52434

Четырёхугольник и его элементы. Параллелограмм и его свойства

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Найти градусную меру неизвестного угла. Найти градусную меру неизвестного угла. Найти неизвестный угол четырёхугольника если три его угла равны 60 100 50. Найти: АД и СД.

Русский

2014-02-15

270.5 KB

28 чел.

 

Урок 1. Четырёхугольник и его элементы. Параллелограмм и его свойства.

Цель урока:  Формирование понятий о четырёхугольниках и их элементах. Параллелограмм и его

                      свойства.

Ход урока.

  1.  Организационный момент.

  1.  Мотивация  учебной деятельности.

  1.  Усвоение новых знаний.

Определение.  Четырёхугольником наз. фигура, которая состоит из 4 – х точек, никакие 3 из них не

                        лежат на одной прямой, и 4 – х отрезков, которые последовательно соединяют эти

                       точки и не пересекаются.

                                                                         Элементы четырёхугольника

                           В

                                                                  АВ, ВС, СД  и  АД – стороны четырёхугольника

                                                                  т. А, В, С, Д – вершины четырёхугольника

                                                                  АС и ВД – диагонали четырёхугольника

                                                                 

          А                                С                   РАВСД = АВ + ВС + СД + АД  периметр четырёхугольника

                                                 Стороны и углы четырёхугольника могут быть соседними и

                                                 противоположными.   АВ  и  АС,  АВ  и  ВС – соседние стороны;

                                                АВ  и  СД, ВС  и  АД – противоположные стороны;

                        Д                   А  и  В – соседние  углы, С  и  А – противоположные.

Опр. Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника наз. диагоналями.

Опр. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется периметром.

Четырёхугольники бывают выпуклые и невыпуклые.

Определение.  Если четырёхугольник лежит с одной стороны от  каждой прямой, которая прохо –

                        дит через 2 его соседние вершины, то он выпуклый

Тест с выбором одного правильного ответа:

1.Укажите пары противоположных сторон четырёхугольника.

                                                                                        В

   а)  АВ  и  ВС

   б)  АД  и  ВС                                                                                       С        рис. 1

   в)  ВД и  АС                                                   А                                  

   г)  АВ и  СД                                                                               Д

2.  Укажите пары соседних сторон четырёхугольника.    Варианты ответов те же.

3.  Укажите диагонали четырёхугольника. Варианты ответов те же.

4. a, b, c, d – стороны четырёхугольника, Р – его периметр. Заполнить таблицу:

a

8

10

5

23

?

b

12

25

13

?

16

c

16

30

?

30

20

d

18

?

17

35

24

P

?

90

60

115

74

Существование четырёхугольника.

Чтобы установить, можно ли из 4 – х отрезков построить четырёхугольник, проверьте, будет ли самый  длинный отрезок меньше суммы оставшихся трёх.

Теорема 1.1  Сумма углов четырёхугольника равна 360º.   А + В + С + Д = 360º.( рис. 1)

Определение.  Угол, смежный с углом четырёхугольника, наз. внешним углом четырёхугольника.

      Тест с выбором одного правильного ответа:

1. Найти градусную меру неизвестного угла.

а)   110º                                               В                                          А = 61º,  

б)  97º                                                                        С              В = 110º

в)  153º                                   А                                                           С = 92º

г)  90º                                                                                      ∠Д -?

                                                                           Д

2.  Найти градусную меру неизвестного угла.

а)   90º                                                 В                                            А = 60º,  

б)  75º                                                                        С               В = 135º

в)  135º                                   А                                                            С?

г)  60º                                                                                      ∠Д - 90º

                                                                           Д

3.  Найти неизвестный угол четырёхугольника, если три его угла  равны   60º,  100º,  50º.

   а)  60º;     б)     100º;        в)      50º;      г)     150º.

4.  Какие из наборов углов могут быть углами четырёхугольника?

   а)       55º, 75º, 100º, 80º;      б)          160º, 95º, 45º, 60º;       в)        145º, 85º, 70º, 65º

Параллелограмм.

Определение. Четырёхугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны наз.

                        параллелограммом.

Определение.  Высотой параллелограмма  наз. перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой,

                       содержащей сторону параллелограмма, на прямую, содержащую противоположную

                       сторону..

Свойства параллелограмма.

У параллелограмма:

  1.  Противоположные стороны и углы равны;

  1.  Диагонали точкой пересечения делятся пополам

Тест с выбором одного правильного ответа:

1. В параллелограмме АВСД: АВ = 7см, ВС = 12 см. Найти: АД  и  СД.

а)  3,5  и  6;     б)   12  и  7;      в)      14  и  24;      г)     5  и  19.

2. В параллелограмме АВСД:С = 60º. Найти все углы параллелограмма.

а)  30º  и  60º и 60º;     б)  120º  и  60º и 120º;      в)    90º  и  60º и 90º;      г)       60º  и  60º и 120º;

3.  В параллелограмме KLMN, MLK = 35º.  LMN -?

а)     35º,         б)    145º,               в)        55º,                  г)       70º.

4.  Какие из наборов длин отрезков могут быть длинами сторон и диагональю параллелограмма?

а) 5,  8,  14;     б)     7, 4,  9;                    в)        25,   9,    14;       г)        134,   6,   9.

5.  АВСД – параллелограмм: АВ = 6см, ВС = 8 см, ВО = 3 см, АО = 5 см. Найти его диагонали.

а)   8  и  6;        б)        6  и  10;         в)     11  и  6;            г)      5  и  8.

