53066

Показникова функція, її властивості та графік

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Сойер Мета: розглянути фізичні моделі пов‘язані з процесами органічної зміни величин що дозволяють дати означення показникової функції перелічити її властивості та побудувати її графік; розширювати світогляд учнів; виховувати інтерес до вивчення математики. Означення показникової функції. Властивості показникової функції. Побудова графіка показникової функції.

Украинкский

2014-02-21

345.5 KB

65 чел.

Урок-лекція на тему "Показникова функція, її властивості та графік"

                                                          Узагальнення – це, мабуть, найлегший найочевидніший шлях розширення

математичних знань.

                                                                                                            В.Сойер

Мета: розглянути фізичні моделі, пов‘язані з процесами органічної зміни величин, що дозволяють дати означення показникової функції, перелічити її властивості та побудувати її графік; розширювати світогляд учнів; виховувати інтерес до вивчення математики.

Обладнання: плакати з графіками показникових функцій.

План лекції.

1. Вступ. Приклади процесів, які мають спільну назву.

2. Означення показникової функції.

3. Властивості показникової функції.

4. Побудова графіка показникової функції.

5. Висновки.

1. В природі і техніці часто зустрічаються процеси, які мають спільну назву процесів органічної зміни величин. Ця назва пов‘язана із тим, що такі процеси часто зустрічаються в біології. Значна властивість цих процесів полягає в тому, що за однакові проміжки часу значення величини змінюється в одному і тому ж самому відношенні. Наведемо приклади, в яких величини змінюються по вказаному вище закону.

Приклад 1. При радіоактивному розпаді маса речовини змінюється по наступному закону: за рівні проміжки часу вона змінюється в одному і тому ж відношенні. Процеси, в яких величина зменшується за рівні проміжки часу в одному і тому ж відношенні, називають процесами органічного спадання.

Приклад 2. Якщо колонія бактерій має достатній простір і достатню кількість поживних речовин, то її маса за рівні проміжки часу збільшується в одному і тому ж відношенні. В таких випадках говорять про процеси органічного росту.

Якщо в початковий момент часу (тобто t=0) значення величини дорівнювало 1, а в момент часу t=1 воно дорівнювало а, то в момент часу t=2 величина буде мати значения а2, а в момент часу t=3 – значения а3, …, в момент часу t=n – зачерня аn.Але масу радіоактивної речовини або колонії бактерій можна спостерігати і в інші моменти часу, наприклад через 3, 2 одиниці часу після початку спостерігання. Можна поставити запитання і про те, яка була маса за деякий час до початку спостерігання. Умовимося позначати цю кількість в момент часу t через аt незалежно від того, чи є  t натуральним числом чи ні. Таким чином, значення t може бути цілим, дробовим, ірраціональним, додатнім, нульовим та від‘ємним (в останньому випадку мова йде про моменти часу. Що передували початку спостерігання).

2. У всіх розібраних прикладах значення виразу а t при всіх значеннях t додатнє.

При а>1 значення а t збільшується (як у випадку розмноження бактерій), а при 0< а<1    значення а t зменшується з ростом t (як у випадку радіоактивного розпаду).

Оскільки проміжки часу [0;T] і [t0; t0+T] мають однакову довжину T, значення а t на протязі цих проміжків часу змінюються в одному і тому ж самому відношенні.

Тому справедлива пропорція , із якої випливає, що аT*at0=a0*at0+T. Але a0=1, тому справедлива рівність аT*at0= at0+T.

Отже, для описання таких процесів, як радіоактивний розпад або розмноження бактерій, потрібна функція ах, де а>0.

Означенная. Показниковою функцією називається функція виду у=ах, де а>0 і а1.

Наприклад, у=2х, у=х, у=х, у=х – показникові функції.

3. Властивості показникової функції.

1) Область визначення: хR.         D(ax)=R

2) Область значень: у>0                   Е(ax)=(0;+)

3) Фнкція ні парна ні непарна.

4) Вірні рівності а1= а і а0=1.

5) Якщо  а>0, то функція ах зростає на всій області визначення; якщо     0< а<1, то вона спадає на всій області визначення.

