5313

Атом водорода

Контрольная

Физика

Атом водорода В атоме водорода или водородоподобном ионе потенциальная энергия электрона равна где Ze заряд ядра, r расстояние между ядром и электроном. Уравнение Шредингера имеет в этом случае вид Поскольку п...

Русский

2012-12-07

198.5 KB

16 чел.

Атом водорода

В атоме водорода или водородоподобном ионе потенциальная энергия электрона равна  где Ze — заряд ядра, r — расстояние между ядром и электроном.

Уравнение Шредингера имеет в этом случае вид  (1)

Поскольку поле является центрально-симметричным, удобно воспользоваться сферической системой координат: r, , . Подставив в (1) выражение оператора Лапласа в сферических координатах, получим уравнение:

 (2)

Можно показать, что уравнение (2) имеет требуемые (т. е. однозначные, конечные и непрерывные) решения в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях Е; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных  (n=1, 2, 3,…).  (3)

Случай Е > 0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся вновь на бесконечность. Случай Е < 0 соответствует электрону, находящемуся в пределах атома. Сравнение (3) с (5) показывает, что квантовая механика приводит к таким же значениям энергии водородного атома, какие получались и в теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения полу- чаются логическим путем из основного предположения о том, что движение микрочастиц описывается уравнением Шредингера. Бору же для получения такого результата пришлось вводить специальные дополнительные предположения.

Собственные функции уравнения (2) содержат три целочисленных параметра. Один из них совпадает с номером уровня энергии п, два других принято обозначать буквами l и т. Эти числа называются квантовыми:

п — главное квантовое число,

l — азимутальное квантовое число,

т — магнитное квантовое число.

При данном п числа l и т могут принимать следую» щие значения:

L = 0, 1, 2, …, п -1,

т. е. всего п различных значений;

т=-l, -l+1, .... -1, 0, +1, .... l-1, l,

т. е. всего 2l + 1 различных значений.

Таким образом, каждому Еп (кроме Е1) соответствует несколько волновых функций  отличающихся значениями квантовых чисел l и т. Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях.

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня.

Кратность вырождения уровней водорода легко вычислить, исходя из возможных значений для l и т. Каждому из п значений квантового числа l соответствует 2l + 1 значений квантового числа т. Следовательно, число   различных состоя-

ний, соответствующих данному п, равно

Таким образом, каждый уровень энергии водородного атома имеет вырождение кратности п2.

В табл. 3 приведены состояния, соответствующие первым трем энергетическим уровням.

Как мы выяснили, состояние электрона в водородном атоме зависит от трех квантовых чисел п, l и т, причем значение главного квантового числа п. определяет энергию состояния. Естественно предположить, что и два других квантовых числа определяют какие-то физические величины. Действительно, в квантовой механике доказывается, что азимутальное квантовое число l определяет величину момента импульса электрона в атоме, а магнитное квантовое число т — величину проекции этого момента на заданное направление в пространстве. Под заданным направлением (мы будем обозначать его буквой z) понимают направление, выделенное физически,путем создания, например магнитного или электрического поля.

Момент импульса М оказывается равным:  (4)

Проекция момента импульса на заданное направление равна: Мz = mh. (5)

Соотношения (4) и (5) показывают, что момент импульса электрона в атоме и проекция этого момента являются, как и энергия, квантованными величинами. Постоянную h можно рассматривать как естественную единицу момента импульса.

Итак, состояния с различными значениями азимутального квантового числа l отличаются величиной момента импульса. В атомной физике применяются заимствованные из спектроскопии условные обозначения состояний электрона с различными значениями момента импульса. Электрон, находящийся в состоянии с l = 0, называют s-электроном (соответствующее состояние — s-состояни-ем), с l = 1 — р-электроном, с l = 2 d-электроном, с l = 3 — f-электроном, затем идут g, h и т. д. уже по алфавиту. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением квантового числа l. Таким образом, электрон в состоянии с п = 3 и l = 1 обозначается символом Зр и т. д.

Поскольку l всегда меньше п, возможны следующие состояния электрона:

1s

2s, 2p,

3s, 3p, 3d,

4s, 4p, 4d, 4f

и.т.д.

Схему уровней энергии можно изобразить пользуясь схемой, показанной на рис. 1. На этой схеме отражено (правда, частично) вырождение уровней; кроме того, она имеет еще ряд существенных преимуществ, которые вскоре станут очевидными.

Мы знаем, что испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. В квантовой механике доказывается, что возможны только такие переходы, при которых квантовое число / изменяется на единицу: . (6)

Условие, выраженное соотношением (6), называется правилом отбора. Существование правила (6) обусловлено тем, что фотон обладает собственным моментом импульса (спином), равным примерно h (в дальнейшем мы уточним его значение). При испускании фотон уносит из атома этот момент, а при поглощении привносит, так что правило отбора (6) есть просто следствие закона сохранения момента импульса.

