53027

Формули скороченого множення та узагальнення на основі квадрата двочлена

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета: Узагальнити і систематизувати знання, вміння та навички у застосуванні формул квадрата двочлена і різниці квадратів. Вивести формули квадрата тричлена, куба двочлена. Розвивати вміння узагальнювати, робити висновки. Сприяти розвитку логічного мислення, математичної мови.

Украинкский

2014-02-21

908 KB

1 чел.

КОНСПЕКТ УРОКУ З АЛГЕБРИ, 7 КЛАС

Учитель вищої категорії Старостенко С.Б.

Тема: Формули скороченого множення та узагальнення на основі квадрата двочлена.

Мета: Узагальнити і систематизувати знання, вміння та навички у застосуванні формул квадрата двочлена і різниці квадратів. Вивести формули квадрата тричлена, куба двочлена. Розвивати вміння узагальнювати, робити висновки. Сприяти розвитку логічного мислення, математичної мови.

Обладнання: Таблиці, заготовлена сітка кросворду.

Хід уроку

І. Оргмоменти

Добрий день! Сідайте. Я рада сьогодні бачити ваші допитливі очі, чути ваші відповіді та часом непрості питання, разом розгадувати таємниці математики. Сьогодні на 45 хвилин ми поринемо у чудовий, незвичайний світ науки, яка зачаровує, дивує, манить. Науки, яка оточена містикою, магією. Звісно, це -  математика.

Першим поштовхом до пізнання видатний грецький філософ Арістотель вважав здивування. Для первісної людини здивувань було надто багато, але минав час, проходили епохи, набувався досвід, здивувань меншало, з’являлись люди, які на дозвіллі могли цілеспрямовано займатися спогляданням. Це були жерці при культових храмах. Вони першими помічали закономірності, пов’язані зі зміною дня і ночі, фаз Місяця, положення сузір’їв на  небі. Фіксація цих закономірностей потребувала відповідної цифрової символіки. Їм зазвичай давались міфічні пояснення. Так з’явилась числова містика.

І ось сьогодні ми спробуємо стати тими першопроходцями, шукачами закономірностей, які серед звичайного знаходять справді дивовижне, поринають у світ цифр, переконуючись у його магічності і логічності.

Отож, тема сьогоднішнього уроку: “Формули скороченого множення та узагальнення на основі квадрата двочлена”.

Мета уроку:1. Повторити формули скороченого множення.

2. Повторити їх застосування для спрощення і перетворення виразів.

 3. Навчити виводити формули:  (a+b+c)2;

       (a+b)3;

       (a+b)4;

       (a+b)5;

4. Розглянути застосування вказаних формул.

Ваше завдання не запам’ятовувати ці формули, а як казав видатний фізик і математик Ейнштейн, зрозуміти і осмислити процес їх одержання.

(Записати число, класна робота)

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Звірте за дошкою правильність розв’язання домашнього завдання та оцініть його.

(Бевз С.р. В.1,2, ст. 55-56.)

І. 1) (х+3)22+6х+9;   ІІ. 1) (m-5)2=m2-10m+25;

 (a2-c)2=a4-2a2c+c2;    (x2-z)2=x4-2x2z+z2;

   2) (ax+b2)2=a2x2+2axb2+b4;       2) (cx+2b)2=c2x2+4cxb+4b2;

(-1+2c3)2=4c6-4c3+1;    (-2+3c)2=9c2-12c+4;

   3) 12ab-(2a+3b)2=12ab-4a2-       3) 30xc-(3x+5c)2=30xc-9x2-

 -12ab-9b2= -4a2-9b2;    -30xc-25c2= -9x2-25c2;

   4)  (х-3)2 =(х-5)(х+4);                           4)  (х-2)2=(х+3)(х-4);

    х2-6х+9=х2+4х-5х-20;                         х2-4х+4=х2-4х+3х-12;

    -6х-4х+5х= -20-9;                                -4х+4х-3х= -12-4;

     -5х= -29;                                              -3х= -16;

      х= 5,8.                                                   х= 5 .  

Додаткове завдання.

Довести, що сума   ділиться на 11.

=10a+b;     =10b+a.

+ = 10a+b+10b+a=11a+11b

 (11a+11b):11, бо 11а: 11, 11b: 11

Отже, (+ ) : 11.

За результатами перевірки учням роздаються кольорові жетони:

+ жовтий колір   без помилок;

зелений колір   недолік або 1 помилка;

 червоний колір  2-3 грубих помилки;

  •    білий колір  неправильно виконане завдання.

