53123

Розв’язування трикутників

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета: формувати вміння і навички розвязування трикутника за трьома його основними елементами; повторити теореми синусів косинусів та наслідки з них; повторити основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників; розвивати пошукову пізнавальну активність учнів логічне мислення уяву звязне мовлення; виховувати самостійність наполегливість впевненість у собі інтерес до предмету. Сторону трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів теорема синусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі...

Украинкский

2014-02-22

214.5 KB

6 чел.

Розв’язування трикутників.

Мета:

-   формувати вміння і навички розв’язування трикутника за трьома його основними елементами;

-   повторити теореми синусів , косинусів та наслідки з них;

-  повторити основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників;

- розвивати пошукову пізнавальну активність учнів, логічне мислення, уяву, зв’язне мовлення;

- виховувати самостійність, наполегливість, впевненість у собі, інтерес до предмету.

Тип уроку: урок закріплення.

Обладнання: інструктивна картка для учнів ( 1. Пам’ятка для учнів.

2. Історична довідка. 3. Умови задач рівнів А,В,С.)

                                                 

                                                        Математика цікава тоді,

                                                        коли живить нашу винахідливість

                                                       і здатність міркувати.

                                                                                            Д. Пойа

                                                                                                 

І.  Повідомлення теми і мети уроку.   Мотивація навчальної діяльності.

На попередніх уроках ви розглянули  теореми синусів, косинусів та наслідки з них, ввели поняття розв’язування трикутників, розглянули основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників.

Сьогодні  перед нами стоїть задача:

  •  повторити все, що вивчили;
  •  пригадати те, що забули;
  •  вміло застосовувати отримані знання до розв’язування геометричних задач.

Незважаючи на те, що попереду у нас велика пізнавальна робота, я сподіваюсь, що ми зможемо зберегти гарний настрій до кінця уроку, а якщо вдасться, то ще його й покращимо.

Але перш, ніж ми почнемо я прошу звернути вашу увагу на «Пам’ятку для учнів». Ознайомтесь, будь-ласка, із запропонованими вам рекомендаціями. Якщо ви будете слідувати їм, то я впевнена, що сьогодні на уроці ви обов’язково виконаєте всі завдання тільки на високому рівні.

                                              

                                                    Справжній скарб для людини – вміння трудитися.

                                                                                                                           Езоп

                                            Пам’ятка для учнів.

  1.  Будь уважним.
  2.  Міркуй, шукай, порівнюй, роби висновки, працюй.
  3.  Шукай нові способи розв’язування проблеми.
  4.  Самостійно встановлюй зв’язки відомого з невідомим.
  5.  Будь наполегливим і не бійся помилитися.
  6.  Експериментуй та виправляй невдалі спроби.
  7.  Будь упевнений у своїх здібностях.

Для початку зробимо не великий екскурс в історію.

Ознайомитись з історичною довідкою і дати відповіді на запитання:

  1.  В якому столітті видатним астрологом ал-Беруні була доведена теорема синусів? XI)
  2.  Коли нею почали користуватися європейські математики? (у XVI столітті)
  3.  Яка теорема була доведена геометрично в «Началах» Евкліда? (теорема косинусів)
  4.  Ким і коли вона була сформульована словесно? (французьким математиком Франсуа Вієтом,  XVI століття)
  5.  Хто і коли надав їй сучасного вигляду? (французький математик Лазар Карно, у 1801 році)

Історична довідка.

Вчені Індії, зводили розв’язування будь-яких трикутників до розв’язування прямокутних трикутників  і не потребували теорему синусів і не знали її. Ця теорема була доведена лише в одинадцятому столітті видатним астрологом ал-Беруні. Теоремою синусів користувалися, починаючи з ХVI століття і європейські математики.

   Теорема косинусів була доведена, звичайно, геометрично ще в «Началах» Евкліда.

    Словесно теорема косинусів була вперше сформульована французьким  математиком Француа Вієтом в ХVI столітті.

Сучасний вид теорема косинусів приймає в 1801 році у французького математика Лазара Карно.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

1. Вказати назви сформульованих теорем.

Теорема 1.

Сторону трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів ( теорема синусів).

Теорема 2.

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними

 ( теорема косинусів).

Запишіть їх за допомогою формул.

( 1)       =   =  = 2R ;     2)     a2   = b2    + c2  - 2bc cos α.)

