53216

ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФІКІВ З МОДУЛЕМ ДО РОЗВЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ З МОДУЛЕМ

Научная статья

Педагогика и дидактика

Цього можна досягти якщо попередньо над даним рівнянням виконати деякі перетворення які приводять до рівняння еквівалентного початковому: такі перетворення інколи зводяться до перенесення деяких членів рівняння з однієї його частини в другу.

Украинкский

2014-03-29

132.5 KB

0 чел.

ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФІКІВ З МОДУЛЕМ ДО  РОЗВЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ З МОДУЛЕМ

При графічному розв'язуванні рівнянь доцільно їх записувати у такому вигляді: f (х) = φ (х), де функції f (х) і φ (х) добираються так, щоб побудова їх графіків була якомога простішою. Цього можна досягти, якщо попередньо над даним рівнянням виконати деякі перетворення, які приводять до рівняння еквівалентного початковому: такі перетворення інколи зводяться до перенесення деяких членів рівняння з однієї його частини в другу. Тоді будуємо графіки функцій у1 = f (х) і у2=φ (х). Загальним розв'язком рівняння буде множина абсцис усіх спільних точок побудованих графіків.

Приклад 1

Розв'язати графічно рівняння

4 + Зх-х2= | 1 + х |

Будуємо графіки

у1 = 4 + Зх-х2 і у2=| 1 +х |

«Рис. 1»                                          

- х2 + Зх + 4 = 0 х2-Зх-4 = 0

х1=-1; х2 = 4 Якщо х = 0, то у = 4

Х=-b\2a , х = 1,5, у = - 2,25 + 4,5 + 4 = 6,25

Відповідь: - 1; З

Приклад 2

Розв'язати графічно рівняння

| х2 — 2х — 3 | = х + 1  

y1= | х2 — 2х — 3 |, y2=x+1

х2 — 2х — 3 =0

x1=-1; x2=3

У = 1-2-3=-4. Якщо х = 0, то у = - 3.

«Рис. 2»

Відповідь: - 1; 2; 4

Бувають випадки, що ніякі алгебраїчні перетворення не допомагають розв'язати рівняння або нерівність (або розв'язання дуже громіздке), тоді

ключем до розв'язання є вивчення області визначення функцій, які входять в

рівняння або нерівність, або їх множини значень.


Приклад З

Розв'язати рівняння

x4=2х2+2=1-

Розглянемо функції f1(х)=x4-2x2+2 i f2(х)=1-

Перетворимо f1(х)=x4-2x2+2=(х2-1)2+1. Звідки видно, що f1(х)≥1 при всіх х, причому значення 1 функція f1(х)= набуває лише при х=±1. Для функції f2(х) має місце нерівність f2(х)≤1, так як значення арифметичного квадратичного кореня завжди невід'ємне. Отже рівність  f1(х)= f2(х) можлива лише при х=±1. Перевіркою встановлюємо, що х=-1 не єкоренем даного рівняння.

Відповідь: х=1

Приклад 4

Розв'язати графічно рівняння

2-1,5х-1 | =-х2-4х + а (1)

 

Знаходимо корені квадратного тричлена х2 -1,5х - 1. Маємо: х1=-0,5 х2 = 2.

Якщо х є (- ∞; -0,5]  u[ 2; оо ), то рівняння можна записати у вигляді

х2 – 1,5x-1=-х2-4х + а  або, що те саме а = 2х2 + 2,5х – 1       (2)

Якщо є (- 0,5-; 2), то рівняння (1) запишеться так: а = 5,5х +1  (3)

Побудуємо графік функції (2). Для х є (-∞; - ] u [ 2; оо ) цей графік

збітється з частинами параболи (на рисунку вони зображені товстими

лініями). Якщо х є (-0,5; 2 ), то

цей графік збігається з відрізком прямої а = 5,5х + 1. щоб знайти корені

цього рівняння треба провести через точку ( 0; а ) пряму паралельну осі Ох і знайти точку перетину її з графіком функції z ( х; а ) = 0; абсцисами цих точок є корені рівняння (1).

З рисунка бачимо, що при а = - 57\32 дане рівняння має тільки один дійсний

 

корінь. Якщо а > -57\32  то рівняння завжди має два дійсних корені. При а < -57\32 рівняння не має дійсних коренів.

«Рис. З»

Нехай треба розв'язати нерівність f(х; у ) > 0, де f (х; у ) деяка функція змінних х і у. Розглянемо рівняння f (х; у ) = 0. Геометричним образом цього рівняння є, як правило, деяка лінія, яка поділяє координатну площину на області, в кожній з яких функція зберігає знак.

Тому, геометричним образом множини розв'язків нерівності f (х; у ) > 0 будуть ті області (крім точок границі області), координати точок яких задовольняють умову f (х; у ) > 0.

У випадку нестрогої нерівності f (х; у) > 0 до множини точок, координати

яких задовольняють строгу нерівність, треба приєднати точки, які належать

границі цієї області, тобто точки, координати яких задовольняють рівняння

F (х;у) = 0.

