52841

Элементы истории математики на уроках в общеобразовательной школе

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Решением неопределенных уравнений занимались в древности китайцы греки и индийцы. В Арифметике Диофанта приведено много задач решаемых им с помощью неопределенных уравнений разных степеней при этом он допускает в качестве решений любые положительные дробные или целые числа. Из 1 следует неопределенное уравнение первой степени x y=...

Русский

2014-02-19

299 KB

3 чел.

     Т.В.Ях

г.Амвросиевка

Донецька обл.

 

Элементы истории математики на уроках  в    общеобразовательной школе

   Цель работы- оказать конкретную помощь учителю в использовании исторических материалов по определенным темам  программного материала.

Эпиграф.

Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет…

                                                                                                     Лейбниц

 История всегда была неотъемлемой частью искусства, математики и науки. Ведь история расширяет перспективы специалиста, она позволяет исследовать внутренний мир и побудительные причины творчества замечательных людей прошлого. Она дает возможность учиться на уроках прошлого и таким образом совершенствовать свою деятельность.   

    Использование учителем математики исторических сведений не является обязательным при изложении материала урока. Однако, экскурсы в историческое прошлое оживляют урок, дают разрядку умственному напряжению, поднимают интерес к изучаемому материалу и способствуют прочному его усвоению. Тем более, что материал по истории математики весьма обширен и интересен, так как развитие математики тесным образом связано с решением насущных задач, возникавших во все периоды существования цивилизации.

    Опытный учитель никогда не начнет изложение новой темы, не говоря уже о новом разделе математики, без надлежащей вводной части, возбуждающей интерес и внимание учащихся. Я считаю, что такой вводной частью может быть 3-5 минутный увлекательный рассказ, связанный с историей математики.

   Необходимо заметить, что ученые-методисты давно пришли к выводу: элементы истории математики, которые являются эффективным средством возбуждения интереса у учащихся к предмету, является одним из средств патриотического воспитания учащихся.

    Математика и история – две неразрывные области знания. Сведения из истории математики, исторические задачи сближают эти два школьных предмета. История обогащает математику гуманитарным и эстетическим содержанием, развивает образное мышление учеников. Математика, развивающая логическое и системное мышление, в свою очередь занимает достойное место в истории, помогая лучше ее понять. Знакомство с историческим развитием математики способствует общим целям воспитания подрастающего поколения.

     Как добиться того, чтобы ученики с интересом занимались математикой, как научить их решать задачи, как убедить в том, что математика нужна не только в повседневной жизни, но и для изучения других предметов? Многие школьные учебники математики решают эти проблемы. Для развития интереса к предмету в них есть занимательные задачи, система упражнений, которая формирует необходимые умения и навыки, прикладные вопросы, показывающие связь математики с другими областями знаний. Конечно, в учебниках мы встречаем и исторические страницы. Читая их, узнаем о появлении и развитии математических понятий, возникновении и совершенствовании методов решения задач. Сведения из истории науки расширяют кругозор учеников, показывают диалектику предмета. Поэтому так важно, чтобы исторические мотивы искусно вплетались в ткань урока математики, заставляя детей удивляться, думать и восхищаться богатейшей историей этой многогранной науки.

  СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

1.Неопределенные уравнения

Известно, что уравнение с двумя неизвестными выражает зависимость между двумя величинами и является, вообще говоря, неопределенным, т.е. имеет бесчисленное множество решений.

Решением неопределенных уравнений занимались в древности китайцы, греки и индийцы. В «Арифметике» Диофанта приведено много задач, решаемых им с помощью неопределенных уравнений разных степеней, при этом он допускает в качестве решений любые положительные дробные или целые числа. Вот пример задачи, сводящейся к решению линейного неопределенного уравнения.

Задача 1. «Найти два (неотрицательных) числа, разность между которыми в 6 раз больше разности их квадратов».

