53123

Розв’язування трикутників

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета: формувати вміння і навички розв’язування трикутника за трьома його основними елементами; повторити теореми синусів косинусів та наслідки з них; повторити основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників; розвивати пошукову пізнавальну активність учнів логічне мислення уяву зв’язне мовлення; виховувати самостійність наполегливість впевненість у собі інтерес до предмету. Сторону трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів теорема синусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі...

Украинкский

2014-02-22

214.5 KB

6 чел.

Розв’язування трикутників.

Мета:

-   формувати вміння і навички розв’язування трикутника за трьома його основними елементами;

-   повторити теореми синусів , косинусів та наслідки з них;

-  повторити основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників;

- розвивати пошукову пізнавальну активність учнів, логічне мислення, уяву, зв’язне мовлення;

- виховувати самостійність, наполегливість, впевненість у собі, інтерес до предмету.

Тип уроку: урок закріплення.

Обладнання: інструктивна картка для учнів ( 1. Пам’ятка для учнів.

2. Історична довідка. 3. Умови задач рівнів А,В,С.)

                                                 

                                                        Математика цікава тоді,

                                                        коли живить нашу винахідливість

                                                       і здатність міркувати.

                                                                                            Д. Пойа

                                                                                                 

І.  Повідомлення теми і мети уроку.   Мотивація навчальної діяльності.

На попередніх уроках ви розглянули  теореми синусів, косинусів та наслідки з них, ввели поняття розв’язування трикутників, розглянули основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників.

Сьогодні  перед нами стоїть задача:

  •  повторити все, що вивчили;
  •  пригадати те, що забули;
  •  вміло застосовувати отримані знання до розв’язування геометричних задач.

Незважаючи на те, що попереду у нас велика пізнавальна робота, я сподіваюсь, що ми зможемо зберегти гарний настрій до кінця уроку, а якщо вдасться, то ще його й покращимо.

Але перш, ніж ми почнемо я прошу звернути вашу увагу на «Пам’ятку для учнів». Ознайомтесь, будь-ласка, із запропонованими вам рекомендаціями. Якщо ви будете слідувати їм, то я впевнена, що сьогодні на уроці ви обов’язково виконаєте всі завдання тільки на високому рівні.

                                              

                                                    Справжній скарб для людини – вміння трудитися.

                                                                                                                           Езоп

                                            Пам’ятка для учнів.

  1.  Будь уважним.
  2.  Міркуй, шукай, порівнюй, роби висновки, працюй.
  3.  Шукай нові способи розв’язування проблеми.
  4.  Самостійно встановлюй зв’язки відомого з невідомим.
  5.  Будь наполегливим і не бійся помилитися.
  6.  Експериментуй та виправляй невдалі спроби.
  7.  Будь упевнений у своїх здібностях.

Для початку зробимо не великий екскурс в історію.

Ознайомитись з історичною довідкою і дати відповіді на запитання:

  1.  В якому столітті видатним астрологом ал-Беруні була доведена теорема синусів? XI)
  2.  Коли нею почали користуватися європейські математики? (у XVI столітті)
  3.  Яка теорема була доведена геометрично в «Началах» Евкліда? (теорема косинусів)
  4.  Ким і коли вона була сформульована словесно? (французьким математиком Франсуа Вієтом,  XVI століття)
  5.  Хто і коли надав їй сучасного вигляду? (французький математик Лазар Карно, у 1801 році)

Історична довідка.

Вчені Індії, зводили розв’язування будь-яких трикутників до розв’язування прямокутних трикутників  і не потребували теорему синусів і не знали її. Ця теорема була доведена лише в одинадцятому столітті видатним астрологом ал-Беруні. Теоремою синусів користувалися, починаючи з ХVI століття і європейські математики.

   Теорема косинусів була доведена, звичайно, геометрично ще в «Началах» Евкліда.

    Словесно теорема косинусів була вперше сформульована французьким  математиком Француа Вієтом в ХVI столітті.

Сучасний вид теорема косинусів приймає в 1801 році у французького математика Лазара Карно.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

1. Вказати назви сформульованих теорем.

Теорема 1.

Сторону трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів ( теорема синусів).

Теорема 2.

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними

 ( теорема косинусів).

Запишіть їх за допомогою формул.

( 1)       =   =  = 2R ;     2)     a2   = b2    + c2  - 2bc cos α.)