6.  Найти углы параллелограмма, если его внешний угол равен 130º.

а)  130º  и  30º;       б)    115º  и  65º;       в)       130º  и  50º;       г)      260º  и  100º;   

7.  Найти углы параллелограмма, если один из них равен сумме двух других.

а)    30º  и  60º;      б)     40º  и  80º;           в)        100º  и  50º;       г)      120º  и  60º;  

  1.  Заполнить таблицу.

А

43º

В

47º

С

55º

Д

45º

    

IV.  Д/з   А. Г.  Мерзляк,  В. Б. Полонский,  М. С. Якир  Геометрия – 8:   §1, п. 1 и 2. Уметь отвечать на вопросы со стр.9 и 16. Выполнить    №№ 41, 46, 49, 53.


Урок 2.  Признаки параллелограмма. Решение задач.

Цель:  Изучить признаки параллелограмма. Формировать умения у учащихся применять свойства

          и признаки параллелограмма к решению задач.

Ход урока.

  1.  Орг. момент. Проверка дом. задания.

  1.  Актуализация опорных знаний.
  2.  Какую фигуру наз. четырёхугольником? Из каких элементов он состоит?
  3.  Какие бывают четырёхугольники?
  4.  Какой четырёхугольник наз. выпуклым?
  5.  Какие отрезки наз. диагоналями четырёхугольника?
  6.  Что наз. периметром четырёхугольника?
  7.  Чему равна сумма углов четырёхугольника ( т. 1. 1)?
  8.  Какой четырёхугольник наз параллелограммом?
  9.  Каким свойством обладают противоположные стороны и углы параллелограмма?
  10.  Каким свойством обладают диагонали параллелограмма?
  11.  Что наз. высотой параллелограмма?
  12.  Чему равна сумма любых двух соседних углов параллелограмма? Ответ обосновать.

  1.  Восприятие нового материала.

Признаки параллелограмма.

Теорема 3.1 (1 признак): Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот

                    четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема 3.2(2 признак): Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и

                    параллельны,  то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема 3.3 (3 признак): Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся

                   пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

 

Тест с выбором одного правильного ответа.

  1.   При каком условии KLMN – параллелограмм?

а)  KL = MN;                   б)        KL = MN, KN = LM;         в)      KL = LM.

  2.  В 4 – х угольнике АВСД противоположные стороны попарно равны. Найти А, если

       С = 55º.

       а)  125º;      б)        55º;         в)        35º;          г)          110º.

  3.  В 4 – х угольнике АВСД противоположные стороны попарно равны. Найти АВ, если СД = 8.

          а)      10 см;           б)         8 см;              в)    64 см;         г)     16 см.

   4.  Какой из 4 – х угольников, три угла которого даны является параллелограммом?

         а)   20º,  60º,  120º;        б)  60º,  60º,  130º;        в)     40º,  40º,  140º;      г)   30º,  60º,  30º;

   5.  Дано:  АВС = А1В1С1. Найти расстояние между точками В  и  В1, если АА1 = 6 см.

                  В           В1                                а)  3см;      б)    12 см;         в)    6 см;       г)     2 см.

                                                                  Рис. 1

       А             А1          С          С1

   6.  Дано:  АВС = А1В1С1. Найти расстояние между точками В  и  В1, если АС = 10 см,

          А1С = 4 см  ( рис. 1).       а)  10см;      б)    6 см;         в)    4 см;       г)     14 см.

   7.    Дано:  АВС = А1В1С1. Найти расстояние между точками В  и  В1, если АС = 20 см,

          А1С = 6 см  ( рис. 1).       а)  32см;      б)    7 см;         в)    8 см;       г)     16 см.

  8.  В 4 – х угольнике АВСД, О – точка пересечения его диагоналей. Заполнить таблицу так,

      чтобы вывод был верным.

       

АО

3

дм

мм

0,6 дм

ОС

см

2 дм

35 мм

дм

ВО

см

4,8 дм

мм

6 см

ОД

5 см

дм

2,1 мм

см

вывод

АВСД – пар-м

АСВД – пар-м

АВДС – пар-м

ДСВА – пар-м

   

  1.  Решение задач по теме.

№ 51 Мерзляк, Полонский Геометрия 8 кл.

             В                         С

                                                      Дано:   АВСД – параллелограмм,  ВК АД, АК = 4 см,

                                                                  КД = 6 см, АВК = 30º.

     А   4  К     6       Д                   Найти:    углы пар – ма,  РАВСД.

                                      Решение.

  1.   В АВК ( К = 90º, В = 30º - по условию):  АВ = 2АК = 8 см – по 2 свойству прямоугольного треугольника; А = 90º - В = 90º - 30º = 60º - по 1 свойству прямоугольного треугольника.
  2.  АД = АК + КД = 4 + 6 = 10 см.  АВ = СД = 8 см;  ВС = АД = 10 см и А = С = 60º;  В = Д = 180º – 60º = 120º по 1 свойству параллелограмма;
  3.  РАВСД = 2 ( АВ + АД) = 2 ( 8 + 10) = 36 см.

Ответ:  60º и 120º;  36 см.

№ 57                                                             Дано:  АВСД – пар – м, РАВСД = 24 см, В = 160º,

               В                             С                               САД = 10º.

                                                                   Найти:  АВ и АД.

                                                         Решение.

    А                            Д

  1.  САД = ВСА = 10º - как внутренние накрест лежащие при ВС АД и секущей АС;
  2.  ВАС= 180º - ( 160 + 10) = 10º по теореме о сумме углов треугольника;
  3.  Значит АВ = ВС по 1 признаку равнобедренного треугольника АВСД – ромб, АВ = ВС = СД = АД = 24: 4 = 6 см.

