53027

Формули скороченого множення та узагальнення на основі квадрата двочлена

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета: Узагальнити і систематизувати знання, вміння та навички у застосуванні формул квадрата двочлена і різниці квадратів. Вивести формули квадрата тричлена, куба двочлена. Розвивати вміння узагальнювати, робити висновки. Сприяти розвитку логічного мислення, математичної мови.

Украинкский

2014-02-21

908 KB

1 чел.

КОНСПЕКТ УРОКУ З АЛГЕБРИ, 7 КЛАС

Учитель вищої категорії Старостенко С.Б.

Тема: Формули скороченого множення та узагальнення на основі квадрата двочлена.

Мета: Узагальнити і систематизувати знання, вміння та навички у застосуванні формул квадрата двочлена і різниці квадратів. Вивести формули квадрата тричлена, куба двочлена. Розвивати вміння узагальнювати, робити висновки. Сприяти розвитку логічного мислення, математичної мови.

Обладнання: Таблиці, заготовлена сітка кросворду.

Хід уроку

І. Оргмоменти

Добрий день! Сідайте. Я рада сьогодні бачити ваші допитливі очі, чути ваші відповіді та часом непрості питання, разом розгадувати таємниці математики. Сьогодні на 45 хвилин ми поринемо у чудовий, незвичайний світ науки, яка зачаровує, дивує, манить. Науки, яка оточена містикою, магією. Звісно, це -  математика.

Першим поштовхом до пізнання видатний грецький філософ Арістотель вважав здивування. Для первісної людини здивувань було надто багато, але минав час, проходили епохи, набувався досвід, здивувань меншало, з’являлись люди, які на дозвіллі могли цілеспрямовано займатися спогляданням. Це були жерці при культових храмах. Вони першими помічали закономірності, пов’язані зі зміною дня і ночі, фаз Місяця, положення сузір’їв на  небі. Фіксація цих закономірностей потребувала відповідної цифрової символіки. Їм зазвичай давались міфічні пояснення. Так з’явилась числова містика.

І ось сьогодні ми спробуємо стати тими першопроходцями, шукачами закономірностей, які серед звичайного знаходять справді дивовижне, поринають у світ цифр, переконуючись у його магічності і логічності.

Отож, тема сьогоднішнього уроку: “Формули скороченого множення та узагальнення на основі квадрата двочлена”.

Мета уроку:1. Повторити формули скороченого множення.

2. Повторити їх застосування для спрощення і перетворення виразів.

 3. Навчити виводити формули:  (a+b+c)2;

       (a+b)3;

       (a+b)4;

       (a+b)5;

4. Розглянути застосування вказаних формул.

Ваше завдання не запам’ятовувати ці формули, а як казав видатний фізик і математик Ейнштейн, зрозуміти і осмислити процес їх одержання.

(Записати число, класна робота)

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Звірте за дошкою правильність розв’язання домашнього завдання та оцініть його.

(Бевз С.р. В.1,2, ст. 55-56.)

І. 1) (х+3)22+6х+9;   ІІ. 1) (m-5)2=m2-10m+25;

 (a2-c)2=a4-2a2c+c2;    (x2-z)2=x4-2x2z+z2;

   2) (ax+b2)2=a2x2+2axb2+b4;       2) (cx+2b)2=c2x2+4cxb+4b2;

(-1+2c3)2=4c6-4c3+1;    (-2+3c)2=9c2-12c+4;

   3) 12ab-(2a+3b)2=12ab-4a2-       3) 30xc-(3x+5c)2=30xc-9x2-

 -12ab-9b2= -4a2-9b2;    -30xc-25c2= -9x2-25c2;

   4)  (х-3)2 =(х-5)(х+4);                           4)  (х-2)2=(х+3)(х-4);

    х2-6х+9=х2+4х-5х-20;                         х2-4х+4=х2-4х+3х-12;

    -6х-4х+5х= -20-9;                                -4х+4х-3х= -12-4;

     -5х= -29;                                              -3х= -16;

      х= 5,8.                                                   х= 5 .  

Додаткове завдання.

Довести, що сума   ділиться на 11.

=10a+b;     =10b+a.

+ = 10a+b+10b+a=11a+11b

 (11a+11b):11, бо 11а: 11, 11b: 11

Отже, (+ ) : 11.