       2. Замість … вставити пропущені слова:

  1.  У будь-якому трикутнику відношення сторони до …дорівнює діаметру кола, описаного навколо цього трикутника (синуса протилежного кута).
  2.  У трикутнику проти … лежить більший кут, проти більшого кута лежить … ( більшої сторони; більша сторона).
  3.  Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін «±» подвоєний добуток однієї з них на проекцію другої. Знак «+» беремо тоді, коли протилежний кут …, а знак «-», коли …( тупий; гострий).
  4.  Теорему косинусів називають іноді узагальненою теоремою …(Піфагора).
  5.   … і … трикутника називаються основними його елементами ( сторони; кути).
  6.  Розв’язати трикутник означає: за даними … основними елементами трикутника … . При цьому серед заданих основних елементів хоча б один повинен бути … (трьома; знайти три інші його основні елементи; стороною трикутника).

3. Використовуючи малюнок заповнити пропуски у таблиці:

Основні задачі на обчислення елементів довільних трикутників

№.

Тип задачі

Дано

Знайти

1.

За стороною і прилеглими до неї  кутами

AB, A, B.

2.

За двома сторонами і кутом між ними

AB, A, B.

3.

AB, BC, AC

 A, B, C.

4.

За двома сторонами і кутом, протилежним одній із них

AC, BC, A

                         За трьома кутами задача розв’язків не має !

ІІІ. Розв’язування задач.

Учні, які мають середній і достатній рівні навчальних досягнень виконують задачі рівня А і рівня B, а ті,  які мають високий рівень – рівня В і рівня С.

Рівень А.

Задача 1.

Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 7 см, а кут між ними 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.

 Розв’язання.

Нехай АС=5см, АВ=7см, .

Використовуючи теорему косинусів маємо:

ВС² = АВ ² + АС ² – 2 АВ ·АС cos.

ВС ²  = 25 + 49 - 2·5·7· = 39.

ВС  =.

Відповідь: .

Задача 2.

Сторона трикутника дорівнює 10 см , а прилеглі до неї кути -  45° і 75°. Знайти сторону протилежну до кута 45°.

   Розв’язання.                                                   

 Нехай АС=10 см,  

ВС – сторона яка лежить проти кута 45°.

Використовуючи теорему синусів маємо:

= ;

                                                                          

   =

          

 Відповідь: 

Задача 3.

Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 9 см, 8 см. Знайти косинус кута, який лежить проти більшої сторони.

Розв’язання.

Нехай АС=6 см, СВ=8 см, АВ=9 см.

Використовуючи теорему косинусів маємо:

АВ² = АС ² + ВС ² – 2АС ·ВС· cosС;

81 = 36 + 64 - 2 cos;

96 cos=19;

cos=.

Відповідь: .

Задача 4.

Сторони трикутника 6 см і 3 см, а кут протилежний до більшої з цих сторін, дорівнює 60°. Знайти синус кута, що лежить проти меншої сторони.

Розв’язання.

Нехай АС=6 см, АВ=3 см ,

Використовуючи теорему синусів маємо: = ;      

 sin

Відповідь: 

Рівень Б.

Задача 1.

Вивести формулу для площі трикутника S = ,  де a, b, c сторони трикутника, R- радіус описаного кола.

Розв’язання.

= 2R ;    sinα = ;         S = bc sinα = bc  =  .

Що і треба було довести.

Задача 2.

Довести , що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.

Розв’язання.                              

Нехай AD  - бісектриса внутрішнього  А. Тоді

Що і треба було довести.

Задача 3.

Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Розв’язання.                                   

Нехай   Застосувавши теорему косинусів для трикутників АВD і ACD маємо:

Додаючи почленно рівності (1) і (2) отримаємо:

Що і треба було довести.

Задача 4.

Вивести формулу Герона для площі трикутника.

Розв’язання.

Як відомо:   a2   = b2    + c2 - 2bc cos α;     S=

Отже:                            

Підставимо знайдені вирази в формулу sin2α + cos²α = 1

Оскільки:

Маємо:   

Що і треба було довести.

Рівень В.

Задача 1.

Доведіть, що для довільного трикутника виконується рівність

r = , де rрадіус вписаного кола,  α, β, γ – кути трикутника, а – сторона , яка лежить проти кута α.

Розв’язання.

Нехай точка О – центр кола вписаного в трикутник АВС, ОК – його радіус, ОК=r. Так як центр вписаного кола це точка перетину бісектрис, то

Із  трикутника ВОС:

Використовуючи теорему синусів маємо:

Із трикутника ОКС :

  Що і треба було довести.

Задача 2.( теорема Стюарта)

Якщо а, в, с – сторони трикутника АВС і точка D  ділить сторону ВС на відрізки ,   то  

Розв’язання.

Нехай

Застосувавши теорему косинусів для трикутників АDС і ADВ маємо:

Помноживши (1)рівність на , а другу на  і почленно додавши маємо:

Отже: .

Що і треба було довести.

IV. Домашнє завдання.

Повторити теореми синусів, косинусів та наслідки з них.

Довести теорему Птолемея.

Якщо чотирикутник вписаний в коло, то добуток діагоналей чотирикутника дорівнює сумі добутків його протилежних сторін.

