53123

Розв’язування трикутників

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета: формувати вміння і навички розв’язування трикутника за трьома його основними елементами; повторити теореми синусів косинусів та наслідки з них; повторити основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників; розвивати пошукову пізнавальну активність учнів логічне мислення уяву зв’язне мовлення; виховувати самостійність наполегливість впевненість у собі інтерес до предмету. Сторону трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів теорема синусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі...

Украинкский

2014-02-22

214.5 KB

6 чел.

Розв’язування трикутників.

Мета:

-   формувати вміння і навички розв’язування трикутника за трьома його основними елементами;

-   повторити теореми синусів , косинусів та наслідки з них;

-  повторити основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників;

- розвивати пошукову пізнавальну активність учнів, логічне мислення, уяву, зв’язне мовлення;

- виховувати самостійність, наполегливість, впевненість у собі, інтерес до предмету.

Тип уроку: урок закріплення.

Обладнання: інструктивна картка для учнів ( 1. Пам’ятка для учнів.

2. Історична довідка. 3. Умови задач рівнів А,В,С.)

                                                 

                                                        Математика цікава тоді,

                                                        коли живить нашу винахідливість

                                                       і здатність міркувати.

                                                                                            Д. Пойа

                                                                                                 

І.  Повідомлення теми і мети уроку.   Мотивація навчальної діяльності.

На попередніх уроках ви розглянули  теореми синусів, косинусів та наслідки з них, ввели поняття розв’язування трикутників, розглянули основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників.

Сьогодні  перед нами стоїть задача:

  •  повторити все, що вивчили;
  •  пригадати те, що забули;
  •  вміло застосовувати отримані знання до розв’язування геометричних задач.

Незважаючи на те, що попереду у нас велика пізнавальна робота, я сподіваюсь, що ми зможемо зберегти гарний настрій до кінця уроку, а якщо вдасться, то ще його й покращимо.

Але перш, ніж ми почнемо я прошу звернути вашу увагу на «Пам’ятку для учнів». Ознайомтесь, будь-ласка, із запропонованими вам рекомендаціями. Якщо ви будете слідувати їм, то я впевнена, що сьогодні на уроці ви обов’язково виконаєте всі завдання тільки на високому рівні.

                                              

                                                    Справжній скарб для людини – вміння трудитися.

                                                                                                                           Езоп

                                            Пам’ятка для учнів.

  1.  Будь уважним.
  2.  Міркуй, шукай, порівнюй, роби висновки, працюй.
  3.  Шукай нові способи розв’язування проблеми.
  4.  Самостійно встановлюй зв’язки відомого з невідомим.
  5.  Будь наполегливим і не бійся помилитися.
  6.  Експериментуй та виправляй невдалі спроби.
  7.  Будь упевнений у своїх здібностях.

Для початку зробимо не великий екскурс в історію.

Ознайомитись з історичною довідкою і дати відповіді на запитання:

  1.  В якому столітті видатним астрологом ал-Беруні була доведена теорема синусів? XI)
  2.  Коли нею почали користуватися європейські математики? (у XVI столітті)
  3.  Яка теорема була доведена геометрично в «Началах» Евкліда? (теорема косинусів)
  4.  Ким і коли вона була сформульована словесно? (французьким математиком Франсуа Вієтом,  XVI століття)
  5.  Хто і коли надав їй сучасного вигляду? (французький математик Лазар Карно, у 1801 році)

Історична довідка.

Вчені Індії, зводили розв’язування будь-яких трикутників до розв’язування прямокутних трикутників  і не потребували теорему синусів і не знали її. Ця теорема була доведена лише в одинадцятому столітті видатним астрологом ал-Беруні. Теоремою синусів користувалися, починаючи з ХVI століття і європейські математики.

   Теорема косинусів була доведена, звичайно, геометрично ще в «Началах» Евкліда.

    Словесно теорема косинусів була вперше сформульована французьким  математиком Француа Вієтом в ХVI столітті.

Сучасний вид теорема косинусів приймає в 1801 році у французького математика Лазара Карно.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

1. Вказати назви сформульованих теорем.

Теорема 1.

Сторону трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів ( теорема синусів).

Теорема 2.

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними

 ( теорема косинусів).

Запишіть їх за допомогою формул.

( 1)       =   =  = 2R ;     2)     a2   = b2    + c2  - 2bc cos α.)

