53228

ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ, ЩО МІСТЯТЬ МОДУЛЬ

Научная статья

Педагогика и дидактика

Метою профільного навчання, як одного з напрямків модернізації математичної освіти є забезпечення поглибленого вивчання предмета й підготовка учнів до продовження освіти. Основним напрямком модернізації математичної шкільної освіти є відпрацьовування механізмів підсумкової атестації через введення зовнішнього незалежного тестування.

Украинкский

2014-02-24

128.5 KB

2 чел.

ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ, ЩО
МІСТЯТЬ МОДУЛЬ

           Математика є система інструментів для розв'язку певних класів задач. Задачі ці походять із різних сфер людської практики, але для школяра вони не є практично значимими. Знайома ситуація на уроці фізики або інформатики: зіштовхнувшись із задачею, що допускає математичний розв'язок, школяр не розпізнає її. Сучасний ринок праці висуває свої вимоги до випускників. З'явилася потреба в новому освітньому результаті, що не зводиться до простої комбінації відомостей і навичок, а орієнтованим на розв'язок реальних задач. Цей тип освітніх результатів став називатися компетентностями. Переглядаються освітні програми, вводяться нові предмети, спеціальні курси й факультативи. Одним з таких спеціальних курсів в 9- 11-х профільних і предпрофильных класах може бути « Розв'язок рівнянь і нерівностей з параметрами й модулем».

         Метою профільного навчання, як одного з напрямків модернізації математичної освіти є забезпечення поглибленого вивчання предмета й підготовка учнів до продовження освіти. Основним напрямком модернізації математичної шкільної освіти є відпрацьовування механізмів підсумкової атестації через введення зовнішнього незалежного тестування. У завданнях ЗНО по математиці з розгорнутою відповіддю (частина 3), а також з короткою відповіддю (частина 2), зустрічаються задачі з параметрами й модулем. Поява таких завдань на іспитах далеко не випадково, тому що з їхньою допомогою перевіряється техніка володіння формулами елементарної математики й методами розв'язку рівнянь і нерівностей, уміння вишиковувати логічний ланцюжок міркувань і математична культура учнів. У той же час, розв'язку задач із параметрами в шкільній програмі приділяється мало уваги. Більшість учнів або зовсім не справляються з такими задачами, або приводять громіздкі викладення. Причиною цього є відсутність системи завдань по даній темі в шкільних підручниках.

          Поняття функціональної залежності, будучи одним із центральних у математиці, пронизує всі її додатки, воно, як жодне інше, привчає сприймати величини в їхній живій мінливості, у взаємному зв'язку й обумовленості. Вивчення поведінки функцій і побудова їх графіків є важливим розділом шкільного курсу. Вільне володіння технікою побудови графіків часто допомагає вирішувати складні задачі, а часом є єдиним засобом їх розв'язку. Крім того, уміння будувати графіки функцій становить великий інтерес для самих учнів. Однак на базі основної школи матеріал, пов'язаний із цим питанням, представлений трохи хаотично, вивчається недостатньо повно, багато важливих моментів не входять у програму. Ціль  курсу – прояснити й доповнити шкільний матеріал, пов'язаний з функціями й побудовою  графіків.

Побудова графіків функцій виду у = f(|x|); у = |f(x)|; у= |f(|x|)|; у = |f1(x)| + |f2(x)|  + … + |fn(x)|.

Мета: навчити учнів будувати графіки, що містять модуль; закріпити вивчений матеріал у ході виконання вправ.

Коли в «стандартні» функції, які задають прямі, параболи, гіперболи, включають знак модуля, їх графіки стають незвичайними. Щоб навчитися будувати такі графіки, треба володіти прийманнями побудови графіків елементарних функцій, а також твердо знати й розуміти визначення модуля числа.

Для побудови всіх типів графіків учням досить добре розуміти визначення модуля й знати види найпростіших графіків, вивчаємих у школі. Доцільно розглядати побудову графіків у наступній послідовності:

у = f(|x|);   у = |f(x)|;   у = |f(|x|)|;    у= |f(x)| + |g (x)| + …; |у| = f(x); |у| = |f(x)|.

Побудова графіків слід здійснювати двома способами:

1) на підставі визначення модуля;

2) на підставі правил (алгоритмів) геометричного перетворення графіків функцій.

   Побудова графіка функції у = f(|x|).

у = f(|x|)  =

Отже, графік функції у = f(|x|) складається із двох графіків: у = f(x) – у правій півплощині, у = f(–x) – у лівій півплощині. Виходячи із цього, можна сформулювати правило (алгоритм). Графік функції у = f(|x|) виходить із графіка функції у = f(x) у такий спосіб: при х ³ 0 графік зберігається, а при х < 0 отримана частина графіка відображається симетрично щодо осі ОУ.

