52942

Задачі Ейлера

Книга

Педагогика и дидактика

Захоплення математикою здебільшого починається з міркування над якоюсь цікавою задачею. Вона може зустрітися на уроці, на заняті математичного гуртка, в математичній літературі. Завдання сучасної школи виховати творчу особистість. Знання, навички уміння здобувають в результаті власної активної діяльності.

Украинкский

2014-02-20

2.09 MB

13 чел.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

ЗОШ І-ІІІ ст. №2 м. Красилів,

Хмельницької області

Задачі Ейлера

Партасюк Надія Андріївна

вчитель вищої категорії

ЗОШ І-ІІІ ступенів

№2 м. Красилова,

старший вчитель

м. Красилів 2010р.

                                   Зміст

Вступ……………………………………………………………………..             3

Розділ І. Задачі Ейлера в  шкільному курсі математики……………..             4

  1.  Пряма  Ейлера…………………………………………………….             4

  1.  Коло Ейлера……………………………………………………….            5    

  1.  Доведення  тотожностей Ейлера....................................................           8

  1.  Показникова форма комплексного числа  

         Формули Ейлера……………………...............................................          11

  1.       Розв’язування рівнянь вищих степенів :

а) зворотні рівняння.........................................................................          14

б) метод спостереження .................................................................          17

Розділ ІІ. Цікаві задачі Ейлера..................................................................         19

  1.  Задача  Ейлера  про сім мостів ........................................................         19

  1.  Задача про хід шахматного коня.....................................................          20

Розділ ІІІ. Біографічна довідка................................................................          21

Висновки.....................................................................................................          22

Список використаних джерел....................................................................         23

                     

Вступ

Захоплення математикою здебільшого починається з міркування над якоюсь цікавою задачею. Вона може зустрітися на уроці, на заняті математичного гуртка, в математичній літературі. Завдання сучасної школи виховати творчу особистість. Знання, навички уміння здобувають в результаті власної активної діяльності. Роль учителя полягає у створенні відповідних умов які спонукали б учня до розв’язування задач, до пошуку та “відкриття” нових знань.

Я пропоную задачі Ейлера, які розв’язуються в шкільному курсі математики (поглиблений курс), а також можуть бути використані в позаурочний час.

    

  Розділ І. Задачі Ейлера в  шкільному курсі  

               

   1.1                          Пряма Ейлера

Теорема.

У трикутнику точка перетину медіан ортоцентр і  центр описаного кола

лежать на  одній прямій-ця  пряма  називається  прямою Ейлера

Доведення:

Проведемо через вершини трикутника  АВС прямі, паралельні сторонам

трикутника, до їх взаємного перетину в  точках А1, В1, С1.Тоді

АВС1С,АВСВ1, САС1В-паралелограми,отже, ВС1=ВА1=АС, В1С=А1С=ВА.

Відрізки АА1,ВВ1,СС1 є діагоналями цих паралелограмів і отже , поділяють

відповідно сторони ВС, АС, АВ навпіл. Тоді  ці відрізки перетинаються в  

точці М перетину медіан трикутника АВС і ===-. Отже, при

гомотетії з центром у  точці М і  коефіцієнтом к=- трикутник Авс

переходить у  трикутник А1В1С1. З теореми про прямі , які містять висоти

трикутника, перетинаються в одній точці випливає, що точку Н перетину

висот дана гомотетія переводить у  центр О кола . описаного навколо

трикутника Авс. Отже, точки М, О, Н лежать на  одній  прямій, причому

точка М лежить між точками О та  Н і МН=2МО

Наслідок. У трикутникуАВС  МН=2МО,ОН=3МО.

     1.2                          Коло Ейлера

Теорема :

У медіан, основи висот і  точки , які поділяють навпіл відрізки. Що сполучають

вершини трикутника з ортоцентром. Лежать  на  одному  колі-коло Ейлера

Доведення:

Нехай у  трикутнику АBC точки А1, В1, С1 – середини відповідно сторін ВС, АC, АB;

точки На, Нb, Hc- основи висот; точки Ea, Eb, Ec ділять навпіл

відповідно відрізки АН, ВН, СН. Оскільки А1В1- середня лінія трикутника Авс, то А1В1=. Відрізок НаС1 є медіаною прямокутного трикутника АнаВ. Отже,НаС1= і А1В1=НаС1. Тоді трикутника  трапеція В1С1НаА1

має рівні бічні сторони А1В1 і НаС1,тобто є рівнобічною. Отже , точка на

лежить на  колі, описаному  навколо трикутника А1В1С1.Аналогічно на  

цьому колі лежать  точки Нb і Нс.

