 1707 – 1778 гг. Становление и развитие палеонтологии происходило в три этапа: додарвиновский дарвиновский и последарвиновский. Додарвиновский этап развития палеонтологии связан с именами таких учёных как англичанин Вильям Смит 1769 – 1839 – палеозоология беспозвоночных Жорж Кювье 1769 – 1832 – палеозоология позвоночных Александр Броньяр 1801 – 1876 – палеоботаника .
34214. Палеонтологический метод и основы стратиграфической классификации 21.23 KB
  Изучается литологический состав отдельных слоёв их взаимоотношение друг с другом причём принимается что при ненарушенном залегании подстилающей слой является более древним а покрывающий – более молодым принцип Стенона. Если же между ними наблюдается стратиграфическое несогласие то предполагается наличие перерыва в осадконакоплении а также возможность размыва нижележащих слоёв. Из каждого слоя или группы слоёв изучается систематический состав биоценозов. При извлечении из слоёв ископаемых остатков отмечаются особенности их захоронения...
34215. Породообразующая роль организмов 36.03 KB
  В образовании органогенной породы принимают участие как скелетные остатки так и продукты жизнедеятельности. В органическом породообразовании самую большую роль играют высшие растения. Организмы принимают участие и в образовании особых известковых форм рельефа океанов и морей – рифовых построек различного типа: береговые и барьерные рифы атоллы биостромы биогермы. В образовании ископаемых и современных рифов принимают участие различные организмы.
34216. Условия обитания животных в океанах и морях 22.64 KB
  Водя является легко проницаемой средой для активно передвигающихся животных. Существование в воде водорослей и бактерий обеспечивает жизнь очень многих животных. Скопление органического детрита поступающего с суши обеспечивает обильное развитие водорослей бурых зелёных багряных а те в свою очередь создают благоприятные условия для жизни многих животных – фораминифер червей моллюсков иглокожих ракообразных.
34220. Современная биология 15.61 KB
  Ламарком происходит от двух греческих слов: bios жизнь и logos наука. Так ботаническими науками являются: микология наука о грибах; альгология наука о водорослях; бриология наука о мхах и т. К зоологическим наукам относятся: протозоология учение о простейших; гельминтология о паразитических червях; арахнология о паукообразных; энтомология о насекомых и т. К морфологическим наукам относятся: анатомия изучающая макроскопическую организацию животных и растений; гистология наука о тканях и о...