Ответ:  6 см.

№ 95

               В               Е                   С                       Дано:   АВСД – пар – м, ВЕ = ЕС = АF = FД.

                                                                              Доказать:  АЕСF – пар –м.

                                                                      Доказательство.

                                                         Т. к. ЕС = АF  и  ЕС АF  - по условию, то АЕСF – пар –м

   А                     F              Д             по 2 признаку параллелограмма.

№ 100

                 В            М                С                    Дано:   АВСД – пар – м, АМ – биссектриса угла А,.

                                                                         СК – биссектриса угла С

                                                             Доказать:  АМСК – пар –м.

                                                             Доказательство.

     А                 К               Д           1.  Т. к. А = С, то ВАМ = МАД = ВСК = КСД;

  1.   ВСК = СКД – как внутренние накрест лежащие при ВС АД и секущей СК, тогда

  ВАК = СКД – а они соответственные, значит АМ СК по 3 признаку ых прямых;

  1.  Так как АМ СК и МС АК, то АМСК – параллелограмм по определению.
  2.  

  1.   Д/з   А. Г.  Мерзляк,  В. Б. Полонский,  М. С. Якир  Геометрия – 8:   §1, п. 3. Уметь отвечать на вопросы со стр. 25. Выполнить  №№ 58, 60, 96, 102.


Урок 3. Прямоугольник и его свойства. Решение задач. Диагностическая контрольная работа.

Цель:  Изучить свойства и признаки прямоугольника. Формировать умения у учащихся   применять свойства и признаки прямоугольника к решению задач.

Ход урока.

Орг. момент. Проверка дом. задания.

Экспресс – опрос учащихся.

1. Если в 4 – х угольнике:  а) противоположные стороны попарно равны то он является п – ом;

                                           б)  если две противоположные стороны равны;

                                           в)  если две соседние стороны равны;

                                           г)  если два противоположных угла равны;

                                          д)  если сумма 2-х соседних углов равна 180º;

                                          е)  если противоположные углы попарно равны.

III. Восприятие нового материала.

Определение.  Прямоугольником наз. параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство прямоугольника ( т. 4.1 ) Диагонали прямоугольника равны.

Свойство прямоугольника ( т. 4.2 ) Если один из углов параллелограмма прямой, то этот

                                                               параллелограмм – прямоугольник.

Признак прямоугольника ( т. 4.3)  Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоуг.

Тест с выбором ответа.

  1.  Найти периметр прямоугольника АВСД, если АВ = 10 см, ВС = 14 см;

  а)   24 см;       б)      28 см;         в)      48 см;        г)      34 см.

2.  В прямоугольнике АВСД:  АД = 15 см, СД = 20 см, АС = 25 см.  Найти:  ВД.

  а)  35 см;       б)      25 см;         в)      20 см;        г)      45 см.

3.  Дано:  АВСД – прямоугольник, ВД – диагональ, ВДС = 46º. Найти: АВД, ДВС,

   АДВ.

4.  Найти периметр прямоугольника, если его стороны равны 7 мм и 50 мм.

    а)   57 мм;       б)      120 мм;         в)      24 см;        г)      11,4 см.

5.  Найти диагонали прямоугольника, если их сумма равна 18 см.

  а)   10 см и  8 см;    б)   18 см   и  12 см;       в)      9 см  и   9 см;      г)     18 см  и   18 см.

6.  В прямоугольнике АВСД на стороне ВС взята точка К, СДК = 40º. Найти: ВКД,

    СКД, АДК.

7.  Найти диагонали прямоугольника АВСД, если АВ = 10 см, АОВ = 60º.Геометрия,

   а)   10см  и  20 см;         б)      20см  и  20 см;       в)     30 см  и  30 см.

8.  Найти периметр прямоугольника АВСД. Точка К взята на стороне ВС: ВК = 3 см,

   КС = 5 см, СДК = 45º.

   а)   16 см;           б)        32 см;           в)         26 см;          г)       25 см.

IV.  Диагностическая контрольная работа. 

В – 1

1. Вычислить:  ( - 2)3 ( - 1)2.

А

Б

В

Г

- 8

8

- 6

6

2. Упростить:  ( а2  а3)3.

А

Б

В

Г

а18

а8

а15

а9

3.  Решить уравнение:   - 3х + 2 = 2х + 7.

А

Б

В

Г

1

- 1

2

- 2

4.  Решением системы уравнений

               3х + 4у = 7,        есть пара чисел…

               2х + 3у = 5

А

Б

В

Г

( 1; 1)

( - 1; - 3)

( 3; - 1)

( - 1; - 1)

5. Установить соответствие между данными выражениями ( 1 – 4) и разложе –

   нием этих выражений на множители  ( А – Д)

1

2 – 6х + 1

А

( 3х – 1) ( 9х2 – 3х + 1)

2

2у – 9ху2

Б

( 3х – 1) ( 3х + 1)

3

2 - 1

В

( 3х – 1) ( 9х2 + 3х + 1)

4

27х3 - 1

Г

( 3х – 1)2

Д

3ху ( х – 3у)

6.   Найти координаты точки, в которой график уравнения 3х – у = 2 пересекает

     ось ординат.

7.   Разложить на множители:   81а5 – а.

8.   Решить уравнение:   ( х – 2)2 – 5 ( х – 3) ( х + 3) + 4 ( х – 1) ( х + 4) = 1.

