52827

ЭКОНОМЕТРИКА Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения

Книга

Экономическая теория и математическое моделирование

Если работа не принимается к зачету, то она вместе с рецензией возвращается студенту. Студент обязан учесть все замечания и внести их в текст работы или выполнить ее заново

Русский

2014-03-27

956 KB

9 чел.

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный

инженерно-экономический  университет»

Кафедра исследования операций в экономике

имени профессора Юрия Алексеевича Львова

ЗАОЧНОЕ ОБУЧЕНИЕ

    УТВЕРЖДАЮ

    Проректор

    по учебно-методической работе

    и качеству образования

    д.э.н., профессор

    _______________ В.И. Малюк

    Рег. № М-3053

ЭКОНОМЕТРИКА

Методические указания

к выполнению контрольной работы

для студентов заочной формы обучения

Специальности  080105 - Финансы и кредит

080109 - Бухгалтерский учет, анализ и аудит

080801 - Прикладная информатика в экономике

080103 - Национальная экономика

Санкт-Петербург

2012

Допущено

редакционно-издательским советом СПбГИЭУ

в качестве методического издания

Составители:

канд. экон. наук, доц. И.Н. Нименья

ст. преп. Л.И. Курова

Подготовлено на кафедре

исследования операций в экономике

имени профессора Юрия Алексеевича Львова

Отпечатано в авторской редакции с оригинал макета,

представленного составителями

СПбГИЭУ, 2012

Содержание

Общие  указания                                                                    4

Введение                                                                                 6

Линейный парный регрессионный анализ                          8

Задание №1                                                                           15

Множественный регрессионный анализ                            17

Задание №2                                                                           24

Системы эконометрических уравнений                            25

Задание №3                                                                           32

Временные ряды в эконометрических исследованиях     35

Задание № 4                                                                          42

Список литературы                                                              44

Приложение  1                                                                      45

Приложение  2                                                                      48

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

Контрольная работа по дисциплине эконометрика выполняется для приобретения студентами опыта построения эконометрических моделей, принятия решений спецификации и идентификации моделей, выбора методов оценки параметров модели, интерпретации результатов, получения прогнозных оценок.

При самостоятельном изучении дисциплины следует руководствоваться рабочей программой дисциплины эконометрика для студентов специальностей 080103, 080105, 080109 и 080801 СПбГИЭУ.

При выполнении контрольной работы следует обратить внимание на следующие требования:

  1.  Задания к контрольной работе составлены в 100 вариантах. Каждый студент выполняет один вариант. Номер его варианта соответствует последним двум цифрам номера его зачетной книжки. Замена задач не допускается. Номер варианта указывается в самом начале работы.
  2.  Работы можно выполнять с помощью вычислительной техники и специального программного обеспечения (например, электронных таблиц MS Excel).

3. Нельзя ограничиваться приведением только готовых ответов. Расчеты должны быть представлены в развернутом виде, применяя где это необходимо табличные оформления исходной информации и расчетов, со всеми формулами, пояснениями и выводами, соблюдая достаточную точность вычислений. В пояснениях и выводах показать, что именно и как характеризует исчисленный показатель.

4. Работа должна быть написана разборчиво, без помарок. Титульный лист оформляется в соответствии с примером, приведенном в Приложении 2. Работа должна содержать список использованной литературы,  быть подписана студентом,  указана дата выполнения работы.

5. Контрольная работа должна быть представлена не позже, чем за 2 недели до экзамена (зачета).

6. Если работа не принимается к зачету, то она вместе с рецензией возвращается студенту. Студент обязан учесть все замечания и внести их в текст работы или выполнить ее заново; при этом рецензия преподавателя должна быть приложена к работе. Несамостоятельно выполненные работы рассматриваются как неудовлетворительные.

7. За консультацией по всем вопросам, возникшим в процессе изучения дисциплины «Эконометрика» и выполнения контрольный работы, следует обращаться на кафедру исследования операций в экономике имени профессора Юрия Алексеевича Львова. Адрес: г. Санкт-Петербург, ул. Марата 27,  ауд. М-512. Телефон: (812) 718-50-24.

ВВЕДЕНИЕ

Эконометрика – наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

Эконометрика связывает между собой экономическую теорию и экономическую статистику и с помощью математико-статистических методов придает конкретное количественное выражение  общим закономерностям, устанавливаемым экономической теорией.

Предметом эконометрики являются массовые экономические явления.

Главным инструментом эконометрики служит эконометрическая модель, которая представляет собой либо одно уравнение; либо систему уравнений.

Эконометрика изучает массовые явления в экономике через статистические совокупности, а последние через признаки, которыми характеризуются единицы этой совокупности.

Признаки могут находиться в связи между собой. Взаимосвязанные признаки могут выступать в одной из ролей:

- роли признака-результата (аналог зависимой переменной (y) в математике);

- роли признака-фактора, значения которого определяют значение признака-результата (аналог независимой переменной (x) в математике).

Связи классифицируют по степени тесноты, направлению, форме, числу факторов.

  •  По степени тесноты связи делят  на статистические (стохастические) и функциональные.

Статистическая (стохастическая) связь – это такая связь между признаками, при которой для каждого значения признака-фактора х признак-результат (y) может в определенных пределах принимать любые значения с некоторыми вероятностями; при этом его статистические (массовые) характеристики (например, среднее значение) изменяются по определенному закону.

Статистическая связь обусловлена:

1) тем, что на результативный признак оказывают влияние не только фактор (факторы), учтенные в модели, но и неучтенные или неконтролируемые факторы;

2) неизбежностью ошибок измерения значений признаков.

Модель статистической связи может быть представлена в общем виде уравнениями:

 yi=f(x1i,ui) (i=1,2,…,n) - для модели с одним фактором,  

yi=f(x1i,...,xmi,ui), (i=1,2,…,n) – для модели с множеством факторов,

где yi - фактическое значение результативного признака для i-ой единицы статистической совокупности;

f(x1i,...,xmi) - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных известных факторных признаков (xji,  j=1;m);

ui - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием неконтролируемых или неучтенных факторов, а также ошибок измерения признаков.

Противоположной статистической связи является функциональная.

Функциональной называется такая связь, когда каждому возможному значению признака-фактора  (х) соответствует одно или несколько строго определенных значений результативного признака (y). Определение функциональной связи может быть легко обобщено для случая многих признаков х1, х2,…,хm. модель функциональной связи в общем виде можно представить уравнением:

yi=f(x1i,...,xmi).

  •  По направлению изменений результативного и факторного признаков связи делят на прямые и обратные.
  •  По форме связи (виду функции f) связи делят на прямолинейные (линейные) и криволинейные (нелинейные).
  •  По количеству факторов в модели связи подразделяют на однофакторные (парные) и многофакторные.

ЛИНЕЙНЫЙ ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Одним из методов изучения стохастических связей между признаками является регрессионный анализ.

