53123

Розв’язування трикутників

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета: формувати вміння і навички розв’язування трикутника за трьома його основними елементами; повторити теореми синусів косинусів та наслідки з них; повторити основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників; розвивати пошукову пізнавальну активність учнів логічне мислення уяву зв’язне мовлення; виховувати самостійність наполегливість впевненість у собі інтерес до предмету. Сторону трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів теорема синусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі...

Украинкский

2014-02-22

214.5 KB

6 чел.

Розв’язування трикутників.

Мета:

-   формувати вміння і навички розв’язування трикутника за трьома його основними елементами;

-   повторити теореми синусів , косинусів та наслідки з них;

-  повторити основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників;

- розвивати пошукову пізнавальну активність учнів, логічне мислення, уяву, зв’язне мовлення;

- виховувати самостійність, наполегливість, впевненість у собі, інтерес до предмету.

Тип уроку: урок закріплення.

Обладнання: інструктивна картка для учнів ( 1. Пам’ятка для учнів.

2. Історична довідка. 3. Умови задач рівнів А,В,С.)

                                                 

                                                        Математика цікава тоді,

                                                        коли живить нашу винахідливість

                                                       і здатність міркувати.

                                                                                            Д. Пойа

                                                                                                 

І.  Повідомлення теми і мети уроку.   Мотивація навчальної діяльності.

На попередніх уроках ви розглянули  теореми синусів, косинусів та наслідки з них, ввели поняття розв’язування трикутників, розглянули основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників.

Сьогодні  перед нами стоїть задача:

  •  повторити все, що вивчили;
  •  пригадати те, що забули;
  •  вміло застосовувати отримані знання до розв’язування геометричних задач.

Незважаючи на те, що попереду у нас велика пізнавальна робота, я сподіваюсь, що ми зможемо зберегти гарний настрій до кінця уроку, а якщо вдасться, то ще його й покращимо.

Але перш, ніж ми почнемо я прошу звернути вашу увагу на «Пам’ятку для учнів». Ознайомтесь, будь-ласка, із запропонованими вам рекомендаціями. Якщо ви будете слідувати їм, то я впевнена, що сьогодні на уроці ви обов’язково виконаєте всі завдання тільки на високому рівні.

                                              

                                                    Справжній скарб для людини – вміння трудитися.

                                                                                                                           Езоп

                                            Пам’ятка для учнів.

  1.  Будь уважним.
  2.  Міркуй, шукай, порівнюй, роби висновки, працюй.
  3.  Шукай нові способи розв’язування проблеми.
  4.  Самостійно встановлюй зв’язки відомого з невідомим.
  5.  Будь наполегливим і не бійся помилитися.
  6.  Експериментуй та виправляй невдалі спроби.
  7.  Будь упевнений у своїх здібностях.

Для початку зробимо не великий екскурс в історію.

Ознайомитись з історичною довідкою і дати відповіді на запитання:

  1.  В якому столітті видатним астрологом ал-Беруні була доведена теорема синусів? XI)
  2.  Коли нею почали користуватися європейські математики? (у XVI столітті)
  3.  Яка теорема була доведена геометрично в «Началах» Евкліда? (теорема косинусів)
  4.  Ким і коли вона була сформульована словесно? (французьким математиком Франсуа Вієтом,  XVI століття)
  5.  Хто і коли надав їй сучасного вигляду? (французький математик Лазар Карно, у 1801 році)

Історична довідка.

Вчені Індії, зводили розв’язування будь-яких трикутників до розв’язування прямокутних трикутників  і не потребували теорему синусів і не знали її. Ця теорема була доведена лише в одинадцятому столітті видатним астрологом ал-Беруні. Теоремою синусів користувалися, починаючи з ХVI століття і європейські математики.

   Теорема косинусів була доведена, звичайно, геометрично ще в «Началах» Евкліда.

    Словесно теорема косинусів була вперше сформульована французьким  математиком Француа Вієтом в ХVI столітті.

Сучасний вид теорема косинусів приймає в 1801 році у французького математика Лазара Карно.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

1. Вказати назви сформульованих теорем.

Теорема 1.

Сторону трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів ( теорема синусів).

Теорема 2.

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними

 ( теорема косинусів).

Запишіть їх за допомогою формул.

( 1)       =   =  = 2R ;     2)     a2   = b2    + c2  - 2bc cos α.)

       2. Замість … вставити пропущені слова:

  1.  У будь-якому трикутнику відношення сторони до …дорівнює діаметру кола, описаного навколо цього трикутника (синуса протилежного кута).
  2.  У трикутнику проти … лежить більший кут, проти більшого кута лежить … ( більшої сторони; більша сторона).
  3.  Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін «±» подвоєний добуток однієї з них на проекцію другої. Знак «+» беремо тоді, коли протилежний кут …, а знак «-», коли …( тупий; гострий).
  4.  Теорему косинусів називають іноді узагальненою теоремою …(Піфагора).
  5.   … і … трикутника називаються основними його елементами ( сторони; кути).
  6.  Розв’язати трикутник означає: за даними … основними елементами трикутника … . При цьому серед заданих основних елементів хоча б один повинен бути … (трьома; знайти три інші його основні елементи; стороною трикутника).