     

 Зазначимо, що С1Еb|| АНс, оскільки С1Еb- середня лінія трикутника

АВН.а В1С1 ||ВС. Тоді С1ЕbВ1С1. Аналогічно А1ЕbА1В1. Отже у  

чотирикутнику С1ЕbА1В1 два протилежні кути ЕbС1В1 і ЕbА1В1 прямі. Це

означає, що навколо нього описано те  коло, яке ми розглядаємо, тому  точка

Еb лежить на  ньому. Аналогічно доводиться, що на цьому колі лежать також

точки Еа,Ес.

 

            1.3      Доведення  тотожностей  Ейлера

Задача 1 . Довести тотожність:

                    

Доведення:

Піднесемо обидві  частини рівності до кубу. Ліву  частину піднесемо до кубу

за  формулою:

       

       

Тоді

 

                   

Задача 2. Довести тотожність

         

Доведення:

Перетворимо ліву  частину

                          Тотожність доведено

Задача 3. Довести тотожність

     

 

Доведення:

Спростимо праву  і  ліву частину рівності.

         Тотожність доведена

1.4 Показникові форми комплексного числа

Ми розглядали тригонометричну форму запису комплексного числа: .

Формула Ейлера дозволяє записати комплексне число в компактній

формі: , де - аргумент числа, а - його модуль. Це так звана

показникові форми запису комплексного числа. Для отримання показникові

форми запису комплексного числа не потрібно попередньо записувати його в

тригонометричній формі.

Якщо маємо показникові форму запису комплексного числа, то можна вказати його модуль і аргумент.

Розглянемо, якими будуть модуль і аргумент при множенні і діленні двох комплексних чисел, відмінних  від нуля.

Нехай  Запишемо кожний із множників в показникові формі:

, Тоді .

Отже, при множенні двох комплексних чисел їх модулі множаться, а

аргументи додаються. Методом індукції можна показати, що це правило є

справедливе для будь-якої кількості множників.

В випадку однакових множників отримуємо наступне правило: при

піднесенні комплексного числа до степеня з натуральним показником

його модуль підноситься до того ж степеня, а аргумент множиться на

показник степеня.

Нехай тепер .

Записавши множники в показникові формі отримаємо: .

Отже, при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.

Формули  Ейлера

Справді , його  знамениті формули

                               

не  тільки пов’язали показникові фонації з тригонометричними функціями і  

комплексними числами, а  й  стали вихідним пунктом для  дослідження

природи числа .

З його формул легко дістати

    

З першої формули поклавши, що , Ейлер дістав  несподівану й  

дивовижну, одну з найкоротших формул всієї математики:

 

                                               

Праці Ейлера на  століття визначили розвиток теорії чисел. Він знайшов

доведення всіх теорем Ферма, довів неправильність однієї з них, довів для

і  знамениту велику теорему Ферма, ввів важливу так звану

функцію Ейлера , значення  якої дорівнюють числу цілих

чисел, менших від  і  взаємно простих з  .

  1.  Розв’язування рівнянь вищих степенів

а) Зворотні рівняння

Окремим випадком симетричних рівнянь є зворотні  рівняння. Термін «зворотне  рівняння»  ввів Ейлер  у 1733 р.

Зворотним називають рівняння виду:

+  + +…+ +  +

                            +….+ =0

+++....+++

                         + +…+=0

де - деяке фіксоване число і а0. Якщо =1,  з рівнянь (1) та(2) дістаємо симетричне рівняння відповідно парного та  непарного степенів

Приклад 1. Розв'язати рівняння

х4- 7х3 + 6х2 + 21х+9 = 0

Розв’язання.

Так як , то дане рівняння зворотне.

Приклад 2. Розв’язування рівнянь в полі дійсних чисел

Маємо зворотне рівняння 8-го степеня. Поділимо обидві частини на

Відповідь: 1; 2.

б) Метод спостереження

Відомо, що Ейлер виділяв спостереження як  один з методів дослідження

властивостей чисел. Про цей  метод не  слід забувати, приступаючи до

розв’язування нестандартного рівняння.

Приклад 1.

Проаналізуємо рівняння (х+3)+(х+5)=16

Розв’язання.