9.   За 12 тетрадей и 8 карандашей заплатили 52 грн. Сколько стоит 1 тетрадь

     и 1 карандаш, если 7 тетрадей дороже четырёх карандашей на 13 грн.?

В – 2

1. Вычислить:  ( - 3)2 ( - 2).

А

Б

В

Г

12

18

- 12

- 18

2. Упростить:  ( а2  а4)2

А

Б

В

Г

а18

а16

а12

а10

3.  Решить уравнение:   11 – 2х = 2 – 5х.

А

Б

В

Г

 

3

- 3

4.  Решением системы уравнений

               2х - у = 1,        есть пара чисел…

               х + у = 2

А

Б

В

Г

( 0; 0)

( 1; 2)

( 1; 1)

( - 1; 2 )

5. Установить соответствие между данными выражениями ( 1 – 4) и разложе –

   нием этих выражений на множители  ( А – Д)

1

3ав2 – 6а2в

А

( а – 3) ( а2+ 6а + 9)

2

а2 – 6а + 9

Б

3ав ( в – 2а)

3

а2 - 9

В

( а – 3) ( а2 + 3а + 9)

4

а3 - 27

Г

( а – 3)( а + 3)

Д

( а – 3)2

6.   Найти координаты точки, в которой график уравнения 5х – 3у = 2 пересекает

     ось абсцис.

7.   Разложить на множители:   25а2 – 10ав + в2 - 1.

8.   Решить уравнение:   (2х – 3)2 – 3 ( х – 2) ( х + 2) = ( х – 2) ( х + 1).

9.   За 2 футбольных и 6 баскетбольных мячей заплатили 520 грн. Сколько стоит

     каждый мяч, если 3 баскетбольных дороже одного футбольного на 160 грн.

Система оценивания:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Балл

0,5

0,5

0,5

0,5

2

1

2

2

3

V.  Дом. задание.  А. Г.  Мерзляк,  В. Б. Полонский,  М. С. Якир  Геометрия – 8:   §1, п. 4. Уметь отвечать на вопросы со стр.32. Выполнить   №№ 116;  118;  


Урок 4.  Ромб и квадрат их свойств и признаки. Решение задач.

Цель:  Изучить свойства и признаки ромба и квадрата. Формировать умения у учащихся   применять свойства и признаки ромба и квадрата к решению задач.

Ход урока.

Орг. момент. Проверка дом. задания. Результаты диагностической контрольной работы.

Фронтальный опрос учащихся.

  1. Какую фигуру называют прямоугольником?

  2.  Сформулировать 1  и  2 свойства прямоугольника.

  3.  Сформулировать признак прямоугольника.

III.  Восприятие нового материала.

Определение.  Ромбом называется параллелограмм,  у которого все стороны равны.

          В              С

                                           АВСД – ромб.    АВ = ВС = СД = АД.

    А                Д

Свойства ромба.

1.  Все свойства параллелограмма.

2. Теорема 5.1 Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

          В               С                        Дано:   АВСД - ромб

                                                     Доказать:  АС ВД, АС и ВД – биссектрисы углов А, В, С, Д.

                                      Доказательство.

    А                 Д    1. Так как по определению все стороны ромба равны, то АВС – равнобедр.

( АВ = ВС). АО = ОС ( по 2 свойству параллелограмма), тогда ВО – медиана АВС и кроме того ВО – биссектриса и высота по по признаку. Слд. АС ВД, АС и ВД – биссектрисы углов А, В, С, Д.

Распознавать ромбы среди параллелограммов позволяет не только определение ромба, но и его признаки.

Признаки ромба.

Признак 1 ( теорема 5.2):  Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб.

                                                         Если АС ВД, то АВСД – ромб

Признак 2 ( теорема 5.3):  Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов,

                                             то это ромб.

                      Если  АС и ВД – биссектрисы углов А, В, С, Д,  то АВСД – ромб.

Определение.  Квадратом называется прямоугольник у которого все стороны равны, или ромб,

                        у которого все углы равны.

Свойства квадрата.

1. У квадрата все углы прямые.

2.  Диагонали квадрата равны.

3.  Диагонали квадрата перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Тест с выбором ответа.

1. АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей. АВ = 10 см, АО = 8 см. Найти: ВС.

   а)   10 см;        б)      8 см;          в)        6 см;        г)       14 см.

2.  АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей. АВ = 10 см, АО = 8 см, ДО = 6 см. Найти: ВС.

   а)   10 см;        б)      12 см;          в)        16 см;        г)       14 см.

3.  Найти стороны ромба, если его периметр равен 24 см.

   а)     12 см;      б)    24 см;       в)      6 см;       г)    8 см.

4.  АВСД – ромб, АВД = 60º. Найти: АСД.

    а)   60º;       б)     30º;      в)      90º;       г)     120º.

5.  Один из углов ромба равен 70º. Найти углы, образованные диагональю ромба с его сторонами.

  а) 70º, 70º, 110º, 110º;       б)  35º, 55º, 35º, 55º;                 в)  70º, 70º, 20º, 20º;

6.  Найти углы ромба, если одна из его диагоналей равна стороне ромба.

 а)  30º, 60º, 30º, 60º;           б)   60º, 60º, 120º, 120º;            в)    30º, 60º, 120º, 90º;  

7.  Один из углов ромба равен 60º, а меньшая диагональ равна 10 см. Найти периметр ромба.

  а)     20 см;       б)      40 см;        в)       60 см;           г)       80 см.

8.  Найти периметр квадрата, если точка пересечения его диагоналей удалена от сторон

    квадрата на 5 см.