ІІІ. Актуалізація опорних знань

1) Що записано на дошці? (х-2)(х+2);   (5-ав)2;

    (у+7)(7-у);   (4х-3у)2;

   (х+9)2;    (а2-в3)2.

2) Сформулюйте відповідні правила.

3) Подайте вирази у вигляді многочлена.

4) Прочитайте дані вирази: 2аm;

     3a2b;

     (x+y)3;

     x3+y3.

5) Математичний диктант. Запишіть у вигляді виразів:

1.Суму чисел  2а і 3в.      2а+3в;

2. Добуток чисел а і в.      ав;

3. Подвоєний добуток чисел c i d.    2cd;

4. Різницю квадратів чисел a i b.    a2-b2;

5. Квадрат суми чисел m i n.     (m+n)2;

6. Квадрат різниці чисел 2x i 5y.    (2x-5y)2;

7. Різницю кубів чисел a i b.          a3-b3;

8. Куб різниці чисел m i n.     (m-n)3;

9. Квадрат суми чисел 5х і 4у (розкласти).  (5x+4y)2=

         25x2+40xy+16y2;

 10. Добуток різниці чисел 7х і 5у на їхню суму (7x-5y)(7x+5y)=

(розкласти).        =49x-25y.

(Взаємоперевірка, виставлення оцінок, роздача жетонів.)

ІV.Основна частина

1. Раціональні обчислення

Як піднести до квадрату число 99?

(Записи після обговорення : (100-1)2=10000-200+1=9801.)

Подумайте і скажіть, як найраціональніше піднести до квадрату числа 61, 21, 49?

Отже, формули скороченого множення застосовуються для раціональних обчислень. Ще коли? (при спрощенні виразів, при розв’язуванні рівнянь).

Давайте переконаємось у цьому.

2. Застосування формул для спрощення і перетворення виразів

(До дошки визиваю 5 учнів для розв’язування рівнянь.)

Отримавши відповідь, ви повинні записати її у відповідному рядку кросворда. У виділених клітинках ми прочитаємо прізвище відомого математика, фізика, про якого поговоримо на уроці.

  1.  (x-8)2 = x2-16,   2)  (x+7)(x-3)-x2 = 3979,

    x2-16x+64 = x2-16,     x2-3x+7x-21-x2 = 3979,

              -16x = -16-64,             -3x+7x = 3979+21,

              -16x = -80,            4x = 4000,

                   х = 5.              x =1000.

3) 4y2-(2y+5)2=-385,   4) (a+5)(a-1)-a2+4a=315,

4y2-4y2-20y-25=-385,   a2-a+5a-5-a2+4a=315,

-20y= -385+25,    8a=315+5,

-20y= -360,    8a=320,

y=18.     a=40.

5) (x-9)(x+9)-(x-3)2=30,   6) Як називається сума кількох

x2-81-x2+6x-9=30,       одночленів?   (Многочлен)

6x=30+81+9,

6x=120,     7) Рівність, правильна при

x=20.        будь-яких значеннях змінних

   називається...   (Тотожність)

 

п

’я

т

ь

т

и

с

я

ч

а

в

і

с

і

м

н

а

д

ц

я

т

ь

с

о

р

о

к

д

в

а

д

ц

а

т

ь

м

н

о

г

о

ч

л

е

н

т

о

т

о

ж

н

і

с

т

ь

Решта учнів отримує завдання на картках. Після розв’язання вони повинні звірити відповіді.

Картка 1. Знайти три послідовних натуральних числа, якщо добуток першого і другого чисел на 31 менший за квадрат третього.

І – n;  II – (n+1);  III – (n+2).

 n(n+1)+31=(n+2)2,

 n2+n+31=n2+4n+4,   n+1=9+1=10;

 n-4n=4-31,    n+2=9+2=11.

 -3n=-27,

 n=9.    Відповідь: 9;10;11.

Картка 2. Знайти три послідовних парних натуральних числа, якщо квадрат третього числа на 52 більший за добуток першого і другого.

І – 2n; ІІ –(2n+2);  ІІІ – (2n+4).

 (2n+4)2-52=2n(2n+2),

 4n2+16n+16-52=4n2+4n,   2n=6;

16n-4n=52-16,     2n+2=8;

12n=36,      2n+4=12.

n=3.     Відповідь: 6;8;10.

Картка 3. Знайти значення виразу   (5a-10)2-(8-5a)2+4a, якщо а=6.

Якщо а=6, то (5a-10)2-(8-5a)2+4a=25a2-100a-64+80a-25a2+4a=100-16a=100-16 6=100-96=4.

 

Давайте підведемо підсумки. Так де застосовуються формули скороченого множення?