Спостереження числових компонентів дають можливість

зробити такі  висновки : 1) 16=2; 2) (х+3)=2, якщо х=-5,при цьому

(х+5) =0 ; 3)  (х+5)=2. Якщо х=-3; при цьому (х+3)=0

Отже, числа -3 та  -5 є коренями цього рівняння . Ця інформація суттєво

спрощує його остаточне розв’язування.

Приклад 2.

Розв’яжемо рівняння  |x|+2x+2|x|+2x+2|x|=0

Розв’язання.

Очевидно , що єдиним  коренем  є  х=0. Якщо х0,ліва частина

рівняння додатна.

     

 Розглядаючи зворотні  рівняння , ми використовували метод заміни змінної

або метод підстановки, добір нової змінної - завжди результат спостережень.

Розглянемо ще  приклади на застосування цього методу.

Приклад 3.

Розв’яжемо рівняння .    х -(+1) х+7=0 за допомогою введення параметра.

Розв’язання.

Перепишемо дане  рівняння =а. Дістанемо квадратне  рівняння

відносно а: а-ах+( x- х)=0.  

Розв’язавши його , дістанемо : а= х-х; а=х. Отже,

а-ах+( x- х)=(а- х+х)(а-х)=0.

Підставляємо значення параметра: (-х+х) (-х)=0.

Розв’язуємо утворене рівняння:

х-х-=0; х==; -х=0;  х=

 Відповідь. 

 Ейлер прийшов  до  висновку, що розв’язування нестандартних алгебраїчних рівнянь вищих степенів вимагає уважного аналізу особливостей даного рівняння та  рівнянь. Які  утворюються в  результаті тотожних перетворень, встановлення асоціативних зв’язків із способами розв’язування розглянутих раніше  рівнянь. Звичайно при цьому доводиться вибирати кілька основних методів у  їх з доцільному поєднанні.

Розділ ІІ. Цікаві задачі Ейлера

2.1 Задачі Ейлера  про сім мостів

На  річці  Прегаль, де  стоїть місто Калінінград(колишній

Кенігсберг), острів, правий  берег, лівий  і  територія з’єднані сімома мостами.

Чи можна  пройти по всіх мостах не  ступивши на  жоден з них двічі

Розв’язання

Під час розв’язування  Ейлер прийшов  до декількох висновків:

  •  Кількість непарних вершин (вершин, до який веде непарна кількість ребер) графа завжди парна. Неможливо намалювати граф, який мав би непарну кількість непарних вершин.

  •    Якщо усі вершини графа парні, можна не відриваючи олівця від малюнку, намалювати граф, і при

  цьому можна починати з будь-якої вершини графа, і закінчити в тій же вершині.

  •    Граф, в якого більше ніж 2 непарних вершини, неможливо намалювати не відриваючи руки.

  Граф кенінгберських мостів мав 4 непарних вершини, тому неможливо пройти по усім мостам, не проходячи по жодному двічі.

      2.2     Задача про хід шахового коня

Задача про хід шахового коня-задача  на  знаходження маршруту шахового коня, який проходить через всі  поля дошки по одному  разу

Розв’язання

Метод полягає в  тому, що спочатку кінь пересувається по будь-якому

маршруту, поки не вичерпає всі  можливі  ходи. Потім не  пройдені

клітинки, що залишаються, включаються  у вже пройдений  маршрут.

      Розділ ІІІ. Біографічна довідка

Визначний математик, фізик, механік і

астроном. Народився в  Швейцарії ,у  

сім’ї пастора в (м. Рієн). діставши

початкову домашню освіту, Ейлер вступив  

до гімназії. Завдяки чудовій пам’яті легко

вивчав навчальні дисципліни; відвідував

лекції відомого професора математика

Іоганна Бернуллі в  університеті. У 1723 р.

16-річний Ейлер склав екзамени на

магістра наук з правом викладання

гуманітарних наук і  філософії. У 1726 р.

слідом  за  своїм учителем(Бернуллі)

Ейлер виїздить до Петербурга, де  його

призначено ад’юнктом математики. У 1730 р. Очолює кафедру фізики, а в

1733 р., після від’їзду Бернуллі з Петербурга, його обирають академіком.

Ейлер був надзвичайно працьовитим, безперервно створює свої кращі праці.

У 1736 р. Від перевтоми втрачає око, але це  не  зупинило його. У 1740 р. Для

петербурзької Ан настав важкий час саме  її існування  брали під сумнів.

