52419

Числа Фібоначчі та їх основні властивості

Книга

Педагогика и дидактика

Числа Фібоначчі та їх основні властивості Методичні розробки для факультативних занять Зміст Передмова. Що таке числа Фібоначчі. Деякі найпростіші властивості чисел Фібоначчі. Властивості чисел ФібоначчіНарайани.

Украинкский

2014-02-15

839.5 KB

51 чел.

Погоріла Л. О., Ященко О.О.

Числа Фібоначчі та їх основні властивості

Методичні розробки

для факультативних занять

Зміст

Передмова......................................................................................................................................................

Історичні відомості.........................................................................................................................................

Що таке числа Фібоначчі...............................................................................................................................

Формула Біне.................................................................................................................................................

Деякі ( найпростіші ) властивості чисел Фібоначчі....................................................................................

Властивості чисел Фібоначчі-Нарайани......................................................................................................

Задачі, розгляд яких приводить до послідовностей чисел, які тісно повязані з числами Фібоначчі....

Трикутник Паскаля. Зв’язок коефіцієнтів з числами Фібоначчі................................................................

Числа Фібоначчі і геометрія..........................................................................................................................

Числа Фібоначчі  в поетичних творах.........................................................................................................

Опорні конспекти для факультативних занять...........................................................................................

           5 клас.................................................................................................................................................

           6 клас.................................................................................................................................................

           7 клас.................................................................................................................................................

           8 клас.................................................................................................................................................

           9 клас.................................................................................................................................................

          10 клас.................................................................................................................................................

          11 клас.................................................................................................................................................


Основним математичним змістом методичних розробок є вивчення чисел Фібоначчі та їх деяких     найпростіших властивостей. Під час опрацювання теоретичних відомостей учні знайомляться із задачею,яка здобула популярність у зв’язку з тим, що послідовність чисел, яка з’являється в результаті її розв’язання, має багато цікавих властивостей, а найголовніше – неймовірним чином проявляється у найрізноманітніших областях як математики, так й інших наук. Дослідницьким шляхом підтверджується існування чисел Фібоначчі в живій природі, поезії, архітектурі.

 Виходячи з того, що майже в усіх областях науки знайдені закономірності,які описуються числами Фібоначчі, пропонується розпочати їх вивчення на факультативних заняттях в 5-11 класах. В роботі розроблені й запропоновані опорні конспекти для цих занять.

Передмова

Авторів даної роботи більш глибоко звернутися до наукових знань про числа спонукав вислів в кабінеті математики  - « числа не правлять світом, але показують, як ним управляти».

 В живій природі є багато числових закономірностей, зокрема в спіральних формах, якими так багатий світ природи: основи листків з´єднуються з стеблом  по спіралі, яка проходить між двома сусідніми листками:  повного оберту – у горішника,  - у дуба,  - у тополі і груші,  - в іви. Комірки на ялинковій шишці, на ананасі, насіння соняшника розміщені спіралями, причому  к-сть спіралей кожного напряму, як правило, є числами Фібоначчі.

Дослідження чисел Фібоначчі та їх властивостей представляє інтерес з точки зору принципів пізнання єдиності світу, оскільки в природі існує багато явищ, які описуються послідовностями чисел Фібоначчі. Одним із найголовніших наслідків цих властивостей є існування, так званих, коефіцієнтів Фібоначчі, тобто постійних співвідношень різних членів послідовності. У природі, архітектурі, образотворчому мистецтві, математиці, фізиці, астрономії, біології й багатьох інших областях були знайдені закономірності, які описувались числами або коефіцієнтами Фібоначчі.

Вивчення даної теми актуально особливо зараз, оскільки послідовність Фібоначчі використовується у всіх методах технічного аналізу. Також сучасна наука вважає, що Всесвіт розвивається по так званій золотій спіралі, що будується саме за допомогою золотого коефіцієнта (це число  0,618, до якого прагне відношення кожного числа до наступного по збільшенні порядкового номера членів послідовності Фібоначчі).

Саме тому ми вважаю, що вивчення даної теми в наш час є дуже актуальною. І розпочинати її вивчення потрібно уже в шкільному курсі математики.

ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ

   Уточнення «Пізанський» у більшості освічених людей асоціюється, насамперед, зі знаменитою «падаючою» Пізанською вежею, з якої легендарний Галілео Галілей (1564 – 1642) спостерігав за падінням кинутих вниз гарматних ядер і завдяки цьому відкрив закони вільного падіння. Дехто згадає і про сам Пізанський собор Санта-Марія Маджоре (Святої Марії Радісної), до ансамблю якого ця вежа входила як дзвіниця. І тільки дехто, знайомий з математикою поза шкільною програмою, згадає ім’я Леонардо Пізанського. Разом з тим внесок цього вченого мужа в європейську культуру можна поставити в один рівень із доробком самого Галілея, - його геніального земляка, хоча їх розділяло чотири століття.

  Роки життя Леонардо Пізанського припадають на часи, коли Європа прокидалася від середньовічної сплячки. Це була своєрідна репетиція історії перед бурхливим і яскравим спалахом Ренесансу. (Саме слово «Ренесанс» у перекладі з італійської якраз і означає «Відродження».)

Відродження високих моральних і естетичних ідеалів античності значною мірою відбулося завдяки італійському купецтву. Саме через нього налагоджувались тісні ділові і культурні зв’язки з арабським (ісламським) світом, який переживав тоді період розквіту. Прямих звязків з Індією та Китаєм ще не було. Але знаменита подорож італійького купця Марко Поло (1254 – 1324) до Китаю, здійснена ним у 1271 – 1295 роках, була не за горами. Все це стало передвістям знаменитого італійського гуманізму, який визначив обличчя усієї європейської цивілізації аж до наших днів.

  Купцем був і батько Леонардо Пізанського. Його звали Боначчі (що, до речі, означає

«добродушний»). Самого ж Леонардо називали Фібоначчі – від filius Bonacci, що

дослівно означає «син Боначчі». Під цим прізвищем Леонардо Пізанський і став відомий як учений.

  Купець Боначчі у свої зарубіжні подорожі брав і сина. Він найняв для нього вчителів-арабів. Завдяки цьому Леонардо отримав прекрасну освіту. Це, зокрема, дозволило йому постійно перемагати на математичних турнірах, що якраз тоді увійшли в моду і на довгі роки стали неодмінним атрибутом культурного життя Італії.

  Тогочасні математичні турніри – це прообраз сучасних математичних «боїв», які організовуються для учнів спеціалізованих фізико-математичних шкіл – щось середнє між математичною олімпіадою та КВК. Правда, учасниками турніру були не команди, а лише два суперники, які по черзі пропонували один одному розвязати математичні задачі.

  Саме на цих турнірах і проявилися талант і знання Леонардо, за що він здобув покровительство самого короля. Це сприяло розвитку торгової справи Леонардо, оскільки полегшувало організацію поїздок до Єгипту, Північної Африки, Сирії і Візантії. З іншого боку – забезпечувало йому умови для подальшого зростання як ученого. В чужих країнах Леонардо здобував нові математичні знання. Нарешті, за покровительства Фрідріха ІІ було організовано випуск наукових трактатів Леонардо. І першим серед них стала «Книга абака».

