52714

Розв’язування завдань з параметрами – напрямок розвитку творчого математичного мислення учнів

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Декілька прикладів розв’язування задач з параметрами. В якості змістовної основи для побудови системи вправ розвивального характеру можна запропонувати завдання з параметрами. Це дозволяє розглядати задачі з параметрами як змістовний матеріал для повноцінної математичної діяльності.

Украинкский

2014-02-17

220 KB

45 чел.

Доповідь вчителя математики Мереф’янської ЗОШ І-ІІІ ст. № 7

Фішензон Ірини Юріївни

на тему:

Розв’язування завдань з параметрами

– напрямок розвитку творчого математичного мислення учнів

 

Харків – 2013


Зміст.

Назва розділу

Сторінка

1

Вступ.

3

2

Коли ж починати працювати з параметрами?

5

3

Як працювати над завданнями з параметрами?

9

4

Декілька прикладів розв’язування задач з параметрами.

12

5

Висновки та пропозиції. Рекомендації для учня.

13

6

Список використаних джерел.

15


Вступ
.

У сучасних шкільних програмах з математики наголошується, що принциповим положенням організації педагогічного процесу є диференціація навчання математики в загальноосвітній школі. Такий підхід до побудови навчально-виховного процесу передбачає врахування вікових та індивідуальних особливостей особистості кожного школяра, орієнтує на інтелектуально розвиваюче навчання.

В умовах науково-технічного прогресу відбувається лавиноподібне наростання потоку інформації в різних областях науки, в тому числі і в математиці. Разом з тим для шкільної освіти характерна тенденція до усунення перевантаження учнів навчальною діяльністю. Це визначає проблему підвищення якості навчання математики в умовах дефіциту навчального часу. Її рішення бачиться в шляхах інтенсифікації навчального процесу, у створенні нових педагогічних технологій, в реалізації ідей профільної та різнорівневої диференціації навчання.

Нові технології навчання припускають впровадження в навчальний процес принципово нових дидактичних систем, розроблених на основі змістовного навчального матеріалу. Традиційний задачний матеріал орієнтує на прищеплювання учням основ емпіричного мислення в той час як показником розвитку може служити ступінь сформованості теоретичного мислення.

У зв'язку з цим вимагає вирішення завдання впровадження в навчальний процес якісно нових систем вправ розвивального характеру. Представляється доцільним відмовитися від практики вирішення на уроках великої кількості однотипних вправ. Це дозволить отримати внутрішньо-предметний резерв навчального часу і використовувати його для роботи над завданнями, основне значення яких - формування узагальнених прийомів розв’язання завдань і способів їх використання надалі. Такий підхід забезпечує пріоритет розвиваючої функції навчання по відношенню до інформаційної.

В якості змістовної основи для побудови системи вправ розвивального характеру можна запропонувати завдання з параметрами. Найбільш раціональне рішення таких задач пов'язане з актуалізацією обширного навчального матеріалу і досягається шляхом комплексного застосування аналітичних та конструктивних прийомів. Це дозволяє розглядати задачі з параметрами як змістовний матеріал для повноцінної математичної діяльності.

Завдання з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення і математичної культури учнів, а саме відкриває перед учнями велике число евристичних прийомів загального характеру, цінних для математичного розвитку, при застосуванні в дослідженнях і в будь-якому іншому математичному матеріалі. Вони мають принципово дослідницький характер, і з цим пов'язане як методичне значення таких завдань, так і труднощі вироблення навичок їх розв'язування. Саме в термінах параметрів відбувається опис властивостей математичних об'єктів: функцій, рівнянь, нерівностей.

Задачі з параметрами давно увійшли в ЗНО. Це обумовлено тим, що задачі з параметрами дозволяють в повному обсязі перевірити знання основних розділів шкільної математики, виявити рівень математичного та логічного мислення, первісні навички дослідницької діяльності, а найголовніше, перспективні можливості успішного оволодіння курсом математики у вузі.


Розділ 1.

Коли ж починати працювати з параметрами?

Завдання з параметрами для учнів масової школи є незвичними, а для багатьох з них складними. Часто перелік всіляких варіантів та підваріантів, на які розпадається основний хід розв’язання, викликають труднощі у записуванні відповіді.

Працюючи з літературою та роботами моїх колег, я найчастіше зустрічала такий їх висновок, що «вперше знайомитися з параметрами корисно в 7-му класі при вивченні лінійних рівнянь, щоб учні звикли до поняття «параметр» і не відчували ускладнень при вивченні цієї теми в старших класах».

