53066

Показникова функція, її властивості та графік

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Сойер Мета: розглянути фізичні моделі пов‘язані з процесами органічної зміни величин що дозволяють дати означення показникової функції перелічити її властивості та побудувати її графік; розширювати світогляд учнів; виховувати інтерес до вивчення математики. Означення показникової функції. Властивості показникової функції. Побудова графіка показникової функції.

Украинкский

2014-02-21

345.5 KB

60 чел.

Урок-лекція на тему "Показникова функція, її властивості та графік"

                                                          Узагальнення – це, мабуть, найлегший найочевидніший шлях розширення

математичних знань.

                                                                                                            В.Сойер

Мета: розглянути фізичні моделі, пов‘язані з процесами органічної зміни величин, що дозволяють дати означення показникової функції, перелічити її властивості та побудувати її графік; розширювати світогляд учнів; виховувати інтерес до вивчення математики.

Обладнання: плакати з графіками показникових функцій.

План лекції.

1. Вступ. Приклади процесів, які мають спільну назву.

2. Означення показникової функції.

3. Властивості показникової функції.

4. Побудова графіка показникової функції.

5. Висновки.

1. В природі і техніці часто зустрічаються процеси, які мають спільну назву процесів органічної зміни величин. Ця назва пов‘язана із тим, що такі процеси часто зустрічаються в біології. Значна властивість цих процесів полягає в тому, що за однакові проміжки часу значення величини змінюється в одному і тому ж самому відношенні. Наведемо приклади, в яких величини змінюються по вказаному вище закону.

Приклад 1. При радіоактивному розпаді маса речовини змінюється по наступному закону: за рівні проміжки часу вона змінюється в одному і тому ж відношенні. Процеси, в яких величина зменшується за рівні проміжки часу в одному і тому ж відношенні, називають процесами органічного спадання.

Приклад 2. Якщо колонія бактерій має достатній простір і достатню кількість поживних речовин, то її маса за рівні проміжки часу збільшується в одному і тому ж відношенні. В таких випадках говорять про процеси органічного росту.

Якщо в початковий момент часу (тобто t=0) значення величини дорівнювало 1, а в момент часу t=1 воно дорівнювало а, то в момент часу t=2 величина буде мати значения а2, а в момент часу t=3 – значения а3, …, в момент часу t=n – зачерня аn.Але масу радіоактивної речовини або колонії бактерій можна спостерігати і в інші моменти часу, наприклад через 3, 2 одиниці часу після початку спостерігання. Можна поставити запитання і про те, яка була маса за деякий час до початку спостерігання. Умовимося позначати цю кількість в момент часу t через аt незалежно від того, чи є  t натуральним числом чи ні. Таким чином, значення t може бути цілим, дробовим, ірраціональним, додатнім, нульовим та від‘ємним (в останньому випадку мова йде про моменти часу. Що передували початку спостерігання).

2. У всіх розібраних прикладах значення виразу а t при всіх значеннях t додатнє.

При а>1 значення а t збільшується (як у випадку розмноження бактерій), а при 0< а<1    значення а t зменшується з ростом t (як у випадку радіоактивного розпаду).

Оскільки проміжки часу [0;T] і [t0; t0+T] мають однакову довжину T, значення а t на протязі цих проміжків часу змінюються в одному і тому ж самому відношенні.

Тому справедлива пропорція , із якої випливає, що аT*at0=a0*at0+T. Але a0=1, тому справедлива рівність аT*at0= at0+T.

Отже, для описання таких процесів, як радіоактивний розпад або розмноження бактерій, потрібна функція ах, де а>0.

Означенная. Показниковою функцією називається функція виду у=ах, де а>0 і а1.

Наприклад, у=2х, у=х, у=х, у=х – показникові функції.

3. Властивості показникової функції.

1) Область визначення: хR.         D(ax)=R

2) Область значень: у>0                   Е(ax)=(0;+)

3) Фнкція ні парна ні непарна.

4) Вірні рівності а1= а і а0=1.

5) Якщо  а>0, то функція ах зростає на всій області визначення; якщо     0< а<1, то вона спадає на всій області визначення.

6)  у>0 при всіх значеннях хR.

7) Найбільшого і найменшого значень функція не має.

8) Для будь-яких дійсних значень u і v (а>0; b>0) виконуються рівності:                                     au*av=au+v       (au)v=auv

(a*b)u=au*vu     

4. Побудову графіка показникової функції можна вивчати таким чином.

1) Нехай з початку спостережень маса колонії бактерій дорівнювала 1 г, причому за кожну наступну годину вона зростала в 2 рази. Побудуємо графік зміни маси m в залежності від часу х.

Залежність між масою і часом виражається формулою m=2х. Для побудови графіка обчислимо масу колонії через 1, 2, 3, 4 години до початку і після початку спостереження.