     а)     20 см;       б)      40 см;        в)       60 см;           г)       80 см.

9.   АВСД  и  СОДК – квадраты. Найти периметр СОДК, если диагональ квадрата АВСД равна

     8 см.

       В                    С                      а)    20 см;      б)     16 см;       в)      32 см;        г)     64 см.

                                       К

       А                 Д

10.  В таблицу поставить знак +,  если геометрическая фигура имеет указанное свойство:

Свойства

Фигуры

параллелограмм

прямоугольник

ромб

квадрат

Противоположные стороны попарно параллельны

Противоположные стороны попарно равны

Все стороны равны

Все углы равны

Диагонали точкой пересечения делятся пополам

Диагонали  равны

Диагонали перпендикулярны

Диагонали делят углы пополам

IV. Дом. задание.  А. Г.  Мерзляк,  В. Б. Полонский,  М. С. Якир  Геометрия – 8:  №№ 140,  145,169.


Урок 5.  Решение задач по теме Четырёхугольники. Самостоятельная работа.

Цель:  Изучить свойства и признаки прямоугольника. Формировать умения у учащихся   применять свойства и признаки прямоугольника к решению задач.

Ход урока.

Орг. момент. Проверка дом. задания.

Работа с презентациями по теме Четырёхугольники.

Решение задач.

№ 28 А. В. Погорелов

        В               М               С                           Дано:  АВСД – прямоугольник, АМ - биссектриса

                                                                                       А, ВМ = МС, СД = 10 см

                                                                         Найти: РАВСД

                                                          

      А                                     Д          Решение.

1.  ВАМ = МАД – по условию, МАД = АМВ – как внутренние накрест лежащие при ВС АД и

    секущей АМ, тогда ВАМ = ВМА. Значит АВМ – равнобедренный по его признаку, АВ = ВМ

   = 10 см. ВС = 2 ВМ = 20 см.

  1.  РАВСД = 2 ( АВ + ВС) = 2 ( 10 + 20) = 60 см.

Ответ:  60 см.

№ 35 А. В. Погорелов.

              В                      С                           Дано:   АВСД – ромб, ВАО: АВО = 4: 5.

                                                                    Найти:  углы ромба.

                                                       Решение.

                                              1. Введём коэффициент пропорциональности х, тогда ВАО = 4х,

                                                 АВО = 5х. Согласно свойству диагоналей ромба имеем: ВАД = 8хº,

     А                        Д               АВС = 10хº. Т. к. сумма внутренних односторонних углов равна 180º,

составим и решим уравнение.      8х + 10х = 180;   18х = 180;   х = 10º.

2.  ВАД = 8х = 80º,  АВС = 10х = 100º.

Ответ:  80º,  100º.

№ 121  Мерзляк Полонский.

                                К                               Дано:   МКР: МК = КР,  К = 90º.  АВСД – прямоугольник.

                                                                              МР = 55 см, АВ: ВС = 3: 5.

                В                             С              Найти:  АВ  и  ВС.

                                                                              

                                                                                Решение.

      М        А                          Д          Р

  1.   Введём коэффициент пропорциональности х, тогда АВ =3х, ВС = 5х. Т. к МКР – равнобедренный, то согласно его свойству М = Р = 45º( по свойству прямоугольного треугольника).
  2.  В МАВ: А = 90º, М = 45º ⇒∠В = 45º, значит АМ = АВ = 3х.
  3.  МАВ = РДС по катету и острому углу АМ = ДР = 3х, АД = ВС = 5х по свойству сторон прямоугольника.
  4.  Составим уравнение:  АМ + АД + ДР = 55;  3х + 5х + 3х = 55;  11х = 55;  х = 5.
  5.  АВ = 3х = 15 см,  ВС = 5х = 25 см.

Ответ:  15 см,  25 см.

№ 142 Мерзляк, Полонский.

            В                           С                         Дано:   АВСД – ромб,  РАВСД = 24 см,  ВМ АВ,

                                                                                  ВМ = 3 см

                                                                    Найти:  углы ромба.

                                                        Решение.

                                         

                                             1.  РАВСД =4АВ = 24 АВ = 24: 4 = 6 см.

   А      М                Д           2.  В АВМ: АВ > ВМ в 2 раза  А = 30º, согласно 2 свойству

прямоугольного треугольника.

3.  В = 180º - А = 180º – 30º = 150ºкак внутренние односторонние.

Ответ:  30º,  150º.

№ 149 Мерзляк, Полонский

            В                            С                       Дано:    АВСД – ромб,  ВМ АД,  АМ = МД,

.

                                                                                 ВД = 4 см

                                                                  Найти:  РАВСД,  углы ромба.

                                                      Решение.

 А        М                  Д

  1.  АВМ = ВМД по двум катетам   АВ = ВД = 4 см.
  2.    РАВСД = 4АВ = 16 см.
  3.  АВД – равносторонний, т. к. АВ = АД = ВД  А = 60º,  В = 180º - 60º = 120º как внутренние  односторонние.

Ответ:  16 см,  60º,  120º.

№ 1 В ромбе АВСД, А – острый, ВЕ  и  ВМ – высоты. Угол между диагональю ВД и высотой ВМ

      равен 40º. Доказать, что ВЕ = ВМ и найти углы ромба.

                   

                В                            С                        Дано:   АВСД – ромб,  ВЕ АД,  ВМ ДС, ДВМ = 40º.

                                           М              Доказать:  ВЕ = ВМ.       

                                                             Найти:  углы ромба.