Я зустрілась з такою проблемою при роботі зі своїми учнями, що їх не те що параметр, їх лякає взагалі будь-яка «зайва» змінна в умові прикладу чи задачі. Наприклад, ми в восьмому класі працювали зі звичайною задачею з геометрії на використання теореми Піфагора, метричних співвідношень в прямокутному трикутнику та властивостей бісектриси трикутника. До того часу, поки задачі містили конкретні числа, ускладнень при їх розв’язанні не виникало, а коли я запропонувала задачу (навідь простішу, ніж та, що була розібрана перед цим), але яка вже не містила ні одної цифри, а були всі дані замінені буквами (параметрами), то виникли дуже великі труднощі в розумінні не тільки системи розв’язання, а й умови цієї задачі. І до того ж, коли додому діти отримали таку ж саму задачу, але з конкретними числами, вони за аналогією класної задачі замість параметрів підставляли числа, але не рахували відповідь на кожному етапі, а так и переписували приклад (який звичайно зростав з кожним етапом), не розв’язавши його до наступної формули і тільки, підставивши всі отримані ними приклади до останної формули (яку винайшли на уроці), виконали розрахунки. Висновок напрошується очевидний: діти зовсім не знають «що ж робити з цими змінними (параметрами)».

Тому я вважаю, що не обов’язково називати параметром, але потрібно вводити і постійно використовувати, якщо не на уроці, то під час позакласної роботи, чи як додаткове до домашнього - завдання з багатьма змінними ще в початковій школі. Дуже корисним в цьому плані вважаю підручники Л.Г.Петерсона, де можна брати дуже цікаві завдання.

Майже всі завдання, що містять багато змінних (параметрів) в цьому підручнику мають назву «Бліц-турнір», наводжу приклади і хочу зауважити, що перший – це приклад для учня 2 класу, а другий – для 4 класу. Зверніть будь-ласка увагу на спосіб подання завдань:

  •  Змінні виділені жирним курсивом;
  •  Буквами англійського алфавіту, тобто саме так, як ми зустрічаємо параметри в завдання для старших школярів;
  •  В правій частині дається місце, де учень записує відповідь;
  •  Звичайно, для четвертого класу завдань більше і вони мають складнішу умову, але хочеться також звернути увагу на 2 останніх завдання для 4 класу: початок умови однаковий, а питання в задачах різні. Цим автор зосереджує увагу учня ще й на те, що «дивись, що саме питають», бо дуже часто ми зустрічаємось з тим, що учні не розуміють «що писати у відповідь, в чому полягає питання саме цієї задачі».

«Бліц-турнір» (2 клас)

1) Коваль підкував а коней на всі 4 копита. Скільки підков він витратив?

4a

2)З трьох верблюдів настригли b кг вовни. Скільки кілограмів вовни дав кожен верблюд ?

b:3

3) На 8 сторінках альбому наклеєнo по c марок, а d марок ще не наклеєні. Скільки всього марок?

8c+d

4) У шафі було n чашок. На 3 столи поставили у чашок. Скільки чашок залишилося в шафі ?

n-3y


«Бліц-турнір» (початок 4 класу)

1) Маса дині а кг, а маса кавуна на b кг більше. У скільки разів кавун важчий дині?

(a+b):a

2) Швидкість автобуса c км /год, а швидкість вантажівки d км /год. На скільки більше відстань проїде автобус за 6 год, ніж вантажівка за 4 год?

6c-4d

3) В Олексія х грн., А у Кості у грн. Вони склали свої гроші і купили 2 морожених по n грн. Скільки грошей у них ще залишилося ?

(x+y)-2n

4) Павлик повертається додому зі школи зі швидкістю

v м/хв. Якy відстань залишиться йому пройти через 5 хв після виходу, якщо між школою і будинком s метрів?

s-5v

5) На 3 машинах привезли k ящиків слив. Скільки таких ящиків привезуть на 8 машинах?

k:3·8

6) На 3 машинах привезли k ящиків слив. Скільки знадобиться машин, щоб перевезти t таких ящиків?

t:(k:3)

Крім того, використовуючи підручники цього автора та «Тренінг інтелекту школяра» О.Г.Гайштута, знайдемо дуже багато алгоритмів, які показують учневі початкової школи, як при зміні параметру а міняється змінна х. Не буду зупинятися на алгоритмах, бо вважаю, що зацікавлені цим питанням вчителя навіть середньої та старшої школи, ознайомляться з цими збірниками і будуть їх використовувати.

