53066

Показникова функція, її властивості та графік

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Сойер Мета: розглянути фізичні моделі пов‘язані з процесами органічної зміни величин що дозволяють дати означення показникової функції перелічити її властивості та побудувати її графік; розширювати світогляд учнів; виховувати інтерес до вивчення математики. Означення показникової функції. Властивості показникової функції. Побудова графіка показникової функції.

Украинкский

2014-02-21

345.5 KB

61 чел.

Урок-лекція на тему "Показникова функція, її властивості та графік"

                                                          Узагальнення – це, мабуть, найлегший найочевидніший шлях розширення

математичних знань.

                                                                                                            В.Сойер

Мета: розглянути фізичні моделі, пов‘язані з процесами органічної зміни величин, що дозволяють дати означення показникової функції, перелічити її властивості та побудувати її графік; розширювати світогляд учнів; виховувати інтерес до вивчення математики.

Обладнання: плакати з графіками показникових функцій.

План лекції.

1. Вступ. Приклади процесів, які мають спільну назву.

2. Означення показникової функції.

3. Властивості показникової функції.

4. Побудова графіка показникової функції.

5. Висновки.

1. В природі і техніці часто зустрічаються процеси, які мають спільну назву процесів органічної зміни величин. Ця назва пов‘язана із тим, що такі процеси часто зустрічаються в біології. Значна властивість цих процесів полягає в тому, що за однакові проміжки часу значення величини змінюється в одному і тому ж самому відношенні. Наведемо приклади, в яких величини змінюються по вказаному вище закону.

Приклад 1. При радіоактивному розпаді маса речовини змінюється по наступному закону: за рівні проміжки часу вона змінюється в одному і тому ж відношенні. Процеси, в яких величина зменшується за рівні проміжки часу в одному і тому ж відношенні, називають процесами органічного спадання.

Приклад 2. Якщо колонія бактерій має достатній простір і достатню кількість поживних речовин, то її маса за рівні проміжки часу збільшується в одному і тому ж відношенні. В таких випадках говорять про процеси органічного росту.

Якщо в початковий момент часу (тобто t=0) значення величини дорівнювало 1, а в момент часу t=1 воно дорівнювало а, то в момент часу t=2 величина буде мати значения а2, а в момент часу t=3 – значения а3, …, в момент часу t=n – зачерня аn.Але масу радіоактивної речовини або колонії бактерій можна спостерігати і в інші моменти часу, наприклад через 3, 2 одиниці часу після початку спостерігання. Можна поставити запитання і про те, яка була маса за деякий час до початку спостерігання. Умовимося позначати цю кількість в момент часу t через аt незалежно від того, чи є  t натуральним числом чи ні. Таким чином, значення t може бути цілим, дробовим, ірраціональним, додатнім, нульовим та від‘ємним (в останньому випадку мова йде про моменти часу. Що передували початку спостерігання).

2. У всіх розібраних прикладах значення виразу а t при всіх значеннях t додатнє.

При а>1 значення а t збільшується (як у випадку розмноження бактерій), а при 0< а<1    значення а t зменшується з ростом t (як у випадку радіоактивного розпаду).

Оскільки проміжки часу [0;T] і [t0; t0+T] мають однакову довжину T, значення а t на протязі цих проміжків часу змінюються в одному і тому ж самому відношенні.

Тому справедлива пропорція , із якої випливає, що аT*at0=a0*at0+T. Але a0=1, тому справедлива рівність аT*at0= at0+T.

Отже, для описання таких процесів, як радіоактивний розпад або розмноження бактерій, потрібна функція ах, де а>0.

Означенная. Показниковою функцією називається функція виду у=ах, де а>0 і а1.

Наприклад, у=2х, у=х, у=х, у=х – показникові функції.

3. Властивості показникової функції.

1) Область визначення: хR.         D(ax)=R

2) Область значень: у>0                   Е(ax)=(0;+)

3) Фнкція ні парна ні непарна.

4) Вірні рівності а1= а і а0=1.

5) Якщо  а>0, то функція ах зростає на всій області визначення; якщо     0< а<1, то вона спадає на всій області визначення.

6)  у>0 при всіх значеннях хR.

7) Найбільшого і найменшого значень функція не має.

8) Для будь-яких дійсних значень u і v (а>0; b>0) виконуються рівності:                                     au*av=au+v       (au)v=auv

(a*b)u=au*vu     

4. Побудову графіка показникової функції можна вивчати таким чином.

1) Нехай з початку спостережень маса колонії бактерій дорівнювала 1 г, причому за кожну наступну годину вона зростала в 2 рази. Побудуємо графік зміни маси m в залежності від часу х.

Залежність між масою і часом виражається формулою m=2х. Для побудови графіка обчислимо масу колонії через 1, 2, 3, 4 години до початку і після початку спостереження.