6)  у>0 при всіх значеннях хR.

7) Найбільшого і найменшого значень функція не має.

8) Для будь-яких дійсних значень u і v (а>0; b>0) виконуються рівності:                                     au*av=au+v       (au)v=auv

(a*b)u=au*vu     

4. Побудову графіка показникової функції можна вивчати таким чином.

1) Нехай з початку спостережень маса колонії бактерій дорівнювала 1 г, причому за кожну наступну годину вона зростала в 2 рази. Побудуємо графік зміни маси m в залежності від часу х.

Залежність між масою і часом виражається формулою m=2х. Для побудови графіка обчислимо масу колонії через 1, 2, 3, 4 години до початку і після початку спостереження.

Дані обчислювання занесемо в таблицю 1, вважаючи, що час до початку спостереження був відємним.

Таблиця 1.

х

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2х

1

2

4

8

16

Побудуємо точки А1(-4; );. А2(-3; ); А3(-2; );…, А9(4;16).

Ми бачимо, що одержані точки лягають на плавну криву (рис.1). Зєднуючи ці точки одержуємо ескіз графіка функції 2х (рис.2).

На цьому графіку наочно видно уже відомі властивості цієї функції: із зростанням х значення функції зростають, при чому при достатньо великих значеннях х значення 2х стають як завгодно великими (наприклад, 210=1024, 220=1048576 і т.д.).

Схожі на вигляд графіки функцій ах при будь-якій основі а, більшій за 1. Всі графіки проходять через точку А(0;1).

2) Маса радіоактивної речовини змінюється по закону m=m0()t. Побудуємо графік зміни маси радіоактивної речовини в часі, вважаючи, що початкова маса m0=1 г. 

Для цього використаємо рівність . Ця рівність показує, що таблицю значень функції  одержуємо із таблиці значень функції 2х зміною знаків у першому рядку (табл.2).

Таблиця 2.

х

4

3

2

1

0

- 1

- 2

- 3

-4

1

2

4

8

16

Так як точки А(х;у) і В(-х;у) симетричні відносно осі ординат, то графік функції  симетричний відносно цієї осі графіку функції 2х  (рис.3).

По рис.3 бачимо, що всі значення також додатні, але ці значення зменшуються при збільшенні х. Графік функції також проходить через точку А(0;1).

Схожий вигляд мають графіки показникової функції ах при 0< а<1.

На рис.4 зображено графіки функцій  та . Бачимо, що якщо 0<a<b<1, то на додатній півосі вище йде графік функції ах, а на відємній півосі – графік функції bх.

5. Отже, розглянута нами теорія дає можливість для розвязування текстових задач, показникових рівнянь та нерівностей. Вкажемо інші випадки органічної зміни величин:

а) при проходженні світла через мутне середовище сила світла на проміжках даної довжини зменшується в одному і тому самому відношенні;

б) тиск повітря при даній різниці висот зменшується в одному і тому самому відношенні;

в) швидкість тіла, що рухається в середовищі, опір якого пропорційний швидкості, за даний проміжок часу зменшується в одному і тому самому відношенні, та багато інших.

Графік показникової функції називають експонентою, а процеси, які можна описати функцією виду у=ах., експоненціальними процесами.

Домашнє завдання. Зап. 1-5 с.170 – усно;

Впр. 2, 6 (5-8), 7 (5-8) с.171 – письмово

(Є П. Нелін, ОЄ. Долгова. Алгебра.11 клас: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів: академічний рівень, профільний рівень.– Х.Гімназія, 2011).

Використання показникової функції під час вивчення явищ навколишнього середовища

Багато процесів у природі і техніці математично виражаються за допомогою показникової функції. У підручнику (Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-Еко, 2001) розглядаються:

- задача про радіоактивний розпад;

- задача про зміну атмосферного тиску;

- задача про розмноження бактерій;

- задача про вакуумування;

- задача про приріст деревини.

Пропонується ще декілька задач про експоненціальні процеси:

- задача про розмноження водяних лілій;

- задача про банківський вклад;

- задача про приріст населення.