Тому я вважаю, що не треба чекати 7 класу (я згодна, що саме поняття «параметр», особливо з його геометричним змістом та з розв’язанням завдань з параметром за допомогою геометрії та графіків, доцільно вводити саме в 7 класі, коли учні починають знайомитись з геометрією більш конкретно), але працювати з «багатьма змінними» треба ще з початкової школи.

При використанні на математичних гуртках задач з параметрами для учнів середніх та старших класів вважаю доцільним розглядати такі теми в залежності від рівня учнів:

  •  Основні методи розв’язання задач с параметрами.
  •  Лінійні рівняння, нерівності та їх системи.
  •  Квадратні рівняння.
  •  Квадратні нерівності.
  •  Логарифмічні рівняння та нерівності.
  •  Тригонометричні рівняння та нерівності.
  •  Показникові рівняння та нерівності.

Звичайно кожен вчитель доповнить чи іншим чином змінить цей список в залежності від мети, яку він ставить у зв’язку з викладанням теми «Задачі з параметрами».


Розділ 2.

Як працювати над завданнями з параметрами?

Перш ніж ввести поняття «параметр» учням 5-6 класу необхідно нагадати роль букви в алгебрі та запропонувати завдання, в яких треба виразити одну змінну через іншу.

Розв’язуючи завдання подібного змісту, учні 5-6 класів звикають до поняття «параметр», дуже доцільно учням саме цих класів, коли задачі мають не великий алгоритм розв’язання пропонувати задачі «без цифр», наприклад такого змісту:

« На шлях до школи та назад Настя витрачає t хвилин, причому в школу вона йде на m  хвилин швидше, ніж повертається. Скільки часу a витрачає Настя на дорогу додому?»

Маємо таку відповідь: a=(t+m):2.

Найголовніше, що повинен зрозуміти учень це те, що параметр – це число, хоча и невідоме, але зафіксоване, яке має двоїсту природу.

У школярів 7-8 класів доцільно спитати: «Чи зустрічалися вони з параметрами раніше?» Скоріш за все відповідь буде негативною. Але насправді потрібно звернути їх увагу на деякі їх знання, які в них вже досить чітко сформовані, але те, що вони містять параметр, вони і не підозрювали, а саме:

  •  лінійна функція у=kx+b, де х та у – змінні, а k та b – параметри;
  •  квадратне рівняння ax2+bx+c=0, де х – змінна, a, b, cпараметри.

Задачі потрібно починати розв’язувати з найпростіших, поступово ускладнюючи їх.

Для полегшення процесу розв'язання рівнянь і нерівностей з параметрами необхідно запропонувати учням орієнтир, який дозволяє проводити більш-менш однакові міркування при розв'язанні різних типів рівнянь і нерівностей з параметрами, а саме:

  •  рівняння або нерівність з параметрами можна розв'язувати, як звичайне рівняння або нерівність до того моменту, коли всі перетворення або міркування, необхідні для розв'язання, можна виконати однозначно. У той момент, коли будь-яке перетворення не можна виконати однозначно, розв'язання необхідно розбити на кілька випадків, щоб у кожному з них відповідь через параметри записувалася однозначно.

У процесі навчання учнів роботі з параметром реалізуються наступні задачі:

  •  познайомити учнів з поняттям параметра, з аналітичними та геометричними прийомами розв’язання, з основними підходами до вирішення завдань з параметрами;
  •  навчити знаходити кількість коренів при графічному способі розв’язання завдань з параметром;
  •  сформувати вміння й навички застосування рівносильність рівнянь і нерівностей, використовувати властивість екстремальності, монотонності, парності, періодичності та оборотності функцій;
  •  використовувати властивість гомотетії, паралельного переносу, тобто геометричний аспект при вирішенні алгебраїчний завдань з параметром.

Для успішної роботи з параметрами при здачі ЗНО учень повинен:

знати:

  •  основні типи завдань з параметрами
  •  основні методи розв’язання (аналітичний та графічний)
  •  властивості функцій а задачах з параметром.

вміти:

  •  використовувати отримані знання при вирішенні рівнянь, нерівностей, систем, які містять параметр;
  •  читати і будувати графіки функцій, аналітичний вираз яких містить знак абсолютної величини;
  •  застосовувати аналітичні, графічні та геометричні прийоми до розв’язання завдань з параметрами.

