53216

ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФІКІВ З МОДУЛЕМ ДО РОЗВЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ З МОДУЛЕМ

Научная статья

Педагогика и дидактика

Цього можна досягти якщо попередньо над даним рівнянням виконати деякі перетворення які приводять до рівняння еквівалентного початковому: такі перетворення інколи зводяться до перенесення деяких членів рівняння з однієї його частини в другу.

Украинкский

2014-03-29

132.5 KB

0 чел.

ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФІКІВ З МОДУЛЕМ ДО  РОЗВЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ З МОДУЛЕМ

При графічному розв'язуванні рівнянь доцільно їх записувати у такому вигляді: f (х) = φ (х), де функції f (х) і φ (х) добираються так, щоб побудова їх графіків була якомога простішою. Цього можна досягти, якщо попередньо над даним рівнянням виконати деякі перетворення, які приводять до рівняння еквівалентного початковому: такі перетворення інколи зводяться до перенесення деяких членів рівняння з однієї його частини в другу. Тоді будуємо графіки функцій у1 = f (х) і у2=φ (х). Загальним розв'язком рівняння буде множина абсцис усіх спільних точок побудованих графіків.

Приклад 1

Розв'язати графічно рівняння

4 + Зх-х2= | 1 + х |

Будуємо графіки

у1 = 4 + Зх-х2 і у2=| 1 +х |

«Рис. 1»                                          

- х2 + Зх + 4 = 0 х2-Зх-4 = 0

х1=-1; х2 = 4 Якщо х = 0, то у = 4

Х=-b\2a , х = 1,5, у = - 2,25 + 4,5 + 4 = 6,25

Відповідь: - 1; З

Приклад 2

Розв'язати графічно рівняння

| х2 — 2х — 3 | = х + 1  

y1= | х2 — 2х — 3 |, y2=x+1

х2 — 2х — 3 =0

x1=-1; x2=3

У = 1-2-3=-4. Якщо х = 0, то у = - 3.

«Рис. 2»

Відповідь: - 1; 2; 4

Бувають випадки, що ніякі алгебраїчні перетворення не допомагають розв'язати рівняння або нерівність (або розв'язання дуже громіздке), тоді

ключем до розв'язання є вивчення області визначення функцій, які входять в

рівняння або нерівність, або їх множини значень.


Приклад З

Розв'язати рівняння

x4=2х2+2=1-

Розглянемо функції f1(х)=x4-2x2+2 i f2(х)=1-

Перетворимо f1(х)=x4-2x2+2=(х2-1)2+1. Звідки видно, що f1(х)≥1 при всіх х, причому значення 1 функція f1(х)= набуває лише при х=±1. Для функції f2(х) має місце нерівність f2(х)≤1, так як значення арифметичного квадратичного кореня завжди невід'ємне. Отже рівність  f1(х)= f2(х) можлива лише при х=±1. Перевіркою встановлюємо, що х=-1 не єкоренем даного рівняння.

Відповідь: х=1

Приклад 4

Розв'язати графічно рівняння

2-1,5х-1 | =-х2-4х + а (1)

 

Знаходимо корені квадратного тричлена х2 -1,5х - 1. Маємо: х1=-0,5 х2 = 2.

Якщо х є (- ∞; -0,5]  u[ 2; оо ), то рівняння можна записати у вигляді

х2 – 1,5x-1=-х2-4х + а  або, що те саме а = 2х2 + 2,5х – 1       (2)

Якщо є (- 0,5-; 2), то рівняння (1) запишеться так: а = 5,5х +1  (3)

Побудуємо графік функції (2). Для х є (-∞; - ] u [ 2; оо ) цей графік

збітється з частинами параболи (на рисунку вони зображені товстими

лініями). Якщо х є (-0,5; 2 ), то

цей графік збігається з відрізком прямої а = 5,5х + 1. щоб знайти корені

цього рівняння треба провести через точку ( 0; а ) пряму паралельну осі Ох і знайти точку перетину її з графіком функції z ( х; а ) = 0; абсцисами цих точок є корені рівняння (1).

З рисунка бачимо, що при а = - 57\32 дане рівняння має тільки один дійсний

 

корінь. Якщо а > -57\32  то рівняння завжди має два дійсних корені. При а < -57\32 рівняння не має дійсних коренів.

«Рис. З»

Нехай треба розв'язати нерівність f(х; у ) > 0, де f (х; у ) деяка функція змінних х і у. Розглянемо рівняння f (х; у ) = 0. Геометричним образом цього рівняння є, як правило, деяка лінія, яка поділяє координатну площину на області, в кожній з яких функція зберігає знак.

