52942

Задачі Ейлера

Книга

Педагогика и дидактика

Захоплення математикою здебільшого починається з міркування над якоюсь цікавою задачею. Вона може зустрітися на уроці, на заняті математичного гуртка, в математичній літературі. Завдання сучасної школи виховати творчу особистість. Знання, навички уміння здобувають в результаті власної активної діяльності.

Украинкский

2014-02-20

2.09 MB

13 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

ЗОШ І-ІІІ ст. №2 м. Красилів,

Хмельницької області

Задачі Ейлера

Партасюк Надія Андріївна

вчитель вищої категорії

ЗОШ І-ІІІ ступенів

№2 м. Красилова,

старший вчитель

м. Красилів 2010р.

                                   Зміст

Вступ……………………………………………………………………..             3

Розділ І. Задачі Ейлера в  шкільному курсі математики……………..             4

  1.  Пряма  Ейлера…………………………………………………….             4

  1.  Коло Ейлера……………………………………………………….            5    

  1.  Доведення  тотожностей Ейлера....................................................           8

  1.  Показникова форма комплексного числа  

         Формули Ейлера……………………...............................................          11

  1.       Розв’язування рівнянь вищих степенів :

а) зворотні рівняння.........................................................................          14

б) метод спостереження .................................................................          17

Розділ ІІ. Цікаві задачі Ейлера..................................................................         19

  1.  Задача  Ейлера  про сім мостів ........................................................         19

  1.  Задача про хід шахматного коня.....................................................          20

Розділ ІІІ. Біографічна довідка................................................................          21

Висновки.....................................................................................................          22

Список використаних джерел....................................................................         23

                     

Вступ

Захоплення математикою здебільшого починається з міркування над якоюсь цікавою задачею. Вона може зустрітися на уроці, на заняті математичного гуртка, в математичній літературі. Завдання сучасної школи виховати творчу особистість. Знання, навички уміння здобувають в результаті власної активної діяльності. Роль учителя полягає у створенні відповідних умов які спонукали б учня до розв’язування задач, до пошуку та “відкриття” нових знань.

Я пропоную задачі Ейлера, які розв’язуються в шкільному курсі математики (поглиблений курс), а також можуть бути використані в позаурочний час.

    

  Розділ І. Задачі Ейлера в  шкільному курсі  

               

   1.1                          Пряма Ейлера

Теорема.

У трикутнику точка перетину медіан ортоцентр і  центр описаного кола

лежать на  одній прямій-ця  пряма  називається  прямою Ейлера

Доведення:

Проведемо через вершини трикутника  АВС прямі, паралельні сторонам

трикутника, до їх взаємного перетину в  точках А1, В1, С1.Тоді

АВС1С,АВСВ1, САС1В-паралелограми,отже, ВС1=ВА1=АС, В1С=А1С=ВА.

Відрізки АА1,ВВ1,СС1 є діагоналями цих паралелограмів і отже , поділяють

відповідно сторони ВС, АС, АВ навпіл. Тоді  ці відрізки перетинаються в  

точці М перетину медіан трикутника АВС і ===-. Отже, при

гомотетії з центром у  точці М і  коефіцієнтом к=- трикутник Авс

переходить у  трикутник А1В1С1. З теореми про прямі , які містять висоти

трикутника, перетинаються в одній точці випливає, що точку Н перетину

висот дана гомотетія переводить у  центр О кола . описаного навколо

трикутника Авс. Отже, точки М, О, Н лежать на  одній  прямій, причому

точка М лежить між точками О та  Н і МН=2МО

Наслідок. У трикутникуАВС  МН=2МО,ОН=3МО.

     1.2                          Коло Ейлера

Теорема :

У медіан, основи висот і  точки , які поділяють навпіл відрізки. Що сполучають

вершини трикутника з ортоцентром. Лежать  на  одному  колі-коло Ейлера

Доведення:

Нехай у  трикутнику АBC точки А1, В1, С1 – середини відповідно сторін ВС, АC, АB;

точки На, Нb, Hc- основи висот; точки Ea, Eb, Ec ділять навпіл

відповідно відрізки АН, ВН, СН. Оскільки А1В1- середня лінія трикутника Авс, то А1В1=. Відрізок НаС1 є медіаною прямокутного трикутника АнаВ. Отже,НаС1= і А1В1=НаС1. Тоді трикутника  трапеція В1С1НаА1

має рівні бічні сторони А1В1 і НаС1,тобто є рівнобічною. Отже , точка на

лежить на  колі, описаному  навколо трикутника А1В1С1.Аналогічно на  

цьому колі лежать  точки Нb і Нс.