Регрессионный анализ представляет собой вывод уравнения регрессии, с помощью которого находится средняя величина случайной переменной (признака-результата), если величина другой (или других) переменных (признаков-факторов) известна. Он включает следующие этапы:

1) выбор формы связи (вида аналитического уравнения регрессии);

2) оценку параметров уравнения;

3) оценку качества аналитического уравнения регрессии. 

Наиболее часто для описания статистической связи признаков используется линейная форма. Внимание к линейной связи объясняется четкой экономической интерпретацией ее параметров, ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму.

В случае линейной парной связи уравнение регрессии примет вид:  . Параметры данного уравнения а и b оцениваются по данным статистического наблюдения  x и y. Результатом такой оценки является уравнение:   , где  , - оценки параметров a и b, - значение результативного признака (переменной), полученное по уравнению регрессии (расчетное значение).

Наиболее часто для оценки параметров используют метод наименьших квадратов (МНК). 

Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (u) и независимой переменной (x).

Задача оценивания параметров линейного парного уравнения методом наименьших квадратов состоит в следующем:

получить такие оценки параметров , , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака - yi от расчетных  значений –  минимальна.

Формально критерий МНК можно записать так:

.

Проиллюстрируем суть данного метода графически. Для этого построим точечный график по данным наблюдений (xi,yi,  i=1;n) в прямоугольной системе координат (такой точечный график называют корреляционным полем). Попытаемся подобрать прямую линию, которая ближе всего расположена к точкам корреляционного поля. Согласно методу наименьших квадратов линия выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками корреляционного поля и этой линией была бы минимальной.

  y                             

 yi

  yi  

                                                                   x

                      х i

Математическая запись данной  задачи:

.

Значения yi и xi  i=1;n нам известны, это данные наблюдений. В функции S они представляют собой константы. Переменными в данной функции являются искомые оценки параметров - , . Чтобы найти минимум функции 2-ух переменных необходимо вычислить частные производные данной функции по каждому из параметров и приравнять их нулю, т.е. .

В результате получим систему из 2-ух нормальных линейных уравнений:

Решая данную систему, найдем искомые оценки параметров:

Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена сравнением сумм  (возможно некоторое расхождение из-за округления расчетов).

Для расчета оценок параметров , можно построить таблицу 1.

Знак коэффициента регрессии b указывает направление связи (если b>0, связь прямая, если b<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.

Формально значение параметра а – среднее значение y при х равном нулю. Если признак-фактор не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка параметра а не имеет смысла.

Оценка тесноты связи между признаками осуществляется с помощью коэффициента линейной парной корреляции - rx,y. Он может быть рассчитан по формуле: . Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть  определен через коэффициент регрессии b: .

Область допустимых значений линейного коэффициента парной корреляции от –1 до +1. Знак коэффициента корреляции указывает направление связи. Если rx,y>0, то связь прямая; если rx,y<0, то связь обратная.

Если данный коэффициент по модулю близок к единице, то связь между признаками может быть интерпретирована как довольно тесная линейная. Если его модуль равен единице rx,y =1, то связь между признаками функциональная линейная. Если признаки х и y линейно независимы, то rx,y близок к 0.

Для расчета rx,y можно использовать также таблицу 1.

Таблица 1

N наблюдения

xi

yi

xi ∙yi

1

x1

y1

x1·y1

2

x2

y2

x2·y2

...

n

xn

yn

xn·yn

Сумма по столбцу

x

y

 x·y 

Среднее значение

Для оценки качества полученного уравнения регрессии рассчитывают теоретический коэффициент детерминации – R2yx:

,

где 2 – объясненная уравнением регрессии дисперсия y;

2- остаточная (необъясненная  уравнением регрессии) дисперсия y;

2y  - общая (полная) дисперсия y.

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (дисперсии) результативного признака y, объясняемую регрессией (а, следовательно, и фактором х), в общей вариации (дисперсии) y. Коэффициент детерминации R2yx принимает значения от 0 до 1. Соответственно величина 1-R2yx характеризует долю дисперсии y,  вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов  и ошибками спецификации.

При парной линейной регрессии R2yx=r2yx.

Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии.

С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y). Если оценку параметров произвести по данным другого статистического наблюдения (другому набору значений x и y), то получим другие численные значения  , . Мы предполагаем, что все эти наборы значений x и y извлечены из одной и той же генеральной совокупности. Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез.

В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля  параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение  t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике). Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости () и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.

Если фактическое значение  t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают  и считают,  что с вероятностью (1-) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение  t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости .

Для параметра b критерий проверки имеет вид:

,

где - оценка коэффициента регрессии, полученная по наблюдаемым данным;

– стандартная ошибка коэффициента регрессии.

Для линейного парного уравнения регрессии стандартная ошибка коэффициента вычисляется по формуле:

.

Числитель в этой формуле может быть рассчитан через коэффициент детерминации и общую дисперсию признака-результата: .

Для параметра a критерий проверки гипотезы о незначимом отличии его от нуля имеет вид:

,

где - оценка параметра регрессии, полученная по наблюдаемым данным;

– стандартная ошибка параметра a.

Для линейного парного уравнения регрессии:

.

Для проверки гипотезы о незначимом отличии от нуля коэффициента линейной парной корреляции  в генеральной совокупности используют  следующий критерий:

, где ryx - оценка коэффициента корреляции, полученная по наблюдаемым данным; r – стандартная ошибка коэффициента корреляции ryx.

Для линейного парного уравнения регрессии:

.

В парной линейной регрессии между наблюдаемыми значениями  критериев существует взаимосвязь: t (b=0)=t(r=0).

Прогноз ожидаемого значения результативного признака y  по линейному парному уравнению регрессии.

Пусть требуется оценить значение признака-результата для заданного значения признака-фактора (хр). Прогнозируемое значение признака-результата c доверительной вероятностью равной (1-) принадлежит интервалу прогноза:

(-t·p; +t·p),

где - точечный прогноз;

t – коэффициент доверия, определяемый по таблицам распределения Стьюдента в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы (n-2);

p- средняя ошибка прогноза.

Точечный прогноз рассчитывается по линейному уравнению регрессии, как: .

Средняя ошибка прогноза определяется по формуле:

.

