53216

ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФІКІВ З МОДУЛЕМ ДО РОЗВЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ З МОДУЛЕМ

Научная статья

Педагогика и дидактика

Цього можна досягти якщо попередньо над даним рівнянням виконати деякі перетворення які приводять до рівняння еквівалентного початковому: такі перетворення інколи зводяться до перенесення деяких членів рівняння з однієї його частини в другу.

Украинкский

2014-03-29

132.5 KB

0 чел.

ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФІКІВ З МОДУЛЕМ ДО  РОЗВЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ З МОДУЛЕМ

При графічному розв'язуванні рівнянь доцільно їх записувати у такому вигляді: f (х) = φ (х), де функції f (х) і φ (х) добираються так, щоб побудова їх графіків була якомога простішою. Цього можна досягти, якщо попередньо над даним рівнянням виконати деякі перетворення, які приводять до рівняння еквівалентного початковому: такі перетворення інколи зводяться до перенесення деяких членів рівняння з однієї його частини в другу. Тоді будуємо графіки функцій у1 = f (х) і у2=φ (х). Загальним розв'язком рівняння буде множина абсцис усіх спільних точок побудованих графіків.

Приклад 1

Розв'язати графічно рівняння

4 + Зх-х2= | 1 + х |

Будуємо графіки

у1 = 4 + Зх-х2 і у2=| 1 +х |

«Рис. 1»                                          

- х2 + Зх + 4 = 0 х2-Зх-4 = 0

х1=-1; х2 = 4 Якщо х = 0, то у = 4

Х=-b\2a , х = 1,5, у = - 2,25 + 4,5 + 4 = 6,25

Відповідь: - 1; З

Приклад 2

Розв'язати графічно рівняння

| х2 — 2х — 3 | = х + 1  

y1= | х2 — 2х — 3 |, y2=x+1

х2 — 2х — 3 =0

x1=-1; x2=3

У = 1-2-3=-4. Якщо х = 0, то у = - 3.

«Рис. 2»

Відповідь: - 1; 2; 4

Бувають випадки, що ніякі алгебраїчні перетворення не допомагають розв'язати рівняння або нерівність (або розв'язання дуже громіздке), тоді

ключем до розв'язання є вивчення області визначення функцій, які входять в

рівняння або нерівність, або їх множини значень.


Приклад З

Розв'язати рівняння

x4=2х2+2=1-

Розглянемо функції f1(х)=x4-2x2+2 i f2(х)=1-

Перетворимо f1(х)=x4-2x2+2=(х2-1)2+1. Звідки видно, що f1(х)≥1 при всіх х, причому значення 1 функція f1(х)= набуває лише при х=±1. Для функції f2(х) має місце нерівність f2(х)≤1, так як значення арифметичного квадратичного кореня завжди невід'ємне. Отже рівність  f1(х)= f2(х) можлива лише при х=±1. Перевіркою встановлюємо, що х=-1 не єкоренем даного рівняння.

Відповідь: х=1

Приклад 4

Розв'язати графічно рівняння

2-1,5х-1 | =-х2-4х + а (1)

 

Знаходимо корені квадратного тричлена х2 -1,5х - 1. Маємо: х1=-0,5 х2 = 2.

Якщо х є (- ∞; -0,5]  u[ 2; оо ), то рівняння можна записати у вигляді

х2 – 1,5x-1=-х2-4х + а  або, що те саме а = 2х2 + 2,5х – 1       (2)

Якщо є (- 0,5-; 2), то рівняння (1) запишеться так: а = 5,5х +1  (3)

Побудуємо графік функції (2). Для х є (-∞; - ] u [ 2; оо ) цей графік

збітється з частинами параболи (на рисунку вони зображені товстими

лініями). Якщо х є (-0,5; 2 ), то

цей графік збігається з відрізком прямої а = 5,5х + 1. щоб знайти корені

цього рівняння треба провести через точку ( 0; а ) пряму паралельну осі Ох і знайти точку перетину її з графіком функції z ( х; а ) = 0; абсцисами цих точок є корені рівняння (1).

З рисунка бачимо, що при а = - 57\32 дане рівняння має тільки один дійсний

 

корінь. Якщо а > -57\32  то рівняння завжди має два дійсних корені. При а < -57\32 рівняння не має дійсних коренів.

«Рис. З»

Нехай треба розв'язати нерівність f(х; у ) > 0, де f (х; у ) деяка функція змінних х і у. Розглянемо рівняння f (х; у ) = 0. Геометричним образом цього рівняння є, як правило, деяка лінія, яка поділяє координатну площину на області, в кожній з яких функція зберігає знак.

Тому, геометричним образом множини розв'язків нерівності f (х; у ) > 0 будуть ті області (крім точок границі області), координати точок яких задовольняють умову f (х; у ) > 0.

У випадку нестрогої нерівності f (х; у) > 0 до множини точок, координати

яких задовольняють строгу нерівність, треба приєднати точки, які належать

границі цієї області, тобто точки, координати яких задовольняють рівняння

F (х;у) = 0.