     

 Зазначимо, що С1Еb|| АНс, оскільки С1Еb- середня лінія трикутника

АВН.а В1С1 ||ВС. Тоді С1ЕbВ1С1. Аналогічно А1ЕbА1В1. Отже у  

чотирикутнику С1ЕbА1В1 два протилежні кути ЕbС1В1 і ЕbА1В1 прямі. Це

означає, що навколо нього описано те  коло, яке ми розглядаємо, тому  точка

Еb лежить на  ньому. Аналогічно доводиться, що на цьому колі лежать також

точки Еа,Ес.

 

            1.3      Доведення  тотожностей  Ейлера

Задача 1 . Довести тотожність:

                    

Доведення:

Піднесемо обидві  частини рівності до кубу. Ліву  частину піднесемо до кубу

за  формулою:

       

       

Тоді

 

                   

Задача 2. Довести тотожність

         

Доведення:

Перетворимо ліву  частину

                          Тотожність доведено

Задача 3. Довести тотожність

     

 

Доведення:

Спростимо праву  і  ліву частину рівності.

         Тотожність доведена

1.4 Показникові форми комплексного числа

Ми розглядали тригонометричну форму запису комплексного числа: .

Формула Ейлера дозволяє записати комплексне число в компактній

формі: , де - аргумент числа, а - його модуль. Це так звана

показникові форми запису комплексного числа. Для отримання показникові

форми запису комплексного числа не потрібно попередньо записувати його в

тригонометричній формі.

Якщо маємо показникові форму запису комплексного числа, то можна вказати його модуль і аргумент.

Розглянемо, якими будуть модуль і аргумент при множенні і діленні двох комплексних чисел, відмінних  від нуля.

Нехай  Запишемо кожний із множників в показникові формі:

, Тоді .

Отже, при множенні двох комплексних чисел їх модулі множаться, а

аргументи додаються. Методом індукції можна показати, що це правило є

справедливе для будь-якої кількості множників.

В випадку однакових множників отримуємо наступне правило: при

піднесенні комплексного числа до степеня з натуральним показником

його модуль підноситься до того ж степеня, а аргумент множиться на

показник степеня.

Нехай тепер .

Записавши множники в показникові формі отримаємо: .

Отже, при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.

Формули  Ейлера

Справді , його  знамениті формули

                               

не  тільки пов’язали показникові фонації з тригонометричними функціями і  

комплексними числами, а  й  стали вихідним пунктом для  дослідження

природи числа .

З його формул легко дістати

    

З першої формули поклавши, що , Ейлер дістав  несподівану й  

дивовижну, одну з найкоротших формул всієї математики:

 

                                               

Праці Ейлера на  століття визначили розвиток теорії чисел. Він знайшов

доведення всіх теорем Ферма, довів неправильність однієї з них, довів для

і  знамениту велику теорему Ферма, ввів важливу так звану

функцію Ейлера , значення  якої дорівнюють числу цілих

чисел, менших від  і  взаємно простих з  .

  1.  Розв’язування рівнянь вищих степенів

а) Зворотні рівняння

Окремим випадком симетричних рівнянь є зворотні  рівняння. Термін «зворотне  рівняння»  ввів Ейлер  у 1733 р.

Зворотним називають рівняння виду:

+  + +…+ +  +

                            +….+ =0

+++....+++

                         + +…+=0

де - деяке фіксоване число і а0. Якщо =1,  з рівнянь (1) та(2) дістаємо симетричне рівняння відповідно парного та  непарного степенів

Приклад 1. Розв'язати рівняння

х4- 7х3 + 6х2 + 21х+9 = 0

Розв’язання.

Так як , то дане рівняння зворотне.

Приклад 2. Розв’язування рівнянь в полі дійсних чисел

Маємо зворотне рівняння 8-го степеня. Поділимо обидві частини на

Відповідь: 1; 2.

б) Метод спостереження

Відомо, що Ейлер виділяв спостереження як  один з методів дослідження

властивостей чисел. Про цей  метод не  слід забувати, приступаючи до

розв’язування нестандартного рівняння.