За результатами перевірки учням роздаються кольорові жетони:

+ жовтий колір   без помилок;

зелений колір   недолік або 1 помилка;

 червоний колір  2-3 грубих помилки;

  •    білий колір  неправильно виконане завдання.

ІІІ. Актуалізація опорних знань

1) Що записано на дошці? (х-2)(х+2);   (5-ав)2;

    (у+7)(7-у);   (4х-3у)2;

   (х+9)2;    (а2-в3)2.

2) Сформулюйте відповідні правила.

3) Подайте вирази у вигляді многочлена.

4) Прочитайте дані вирази: 2аm;

     3a2b;

     (x+y)3;

     x3+y3.

5) Математичний диктант. Запишіть у вигляді виразів:

1.Суму чисел  2а і 3в.      2а+3в;

2. Добуток чисел а і в.      ав;

3. Подвоєний добуток чисел c i d.    2cd;

4. Різницю квадратів чисел a i b.    a2-b2;

5. Квадрат суми чисел m i n.     (m+n)2;

6. Квадрат різниці чисел 2x i 5y.    (2x-5y)2;

7. Різницю кубів чисел a i b.          a3-b3;

8. Куб різниці чисел m i n.     (m-n)3;

9. Квадрат суми чисел 5х і 4у (розкласти).  (5x+4y)2=

         25x2+40xy+16y2;

 10. Добуток різниці чисел 7х і 5у на їхню суму (7x-5y)(7x+5y)=

(розкласти).        =49x-25y.

(Взаємоперевірка, виставлення оцінок, роздача жетонів.)

ІV.Основна частина

1. Раціональні обчислення

Як піднести до квадрату число 99?

(Записи після обговорення : (100-1)2=10000-200+1=9801.)

Подумайте і скажіть, як найраціональніше піднести до квадрату числа 61, 21, 49?

Отже, формули скороченого множення застосовуються для раціональних обчислень. Ще коли? (при спрощенні виразів, при розв’язуванні рівнянь).

Давайте переконаємось у цьому.

2. Застосування формул для спрощення і перетворення виразів

(До дошки визиваю 5 учнів для розв’язування рівнянь.)

Отримавши відповідь, ви повинні записати її у відповідному рядку кросворда. У виділених клітинках ми прочитаємо прізвище відомого математика, фізика, про якого поговоримо на уроці.

  1.  (x-8)2 = x2-16,   2)  (x+7)(x-3)-x2 = 3979,

    x2-16x+64 = x2-16,     x2-3x+7x-21-x2 = 3979,

              -16x = -16-64,             -3x+7x = 3979+21,

              -16x = -80,            4x = 4000,

                   х = 5.              x =1000.

3) 4y2-(2y+5)2=-385,   4) (a+5)(a-1)-a2+4a=315,

4y2-4y2-20y-25=-385,   a2-a+5a-5-a2+4a=315,

-20y= -385+25,    8a=315+5,

-20y= -360,    8a=320,

y=18.     a=40.

5) (x-9)(x+9)-(x-3)2=30,   6) Як називається сума кількох

x2-81-x2+6x-9=30,       одночленів?   (Многочлен)

6x=30+81+9,

6x=120,     7) Рівність, правильна при

x=20.        будь-яких значеннях змінних

   називається...   (Тотожність)

 

п

’я

т

ь

т

и

с

я

ч

а

в

і

с

і

м

н

а

д

ц

я

т

ь

с

о

р

о

к

д

в

а

д

ц

а

т

ь

м

н

о

г

о

ч

л

е

н

т

о

т

о

ж

н

і

с

т

ь

Решта учнів отримує завдання на картках. Після розв’язання вони повинні звірити відповіді.

Картка 1. Знайти три послідовних натуральних числа, якщо добуток першого і другого чисел на 31 менший за квадрат третього.

І – n;  II – (n+1);  III – (n+2).

 n(n+1)+31=(n+2)2,

 n2+n+31=n2+4n+4,   n+1=9+1=10;

 n-4n=4-31,    n+2=9+2=11.

 -3n=-27,

 n=9.    Відповідь: 9;10;11.

Картка 2. Знайти три послідовних парних натуральних числа, якщо квадрат третього числа на 52 більший за добуток першого і другого.