Дані обчислювання занесемо в таблицю 1, вважаючи, що час до початку спостереження був відємним.

Таблиця 1.

х

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2х

1

2

4

8

16

Побудуємо точки А1(-4; );. А2(-3; ); А3(-2; );…, А9(4;16).

Ми бачимо, що одержані точки лягають на плавну криву (рис.1). Зєднуючи ці точки одержуємо ескіз графіка функції 2х (рис.2).

На цьому графіку наочно видно уже відомі властивості цієї функції: із зростанням х значення функції зростають, при чому при достатньо великих значеннях х значення 2х стають як завгодно великими (наприклад, 210=1024, 220=1048576 і т.д.).

Схожі на вигляд графіки функцій ах при будь-якій основі а, більшій за 1. Всі графіки проходять через точку А(0;1).

2) Маса радіоактивної речовини змінюється по закону m=m0()t. Побудуємо графік зміни маси радіоактивної речовини в часі, вважаючи, що початкова маса m0=1 г. 

Для цього використаємо рівність . Ця рівність показує, що таблицю значень функції  одержуємо із таблиці значень функції 2х зміною знаків у першому рядку (табл.2).

Таблиця 2.

х

4

3

2

1

0

- 1

- 2

- 3

-4

1

2

4

8

16

Так як точки А(х;у) і В(-х;у) симетричні відносно осі ординат, то графік функції  симетричний відносно цієї осі графіку функції 2х  (рис.3).

По рис.3 бачимо, що всі значення також додатні, але ці значення зменшуються при збільшенні х. Графік функції також проходить через точку А(0;1).

Схожий вигляд мають графіки показникової функції ах при 0< а<1.

На рис.4 зображено графіки функцій  та . Бачимо, що якщо 0<a<b<1, то на додатній півосі вище йде графік функції ах, а на відємній півосі – графік функції bх.

5. Отже, розглянута нами теорія дає можливість для розвязування текстових задач, показникових рівнянь та нерівностей. Вкажемо інші випадки органічної зміни величин:

а) при проходженні світла через мутне середовище сила світла на проміжках даної довжини зменшується в одному і тому самому відношенні;

б) тиск повітря при даній різниці висот зменшується в одному і тому самому відношенні;

в) швидкість тіла, що рухається в середовищі, опір якого пропорційний швидкості, за даний проміжок часу зменшується в одному і тому самому відношенні, та багато інших.

Графік показникової функції називають експонентою, а процеси, які можна описати функцією виду у=ах., експоненціальними процесами.

Домашнє завдання. Зап. 1-5 с.170 – усно;

Впр. 2, 6 (5-8), 7 (5-8) с.171 – письмово

(Є П. Нелін, ОЄ. Долгова. Алгебра.11 клас: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів: академічний рівень, профільний рівень.– Х.Гімназія, 2011).

Використання показникової функції під час вивчення явищ навколишнього середовища

Багато процесів у природі і техніці математично виражаються за допомогою показникової функції. У підручнику (Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-Еко, 2001) розглядаються:

- задача про радіоактивний розпад;

- задача про зміну атмосферного тиску;

- задача про розмноження бактерій;

- задача про вакуумування;

- задача про приріст деревини.

Пропонується ще декілька задач про експоненціальні процеси:

- задача про розмноження водяних лілій;

- задача про банківський вклад;

- задача про приріст населення.

Дійсні функції з законом відповідності виду с*ах називаються експоненціальними функціями. Розглянемо процеси, які характеризують експоненціальне зростання.

Експоненціальні процеси

1. Припустимо, що в деякому великому ставку щоденно подвоюється кількість водяних лілій. Якщо спочатку було 5 водяних лілій, скільки їх буде через 1, 2, 3, 5, 10 днів? Подай загальну формулу для кількості Аn водяних лілій через n днів. Скільки б їх стало через 30, 60 днів, якби ставок був достатньо великим?

Розвязання.

Через 1 день: 5*2 = 10 = А1.                          Через 2 дні: 5*2*2 = 20 = А2.

Через 3 дні: 5*2*2*2 = 40 = А3                                    Через 5 днів: 5*25 = 160 = А5.

Через 10 днів: 5*210 = 5120 = А10                   Через n днів: 5*2 = 10 n = А nє

А30  5.37*109. А60  5.76*1018.

2. Капітал К0 вкладено на 15 % річного прибутку. На яку суму зріс К0 через 1, 2, 3, … n років, якщо прибуток щорічно додається до капіталу, а тоді разом опроцентовується? Для К0 = 1000 подай графічно відповідну функцію.

Розвязання.