Приклад 1.

Проаналізуємо рівняння (х+3)+(х+5)=16

Розв’язання.

Спостереження числових компонентів дають можливість

зробити такі  висновки : 1) 16=2; 2) (х+3)=2, якщо х=-5,при цьому

(х+5) =0 ; 3)  (х+5)=2. Якщо х=-3; при цьому (х+3)=0

Отже, числа -3 та  -5 є коренями цього рівняння . Ця інформація суттєво

спрощує його остаточне розв’язування.

Приклад 2.

Розв’яжемо рівняння  |x|+2x+2|x|+2x+2|x|=0

Розв’язання.

Очевидно , що єдиним  коренем  є  х=0. Якщо х0,ліва частина

рівняння додатна.

     

 Розглядаючи зворотні  рівняння , ми використовували метод заміни змінної

або метод підстановки, добір нової змінної - завжди результат спостережень.

Розглянемо ще  приклади на застосування цього методу.

Приклад 3.

Розв’яжемо рівняння .    х -(+1) х+7=0 за допомогою введення параметра.

Розв’язання.

Перепишемо дане  рівняння =а. Дістанемо квадратне  рівняння

відносно а: а-ах+( x- х)=0.  

Розв’язавши його , дістанемо : а= х-х; а=х. Отже,

а-ах+( x- х)=(а- х+х)(а-х)=0.

Підставляємо значення параметра: (-х+х) (-х)=0.

Розв’язуємо утворене рівняння:

х-х-=0; х==; -х=0;  х=

 Відповідь. 

 Ейлер прийшов  до  висновку, що розв’язування нестандартних алгебраїчних рівнянь вищих степенів вимагає уважного аналізу особливостей даного рівняння та  рівнянь. Які  утворюються в  результаті тотожних перетворень, встановлення асоціативних зв’язків із способами розв’язування розглянутих раніше  рівнянь. Звичайно при цьому доводиться вибирати кілька основних методів у  їх з доцільному поєднанні.

Розділ ІІ. Цікаві задачі Ейлера

2.1 Задачі Ейлера  про сім мостів

На  річці  Прегаль, де  стоїть місто Калінінград(колишній

Кенігсберг), острів, правий  берег, лівий  і  територія з’єднані сімома мостами.

Чи можна  пройти по всіх мостах не  ступивши на  жоден з них двічі

Розв’язання

Під час розв’язування  Ейлер прийшов  до декількох висновків:

  •  Кількість непарних вершин (вершин, до який веде непарна кількість ребер) графа завжди парна. Неможливо намалювати граф, який мав би непарну кількість непарних вершин.

  •    Якщо усі вершини графа парні, можна не відриваючи олівця від малюнку, намалювати граф, і при

  цьому можна починати з будь-якої вершини графа, і закінчити в тій же вершині.

  •    Граф, в якого більше ніж 2 непарних вершини, неможливо намалювати не відриваючи руки.

  Граф кенінгберських мостів мав 4 непарних вершини, тому неможливо пройти по усім мостам, не проходячи по жодному двічі.

      2.2     Задача про хід шахового коня

Задача про хід шахового коня-задача  на  знаходження маршруту шахового коня, який проходить через всі  поля дошки по одному  разу

Розв’язання

Метод полягає в  тому, що спочатку кінь пересувається по будь-якому

маршруту, поки не вичерпає всі  можливі  ходи. Потім не  пройдені

клітинки, що залишаються, включаються  у вже пройдений  маршрут.

      Розділ ІІІ. Біографічна довідка

Визначний математик, фізик, механік і

астроном. Народився в  Швейцарії ,у  

сім’ї пастора в (м. Рієн). діставши

початкову домашню освіту, Ейлер вступив  

до гімназії. Завдяки чудовій пам’яті легко

вивчав навчальні дисципліни; відвідував

лекції відомого професора математика

Іоганна Бернуллі в  університеті. У 1723 р.

16-річний Ейлер склав екзамени на

магістра наук з правом викладання

гуманітарних наук і  філософії. У 1726 р.

слідом  за  своїм учителем(Бернуллі)

Ейлер виїздить до Петербурга, де  його

призначено ад’юнктом математики. У 1730 р. Очолює кафедру фізики, а в

1733 р., після від’їзду Бернуллі з Петербурга, його обирають академіком.