Задание № 1

На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

  1.  Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
  2.  Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
  3.  Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне  с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
  4.  Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Таблица 2

Вариант

Номер начального наблюдения

Номер конечного наблюдения

Номер признаков из прил.  1

Вариант

Номер начального наблюдения

Номер конечного наблюдения

Номер признаков из прил.  1

1

2

3

4

5

6

7

8

01

1

50

1,2

51

26

75

1,3

02

1

50

3,4

52

26

75

4,5

03

2

51

1,3

53

27

76

1,4

04

2

51

4,5

54

27

76

2,5

05

3

52

1,4

55

28

77

1,5

06

3

52

2,5

56

28

77

2,3

07

4

53

1,5

57

29

78

1,2

08

4

53

2,3

58

29

78

3,4

09

5

54

1,2

59

30

79

1,3

10

5

54

3,4

60

30

79

4,5

11

6

55

1,3

61

31

80

1,4

Продолжение табл. 2

1

2

3

4

5

6

7

8

12

6

55

4,5

62

31

80

2,5

13

7

56

1,4

63

32

81

1,5

14

7

56

2,5

64

32

81

2,3

15

8

57

1,5

65

33

82

1,2

16

8

57

2,3

66

33

82

3,4

17

9

58

1,2

67

34

83

1,3

18

9

58

3,4

68

34

83

4,5

19

10

59

1,3

69

35

84

1,4

20

10

59

4,5

70

35

84

2,5

21

11

60

1,4

71

36

85

1,5

22

11

60

2,5

72

36

85

2,3

23

12

61

1,5

73

37

86

1,2

24

12

61

2,3

74

37

86

3,4

25

13

62

1,2

75

38

87

1,3

26

13

62

3,4

76

38

87

4,5

27

14

63

1,3

77

39

88

1,4

28

14

63

4,5

78

39

88

2,5

29

15

64

1,4

79

40

89

1,5

30

15

64

2,5

80

40

89

2,3

31

16

65

1,5

81

41

90

1,2

32

16

65

2,3

82

41

90

3,4

33

17

66

1,2

83

42

91

1,3

34

17

66

3,4

84

42

91

4,5

35

18

67

1,3

85

43

92

1,4

36

18

67

4,5

86

43

92

2,5

37

19

68

1,4

87

44

93

1,5

38

19

68

2,5

88

44

93

2,3

39

20

69

1,5

89

45

94

1,2

40

20

69

2,3

90

45

94

3,4

41

21

70

1,2

91

46

95

1,3

42

21

70

3,4

92

46

95

4,5

43

22

71

1,3

93

47

96

1,4

44

22

71

4,5

94

47

96

2,5

45

23

72

1,4

95

48

97

1,5

46

23

72

2,5

96

48

97

2,3

47

24

73

1,5

97

49

98

1,2

48

24

73

2,3

98

49

98

3,4

Окончание табл. 2

1

2

3

4

5

6

7

8

49

25

74

1,2

99

50

99

1,3

50

25

74

3,4

0

50

99

4,5

МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели, который в свою очередь включает 2 круга вопросов: отбор факторов и выбор уравнения регрессии.

Отбор факторов обычно осуществляется в два этапа:

1) теоретический  анализ взаимосвязи результата и круга факторов, которые оказывают на него существенное влияние;

2) количественная оценка взаимосвязи факторов с результатом. При линейной форме связи между признаками данный этап сводится к анализу корреляционной матрицы (матрицы парных линейных коэффициентов корреляции):

         ry,y    ry,x1    ryx2     ....   ry,xm

         rx1,y  rx1,x2   rx2x2   ....   rx2,xm

          ......

rxm,y  rxm,x1 rxm,x2   ....  rxm,xm

где ry,xj – линейный парный коэффициент корреляции, измеряющий тесноту связи между признаками y и хj  j=1;m, m -число факторов.

rxj,xk – линейный парный коэффициент корреляции, измеряющий тесноту связи между признаками хj и хk  j,k=1;m.

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов).

2. Каждый фактор должен быть достаточно тесно связан с результатом (т.е. коэффициент парной линейной корреляции между фактором и результатом должен быть существенным).

3. Факторы не должны быть сильно коррелированы друг с другом, тем более находиться в строгой функциональной связи (т.е. они не должны быть интеркоррелированы). Разновидностью интеркоррелированности факторов является мультиколлинеарность - тесная линейная связь между  факторами.

Мультиколлинеарность может привести к нежелательным последствиям:

1) оценки параметров становятся ненадежными. Они обнаруживают большие стандартные ошибки. С изменением объема наблюдений оценки меняются (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

2) затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в  «чистом» виде, ибо факторы коррелированны; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл;

3) становится невозможным определить изолированное влияние факторов на результативный показатель.

Мультиколлинеарность имеет место, если определитель матрицы межфакторной корреляции  близок к нулю:

.

Если же определитель матрицы межфакторной корреляции близок к единице, то мультколлинеарности нет.Существуют различные подходы преодоления сильной межфакторной корреляции. Простейший из них – исключение из модели фактора (или факторов), в наибольшей степени ответственных за мультиколлинеарность при условии, что качество модели при этом пострадает несущественно (а именно, теоретический коэффициент детерминации -R2y(x1...xm) снизится несущественно).

Определение факторов, ответственных за мультиколлинеарность, может быть основано на анализе матрицы межфакторной корреляции. При этом определяют пару признаков-факторов, которые сильнее всего связаны между собой (коэффициент линейной парной корреляции максимален по модулю). Из этой пары в наибольшей степени ответственным за мультиколлинеарность будет тот признак, который теснее связан с другими факторами модели (имеет более высокие по модулю значения коэффициентов парной линейной корреляции).

Еще один способ определения факторов, ответственных за мультиколлинеарность основан на вычислении коэффициентов множественной детерминации (R2xj(x1,...,xj-1,xj+1,...,xm)), показывающего зависимость фактора xj от других факторов модели x1,...,xj-1, xj+1,...,xm. Чем ближе значение коэффициента множественной детерминации к единице, тем больше ответственность за мультиколлинеарность фактора, выступающего в роли зависимой переменной. Сравнивая между собой коэффициенты множественной детерминации для различных факторов можно проранжировать переменные по степени ответственности за мультиколлинеарность.

При выборе формы уравнения множественной регрессии предпочтение отдается линейной функции:

yi=a+b1·x1i+ b2·x2i+...+ bm·xmi+ui

в виду четкой интерпретации параметров.

Данное уравнение регрессии называют уравнением регрессии в естественном (натуральном) масштабе. Коэффициент регрессии bj при факторе хj называют условно-чистым коэффициентом регрессии. Он измеряет среднее по совокупности отклонение признака-результата от его средней величины при отклонении признака-фактора хj на единицу, при условии, что все прочие факторы модели не изменяются (зафиксированы  на своих средних уровнях).

Если не делать предположения о значениях прочих факторов, входящих в модель, то это означало бы, что каждый из них при изменении хj также изменялся бы (так как факторы связаны между собой), и своими изменениями оказывали бы влияние на признак-результат.

Расчет параметров уравнения линейной множественной регрессии

Параметры уравнения множественной регрессии можно оценить методом наименьших квадратов, составив и решив систему нормальных линейных уравнений.

Кроме того, для линейной множественной регрессии существует другой способ реализации МНК при оценке параметров - через  -коэффициенты (через параметры уравнения регрессии в стандартных масштабах).

Модель регрессии в стандартном масштабе  предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

,   j=1;m,

где хji - значение переменной хji в i-ом наблюдении.

.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение . Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:

.

Для оценки -коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

rx1y=1+rx1x22+…+ rx1xmm

rx2y= rx2x11+2+…+ rx2xmm

rxmy= rxmx11+rxmx22+…+m

Найденные из данной системы –коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

, j=1;m;   .