Ще хотілося б звернути увагу, що завдання з параметрами, хоч і не великий, але все ж таки мали свій простір в шкільній математиці 80-х років ХХ сторіччя (указую саме цей період, бо тоді сама навчалась в школі) і «не впали вчителям математики на голову» з введенням нової шкільної програми. Мною улюблений «Сборник задач для поступающих во втузы» під ред. М. И. Сканаві в 1992 році видання мав невеликий перелік завдань з параметрами в розділі «Додаткові задачі з алгебри» так само і у «Справочнике по методам решения задач по математике для средней школы», де авторами є Цыпкин А.Г. та Пинский А. И. існує невеличкий параграф, але на відміну від попереднього збірника, є частиною основного викладення матеріалу, але й тут параметрам приділили лише 8 сторінок.


Розділ 3
.

Декілька прикладів розв’язування задач з параметрами.

1. Для яких значень параметра  корені рівняння  мають різні знаки?

Розв’язання.

Графіком функції є парабола. Використовуючи графічну ілюстрацію одержуємо умову, за якої корені рівняння мають різні знаки:

. Тоді . Звідси

Відповідь:

2. Знайти значення параметра , при якому система  має один розв'язок.

Розв’язання. Розв’яжемо систему геометрично. На прямокутній декартовій площині перше рівняння системи визначає коло з центром О(0;0) і радіусом R=2. Друге рівняння  описує сукупність ламаних , де a – параметр.

Один розв’язок отримується в точці (0; 2). Отже, a=2.

Відповідь: а=2.


Висновки та пропозиції
:

  •  Починати застосовувати завдання з геометричними параметрами можна не тільки з самого раннього періоду вивчення геометрії, а й в початковій школі (в гіршому випадку з 5 класу).
  •  Застосування подібних завдань не дозволяє учням «закостеніти» у своїх уміннях і навичках застосування математичних знань.
  •  Завдання з геометричними параметрами носять творчий характер і не можуть бути включені в обовязковий мінімум; їх необхідно віднести до завдань рівня підвищенної складності.

Найчастіше учневі по-справжньому подумати на уроці просто ніколи. Уроки йдуть за схемою: «розігрів» учнів, перевірка домашнього завдання, повторення пройденого на минулих уроках, пояснення нового матеріалу, первинне закріплення, застосування отриманих знань при вирішенні завдань із залученням раніше вивченого матеріалу. Обмеженість вчителя часовими рамками уроку (потрібно встигнути зробити все заплановане) і часом вивчення теми (потрібно пам’ятати, що запізнення на цьому уроці спричинить подальше відставання), націленість вчителя і учня на досягнення найближчих цілей (успішно написати самостійну або контрольну роботу, скласти залік) - все це ніяк не сприяє появі на уроці завдань творчого або важкого в технічному плані. Але саме такі завдання дають можливість учневі глибше зрозуміти досліджуваний матеріал, побачити “родзинку” в розв’язуванні математичних задач. Таким чином, рішення задач з параметрами ставить перед учнями проблему розгляду різних наслідків при розгляді різних варіантів, що є актуальною проблемою і в нашому повсякденному житті.

Рекомендації для учня.

Перш, ніж приступити до розв’язання завдання з параметрами, раджу розібратися в ситуації для конкретного числового значення параметра. Наприклад, візьміть значення параметра а=1 і дайте відповідь на питання: чи є значення параметра а=1 шуканим для даної задачі. Відзначу, що підстановка фіксованого значення параметра дозволяє у багатьох випадках намацати шлях вирішення завдання.

При вирішенні багатьох задач з параметрами зручно скористатися графічними інтерпретаціями. Якщо зобразити графіки функцій, що входять в ліві і праві частини розглянутих рівнянь, то тоді точки перетину графіків будуть відповідати рішенням рівняння, а число точок перетину - числу рішень. Аналогічно, при розв’язанні систем рівнянь або нерівностей можна зобразити геометричні місця точок площини, що задовольняють розглянутим рівнянням або нерівностям. Це часто дозволяє істотно спростити аналіз задач, а в ряді випадків являє собою єдиний "ключ" до вирішення.

Розв’язання багатьох задач з параметрами вимагає вміння правильно формулювати необхідні і достатні умови, які відповідають різним умовам розташування коренів квадратного тричлена на числовій осі.