4

Для встановлення знака f (х; у ) в тій чи іншій області досить обчислити

значення функції f (х; у ) у довільній точці відповідної області.

Приклад 5

Розв'язати графічно нерівність

|X|  > X2 - X

Побудуємо графіки функцій у1 = f 1 (х) = |х| i

                  y=f2(x)=x2-x

I i У2 = f

Розв'язками нерівності  f1(х) > f2 (х) є дійсні числа х, для яких графік

функцій у1 = f1 (х) розташований вище графіка функцій у2 = f2(х)

Відповідь: х є (0; 2 )

Приклад 6

Розв'язати нерівність

х2-2|х|<3

У1= х2-2 |х|, у2=3

                                                      

Відповідь: х є (- 3; 3 )

Приклад 7

Розв'язати графічно нерівність

2-1,5х-1| + х2 + 4х-а>0

Геометричним образом рівняння z (х; а) = | х21,5х - 1 | є лінія, яка поділяє координатну площину на дві області, в кожній з яких функція z(х; а) зберігає знак. Знайдемо знак функції z (х; а) в початку координат z(0; 0) = 1 > 0.

Отже, геометричним образом множини розв'язків нерівності буде область, яка знаходиться нижче від лінії z(x;a)=0 (крім точок границі області).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84255. Строение, размеры, формы, химический состав вирусов и фагов. Классификация вирусов 37.28 KB
  Классификация вирусов формы химический состав вирусов и фагов. Классификация вирусов Вирусная частица вирион состоит из спирально закрученной нуклеиновой кислоты – ДНК или РНК покрытой снаружи белковой оболочкой капсидом. Содержание нуклеиновой кислоты и белка у разных вирусов неодинаковое.
84256. Репродукция вирусов. Развитие вирулентного и умеренного фагов. Понятие о лизогенной культуре 78.28 KB
  На этой стадии происходит прикрепление вируса к поверхности клетки. Внутрь клетки проникает лишь нуклеиновая кислота. Инъецированная нуклеиновая кислота фага прежде всего вызывает полную перестройку метаболизма зараженной клетки. Выход фагов из клетки.
84258. Способы питания микроорганизмов 33.22 KB
  Пищей обычно называют вещества которые попав в живой организм служат либо источником энергии необходимой для процессов жизнедеятельности либо материалом для построения составных частей клетки. Голофитный способ – живые существа используют питательные вещества всасывая их в виде относительно небольших молекул из водного раствора. Чтобы проникнуть в клетку питательные вещества должны находиться в растворенном состоянии и иметь соответствующий размер молекул. Однако это не означает что микроорганизмы не используют высокомолекулярные...
84259. Химический состав микробной клетки 33.69 KB
  Связанная вода входит в состав коллоидов клетки и с трудом высвобождается из них. С потерей связанной воды нарушаются клеточные структуры и наступает гибель клетки. При удалении свободной воды гибели клетки не происходит.
84260. Механизмы поступления питательных веществ в клетку 32.25 KB
  ЦПМ регулирует не только поступление веществ в клетку но и выход из нее воды разнообразных продуктов обмена и ионов что обеспечивает нормальную жизнедеятельность клетки. Существует несколько механизмов транспорта питательных веществ в клетку: простая диффузия облегченная диффузия и активный транспорт. Транспорт веществ через цитоплазматическую мембрану схематично изображен на рис.
84261. Пищевые потребности и типы питания микроорганизмов 42 KB
  В зависимости от источника углерода микроорганизмы делятся на: автотрофы сами себя питающие которые используют углерод из неорганических соединений углекислого газа и карбонатов; гетеротрофы питаются за счет других – используют углерод из органических соединений. В зависимости от источника энергии различают: фототрофы – микроорганизмы которые в качестве источника энергии используют энергию солнечного света; хемотрофы – энергетическим материалом для этих микроорганизмов являются разнообразные органические и неорганические вещества....
84262. Понятие о конструктивном и энергетическом обмене 38.76 KB
  Из веществ среды перенесенных в клетку собираются строительные блоки из которых формируются биополимеры клетки и синтезируются белки жиры углеводы нуклеиновые кислоты и другие клеточные компоненты. Обмен веществ можно рассматривать как сумму двух явлений: катаболизма энергетического обмена представляющего собой ферментативное расщепление крупных органических молекул с выделением свободной энергии которая запасается в виде макроэргических связей в молекулах АТФ; анаболизма конструктивного обмена представляющего собой синтез...
84263. Энергетический метаболизм, его сущность. Макроэргические соединения. Типы фосфорилирования 35.11 KB
  Энергия образуемая при энергетическом обмене трансформируется в энергию макроэргических связей молекул АТФ. Процесс образования АТФ называется фосфорилированием. Механизм образования АТФ у разных групп микроорганизмов неодинаков. Фотофосфорилирование – образование АТФ при поглощении квантов света молекулами хлорофилла.