53216

ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФІКІВ З МОДУЛЕМ ДО РОЗВЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ З МОДУЛЕМ

Научная статья

Педагогика и дидактика

Цього можна досягти якщо попередньо над даним рівнянням виконати деякі перетворення які приводять до рівняння еквівалентного початковому: такі перетворення інколи зводяться до перенесення деяких членів рівняння з однієї його частини в другу.

Украинкский

2014-03-29

132.5 KB

0 чел.

ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФІКІВ З МОДУЛЕМ ДО  РОЗВЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ З МОДУЛЕМ

При графічному розв'язуванні рівнянь доцільно їх записувати у такому вигляді: f (х) = φ (х), де функції f (х) і φ (х) добираються так, щоб побудова їх графіків була якомога простішою. Цього можна досягти, якщо попередньо над даним рівнянням виконати деякі перетворення, які приводять до рівняння еквівалентного початковому: такі перетворення інколи зводяться до перенесення деяких членів рівняння з однієї його частини в другу. Тоді будуємо графіки функцій у1 = f (х) і у2=φ (х). Загальним розв'язком рівняння буде множина абсцис усіх спільних точок побудованих графіків.

Приклад 1

Розв'язати графічно рівняння

4 + Зх-х2= | 1 + х |

Будуємо графіки

у1 = 4 + Зх-х2 і у2=| 1 +х |

«Рис. 1»                                          

- х2 + Зх + 4 = 0 х2-Зх-4 = 0

х1=-1; х2 = 4 Якщо х = 0, то у = 4

Х=-b\2a , х = 1,5, у = - 2,25 + 4,5 + 4 = 6,25

Відповідь: - 1; З

Приклад 2

Розв'язати графічно рівняння

| х2 — 2х — 3 | = х + 1  

y1= | х2 — 2х — 3 |, y2=x+1

х2 — 2х — 3 =0

x1=-1; x2=3

У = 1-2-3=-4. Якщо х = 0, то у = - 3.

«Рис. 2»

Відповідь: - 1; 2; 4

Бувають випадки, що ніякі алгебраїчні перетворення не допомагають розв'язати рівняння або нерівність (або розв'язання дуже громіздке), тоді

ключем до розв'язання є вивчення області визначення функцій, які входять в

рівняння або нерівність, або їх множини значень.


Приклад З

Розв'язати рівняння

x4=2х2+2=1-

Розглянемо функції f1(х)=x4-2x2+2 i f2(х)=1-

Перетворимо f1(х)=x4-2x2+2=(х2-1)2+1. Звідки видно, що f1(х)≥1 при всіх х, причому значення 1 функція f1(х)= набуває лише при х=±1. Для функції f2(х) має місце нерівність f2(х)≤1, так як значення арифметичного квадратичного кореня завжди невід'ємне. Отже рівність  f1(х)= f2(х) можлива лише при х=±1. Перевіркою встановлюємо, що х=-1 не єкоренем даного рівняння.

Відповідь: х=1

Приклад 4

Розв'язати графічно рівняння

2-1,5х-1 | =-х2-4х + а (1)

 

Знаходимо корені квадратного тричлена х2 -1,5х - 1. Маємо: х1=-0,5 х2 = 2.

Якщо х є (- ∞; -0,5]  u[ 2; оо ), то рівняння можна записати у вигляді

х2 – 1,5x-1=-х2-4х + а  або, що те саме а = 2х2 + 2,5х – 1       (2)

Якщо є (- 0,5-; 2), то рівняння (1) запишеться так: а = 5,5х +1  (3)

Побудуємо графік функції (2). Для х є (-∞; - ] u [ 2; оо ) цей графік

збітється з частинами параболи (на рисунку вони зображені товстими

лініями). Якщо х є (-0,5; 2 ), то

цей графік збігається з відрізком прямої а = 5,5х + 1. щоб знайти корені

цього рівняння треба провести через точку ( 0; а ) пряму паралельну осі Ох і знайти точку перетину її з графіком функції z ( х; а ) = 0; абсцисами цих точок є корені рівняння (1).

З рисунка бачимо, що при а = - 57\32 дане рівняння має тільки один дійсний

 

корінь. Якщо а > -57\32  то рівняння завжди має два дійсних корені. При а < -57\32 рівняння не має дійсних коренів.

«Рис. З»

Нехай треба розв'язати нерівність f(х; у ) > 0, де f (х; у ) деяка функція змінних х і у. Розглянемо рівняння f (х; у ) = 0. Геометричним образом цього рівняння є, як правило, деяка лінія, яка поділяє координатну площину на області, в кожній з яких функція зберігає знак.