Істотним етапом розв’язання завдань з параметрами є запис відповіді. Особливо це відноситься до тих прикладів, де розв’язання як би «ділиться» залежно від значень параметра. У подібних випадках складання відповіді - це збір раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо не забути позначити у відповіді всі етапи розв’язання. Також рекомендую перш, ніж записувати відповідь, ще раз уважно прочитати умову задачі і чітко усвідомити, що саме питається.

Для того, щоб освоїти прийоми вирішення завдань з параметрами, необхідно уважно розібрати наведені приклади розв’язання таких завдань і постаратися переглянули якомога більше завдань для самостійного рішення.


Список використаних джерел
.

  1.  http://www.youtube.com/watch?v=J_yVB-IKBhs
  2.  http://www.youtube.com/watch?v=jIQfpWGJ9II
  3.  http://www.youtube.com/watch?v=zgpmp0HN1Us
  4.  http://ege-ok.ru   -  сайт репетитор
  5.  http://www.youtube.com/watch?v=L8fsGYFux0k
  6.  http://www.youtube.com/watch?v=tpzYjUWWH_s
  7.  http://www.youtube.com/watch?v=CkYe4_O47y4
  8.  http://www.youtube.com/watch?v=zgpmp0HN1Us
  9.  А. И. Козко. Задачи с параметрами и другие сложные задачи.
  10.  Г. П. Пак. Задачи с параметрами.
  11.  В. И. Голубев. Решение сложных и нестандартних задач по математике.
  12.  П. И. Горнштейн. Задачи с параметрами.
  13.  И. Депман. Рассказы о старой и новой алгебре.
  14.  Алексеев. Избранные задачи.
  15.  В.В. Локоть. Задачи с параметрами.
  16.  П. Ф. Севрюков. Школа решения задач с параметрами.
  17.  Ю. М. Колягин, В. А. Оганесян. Учись решать задачи.
  18.  А. К. Дьяков. Функционально-графический поход к решению задач с параметрами.
  19.  «Параметры в геометрии» дипломная работа Л. В. Пузакова.


2

х

у


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19826. Організація зовнішнього доступу до локальних компонентів класу (специфікатор friend) 23.5 KB
  Організація зовнішнього доступу до локальних компонентів класу специфікатор friend. Технологія об'єктноорієнтованого програмування дає змогу організувати до ступ до закритих членів класу функціями які не є його членами. Для цього дос татньо оголосити ці функції др...
19827. Параметризовані класи (templates) 25 KB
  1.Параметризовані класи templates. Параметризовані класи це класи що можуть оперувати узагальненими типами. Ці класи генеруються подібно узагальненим функціям в період компіляції. Призначення і особливість параметризованих класів схожа структура класу з різними тип...
19828. Повні імена компонентів класу. Вкладені класи. Статичні компоненти класу 22 KB
  Повні імена компонентів класу. Вкладені класи. Статичні компоненти класу. Об'єктноорієнтований під до розроблення програмних продуктів побудова ний на такому понятті як класи. Клас визначає новий тип даних який задає фор мат об'єкта. Клас містить як дані так і коди ...
19830. Специфікація функцій, що обробляють виключення 24.5 KB
  Специфікація функцій що обробляють виключення Повернення функцією коду помилки є самим звичайним і широко застосовуваним методом. Однак цей метод має істотні недоліки. Поперше потрібно пам'ятати чисельні значення кодів помилок. Цю проблему можна обійти використовую...
19831. Основні поняття й терміни баз даних. Класифікація баз даних 18.48 KB
  База даних БД − це систематизоване сховище інформації. Телефонний довідник − прекрасний приклад базі даних. Спеціальне програмне забезпечення необхідне для використання та модифікації баз даних користувачем називається системою управління базами даних. Основні...
19832. Модель даних, типи моделей даних 16 KB
  Основою бази даних є модель даних фіксована система понять і правил для представлення даних структури стану і динаміки проблемної області в базі даних. У різний час послідовне застосування одержували ієрархічна мережна і реляційна моделі даних. У наш час усе більшого
19833. Реляційна модель даних 15.18 KB
  Реляційна модель даних У реляційній моделі даних об'єкти і взаємозв'язки між ними представляються за допомогою таблиць. Взаємозв'язки також подаються як об'єкти. Кожна таблиця представляє один об'єкт і складається з рядків і стовпців. Таблиця повинна мати первинний ключ ...
19834. Источники права 14.7 KB
  Источники права Как и у других народов один из главных источников права у славян обычай. Обычаи или устойчивые правила поведения формируются уже на этапе догосударственного развития в условиях родоплеменных отношений. Возникновение Древнерусского государства ес