Показатели тесноты связи факторов с результатом.

Если факторные признаки различны по своей сущности и (или) имеют различные единицы измерения, то коэффициенты регрессии bj при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат. К таким показателям тесноты связи относят: частные коэффициенты эластичности, –коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты эластичности Эj рассчитываются по формуле: . Частный коэффициент эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменяется признак-результат y с изменением признака-фактора хj на один процент от своего среднего уровня при фиксированном положении других факторов модели. В случае линейной зависимости Эj рассчитываются по формуле: , где  – оценка коэффициента регрессии при j–ом факторе.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - -коэффициенты (j) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения у изменится признак-результат y  с изменением соответствующего фактора хj на величину своего среднего квадратического отклонения (хj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).

По коэффициентам эластичности и -коэффициентам могут быть сделаны противоположные выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное воздействие факторов на результат.

Коэффициент j может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (xj) на результат (y). Во множественной регрессии  j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели). Косвенное влияние измеряется величиной: , где  m- число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет  коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата – rxj,y.

Коэффициент частной корреляции измеряет «чистое» влияние фактора на результат при устранении воздействия прочих факторов модели.

Для расчета частных коэффициентов корреляции могут быть использованы парные коэффициенты корреляции.

Для случая зависимости y от двух факторов можно вычислить 2 коэффициента частной корреляции:

,

(фактор х2 фиксирован).

(фактор х1 фиксирован).

Это коэффициенты частной корреляции 1-ого порядка (порядок определяется числом факторов, влияние которых устраняется).

Частные коэффициенты корреляции, рассчитанные по таким формулам изменяются от –1 до +1. Они используются не только для ранжирования факторов модели по степени влияния на результат, но и также для отсева факторов. При малых значениях ryxm/x1,x2…xm-1 нет смысла вводить в уравнение  m-ый фактор, т.к. его чистое влияние на результат несущественно.

Коэффициенты множественной детерминации и корреляции  характеризуют совместное влияние всех факторов на результат.

По аналогии с парной регрессией можно определить долю вариации результата, объясненной вариацией включенных в модель факторов (2), в его общей вариации (2y). Ее количественная характеристика – теоретический множественный коэффициент детерминации (R2y(x1,...,xm)). Для линейного уравнения регрессии данный показатель может быть рассчитан через -коэффициенты, как:

.

- коэффициент множественной корреляции. Он принимает значения от 0 до 1 (в отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения). Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно,  больше величина Ry(x1,...,xm). Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

Оценка значимости полученного уравнения множественной регрессии.

Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности:  или b1= b2=…=bm=0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).

Для ее проверки используют  F-критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R2y(x1,...,xm), рассчитанный по данным конкретного наблюдения:

, где n-число наблюдений; h – число оцениваемых параметров (в случае двухфакторной линейной регрессии h=3).

По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=h-1 и k2=n-h.

Сравнивают фактическое значение F-критерия (Fнабл) с табличным Fкр(;k1;k2). Если Fнабл<Fкр(;k1;k2), то гипотезу о незначимости уравнения регрессии не отвергают. Если Fнабл>Fкр(;k1;k2), то выдвинутую гипотезу отвергают и принимают альтернативную гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии.

Задание № 2

На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

  1.  Построить уравнение множественной регрессии. При этом  признак-результат и один из  факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться  его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
  2.  Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
  3.  Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Сделать вывод.
  4.  Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
  5.  Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

CИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Не всегда получается описать адекватно сложное социально-экономическое явление с помощью только одного соотношения (уравнения). Кроме того, некоторые переменные могут оказывать взаимные воздействия и трудно однозначно определить, какая из них является зависимой, а какая независимой переменной. Поэтому при построении эконометрической модели прибегают к системам уравнений.

В любой эконометрической модели в зависимости от конечных прикладных целей ее использования все участвующие в ней переменные подразделяются на:

  •  Экзогенные (независимые) – значения которых задаются «извне», автономно, в определенной степени они являются управляемыми (планируемыми) (X);
  •  Эндогенные (зависимые) -  значения которых определяются внутри модели, или взаимозависимые (Y).
  •  Лаговые – экзогенные или эндогенные переменные эконометрической модели, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Например:   

yt – текущая эндогенная переменная,

yt-1 – лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 1 период назад),

yt-2 – тоже лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 2 периода).

  •  Предопределенные переменные – переменные, определяемые вне модели. К ним относятся лаговые и текущие экзогенные переменные (xt, xt-1), а также лаговые эндогенные переменные (yt-1).

Все эконометрические модели предназначены для объяснения текущих значений эндогенных переменных по значениям предопределенных переменных.

В дальнейшем для простоты будем рассматривать в качестве предопределенных переменных только текущие экзогенные переменные (х).

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

  1.  Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):

  1.  Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная  представляет функцию от  зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

В рассмотренных 2-ух видах систем каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры можно определить с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

  1.  Система взаимозависимых (совместных, одновременных) уравнений, когда зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть (т.е. выступают в роли признаков-результатов), а в других уравнениях – в правую часть системы (т.е. выступают в роли признаков-факторов) одновременно:

Название «система одновременных уравнений» подчеркивает тот факт, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других.

В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим, т.к. нарушаются предпосылки, лежащие в основе  МНК. В результате оценки параметров получаются смещенными.

В эконометрике эта система уравнений также называется структурной формой  модели.

Некоторые из уравнений системы могут быть представлены в виде тождеств, т.е. параметры этих уравнений являются константами.

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого  из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.

Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда,  а только если модель является идентифицируемой.  

Проблема идентификации.

Модель считается точно идентифицированной, если все ее уравнения точно идентифицированны.

Если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное уравнение, то вся модель считается сверхидентифицированной.

Если среди всех уравнений модели есть  хотя бы одно неидентифицированное, то вся модель считается неидентифицированной.

Уравнение называется точно идентифицированным, если оценки структурных параметров можно однозначно (единственным способом) найти по коэффициентам приведенной модели.

Уравнение сверхидентифицировано, если для некоторых структурных параметров можно  получить более одного численного значения.

Уравнение называется неидентифицированным, если оценки его  структурных параметров невозможно найти по коэффициентам приведенной модели.

Правила идентификации- необходимое и достаточное условия идентификации (применяются только к структурной форме модели).

Введем следующие обозначения:

M- число предопределенных переменных в модели;

m-  число предопределенных переменных в данном уравнении;

K – число эндогенных переменных в модели;

k – число эндогенных переменных в данном уравнении.

Необходимое (но недостаточное) условие идентификации уравнения модели:

Для того чтобы уравнение модели было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, было не меньше «числа эндогенных переменных, входящих в уравнение минус 1», т.е. : M-m>=k-1;

Если M-m=k-1 , уравнение точно идентифицированно.

Если M-m>k-1, уравнение сверхидентифицированно.

Эти правила следует применять в структурной форме модели.

Достаточное условие идентификации уравнения модели.