Ейлер був надзвичайно працьовитим, безперервно створює свої кращі праці.

У 1736 р. Від перевтоми втрачає око, але це  не  зупинило його. У 1740 р. Для

петербурзької Ан настав важкий час саме  її існування  брали під сумнів.

Тоді король Фрідріх ІІ запросив Ейлера до Берлінської АН. Ейлер прийняв

запрошення  і  виїхав у 1741 р., не  пориваючи з Петербурзькою АН, а  в  

1766 р. Знову повернувся до Росії. У 1767 р. Ейлер втратив зір. Ейлеру

належить понад 865 праць з найважливіших питань математичної науки.

Перші праці його були з  навігації. У 1736 р. Він видав двотомний трактат з

механіки, в якому використав диференціальне та  інтегральне числення.  У

двох трактатах з математичного аналізу він розглянув властивості  

раціональних і  трансцендентних чисел, дослідив криві 2/го,3-го, і 4-го

порядків та  поверхні 2-го порядку, присвятив диференціальному й  

інтегральному численням. Ейлер уперше ввів поняття про функцію

комплексної змінної, створив сучасну диференціальну геометрію. Про

чисельність досліджень  Ейлера можна судити за назвами пов’язаними з

його іменем: теореми Ейлера, тотожність Ейлера, сталі Ейлера, кути Ейлера,

функції Ейлера, інтеграли Ейлера, формули Ейлера.

            

Висновки

Робота  присвячена  задачам Ейлера, які є в  шкільному курсі

математики (поглиблений  курс). В роботі з геометрії  доведені  теореми про

коло Ейлера  та  пряму  Ейлера, цікаві точки в  трикутнику  і  співвідношення

між ними, яке встановив  Ейлер. З алгебри розглядається розв’язування

зворотних рівнянь та  нестандартних рівнянь методом спостережень. Відомо,

що Ейлер виділяв спостереження як один з методів дослідження

властивостей чисел.

   

     Запис  чисел у  показниковій  формі за  формулами Ейлера дає можливість

зручно виконувати дії множення, ділення, піднесення  до  степеня   та  

добування  кореня . Традиційні  тотожності, які доведені  в  роботі

вивчаються в  шкільному курсі 7-8 класів з  алгебри. Проте в  роботі

приведені приклади сталих Ейлера, функції Ейлера  і  т.д., цікаві задачі

практичного змісту. Що свідчить про чисельність досліджень Ейлера.  

            

Список  використаної літератури

  1.  А.И.Бородин. Математика. Пособие для подготовительных отделений. Київ. „Вища школа". 1980.
  2.  В.И.Сканави. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. Москва. «Высшая школа». 1988.
  3.  Н.С.Залогин. Конкурсные задачи по математике. Государственное издательство технической литературы. УССР. Киев. 1964.
  4.  К.У.Шахно. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности. Издательство «Высшая школа», Минск 1965.
  5.  В.М.Алексеев. Элементарная математика. Решение задач. Киев. «Высшая школа», 1989.
  6.  Ш.П.Горделадзе, М.М.Кахурчук, Ф.П.Яремчук. Збірник конкурсних задач з математики. К.: “Вища школа”, 1988.
  7.  А.И.Прилипко. сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. Москва. «Высшая школа». 1984.
  8.  В.І.Михайловський, В.Є.Тарасюк, Є.О.Ченакал, Н.М.Шунда. Практикум з розв'язування задач з математики.
  9.  Г.Ю.Бевз, О.М.Боголюбов, О.Ф.Фільчаков, Е.І.Швецов, Ф.П.Янчук. Довідник з елементарної математики. „Наукова думка". Київ. 1975.
  10.       М.І.Шкіль, Т.В.Колесник, Т.М.Хмара «АЛГЕБРА і початки аналізу»

Підручник для 10 класу з поглибленим вивченням математики в  середніх закладах освіти –Київ «Освіта» 2004

  1.  О.В.Нікулін, О.Г.Кукуш  « Геометрія поглиблений курс»

Посібник для 7-9 класів – Київ «Перун» 1998

  1.  В.П.Грималюк, М.М. Кухарчук, В.В.Ясінський

              «Вища математика» Частина 1

           Навчальний посібник для  студентів вищих технічних навчальних закладів  

              України  -  Київ «Віпол» 2   

                                                                                      