       2. Замість … вставити пропущені слова:

  1.  У будь-якому трикутнику відношення сторони до …дорівнює діаметру кола, описаного навколо цього трикутника (синуса протилежного кута).
  2.  У трикутнику проти … лежить більший кут, проти більшого кута лежить … ( більшої сторони; більша сторона).
  3.  Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін «±» подвоєний добуток однієї з них на проекцію другої. Знак «+» беремо тоді, коли протилежний кут …, а знак «-», коли …( тупий; гострий).
  4.  Теорему косинусів називають іноді узагальненою теоремою …(Піфагора).
  5.   … і … трикутника називаються основними його елементами ( сторони; кути).
  6.  Розв’язати трикутник означає: за даними … основними елементами трикутника … . При цьому серед заданих основних елементів хоча б один повинен бути … (трьома; знайти три інші його основні елементи; стороною трикутника).

3. Використовуючи малюнок заповнити пропуски у таблиці:

Основні задачі на обчислення елементів довільних трикутників

№.

Тип задачі

Дано

Знайти

1.

За стороною і прилеглими до неї  кутами

AB, A, B.

2.

За двома сторонами і кутом між ними

AB, A, B.

3.

AB, BC, AC

 A, B, C.

4.

За двома сторонами і кутом, протилежним одній із них

AC, BC, A

                         За трьома кутами задача розв’язків не має !

ІІІ. Розв’язування задач.

Учні, які мають середній і достатній рівні навчальних досягнень виконують задачі рівня А і рівня B, а ті,  які мають високий рівень – рівня В і рівня С.

Рівень А.

Задача 1.

Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 7 см, а кут між ними 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.

 Розв’язання.

Нехай АС=5см, АВ=7см, .

Використовуючи теорему косинусів маємо:

ВС² = АВ ² + АС ² – 2 АВ ·АС cos.

ВС ²  = 25 + 49 - 2·5·7· = 39.

ВС  =.

Відповідь: .

Задача 2.

Сторона трикутника дорівнює 10 см , а прилеглі до неї кути -  45° і 75°. Знайти сторону протилежну до кута 45°.

   Розв’язання.                                                   

 Нехай АС=10 см,  

ВС – сторона яка лежить проти кута 45°.

Використовуючи теорему синусів маємо:

= ;

                                                                          

   =

          

 Відповідь: 

Задача 3.

Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 9 см, 8 см. Знайти косинус кута, який лежить проти більшої сторони.

Розв’язання.

Нехай АС=6 см, СВ=8 см, АВ=9 см.

Використовуючи теорему косинусів маємо:

АВ² = АС ² + ВС ² – 2АС ·ВС· cosС;

81 = 36 + 64 - 2 cos;

96 cos=19;

cos=.

Відповідь: .

Задача 4.

Сторони трикутника 6 см і 3 см, а кут протилежний до більшої з цих сторін, дорівнює 60°. Знайти синус кута, що лежить проти меншої сторони.

Розв’язання.

Нехай АС=6 см, АВ=3 см ,

Використовуючи теорему синусів маємо: = ;      

 sin

Відповідь: 

Рівень Б.

Задача 1.

Вивести формулу для площі трикутника S = ,  де a, b, c сторони трикутника, R- радіус описаного кола.

Розв’язання.

= 2R ;    sinα = ;         S = bc sinα = bc  =  .

Що і треба було довести.

Задача 2.

Довести , що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.

Розв’язання.                              

Нехай AD  - бісектриса внутрішнього  А. Тоді

Що і треба було довести.

Задача 3.

Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Розв’язання.                                   

Нехай   Застосувавши теорему косинусів для трикутників АВD і ACD маємо:

Додаючи почленно рівності (1) і (2) отримаємо:

Що і треба було довести.

Задача 4.

Вивести формулу Герона для площі трикутника.

Розв’язання.

Як відомо:   a2   = b2    + c2 - 2bc cos α;     S=

Отже:                            

Підставимо знайдені вирази в формулу sin2α + cos²α = 1

Оскільки:

Маємо:   

Що і треба було довести.

Рівень В.

Задача 1.

Доведіть, що для довільного трикутника виконується рівність

r = , де rрадіус вписаного кола,  α, β, γ – кути трикутника, а – сторона , яка лежить проти кута α.

Розв’язання.

Нехай точка О – центр кола вписаного в трикутник АВС, ОК – його радіус, ОК=r. Так як центр вписаного кола це точка перетину бісектрис, то

Із  трикутника ВОС:

Використовуючи теорему синусів маємо:

Із трикутника ОКС :

  Що і треба було довести.

Задача 2.( теорема Стюарта)

Якщо а, в, с – сторони трикутника АВС і точка D  ділить сторону ВС на відрізки ,   то  

Розв’язання.

Нехай

Застосувавши теорему косинусів для трикутників АDС і ADВ маємо:

Помноживши (1)рівність на , а другу на  і почленно додавши маємо:

Отже: .

Що і треба було довести.

