53027

Формули скороченого множення та узагальнення на основі квадрата двочлена

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета: Узагальнити і систематизувати знання, вміння та навички у застосуванні формул квадрата двочлена і різниці квадратів. Вивести формули квадрата тричлена, куба двочлена. Розвивати вміння узагальнювати, робити висновки. Сприяти розвитку логічного мислення, математичної мови.

Украинкский

2014-02-21

908 KB

1 чел.

КОНСПЕКТ УРОКУ З АЛГЕБРИ, 7 КЛАС

Учитель вищої категорії Старостенко С.Б.

Тема: Формули скороченого множення та узагальнення на основі квадрата двочлена.

Мета: Узагальнити і систематизувати знання, вміння та навички у застосуванні формул квадрата двочлена і різниці квадратів. Вивести формули квадрата тричлена, куба двочлена. Розвивати вміння узагальнювати, робити висновки. Сприяти розвитку логічного мислення, математичної мови.

Обладнання: Таблиці, заготовлена сітка кросворду.

Хід уроку

І. Оргмоменти

Добрий день! Сідайте. Я рада сьогодні бачити ваші допитливі очі, чути ваші відповіді та часом непрості питання, разом розгадувати таємниці математики. Сьогодні на 45 хвилин ми поринемо у чудовий, незвичайний світ науки, яка зачаровує, дивує, манить. Науки, яка оточена містикою, магією. Звісно, це -  математика.

Першим поштовхом до пізнання видатний грецький філософ Арістотель вважав здивування. Для первісної людини здивувань було надто багато, але минав час, проходили епохи, набувався досвід, здивувань меншало, з’являлись люди, які на дозвіллі могли цілеспрямовано займатися спогляданням. Це були жерці при культових храмах. Вони першими помічали закономірності, пов’язані зі зміною дня і ночі, фаз Місяця, положення сузір’їв на  небі. Фіксація цих закономірностей потребувала відповідної цифрової символіки. Їм зазвичай давались міфічні пояснення. Так з’явилась числова містика.

І ось сьогодні ми спробуємо стати тими першопроходцями, шукачами закономірностей, які серед звичайного знаходять справді дивовижне, поринають у світ цифр, переконуючись у його магічності і логічності.

Отож, тема сьогоднішнього уроку: “Формули скороченого множення та узагальнення на основі квадрата двочлена”.

Мета уроку:1. Повторити формули скороченого множення.

2. Повторити їх застосування для спрощення і перетворення виразів.

 3. Навчити виводити формули:  (a+b+c)2;

       (a+b)3;

       (a+b)4;

       (a+b)5;

4. Розглянути застосування вказаних формул.

Ваше завдання не запам’ятовувати ці формули, а як казав видатний фізик і математик Ейнштейн, зрозуміти і осмислити процес їх одержання.

(Записати число, класна робота)

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Звірте за дошкою правильність розв’язання домашнього завдання та оцініть його.

(Бевз С.р. В.1,2, ст. 55-56.)

І. 1) (х+3)22+6х+9;   ІІ. 1) (m-5)2=m2-10m+25;

 (a2-c)2=a4-2a2c+c2;    (x2-z)2=x4-2x2z+z2;

   2) (ax+b2)2=a2x2+2axb2+b4;       2) (cx+2b)2=c2x2+4cxb+4b2;

(-1+2c3)2=4c6-4c3+1;    (-2+3c)2=9c2-12c+4;

   3) 12ab-(2a+3b)2=12ab-4a2-       3) 30xc-(3x+5c)2=30xc-9x2-

 -12ab-9b2= -4a2-9b2;    -30xc-25c2= -9x2-25c2;

   4)  (х-3)2 =(х-5)(х+4);                           4)  (х-2)2=(х+3)(х-4);

    х2-6х+9=х2+4х-5х-20;                         х2-4х+4=х2-4х+3х-12;

    -6х-4х+5х= -20-9;                                -4х+4х-3х= -12-4;

     -5х= -29;                                              -3х= -16;

      х= 5,8.                                                   х= 5 .  

Додаткове завдання.

Довести, що сума   ділиться на 11.

=10a+b;     =10b+a.

+ = 10a+b+10b+a=11a+11b

 (11a+11b):11, бо 11а: 11, 11b: 11

Отже, (+ ) : 11.

За результатами перевірки учням роздаються кольорові жетони:

+ жовтий колір   без помилок;

зелений колір   недолік або 1 помилка;

 червоний колір  2-3 грубих помилки;

  •    білий колір  неправильно виконане завдання.