Тому, геометричним образом множини розв'язків нерівності f (х; у ) > 0 будуть ті області (крім точок границі області), координати точок яких задовольняють умову f (х; у ) > 0.

У випадку нестрогої нерівності f (х; у) > 0 до множини точок, координати

яких задовольняють строгу нерівність, треба приєднати точки, які належать

границі цієї області, тобто точки, координати яких задовольняють рівняння

F (х;у) = 0.

4

Для встановлення знака f (х; у ) в тій чи іншій області досить обчислити

значення функції f (х; у ) у довільній точці відповідної області.

Приклад 5

Розв'язати графічно нерівність

|X|  > X2 - X

Побудуємо графіки функцій у1 = f 1 (х) = |х| i

                  y=f2(x)=x2-x

I i У2 = f

Розв'язками нерівності  f1(х) > f2 (х) є дійсні числа х, для яких графік

функцій у1 = f1 (х) розташований вище графіка функцій у2 = f2(х)

Відповідь: х є (0; 2 )

Приклад 6

Розв'язати нерівність

х2-2|х|<3

У1= х2-2 |х|, у2=3

                                                      

Відповідь: х є (- 3; 3 )

Приклад 7

Розв'язати графічно нерівність

2-1,5х-1| + х2 + 4х-а>0

Геометричним образом рівняння z (х; а) = | х21,5х - 1 | є лінія, яка поділяє координатну площину на дві області, в кожній з яких функція z(х; а) зберігає знак. Знайдемо знак функції z (х; а) в початку координат z(0; 0) = 1 > 0.

Отже, геометричним образом множини розв'язків нерівності буде область, яка знаходиться нижче від лінії z(x;a)=0 (крім точок границі області).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19839. Правовое положение населения по Русской правде 20.98 KB
  Правовое положение населения по Русской правде В Киевской Руси можно выделить 3 основных социальных класса. 1. Представители привилегированного слоя: Бояре советники старшие дружинники князя; Княжьи мужи лица исполняющие важнейшие поручения князя близкие к н...
19840. Гражданское право по Русской Правде 19.3 KB
  Гражданское право по Русской Правде Гражданское право – это вещное и семейное право. Разделов нет. Упоминается о праве собственности по отношению движимых вещей. Понятие недвижимости ещё нет земля принадлежит общине или всему роду боярскому родовая традиция.
19841. Регулирование вещного права по Псковской судной грамоте 24.49 KB
  Регулирование вещного права по Псковской судной грамоте Вещное право разделяло имущество на недвижимые отчина и движимые живот; различало наследственное вотчина и условное кормля землевладение. Большое внимание уделялось земле как объекту права собствен...
19842. Понятие компьютинга и дискретной математики 214.5 KB
  Лекция 1 Понятие компьютинга и дискретной математики Компьютинг computing – это широкая область знаний которая не может быть сведена к рамкам какойлибо из составляющих ее дисциплин. Основы компьютинга включают в себя основы информатики и математики необходимые для п
19843. Исследование статической характеристики измерительной системы 169 KB
  Лабораторная работа №1 Исследование статической характеристики измерительной системы 1. Цель работы Цель работы – закрепить теоретический материал по статическим характеристикам измерительных систем и научиться производить анализ статических характерис...
19844. МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ЭЛЕМЕНТОВ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 189 KB
  МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ЭЛЕМЕНТОВ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 1 Цель работы Цель работы – приобрести умение производить выбор набора измерительных преобразователей для измерительной системы на основе оценки предельной допускаемой погрешности измерения это...
19845. Расчет метрологических характеристик плунжерного электромагнитного измерительного преобразователя 340.5 KB
  Лабораторная работа №3 Расчет метрологических характеристик плунжерного электромагнитного измерительного преобразователя 1 Цель работы Цель работы – закрепить теоретический материал по первичным измерительным преобразователям электромагнитного типа и ...
19846. Прикладное программирование 2.11 MB
  Совокупность программ, предназначенная для решения задач на ПК, называется программным обеспечением. Состав программного обеспечения ПК называют программной конфигурацией.
19847. ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ. Закон исключенного третьего 202.5 KB
  Лекция 1.1. ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ Введение 1.1. Формальная логика как наука о мышлении. 1.2. Структура формальной логики. 1.3. Практическое значение формальной логики. 1.4. Основные формальнологические законы. 1.4.1. Общие замечания. 1.4.2. Закон тождества. 1.4.3. Закон противоречия...