52841

Элементы истории математики на уроках в общеобразовательной школе

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Решением неопределенных уравнений занимались в древности китайцы греки и индийцы. В Арифметике Диофанта приведено много задач решаемых им с помощью неопределенных уравнений разных степеней при этом он допускает в качестве решений любые положительные дробные или целые числа. Из 1 следует неопределенное уравнение первой степени x y=...

Русский

2014-02-19

299 KB

3 чел.

     Т.В.Ях

г.Амвросиевка

Донецька обл.

 

Элементы истории математики на уроках  в    общеобразовательной школе

   Цель работы- оказать конкретную помощь учителю в использовании исторических материалов по определенным темам  программного материала.

Эпиграф.

Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет…

                                                                                                     Лейбниц

 История всегда была неотъемлемой частью искусства, математики и науки. Ведь история расширяет перспективы специалиста, она позволяет исследовать внутренний мир и побудительные причины творчества замечательных людей прошлого. Она дает возможность учиться на уроках прошлого и таким образом совершенствовать свою деятельность.   

    Использование учителем математики исторических сведений не является обязательным при изложении материала урока. Однако, экскурсы в историческое прошлое оживляют урок, дают разрядку умственному напряжению, поднимают интерес к изучаемому материалу и способствуют прочному его усвоению. Тем более, что материал по истории математики весьма обширен и интересен, так как развитие математики тесным образом связано с решением насущных задач, возникавших во все периоды существования цивилизации.

    Опытный учитель никогда не начнет изложение новой темы, не говоря уже о новом разделе математики, без надлежащей вводной части, возбуждающей интерес и внимание учащихся. Я считаю, что такой вводной частью может быть 3-5 минутный увлекательный рассказ, связанный с историей математики.

   Необходимо заметить, что ученые-методисты давно пришли к выводу: элементы истории математики, которые являются эффективным средством возбуждения интереса у учащихся к предмету, является одним из средств патриотического воспитания учащихся.

    Математика и история – две неразрывные области знания. Сведения из истории математики, исторические задачи сближают эти два школьных предмета. История обогащает математику гуманитарным и эстетическим содержанием, развивает образное мышление учеников. Математика, развивающая логическое и системное мышление, в свою очередь занимает достойное место в истории, помогая лучше ее понять. Знакомство с историческим развитием математики способствует общим целям воспитания подрастающего поколения.

     Как добиться того, чтобы ученики с интересом занимались математикой, как научить их решать задачи, как убедить в том, что математика нужна не только в повседневной жизни, но и для изучения других предметов? Многие школьные учебники математики решают эти проблемы. Для развития интереса к предмету в них есть занимательные задачи, система упражнений, которая формирует необходимые умения и навыки, прикладные вопросы, показывающие связь математики с другими областями знаний. Конечно, в учебниках мы встречаем и исторические страницы. Читая их, узнаем о появлении и развитии математических понятий, возникновении и совершенствовании методов решения задач. Сведения из истории науки расширяют кругозор учеников, показывают диалектику предмета. Поэтому так важно, чтобы исторические мотивы искусно вплетались в ткань урока математики, заставляя детей удивляться, думать и восхищаться богатейшей историей этой многогранной науки.

  СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

1.Неопределенные уравнения

Известно, что уравнение с двумя неизвестными выражает зависимость между двумя величинами и является, вообще говоря, неопределенным, т.е. имеет бесчисленное множество решений.

Решением неопределенных уравнений занимались в древности китайцы, греки и индийцы. В «Арифметике» Диофанта приведено много задач, решаемых им с помощью неопределенных уравнений разных степеней, при этом он допускает в качестве решений любые положительные дробные или целые числа. Вот пример задачи, сводящейся к решению линейного неопределенного уравнения.

Задача 1. «Найти два (неотрицательных) числа, разность между которыми в 6 раз больше разности их квадратов».