ІІІ. Актуалізація опорних знань

1) Що записано на дошці? (х-2)(х+2);   (5-ав)2;

    (у+7)(7-у);   (4х-3у)2;

   (х+9)2;    (а2-в3)2.

2) Сформулюйте відповідні правила.

3) Подайте вирази у вигляді многочлена.

4) Прочитайте дані вирази: 2аm;

     3a2b;

     (x+y)3;

     x3+y3.

5) Математичний диктант. Запишіть у вигляді виразів:

1.Суму чисел  2а і 3в.      2а+3в;

2. Добуток чисел а і в.      ав;

3. Подвоєний добуток чисел c i d.    2cd;

4. Різницю квадратів чисел a i b.    a2-b2;

5. Квадрат суми чисел m i n.     (m+n)2;

6. Квадрат різниці чисел 2x i 5y.    (2x-5y)2;

7. Різницю кубів чисел a i b.          a3-b3;

8. Куб різниці чисел m i n.     (m-n)3;

9. Квадрат суми чисел 5х і 4у (розкласти).  (5x+4y)2=

         25x2+40xy+16y2;

 10. Добуток різниці чисел 7х і 5у на їхню суму (7x-5y)(7x+5y)=

(розкласти).        =49x-25y.

(Взаємоперевірка, виставлення оцінок, роздача жетонів.)

ІV.Основна частина

1. Раціональні обчислення

Як піднести до квадрату число 99?

(Записи після обговорення : (100-1)2=10000-200+1=9801.)

Подумайте і скажіть, як найраціональніше піднести до квадрату числа 61, 21, 49?

Отже, формули скороченого множення застосовуються для раціональних обчислень. Ще коли? (при спрощенні виразів, при розв’язуванні рівнянь).

Давайте переконаємось у цьому.

2. Застосування формул для спрощення і перетворення виразів

(До дошки визиваю 5 учнів для розв’язування рівнянь.)

Отримавши відповідь, ви повинні записати її у відповідному рядку кросворда. У виділених клітинках ми прочитаємо прізвище відомого математика, фізика, про якого поговоримо на уроці.

  1.  (x-8)2 = x2-16,   2)  (x+7)(x-3)-x2 = 3979,

    x2-16x+64 = x2-16,     x2-3x+7x-21-x2 = 3979,

              -16x = -16-64,             -3x+7x = 3979+21,

              -16x = -80,            4x = 4000,

                   х = 5.              x =1000.

3) 4y2-(2y+5)2=-385,   4) (a+5)(a-1)-a2+4a=315,

4y2-4y2-20y-25=-385,   a2-a+5a-5-a2+4a=315,

-20y= -385+25,    8a=315+5,

-20y= -360,    8a=320,

y=18.     a=40.

5) (x-9)(x+9)-(x-3)2=30,   6) Як називається сума кількох

x2-81-x2+6x-9=30,       одночленів?   (Многочлен)

6x=30+81+9,

6x=120,     7) Рівність, правильна при

x=20.        будь-яких значеннях змінних

   називається...   (Тотожність)

 

п

’я

т

ь

т

и

с

я

ч

а

в

і

с

і

м

н

а

д

ц

я

т

ь

с

о

р

о

к

д

в

а

д

ц

а

т

ь

м

н

о

г

о

ч

л

е

н

т

о

т

о

ж

н

і

с

т

ь

Решта учнів отримує завдання на картках. Після розв’язання вони повинні звірити відповіді.

Картка 1. Знайти три послідовних натуральних числа, якщо добуток першого і другого чисел на 31 менший за квадрат третього.

І – n;  II – (n+1);  III – (n+2).

 n(n+1)+31=(n+2)2,

 n2+n+31=n2+4n+4,   n+1=9+1=10;

 n-4n=4-31,    n+2=9+2=11.

 -3n=-27,

 n=9.    Відповідь: 9;10;11.

Картка 2. Знайти три послідовних парних натуральних числа, якщо квадрат третього числа на 52 більший за добуток першого і другого.

І – 2n; ІІ –(2n+2);  ІІІ – (2n+4).

 (2n+4)2-52=2n(2n+2),

 4n2+16n+16-52=4n2+4n,   2n=6;

16n-4n=52-16,     2n+2=8;

12n=36,      2n+4=12.

n=3.     Відповідь: 6;8;10.

Картка 3. Знайти значення виразу   (5a-10)2-(8-5a)2+4a, якщо а=6.

Якщо а=6, то (5a-10)2-(8-5a)2+4a=25a2-100a-64+80a-25a2+4a=100-16a=100-16 6=100-96=4.