Тому, геометричним образом множини розв'язків нерівності f (х; у ) > 0 будуть ті області (крім точок границі області), координати точок яких задовольняють умову f (х; у ) > 0.

У випадку нестрогої нерівності f (х; у) > 0 до множини точок, координати

яких задовольняють строгу нерівність, треба приєднати точки, які належать

границі цієї області, тобто точки, координати яких задовольняють рівняння

F (х;у) = 0.

4

Для встановлення знака f (х; у ) в тій чи іншій області досить обчислити

значення функції f (х; у ) у довільній точці відповідної області.

Приклад 5

Розв'язати графічно нерівність

|X|  > X2 - X

Побудуємо графіки функцій у1 = f 1 (х) = |х| i

                  y=f2(x)=x2-x

I i У2 = f

Розв'язками нерівності  f1(х) > f2 (х) є дійсні числа х, для яких графік

функцій у1 = f1 (х) розташований вище графіка функцій у2 = f2(х)

Відповідь: х є (0; 2 )

Приклад 6

Розв'язати нерівність

х2-2|х|<3

У1= х2-2 |х|, у2=3

                                                      

Відповідь: х є (- 3; 3 )

Приклад 7

Розв'язати графічно нерівність

2-1,5х-1| + х2 + 4х-а>0

Геометричним образом рівняння z (х; а) = | х21,5х - 1 | є лінія, яка поділяє координатну площину на дві області, в кожній з яких функція z(х; а) зберігає знак. Знайдемо знак функції z (х; а) в початку координат z(0; 0) = 1 > 0.

Отже, геометричним образом множини розв'язків нерівності буде область, яка знаходиться нижче від лінії z(x;a)=0 (крім точок границі області).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68439. Основи науки та наукознавства. Організація науково-дослідної роботи студентів та аспірантів 98.5 KB
  Процес руху людської думки від незнання до знання називається пізнанням. В основі пізнання лежить відображення об’єктивної реальності у свідомості людини в процесі її суспільної, виробничої та наукової діяльності, що називається практикою.
68440. Методологія наукових досліджень 49.5 KB
  Процес пізнання як основа будьякого наукового дослідження є складним і вимагає концептуального підходу на основі певної методології. Отже це вчення про методи дослідження про правила мислення при створенні теорії науки.
68441. МЕТОДИКА ВИКОНАННЯ КУРСОВИХ РОБІТ З КУРСУ «РОЗМІЩЕННЯ ПРОДУКТИВНИХ СИЛ» 174.5 KB
  При підготовці до написання курсової роботи вони оволодівають навичками самостійного аналізу територіальної організації продуктивних сил засвоюють основні методи цього аналізу вчаться добирати необхідний матеріал з літературних статистичних та інших джерел систематизувати...
68443. Аналіз грошових потоків. Сутність грошового потоку, необхідність аналізу грошових коштів та їх руху 164.5 KB
  Успішне функціонування підприємства в ринкових умовах можливе лише за умов здійснення безперервного руху грошових коштів їх надходження приплив і витрачання від вибуття забезпечення наявності певного вільного залишку на рахунках банку. Згідно з ПСБО 4 Звіт про рух грошових коштів грошові...
68444. Аналіз фінансового ризику та шляхи його зниження 267.5 KB
  Під фінансовим ризиком підприємства розуміється ймовірність виникнення несприятливих фінансових наслідків у формі втрачання доходів або капіталу в ситуації невизначеності умов проведення його фінансової діяльності. Фінансовий ризик є об’єктивним явищем функціонування будь-якого підприємства...
68445. Аналіз фінансового стану неплатоспроможних підприємств і запобігання їх банкрутству 125.5 KB
  Нині діє Закон України «Про поновлення платоспроможності боржника або визнання його банкрутом», яким встановлюються умови та порядок поновлення платоспроможності суб’єкта підприємницької діяльності або визнання його банкрутом і застосування ліквідаційної процедури.
68446. Особливості фізичного виховання дітей із ослабленим здоров’ям 62.36 KB
  Дітям рекомендують додаткові оздоровчі фізичні вправи для підвищення рівня фізичної підготовленості. Тимчасово протипоказані плавання ходьба на лижах біг на ковзанах Дихальні вправи особлива увага приділяється диханню носом і подовженому видиху; вестибулярне тренування; ходьба; вправи на координацію...
68447. Особенности социально-политического и экономического развития России в начале ХХ вв. Первая мировая война. Февральская революция 1917 год 103.5 KB
  ХХ век в мировой истории Особенности социально-политического и экономического развития России в начале ХХ вв. Экономическое развитие России Российская империя оставалась самым крупным государством мира многонациональным около 100 народов и народностей и многоконфессиональным.