- При розв’язуванні рівнянь.

- При спрощенні виразів.

- При розв’язуванні задач, які приводять до рівнянь.

- Для швидкого та раціонального обчислення.

3. Геометрична інтерпретація

Ще Евклід знав прийом піднесення до квадрату суми двох доданків, який і ми сьогодні з вами вивчаємо. Правда трактував він це з геометричної точки зору.

 a        b

     a    (a+b)2=a2+2ab+b2.

      b

Але чому тільки квадрат двох чисел? І чому тільки до квадрату? А чи не можна знайти метод піднесення до третього , четвертого і більш високих степенів суми трьох, чотирьох і більше доданків? Давайте спробуємо. В зошитах накресліть квадрат і спробуйте записати формулу квадрата суми трьох чисел.

     а     b           c

а

  b     (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

 

  c

 А давайте виведемо цю формулу з точки зору алгебри, кажуть, аналітично:  (a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=    =a2+b2+c2+2ab+2ac+2cb.

 Отже, квадрат тричлена дорівнює сумі квадратів всіх виразів і подвоєних добутків всіх можливих пар цих виразів.

 

4. Піднесення двочлена до степеня

Перейдемо ще до одного узагальнення, початок якому поклали стародавні вавілоняни.

Ви знаєте тотожність (a+b)2=a2+2ab+b2.

Запропонуйте спосіб піднесення двочлена до кубу.  (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2a2b+ab2+b3=

  =a3+3a2b+3ab2+b3.  

Що ви можете сказати за показники числа а? (спадають); числа b? (зростають).

А якщо піднесемо двочлен до четвертого степеня, які будуть показники степенів? (Розписати без коефіцієнтів:

(a+b)4=   a4+  a3b+   a2b2+   ab3+   b4.)

Чого не вистачає в цій формулі? (Коефіцієнтів.) Спробуємо знайти їх.

Давайте запишемо ще два степені суми двох чисел – нульову і першу: (a+b)0=1;

 (a+b)1=a+b.

 Випишіть тільки коефіцієнти, причому розташуйте їх у вигляді трикутника:    1

  1.  1

1  2  1

  1  3  3  1

Можна побачити, що “сторони” цього трикутника складені із одиниць, а числам, які стоять всередині  трикутника, притаманна властивість. Яка? (Кожне число можна подати у вигляді суми чисел, які стоять над ним у попередньому ряду праворуч і ліворуч:

 3=1+2;  2=1+1.)

Спробуйте дописати наступні рядки і  виправити формулу четвертого степеня двочлена:

(a+b)4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

Піднесіть двочлен до п’ятого степеня, використовуючи вказані властивості:  

(a+b)5 =a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.

 Трикутник, складений за вказаним правилом, називають трикутником Паскаля, ім’ям відомого математика, фізика, філософа, письменника Блеза Паскаля (1623 - 1662), сучасника Декарта і Ферма.

Де ви чули це прізвище?

  •  На уроках фізики: тиск вимірюється в паскалях.
  •  На уроках інформатики: існує мова програмування  Паскаль.

Це була дивовижна людина. 12-річним хлопчиком він доводить неймовірний факт: у будь-якому трикутнику сума всіх трьох кутів разом складає два прямі кути (зараз ми сказали б 180о). У 16 років він здійснив справжнє наукове дослідження: відкрив нові властивості конічних перерізів. У 23 роки він завершив виснажливу роботу над першою в світі арифметичною машиною, за допомогою якої можна було виконувати дію додавання та віднімання. Саме завдяки цьому в інформатиці одна з мов програмування названа його іменем. А крім цього роботи з фізики, комбінаторики, філософські роздуми та багато іншого.

Отже, яким чином ми узагальнили формулу квадрата двочлена?

( 1. Навчились виводити формулу квадрата многочлена.

  1.  Навчились підносити двочлен до будь-якого натурального степеня. )

Як піднести двочлен до 3го, 4го, 5го  степенів?

( Знайти коефіцієнти з трикутника Паскаля і використати властивості показників степенів кожного доданка. )

5. Застосування формул

Знайдіть значення виразу c4+4c3d+6c2d2+4cd3+d4, якщо с= 1,8; d=0,2.

Якщо c=1,8; d=0,2, то c4+4c3d+6c2d2+4cd3+d4= (c+d)4= =(1,8+0,2)4=24=16.

V. Домашнє завдання та підсумки уроку

Діти в зошитах записують завдання. Я в цей час виставляю оцінки, враховуючи жетони зароблені дітьми.