  Не дивлячись на свою назву, ця книга присвячена, власне, не абаку, а вміщує відомості практично з усіеєї тогочасної математики – аж до методів розвязування різноманітних рівнянь. Слово «абак» тоді часто вживалося як синонім до слова «арифметика». І при розгляді усіх цих питань, з першої сторінки і до останьної, Леонаро систематично використовує нову індійську систему нумерації. Кращого способу пропаганди цієї системи годі було і придумати. Ефективність нового способу числення показана на багатьох прикладах розвязування математичних задач найрізноманітнішого змісту. Відтоді індійсько-арабські числа по-справжньому стають європейськими. А «Книга абака» - основною вихідною точкою для розвитку європейської математики. По ній і по її компіляціях вивчали математику аж до часів Декарта (ХVII ст.) та Ейлера (XVIII ст.).

Одна із задач з «Книги абака» Леонардо Пізанського здобула особливу популярність у зв’язку з тим, що послідовність чисел, яка з’являється в результаті її розв’язування, має багато цікавих властивостей, а що найголовніше – неймовірним чином проявляється у найрізноманітніших областях як математики, так й інших наук. Ось ця задача:

  «Хтось помітив пару кроликів у певному місці, огородженому з усіх сторін стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів народжує не світ другу пару, а народжують кролики на другий місяць після свого народження».

  Нехай перша пара кроликів є новонародженою. Тоді на 2-ий місяць ми все ще матимемо тільки 1 пару. На 3-ій місяць ця пара дасть перше потомство і, отже, вже буде 2 пари. На четвертий місяць матимемо 2 + 1 = 3 пари (з двох наявних пар потомство дасть лише перша). На п’ятий місяць буде 3 + 2 = 5 пар, на шостий 5 + 3 = 8 (бо потомство дають тільки ті пари, які народилися не пізніше четвертого місяця). і т. д

 Що таке числа Фібоначчі?

Перейдемо тепер від кроликів до чисел і розглянемо наступну числову послідовність:

u1, u2,..., un,           (1)

в якій кожний член рівний сумі двох попередніх членів, тобто при будь-якому  n > 2.

un = un-1 + un-2.         (2)      

Такі послідовності, в яких кожен член визначається, як деяка функція попередніх, часто зустрічаються в математиці  і називаються рекурентними.

Звернемось тепер до важливого окремого випадку послідовності (1), коли    u1 = 1 і u2 = 1. Умова (2), як було тільки що зазначено, дає нам можливість вичисляти послідовно один за другим всі члени цього ряду. Неважко перевірити, що в цьому випадку  першими чотирнадцятьма його членами будуть числа                                                             1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,                                                                                     які нам вже зустрічались в задачі про кроликів.

В честь автора цієї задачі вся послідовність  (1) при  u1 = u2 = 1 називається рядом Фібоначчі, а її члени – числами Фібоначчі.                                     

Формула Біне

    Для доведення властивостей чисел Фібоначчі використаємо формулу Біне (фр. учений  Ж. Біне 1786-1856). Яка стверджує, що будь-який член un послідовності чисел можна обчислити за законом, тобто

un = (q1nq2n),                    (2)

де          q1 = , q2 = .     (3)

  Для доведення формули (2) можна скористатися методом математичної індукції, врахувавши специфіку означення послідовності чисел Фібоначчі. Коротко спинимося на цьому.

  Неважко переконатися, що для  n = 1, n = 2 формула (2) підтверджується.

  Припустимо, що вона має місце для номерів  n – 1, n – 2 і переконаємося в її справедливості для будь-якого номера n.

  Отже, нехай

un-2 = (q1n-1q2n-2),   un-1 = (q1n-1q2n-1).

Треба довести, що                                un-2 + un-1 = un = (q1nq2n).

  Справді, не важко переконатися, що  1 + q1 = q12, 1 + q2 = q22, а тому un-2 + un-1 =

= [q1n-2 (1 + q1) – q2n-2 (1 + q2)] = (q1nq2n), що й треба було довести.

Деякі (найпростіші) властивості чисел Фібоначчі

  Третій пункт плану дослідження присвячений розгляду основних властивостей чисел Фібоначчі. Сюди ми відносимо такі властивості:

  1.  Будь-яка пара сусідніх чисел ряду Фібоначчі un та un+1 задовольняє одне із рівнянь

х2 – ху – у2 = +1      (5)

   При цьому, якщо у = un, то х = un+1.

  1.  Сума n перших членів ряду Фібоначчі на 1 менша від (n + 2)-го члена того самого ряду:

u1 + u2 +…+ un = un+2 – 1.

  1.  Сума квадратів чисел послідовності Фібоначчі визначається через добуток двох сусідніх членів того самого ряду:

u12 + u22 +…+ un2 = un · un+1.

  1.  Квадрат кожного члена ряду Фібоначчі, зменшений на добуток попереднього і наступного членів, дає поперемінно то +1, то -1:

un2 – un-1 · un+1 = (- 1)n+1.

  1.  u1 + u3 +…+ u2n-1 = u2n.
  2.  u2 + u4 +…+ u2n = u2n+1 – 1.
  3.  un2 + un+12 = u2n+1.

 Спинимося, наприклад, на доведенні першої властивості.

 Замінивши в рівнянні (5) невідомі х та у відповідними виразами (використовуючи формулу Біне)

y =(q1nq2n), x = (q1n+1q2n+1), отримаємо:

[(q1n+1q2n+1)2 – (q1n+1q2n+1)(q1n  - q2n) – (q1nq2n)2] = ±1,

або  q12n+2q1n+1 · q2n+1 + q22n+2q12n+1 + q1n · q2n+1 + q1n+1 · q2nq22n+1q12n + 2q1n · q2nq22n = ±5.

Групуємо члени з однаковими основами:

q12n · (q12q1 – 1) + q22n ·(q22q2 – 1) +

+ q1n · q2n · (-2q1q2 + q2 + q1 + 2) = ±5.

Замість q1 і q2 підставимо у вирази в дужках їх значення (3), дістанемо:

5a1na2n = ±5, або  5(a1a2)2 = ±5.

 Але               a1a2 =  ·  = -1.

Отже, при парному n, 5·(-1)n = 5, а при n непарному, 5·(-1)n = -5.

Тим самим доведено першу властивість з переліку.

Властивість чисел Фібоначчі – Нарайани

  

  Здавалося б, що теорію чисел Фібоначчі можна вважати завершеною, якби видатний індійський математик XIV ст. Нарайана не сформулював своєї задачі про корів і теличок, яка викрила нові пристрасті математиків.

  Задача Нарайана. Корова щороку приносить теличку. Кожна теличка, починаючи з четвертого току свого життя, на початку року також приносить по теличці. Скільки буде всього голів корів і телят через 20 років?

  Міркуючи аналогічно, як в числах Фібоначчі, приходимо до числової послідовності

2, 3, 4, 6, 9, …, Un+1 = Un + Un-2.

  Обчислюючи її члени послідовно, отримаємо, що U20 = 2745. Введемо таке означення.

  Означення. Послідовністю Фібоначчі - Нарайани називатимемо послідовність

Un+1 = Un + Un-2              (1),

а члени цієї послідовності - числами Фібоначчі – Нарайани.

  Покладемо U0 = 0.

  Маємо числову послідовність 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, ….