       Задача сводится к решению уравнения

                                   
                                          
xy = 6 (x2 y2 ).                                         (1)

 Ввиду того что x и y различны, то и x - y0. Из (1) следует неопределенное уравнение первой степени

                                           x + y=                                            (2)

Часть решений (2) можно записать в следующей таблице:

                                                                                                 Таблица 3

   x

0

   y

0

Решением неопределенных уравнений в целых числах, называемых диофантовыми, много занимались ученые Индии. Они разработали общий метод для решения линейных диофантовых уравнений и для некоторых уравнений второй степени в связи с разными астрономическими задачами. Изучением неопределенных уравнений, теория которых известна в настоящее время под названием «Неопределенный анализ» или « Диофантов анализ», занимались знаменитые математики разных времен, в том числе Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Чебышев, Золотарев и многие другие. Задания ученикам. Построить график уравнения (2) задачи 1.

2. Система уравнений первой степени с двумя  неизвестными и ее решение в древности

Задачи, решение которых соответствует современным задачам на составление  и решение системы уравнений с несколькими неизвестными, встречаются как в вавилонских и египетских, текстах ІІ тысячелетия до н.э., так и в трудах древнегреческих, китайских и индийских ученых. В VІІ – VІІІ книгах китайского трактата «Математика в девяти книгах» рассматриваются системы уравнений и даются краткие правила их решения, при этом все изложение ведется словесно. Коэффициенты системы уравнений располагались на счетной доске в виде таблицы. При повторных действиях на доске было замечено, что с коэффициентами следует систематически поступать по одному и тому же правилу для нахождения решения системы уравнений. Вот пример из VІІ книги вышеназванного трактата, озаглавленной «Избыток – недостаток».

Задача 2. «Покупают сообща буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190, то недостаток равен (то есть не хватит) 330. Если же каждые 9 семей внесут по 270, то избыток равен (то есть останется) 30. Сколько было семей и сколько стоит буйвол?»

В трактате коротко излагается прием решения задачи, который в современной символике сводится к следующему:

   Если имеется система:

                                                                                               (1)

то надо составить из коэффициентов таблицу вида:

                          

                                                                                                             (2)

Из которой находятся неизвестные величины, взяв:

                            x=,     y=                                             (3)

   Обозначая через x количество семей, y- стоимость буйвола, составляем систему уравнений:

                                                                                          (1)

Сравнивая c (1), получим:

                             a1= , a2= 30? b1= -330, b2= 30;

  

 таблица (2) представится в виде:

                                      

А решение системы согласно (3) будет:

x=   y=.

3 .Две задачи Ал - Хорезми  

Решить следующие задачи ал – Хорезми:

Задача 3. «Разность двух чисел равна двум, отношение их- числу, обратному двум. Найти числа».

Задача 4. Найти два числа, зная, что сумма их равна 10, а отношение 4»

  

 4 .Из «Греческой антологии» 

В XXІV вв. пользовался большим успехом анонимный сборник, содержащий 48 задач, написанных в стихах, большей частью гекзаметром

( стихотворный размер в античной поэзии ( «Илиада» и « Одиссея» Гомера, «Энеида» Виргилия и др.), который получил название «Греческая антология» (от греческих слов «антос» -  цветок и «лего» - собираю - так назывались сборники избранных произведений древнегреческой поэзии).

Это одно из первых сочинений по занимательной математике.

Вот одна из задач этого сборника:

Задача 5. «- Хроноса ( по гречески «время») вестник, скажи: какая часть дня миновала?

_ Дважды две трети осталось того, что прошло от начала».

Решить задачу способом составления системы двух  уравнений с двумя неизвестными, учитывая, что под «днем» древнее подразумевали 12 часов.

    5.Учение об уравнениях и расширение понятия о числе

Алгебра возникла из решения практических задач с помощью уравнений. Учение об уравнениях является поныне главным содержанием школьного курса алгебры. Но для решения уравнений нужно уметь производить действия над одночленами, многочленами и алгебраическими дробями, уметь производить разложение на множители, раскрывать скобки, приводить дробь к общему знаменателю и т. п. Таким образом, учение об уравнениях невозможно без учения о законах действий. Действия, производимые для решения уравнений, выполняются по существу над числами, так как буквы применяются в элементарной алгебре для обозначения чисел.