Домашнє завдання на переносній дошці :

Піднести до степеня:  1)  (х+2)3;

    2) (а-b)4;

Вивести формулу:  (a+b+c+d)2.

Середній рівень –  тільки написати формулу;

Достатній рівень –  Одним способом;

Високий рівень –  Двома способами.

(a+b)4=(a+b)2(a+b)2=(a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2)=a4+2a3b+a2b2+2a3b+4a2b2+2ab3+a2b2+2ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

Картка 1

 Знайти три послідовних натуральних числа, якщо добуток першого і другого чисел на 31 менший за квадрат третього.

Картка 2

 Знайти три послідовних парних натуральних числа, якщо квадрат третього числа на 52 більший за добуток першого і другого.

Картка 3

 Знайти значення виразу   (5a-10)2-(8-5a)2+4a, якщо а=6.

 

Картка 2

 Знайти три послідовних парних натуральних числа, якщо квадрат третього числа на 52 більший за добуток першого і другого.

Картка 1

 Знайти три послідовних натуральних числа, якщо добуток першого і другого чисел на 31 менший за квадрат третього.

Картка 1

 Знайти три послідовних натуральних числа, якщо добуток першого і другого чисел на 31 менший за квадрат третього.

Картка 2

 Знайти три послідовних парних натуральних числа, якщо квадрат третього числа на 52 більший за добуток першого і другого.

Картка 3

 Знайти значення виразу   (5a-10)2-(8-5a)2+4a, якщо а=6.

 

Картка 3

 Знайти значення виразу   (5a-10)2-(8-5a)2+4a, якщо а=6.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53547. Система показателей оценки имущественного положения организации 13.86 KB
  Основными характеристиками имущественного положения компании являются: сумма хозяйственных средств, доля внеоборотных активов в валюте баланса, доля активной части основных средств, коэффициент износа, коэффициент выбытия, коэффициент обновления.
53548. Квіти - це життя, надія, радість і натхнення 1.31 MB
  Мета: ознайомити учнів з фрагментами життєвого та творчого шляху видатної української художниці Катерини Білокур; розвивати вміння правильно сприймати і розуміти зміст картини; вчити вдало висловлюватися про побачене; розвивати вміння самостійно підбирати кольори і їх відтінки для вдалого відтворення краси квітки у малюнку; розвивати естетичні смаки; виховувати почуття глибокої поваги до творців прекрасного;...
53550. Використання елементів методів проектів та комп’ютерної підтримки на уроках фізики 646.5 KB
  Важливим аспектом застосування інтерактивних технологій є оновлення структури уроків. Кожен вчитель знає, що такі уроки краще запам’ятовуються учнями, викликають зацікавленість і бажання взяти участь в уроці. В нашій роботі ми пропонуємо використання різних форм роботи на уроках математики, фізики та інформатики.
53551. Все про каву 127.5 KB
  Мета: поглибити знання учнів про каву як рослину її біологічні особливості; ознайомитися з хімічним складом кавових зерен їх корисність та шкідливість вплив на організм; розглянути технологію обробки кавових зерен історію поширення кави по світу; ознайомитися з найбільшими країнамивиробниками кави традиції та звичаї які з нею повязані. Розглянути різноманітні рецепти приготування кави цікаві факти про цю рослину та використання кави не за призначенням. Оформлення: назви лабораторій вислови про каву: Говорять все прекрасне в житті...
53552. Показатели оценки рыночной активности 25 KB
  Этот раздел анализа выполняется участниками фондового рынка. Показатели рыночной привлекательности позволяют оценить ожидания рынка относительно доходности и риска ценных бумаг эмитента. Для проведения анализа рыночной привлекательности используется как данные бухгалтерской отчетности...
53554. Казка казкою, а в ній наука 46 KB
  Пріоритетні лінії розвитку: соціально-моральний емоційноціннісний пізнавальний 6й рік життя Тема: Казка казкою а в ній наука Автор: Царенко Вікторія Миколаївна вихователь ДНЗ №8 Золотий півник м. Вихователь. Вихователь. Де ви могли чути ці слова Вихователь.
53555. Додатні та від’ємні числа. Протилежні числа. Координатний промінь 923.5 KB
  Протилежні числа. Мета модуля: сформувати уявлення учнів про зміст понять додатні числа від'ємні числа протилежні числа зміст поняття координати точки на координатній прямій; виробити вміння: відрізняти додатні числа від від'ємних й виконувати прості вправи що передбачають таку класифікацію; за готовими рисунками визначити координати вказаних точок звіряток та будувати на координатній прямій точки з вказаними координатами; розвивати логічне мислення та пізнавальну активність учнів при розвязуванні вправ. Розвязування...