  

  Послідовність має такі властивості:

  1.  U1 + U2 + … + Un =  Un+3 – 1.
  2.  U1 + U4 + U7 + … + U3n-2 = U3n-1.
  3.  U2 + U5 + U8 + … + U3n-1 = U3n.
  4.  U3 + U6 + U9 + … + U3n = U3n+1 – 1.
  5.  Un+m = Un-1Um+2 + Un-2 Um + Un-3Um+1.
  6.  U2n = Un+12 + Un-12 + Un-22.
  7.  Якщо в послідовності (1) n = 7k + 4, n = 7k + 6, n = 7k, де k = 0, 1, 2, …, то Un – парне.
  8.  На три діляться тільки ті члени ряду (1), порядковій номер яких має вид 8n, 8n – 1 або 8n – 3. 

  З означення послідовності (1) видно, що для того, щоб знайти деякий член послідовності, потрібно знати всі попередні члени. Для спрощення цього пропоную використати ще одну властивість.

  Теорема. Для будь-яких 2 ≤ n є N і { Un}n=1 - послідовності Фібоначчі – Нарайани справедлива рівність

Un = CiUn--2i                        (2)

де [a] – ціла частина числа а.

Доведення

  Використаємо метод математичної індукції. Розіб´ємо множину натуральних чисел N на три підмножини такі, що

n = 3, n = 3 + 1, n = 3 + 2,

де  = 0, 1, 2, 3, …. Для кожного випадку знайдемо  та . Маємо:

а) для     n = : , ;

б) для      n = , ;

в) для      n = , .

  Перевіримо істинність твердження для n = 2:

U2 = = U2.

   

  Припустимо істинність формули для всіх членів послідовності, починаючи з номерів, які менші за n, і доведемо їх істинність для n + 1. з припущення випливає, що формула справедлива для  Un і для  Un-2.

Тобто справедливі рівності

 Un = CiUn--2i,   Un-2 = CiUn--2i.

  

  З вищенаведених міркувань випливає, що для доведення потрібно розглянути два випадки:

1) , ;

2) , .

Перший випадок

Un = CiUn--2i = Un - + Un - - 2 + Un - - 4 + …+ Un -. (3)

Аналогічно

Un-2 = CiUn -2 --2i =

=Un -- 2 + Un -- 4 + Un -- 6 + …+ Un --2.                                      (4)

Додамо почленно рівності (3) і (4):

Un + Un-2 = CiUn--2i + CiUn -2 --2i =

= (Un - + Un - - 2 + Un - - 4 + …+ Un -) +

+ (Un -- 2 + Un -- 4 + Un -- 6 + …+ Un --2) =

= ( Un - + Un -- 2) + ( Un - - 2 + Un -- 4) + ( Un - - 4 + Un -- 6) +…+

+ ( Un - + Un --2).

Враховуючи (1), отримаємо:

Un + Un-2 =  Un -+1 +  Un - - 1 +  Un - - 3 +…+  Un -+1 =

= CiUn+1 --2i = Un+1.

У першому випадку властивість доведена.

Другий випадок

  Додамо рівності (3) і (4):

Un + Un-2 = Un - + Un - - 2 + Un - - 4 + …+ Un -) +

+ (Un -- 2 + Un -- 4 + Un -- 6 + …+ Un --2).

  Використаємо рівності

= ,  =  + .

  Тоді матимемо:

  Un + Un-2 =  Un - + ( + ) Un - - 2 + ( + ) Un - - 4 +

  + ( + ) Un -- 6 +…+ Un --2 = Un - + Un - - 2 +

  + Un - - 4 +…+ Un --2 = CiUn --2i = Un+1.

Теорему доведено.

Розглянемо окремі випадки.

1. Якщо  n = , то формула (2) набирає вигляду:

U3 = CiU-2i.

2. Якщо n = , то маємо:

U3+1 = CiU+1-2i.

3. Якщо n = , то маємо:

U3+2 = CiU+2-2i.

Звідси випливають такі наслідки.

  Наслідок 1. Члени послідовності Фібоначчі – Нарайани з номерами  та  записуються у вигляді лінійної комбінації членів цієї послідовності, починаючи з U, причому з парними номерами.

  Наслідок 2. Члени послідовності Фібоначчі – Нарайани з номерами  записуються у вигляді лінійної комбінації членів цієї послідовності, починаючи з U, причому з непарними номерами.

 Послідовність Фібоначчі – Нарайани – одна з багатьох цікавих історичних задач, яка потребує тривалого дослідження!

Задачі, розгляд яких приводить до послідовності чисел,

які тісно пов´язані з числами   Фібоначчі

Задача 1. Задача  про ріст дерев.

  Це переформульована задача про розмноження кроликів, у якій умови є менш штучними. Вона формулюється так:

  Нехай деяке дерево росте таким чином, що кожна нова гілка протягом першого року тягнеться догори або  в бік, а потім (починаючи з другого року) щорічно дає по одному бічному пагону. Скільки гілок буде на дереві, яке виросте із саджанця без жодного бічного паростка через 1, 2, 3, 4 і  т. д. років?

  

Задача 2. Задача про розміщення листків на гілці.

  Якщо листки на гільці сидять поодинці, то вони завжди ростуть навколо стебла не по колу, а по гвинтовій лінії. При цьому для кожного виду рослин характерний свій кут розходження двох сусідніх листків, який, як стверджують ботаніки, буває більш-менш сталий в усіх частинах стебла. Цей кут звичайно подають дробом, що показує, яку частину кола він становить. Так, у липи і у вяза кут розходження листків дорівнює , у бука - . Скласти послідовність найбільш поширених кутів розходженння (в частинах кола) для рослин, які ростуть у вашій місцевості. Що складають ряд чисельників і ряд знаменників для такої послідовності? Зауважимо, шо такий самий кут у даного виду рослин зберігається і в розміщенні гілок, бруньок, квіток.

Задача 3. Про фарбування будинків у містечку.

  Будинки в містечку потрібно пофарбувати так, щоб кожен поверх виявився пофарбованим або в білий, або в блакитний колір. З естетичних міркувань, ніякі два сусідні поверхи не повинні бути пофарбованими в блакитний колір. Скількома способами можна пофарбувати будинки в містечку, дотримуючись вказаних вимог, якщо число їх поверхів визначено?

  Усі можливі способи фарбування одно-, дво- та три поверхових будинків подано на малюнку.

  Зрозуміло, що одноповерхові будинки можна пофарбувати лише двома способами, двоповерхові – трьома, триповерхові – пятьма способами. Це означає, що із збільшенням кількості поверхів, число способів зростає так: 2, 3, 5...

  Якщо в містечку є будинки з більшою кількістю поверхів, цей ряд треба продовжити. Далі знаючи скільки в містечку одно-, дво-, три- і т.д. поверхових будинків, неважко отримати розвязок цієї задачі.

Трикутник Паскаля. Звязок коефіцієнтів трикутника з числами Фібоначчі.