       Задача сводится к решению уравнения

                                   
                                          
xy = 6 (x2 y2 ).                                         (1)

 Ввиду того что x и y различны, то и x - y0. Из (1) следует неопределенное уравнение первой степени

                                           x + y=                                            (2)

Часть решений (2) можно записать в следующей таблице:

                                                                                                 Таблица 3

   x

0

   y

0

Решением неопределенных уравнений в целых числах, называемых диофантовыми, много занимались ученые Индии. Они разработали общий метод для решения линейных диофантовых уравнений и для некоторых уравнений второй степени в связи с разными астрономическими задачами. Изучением неопределенных уравнений, теория которых известна в настоящее время под названием «Неопределенный анализ» или « Диофантов анализ», занимались знаменитые математики разных времен, в том числе Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Чебышев, Золотарев и многие другие. Задания ученикам. Построить график уравнения (2) задачи 1.

2. Система уравнений первой степени с двумя  неизвестными и ее решение в древности

Задачи, решение которых соответствует современным задачам на составление  и решение системы уравнений с несколькими неизвестными, встречаются как в вавилонских и египетских, текстах ІІ тысячелетия до н.э., так и в трудах древнегреческих, китайских и индийских ученых. В VІІ – VІІІ книгах китайского трактата «Математика в девяти книгах» рассматриваются системы уравнений и даются краткие правила их решения, при этом все изложение ведется словесно. Коэффициенты системы уравнений располагались на счетной доске в виде таблицы. При повторных действиях на доске было замечено, что с коэффициентами следует систематически поступать по одному и тому же правилу для нахождения решения системы уравнений. Вот пример из VІІ книги вышеназванного трактата, озаглавленной «Избыток – недостаток».

Задача 2. «Покупают сообща буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190, то недостаток равен (то есть не хватит) 330. Если же каждые 9 семей внесут по 270, то избыток равен (то есть останется) 30. Сколько было семей и сколько стоит буйвол?»

В трактате коротко излагается прием решения задачи, который в современной символике сводится к следующему:

   Если имеется система:

                                                                                               (1)

то надо составить из коэффициентов таблицу вида:

                          

                                                                                                             (2)

Из которой находятся неизвестные величины, взяв:

                            x=,     y=                                             (3)

   Обозначая через x количество семей, y- стоимость буйвола, составляем систему уравнений:

                                                                                          (1)

Сравнивая c (1), получим:

                             a1= , a2= 30? b1= -330, b2= 30;

  

 таблица (2) представится в виде:

                                      

А решение системы согласно (3) будет:

x=   y=.

3 .Две задачи Ал - Хорезми  

Решить следующие задачи ал – Хорезми:

Задача 3. «Разность двух чисел равна двум, отношение их- числу, обратному двум. Найти числа».

Задача 4. Найти два числа, зная, что сумма их равна 10, а отношение 4»

  

 4 .Из «Греческой антологии» 

В XXІV вв. пользовался большим успехом анонимный сборник, содержащий 48 задач, написанных в стихах, большей частью гекзаметром

( стихотворный размер в античной поэзии ( «Илиада» и « Одиссея» Гомера, «Энеида» Виргилия и др.), который получил название «Греческая антология» (от греческих слов «антос» -  цветок и «лего» - собираю - так назывались сборники избранных произведений древнегреческой поэзии).

Это одно из первых сочинений по занимательной математике.

Вот одна из задач этого сборника:

Задача 5. «- Хроноса ( по гречески «время») вестник, скажи: какая часть дня миновала?

_ Дважды две трети осталось того, что прошло от начала».

Решить задачу способом составления системы двух  уравнений с двумя неизвестными, учитывая, что под «днем» древнее подразумевали 12 часов.

    5.Учение об уравнениях и расширение понятия о числе

Алгебра возникла из решения практических задач с помощью уравнений. Учение об уравнениях является поныне главным содержанием школьного курса алгебры. Но для решения уравнений нужно уметь производить действия над одночленами, многочленами и алгебраическими дробями, уметь производить разложение на множители, раскрывать скобки, приводить дробь к общему знаменателю и т. п. Таким образом, учение об уравнениях невозможно без учения о законах действий. Действия, производимые для решения уравнений, выполняются по существу над числами, так как буквы применяются в элементарной алгебре для обозначения чисел.