  1.  Л.В.Яковлєва «Розв’язування рівнянь вищих степенів»

            Методичний посібник для  підвищеного вивчення  математикки – Умань 2009

  1.  Математика. Дитяча енциклопедія. Харків. „ФОЛІО", 2003 р.
  2.  С.Т.Завало. Рівняння і нерівності. „Радянська школа", 1973.
  3.  Г.В.Дорофеєв, М.К.Потапов, А.Х.Розов. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. «Наука», 1972.
  4.  Л.И.Шарова. Уравнения и неравенства. «Вища школа», 1981.
  5.  Я.П.Каплан. Рівняння. „Радянська школа”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58060. Вражаючі здібності «фортепіанного поета» Фридеріка Францішека Шопена 89.5 KB
  МЕТА: поглибити знання дітей про творчість Фридеріка Шопена; вчити учнів глибоко емоційно сприймати інструментальну фортепіанну музику розуміти та інтерпретувати її зміст; дати визначення понять ноктюрн і скерцо; збагатити уявлення дітей про життєвий зміст музики розуміння її...
58061. Урок-презентація: Симфонія вогняних років 64 KB
  Учитель музики: Доброго дня діти. Сьогодні ми міркуємо про музику яка народжувалась і звучала в роки Великої Вітчизняної війни подивимось як боровся наш народ з ворогом у блокадному Ленінграді і як ця боротьба показана Шостаковичем через музику в симфонії на екрані слайд...
58062. Стихійні лиха 75.5 KB
  Мета: продовжити ознайомлювати учнів із небезпеками природного походження, розглянути приклади стихійних небезпек, скласти алгоритми поведінки в надзвичайних ситуаціях (сильного вітру і грози та в разі потрапляння в зону підтоплення); розвивати логічне мислення; виховувати бережливе ставлення до власного здоровя та життя.
58063. Прикладне мистецтво 293 KB
  Обладнання для учнів: естетичний словник з образотворчого мистецтва ручка. Види діяльності учнів: пізнавальна сприймання мистецтва. Вид уроку: бесіда з образотворчого мистецтва.
58064. Психічна і духовна складові здоров’я 96.5 KB
  11 Конфлікти і здоров’я. Види конфліктів. Вплив конфліктів на здоров’я. 1 МЕТА: надати учням поняття про конфлікти їх види вплив конфліктів на здоров’я; формувати в учнів вміння адекватного оцінювання життєвих ситуацій; вміння обирати шляхи вирішення спільних проблем; вчити учнів запобігати конфліктних ситуацій та при їх виникненні вміти розв’язувати конфліктні ситуації; розвивати в учнів розуміння почуттів і потреб інших людей; виховувати в учнів толерантне ставлення до чужих поглядів і переконань товариські стосунки.
58065. Формування здорового способу життя 2.02 MB
  Мета: сформувати поняття про здоровий спосіб життя як умову збереження і зміцнення здоров’я. Обладнання та матеріали: фотографії й плакати які дають змогу ілюструвати різний спосіб життя формування здорового способу життя. Базові поняття й терміни: здоров’я спосіб життя.
58066. Сприйняття мистецтва. Імпресіонізм. Відтворення дійсності у стилі імпресіонізм. Зображення на площині. Відтворення святкового настрою. Творча робота «Ялинка на майдані» 91.5 KB
  Мета: ознайомити учнів зі стилем мистецтва імпресіонізм з творчістю художників імпресіоністів; учити спостерігати вплив світла на зміну кольорів; формувати вміння передавати світло тіньові явища відповідно до змін часу доби та пори року...
58067. Доброта творит чудеса 72.5 KB
  Цель урока: Способствовать воспитанию в детях добрых человеческих взаимоотношений, отзывчивости и милосердия к окружающим, друг к другу.
58068. Анімалістичний жанр у живопису. Знайомство з творчістю М.Приймаченко. Створення етюду-малюнку пташки на кольоровому тлі: «Снігур» 126.5 KB
  Мета: Навчальна: розширювати знання учнів про анімалістичний жанр, продовжувати вчити малювати птахів, ознайомити учнів з творчістю видатної української художниці М.Приймаченко. Розвивальна: розвивати творчі здібності, фантазію, мислення, уяву.