IV. Домашнє завдання.

Повторити теореми синусів, косинусів та наслідки з них.

Довести теорему Птолемея.

Якщо чотирикутник вписаний в коло, то добуток діагоналей чотирикутника дорівнює сумі добутків його протилежних сторін.

V. Підсумок уроку.

1. Закінчити речення:

1. Сьогодні на уроці я повторив …

2. Сьогодні на уроці я навчився …

3. Необхідно додатково попрацювати над …

4. Найважчим для мене було…

2. Порівняй свої знання на початку і в кінці уроку і дай відповіді на запитання:

Чи отримав ти задоволення від власної праці?

Який етап діяльності був найцікавіщим?

Які загальнонавчальні вміння допомагали у складних ситуаціях?

PAGE  1


С                       
D            B

А

EMBED Equation.3  

      B                          С

А                         D

A

А

В В

             

вввввввввввввв

ВВВВВВВ

   A

C                 D              B

С              

вввввввввввввв

В

5смм

7см

В

вввввввввввввв

С              

А

А

С              

вввввввввввввв

8см

В

6смм

9см

3см

6смм

В

вввввввввввввв

С              

А

B                K                          C

A

O


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50303. Построение плоских фигур 428 KB
  Рассмотрим достаточно подробно алгоритм построения графика функциональной зависимости в заданном интервале изменения аргумента функции. Первый этап выполнения такого задания должен заключаться в исследовании данной функции в результате которого следует выяснить: 1 имеет ли функция в заданном интервале особенности не обращается ли она в бесконечнось при всех ли значения аргумента она определена; 2 пределы изменения область что необходимо для оценки коэффициентов преобразований. После этого можно приступать непосредственно к...
50304. Практическое занятие «Разработка Html-документа в редакторе Word» 278 KB
  Для этого: Выделите весь текст командой Правка Выделить все Используя меню Правка Заменить вызовите диалоговое окно Найти и заменить Установите курсор в поле Найти С помощью кнопки Специальный выберите Мягкий перенос см. Для этого: Используя меню Правка Заменить вызовите диалоговое окно Найти и заменить Установите курсор в поле Найти С помощью кнопки Специальный выберите Разрыв строки В поле Найти появится изображение символов разрыва строки Нажмите кнопку Заменить все Окончание процесса замены символов подтвердите...
50305. Визначення характеру та місця пошкодження електричних кіл кабелів зв’язку за допомогою вимірювань приладом TDR 3300 830.5 KB
  Зробити аналіз рефлекторам визначити стан лінії знайти пошкодження на ній визначити їх характер місце пошкодження прив’язка місця пошкодження до елементів кабельної лінії муфти кабельні оглядові прилади те що Порядок виконання роботи Вивчити принцип дії технічні параметри приладу призначення елементів на передній панелі приладу див Додаток 1 2 3. Після підтвердження вибору з’явиться інформаційне вікно в якому буде показана процедура встановлення телефонного зв’язку з протилежним боком лінії буде послідовно подані...
50306. Інтелектуальні системи підтримки прийняття рішень. Методичні вказівки 568.5 KB
  Проблема принятия решений или проблема выбора вариантов является одной из наиболее распространенных задач которые возникают практически во всех сферах деятельности: технической экономической социальной и т. Одной из наиболее важных особенностей прикладных задач принятия решений является неопределенный нечеткий характер критериев выбора альтернатив их параметров и ограничений. Для поддержки процесса решения задач принятия решений Магистры специальности 8.080401...
50307. Электричество и магнетизм: Учебное пособие 291.5 KB
  Математический маятник длиной 1,2 м колеблется в среде с малым сопротивлением. Считая, что сопротивление среды не влияет на период колебания маятника, найти коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания, если за 8 мин амплитуда колебаний маятника уменьшилась в три раза.
50309. Язык имитационного моделирования GPSS 201 KB
  Примером общецелевых языков служит широко распространенный язык GPSS примером специализированного языка язык МПЛ ВС моделирования вычислительных систем. Основные правила и операторы языка GPSS Для описания имитационной модели на языке GPSS полезно представить ее в виде схемы на которой отображаются элементы СМО устройства накопители узлы и источники . Описание на языке GPSS есть совокупность операторов блоков характеризующих процессы обработки заявок.
50311. ДОСЛІДЖЕННЯ КОМУТАЦІЙНИХ ПОЛІВ ТИПІВ Ч-Ч ТА Ч-П-Ч СИСТЕМИ МТ-20/25 643.5 KB
  GTR – блок часової комутації прийому. GTE – блок часової комутації передачі. SG – блок просторової комутації. Цифрове комутаційне поле призначене для комутації розмовних зумерних сигналів і сигналів управління.