Тоді король Фрідріх ІІ запросив Ейлера до Берлінської АН. Ейлер прийняв

запрошення  і  виїхав у 1741 р., не  пориваючи з Петербурзькою АН, а  в  

1766 р. Знову повернувся до Росії. У 1767 р. Ейлер втратив зір. Ейлеру

належить понад 865 праць з найважливіших питань математичної науки.

Перші праці його були з  навігації. У 1736 р. Він видав двотомний трактат з

механіки, в якому використав диференціальне та  інтегральне числення.  У

двох трактатах з математичного аналізу він розглянув властивості  

раціональних і  трансцендентних чисел, дослідив криві 2/го,3-го, і 4-го

порядків та  поверхні 2-го порядку, присвятив диференціальному й  

інтегральному численням. Ейлер уперше ввів поняття про функцію

комплексної змінної, створив сучасну диференціальну геометрію. Про

чисельність досліджень  Ейлера можна судити за назвами пов’язаними з

його іменем: теореми Ейлера, тотожність Ейлера, сталі Ейлера, кути Ейлера,

функції Ейлера, інтеграли Ейлера, формули Ейлера.

            

Висновки

Робота  присвячена  задачам Ейлера, які є в  шкільному курсі

математики (поглиблений  курс). В роботі з геометрії  доведені  теореми про

коло Ейлера  та  пряму  Ейлера, цікаві точки в  трикутнику  і  співвідношення

між ними, яке встановив  Ейлер. З алгебри розглядається розв’язування

зворотних рівнянь та  нестандартних рівнянь методом спостережень. Відомо,

що Ейлер виділяв спостереження як один з методів дослідження

властивостей чисел.

   

     Запис  чисел у  показниковій  формі за  формулами Ейлера дає можливість

зручно виконувати дії множення, ділення, піднесення  до  степеня   та  

добування  кореня . Традиційні  тотожності, які доведені  в  роботі

вивчаються в  шкільному курсі 7-8 класів з  алгебри. Проте в  роботі

приведені приклади сталих Ейлера, функції Ейлера  і  т.д., цікаві задачі

практичного змісту. Що свідчить про чисельність досліджень Ейлера.  

            

Список  використаної літератури

  1.  А.И.Бородин. Математика. Пособие для подготовительных отделений. Київ. „Вища школа". 1980.
  2.  В.И.Сканави. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. Москва. «Высшая школа». 1988.
  3.  Н.С.Залогин. Конкурсные задачи по математике. Государственное издательство технической литературы. УССР. Киев. 1964.
  4.  К.У.Шахно. Сборник задач по элементарной математике повышенной трудности. Издательство «Высшая школа», Минск 1965.
  5.  В.М.Алексеев. Элементарная математика. Решение задач. Киев. «Высшая школа», 1989.
  6.  Ш.П.Горделадзе, М.М.Кахурчук, Ф.П.Яремчук. Збірник конкурсних задач з математики. К.: “Вища школа”, 1988.
  7.  А.И.Прилипко. сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. Москва. «Высшая школа». 1984.
  8.  В.І.Михайловський, В.Є.Тарасюк, Є.О.Ченакал, Н.М.Шунда. Практикум з розв'язування задач з математики.
  9.  Г.Ю.Бевз, О.М.Боголюбов, О.Ф.Фільчаков, Е.І.Швецов, Ф.П.Янчук. Довідник з елементарної математики. „Наукова думка". Київ. 1975.
  10.       М.І.Шкіль, Т.В.Колесник, Т.М.Хмара «АЛГЕБРА і початки аналізу»

Підручник для 10 класу з поглибленим вивченням математики в  середніх закладах освіти –Київ «Освіта» 2004

  1.  О.В.Нікулін, О.Г.Кукуш  « Геометрія поглиблений курс»

Посібник для 7-9 класів – Київ «Перун» 1998

  1.  В.П.Грималюк, М.М. Кухарчук, В.В.Ясінський

              «Вища математика» Частина 1

           Навчальний посібник для  студентів вищих технічних навчальних закладів  

              України  -  Київ «Віпол» 2   

                                                                                      

  1.  Л.В.Яковлєва «Розв’язування рівнянь вищих степенів»