 

Давайте підведемо підсумки. Так де застосовуються формули скороченого множення?

- При розв’язуванні рівнянь.

- При спрощенні виразів.

- При розв’язуванні задач, які приводять до рівнянь.

- Для швидкого та раціонального обчислення.

3. Геометрична інтерпретація

Ще Евклід знав прийом піднесення до квадрату суми двох доданків, який і ми сьогодні з вами вивчаємо. Правда трактував він це з геометричної точки зору.

 a        b

     a    (a+b)2=a2+2ab+b2.

      b

Але чому тільки квадрат двох чисел? І чому тільки до квадрату? А чи не можна знайти метод піднесення до третього , четвертого і більш високих степенів суми трьох, чотирьох і більше доданків? Давайте спробуємо. В зошитах накресліть квадрат і спробуйте записати формулу квадрата суми трьох чисел.

     а     b           c

а

  b     (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

 

  c

 А давайте виведемо цю формулу з точки зору алгебри, кажуть, аналітично:  (a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=    =a2+b2+c2+2ab+2ac+2cb.

 Отже, квадрат тричлена дорівнює сумі квадратів всіх виразів і подвоєних добутків всіх можливих пар цих виразів.

 

4. Піднесення двочлена до степеня

Перейдемо ще до одного узагальнення, початок якому поклали стародавні вавілоняни.

Ви знаєте тотожність (a+b)2=a2+2ab+b2.

Запропонуйте спосіб піднесення двочлена до кубу.  (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2a2b+ab2+b3=

  =a3+3a2b+3ab2+b3.  

Що ви можете сказати за показники числа а? (спадають); числа b? (зростають).

А якщо піднесемо двочлен до четвертого степеня, які будуть показники степенів? (Розписати без коефіцієнтів:

(a+b)4=   a4+  a3b+   a2b2+   ab3+   b4.)

Чого не вистачає в цій формулі? (Коефіцієнтів.) Спробуємо знайти їх.

Давайте запишемо ще два степені суми двох чисел – нульову і першу: (a+b)0=1;

 (a+b)1=a+b.

 Випишіть тільки коефіцієнти, причому розташуйте їх у вигляді трикутника:    1

  1.  1

1  2  1

  1  3  3  1

Можна побачити, що “сторони” цього трикутника складені із одиниць, а числам, які стоять всередині  трикутника, притаманна властивість. Яка? (Кожне число можна подати у вигляді суми чисел, які стоять над ним у попередньому ряду праворуч і ліворуч:

 3=1+2;  2=1+1.)

Спробуйте дописати наступні рядки і  виправити формулу четвертого степеня двочлена:

(a+b)4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

Піднесіть двочлен до п’ятого степеня, використовуючи вказані властивості:  

(a+b)5 =a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.

 Трикутник, складений за вказаним правилом, називають трикутником Паскаля, ім’ям відомого математика, фізика, філософа, письменника Блеза Паскаля (1623 - 1662), сучасника Декарта і Ферма.

Де ви чули це прізвище?

  •  На уроках фізики: тиск вимірюється в паскалях.
  •  На уроках інформатики: існує мова програмування  Паскаль.

Це була дивовижна людина. 12-річним хлопчиком він доводить неймовірний факт: у будь-якому трикутнику сума всіх трьох кутів разом складає два прямі кути (зараз ми сказали б 180о). У 16 років він здійснив справжнє наукове дослідження: відкрив нові властивості конічних перерізів. У 23 роки він завершив виснажливу роботу над першою в світі арифметичною машиною, за допомогою якої можна було виконувати дію додавання та віднімання. Саме завдяки цьому в інформатиці одна з мов програмування названа його іменем. А крім цього роботи з фізики, комбінаторики, філософські роздуми та багато іншого.

Отже, яким чином ми узагальнили формулу квадрата двочлена?

( 1. Навчились виводити формулу квадрата многочлена.

  1.  Навчились підносити двочлен до будь-якого натурального степеня. )

Як піднести двочлен до 3го, 4го, 5го  степенів?

( Знайти коефіцієнти з трикутника Паскаля і використати властивості показників степенів кожного доданка. )

5. Застосування формул

Знайдіть значення виразу c4+4c3d+6c2d2+4cd3+d4, якщо с= 1,8; d=0,2.

Якщо c=1,8; d=0,2, то c4+4c3d+6c2d2+4cd3+d4= (c+d)4= =(1,8+0,2)4=24=16.