Введем обозначения: А – матрица коэффициентов при переменных не входящих в данное уравнение.

Достаточное условие идентификации заключается в том, что ранг матрицы А должен быть равен (К-1). Ранг матрицы – размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.

Сформулируем необходимое и достаточное условия идентификации уравнения модели:

1) Если M-m>k-1 и ранг матрицы А равен К-1, то уравнение сверхидентифицированно.

2) Если M-m=k-1 и ранг матрицы А равен К-1, то уравнение точно идентифицированно.

3) Если M-m>=k-1 и ранг матрицы А меньше К-1, то уравнение неидентифицированно.

4) Если M-m<k-1, то уравнение неидентифицированно. В этом случае ранг матрицы А будет меньше К-1.

Оценка точно идентифицированного уравнения осуществляется с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК).

Алгоритм КМНК включает 3 шага:

1) составление приведенной формы модели и выражение каждого коэффициента приведенной формы через структурные параметры;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение оценок параметров структурной формы по оценкам приведенных коэффициентов, используя соотношения, найденные на шаге 1.

Оценка сверхидентифицированного уравнения осуществляется при помощи двухшагового метода наименьших квадратов.

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

1) составление приведенной формы модели;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение расчетных значений эндогенных переменных, которые фигурируют в качестве факторов в структурной форме модели;

4) определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных, полученные на шаге 1.

Рассмотрим пример.

Пусть имеется система:

Требуется составить приведенную форму модели, проверить каждое уравнение структурной модели на идентификацию, и предложить способ оценки параметров структурной формы модели.

Решение:

В этой системе  y1, y2,y3  - эндогенные переменные (K=3);

x1, x2, x3 - предопределенные переменные (M=3).

K-1=2; K+M=6.

Составим приведенную форму модели:

Проверим, как выполняется необходимое условие идентификации для каждого уравнения.

Для 1-ого уравнения имеем: k1=3; m1=2;

M-m1=1 < k1-1=2, следовательно, 1-ое уравнение неидентифицированно.

Для 2-ого уравнения имеем: k2=2; m2=1;

M-m2=2 > k2-1=1, следовательно, 2-ое уравнение сверхидентифицированно.

Для 3-его уравнения имеем: k3=2; m3=2;

M-m3=1 = k3-1=1, следовательно, 3-е уравнение точно идентифицированно.

Рассмотрим, как выполняется достаточное условие идентификации для каждого уравнения системы. Для того, чтобы оно выполнялось необходимо, чтобы определитель матрицы А (матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в это уравнение) был равен К-1=2.

Составим матрицу А для 1-ого уравнения системы. В 1-ом уравнении отсутствует лишь одна переменная системы х3. Поэтому матрица А будет иметь вид:

    х3

     0       - во 2-ом уравнении

     a33        - в 3-ем уравнении

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.

Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y3, x2, х3:

    y3   x2  x3

     b13   a13  0      - в 1-ом уравнении

     1      a32  a33   - в 3-ем уравнении

Ранг данной матрицы равен 2, что равно К-1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.

Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y1, x2:

    y1   x2 

     1     a12      - в 1-ом уравнении

     b21   0       - во 2-ом уравнении

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое  и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.

Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.

Задание № 3

На основе данных, приведенных в таблице 3 и соответствующих Вашему варианту (таблица 4) провести идентификацию модели и описать процедуру оценивания параметров уравнений структурной формы модели.

Таблица 3

Уравнение

Вариант уравнения

Коэффициенты перед регрессорами

y2

y3

x1

x2

x3

y1

1

0

0

a11

a21

a31

2

0

b31

0

a21

a31

3

0

b31

a11

a21

0

4

0

b31

a11

0

a31

5

b21

b31

a11

0

a31

y1

y3

x1

x2

x3

y2

1

b12

b32

0

0

a32

2

b12

0

a12

a22

0

3

0

b32

a12

a22

a32

4

b12

b32

a12

a22

0

5

b12

b32

0

a22

a32

y1

y2

x1

x2

x3

y3

1

b13

b23

a13

0

0

2

b13

0

0

a23

a33

3

b13

0

a13

0

a33

4

b13

0

a13

a23

a33

Таблица 4

варианта контрольной работы

Уравнение

варианта контрольной работы

Уравнение

y1

y2

y3

y1

y2

y3

1

2

3

4

5

6

7

8

0

y11

y21

y31

50

y13

y23

y33

1

y11

y21

y32

51

y13

y23

y34

2

y11

y21

y33

52

y13

y24

y31

Продолжение табл. 4

1

2

3

4

5

6

7

8

3

y11

y21

y34

53

y13

y24

y32

4

y11

y22

y31

54

y13

y24

y33

5

y11

y22

y32

55

y13

y24

y34

6

y11

y22

y33

56

y13

y25

y31

7

y11

y22

y34

57

y13

y25

y32

8

y11

y23

y31

58

y13

y25

y33

9

y11

y23

y32

59

y13

y25

y34

10

y11

y23

y33

60

y14

y21

y31

11

y11

y23

y34

61

y14

y21

y32

12

y11

y24

y31

62

y14

y21

y33

13

y11

y24

y32

63

y14

y21

y34

14

y11

y24

y33

64

y14

y22

y31

15

y11

y24

y34

65

y14

y22

y32

16

y11

y25

y31

66

y14

y22

y33

17

y11

y25

y32

67

y14

y22

y34

18

y11

y25

y33

68

y14

y23

y31

19

y11

y25

y34

69

y14

y23

y32

20

y12

y21

y31

70

y14

y23

y33

21

y12

y21

y32

71

y14

y23

y34

22

y12

y21

y33

72

y14

y24

y31

23

y12

y21

y34

73

y14

y24

y32

24

y12

y22

y31

74

y14

y24

y33

25

y12

y22

y32

75

y14

y24

y34

26

y12

y22

y33

76

y14

y25

y31

27

y12

y22

y34

77

y14

y25

y32

28

y12

y23

y31

78

y14

y25

y33

29

y12

y23

y32

79

y14

y25

y34

30

y12

y23

y33

80

y15

y21

y31

31

y12

y23

y34

81

y15

y21

y32

32

y12

y24

y31

82

y15

y21

y33

33

y12

y24

y32

83

y15

y21

y34

34

y12

y24

y33

84

y15

y22

y31

35

y12

y24

y34

85

y15

y22

y32

36

y12

y25

y31

86

y15

y22

y33

Окончание табл. 4

1

2

3

4

5

6

7

8

37

y12

y25

y32

87

y15

y22

y34

38

y12

y25

y33

88

y15

y23

y31

39

y12

y25

y34

89

y15

y23

y32

40

y13

y21

y31

90

y15

y23

y33

41

y13

y21

y32

91

y15

y23

y34

42

y13

y21

y33

92

y15

y24

y31

43

y13

y21

y34

93

y15

y24

y32

44

y13

y22

y31

94

y15

y24

y33

45

y13

y22

y32

95

y15

y24

y34

46

y13

y22

y33

96

y15

y25

y31

47

y13

y22

y34

97

y15

y25

y32

48

y13

y23

y31

98

y15

y25

y33

49

y13

y23

y32

99

y15

y25

y34

Эконометрическая модель содержит три уравнения. Количество эндогенных переменных (y), экзогенных переменных (х) и вид уравнения определяются вариантом контрольной работы (таблицы 3 и 4).