4

Для встановлення знака f (х; у ) в тій чи іншій області досить обчислити

значення функції f (х; у ) у довільній точці відповідної області.

Приклад 5

Розв'язати графічно нерівність

|X|  > X2 - X

Побудуємо графіки функцій у1 = f 1 (х) = |х| i

                  y=f2(x)=x2-x

I i У2 = f

Розв'язками нерівності  f1(х) > f2 (х) є дійсні числа х, для яких графік

функцій у1 = f1 (х) розташований вище графіка функцій у2 = f2(х)

Відповідь: х є (0; 2 )

Приклад 6

Розв'язати нерівність

х2-2|х|<3

У1= х2-2 |х|, у2=3

                                                      

Відповідь: х є (- 3; 3 )

Приклад 7

Розв'язати графічно нерівність

2-1,5х-1| + х2 + 4х-а>0

Геометричним образом рівняння z (х; а) = | х21,5х - 1 | є лінія, яка поділяє координатну площину на дві області, в кожній з яких функція z(х; а) зберігає знак. Знайдемо знак функції z (х; а) в початку координат z(0; 0) = 1 > 0.

Отже, геометричним образом множини розв'язків нерівності буде область, яка знаходиться нижче від лінії z(x;a)=0 (крім точок границі області).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54479. Music… Music… Music… 37 KB
  Rock’n’roll is a style of music that was popular in 1950s but is still played now, which has a strong loud beat, repeats a few simple phrases and is usually played on electrical instruments. It was first made popular by Bill Halley and Elvis Presley.
54480. Урок музыки. Группы. Композиторы 64.5 KB
  Today at the lesson we’ll listen and repeat the names of the musical instruments, after that we’ll give names of the musical instruments of four groups, we’ll listen to music and name name the styles of popular music you listen to. We’ll speak about structure of the music lesson.
54481. Music in our life 91 KB
  Objectives: to revise and enrich students’ vocabulary on the topic; to improve students’ reading, speaking, writing skills; to practice students’ listening skills; to train students’ habits in group work; to cultivate students’ aesthetic tastes, awareness and respect to the world culture; to enhance students’ cognitive abilities and memory.
54482. Музика 55 KB
  Мета: ознайомити учнів з лексичними одиницями і навчити оперувати ними у мовленні; вчити учнів взаємодіяти в заданій ситуації за змістом прочитаного тексту, повторити граматичний матеріал та тренувати учнів оперувати граматичними структурами у мовленні; розвивати логічне мислення і мовленнєву реакцію, розвивати навики читання; виховувати культуру спілкування, інтерес до культури країни, мова якої вивчається.
54483. WORLD MUSIC 53 KB
  Nowadays many people enjoy music as their hobby. Thanks to this fact you can make many new friends, you can exchange cd’s, records, listen to music together and visit different concerts. For my person, music plays more important role in life than good pastime. It is something, which helps me to be in a good mood, understand different things and remove from tension. Music brings me pleasure and keen delight and fills my life with great expectations of joy and happiness.
54484. Музика охоплює весь світ 45 KB
  Мета: активізувати та розширити знання учнів про економіку країн, які є Батьківщиною видатних композиторів світу, узагальнити знання учнів про композиторів – класиків кінця 17 – початку 20 століття, розвивати навички самостійної роботи з інформаційним матеріалом, навички зв’язного мовлення, вчити співвідносити знання з різних галузей науки та мистецтва, виховувати культуру поведінки, формувати потребу сприймати та виконувати високохудожні музичні твори, виховувати інтерес до знань, залучати учнів до проведення нестандартних типів уроку.
54485. Героические образы в симфонической музыке 280 KB
  Цель. На примере творчества Д. Шостаковича и А. Пашкевича нацелить учащихся на понимание жизненного содержания музыки, которая воплощает образы реальных исторических событий – Великой Отечественной войны. Учить анализировать образное содержание и звучание музыки, находить общее в содержании разножанровых произведений.
54486. Музыка Чайковского как символ красоты, правды, искренности 81.5 KB
  Чайковского совершенствовать умения сравнивать музыкальные произведения формировать эмоциональнооценочное отношение к музыкальному произведению в процессе его интерпретации развивать способности творческого комбинирования воспитывать ценностные ориентации в сфере музыки. Оборудование: портрет Чайковского фонограммы карточки для составления модели музыкального произведения фильм Доживем до понедельника иллюстрации с сюжетом про вальс. Определение темы и задач урока 3 минуты Кто может назвать композитора чья музыка звучала...
54487. Предмет и метод экономической теории 17.71 KB
  В условиях рыночной экономики субъект, выполняющий экономические функции, называется экономическим субъектом (государство, различные фонды, объединения, ассоциации, фирмы и предприятия, домохозяйства, отдельный человек). В процессе деятельности экономических субъектов возникает экономическое явление.