На рисунку 4 зображено декілька перших  строк числового трикутника, утвореного за наступним  правилом: по краям кожного рядка стоять одиниці, а кожне з інших чисел рівне сумі двох чисел попереднього рядка, що стоять над ним. За цим правилом легко виписувати одну за іншою нові рядки цього трикутника. Саме таким способом він показаний в  «Трактате об арифметическом треугольнике»  французького математика Б. Паскаля  (1623 – 1662), що був опублікований в  1665р., вже після смерті автора. Але декілька інші варіанти цієї числової таблиці зустрічалися століттям раніше в італійського математика Н. Тартальї, а за декілька століть до цього у середньоазіатського ученого і поета Омара Хайяма, деяких китайських та індійських учених.

   Популярність чисел, що складають трикутник Паскаля, не дивна: вони виникають в самих звичайних задачах алгебри, комбінаторики, теорії ймовірностей, математичного аналізу, теорії чисел.

   Скільки різноманітних k-елементних сполучень можна створити із даних n елементів?(рис.5)  

  Які коефіцієнти многочлена  ( 1 + x )n?

Скільки існує рядків з n одиниць і нулів, в яких рівно  k  одиниць?

Скількома різними шляхами можливо спуститися з вершини  А  на рис. 6 в  k-ий перехресток  n-ого рядка?

  На всі ці запитання відповідь дають числа Cnk  трикутника Паскаля. Означення  Cnk  припускає, що верхній рядок трикутника Паскаля складається з одного числа  C00 = 1, наступна ( перша ) – з двох чисел  C10 = C11 = 1, і взагалі  n-ий рядок складається з  n + 1 чисел:

Cn0 = 1,  Cn1 = n,  Cn2 = , …,  C1n-1,  Cnn.

   Числа   Cnk  звичайно називають числами взаємодії  з  n  елементів до  k, або біноміальними коефіцієнтами; в деяких книжках для них використовують означення   ( kn ). Воно є зручним для запам´ятовування простої формули, яка дозволяє за заданими номирами   n  і  k відразу вичислити, яке число стоїть на  k-му місці в  n-ому рядку трикутника Паскаля:

Cnk = ( kn ) = .

  Використовуючи  означення факторіала m! = 1·2·... · m, цю формулу можна записати ще коротче:

Cnk = ( kn ) = .

    В «рівнобедреній» формі трикутника Паскаля на рис. 6.1 очевидно властивість симетрії кожного рядка  Cnk  = Cnn-k; при цьому посередині рядка стоїть найбільше число  Cnn/2, ( якщо n парне ) або два найбільших числа  Cnn/2-1 = Cnn/2+1 ( якщо  n  непарне ), а до країв числа монотонно зникають.

   Якщо записати цей же трикутник в «прямокутній» формі ( рис. 6.4 ), то цілий ряд властивостей трикутника Паскаля, зв´язаний з сумами його чисел, буде зручніше спостерігати. В тому числі, сума декількох перших чисел кожного стовпчика рівна числу наступного стовпчика, що стоїть за ним:

1 + 2 + … + ( m – 1) = Cm2 = ;

C22 + C32 + … + Cm-12 = Cm3 =

( числа  Cm2 = m·( m – 1 )/2 називаються трикутними числами, а числа  Cm3 – пірамідними); і взагалі при   m > k  

Сkk + Сk+1k + … + Сm-1k = Сmk+1.

  Суми чисел за «висхідними» ( зеленими ) діагоналям на рисунку 6.4 рівні послідовним числам Фібоначчі.

Числа Фібоначчі і геометрія.

 1. Розділимо відрізок АВ одиничної довжини  ( рис. 7.1 ) на дві частини так, щоб більша із цих частин була середнім пропорційним між меншою частиною та цілим відрізком.

   Позначимо для цього шукану довжину більшої частини відрізка через   х. Очевидно, довжина його меншої частини при цьому дорівнюватиме  1 – х, і умова нашої задачі дає нам пропорцію

= ,           (7.3)

з якої

х2 = 1 – х.            (7.4)

   Позитивним коренем  (7.4) є   , так що відношення в пропорції  (7.3) рівні

=  =  =  =

кожне. Таке ділення ( точкою С1 ) називається діленням в середньму і крайньому відношенні. Його часто також називають золотим діленням.

    Якщо взяти відмінний корінь рівняння  (7.4), то дільникова точка С2 виявитьсяпоза відрізком АВ ( ділення такого виду називається  зовнішнім діленням ), як це добре видно на рис. 7.1. Легко показати, що і тут ми маємо діло з золотим діленням;

=  = .

 2. Фактична побудова точки, що ділить відрізок золотим діленням, здійснюється без труднощів.

    Нехай  АВ = 1; побудуємо з точки А перпендикуляр і візбмемо точку Е, для якої АЕ =   ( рис. 7.2 ).

   

Тоді

ЕВ =  = .

    

Провівши з Е, як з центра, дугу через А до перетину з ЕВ в точці D, ми отримуємо

ВD = .

    Нарешті, провівши через  D дугу з центром в В. Ми знаходимо шукану точку  С1. Точку зовнішнього ділення  С2 з умови  АС2 = ВС1.

Числа Фібоначчі у поетичних творах

Багато що в структурі поетичних творів ріднить цей вид мистецтва з музикою. Чіткий ритм, закономірне чергування ударних і ненаголошених складів, впорядкована розмірність віршів, їх емоційна насиченість роблять поезію рідною сестрою музичних творів. Кожен вірш володіє своєю музичною формою - своєю ритмікою і мелодією. Можна чекати, що в будові віршів виявляться деякі риси музичних творів, закономірності музичної гармонії, а отже, і золота пропорція.

Почнемо з величини вірша, тобто кількості рядків в ньому. Здавалося б, цей параметр вірша може змінюватися довільно. Проте виявилося, що це не так. Наприклад, проведений Н. Васютінськім аналіз віршів А.С. Пушкина з цієї точки зору показав, що розміри віршів розподілені вельми нерівномірно; виявилося, що Пушкін явно віддає перевагу розмірам в 5, 8, 13, 21 і 34 рядків (числа Фібоначчі).

Багатьма дослідниками було помічено, що вірші подібні музичним творам; у них також існують кульмінаційні пункти, які ділять вірш в пропорції золотого перетину. Розглянемо, наприклад, вірш А.С. Пушкина "Швець":

Картину раз высматривал сапожник
И в обуви ошибку указал;
Взяв тотчас кисть, исправился художник,
Вот, подбочась, сапожник продолжал:
"Мне кажется, лицо немного криво...
А эта грудь не слишком ли нага?
Тут Апеллес прервал нетерпеливо:
"Суди, дружок, не выше сапога!"

Есть у меня приятель на примете:
Не ведаю, в каком бы он предмете
Был знатоком, хоть строг он на словах,
Но черт его несет судить о свете:
Попробуй он судить о сапогах!

Проведемо аналіз цієї притчі. Вірш складається з 13 рядків. У ньому виділяється дві смислові частини: перша в 8 рядків і друга (мораль притчі) в 5 рядків (13, 8, 5 - числа Фібоначчі).

Один з останніх віршів Пушкіна не "дорого ціную я гучні права …" складається з 21 рядка і в ньому виділяється дві смислові частини: у 13 і 8 рядків.