Например, для варианта №1 (номер зачетной книжки заканчивается на 01) формируется система уравнений, содержащая уравнения y11 (1-ый вариант, соответствующий уравнению y1), y21 (1-ый вариант, соответствующий уравнению y2), y32 (2-ой вариант, соответствующий уравнению y3) (см. таблицу 4). В результате из таблицы 3 формируем новую таблицу 5 коэффициентов при переменных, в соответствии с вариантом:

Таблица 5

y2

y3

x1

x2

x3

y11

0

0

a11

a21

a31

y1

y3

x1

x2

x3

y21

b12

b32

0

0

a32

y1

y2

x1

x2

x3

y32

b13

0

0

a23

a33

Таким образом, окончательно система уравнений, соответствующая варианту 01, примет вид:

y1=a11·x1+a21·x2+a31·x3

y2=b12·y1+b32·y3+a32·x3

y3=b13·y1+a23·x2+a33·x3

ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ИССЛЕДОВАНИЯХ

Большинство эконометрических моделей строится как динамические эконометрические модели. Это означает, что моделирование причинно-следственных связей между переменными осуществляется во времени, а исходные данные представлены в форме временных рядов.

Временной ряд хt (t=1;n) – ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени.

Каждый временной ряд хt складывается  из следующих основных составляющих (компонентов):

1) Тенденции, характеризующей общее направление динамики изучаемого явления. Аналитически тенденция выражается некоторой  функцией времени, называемой трендом (Т).

2) Циклической или периодической составляющей, характеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Колебания представляют собой отклонения фактических уровней ряда от тренда. Объем продаж некоторых товаров подвержен сезонным колебаниям. Сезонные колебания (S) периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период равный годовому промежутку. Конъюнктурные колебания (К) связаны с большими экономическими циклами, период таких  колебаний – несколько лет.

3) Случайной составляющей, которая является результатом воздействия множества случайных факторов (Е).

Тогда уровень ряда можно представить как функцию от этих составляющих (компонентов): =f(T, K, S, E).

В зависимости от взаимосвязи между составляющими может быть построена либо аддитивная модель: =T+K+S+E, либо мультипликативная модель: =T·K·S·E  ряда динамики.

Для определения состава компонентов (структуры временного ряда) в модели временного ряда строят автокорреляционную функцию.

Автокорреляция – корреляционная связь между последовательными  уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L - лаг). То есть, автокорреляция - это связь между рядом: x1, x2, ... xn-l   и рядом x1+l, x2+l, ...,xn, где  L- положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции:

,

где ,

– средний уровень ряда (x1+L, x2+L,..., xn ),

 средний уровень ряда (x1, x2,..., xn-L ),

 t , t-L – средние квадратические отклонения, для рядов (x1+L, x2+L,..., xn ) и (x1, x2,..., xn-L ) соответственно.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L=1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-ого порядка rt,t-1, если L=2, то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка  rt,t-2  и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции равный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (L), при котором автокорреляция (rt,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается значение rt,t-1, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался rt,t-L, то ряд содержит колебания периодом L. Если ни один из rt,t-L не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

- либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний,  а его уровень определяется только случайной компонентой;

- либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокорреляции.

Рассмотрим на примере как построить коррелограмму, чтобы определяется структуру временного ряда.

Пусть нам даны поквартальные данные об объеме выпуска некоторого товара некоторой фирмой –х (усл.ед.) за 3 года:

1993

1994

1995

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

410

560

715

500

520

740

975

670

705

950

1200

900

Чтобы построить коррелогорамму для нашего примера, исходный ряд динамики дополним рядами из уровней этого ряда, сдвинутыми во времени (таблица 6).

Таблица 6

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

хt

-

560

715

500

520

740

975

670

705

950

1200

900

rt,t-1=0,537

xt-1

-

410

560

715

500

520

740

975

670

705

950

1200

хt

-

-

715

500

520

740

975

670

705

950

1200

900

rt,t-2=0,085

хt-2

-

-

410

560

715

500

520

740

975

670

705

950

хt

-

-

-

500

520

740

975

670

705

950

1200

900

rt,t-3=0,445

хt-3

-

-

-

410

560

715

500

520

740

975

670

705

хt

-

-

-

-

520

740

975

670

705

950

1200

900

rt,t-4=0,990

хt-4

-

-

-

-

410

560

715

500

520

740

975

670

хt

-

-

-

-

-

740

975

670

705

950

1200

900

rt,t-5=0,294

хt-5

-

-

-

-

-

410

560

715

500

520

740

975

Рассчитаем коэффициенты корреляции:

1-ого порядка для рядов хt и хt-1,

2-ого порядка для рядов хt и хt-2,

3-его порядка для рядов хt и хt-3,

4-ого порядка для рядов хt и хt-4,

5-ого порядка для рядов хt и хt-5

Результаты расчетов представлены в таблице 7.

Таблица 7

Лаг (порядок) – L

rt,t-L

Коррелограмма

1

0,537

****

2

0,085

*

3

0,445

***

4

0,990

*****

5

0,294

**

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция (т.к. rt,t-1=0,537 →1) и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания (т.к. rt,t-4=0,99 →1).

Построение модели временного ряда с сезонными колебаниями (аддитивная модель).

Процесс построения модели временного ряда (х), содержащего n уровней некоторого показателя за Z лет, с L сезонными колебаниями включает следующие шаги:

1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней (хc). Произведем выравнивание исходного ряда взятого из примера, рассмотренного выше, методом скользящей средней с периодом усреднения равным 3. Результаты представлены в таблице 9 (столбец 4).

2) Расчет значений сезонной составляющей Si, i=1;L, где L– число сезонов в году. Для нашего примера L=4 (сезоны - кварталы).

Расчет значений сезонных составляющих осуществляется после устранения тенденции из исходных уровней ряда: x - xc  (столбец 5, таблица 9). Для дальнейшего расчета Si построим отдельную таблицу. Строки данной таблицы соответствуют сезонам, столбцы - годам. В теле таблицы находятся значения: x - xc. По этим данным  рассчитываются средние оценки сезонных составляющих каждой строке (Sci). Если сумма всех средних оценок равна нулю (), то данные средние и будут окончательными значениями сезонных составляющих (Si=Sci). Если их сумма не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных составляющих вычитанием из средней оценки величины равной отношению суммы средних оценок к их общему числу (). Для нашего примера расчет значений Si представлен в таблице 8.