       2. Замість … вставити пропущені слова:

  1.  У будь-якому трикутнику відношення сторони до …дорівнює діаметру кола, описаного навколо цього трикутника (синуса протилежного кута).
  2.  У трикутнику проти … лежить більший кут, проти більшого кута лежить … ( більшої сторони; більша сторона).
  3.  Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін «±» подвоєний добуток однієї з них на проекцію другої. Знак «+» беремо тоді, коли протилежний кут …, а знак «-», коли …( тупий; гострий).
  4.  Теорему косинусів називають іноді узагальненою теоремою …(Піфагора).
  5.   … і … трикутника називаються основними його елементами ( сторони; кути).
  6.  Розв’язати трикутник означає: за даними … основними елементами трикутника … . При цьому серед заданих основних елементів хоча б один повинен бути … (трьома; знайти три інші його основні елементи; стороною трикутника).

3. Використовуючи малюнок заповнити пропуски у таблиці:

Основні задачі на обчислення елементів довільних трикутників

№.

Тип задачі

Дано

Знайти

1.

За стороною і прилеглими до неї  кутами

AB, A, B.

2.

За двома сторонами і кутом між ними

AB, A, B.

3.

AB, BC, AC

 A, B, C.

4.

За двома сторонами і кутом, протилежним одній із них

AC, BC, A

                         За трьома кутами задача розв’язків не має !

ІІІ. Розв’язування задач.

Учні, які мають середній і достатній рівні навчальних досягнень виконують задачі рівня А і рівня B, а ті,  які мають високий рівень – рівня В і рівня С.

Рівень А.

Задача 1.

Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 7 см, а кут між ними 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.

 Розв’язання.

Нехай АС=5см, АВ=7см, .

Використовуючи теорему косинусів маємо:

ВС² = АВ ² + АС ² – 2 АВ ·АС cos.

ВС ²  = 25 + 49 - 2·5·7· = 39.

ВС  =.

Відповідь: .

Задача 2.

Сторона трикутника дорівнює 10 см , а прилеглі до неї кути -  45° і 75°. Знайти сторону протилежну до кута 45°.

   Розв’язання.                                                   

 Нехай АС=10 см,  

ВС – сторона яка лежить проти кута 45°.

Використовуючи теорему синусів маємо:

= ;

                                                                          

   =

          

 Відповідь: 

Задача 3.

Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 9 см, 8 см. Знайти косинус кута, який лежить проти більшої сторони.

Розв’язання.

Нехай АС=6 см, СВ=8 см, АВ=9 см.

Використовуючи теорему косинусів маємо:

АВ² = АС ² + ВС ² – 2АС ·ВС· cosС;

81 = 36 + 64 - 2 cos;

96 cos=19;

cos=.

Відповідь: .

Задача 4.

Сторони трикутника 6 см і 3 см, а кут протилежний до більшої з цих сторін, дорівнює 60°. Знайти синус кута, що лежить проти меншої сторони.

Розв’язання.

Нехай АС=6 см, АВ=3 см ,

Використовуючи теорему синусів маємо: = ;      

 sin

Відповідь: 

Рівень Б.

Задача 1.

Вивести формулу для площі трикутника S = ,  де a, b, c сторони трикутника, R- радіус описаного кола.

Розв’язання.

= 2R ;    sinα = ;         S = bc sinα = bc  =  .

Що і треба було довести.

Задача 2.

Довести , що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.

Розв’язання.                              

Нехай AD  - бісектриса внутрішнього  А. Тоді

Що і треба було довести.

Задача 3.

Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Розв’язання.                                   

Нехай   Застосувавши теорему косинусів для трикутників АВD і ACD маємо:

Додаючи почленно рівності (1) і (2) отримаємо:

Що і треба було довести.

Задача 4.

Вивести формулу Герона для площі трикутника.

Розв’язання.

Як відомо:   a2   = b2    + c2 - 2bc cos α;     S=

Отже:                            

Підставимо знайдені вирази в формулу sin2α + cos²α = 1

Оскільки:

Маємо:   

Що і треба було довести.

Рівень В.

Задача 1.

Доведіть, що для довільного трикутника виконується рівність

r = , де rрадіус вписаного кола,  α, β, γ – кути трикутника, а – сторона , яка лежить проти кута α.

Розв’язання.

Нехай точка О – центр кола вписаного в трикутник АВС, ОК – його радіус, ОК=r. Так як центр вписаного кола це точка перетину бісектрис, то

Із  трикутника ВОС:

Використовуючи теорему синусів маємо:

Із трикутника ОКС :

  Що і треба було довести.