Дійсні функції з законом відповідності виду с*ах називаються експоненціальними функціями. Розглянемо процеси, які характеризують експоненціальне зростання.

Експоненціальні процеси

1. Припустимо, що в деякому великому ставку щоденно подвоюється кількість водяних лілій. Якщо спочатку було 5 водяних лілій, скільки їх буде через 1, 2, 3, 5, 10 днів? Подай загальну формулу для кількості Аn водяних лілій через n днів. Скільки б їх стало через 30, 60 днів, якби ставок був достатньо великим?

Розвязання.

Через 1 день: 5*2 = 10 = А1.                          Через 2 дні: 5*2*2 = 20 = А2.

Через 3 дні: 5*2*2*2 = 40 = А3                                    Через 5 днів: 5*25 = 160 = А5.

Через 10 днів: 5*210 = 5120 = А10                   Через n днів: 5*2 = 10 n = А nє

А30  5.37*109. А60  5.76*1018.

2. Капітал К0 вкладено на 15 % річного прибутку. На яку суму зріс К0 через 1, 2, 3, … n років, якщо прибуток щорічно додається до капіталу, а тоді разом опроцентовується? Для К0 = 1000 подай графічно відповідну функцію.

Розвязання.

Через 1 рік:  К0 + 0.15 К0 = (1+0.15) К0 = 1.15 К0 = К1

Через 2 роки:  К1 + 0.15 К1 = (1+0.15) (1+0.15) К0 = (1+0.15) 2 К0 = К2

Через 3 роки:  К2 + 0.15 К2 = (1+0.15)3 К0 = 1.15 К0 = К3

Через 5 років:  (1+0.15)5 К0 = К5

При К0 = 1000: К1 = 1150; К2 = 1322.5;  К3 = 1520; К5 = 2011.4;                      К n = 1000*1.15 n.

3. Нехай кількість населення деякої держави зростає експоненціально, причому за рік приріст становить 8%. Скільки населення буде через 5, 6, 10, 2, 3 років, якщо сьогодні воно становить 8.5 мільйонів?

Розвязання.

Через 5 років: (1+0.08)5*8.5*106 = 12.49*106;

Через 6 років: (1+0.08)6*8.5*106 = 13.49*106;

Через 10 років: (1+0.08)10*8.5*106 = 18.35*106;

Через 2 роки: (1+0.08)2*8.5*106 = 1.17*8.5*106 = 9.95*106;

Через 3 роки: (1+0.08)3*8.5*106 = 1.26*8.5*106 = 10.71*106;

Через 2.5 роки: (1.17+(1.26-1.17))*8.5*106 = 10.32*106;

Через 4 роки: (1+0.08)4*8.5*106 = 1.36*8.5*106 = 11.56*106;