І – 2n; ІІ –(2n+2);  ІІІ – (2n+4).

 (2n+4)2-52=2n(2n+2),

 4n2+16n+16-52=4n2+4n,   2n=6;

16n-4n=52-16,     2n+2=8;

12n=36,      2n+4=12.

n=3.     Відповідь: 6;8;10.

Картка 3. Знайти значення виразу   (5a-10)2-(8-5a)2+4a, якщо а=6.

Якщо а=6, то (5a-10)2-(8-5a)2+4a=25a2-100a-64+80a-25a2+4a=100-16a=100-16 6=100-96=4.

 

Давайте підведемо підсумки. Так де застосовуються формули скороченого множення?

- При розв’язуванні рівнянь.

- При спрощенні виразів.

- При розв’язуванні задач, які приводять до рівнянь.

- Для швидкого та раціонального обчислення.

3. Геометрична інтерпретація

Ще Евклід знав прийом піднесення до квадрату суми двох доданків, який і ми сьогодні з вами вивчаємо. Правда трактував він це з геометричної точки зору.

 a        b

     a    (a+b)2=a2+2ab+b2.

      b

Але чому тільки квадрат двох чисел? І чому тільки до квадрату? А чи не можна знайти метод піднесення до третього , четвертого і більш високих степенів суми трьох, чотирьох і більше доданків? Давайте спробуємо. В зошитах накресліть квадрат і спробуйте записати формулу квадрата суми трьох чисел.

     а     b           c

а

  b     (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

 

  c

 А давайте виведемо цю формулу з точки зору алгебри, кажуть, аналітично:  (a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=    =a2+b2+c2+2ab+2ac+2cb.

 Отже, квадрат тричлена дорівнює сумі квадратів всіх виразів і подвоєних добутків всіх можливих пар цих виразів.

 

4. Піднесення двочлена до степеня

Перейдемо ще до одного узагальнення, початок якому поклали стародавні вавілоняни.

Ви знаєте тотожність (a+b)2=a2+2ab+b2.

Запропонуйте спосіб піднесення двочлена до кубу.  (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2a2b+ab2+b3=

  =a3+3a2b+3ab2+b3.  

Що ви можете сказати за показники числа а? (спадають); числа b? (зростають).

А якщо піднесемо двочлен до четвертого степеня, які будуть показники степенів? (Розписати без коефіцієнтів:

(a+b)4=   a4+  a3b+   a2b2+   ab3+   b4.)

Чого не вистачає в цій формулі? (Коефіцієнтів.) Спробуємо знайти їх.

Давайте запишемо ще два степені суми двох чисел – нульову і першу: (a+b)0=1;

 (a+b)1=a+b.

 Випишіть тільки коефіцієнти, причому розташуйте їх у вигляді трикутника:    1

  1.  1

1  2  1

  1  3  3  1

Можна побачити, що “сторони” цього трикутника складені із одиниць, а числам, які стоять всередині  трикутника, притаманна властивість. Яка? (Кожне число можна подати у вигляді суми чисел, які стоять над ним у попередньому ряду праворуч і ліворуч:

 3=1+2;  2=1+1.)

Спробуйте дописати наступні рядки і  виправити формулу четвертого степеня двочлена:

(a+b)4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

Піднесіть двочлен до п’ятого степеня, використовуючи вказані властивості:  

(a+b)5 =a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.

 Трикутник, складений за вказаним правилом, називають трикутником Паскаля, ім’ям відомого математика, фізика, філософа, письменника Блеза Паскаля (1623 - 1662), сучасника Декарта і Ферма.

Де ви чули це прізвище?

  •  На уроках фізики: тиск вимірюється в паскалях.
  •  На уроках інформатики: існує мова програмування  Паскаль.

Це була дивовижна людина. 12-річним хлопчиком він доводить неймовірний факт: у будь-якому трикутнику сума всіх трьох кутів разом складає два прямі кути (зараз ми сказали б 180о). У 16 років він здійснив справжнє наукове дослідження: відкрив нові властивості конічних перерізів. У 23 роки він завершив виснажливу роботу над першою в світі арифметичною машиною, за допомогою якої можна було виконувати дію додавання та віднімання. Саме завдяки цьому в інформатиці одна з мов програмування названа його іменем. А крім цього роботи з фізики, комбінаторики, філософські роздуми та багато іншого.