При решении уравнений нельзя, вообще говоря, ограничиться множеством одних только целых положительных чисел. Если рассматривать, например, общее уравнение первой степени c одним неизвестным:

                                     ax + b = c ,                                                            (1)

где a, b, c – натуральные числа, то его корень

                                    x =                                                                     (2)

уже не всегда будет натуральным числом, он может быть и дробным, если a не является делителем (c - b), может быть отрицательным, если c < b.

Итак, для того чтобы можно было решать любое уравнение, даже только первой степени, необходимо иметь, помимо натуральных чисел, еще и дробные и отрицательные числа, т. е. необходимо иметь все рациональные числа.

Таким образом, практика решения уравнений первой степени и потребность сохранения указанного алгоритма породили необходимость расширения понятия числа от множества положительных целых чисел до множества рациональных чисел. Зная это множество, можно решать любое уравнение (и систему уравнений) первой степени. При этом коэффициенты

                                          a, b, c

могут быть любыми рациональными числами.

Решение уравнений второй степени требует дальнейшего расширения множества чисел, введения новых чисел. Об этом будет речь идти в более старших классах.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19890. Підсудність. Попередній розгляд справи суддею 25.78 KB
  ТЕМА 16: Підсудність. Попередній розгляд справи суддею План 1. Поняття і значення підсудності. 2. Види підсудності. 3. Процесуальний порядок попереднього розгляду справи суддею. 1. Поняття і значення підсудності Правосуддя в Україні здійснюється виключно судами.
19891. Судовий розгляд кримінальної справи 49.77 KB
  ТЕМА 17: Судовий розгляд кримінальної справи 1. Загальні положення судового розгляду. 2. Підготовча частина судового засідання. 3. Судове слідство 4. Судові дебати та останнє слово підсудного. 5. Постановлення вироку. 1. Загальні положення судового розгляду Судови...
19892. Провадження справ у апеляційній інстанції 48.86 KB
  ТЕМА 18: Провадження справ у апеляційній інстанції План 1. Суть завдання та основні риси апеляційного провадження. 2. Суб'єкти процесуальний порядок і строки розгляду в суді кримінальних справ у апеляційному провадженні. 3. Скасування зміна вироку ухвали постанови ...
19893. Застосування примусових заходів медичного характеру 28.32 KB
  ТЕМА 19: Застосування примусових заходів медичного характеру План 1. Поняття примусових заходів медичного характеру та їх види 2. Процесуальний порядок провадження досудового слідства в справах про діяння неосудних або обмежено осудних осіб 3. Особливості судового
19894. Протокольна форма досудової підготовки матеріалів 27.85 KB
  ТЕМА 20: Протокольна форма досудової підготовки матеріалів План 1. Сутність протокольної форми досудової підготовки матеріалів. 2. Порядок оформлення протокольної форми досудової підготовки матеріалів органами внутрішніх справ. 3. Процесуальний порядок провадження...
19895. Провадження у справах про злочини неповнолітніх 41.7 KB
  ТЕМА 21: Провадження у справах про злочини неповнолітніх План 1. Особливості провадження у кримінальних справах про злочини неповнолітніх. 2. Предмет доказування у справах про злочини неповнолітніх. 3. Особливості провадження досудового і судового слідства у справах ...
19896. Поняття і система інвестиційного права 78 KB
  Лекція № 1. Тема : Поняття і система інвестиційного права. Мета: Ознайомлення студентів з поняттям функціями та системою інвестиційного права місцем інвестиційного права в системі права України. План 1. Місце інвестиційного права в системі права України. 2. По...
19897. Поняття інвестиційної діяльності 104.5 KB
  Лекція № 2. Тема 2: Поняття інвестиційної діяльності Мета: ознайомлення студентів з основами інвестиційної діяльності структурою інвестиційної діяльності поняттям інвестиційного клімату держави План 1. Поняття та класифікація інвестицій. Поняття інвестицій
19898. Правове регулювання фінансових інвестицій 97 KB
  Лекція № 3. Тема : Правове регулювання фінансових інвестицій. Мета: ознайомлення студентів з поняттям фінансові інвестиції основними цінними паперами основами управління інвестиційним портфелем План 1. Загальна характеристика фондового ринку в Україні. 2. Пра