                                                  Решение.

                                               1. ЕВД = ДВМ = 40º,  т. к. ВД – биссектриса В,

        А       Е               Д              тогда АВЕ = СВМ по гипотенузе и острому углу ВЕ  =ВМ.

2.  В ЕВД: Е = 90º, В = 40º  Д = 90 – 40 = 50º ( свойство прямоугольного треуг.).

3.  В = Д = 2 ВДЕ = 100º, согласно свойств диагоналей ромба.

4.  А = С = 180 – 100 = 80º - как внутренние односторонние.

Ответ:  100º,  80º.

IV.  Дом. задание.  А. В. Погорелов  п. 50 – 56. Уметь отвечать на вопросы 1 14 со стр. 96.

                                       №№  30, 32, 37, 47.  

Урок 5. 4  Дополнение к теме Четырёхугольники.

Памятка как доказать равенство и параллельность двух отрезков.

  1.  Выделить на рисунке 4 – х угольник, противоположные стороны которого являются этими отрезками;
  2.  Доказать, что этот 4 – х угольник – параллелограмм;
  3.  Сделать вывод: отрезки равны ( или параллельны) как противоположные стороны параллелограмма.

Задача.  В 4 – угольнике АВСД, АВ = СД, ВС = АД. До – ть:  АВ СД  и  ВС АД.

  1.  В 4 – угольнике АВСД противоположные стороны попарно равны ( по условию)АВСД – параллелограмм ( по признаку).
  2.  Поскольку АВСД – параллелограмм, то АВ СД   ( по определению параллелограмма).
  3.  Поскольку АВСД – параллелограмм, В = Д, А = С по 1 свойству ( т. 1.1)

Памятка как доказать, что параллелограмм – прямоугольник.

Чтобы установить, данный параллелограмм – прямоугольник, необходимо доказать, что у него: или все углы прямые ( определение прямоугольника) или диагонали равны ( признак).

Задача. Доказать, что если у параллелограмма углы, прилежащие к одной стороне равны, то он – прямоугольник.

  1.  АВСД – параллелограмм, А = Д – по условию. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180º. Поэтому А + Д = 180  А = Д = 90º.
  2.  В = Д,  А = С ( т. 1.1) ⇒∠В = С = 90º.
  3.  Следовательно АВСД – прямоугольник по определению.

Памятка как доказать, что 4 – х угольник – прямоугольник.

Чтобы доказать, что 4 – х угольник является– прямоугольником, покажите, что: или этот 4 – х угольник – параллелограмм, а параллелограмм – прямоугольник;  или 3и угла 4 – х угольника – прямые.

Задача.   Доказать, что если в 4 – угольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся

              пополам, то он является прямоугольником.

  1.  Поскольку в 4 – х угольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, то это параллелограмм ( по признаку).
  2.  Поскольку в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник ( по признаку).

Памятка как доказать, что параллелограмм – ромб.

Чтобы установить, что параллелограмм – ромб необходимо доказать, что в нём: или все стороны равны ( определение ромба), или диагонали перпендикулярны ( признак).

Задача.  Доказать, что 4 – х угольник у которого все стороны равны – ромб.

  1.  Противоположные стороны 4 – х угольника равны он параллелограмм ( по признаку).
  2.  В параллелограмме все стороны равны, значит это ромб ( по определению).
  3.  АВСД – ромб.


Урок 6. Решение задач. Контрольная работа № 1 по теме Четырёхугольники.

Цель: Контроль и коррекция знаний.

Ход урока.

1.  Организационный момент. Проверка дом. задания.

2.  Решение типовых задач.

  1.  Диагонали прямоугольника пересекаются под углом 100º. Найти углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.
  2.  Один из углов ромба меньше другого на 40º. Найти углы одного из треугольников на которые ромб разбивается его диагоналями.
  3.  Одна сторона параллелограмма в 3 раза больше другой. Его периметр равен 28 см. Найти его стороны.
  4.  Биссектриса одного из углов прямоугольника делит его сторону на отрезки 14 см и 16 см. Найти его периметр. Рассмотреть оба случая.
  5.  Найти меньшую диагональ ромба, сторона которого равна 8 см, если угол между этой диагональю и стороной ромба равен 60º.

3.  Контрольная работа № 1.  Работа в 4 – х вариантах – разноуровневая.( текст в уроке 6.1)

8 кл. Контрольная работа №1 по геометрии. «Четырёхугольники».

3 балла

6 БАЛЛОВ

9 БАЛЛОВ

12 БАЛЛОВ

ВАРИАНТ - 1

№1

Сторона параллелограмма равна 14 см, а вторая на 5 см больше. Найти его периметр.

Одна из сторон пар-ма в 4

раза больше другой, а периметр равен 30 см. Чему

равны его стороны?

В пар – ме АВСД перпендику –

ляр опущенный из вершины В на сторону АД делит её пополам

Найти ВД и стороны пар-ма, если его периметр равен 5,7 см, а периметр АВД=4 см.

Дан равнобедренный треугольник, бо

ковая сторона которого равна 6 см. На основании треугольника взята точка и через неё проведены две прямые, парал

лельные боковым сторонам треугольни

ка. Найти периметр пар – ма.

№2

Найти расстояние от точки пересечения диагоналей до смежных сторон пр., если его стороны равны 6 и 16 см.

Диагональ прямоуг. образу

ет с одной из его сторон угол 40º. Найти острый угол,

образованный при пересече

нии диагоналей прямоуг.