Не дорого ценю я громкие права,
От коих не одна кружится голова.
Я не ропщу о том, что отказали боги
Мне в сладкой участи оспаривать налоги
Или мешать царям друг с другом воевать;
И мало горя мне, свободно ли печать
Морочит олухов, иль чуткая цензура
В журнальных замыслах стесняет балагура.
Все это, видите ль, слова, слова, слова.
Иные, лучшие, мне дороги права:
Иная, лучшая, потребна мне свобода:
Зависеть от царя, зависеть от народа -
Не все ли нам равно? Бог с ними.
Никому
Отчета не давать, себе лишь самому
Служить и угождать; для власти, для ливреи
Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи;
По прихоти своей скитаться здесь и там,
Дивясь божественным природы красотам,
И пред созданьями искусств и вдохновенья
Трепеща радостно в восторгах умиленья,
Вот счастье! Вот права...

Характерний, що і перша частина цього вірша (13 рядків) по смисловому змісту ділиться на 8 і 5 рядків, тобто весь вірш побудований по законах золотої пропорції.

Представляє безперечний інтерес аналіз романа "Євгенії Онегин", зроблений Н. Васютінськім. Цей роман складається з 8 глав, в кожній з них в середньому близько 50 віршів. Найдосконалішої, найбільш вигостреним і емоційно насиченим є восьмий розділ. У ній 51 вірш. Разом з листом Євгенія до Тетяни (60 рядків) це точно відповідає числу Фібоначчі 55!

Н Васютінській констатує:

"Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне - строка "Бледнеть и гаснуть... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!".

Е. Розенов провів аналіз багатьох поетичних творів М.Ю. Лермонтова, Шиллера, А.К. Толстого і також знайшов в них "золотий перетин".

Знаменитий вірш Лермонтова "Бородіно" ділиться на дві частини: вступ, звернений до розповідача і займаючий лише одну строфу ("Скажіть, дядько, адже недаремно …"), і головну частину, представляюче самостійне ціле, яке розпадається на дві рівносильні частини. У першій з них описується з наростаючою напругою очікування бою, в другій - сам з поступовим зниженням напруги до кінця вірша. Межа між цими частинами є кульмінаційною точкою твору і доводиться якраз на точку розподілу його золотим перетином.

Головна частина вірша складається з 13 семістіший, тобто з 91 рядка. Розділивши її золотим перетином (91:1,618 = 56,238), переконуємося, що точка розподілу знаходиться на початку 57-го вірша, де стоїть коротка фраза: "Ну ж була днинка!". Саме ця фраза є "кульмінаційним пунктом збудженого очікування", завершальної першу частину вірша (очікування бою) і відкриваючий другу його частину (опис бою).

Таким чином, золотий перетин виконує в поезії вельми осмислену роль, виділяючи кульмінаційний пункт вірша.



 ЧИСЛОВІ   ПОСЛІДОВНОСТІ

Число – одне з основних понять математики, яке дозволяє виразити результати обліку та виміру.

Натуральні числа – числа, якими люди користуються під час лічби предметів.

1, 2, 3, 4, 5, 6,… - послідовність натуральних чисел.

Позначення множини натуральних чисел: N

Розглянемо декілька цікавих послідовностей.

       2, 4, 6, 8,… - послідовність парних чисел (кожний наступний член послідовності, починаючи з другого члена, більше попереднього на 2).

Завдання:

Продовжити  закономірність:

     

   Розглянемо закономірність послідовних чисел, які діляться без остачі на 3:

                3, 6, 9, 12, 15, 18, …

       

Завдання:

      Продовжити  закономірність:

   1.

   2.

   

В даній послідовності кожний наступний член у 3 рази більше, ніж попередній.

                5, 15, 45, 135, …

       


       Завдання:

               Продовжити  закономірність:

          1.

          2.

        

Леонардо Фібоначчі (Леонардо Пізанський) – італійський математик, автор “Книги про абак” (1202 р.), яка декілька століть залишалася основною скарбницею відомостей про арифметику та алгебру та зіграла значну роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох століть. Зокрема саме в цій книзі європейці познайомилися з арабськими цифрами.

В матеріалах трактата розглядалася послідовність:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…, яка отримала назву ряд Фібоначчі, а її члени – називаються числа Фібоначчі.

Побудова послідовності: кожний член, починаючи з 3-го, дорівнює сумі двох попередніх членів.

Ці числа треба зараз

                                            Тобі  запамятати,

                                            Бо ще не раз пізніше

 Їх будеш  зустрічати!

       Завдання:

   1. Продовжити дану закономірність:

2. Побудувати послідовність за розглянутою схемою (кожний член, починаючи з 3-го, дорівнює сумі двох попередніх членів), якщо:

перший член дорівнює 7, а другий – 10.


ДЕЯКІ   ВЛАСТИВОСТІ ЧИСЕЛ  ФІБОНАЧЧІ

 Нагадаємо: послідовність чисел Фібоначчі – послідовність виду:

     1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

Введемо позначення. Нехай unчлен послідовності з номером n.

(u1=1, u2=1, u3=2, u4=3, u5=5, u6=8, u7=13, u8=21, … un).

       Завдання:

              Визначити чому дорівнює u12, u15.

Подільність чисел Фібоначчі

     1. Кожний третій член послідовності Фібоначчі – парне число.

Завдання:

Експериментальним шляхом перевірити дану властивість.

      2. Кожний четвертий член послідовності – число, яке ділиться  на 3 без остачі.

Завдання:

Експериментальним шляхом перевірити дану властивість.

      3. Кожний п’ятнадцятий член послідовності – число, яке закінчується нулем.

Завдання:

Експериментальним шляхом перевірити дану властивість.

  1.  u12+u22+u32+…+un2= un un+1 (для будь-якого n).

 Експериментальним шляхом перевіимо: для n=4.

u12+u22+u32+ u42= u4 u4+1

u12+u22+u32+ u42= u4 u5

12+12+22+32=3·5

    1+1+4+9=15

               15=15.

Завдання:

Експериментальним шляхом перевірити дану властивість для n=5, n=7.

      5.    u1+u2+u3+…+un= un+2 -1   (для будь-якого n).

 Експериментальним шляхом перевіимо: для n=5.

u1+u2+u3+ u4+u5= u5+2 -1

u1+u2+u3+ u4+u5= u7 -1

      1+1+2+3+5=13-1

                     12=12

Завдання:

      Експериментальним шляхом перевірити дану властивість для n=6, n=8.

      6.    um+k = uk-1um+uk um+1   (для будь-якого n).

 Експериментальним шляхом перевіимо: для m=3, k=5.

          u3+5 = u5-1u3+u5 u3+1

             u8 = u4u3+u5 u4

             21= 3·2 +5·3

             21=21

Завдання:

Експериментальним шляхом перевірити дану властивість для m=4, k=7.


ТРИКУТНИК  ПАСКАЛЯ

ПІДНЕСЕННЯ  ДВОЧЛЕНА  ДО  СТЕПЕНЯ

Розглянемо технологію побудови трикутника Паскаля:

  •  По краям кожного рядка ставимо 1.

     Пригадуючи технологію побудови послідовності чисел Фібоначчі, обчислюємо числа, які знаходяться в середині трикутника (кожне таке число дорівнює сумі двох чисел, що стоять в попередньому рядку над даним числом).

  •  Наприклад, число 4  (4-го рядка) отримано, як сума 3 та 1 чисел 3-го рядка. (рис.1).

    Цікаво, що коефіцієнти, які входять до трикутника, можна застосовувати при піднесенні двочлена до степеня.