V. Підсумок уроку.

1. Закінчити речення:

1. Сьогодні на уроці я повторив …

2. Сьогодні на уроці я навчився …

3. Необхідно додатково попрацювати над …

4. Найважчим для мене було…

2. Порівняй свої знання на початку і в кінці уроку і дай відповіді на запитання:

Чи отримав ти задоволення від власної праці?

Який етап діяльності був найцікавіщим?

Які загальнонавчальні вміння допомагали у складних ситуаціях?

PAGE  1


С                       
D            B

А

EMBED Equation.3  

      B                          С

А                         D

A

А

В В

             

вввввввввввввв

ВВВВВВВ

   A

C                 D              B

С              

вввввввввввввв

В

5смм

7см

В

вввввввввввввв

С              

А

А

С              

вввввввввввввв

8см

В

6смм

9см

3см

6смм

В

вввввввввввввв

С              

А

B                K                          C

A

O


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32654. Место и роль управления проектами в современной теории управления. Сущность проектного и процессного подходов 35 KB
  Роль управления проектами в современном мире. Эти средства активно применяются не только для управления федеральными проектами и программами но и для осуществления управленческих функций внутри правительственного аппарата. В России же где организационная система и методы управления гораздо слабее чем на Западе эффект от внедрения УП окажется еще более значительным.
32655. Основные признаки, понятия и характеристики проекта 30 KB
  Основные признаки понятия и характеристики проекта. Но цели проекта ограничены во времени. При успешном завершении проекта целевая установка данная руководителю проекта заказчиком отпадает. Признак изменения Этот признак является наиболее важной характеристикой проекта так как осуществление проекта всегда несет изменения вещественной системы или предметной области в которой реализуется проект.
32656. Особенности управления программами и портфелями проектов 40.5 KB
  Особенности управления программами и портфелями проектов. При определенных условиях множество взаимосвязанных проектов объединяются в программу. Программа может быть сформулирована в терминах проектов и представлена как совокупность проектов объединенных общей целью выделенными ресурсами временем на ее выполнение технологией организацией и др. В дальнейшем мы будем рассматривать программы как совокупность проектов.
32657. Классификация проектов и программ 28 KB
  в которых осуществляется проект: социальные проекты экономические проекты организационные проекты технические проекты смешанные проекты. Сложные проекты включающие подпроекты и элементы различных типов проектов. Вид проекта: По характеру предметной области проекта: учебнообразовательные проекты; проекты исследования и развития; инновационные проекты.; инвестиционные проекты.
32658. Понятие о декомпозиции работ по проекту. Критерии выбора эффективной декомпозиции работ 46 KB
  Понятие о декомпозиции работ по проекту. Критерии выбора эффективной декомпозиции работ. Структура разбиения декомпозиции работ WBS Work Brekdown Structure иерархическая структура последовательной декомпозиции проекта на подпроекты пакеты работ различного уровня пакеты детальных работ. СРР является базовым средством для создания системы управления проектом так как позволяет решать проблемы организации работ распределения ответственности оценки стоимости создания системы отчетности эффективно поддерживать процедуры сбора...
32659. Типы структурных моделей проекта 202 KB
  Типы структурных моделей проекта. Типы структурных моделей проектов Типы структурных моделей проекта. Структурная модель проекта и принцип структуризации широко используются для построена и других структурных моделей применяемых в управлении проектом. Отметим наиболее существенные из них: Дерево целей и результатов первая по времени разработки структурная модель декомпозиции цели проекта на составные части.
32660. Жизненные циклы проекта и продукта 26.5 KB
  Жизненные циклы проекта и продукта. Жизненный цикл проекта совокупность последовательных фаз развития проекта и изобразить его концептуальную схему. Наиболее традиционным является разбиение проекта на четыре крупных этапа: определение проекта концепция разработка реализация и завершение. Определение проекта по существу подразумевает функцию выбора проекта.
32661. Участники проекта и их роль в обеспечении успеха проекта 31 KB
  Участники проекта и их роль в обеспечении успеха проекта. В настоящем разделе работы рассматривается состав участников проекта их роли и взаимосвязи распределение функций и ответственности. Главный участник Заказчик будущий владелец и пользователь результатов проекта. При этом заказчиком может быть как одна единственная организация так и несколько организаций объединивших свои усилия интересы и капиталы для реализации проекта и использования его результатов.
32662. Окружающая среда проекта 28 KB
  Окружающая среда проекта. Окружение проекта Каждый проект нужно рассматривать а также управлять им учитывая окружение в котором он существует. Окружающая среда проекта это совокупность внешних и внутренних в отношении проекта факторов влияющих на достижение результатов проекта. В данном разделе необходимо проанализировать факторы ближнего и дальнего окружения проекта которые могут оказать влияние на реализацию проекта.