На рис. 198 показаны переходы, разрешенные правилом (6). Пользуясь условными обозначениями состояний электрона, переходы, приводящие к возникновению серии Лаймана, можно записать в виде:

np1s    (n = 2, 3, ...); серии Бальмера соответствуют переходы:

ns2p и nd2p    (n = 3, 4, ...),

и т. д.

Состояние 1s является основным состоянием атома водорода. В этом состоянии атом обладает минимальной энергией. Чтобы перевести атом из основного состояния в возбужденное (т. е. в состояние с большей энергией), ему необходимо сообщить энергию. Это может быть осуществлено за счет теплового соударения атомов (по этой причине нагретые тела светятся — атомы излучают, возвращаясь из возбужденного в основное состояние), или оптического возбуждения. Кроме обозначенных квантовых чисел имеет место спиновое квантовое число, характеризующее собственный механический момент электрона в атоме.

Нормальный эффект Зеемана

Если атомы, излучающие свет, поместить в магнитное поле, то линии, испускаемые этими атомами, расщепляются на несколько компонент. Это явление было обнаружено голландским физиком Зееманом в 1896 г. при наблюдении свечения паров натрия и носит его имя. Расщепление весьма невелико — при Н = 20  30 тысяч эрстед оно достигает лишь несколько десятых долей ангстрема.

Напрашивается предположение, что расщепление линий обусловлено расщеплением под действием магнитного поля энергетических уровней атома. Причину такого расщепления легко понять, если учесть, что вращающийся по орбите электрон обладает, наряду с механическим  моментом М, также и магнитным моментом: (6)

Хотя представление об орбитах, как и вообще представление о траекториях микрочастиц, является неправильным, соотношение (6) остается, как показывает опыт, справедливым.

Известно, что магнитный момент обладает в магнитном поле энергией:

(7) где  — проекция магнитного момента на направление поля.

Вычислим величину орбитального магнитного момента электрона и величину проекции момента на направление поля. Подставим в соотношение (7) квантово-механическое выражение для механического момента:

Величина  эрг/гаусс (8) называется магнетоном Бора.

Проекция магнитного момента на направление поля равна: где  т — магнитное квантовое число.

Согласно (7) атом получает в магнитном поле добавочную энергию:

Следовательно, энергетический уровень Enl расщепляется на 2l + 1 равноотстоящих друг от друга подуровней (магнитное поле снимает вырождение по т), в связи с чем расщепляются и спектральные линии.

На рис. 1 показано рacщепление  уровней и спектральных линий для перехода между состояниями сl = 1 и l = 0 (для Р  S-перехода). В отсутствие поля наблюдается одна линия, частота которой обозначена . При включении поля, кроме линии o, появляются две

расположенные  симметрично  относительно  нее линии с частотами  и .

На рис. 202 дана аналогичная схема для более сложного случая — для перехода DP. На первый взгляд может показаться, что первоначальная линия должна в этом случае расщепиться на семь компонент. Однако на самом деле получается, как и в предыдущем случае, лишь три компоненты: линия с частотой ю0 и две симметрично расположенные относительно нее линии с частотами  и . Это объясняется тем, что для магнитного квантового числа т также имеется правило отбора, согласно которому возможны только такие переходы, при которых квантовое число т либо остается неизменным, либо изменяется на единицу:

(8)

Происхождение этого правила можно пояснить следующим образом. Если механический момент электрона

при излучении изменяется на единицу (фотон уносит с собой момент, равный единице), то изменение проекции момента не может быть больше единицы.

С учетом правила (9) возможны только переходы, указанные на рис. 3. В результате получаются три компоненты с частотами, указанными выше. Опыт показывает, что эти компоненты поляризованы. Характер поляризации зависит от направления наблюдения. При поперечном наблюдении (т. е. при наблюдении в направлении, перпендикулярном к вектору Н ) световой (электрический) вектор несмещенной компоненты (ее называют я-компонентой) колеблется в направлении, параллельном вектору Н, а в смещенных с-компонентах — в направлении, перпендикулярном к Н (рис. 3, а). При продольном наблюдении получаются только две смещенные компоненты. Обе поляризованы по кругу: смещенная в сторону меньших частот — против часовой стрелки, смещенная в сторону больших частот — по часовой стрелке (рис. 3, б).

Получающееся в рассмотренных случаях смещение компонент называется  нормальным или лоренцевым смещением. Величина нормального смещения, очевидно, равна:

 (9)

Оценим величину расщепления компонент ДХ для поля порядка 104 эрстед. Поскольку ,

Частота и для видимого света имеет порядок 3-1015 сек-1 .Следовательно,


за счет столкновения атома с достаточно быстрым электроном, или, наконец, за счет поглощения атомом фотона.

Фотон при поглощении его атомом исчезает, передавая атому всю свою энергию. Атом не может поглотить только часть фотона, ибо фотон, как и электрон, как и

другие элементарные частицы, является неделимым. Поэтому атом может поглощать только те фотоны, энергия которых в точности соответствует разности энергий двух его уровней. Поскольку поглощающий атом обычно находится в основном состоянии, спектр поглощения водородного атома должен состоять из линий, соответствующих переходам

1snp    (n = 2, 3, ...). Этот результат полностью согласуется с опытом.