   Розглянемо відомий випадок:

   (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. Побудуємо дану формулу за допомогою трикутника Паскаля. Звернемо увагу на рядок номер 3 (номер рядка відповідає степені двочлена). Числа, які входять в рядок (1, 3, 3, 1) є коефіцієнтами одночленів, що є складовими розкладу двочлена:

    (a+b)3=1a3b0+3a2b1+3a1b2+1a0b3.

    Степінь змінної a, починаючи з 3, зменшується до 0, а степінь змінної b, починаючи з 0, збільшується до 3.

    Користуючись вищезазначеним механізмом побудови формули піднесення двочлена до степеня, розглянемо наступний випадок:

     (a+b)4=1a4b0+4a3b1+6a2b2+4a1b3+1a0b4.

Завдання:

Вивести формули (a+b)7, (a+b)10.


ПРИНЦИП  ДІРІХЛЕ  

ТА  ЧИСЛА  ФІБОНАЧЧІ

Якщо в пяти клітках розміщено шість кролів, то принаймні в одній клітці сидить не менше двох кролів.

Принцип Діріхле: Якщо в n шухлядах міститься не менше, ніж n+1 річ, то, висуваючи ці шухляди, ми принаймні в одній виявимо не менше двох речей.

Загальне твердження принципу Діріхле:  Якщо множина з nk+1 елементів розбита на n підмножин, то принаймні одна підмножина містить не менше, ніж k+1 елемнет.

Розглянемо декілька цікавих задач.

          В шаховому турнірі кожен шахіст зіграв з кожним по одній партії. Всі отримали принаймні по одній перемозі. Довести, що якісь двоє шахістів у підсумку мають однакову кількість перемог.

Розвязання:

      

 

        Петер Густав Лежен Діріхле (13.12.1805-05.05.1859), видатний німецький математик. Визнання заслужив завдяки ряду відкриттів у алгебрі і теорії чисел, важливих досліджень в області математичного аналізу, вагомих результатів у мехініці та математичній фізиці.

П.Діріхле вперше використав свій принцип в 1842 р. під час доведення теореми про існування раціонального наближення ірраціонального числа

Довести, що в послідовності Фібоначчі є число,

яке ділиться на 1991.

Розвязання. Позначимо через аn остачу від ділення un на 1991. Розглянемо послідовність пар остач (а12), (а34),…, (а2к-1)… Існує лише скінченна кількість різних таких пар (а саме 19912), тому в цій послідовності знайдуться дві однакові пари. Тобто, для деяких k, p (k<р) будуть мати місце рівності аkp, аk+1p+1. Оскільки un-1= un+1- un, то число аn-1 однозначно визначається числами аn та аn+1. Тому аk-1= аp-1, аk-2= аp-2,…, а2= аp-k+2, а1= аp-k+1. Oскільки а21=1, числа up-k+2 та up-k+1 при діленні на 1991 дають однакові остачі. Тому число uр-k= uр-k+2- up-k+1 ділиться на 1991.

ЗАВДАННЯ

      

  1.  Довести, що останні цифри членів послідовності Фібоначчі, починаючи з деякого місця, періодично повторюються.
  2.  Довести, що для будь-яких 100 цілих чисел можна вибрати кілька (можливо, одне), сума яких ділиться на 100.
  3.  Довести, що з будь-яких 52 цілих чисел можна вибрати два числа, сума або різниця яких ділиться на 100.
  4.  В змаганнях з бігу приймають участь 100 спортсменів. Відомо, що серед будь-яких 12 з них знайдуться двоє знайомих між собою. Довести, що як би не роздавали учасникам стартові номери (не обов’язково від 1 до 100), знайдуться два знайомі спортсмени, чиї номери починаються з однакової цифри.

5. В країні розташовано кілька замків. З кожного замку ведуть три дороги до інших замків. З деякого замку виїхав лицар. Мандруючи дорогами, з кожного замку на своєму шляху він звертає направо чи наліво відносно дороги, по якій проїхав. Лицар ніколи не звертає в той бік, в який звернув у попередньому замку. Довести, що колись він повернеться до початкового замку.


ВЛАСТИВІСТЬ  ЧИСЕЛ  

ФІБОНАЧЧІ-НАРАЙНИ

ЗАДАЧА  НАЙРАНА

Корова щороку приносить теличку. Кожна теличка, починаючи з четвертого року свого життя, на початку року також приносить по теличці. Скільки буде всього корів і телят через 20 років?

Міркуючи аналогічно, як в числах Фібоначчі, приходимо до числової послідовності

2, 3, 4, 6, 9,…., Un+1=Un+Un-2

Обчислюючи її члени послідовно, отримаємо, що U20=2745.

 ОЗНАЧЕННЯ: послідовністю Фібоначчі-Нарайни називатимемо послідовність

Un+1=Un+Un-2,

а члени цієї послідовності – числами Фібоначчі-Нарайни.

Покладемо U0=0.

Маємо числову послідовність:

0,1,1,1,2,3,4,6,9,13,…

Метод математичної індукцції

  1.  Початок індукції: перевіряється,чи твердження, яке розглядається, виконується при n=1;
  2.  Індуктивний перехід: доводиться, що коли задане твердження виконується для n, то воно виконується і для n+1.

Таким чином, почавши з n=1, ми на основі доведеного індуктивного переходу одержуємо справедливість сформульованого твердження для n=2,3,…, тобто для будь-якого натурального n.

Властивість чисел Фібоначчі-Нарайни

  1.  U1+U2+…+Un=Un+3-1.

Доведення:

  1.  n=3. (U1+U2+ U3= U6-1,  1+1+1=4-1).
  2.  Припустимо, що рівність виконується  для n U1+U2+…+Un=Un+3-1.

Доведемо, що рівність виконується для n+1:

U1+U2+…+Un+ Un+1 =Un+4-1.

U1+U2+…+Un+ Un+1= Un+3-1+ Un+1= (Un+3+ Un+1)-1= Un+4-1,

що і вимагалося довести.  

  1.  U1+U4+ U7 …+U3n-2=U3n-1.

Доведення:

  1.  n=2. (U1+U4= U5,  1+2=3).
  2.  Припустимо, що рівність виконується  для n

    U1+U4+ U7 …+U3n-2=U3n-1.

Доведемо, що рівність виконується для n+1:

U1+U4+ U7 …+U3n+1=U3n+2.

U1+U4+…+U3n-2+ U3n+1= U3n-1+ U3n+1= U3n+2,

що і вимагалося довести.  

Завдання. Довести методом математичної індукції.

  1.  U2+U5+ U8 …+U3n-1=U3n.

  1.  U3+U6+ U9 …+U3n=U3n+1-1.

  1.  Un+m=Un-1 Um+2+ Un-2 Um+ Un-3 Um+1.

  1.  U2n= Un+12+ Un-12+ Un-22.

        Нарайна (XIV ст.) видатний індійський математик, сформулував задачу про корів і теличок, яка викрила нові пристрасті математиків.


 

МЕТОД  МАТЕМАТИЧНОЇ  ІНДУКЦІЇ  

І  ЧИСЛА ФІБОНАЧЧІ

f1, f2,f3,…,fn,… - числа Фібоначчі.

Довести, що кожне натуральне число дорівнює сумі кількох (можливо одного) різних чисел Фібоначчі.