Через 3.5 роки: (1.26+(1.36-1.26))*8.5*106 = 11.13*106.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39120. ТЕОРИИ ЭМОЦИОНАЛЬНЫХ ЯВЛЕНИЙ. ТЕОРИИ МОТИВАЦИОННОЙ И ВОЛЕВОЙ РЕГУЛЯЦИИ 155 KB
  Состояние когнитивного диссонанса возникает тогда: когда человек воспринимает самого себя в качестве причины возникшей когнитивной несогласованности; когда действия субъекта основаны на свободном выборе и разрушают Яконцепцию; когда люди чувствуют личную ответственность за свои неверные действия и поступки; когда такие действия и поступки имеют серьезные последствия. Когда свои действия или поступки которые вызывают когнитивный диссонанс человек не может оправдать и объяснить внешними факторами уменьшение диссонанса...
39121. СТРУКТУРНЫЕ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И ГЕНЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ МЫШЛЕНИЯ (ИНТЕЛЛЕКТА) ЧЕЛОВЕКА 163.5 KB
  Такие возможности реализуются на основе эмпирического опыта и воздействий социального окружения; эмпирическим опытом который включает: формирование двигательных навыков путем упражнения извлечение информации из опыта взаимодействия с физическим миром логикоматематический опыт организации и координации познавательных действий; воздействием социального окружения. Взаимодействие субъекта и объекта это источник любого знания который складывается из двух типов опыта: координации действий и операций которые строятся...
39122. СТРУКТУРНЫЕ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И ГЕНЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПАМЯТИ ЧЕЛОВЕКА 104.5 KB
  СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И ГЕНЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПАМЯТИ ЧЕЛОВЕКА План 1. Теории и модели памяти в когнитивной психологии 1. Модели организации процессов памяти в когнитивной психологии Кратковременная память Ограниченность объема: в среднем 57 единиц информации. На самых глубоких уровнях: а происходит когнитивная семантическая обработка путем установления различных связей с информацией в долговременной памяти; б устанавливается смысл и содержание информации осуществляется ее субъективная оценка.
39123. Структурные, функциональные и генетические теории внимания человека 63.5 KB
  Теории и модели внимания в когнитивной психологии Д. Модель внимания на основе избирательного ослабления сигналов Существует перцептивный фильтр расположенный между входными сенсорными сигналами и вербальным семантическим анализом сообщения. Стадия предвнимания: происходит быстрое извлечение и обработка информации полученной рецепторами позволяющие выделить простые и наиболее заметные признаки объектов; обработка информации производится автоматически быстро параллельно; обработка информации происходит без сознательных усилий и...
39124. ТЕОРИИ СОЗНАНИЯ ЧЕЛОВЕКА 86.5 KB
  ТЕОРИИ СОЗНАНИЯ ЧЕЛОВЕКА План Структурное и функциональное определение и объяснение сознания сохраняет свою актуальность в психологии до настоящего времени. Попытки объяснить сознание человека в истории психологии были связаны: с анализом организации процессов внимания с анализом осознаваемых и неосознаваемых мотивов человека с описанием сознания как сцены на которой представлен феноменологический опыт субъекта ассоциативная психология гештальтпсихология с трактовкой сознания как активного начала организующего в единство...
39125. МЕТОДОЛОГИЯ В НАУКЕ 177 KB
  Методология в составе научного знания Современная психология это система знаний состоящая из большого многообразия достоверных и сомнительных фактов феноменологических описаний психических явлений а также их всевозможных интерпретаций и объяснений. Методология науки это: система знаний о принципах построения формах и способах организации научного познания о способах установления степени достаточной обоснованности и верифицированности знаний получаемых в процессе научного исследования естественных природных и социальных...
39126. РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОНИМАНИЮ И ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРЕДМЕТА ПСИХОЛОГИИ 98.5 KB
  Феноменологические признаки психических явлений и ошибки возникающие при восприятии субъектом собственной психики Предмет психологии чрезвычайно сложен и до настоящего времени не существует полного согласия между научными направлениями исследования психических явлений даже в том что такое психика. Существует большое разнообразие психических явлений которые может наблюдать каждый человек с достаточно развитым самосознанием. По поводу основных фиксируемых при непосредственном наблюдении признаков психических явлений не существует единой...
39127. ПРОБЛЕМЫ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПСИХИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 126 KB
  ПРОБЛЕМЫ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПСИХИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ План 1. Научное познание психических явлений и его результаты Если обыденное познание психических явлений исходно опирается на непосредственночувственные данные и эмоциональные переживания возникающие в повседневном опыте субъекта то научное познание психики предполагает соблюдение ряда строгих процедур и требований которых придерживаются в любой сфере научной деятельности. Поиск объективных методов исследования и обоснование способов анализа и объяснения психических явлений это...
39128. ТЕОРИИ ЭВОЛЮЦИИ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ. ЭВОЛЮЦИЯ И ПСИХИКА 89 KB
  ТЕОРИИ ЭВОЛЮЦИИ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ. Теории эволюционирования живых организмов Общебиологические теории Ж. Обе направлены на объяснение многообразия различий в формах живых организмов а также способов их приспособления к среде обитания путем формулирования и указания предполагаемых причин и законов. Движущая сила развития органического мира врожденное стремление живых организмов к прогрессивному развитию различных функций.