Таблица 8

Номер  сезона

Год 1

Год 2

Год 3

Средняя оценка сезонной составляющей

Скорректированная оценка сезонной составляяющей Si

1

-

-66,67

-70,00

-68,33

-67,15

2

-1,67

-5,00

-1,67

-2,78

-1,60

3

123,33

180,00

183,33

162,22

163,40

4

-78,33

-113,33

-

-95,83

-94,66

Итого

-4,72

0

3) Устранение влияния сезонной  составляющей из исходного ряда динамики : xS = x-Si. Результаты расчета xS для нашего примера представлены в столбце 6 таблицы 9.

4) Аналитическое выравнивание уровней xS (построение тренда): .

Расчет параметров при аналитическом выравнивании чаще всего производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом поиск параметров для линейного уравнения тренда  можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма  показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю. Для этого вводится новая условная переменная времени ty, такая, что ty =0. Уравнение тренда при этом будет следующим: .

При нечетном числе уровней ряда динамики для получения  ty=0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (периоду или моменту времени, соответствующему данному уровню присваивается нулевое значение). Даты времени, расположенные левее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1 –2 –3 ...), а даты времени, расположенные правее этого уровня – натуральными числами со знаком плюс (1 2  3 ...).

Если число уровней ряда четное, периоды времени левой половины ряда (до середины) нумеруются –1, -3, -5 и т.д. А периоды правой половины - +1, +3, +5 и.т.д. При этом ty  будет равна 0.

Система нормальных уравнений (соответствующих МНК) преобразуется к виду:

Отсюда параметры уравнения рассчитываются по формулам:

.

Интерпретация параметров линейного уравнения тренда :

- уровень ряда за период времени tу=0;

- средний абсолютный прирост уровня ряда за единичный промежуток времени.

В нашем примере четное число уровней ряда: n=12. Следовательно, условная переменная времени  для 6-ого элемента ряда будет равна –1, а для 7-ого +1. Значения переменной iy содержатся во 2-ом столбце таблицы 9.

Параметры линейного тренда будут: =14257,5/572=24,93; =8845/12=737,08. Это значит,  что с каждым кварталом объем выпуска товара в среднем увеличивается на 2∙28,7 усл.ед. А средний за период с 1993 по 1995гг  объем выпуска составил 738,75 усл.ед.

Рассчитаем значения трендовой компоненты по формуле  (столбец 7 таблицы 9).

5) Учет сезонной составляющей в выровненных уровнях ряда (=T+S). Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 8 таблицы 9.

6) Расчет абсолютной ошибки временного ряда (Е=x-) осуществляется для оценки качества полученной модели. Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 9 таблицы 9.

Таблица 9

T

tу

x

xc

x- xc

xs

T

E

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

-11

410

-

-

477,15

462,90

395,75

14,25

2

-9

560

561,67

-1,67

561,60

512,75

511,15

48,85

3

-7

715

591,67

123,33

551,60

562,60

726,00

-11,01

4

-5

500

578,33

-78,33

594,65

612,45

517,80

-17,80

5

-3

520

586,67

-66,67

587,15

662,31

595,15

-75,15

6

-1

740

745,00

-5,00

741,60

712,16

710,56

29,44

7

1

975

795,00

180,00

811,60

762,00

925,41

49,59

8

3

670

783,33

-113,33

764,65

811,86

717,21

-47,21

9

5

705

775,00

-70,00

772,15

861,71

794,56

-89,56

10

7

950

951,67

-1,67

951,60

911,56

909,97

40,03

11

9

1200

1016,67

183,33

1036,60

961,41

1124,82

75,18

12

11

900

-

-

994,65

1011,27

916,61

-16,61

Итого

8845

8845,00

8845,00

8845,00

16,61

Значимость параметров линейного уравнения тренда (Т) определяется на основе  t-критерия Стьюдента также как и в линейном парном регрессионном анализе.

Прогнозирование по аддитивной модели.

Пусть требуется дать прогноз уровня временного ряда на период (n+1). Точечный прогноз значения уровня временного ряда хn+1 в аддитивной модели есть сумма трендовой компоненты и сезонной компоненты (соответствующей i–ому сезону прогноза): =Tn+1+Si. 

Для построения доверительного интервала прогноза нужно рассчитать среднюю ошибку прогноза:

р =,

где h- число параметров в уравнении тренда;

typ – значение условной переменной времени для периода прогнозирования.

Затем рассчитаем предельную ошибку прогноза: р =ta·р,

где ta- коэффициент доверия, определяемый по таблицам Стьюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы равным (n-h).

Окончательно получим:  (-р; +р).

Задание № 4

На основе данных, приведенных в таблице 10 и соответствующих Вашему варианту (таблица 11), постройте модель временного ряда. Для этого требуется:

  1.  Построить коррелограмму и определить имеет ли ряд тенденцию и сезонные колебания.
  2.  Провести сглаживание ряда скользящей средней и рассчитать значения сезонной составляющей.
  3.  Построить уравнения тренда и сделать выводы.
  4.  На основе полученной модели сделать прогноз на следующие два квартала с учетом выявленной сезонности.

Таблица 10

Основные показатели развития производственной фирмы

за период с 2002 по 2007 гг.  (по сопоставимой оценке)

N наблюдения

Год

Квартал

Объем производства продукции, млн.руб.

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб.

Среднегодовая численность ППП, чел.,

Дебиторская задолженность, млн.руб.

Среднегодовая стоимость оборотных средств, млн.руб.

Балансовая прибыль, млн.

руб.

Чистая прибыль, млн.

руб.