3. Використовуючи малюнок заповнити пропуски у таблиці:

Основні задачі на обчислення елементів довільних трикутників

№.

Тип задачі

Дано

Знайти

1.

За стороною і прилеглими до неї  кутами

AB, A, B.

2.

За двома сторонами і кутом між ними

AB, A, B.

3.

AB, BC, AC

 A, B, C.

4.

За двома сторонами і кутом, протилежним одній із них

AC, BC, A

                         За трьома кутами задача розв’язків не має !

ІІІ. Розв’язування задач.

Учні, які мають середній і достатній рівні навчальних досягнень виконують задачі рівня А і рівня B, а ті,  які мають високий рівень – рівня В і рівня С.

Рівень А.

Задача 1.

Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 7 см, а кут між ними 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.

 Розв’язання.

Нехай АС=5см, АВ=7см, .

Використовуючи теорему косинусів маємо:

ВС² = АВ ² + АС ² – 2 АВ ·АС cos.

ВС ²  = 25 + 49 - 2·5·7· = 39.

ВС  =.

Відповідь: .

Задача 2.

Сторона трикутника дорівнює 10 см , а прилеглі до неї кути -  45° і 75°. Знайти сторону протилежну до кута 45°.

   Розв’язання.                                                   

 Нехай АС=10 см,  

ВС – сторона яка лежить проти кута 45°.

Використовуючи теорему синусів маємо:

= ;

                                                                          

   =

          

 Відповідь: 

Задача 3.

Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 9 см, 8 см. Знайти косинус кута, який лежить проти більшої сторони.

Розв’язання.

Нехай АС=6 см, СВ=8 см, АВ=9 см.

Використовуючи теорему косинусів маємо:

АВ² = АС ² + ВС ² – 2АС ·ВС· cosС;

81 = 36 + 64 - 2 cos;

96 cos=19;

cos=.

Відповідь: .

Задача 4.

Сторони трикутника 6 см і 3 см, а кут протилежний до більшої з цих сторін, дорівнює 60°. Знайти синус кута, що лежить проти меншої сторони.

Розв’язання.

Нехай АС=6 см, АВ=3 см ,

Використовуючи теорему синусів маємо: = ;      

 sin

Відповідь: 

Рівень Б.

Задача 1.

Вивести формулу для площі трикутника S = ,  де a, b, c сторони трикутника, R- радіус описаного кола.

Розв’язання.

= 2R ;    sinα = ;         S = bc sinα = bc  =  .

Що і треба було довести.

Задача 2.

Довести , що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.

Розв’язання.                              

Нехай AD  - бісектриса внутрішнього  А. Тоді

Що і треба було довести.

Задача 3.

Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Розв’язання.                                   

Нехай   Застосувавши теорему косинусів для трикутників АВD і ACD маємо:

Додаючи почленно рівності (1) і (2) отримаємо:

Що і треба було довести.

Задача 4.

Вивести формулу Герона для площі трикутника.

Розв’язання.

Як відомо:   a2   = b2    + c2 - 2bc cos α;     S=

Отже:                            

Підставимо знайдені вирази в формулу sin2α + cos²α = 1

Оскільки:

Маємо:   

Що і треба було довести.

Рівень В.

Задача 1.

Доведіть, що для довільного трикутника виконується рівність

r = , де rрадіус вписаного кола,  α, β, γ – кути трикутника, а – сторона , яка лежить проти кута α.

Розв’язання.

Нехай точка О – центр кола вписаного в трикутник АВС, ОК – його радіус, ОК=r. Так як центр вписаного кола це точка перетину бісектрис, то

Із  трикутника ВОС:

Використовуючи теорему синусів маємо:

Із трикутника ОКС :

  Що і треба було довести.

Задача 2.( теорема Стюарта)

Якщо а, в, с – сторони трикутника АВС і точка D  ділить сторону ВС на відрізки ,   то  

Розв’язання.

Нехай

Застосувавши теорему косинусів для трикутників АDС і ADВ маємо:

Помноживши (1)рівність на , а другу на  і почленно додавши маємо:

Отже: .

Що і треба було довести.

IV. Домашнє завдання.

Повторити теореми синусів, косинусів та наслідки з них.

Довести теорему Птолемея.

Якщо чотирикутник вписаний в коло, то добуток діагоналей чотирикутника дорівнює сумі добутків його протилежних сторін.

V. Підсумок уроку.

1. Закінчити речення:

1. Сьогодні на уроці я повторив …

2. Сьогодні на уроці я навчився …

3. Необхідно додатково попрацювати над …

4. Найважчим для мене було…

2. Порівняй свої знання на початку і в кінці уроку і дай відповіді на запитання:

Чи отримав ти задоволення від власної праці?

Який етап діяльності був найцікавіщим?

Які загальнонавчальні вміння допомагали у складних ситуаціях?