V. Домашнє завдання та підсумки уроку

Діти в зошитах записують завдання. Я в цей час виставляю оцінки, враховуючи жетони зароблені дітьми.

Домашнє завдання на переносній дошці :

Піднести до степеня:  1)  (х+2)3;

    2) (а-b)4;

Вивести формулу:  (a+b+c+d)2.

Середній рівень –  тільки написати формулу;

Достатній рівень –  Одним способом;

Високий рівень –  Двома способами.

(a+b)4=(a+b)2(a+b)2=(a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2)=a4+2a3b+a2b2+2a3b+4a2b2+2ab3+a2b2+2ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

Картка 1

 Знайти три послідовних натуральних числа, якщо добуток першого і другого чисел на 31 менший за квадрат третього.

Картка 2

 Знайти три послідовних парних натуральних числа, якщо квадрат третього числа на 52 більший за добуток першого і другого.

Картка 3

 Знайти значення виразу   (5a-10)2-(8-5a)2+4a, якщо а=6.

 

Картка 2

 Знайти три послідовних парних натуральних числа, якщо квадрат третього числа на 52 більший за добуток першого і другого.

Картка 1

 Знайти три послідовних натуральних числа, якщо добуток першого і другого чисел на 31 менший за квадрат третього.

Картка 1

 Знайти три послідовних натуральних числа, якщо добуток першого і другого чисел на 31 менший за квадрат третього.

Картка 2

 Знайти три послідовних парних натуральних числа, якщо квадрат третього числа на 52 більший за добуток першого і другого.

Картка 3

 Знайти значення виразу   (5a-10)2-(8-5a)2+4a, якщо а=6.

 

Картка 3

 Знайти значення виразу   (5a-10)2-(8-5a)2+4a, якщо а=6.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16295. Функції в РНР 91 KB
  Лабораторна работа №3 Функції Мета роботи: ознайомитися з синтаксисом опису функцій РНР. Теоретичні відомості По синтаксису опис функцій РНР досить близький до ідеальної концепції... Ось декілька основних достоїнств цієї концепції: ви можете використов...
16296. Установка Apache, PHP, MySQL 58.33 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 Установка Apache PHP MySQL Принципы работы Интернета Протоколы передачи данных Как и любая компьютерная сеть Интернет основан на множестве компьютеров соединенных друг с другом проводами через спутниковый канал связи и т. д. Однако как...
16297. Объектно-ориентированное программирование на РНР 44.84 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8 Объектноориентированное программирование на РНР PHP и ООП. Хотя РНР обладает общими объектноориентированными возможностями он не является полноценным ООязыком например таким как C или Java. В частности в РНР не поддерживаются следующие объ...
16298. Функции работы со строками 21.04 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 Функции работы со строками Функции отрезания пробелов string trimstring stВозвращает копию st только с удаленными ведущими и концевыми пробельными символами. string ltrimstring stВозвращает копию st только с удаленными пробелами в начале строки. st...
16299. РАБОТА С ФАЙЛАМИ в РНР 41.9 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 РАБОТА С ФАЙЛАМИ В большинстве случаев включая и пример рассмотренный в предыдущей лабораторной работе данные необходимо сохранять и загружать для последующего использования. Рассмотрим как созданную в примере к предыдущей лабораторной р
16300. Многократное использование кода в PHP 85.48 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 Многократное использование кода 1. Использование оператора requireОператор require позволяет нам разбить текст программы на несколько файлов. Его формат такой:require имя_файла;При запуске именно при запуске а не при исполнении программы ин
16301. Институт правоотношений между родителями и детьми по семейному законодательству РФ 434.5 KB
  Рассмотреть понятие и сущность правоотношений как правового института, Проанализировать сущность и значение семьи и семейных правоотношений, Изучить особенности, структуру и содержание правоотношений между родителями и детьми. Выявить основания возникновения и прекращения правоотношений между детьми и родителями...
16302. Административное право. Органы исполнительной власти 31.33 KB
  Понятие «административное право» употребляется для обозначения отрасли права России, имеющей предметом (объектом) регулирования общественные отношения, складывающиеся в сфере государственного управления, организации и деятельности органов исполнительной власти, а также внутриорганизационные отношения, возникающие в других государственных органах
16303. Технико-экономический проект участка первичной сети 352.38 KB
  Курсовая работа По дисциплине: Менеджмент в телекоммуникациях Тема: Техникоэкономический проект участка первичной сети Введение Первичная сеть представляет собой совокупность магистральной первичной сети внутризоновой первичной сети и местной первич...