Дані обчислювання занесемо в таблицю 1, вважаючи, що час до початку спостереження був відємним.

Таблиця 1.

х

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2х

1

2

4

8

16

Побудуємо точки А1(-4; );. А2(-3; ); А3(-2; );…, А9(4;16).

Ми бачимо, що одержані точки лягають на плавну криву (рис.1). Зєднуючи ці точки одержуємо ескіз графіка функції 2х (рис.2).

На цьому графіку наочно видно уже відомі властивості цієї функції: із зростанням х значення функції зростають, при чому при достатньо великих значеннях х значення 2х стають як завгодно великими (наприклад, 210=1024, 220=1048576 і т.д.).

Схожі на вигляд графіки функцій ах при будь-якій основі а, більшій за 1. Всі графіки проходять через точку А(0;1).

2) Маса радіоактивної речовини змінюється по закону m=m0()t. Побудуємо графік зміни маси радіоактивної речовини в часі, вважаючи, що початкова маса m0=1 г. 

Для цього використаємо рівність . Ця рівність показує, що таблицю значень функції  одержуємо із таблиці значень функції 2х зміною знаків у першому рядку (табл.2).

Таблиця 2.

х

4

3

2

1

0

- 1

- 2

- 3

-4

1

2

4

8

16

Так як точки А(х;у) і В(-х;у) симетричні відносно осі ординат, то графік функції  симетричний відносно цієї осі графіку функції 2х  (рис.3).

По рис.3 бачимо, що всі значення також додатні, але ці значення зменшуються при збільшенні х. Графік функції також проходить через точку А(0;1).

Схожий вигляд мають графіки показникової функції ах при 0< а<1.

На рис.4 зображено графіки функцій  та . Бачимо, що якщо 0<a<b<1, то на додатній півосі вище йде графік функції ах, а на відємній півосі – графік функції bх.

5. Отже, розглянута нами теорія дає можливість для розвязування текстових задач, показникових рівнянь та нерівностей. Вкажемо інші випадки органічної зміни величин:

а) при проходженні світла через мутне середовище сила світла на проміжках даної довжини зменшується в одному і тому самому відношенні;

б) тиск повітря при даній різниці висот зменшується в одному і тому самому відношенні;

в) швидкість тіла, що рухається в середовищі, опір якого пропорційний швидкості, за даний проміжок часу зменшується в одному і тому самому відношенні, та багато інших.

Графік показникової функції називають експонентою, а процеси, які можна описати функцією виду у=ах., експоненціальними процесами.

Домашнє завдання. Зап. 1-5 с.170 – усно;

Впр. 2, 6 (5-8), 7 (5-8) с.171 – письмово

(Є П. Нелін, ОЄ. Долгова. Алгебра.11 клас: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів: академічний рівень, профільний рівень.– Х.Гімназія, 2011).

Використання показникової функції під час вивчення явищ навколишнього середовища

Багато процесів у природі і техніці математично виражаються за допомогою показникової функції. У підручнику (Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-Еко, 2001) розглядаються:

- задача про радіоактивний розпад;

- задача про зміну атмосферного тиску;

- задача про розмноження бактерій;

- задача про вакуумування;

- задача про приріст деревини.

Пропонується ще декілька задач про експоненціальні процеси:

- задача про розмноження водяних лілій;

- задача про банківський вклад;

- задача про приріст населення.

Дійсні функції з законом відповідності виду с*ах називаються експоненціальними функціями. Розглянемо процеси, які характеризують експоненціальне зростання.

Експоненціальні процеси

1. Припустимо, що в деякому великому ставку щоденно подвоюється кількість водяних лілій. Якщо спочатку було 5 водяних лілій, скільки їх буде через 1, 2, 3, 5, 10 днів? Подай загальну формулу для кількості Аn водяних лілій через n днів. Скільки б їх стало через 30, 60 днів, якби ставок був достатньо великим?

Розвязання.

Через 1 день: 5*2 = 10 = А1.                          Через 2 дні: 5*2*2 = 20 = А2.

Через 3 дні: 5*2*2*2 = 40 = А3                                    Через 5 днів: 5*25 = 160 = А5.

Через 10 днів: 5*210 = 5120 = А10                   Через n днів: 5*2 = 10 n = А nє

А30  5.37*109. А60  5.76*1018.

2. Капітал К0 вкладено на 15 % річного прибутку. На яку суму зріс К0 через 1, 2, 3, … n років, якщо прибуток щорічно додається до капіталу, а тоді разом опроцентовується? Для К0 = 1000 подай графічно відповідну функцію.

Розвязання.