Диагональ делит угол прямоуг. в отношении 2: 7. Найти углы между диагоналями прямоугольника.

Перпендикуляры, проведенные из точки пересечения диагоналей прямо

угольника, относятся как 5: 12, а его периметр равен 136 см. Найти стороны прямоугольника.

№3

Диагональ ромба образует с одной из его сторон угол 30º. Найти углы ромба.

Найти периметр ромба АВСД, если его меньшая диагональ АС=4 см, а тупой угол равен 120º.

Сумма двух углов ромба равна 108º. Найти углы одного из треугольников, на которые ромб разбивается его диагоналями.

Из вершины тупого угла В ромба АВСД проведена высота ВК к стороне АД, КВД = 15º. Найти ВК, если периметр ромба равен 32 см.

ВАРИАНТ - 2

№1

Одна сторона пар –ма равна 19 см, а вторая на 7 см мень

ше другой. Найти его периметр.

Одна из сторон пар –ма на 10 см больше другой. Его периметр равен 68 см. Найти длины его сторон.

В пар – ме АВСД перпендику –

ляр опущенный из вершины В на сторону АД делит её пополам

Найти ВД и стороны пар-ма, если его периметр равен 3,8 см, а периметр АВД=3 см..

На основании равнобедренного треуг. выбрана точка, через которую проведе

ны прямые, параллельные боковым сторонам. Периметр пар –ма  равен 24 см. Найти периметр треугольника, если его основание равно 8 см.

№2

Найти расстояние от т. пере

сечения диагоналей до смежных сторон пр. если его стороны равны 10 и 20.

Диагонали прямоуг. пересе

каются под углом 20º. Найти углы, которые образует диа-

гональ со сторонами прям.

Углы, образованные при пересе

чении диагоналей прямоуг., относятся как 2: 7. Найти углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

Дан прямоуг. АВСД. Расстояние от точ

ки пересечения диагоналей до АВ на 20 см больше чем до ВС. периметр пр.

равен 320 см. Найти стороны прямоугольника.

№3

Сторона ромба образует с одной из диагоналей угол 40º. Найти углы ромба.

Найти периметр ромба АВСД, если его меньшая ди

агональ АС=5 см, угол меж-

ду этой диагональю и стороной равен 60º.

Один из углов ромба больше другого на 12º. Найти углы одно

го из треугольников, на которые ромб разбивается его диагоналями.

В ромбе высота, проведенная из верши

ны тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найти периметр ромба, если длина меньшей диагонали  20 дм.

ВАРИАНТ - 3

№1

Одна сторона пар –ма равна 24 см, а вторая на 6 см мень

ше другой. Найти его периметр.

Одна из сторон пар –ма на 8 см больше другой. Его периметр равен 78 см. Найти длины его сторон.

В пар – ме АВСД перпендику –

ляр опущенный из вершины В на сторону АД делит её пополам

Найти ВД и стороны пар-ма, если его периметр равен 6,8 см, а периметр АВД=5 см..

На основании равнобедренного треуг. выбрана точка, через которую проведе

ны прямые, параллельные боковым сторонам. Периметр пар –ма  равен 36см. Найти периметр треугольника, если его основание равно 10 см.

№2

Найти расстояние от т. пере

сечения диагоналей до смежных сторон пр. если его стороны равны 12 и 16.

Диагонали прямоуг. пересе

каются под углом 30º. Найти углы, которые образует диа-

гональ со сторонами прям.

Углы, образованные при пересе

чении диагоналей прямоуг., относятся как 3: 6. Найти углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

Дан прямоуг. АВСД. Расстояние от точ

ки пересечения диагоналей до АВ на 24см больше чем до ВС. периметр пр.

равен 340 см. Найти стороны прямоугольника.

№3

Сторона ромба образует с одной из диагоналей угол 50º. Найти углы ромба.

Найти периметр ромба АВСД, если его меньшая ди

агональ ВД=7 см, угол меж-

ду этой диагональю и стороной ромба равен 60º.

Один из углов ромба больше другого на 15º. Найти углы одно

го из треугольников, на которые ромб разбивается его диагоналями.

В ромбе высота, проведенная из верши

ны тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найти периметр ромба, если длина меньшей диагонали  30 дм.

ВАРИАНТ - 4

№1

Сторона параллелограмма равна 16 см, а вторая на 8 см меньше. Найти его периметр.

Одна из сторон пар-ма в 6

раза больше другой, а периметр равен 42 см. Чему

равны его стороны?

В пар – ме АВСД перпендику –

ляр опущенный из вершины В на сторону АД делит её пополам

Найти ВД и стороны пар-ма, если его периметр равен 5,8 см, а периметр АВД=2,5 см..

Дан равнобедренный треугольник, бо

ковая сторона которого равна 14 см. На основании треугольника взята точка и через неё проведены две прямые, парал

лельные боковым сторонам треугольни

ка. Найти периметр пар – ма.

№2

Найти расстояние от точки пересечения диагоналей до смежных сторон пр., если его стороны равны 10 и 18 см.

Диагональ прямоуг. образу

ет с одной из его сторон угол 35º. Найти острый угол,

образованный при пересече

нии диагоналей прямоуг.

Углы, образованные при пересе

чении диагоналей прямоуг., относятся как 3: 6. Найти углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

Перпендикуляры, проведенные из точки пересечения диагоналей прямо

угольника, относятся как 4: 10, а его периметр равен 336 см. Найти стороны прямоугольника.

№3

Диагональ ромба образует с одной из его сторон угол 400º. Найти углы ромба.