Собственные функции s-состояний (т. е. состояний с l = 0) оказываются не зависящими от углов  и . Это можно записать следующим образом:

Вероятность найти электрон в тонком шаровом слое радиуса r и толщины dr согласно (66.1) равна .

Выражение  представляет собой плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра.

Волновые функции для l, отличных от нуля, распадаются на два множителя, один из которых зависит только от r, а другой — только от углов  и . Таким образом, и в этом случае можно ввести понятие плотности вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра, подразумевая под R(r) ту часть функции , которая зависит только от r.

На рис. 5 приведены плотности вероятности для случаев: 1) п = 1, l = 0; 2) п = 2, l = 1 и 3) п = 3, l = 2. За единицу масштаба для оси r принят радиус первой боровской орбиты. На графиках отмечены радиусы соответствующих боровских орбит. Как видно из рисунка, эти радиусы совпадают с наиболее вероятными расстояниями электрона от ядра.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31766. Спрос и предложение. Равновесная и рыночная цена. Нарушение равновесия 32 KB
  Изменение цены на сопряженные товары. Изменение денежных доходов населения. Изменение вкусов покупателей. Изменение числа покупателей.
31767. Сравнительная характеристика специальных налоговых режимов 44.5 KB
  ЕСХН п. При ЕСХН п. Не вправе: 1 организации имеющие филиалы и или представительства; 2 банки; 3 страховщики; 4 негосударственные пенсионные фонды; 5 инвестиционные фонды; 6 профессиональные участники рынка ценных бумаг; 7 ломбарды; 8 организации и ИП занимающиеся производством подакцизных товаров и добычей реализацией полезных ископаемых кроме общераспространенных; 9 занимающиеся игорным бизнесом; 10 нотариусы адвокаты; 11 участники соглашений о разделе продукции; 12 те кто перешел на ЕСХН в соответствии с гл. На ЕСХН...
31769. Страховые в организациях АПК 39.5 KB
  В соответствии со статьей 12 Федерального закона О развитии сельского хозяйства предусмотрены субсидии на компенсацию не менее 50 уплаченной страховой премии страхового взноса по договорам страхования урожая сельскохозяйственных культур заключенные ими со страховыми организациями имеющими лицензию на проведения данного вида страхования. Страховые случаи: Посевы сельскохозяйственных культур и урожая многолетних насаждений считаются застрахованными на случай их уничтожения или повреждения в результате воздействия опасных для производства...
31770. Тарифы страховых взносов во внебюджетные фонды в 2012 году 30 KB
  С 1 января 2012 года вступают в силу изменения внесенные в закон о страховых взносах. Напомним что в текущем году совокупная ставка страховых взносов составляет 34. Начиная со следующего года ставка страховых взносов в ПФР уменьшится с 26 до 22.
31771. Субъекты обязательного аудита 32.5 KB
  Постановлением правительства №1355 и №408 установлено что бухгалтерская и финансовая отчетность экономических субъектов подлежит обязательной ежегодной аудиторской проверке по следующим критериям системе показателей: 1. Подлежат обязательной ежегодной аудиторской проверке экономические субъекты имеющие организационноправовую форму открытого акционерного общества независимо от числа его участников и размера уставного капитала. Обязательной аудиторской проверке подлежат: банки и другие кредитные учреждения; страховые организации и общества...
31772. Сущность и принципы нормативного метода учета затрат 35.5 KB
  Сущность и принципы нормативного метода учета затрат. Варианты организации нормативного учета затрат Сущность нормативного метода учета затрат Нормативный метод учета затрат система производственного учета объединяющая оперативный аналитический и калькуляционный виды учета тесно связанная с планированием нормированием и организацией производства. предполагает установление норм потребления ресурсов и учетных цен этих ресурсоворганизацию учета по установленным нормам нормативам затрат; учет отклонений от норм с установлением их размера...
31773. Сущность системы «директ-костинг» 37.5 KB
  Постоянные расходы не включают в расчет себестоимости изделий а как расходы данного периода списывают с полученной прибыли в течение того периода в котором они были произведены. Маржинальным доходом называется сумма постоянных затрат и прибыли или сумма покрытия. В отчете о финансовых результатах видно изменение прибыли вследствие изменения переменных расходов цен реализации и структуры выпускаемой продукции. Хозяйственная деятельность представляет собой процесс инвестирования финансовых ресурсов с целью получения прибыли.
31774. Сущность‚ роль и функции экономического контроля в управлении экономикой 31.5 KB
  Функционально система управления любого уровня состоит из системы прогнозирования экономического анализа планирования организации оперативного регулирования учета и контроля. Одним из основных вопросов контроля является определение его сущности. Важным звеном единой системы финансовохозяйственного контроля является экономический контроль.