PAGE  1


С                       
D            B

А

EMBED Equation.3  

      B                          С

А                         D

A

А

В В

             

вввввввввввввв

ВВВВВВВ

   A

C                 D              B

С              

вввввввввввввв

В

5смм

7см

В

вввввввввввввв

С              

А

А

С              

вввввввввввввв

8см

В

6смм

9см

3см

6смм

В

вввввввввввввв

С              

А

B                K                          C

A

O


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82270. Применение натуралистической и антинатуралистической исследовательских программ ва социально –гуманитарных науках 33.52 KB
  В них присутствуют: натуралистическая парадигма общества основные варианты: механицизм физикализм биологизм географический детерминизм демографический детерминизм – общество понимается как жестко-детерминированная система обусловленная влиянием определенных природных факторов климата полезных ископаемых территории и т. оно рассматривается с редукционистских позиций; антинатуралистическая парадигма общества основные варианты: социологизм экономизм психологизм антипсихологизм – общество понимается как...
82271. Проблема разделения социальных и гуманитарных наук пол предмету, по методу, по предмету и методу одновременно, по исследовательским программам 34.01 KB
  В настоящее время считается что естественные науки и социально-гуманитарные науки имеют как общие так и различные характеристики. Естественные и социально-гуманитарные науки обладают всеми признаками науки как особого феномена познание нового наличие эмпирического и теоретического уровней оформленность в понятиях и т. Вместе с тем социально-гуманитарные науки отличаются от естественно-математических и технических наук по следующим основаниям: по объекту исследования – естественные науки изучают природную реальность т. то что существует...
82272. Методы социальных и гуманитарных наук 42.51 KB
  Абстрагирование важнейший метод научного постижения реальности. Результатом применения этого метода является абстракция. Наряду с абстрагированием важнейшим методом научного познания на эмпирическом уровне познания является индукция. Индукция это метод движения мысли от менее общего знания к более общему.
82273. Вненаучное социальное знание. Взаимодействие социальных, гуманитарных наук и вненаучного знания в экспертизах социальных проектов и программ 39.26 KB
  Взаимодействие социальных гуманитарных наук и вненаучного знания в экспертизах социальных проектов и программ. Эйнштейн ищут основания знания в философии и художественной литературе. Антифундаменталистская тенденция просматривается в истолковании всех важнейших областей научного познания: математического естественнонаучного гуманитарного. В то время как сциентизм базируется на абсолютизации рациональнотеоретических компонентов знания антисциентизм опирается на ключевую роль этических правовых культурных ценностей по отношению к идеалу...
82274. Дисциплинарная структура социально –гуманитарного знания и междисциплинарные исследования. Дифференциация и интеграция знаний 37 KB
  В дальнейшем проблематика связанная с первым типам междисциплинарности практически полностью стала изучаться в рамках исследований по классификации науки и ее развития. При этом главная Наука как социальный институт задача состоит в том чтобы преодолеть в процессе исследований отмеченное в свое время И. Эта задача пусть и не всегда в явной форме стоит перед участниками междисциплинарных исследований любого масштаба . Успешное осуществление междисциплинарных исследований предполагает одновременное решение трех видов проблем:...
82275. Переопределение парадигм и предметно- тематических направлений, появление новых областей исследования 38.77 KB
  В ходе развития науки в последней трети XX в. Ее фундамент составляют ставшие общенаучными принципы развития и системности. Такое понимание процессов развития исходит из синергетики. Вопервых принцип развития эволюции в современной науке получил статус фундаментальной мировоззренческой и методологической константы.
82276. Роль СГН и вненаучного знания в экспертизах социальных проектов и программ 32.11 KB
  Социальногуманитарные науки являются социальнокультурным феноменом изменяются вместе с обществом. Социальногуманитарные науки необходимы для разработки стратегии развития общества для понимания человеком своего места в социальной среде. Социальная политика всегда нуждается в социальной науке так как первая – лишь излагает определенные идеалы а вторая – мысленно упорядочивает факты и предлагает варианты действий М. Социальногуманитарные науки развиваются в настоящее время по следующим основным направлениям: сближение с...
82277. Изменения дисциплинарной структуры социально-гуманитарного знания в современных условиях. Смена лидирующих дисциплин 35.88 KB
  Вместе с тем региональные и функциональные различия науки обусловленные уровнем экономического технологического развития природными ресурсами вносят определенную спецификацию в совокупный потенциал развития науки. Одним из бесспорных мировоззренческих итогов науки начала XXI в. В основе научного мировоззрения лежит представление о возможности научного постижения сущности многообразных явлений современного мира о том что прогресс развития человечества связан с достижениями науки. Острые споры ведутся вокруг проблемы взаимоотношений...
82278. Возрастание роли гуманитарных знаний в современном обществе. «Сообщество знания». Значение опережающих социальных исследований для решения социальных проблем и предотвращения социальных рисков 31.17 KB
  Значение опережающих социальных исследований для решения социальных проблем и предотвращения социальных рисков. В этом состоит значение основополагающих социальных исследований. Важнейшими функциями социальных наук в современном обществе является критика действительности и ее проблематизация. Изучаются явления лежащие на стыке социальных и экономических сфер жизнедеятельности общества.