  1.  Для n=1 твердження вірне, оскільки 1 є числом Фібоначчі.

2. Доведемо, що воно виконується і для числа n. Якщо n – число з послідовності Фібоначчі, то твердження справедливе.

Якщо n не є числом Фібоначчі, то позначимо найбільше з чисел Фібоначчі, яке не перевищує n, через fі. Розглянемо різницю n- fі. Оскільки fі< n<fі+1= fі-1+ fі, 1<n- fі<fі-1, то за припущенням індукції n- fі можна записати у вигляді суми членів послідовності Фібоначчі, менших fі-1. Тобто n-fi=fi1+fi2+…+fik+fi. Отже, і в цьому випадку n можна записати як суму декількох різних чисел Фібоначчі.

   fn+m=fn-1fm+fnfm+1

Індукція по m.

Якщо  m=1 формула приймає вигляд fn+1=fn-1f1+fnf2

                  m=2 формула приймає вигляд fn+2=fn-1f2+fnf3= fn-1+2fn=            =fn-1+fn+fn.

Припустимо, що виконується рівність fn+m=fn-1fm+fnfm+1 при m=k при m=k+1. Доведемо, що вона виконується і при m=k+2.

fn+2=fn+1+fn=fn-1+fn+fn=fn-1+2fn=fn-1f2+fnf3.

Додаючи останні дві рівності, отримаємо:

fn+k+2=fn-1fk+2+fnfk+3.

Якщо n ділиться на m, то і fn ділиться на fm.

Нехай n ділиться на  m, тобто n = mk. Доведення будемо вести індукцією по k. Для k=1, n = m, видно, що fn ділиться на fm.

Припустимо, що fmk ділиться на fm. Розглянемо fm(k+1).

fm(k+1)=fmk+m. Відомо, що fn+m=fn-1fm+fnfm+1.

Тоді, fm(k+1)=fmk-1fm+fmkfm+1. Перший доданок правої частини ділиться на fm. Другий – кратний fmk., тобто за припущенням також ділиться на fm. Це означає, що на fm ділиться і їх сума fm(k+1).


ЗВ’ЯЗОК   ЧИСЕЛ   ФІБОНАЧЧІ

ТА   ЗОЛОТОЇ   ПРОПОРЦІЇ  

З   РІЗНИМИ  ГАЛУЗЯМИ  НАУК

Розглянемо рівняння х2=х+1.  Додатнім коренем даного рівняння є число =.Наближене значення  1,6180339887498948482045868343656381177203…

Значення   називається ЗОЛОТОЮ   ПРОПОРЦІЄЮ.

Розглянемо числову послідовність, яка утворена із співвідношень сусідніх чисел Фібоначчі:

,  , ,   ,   ,  , …               (*)

Перші числа послідовності (*),  мають наступні значення:

= 1,  =2, =1,5,   =1,66, =1,6,  =1,625, =1,61538, …

            =τ=.

Цей результат підкреслює звязок між числами Фібоначчі та золотою пропорцією.


ЗОЛОТА  ПРОПОРЦІЯ  В  ГЕОМЕТРИЧНИХ  ОБ
ЄКТАХ

Кожні вісім років планета Венера описує довершено правильний пентакл по великій небесній сфері. Стародавні люди помітили це явище і були так вражені, що Венера та її пентакл стали символами довершеності та красоти.

Відомо, що зірка ледве не стала символом Олімпійських ігор, але в останній момент її модифікували: п’ять гострих кінців зірочки замінили п’ятьма кільцями. За переконаннями організаторів кільця краще відображають гармонію ігор. Слово «Пентагон» нам добре відомо у звязку з назвою військового відомства США, будівля якого має форму пентагона.

В античному мистецтві широко відомий закон золотої чаші, який використовували скульптори. Заштрихована частина пентагона дає схематичне уявлення золотої чаші.

У Радянському Союзі існував Державний Знак якості, у якому проглядався мотив золотої чаші.

ЗАВДАННЯ

Розглядаючи виміри пентагона, знайти декілька відношень, які дорівнюють золотій пропорції.

ПЛАТОНОВІ   ТІЛА

Геометрія додекаедра та ікосаедра пов’язана із золотою пропорцією. Гранями додекаедра є пентагони, тобто правильні п’ятикутники, які утворені на основі золотої пропорції. Якщо уважно подивитися на ікосаедр, то можна побачити, що в кожній вершині ікосаедра збігаються п’ять трикутників, зовнішні сторони яких утворюють пентагон. Цих фактів достатньо, щоб переконатися в тому, що золота пропорція грає суттєву роль в конструкції цих двох платонових тіл.

РОБОТА  СЕРЦЯ  

ЗАВДАННЯ

Проаналізувати власну кардіограму, довести звязок циклів кардіограми з золотою пропорцією.

 

ЗОЛОТИЙ   ПЕРЕРІЗ   У   МУЗИЦІ

Будь-який музичний твір має часову довготу і ділиться деякими «естетичними віхами» на окремі частини, які звертають на себе увагу та полегшують сприйняття цілого. Цими віхами можуть бути динамічні та інтонаційні кульмінаційні пункти музичного твору.

Аналіз великого числа музичних творів дає висновок, що організація твору побудована так, що кардинальні частини, поділені віхами, утворюють ряди Золотого перерізу.

Найбільша кількість творів, які мають золотий переріз:

Аренський – 95%,

Бетховен – 97 %,

Гайдн – 97 %,

Моцарт – 91 %,

Скрябін – 90 %,

Шопен – 92 %,

Шуберт – 91 %.

ЗАВДАННЯ

Серед музичних творів перелічених композиторів знайти твір, який має золотий переріз. Обґрунтувати відповідь дослідженнями.

Усе в природі підпорядковано суворим математичним законам. Розташування листків на стеблах також має строгий математичний характер і це явище названо в ботаніці філлотаксисом. Суть філлотаксису заключається у гвинтовому розташуванні листків на стеблі рослин (гілки на деревах, пелюстки у суцвіттях та ін.). У явищі філлотаксиса використовуються поняття "гвинтова вісь симетрії". Розглянемо, наприклад, розташування листків на стеблі рослини. Листя знаходяться на різних висотах стебла по гвинтовій лінії, яка обкручується навколо його поверхні