Отже, яким чином ми узагальнили формулу квадрата двочлена?

( 1. Навчились виводити формулу квадрата многочлена.

  1.  Навчились підносити двочлен до будь-якого натурального степеня. )

Як піднести двочлен до 3го, 4го, 5го  степенів?

( Знайти коефіцієнти з трикутника Паскаля і використати властивості показників степенів кожного доданка. )

5. Застосування формул

Знайдіть значення виразу c4+4c3d+6c2d2+4cd3+d4, якщо с= 1,8; d=0,2.

Якщо c=1,8; d=0,2, то c4+4c3d+6c2d2+4cd3+d4= (c+d)4= =(1,8+0,2)4=24=16.

V. Домашнє завдання та підсумки уроку

Діти в зошитах записують завдання. Я в цей час виставляю оцінки, враховуючи жетони зароблені дітьми.

Домашнє завдання на переносній дошці :

Піднести до степеня:  1)  (х+2)3;

    2) (а-b)4;

Вивести формулу:  (a+b+c+d)2.

Середній рівень –  тільки написати формулу;

Достатній рівень –  Одним способом;

Високий рівень –  Двома способами.

(a+b)4=(a+b)2(a+b)2=(a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2)=a4+2a3b+a2b2+2a3b+4a2b2+2ab3+a2b2+2ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

Картка 1

 Знайти три послідовних натуральних числа, якщо добуток першого і другого чисел на 31 менший за квадрат третього.

Картка 2

 Знайти три послідовних парних натуральних числа, якщо квадрат третього числа на 52 більший за добуток першого і другого.

Картка 3

 Знайти значення виразу   (5a-10)2-(8-5a)2+4a, якщо а=6.

 

Картка 2

 Знайти три послідовних парних натуральних числа, якщо квадрат третього числа на 52 більший за добуток першого і другого.

Картка 1

 Знайти три послідовних натуральних числа, якщо добуток першого і другого чисел на 31 менший за квадрат третього.

Картка 1

 Знайти три послідовних натуральних числа, якщо добуток першого і другого чисел на 31 менший за квадрат третього.

Картка 2

 Знайти три послідовних парних натуральних числа, якщо квадрат третього числа на 52 більший за добуток першого і другого.

Картка 3

 Знайти значення виразу   (5a-10)2-(8-5a)2+4a, якщо а=6.

 

Картка 3

 Знайти значення виразу   (5a-10)2-(8-5a)2+4a, якщо а=6.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72633. Типы данных в МS-Фортране 23.89 KB
  На многих микропроцессорах команды, необходимые для выполнения 16-битовой арифметики, значительно быстрее и короче соответствующих команд для выполнения 32-битовой арифметики. Поэтому, пока Вы не используете метакоманду МS-Фортрана...
72636. ПОДПРОГРАММЫ-ФУНКЦИИ 13.95 KB
  С использованием функции RRMX непосредственно возвращающей значение максимального элемента массива и с помощью функции NUMX возвращающей номер максимального элемента массива. Так в приведенном ниже примере имя функции NUMX типизировано как целое по умолчанию а для функции RRMX необходима явная типизация.
72637. DATA 16.89 KB
  В тех случаях, когда переменные нужно присваивать в начале программы какие-либо значения , которые не должны меняться от одного прогона программы к другому, вместо операторов присваивания можно с большей эффективностью воспользоваться оператором DATA.
72638. Оператор PARAMETER 13.2 KB
  С помощью этого оператора можно любой константе дать символьное имя. Этот неисполняемыми оператор должен находиться перед исполняемыми операторами программы. Часто в разных местах программы употребляются длинные константы, такие как 3.14159265.
72640. ОПЕРАТОРЫ ЦИКЛА 20.64 KB
  Операторы цикла предназначены для многократного выполнения некоторых операторов. Эти операторы называются телом цикла. Различаются операторы цикла с предусловием и с постусловием. Блок-схемы операторов цикла показана на рисунке 1.2.
72641. Структурный IF 21.71 KB
  Сначала вычисляется условие e, а затем в зависимости от его истинности выполняется на выбор один из двух блоков, а после этого - следующий оператор. Один оператор if можно вкладывать в другой оператор IF. Один из таких случаев вложения, а именно if в блок НЕТ другого IF допускает...