Найти периметр ромба АВСД, если его меньшая диагональ ВД=6 см, а тупой угол равен 120º.

Один из углов ромба больше другого на 18º. Найти углы одно

го из треугольников, на которые ромб разбивается его диагоналями.

Из вершины тупого угла В ромба АВСД проведена высота ВК к стороне АД, КВД = 15º. Найти ВК, если периметр ромба равен 28 см.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83899. Ретроградная аппендэктомия. Доступ, показания, техника выполнения, опасности и профилактика осложнений 46.28 KB
  Показания: спаечный процесс в области червеобразного отростка ретроцекальное или ретроперитонеальное его положение невозможно вывести отросток в рану. Технические приемы: Отыскивание начального отдела слепой кишки и отростка. Проделывание окна в брыжейке отростка у его основания перевязка отростка. Пересечение отростка погружение культи в стенку слепой кишки по описанному выше способу.
83900. Хирургическое лечение рака толстой кишки 49.17 KB
  Радикальное иссечение опухоли тослтой кишки вместе с соответствующей частью брыжейки с сосудами и сопровождающими лимфатическими сосудами и узлами является наиболее подходящей операцией для локального устранения опухоли. Виды резекции толстой кишки в зависимости от локализации патологического процесса: Правосторонняя гемиколэктомия удаление всей правой половины толстой кишки захватывая 1015 см конечного отрезка подвздошной кишки слепую восходящую ободочную правый изгиб и правую треть поперечной ободочной кишки с последующим наложением...
83901. Операция Гартмана. Показания, техника выполнения 50.66 KB
  Операция заключается в одномоментной резекции пораженного отрезка сигмовидной ободочной и части прямой кишки с наложением одноствольного противоестественного заднего прохода. Показания: операция показана у ослабленных и пожилых больных при раке сигмовидной ободочной кишки или ректосигмоидного отдела осложненном непроходимостью или перфорацией а также при завороте сигмовидной ободочной кишки с гангреной ее и перитонитом. После ревизии брюшной полости производят мобилизацию сигмовидной ободочной кишки а при раке ректосигмовидного отдела...
83902. Хирургическая анатомия прямой кишки. Хирургическое лечение геморроя 50.85 KB
  Хирургическая анатомия прямой кишки Скелетотопия: начало соответствует уровню верхнего края S2 позвонка. Строение: В зависимости от местоположения кишки в ней выделяют тазовую лежит выше диафрагмы и содержит надампулярную часть и ампулу и промежностную анальный канал части. Покрытие брюшиной: надампулярный отдел прямой кишки покрыт брюшиной интраперитонеально в области ампулы брюшина покрывает переднюю и частично боковые стенки кишки переходя на матку у мужчин на мочевой пузырь и на боковые стенки таза.
83903. Виды операций на прямой кишке 48.36 KB
  Сфинктеросохраняющие операции: передняя резекция прямой кишки; брюшноанальная резекция прямой кишки с низведением Сфинктеронесохраняющие операции связанные с удалением замыкательного аппарата и наложением противоестественного заднего прохода: брюшнопромежностная экстирпация прямой кишки; обструктивная резекция прямой кишки. Передняя резекция прямой кишки показана при раке верхнеампулярного и ректосигмоидного отделов нижняя граница опухоли располагается на 10 см выше прямокишечнозаднепроходной линии. Брюшноанальную резекцию прямой...
83904. Операции наложения противоестественного заднего прохода 45.26 KB
  Показания: опухоли раны рубцовые сужения прямой кишки ампутации прямой кишки. Техника наложения одноствольного противоестественного заднего прохода операция Гартмана: послойное вскрытие брюшной полости косым переменным разрезом в левой паховой области; прокалывание брыжейки кишки в бессосудистой зоне и проведение через окно резиновой трубки; сшивание под трубкой приводящей и отводящей петель между собой 34 узловыми серозномышечными швами образование шпоры; подшивание париетальной брюшины к краям кожного разреза; подшивание...
83905. Хирургическая анатомия мужского таза. Этажи. Клетчаточные пространства 51.81 KB
  Стенки таза представленные тазовыми костями ниже пограничной линии крестцом копчиком и мышцами закрывающими большое седалищное грушевидная мышца и запирательное внутренняя запирательная мышца отверстия спереди сзади и с боков ограничивают полость таза. Снизу полость таза ограничена мягкими тканями промежности. Ее мышечную основу образуют мышца поднимающая задний проход и глубокая поперечная мышца промежности принимающие участие в образовании диафрагмы таза и мочеполовой диафрагмы соответственно.
83906. Хирургическая анатомия женского таза. Этажи. Клетчаточные пространства 52.58 KB
  Стенки таза представленные тазовыми костями ниже пограничной линии крестцом копчиком и мышцами закрывающими большое седалищное грушевидная мышца и запирательное внутренняя запирательная мышца отверстия спереди сзади и с боков ограничивают полость таза. Снизу полость таза ограничена мягкими тканями промежности. Ее мышечную основу образуют мышца поднимающая задний проход и глубокая поперечная мышца промежности принимающие участие в образовании диафрагмы таза и мочеполовой диафрагмы соответственно.
83907. Виды операций на матке и придатках. Надвлагалищная ампутация матки. Экстирпация матки с придатками 52.56 KB
  Надвлагалищная ампутация матки. Экстирпация матки с придатками. Надвлагалищная ампутация матки Надвлагалищной ампутацией матки называется оперативное удаление тела матки на уровне внутреннего зева в области надвлагалищной части шейки матки. Таким образом от матки после этой операции остается только шейка.