Через 1 рік:  К0 + 0.15 К0 = (1+0.15) К0 = 1.15 К0 = К1

Через 2 роки:  К1 + 0.15 К1 = (1+0.15) (1+0.15) К0 = (1+0.15) 2 К0 = К2

Через 3 роки:  К2 + 0.15 К2 = (1+0.15)3 К0 = 1.15 К0 = К3

Через 5 років:  (1+0.15)5 К0 = К5

При К0 = 1000: К1 = 1150; К2 = 1322.5;  К3 = 1520; К5 = 2011.4;                      К n = 1000*1.15 n.

3. Нехай кількість населення деякої держави зростає експоненціально, причому за рік приріст становить 8%. Скільки населення буде через 5, 6, 10, 2, 3 років, якщо сьогодні воно становить 8.5 мільйонів?

Розвязання.

Через 5 років: (1+0.08)5*8.5*106 = 12.49*106;

Через 6 років: (1+0.08)6*8.5*106 = 13.49*106;

Через 10 років: (1+0.08)10*8.5*106 = 18.35*106;

Через 2 роки: (1+0.08)2*8.5*106 = 1.17*8.5*106 = 9.95*106;

Через 3 роки: (1+0.08)3*8.5*106 = 1.26*8.5*106 = 10.71*106;

Через 2.5 роки: (1.17+(1.26-1.17))*8.5*106 = 10.32*106;

Через 4 роки: (1+0.08)4*8.5*106 = 1.36*8.5*106 = 11.56*106;

Через 3.5 роки: (1.26+(1.36-1.26))*8.5*106 = 11.13*106.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78757. Я люблю Україну 144 KB
  Мета: навчальна – поглибити знання учнів про Україну, її символи, традиції, впроваджувати елементи естетичного виховання культури спілкування; розвивальна – розвивати українське мовлення учнів, культуру поведінки; уміння приймати рішення в нестандартних ситуаціях, колективну творчість...
78758. Сценарий выступления 11 класса на выпускном вечере 70.5 KB
  Есть за домами за лесами Маленькая страна. Маленькая страна Маленькая страна Каждый расскажет и покажет Вот она вот она На сцену поднимается ещё одна выпускница девочки берутся за руки и вместе поют вторую часть припева.
78759. ИЗ СВЕТЛЯНДИИ ПРИВЕТ – ЭТО СКАЗКА ПРО БЮДЖЕТ 38 KB
  Голос ребёнка: За горами, за лесами есть чудесная страна! И Светляндским королевством называется она. И живут в том королевстве человечки – светлячки: Дети, тётеньки и дяди, бабушки и старички! Во главе же государства стоит дяденька король. И зовут его Светлун, а фамилия Второй!
78760. Книга та комп’ютер – наші друзі 112 KB
  Адже це дійсно так. Особливо ці слова, сказані англійським прем’єр міністром у минулому столітті, є актуальними сьогодні. У наш час стрімкого розвитку інноваційних технологій дуже важливо володіти своєчасною та актуальною інформацією. З кожним роком обсяг інформації зростає, також скорочується час для пошуку інформації.
78761. Хай сонцю і квітам всміхаються діти 717.5 KB
  Організаційна робота. Прийом дітей в пришкільний табір. Знайомство з вожатими та дітьми Знайомство з вожатими. Хто запам’ятав, як звуть вожатих? Знайомство-жарт з дітьми. З нами ви вже познайомились. А тепер ми хочемо познайомитись з вами. Я рахую до трьох, на рахунок «три» кожний викрикує своє ім’я.
78762. У Марійки Підгірянки, мов із золота співанки 80 KB
  Однак незважаючи на її велике бажання вчитися батько - незаможний лісник не міг дати освіту всім дітям тому в сімейному колі вирішили що вчитися буде син а дівчатка займатимуться хатньою роботою. Допомагав дочці батько котрий досконало володів німецькою мовою добре знав математику біологію.
78763. ЛІТЕРАТУРНИЙ ВЕЧІР ЗА ТВОРАМИ ГРИЦЬКА БОЙКА 73 KB
  Добрий день, дорогі гості. Ми дуже раді, що ви прийшли на наше свято. Ми зможемо сьогодні розвеселити вас і зробити вам приємне, значит наша праця не буде марною. Як відомо, кожна людина ставить перед собою завдання і намагається його виконати.
78764. Бармен. Особливості приготування коктейлів 1.39 MB
  Професію бармена відносять до типу професій «людина — людина», тому що головним предметом праці для неї є людина, а головною метою праці цієї професії є оперативне обслуговування відвідувачів та розрахунок з ними.
78765. Конструювання радіоелектронного засобу 674.24 KB
  Коли на комутатор телефонної станції надходить виклик він повідомляє про вхідний дзвінок абонента шляхом подачі змінного струму на дроти що ведуть до викликається телефонному апарату. У режимі очікування коли трубка лежить на важелі спеціальний пристрій зване конденсатором...