Для того щоб перейти від нижчого листка до наступного, необхідно повернути листя на деякий кут навколо вертикальної вісі стебла, а потім підняти його на визначений відрізок нагору. В цьому і складається сенс "гвинтової симетрії". Розглянемо характерні "гвинтові вісі", які виникають на стеблах рослин. На мал. зображено стебло рослини з гвинтовою віссю симетрії третього порядку. Прослідкуємо лінію листорозташування на цьому  малюнку. Для того, щоб перейти від листка 1 до листка 2, потрібно повернути перший навколо вісі стебла на 120° проти часової стрілки (якщо дивитися знизу), а потім пересунути листок 1 впродовж стебла по вертикалі до тих пір, поки він не співпаде з листком 2.  Повторюючи подібну операцію, перейдемо від листа 2 до листа 3, а потім до листа 4. Звернемо увагу, що листок 4 лежить над листком 1 (як би повторює його, але поверхом вище), піднімаючись від листка 1 до листка 4, ми тричі зробили поворот на кут 120°, тобто здійснили повний оберт навколо вісі стебла (120° ´ 3 = 360°). Кут оберту гвинтової вісі у ботаніків називається "кутом розходження листків". Вертикальна пряма, яка зєднує два листки, які розташовані один над одним на стеблі, називається "ортостихою". Відрізок 1-4 ортостихи відповідає повній трансляції гвинтової вісі. Число обертів навколо вісі стебла для переходу від нижчого листка до вищерозташованого, який знаходиться точно над нижчим (по ортостисі), може дорівнювати не тільки 1, але й 2, 3 і т.і. Це число обертів називається "листковим циклом". В ботаніці прийнято характеризувати гвинтове листкорозміщення за допомогою дробу, чисельником якого є число обертів у листковому циклі, а знаменником - число листків у цьому циклі. У даному випадку маємо гвинтову вісь типу 1/3. Виникає питання, якими можуть бути числа a і b, які характеризують гвинтову вісь типу a/b. Природа дає нам черговий сюрприз у вигляді так званого "закону філлотаксису". Ботаніки стверджують, що дроби, які характеризують гвинтові вісі рослин, утворюють строгу математичну послідовність, складену з відношень сусідніх чисел Фібоначчі, тобто:

1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34,....

(*)

Пригадаємо, що рядом Фібоначчі є наступна послідовність чисел: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,….   (**)

Порівнюючи (*) та (**) помічаємо, що дроби в послідовності (*) утворюються числами Фібоначчі, які взяли через одне число.

Ботаніки встановили, що для різних рослин характерні свої дроби філлотаксису із послідовності (*). Наприклад, дріб 1/2 властивий зерновим, березі, винограду; 1/3 - осоці, тюльпану; 2/5 - груші, смородині, сливі; 3/8 - капусті, редьці, льону; 5/13 - ялинці, жасмину та ін.

Фізична причина, яка лежить в основі філлотаксису   при такому розташуванні листків, досягається максимумом потоку сонячної енергії до рослин. 

Всі суцвіття і тісно з’єднані ботанічні структури (соснові та кедрові шишки, ананаси, кактуси, голівки соняшників та багато ін.) також чітко відповідають числам Фібоначчі.

Не тільки рослини, але й деякі тварини, наприклад, змії, використовують ті ж самі принципи в організації своїх зовнішніх форм.

Таким чином, сувору математику ми знаходимо і в розміщенні пелюстків на квітці троянди,і в перерізі яблука (пентаграма), і в сосновій шишці, і в голівці соняшника. І ми знову і знову переконуємося в тому, що все в природі підпорядковується єдиному плану, єдиним законам. Розкрити і пояснити ці закони – основне завдання людської науки.

 

ЗАВДАННЯ

Перевірити розглянуту властивість на прикладі реальних рослин.


Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Якщо в турнірі грало N шахістів, то кожний міг виграти не більше за N-1 партію і виграв не менше однієї. Вважаючи N шахістів “кролями”, а можливі кількості виграних партій (1,2,…, N-1) “клітками”, з принципу Діріхле отримаємо твердження задачі.

ПЕНТАГОН – це правильний пятикутник.

Якщо у пентагоні провести діагоналі, одержимо п’ятикутну зірку, яка називається пентаграмою або ПЕНТАКЛОМ.

В пентагоні можна знайти велику кількість відношень золотої пропорції.

Наприклад, відношення діагоналі до його сторони.

На кардіограмі серця виділяють дві ділянки різної довжини, які відповідають систоличній (t1) і діастоличній (t2) діяльності серця. Встановлено, що у людини та у інших ссавців присутня оптимальна ("золота") частота серцебиття,  довгота систоли, діастоли та повного серцевого циклу (T) відносяться у пропорції золотого перерізу, тобто       T : t2 = t2 : t1. Так наприклад, для людини ця "золота" частота дорівнює 63 ударам серця у хвилину, для собак – 94. Це відповідає реальній частоті сердцебиття в стані спокою.

Встановлено, що якщо взяти за одиницю середній тиск крові в аорті, то систоличний тиск крові в аорті складає 0,382, а діастоличний - 0,618, тобто їх відношення відповідає золотій пропорції. Це означає, що робота серця у відношенні часових циклів та зміни тиску крові оптимізовані по тому ж принципу - закону золотої пропорції.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17006. Комунікації в управлінні 105 KB
  ТЕМА 10. Комунікації План лекції Процес комунікації. Міжособистісні та організаційні комунікації. Управління комунікаційними процесами. 1. Процес комунікації У вузькому розумінні комунікація – це процес обміну інформацією фактами ідея
17007. Ефективність управління 87 KB
  ТЕМА 11. Ефективність управління План лекції Зміст категорії €œефективність управління€ Концепції визначення ефективності управління. Підходи до оцінки ефективності управління. Напрямки підвищення ефективності управлінс...
17008. СТРАХУВАННЯ. МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДЛЯ ВИВЧЕННЯ ДИСЦИПЛІ-НИ 566.5 KB
  С.О. Труфанова СТРАХУВАННЯ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДЛЯ ВИВЧЕННЯ ДИСЦИПЛІНИ Методичний комплекс містить перелік тем які виносяться для вивчення на лекційних та практичних заняттях. До кожної теми наведені методичні вказівки необхідні для її опрацювання запитання
17009. ЕТАЛОННІ СТРАТЕГІЇ РОСТУ (РОЗВИТКУ БІЗНЕСУ) 89.5 KB
  ЕТАЛОННІ СТРАТЕГІЇ РОСТУ РОЗВИТКУ БІЗНЕСУ Сутність і класифікація стратегій росту Якщо підприємство займає стійкі ринкові позиції стабільний розвиток і обирає за мету зростання обсягів збуту ринкової частки прибутку та розширення масштабів своєї діяльност...
17010. Еволюція управлінської думки 7.49 MB
  ТЕМА 2. Еволюція управлінської думки План лекції Виникнення науки менеджменту та напрямки еволюції управлінської думки. Ранні теорії менеджменту. Інтегровані підходи до управління. Сучасні напрямки розвитку науки управління 1. Виникнення науки...
17011. Основи теорії прийняття управлінських рішень 10.18 MB
  ТЕМА 3. Основи теорії прийняття управлінських рішень План лекції Поняття і моделі прийняття рішень. Процес прийняття рішень. Методи творчого пошуку альтернативних варіантів. 1. Поняття і моделі прийняття рішень У науковій літературі зустрічаєт
17012. Цілі управлінського планування 5.38 MB
  ТЕМА 5. Цілі управлінського планування План лекції Поняття і місце планування в системі управління. Типи планів в організації. Цілі управлінського планування. 1. Поняття і місце планування в системі управління Щоб спільні зусилля співробітників...
17013. Процес планування в організації 12.47 MB
  ТЕМА 6. Процес планування в організації План лекції Сутність стратегічного планування. Формулювання стратегії. Надання стратегії конкретної форми. 1. Сутність стратегічного планування У широкому розумінні стратегія – це взаємопов’язаний компл...
17014. Основи теорії організації 10.78 MB
  ТЕМА 7. Основи теорії організації План лекції Сутність і зміст функції організації. Класична теорія організації. Поведінковий підхід в теорії організації. Ситуаційний підхід в теорії організації. 1. Сутність і зміст функції організації В про