При решении уравнений нельзя, вообще говоря, ограничиться множеством одних только целых положительных чисел. Если рассматривать, например, общее уравнение первой степени c одним неизвестным:

                                     ax + b = c ,                                                            (1)

где a, b, c – натуральные числа, то его корень

                                    x =                                                                     (2)

уже не всегда будет натуральным числом, он может быть и дробным, если a не является делителем (c - b), может быть отрицательным, если c < b.

Итак, для того чтобы можно было решать любое уравнение, даже только первой степени, необходимо иметь, помимо натуральных чисел, еще и дробные и отрицательные числа, т. е. необходимо иметь все рациональные числа.

Таким образом, практика решения уравнений первой степени и потребность сохранения указанного алгоритма породили необходимость расширения понятия числа от множества положительных целых чисел до множества рациональных чисел. Зная это множество, можно решать любое уравнение (и систему уравнений) первой степени. При этом коэффициенты

                                          a, b, c

могут быть любыми рациональными числами.

Решение уравнений второй степени требует дальнейшего расширения множества чисел, введения новых чисел. Об этом будет речь идти в более старших классах.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70217. ГЕНЕЗИС И ЭВОЛЮЦИЯ ФИНАНСОВ 71.5 KB
  Финансы как экономическая категория Общественно-экономические системы различаются экономическими отношениями которые в свою очередь являются производными от уровня и характера развития производительных сил. При этом финансы не могут не учитывать отношения распределения...
70218. УГОЛОВНО-ИСПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПРАВО 217 KB
  Уголовно-исполнительная политика направление деятельности государства в его специально уполномоченных органах в сфере исполнения уголовного наказания. Уголовно-исполнительная политика определяет: цели; принципы; стратегию; основные направления формы методы деятельности...
70219. Фотокомпозиция 77.5 KB
  Композиция – построение, группировка и последовательность изобразительных приёмов, организующих идейно-художественное целое; соотношение и взаимное расположение частей. Точка съёмки – это положение фотоаппарата по отношению к снимаемому объекту. Ниже приведена классификация точки съемки.
70220. Введение в фотографию 103.5 KB
  Развитие на нынешнем этапе цифровой фотографии происходит в основном благодаря электронным и информационным технологиям. Принцип действия фотографии основан на получении изображений и фиксировании их с помощью химических и физических процессов получаемых с помощью света...
70221. Основы теории цвета 86.5 KB
  Индивидуальное восприятие цвета определяется его спектральным составом а также цветовым и яркостным контрастом c окружающими источниками света а также несветящимися объектами. Накопленные экспериментальные данные в XX веке по волновым и корпускулярным свойствам видимого...
70222. Принципы работы фотоаппаратов 95.5 KB
  Численное значение диафрагмы определяет следующие элементы фотографического процесса: экспозиция с уменьшением отверстия на одну ступень поток света уменьшается вдвое что требует увеличения вдвое времени выдержки для сохранения правильной экспозиции; глубина резкости чем меньше отверстие...
70223. Основні терміни метрології та їх визначення 311 KB
  Фізичні величини та одиниці вимірювань Об’єкти довкілля це фізичні тіла та їх системи. Вибір основних величин і розмірів їх одиниць під час побудови системи одиниць теоретично довільний але він продиктований певними вимогами практики а саме: кількість основних величин має бути невеликою...
70224. Методологические и правовые основы безопасности жизнедеятельности 332.5 KB
  Студент должен знать: ПК50 основы безопасности общества и личности; порядок взаимодействия медицинских формирований и учреждений при ликвидации последствий в очагах поражения ПК12 особенности организации оказания медицинской помощи проведения реанимационных мероприятий в чрезвычайных...
70225. ЗАЩИТА ЧЕЛОВЕКА ОТ ВРЕДНЫХ И ОПАСНЫХ ФАКТОРОВ ПРИРОДНОГО И ТЕХНОГЕННОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ 887.5 KB
  Цель занятия: овладеть следующими компетенциями в пределах дисциплины БЖД и Медицина катастроф ПК12 способность и готовность использовать методы оценки природных и медико-социальных факторов среды в развитии болезней у взрослого населения и подростков проводить их коррекцию осуществлять...