Через 1 рік:  К0 + 0.15 К0 = (1+0.15) К0 = 1.15 К0 = К1

Через 2 роки:  К1 + 0.15 К1 = (1+0.15) (1+0.15) К0 = (1+0.15) 2 К0 = К2

Через 3 роки:  К2 + 0.15 К2 = (1+0.15)3 К0 = 1.15 К0 = К3

Через 5 років:  (1+0.15)5 К0 = К5

При К0 = 1000: К1 = 1150; К2 = 1322.5;  К3 = 1520; К5 = 2011.4;                      К n = 1000*1.15 n.

3. Нехай кількість населення деякої держави зростає експоненціально, причому за рік приріст становить 8%. Скільки населення буде через 5, 6, 10, 2, 3 років, якщо сьогодні воно становить 8.5 мільйонів?

Розвязання.

Через 5 років: (1+0.08)5*8.5*106 = 12.49*106;

Через 6 років: (1+0.08)6*8.5*106 = 13.49*106;

Через 10 років: (1+0.08)10*8.5*106 = 18.35*106;

Через 2 роки: (1+0.08)2*8.5*106 = 1.17*8.5*106 = 9.95*106;

Через 3 роки: (1+0.08)3*8.5*106 = 1.26*8.5*106 = 10.71*106;

Через 2.5 роки: (1.17+(1.26-1.17))*8.5*106 = 10.32*106;

Через 4 роки: (1+0.08)4*8.5*106 = 1.36*8.5*106 = 11.56*106;

Через 3.5 роки: (1.26+(1.36-1.26))*8.5*106 = 11.13*106.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30689. Художественное мастерство Н.В. Гоголя в повести «Ночь перед Рождеством» 17.04 KB
  Гоголя в повести Ночь перед Рождеством. События в повести необычны фантастичны похожи на сказку. Завязкой повести можно считать разговор Оксаны первой красавицы села с Вакулой влюбленным в нее до беспамятства. Кульминационным моментом повести бесспорно является чудесный полет Вакулы на черте до Петербурга и обратно.
30691. Художественная деталь в литературном произведении 14.52 KB
  Чехов Человек в футляре Психологическая Деталь является средством психологической характеристики героя помогает раскрыть внутренний мир персонажа . Шолохов Судьба человека Фактографическая Деталь характеризует данный факт действительности Школьная фотография жива до сих пор. Астафьев Фотография на которой меня нет Натуралистическая Деталь внешне точно бесстрастно объективно изображает предмет или явление Когда шествие миновало место где я стоял я мельком увидал между рядов спину наказываемого.
30692. Черты драмы и трагедии в пьесе А.Н. Островского «Гроза». Роль второстепенных персонажей в художественной структуре пьесы 13.41 KB
  Роль второстепенных персонажей в художественной структуре пьесы. Такая популярность и актуальность пьесы объясняется тем что в Грозе сочетаются черты социальнобытовой драмы и высокой трагедии. В центре сюжета пьесы конфликт чувства и долга в душе главной героини Катерины Кабановой. Но еще Добролюбов указывал на то что на протяжении всей пьесы читатели думают не о любовной интриге а обо всей жизни.
30693. Анализ стихотворения Шепот, робкое дыханье 13.34 KB
  Любимая пора влюбленных ночь: Свет ночной ночные тени Стихотворение начинается с появления самих героев: Шепот робкоедыханье. И не случайно со слова шепот ведь ночью нельзя кричать тем более насвидании. Чувства героев развиваются от шепота и робкого дыханья к рядуволшебных изменений милого лица.
30694. «Отцы и дети» в одноименном романе И.С. Тургенева 14.14 KB
  Все эти новомодные веяния вызывают у Кирсанова возмущение и гнев. Все слова Кирсанова лишь слова так как не подкреплены никаким действием. Базарову человеку стремительному деятельному претит все из чего состоит Кирсанов.В финале романа мы узнаем что Кирсанов переехал в Германию и что сами немцы принимают его за англичанина.
30695. Типы носителей информации и их особенности 109.15 KB
  В современном обществе, где информация проблема носителей информации встала очень остро, так как объемы информации, генерируемые пользователями, возрастают в геометрической прогрессии.
30696. Мотив дороги в произведениях отечественной классики 19 века 25.31 KB
  Есенина Мотив дороги звучит в двух значительнейших произведениях 19 века. Образ дороги в этом произведении не выходит на первый план. Образ дороги здесь традиционный символ жизненного пути.
30697. Стихотворное новаторство В.В. Маяковского. Чтение наизусть и анализ стихотворения «А вы могли бы?» 12.76 KB
  Чтение наизусть и анализ стихотворения А вы могли бы. Тема этого стихотворения желание и способность лирического героя изменить в корне обыденную ни чем не примечательную жизнь причем сделать это так как никто другой и не подумал бы. Идея же заключается в названии стихотворения и в последних строках:А вы ноктюрн сыграть могли быНа флейте водосточных трубКаждая строка этого стихотворения вызов каждое слово экспрессивно и ярко; при своей лаконичности стихотворение оставляет более глубокое впечатление чем многие более длинные...