            Методичний посібник для  підвищеного вивчення  математикки – Умань 2009

  1.  Математика. Дитяча енциклопедія. Харків. „ФОЛІО", 2003 р.
  2.  С.Т.Завало. Рівняння і нерівності. „Радянська школа", 1973.
  3.  Г.В.Дорофеєв, М.К.Потапов, А.Х.Розов. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. «Наука», 1972.
  4.  Л.И.Шарова. Уравнения и неравенства. «Вища школа», 1981.
  5.  Я.П.Каплан. Рівняння. „Радянська школа”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20452. MySQL 122 KB
  MySQL является собственностью компании Oracle Corporation получившей её вместе с поглощённой Sun Microsystems осуществляющей разработку и поддержку приложения. MySQL является решением для малых и средних приложений. Обычно MySQL используется в качестве сервера к которому обращаются локальные или удалённые клиенты однако в дистрибутив входит библиотека внутреннего сервера позволяющая включать MySQL в автономные программы.
20453. Диаграмма деятельности (activity diagram) 136 KB
  Для моделирования процесса выполнения операций в языке UML используются диаграммы деятельности. Каждое состояние на диаграмме деятельности соответствует выполнению некоторой элементарной операции а переход в следующее состояние выполняется только при завершении этой операции. Таким образом диаграммы деятельности можно считать частным случаем диаграмм состояний.
20454. Разработка и эксплуатация информационных систем 273.62 KB
  Объект сущность в адресном пространстве вычислительной системы появляющаяся при создании экземпляра класса например после запуска результатов компиляции и линковки исходного кода на выполнение. Конечным продуктом этапа проектирования являются: схема базы данных на основании erмодели разработанной на этапе анализа; набор спецификаций модулей системы они строятся на базе моделей функций. На основании системного проекта осуществляется: составление перечня автоматизированных рабочих мест предприятия и способов взаимодействия между...
20455. Кнопкові форми 24.5 KB
  На кнопкову форму виносять форми які відкривають формизвіти або активізують інші кнопкові формизакривабть поточну базу даних. Кнопокі форми можуть містити малюнкинаписи тощо. Кнопкові форми можна створити за допомогою диспетчера кнопкових форм за його допомогою на форму можна помістити до 8 кнопок.
20456. Комбінований метод хорд та дотичних 35.5 KB
  Характерна особливість методів дотичних і хорд та що послідовності їх наближень монотонні. Причому якщо для даного рівняння послідовність наближень методу хорд монотонно спадна то послідовність наближень методу дотичних – монотонно зростаюча і навпаки. У даному випадку за початкове наближення в методі хорд вибирають точку x=a а в методі дотичних – точку b.
20457. Множина́ 41.69 KB
  Основні поняття: Множина вважається означеною якщо про кожен об'єкт що розглядається можна казати що він або належить або не належить множині. Наприклад: ℕ множина натуральних чисел ℤ множина цілих чисел ℚ множина раціональних чисел ℝ множина дійсних чисел ℂ множина комплексних чисел. Нехай А множина. Множина B всі елементи якої належать множині А називають підмножиною множини A або частиною множини А і позначають цей факт символами B ⊆ A A ⊇ B.
20458. Основні задачі та проблеми проектування програмних продуктів 13.41 KB
  Пр428 Основні задачі та проблеми проектування програмних продуктів. Проектування – це процес розробки проекту тобто комплекту документації призначену для створення проекту його удосконалення та ліквідації а також для перевірки або відтворення проміжних і кінцевих рішень. Проектування – тривалий процес і включає етапи від підготовки технічного завдання до випробування. Процес створення програмного забезпечення ПЗ також включає в себе методи проектування.
20459. Каскадна (послідовна) модель 22.61 KB
  Вона передбачає послідовне виконання всіх етапів проекту в строго фіксованому порядку. Вимоги визначені на стадії формування вимог строго документуються у вигляді технічного завдання і фіксуються на весь час розробки проекту. Етапи проекту відповідно до каскадної моделлю: Формування вимог; Проектування; Реалізація; Тестування; Впровадження; Експлуатація та супровід. Недоліки: В Водоспадної моделі перехід від однієї фази проекту до іншого передбачає повну коректність результату виходу попередньої фази.
20460. Доповнення та різниця множин 18.86 KB
  Якщо A ⊂ U то елементи множини U які не належать А називаються доповненням множини А до множини U і позначають як CUA або UCA. Якщо A ⊂ U B ⊂ U то доповнення множини B до А називають різницею множин А та B саме в такому порядку і позначають А B або АB тобто A B = {x:x ∈ A ∧ x ∉ B}. Деякі властивості операції доповнення: A ∪ A′ = U A ∩ A′ = ∅ A′′ = A A − B = A ∩ B′ Об'єднання множин Об'єднанням множин А та B називається множина яка складається з усіх тих елементів які належать хоча б одній з множин A B: A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ A...