Задача 2.( теорема Стюарта)

Якщо а, в, с – сторони трикутника АВС і точка D  ділить сторону ВС на відрізки ,   то  

Розв’язання.

Нехай

Застосувавши теорему косинусів для трикутників АDС і ADВ маємо:

Помноживши (1)рівність на , а другу на  і почленно додавши маємо:

Отже: .

Що і треба було довести.

IV. Домашнє завдання.

Повторити теореми синусів, косинусів та наслідки з них.

Довести теорему Птолемея.

Якщо чотирикутник вписаний в коло, то добуток діагоналей чотирикутника дорівнює сумі добутків його протилежних сторін.

V. Підсумок уроку.

1. Закінчити речення:

1. Сьогодні на уроці я повторив …

2. Сьогодні на уроці я навчився …

3. Необхідно додатково попрацювати над …

4. Найважчим для мене було…

2. Порівняй свої знання на початку і в кінці уроку і дай відповіді на запитання:

Чи отримав ти задоволення від власної праці?

Який етап діяльності був найцікавіщим?

Які загальнонавчальні вміння допомагали у складних ситуаціях?

PAGE  1


С                       
D            B

А

EMBED Equation.3  

      B                          С

А                         D

A

А

В В

             

вввввввввввввв

ВВВВВВВ

   A

C                 D              B

С              

вввввввввввввв

В

5смм

7см

В

вввввввввввввв

С              

А

А

С              

вввввввввввввв

8см

В

6смм

9см

3см

6смм

В

вввввввввввввв

С              

А

B                K                          C

A

O


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69264. Методика вивчення об’єктів технологічної діяльності 338 KB
  Методика ознайомлення учнів п’ятого класу з використанням знарядь праці у процесі технологічної діяльності та об’єктами технологічної діяльності: машини, книги, меблі тощо. Вибір об’єкту технологічної діяльності залежно від потреб людини.
69265. Методи проектно-технологічної діяльності. Методика навчання учнів проектуванню та виготовленню об’єктів технологічної діяльності 180.5 KB
  Отже сьогодні мова очевидно буде йти не лише про ті методи які традиційно застосовував учитель і якими володів лише учитель але й про методи та прийоми активної та інтерактивної діяльності якими мають також володіти учні. Враховуючи інтереси учнів учитель складає банк навчальних...
69266. Методика вивчення в основній школі конструкційних матеріалів 58.5 KB
  Методика вивчення у п’ятому класі видів конструкційних матеріалів, які застосовуються для виготовлення виробів: деревина, метал, пластмаса, резина тощо; способів вибору конструкційних матеріалів для виготовлення виробів; формування в учнів поняття про 5х властивості.
69267. Створення меню 55.5 KB
  Як і решта всіх ресурсів додатку, ресурс меню розташований у файлі опису ресурсів з розширенням - гс (resource script). Для доступу до файлу ресурсу перейдіть до на вкладку Resources View (Ресурси), розташовану в нижній частина вікна представлення проекту.
69268. Створення обробників подій меню 30.5 KB
  Після того, як ресурс меню буде створений, можна переходити до розробки коди, пов’язаної з подіями пунктів меню. Щоб побачити цей процес у дії, досить клацнути правою кнопкою миші на пункті меню ID_SPEAK_BEFORMAL і в контекстному меню, що з’явилося, вибрати пункт Add Event Handler...
69269. Контекстні меню 33.5 KB
  З моменту дебюту Windows 95 корпорація Microsoft забезпечує застосування контекстних меню. Контекстне меню (context menu), іноді зване спливаючим меню (popup menu), ніяк не сполучене з рядком меню. Воно відображається у тому випадку, коли користувач, вибравши об’єкт, клацає правою кнопкою миші.
69270. Обробка подій миші 43 KB
  У цьому розділі розглядаються способи організації введення даних за допомогою миші і клавіатури. У першому розділі описується стандартна система введення даних, використовувана операційною системою Windows для контролю стану введення (input state).
69271. Рядок стану 64 KB
  Рядок стану є багатоелементною смугою, розташованою внизу фреймового вікна. Вона використовується для відображення різних даних, специфічних для цього додатку. Практично всі додатки Windows (як SDI, так і MDI) мають рядки стану. Крім того, вони є навіть у деяких діалогових застосувань.
69272. Створення і маніпулювання панелями інструментів 58 KB
  Оскільки панелі інструментів займають дорогоцінний екранний простір вони повинні містити лише найбільш часто використовувані команди. У достатньо великих застосуваннях для вирішення різних завдань застосовується декілька різних панелей інструментів.