А

Б

В

1

2

3

4

5

6

7

1

2002

1

1065

1062

713

25

837

94

36

2

2

851

682

507

27

685

78

27

3

3

531

726

361

34

837

87

22

4

4

922

1153

557

44

1161

75

29

5

2003

1

1095

1213

607

42

1151

84

34

6

2

986

898

598

39

822

63

28

7

3

822

794

368

48

1383

86

30

8

4

1137

1441

646

60

884

82

35

9

2004

1

1301

1600

693

63

1309

78

40

10

2

1038

967

718

40

1028

72

33

11

3

780

1246

363

48

1771

84

33

12

4

1435

1458

639

71

1310

102

40

13

2005

1

1593

1412

708

87

1372

112

36

14

2

1658

891

614

65

1272

92

27

15

3

1363

1061

348

67

1821

99

30

16

4

1737

1287

636

76

1571

113

36

17

2006

1

1719

1635

825

101

1758

95

36

18

2

1521

1166

622

84

1505

79

28

19

3

1049

1230

514

73

2109

112

28

20

4

1790

1514

703

93

1787

116

28

21

2007

1

2016

1642

797

96

2197

90

39

Таблица 11

Номера наблюдений и показатель,

соответствующие варианту контрольной работы

Номер варианта

Номер начального наблюдения

Номер конечного наблюдения

Номер показателя из табл.4

Номер варианта

Номер начального наблюдения

Номер конечного наблюдения

Номер показателя из табл.4

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

12

1

51

1

12

6

2

2

13

1

52

2

13

6

3

3

14

1

53

3

14

6

4

4

15

1

54

4

15

6

5

5

16

1

55

5

16

6

6

6

17

1

56

6

17

6

7

7

18

1

57

7

18

6

8

8

19

1

58

8

19

6

9

9

20

1

59

9

20

6

10

10

21

1

60

10

21

6

11

1

12

2

61

1

12

7

12

2

13

2

62

2

13

7

13

3

14

2

63

3

14

7

14

4

15

2

64

4

15

7

15

5

16

2

65

5

16

7

16

6

17

2

66

6

17

7

17

7

18

2

67

7

18

7

18

8

19

2

68

8

19

7

19

9

20

2

69

9

20

7

20

10

21

2

70

10

21

7

21

1

12

3

71

1

12

1

22

2

13

3

72

2

13

2

23

3

14

3

73

3

14

3

24

4

15

3

74

4

15

4

25

5

16

3

75

5

16

5

26

6

17

3

76

6

17

6

27

7

18

3

77

7

18

7

28

8

19

3

78

8

19

1

29

9

20

3

79

9

20

2

30

10

21

3

80

10

21

3

31

1

12

4

81

1

12

4

32

2

13

4

82

2

13

5

33

3

14

4

83

3

14

6

34

4

15

4

84

4

15

7

35

5

16

4

85

5

16

1

36

6

17

4

86

6

17

2

Окончание табл. 11

1

2

3

4

5

6

7

8

37

7

18

4

87

7

18

3

38

8

19

4

88

8

19

4

39

9

20

4

89

9

20

5

40

10

21

4

90

10

21

6

41

1

12

5

91

1

12

7

42

2

13

5

92

2

13

1

43

3

14

5

93

3

14

2

44

4

15

5

94

4

15

3

45

5

16

5

95

5

16

4

46

6

17

5

96

6

17

5

47

7

18

5

97

7

18

6

48

8

19

5

98

8

19

7

49

9

20

5

99

9

20

1

50

10

21

5

0

10

21

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ОСНОВНАЯ:

  1.  Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер.с англ. –М.: ИНФРА-М, 2000.
  2.  Практикум по эконометрике. / Под ред. члена-корреспондента Российской Академии наук И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика,  2001.
  3.  Эконометрика. / Под ред. члена-корреспондента Российской Академии наук И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика,  2001.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ:

  1.  Айвазян С.А., Мхитарян В.И. Прикладная статистика и эконометрика: Учебник для ВУЗов. М.: ЮНИТИ, 1998.
  2.  Добрынина Н.В., Нименья И.Н., Курова Л.И.. Сборник задач по эконометрике: СПб: Изд-во СПбГИЭУ, 2007.

Приложение  1

Показатели деятельности производственных предприятий

за 2006 год

№ наблюдений

Собственные оборотные средства, млн.руб.

Балансовая прибыль, млн.руб.

Дебиторская задолженность, млн.руб.

Дивиденды, начисленные по результатам деятельности, млн.руб.

Курсовая цена акции, руб.

А

1

2

3

4

5

1

1011

107

37

20,33

92

2

799

102

64

20,04

83

3

995

107

71

19,87

95

4

1243

122

26

20,48

124

5

1507

108

51

20,13

96

6

947

108

41

20,26

106

7

1015

97

78

19,89

70

8

1169

109

43

19,92

97

9

1051

101

68

19,78

76

10

1372

116

34

20,23

112

11

1463

113

49

20,46

113

12

684

112

40

20,07

109

13

1251

106

56

20,23

91

14

1376

111

45

20,26

95

15

1193

113

44

20,28

115

16

1386

122

40

20,52

114

17

1631

118

47

20,28

133

18

1735

119

47

19,97

116

19

1181

102

49

19,97

85

20

922

100

65

19,57

91

21

1281

103

54

19,94

82

22

1333

113

59

20,29

105

23

1632

124

36

20,83

124

24

635

95

70

19,59

70

25

949

102

64

19,76

84

26

788

112

48

20,19

106

27

1728

124

30

20,66

128

28

1773

116

58

19,95

105

29

1679

118

48

20,61

121

30

1085

100

69

20,03

79

31

1214

99

58

19,78

82

32

1422

107

49

20,22

80

Продолжение прил. 1

А

1

2

3

4

5

33

523

87

76

19,78

37

34

1025

109

59

20,09

101

35

1083

106

74

20,13

98

36

1466

113

54

20,56

98

37

1642

123

36

20,51

134

38

387

82

75

19,71

39

39

704

104

51

20,10

88

40

1177

112

35

20,32

108

41

1792

116

47

20,37

112

42

2072

106

33

20,03

80

43

1178

120

28

20,65

120

44

1304

105

58

20,19

88

45

1308

114

32

20,24

104

46

1416

107

58

20,27

94

47

1185

115

44

20,69

107

48

1220

96

68

19,85

82

49

1311

104

64

19,87

84

50

1288

108

25

20,20

101

51

918

102

54

20,33

98

52

809

102

70

20,20

89

53

1188

120

19

20,46

118

54

1394

106

28

20,17

90

55

1435

114

54

20,62

123

56

1514

112

48

19,79

107

57

1577

112

44

20,34

97

58

1579

122

39

20,51

126

59

1210

122

26

20,04

147

60

1448

108

58

20,39

88

61

1468

114

28

20,27

111

62

1661

113

47

20,06

121

63

989

108

58

20,39

104

64

1007

102

62

19,94

63

65

1030

112

62

19,95

99

66

1099

113

42

20,23

114

67

1197

110

67

20,49

99

68

1386

107

72

20,61

94

69

1498

117

45

20,56

124

70

1672

120

35

20,42

117

71

484

93

69

19,73

64

Окончание прил. 1

А

1

2

3

4

5

72

1060

89

62

19,42

52

73

1612

118

36

20,17

114

74

1120

103

42

19,87

78

75

947

98

52

20,26

85

76

1102

95

56

20,04

57

77

1302

106

66

20,34

98

78

1477

123

32

20,63

119

79

820

110

68

20,32

94

80

1231

104

47

20,06

94

81

1311

103

59

20,04

83

82

1843

122

29

20,62

118

83

1215

114

36

20,53

116

84

1284

112

57

20,18

96

85

1336

115

54

20,40

117

86

1412

109

60

20,26

93

87

1447

108

45

19,79

81

88

1593

114

54

20,33

103

89

1663

107

49

20,24

86

90

1114

98

81

19,83

79

91

863

104

61

19,97

92

92

932

107

49

20,10

85

93

978

105

68

20,01

89

94

1621

123

53

20,21

121

95

1199

119

39

20,40

125

96

999

95

49

19,66

69

97

935

93

76

19,37

61

98

1494

120

48

20,25

116

99

817

98

72

19,82

82

Приложение 2

Пример оформления титульного листа контрольной работы

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный

инженерно-экономический  университет»

(СПбГИЭУ, ИНЖЭКОН)

Кафедра исследования операций в экономике