Приклад.       Побудувати графік функції          у = 2 |x| – 2.

1-й  с п .     у = 2 |x| – 2  Û  

2-й  с п .

а) Будуємо графік функції у = 2x – 2 для х > 0.  

б) Добудовуємо його ліву частину для х < 0, симетрично побудованої щодо осі ОУ

                                   Графік функції у = |f(x)|.

|f(x)| =

Звідси випливає алгоритм побудови графіків функції у = |f(x)|.

а) Будуємо графік функції f(x).

б) Частина графіка у = f(x), що лежить над віссю ОХ, зберігається, частина його, що лежить під віссю ОХ, відображається симетрично щодо осі ОХ.

Приклад.       Побудувати графік функції у = |х – 2|.

1. Побудова.

а) Будуємо графік функції у = х – 2.

б) Графік нижньої півплощини відображаємо нагору симетрично щодо осі  ОХ.

      2. у = |х – 2|  Û  

                              Побудова графіка функції у = |f(|x|)|.

Щоб побудувати графік функції у = |f(|x|)|, треба спочатку побудувати графік функції у = f(x) при х > 0, потім при х < 0 побудувати зображення, симетричне йому щодо осі ОУ, а потім на інтервалах, де f(|x|) < 0, побудувати зображення, симетричне графіку f(|x|) щодо осі ОХ.

Приклад.      Побудувати графік функції у = |1 – |х||.

Побудова.   1.    у = |1 – |х||  Û   Û 

Побудова 2.

1) Будуємо графік функції у = 1 – х.

2) Графік функції у = 1 – |х|, маємо із графіка функції у = 1 – х відбиттям  симетрично             ( при х ³ 0) щодо осі ОУ.

3) Графік  функції  у = |1 – |х||,  маємо із графіка функції у = 1 – |х| відображенням симетрично осі ОХ нижньої частини графіка.

                 Побудова графіків виду у = |f1(x)| + |f2(x)| + … + |fn(x)|.

При побудові графіків функцій такого роду найпоширенішим є метод, при якому знак модуля розкривається на підставі самого визначення модуля. Як правило, область припустимих значень даної функції розбивають на множини, на кожній з яких вираз, що розташован під знаком модуля, зберігає знак. На кожній такій множині функцію записують без знака модуля й будують графік. Об'єднання множини розв'язків, знайдених на всіх частинах області припустимих значень функції, становить множину всіх точок графіка заданої функції.

 Приклад.  Побудувати графік функції у = |х – 1| + |х – 3|. Знайти найменше значення функції.

Р е ш е н и е.  Точки  х = 1 і х = 3 розбивають числову вісь на три проміжки, для кожного запишемо функцію:

1) при х £ 1 маємо у = 4 – 2х;

2) при 1 < х £ 3 маємо у = 2;

3) при х > 3 маємо у = 2х – 4.

        Приклад .    Побудувати графік функції у = |х| – |х – 1|.

Алгоритм побудови:

1) Знайдемо нулі кожного підмодульного виразу х = 0 і х = 1.

2) Складемо таблицю, у якій крім 0 і 1 записуємо по одному цілому праворуч і ліворуч від цих значень.

х

–1

0

1

2

у

–1

–1

1

1

3) Наносимо ці точки на координатну площину й з'єднуємо послідовно.

                           Побудова графіків виду |у| = f(x).

Враховуючи, що у формулі |у| = f(x), f(x) ³ 0, і на підставі визначення модуля

|у| =

Перепишемо формулу |у| = f(x) у вигляді у = ± f(x), де f(x) ³ 0.

Виходячи із цього, сформулюємо правило-алгоритм.

Для побудови графіків виду |у| = f(x) досить побудувати графік функції у = f(x) для тих х з області визначення, при яких f(x) ³ 0, і відбити отриману частину графіка симетрично щодо осі абсцис.

Таким чином, графік залежності |у| = f(x) складається із графіків двох функцій:

     у = f(x) і у = –f(x).

Приклад.   Побудувати графік функції |у| = 1 – х.

1-й спосіб.          |у| = 1 – х  Û  

      2-й спосіб.

1) Будуємо графік функції у = 1 – х.

2) Відбиваємо ту частину графіка, яка перебуває вище осі абсцис симетрично щодо осі абсцис.

                                            

                                  

                                    Побудова графіків виду |у| = |f(x)|.

Здійснюючи вже відомі перетворення графіків, виконуємо побудову спочатку графіка у = |f(x)|, а потім множину точок, координати яких задовольняють умові |у| = |f(x)|.

Побудова.

1. Будуємо графік функції у = f(x).

2. Частину графіка f(x) < 0, симетрично відображаємо щодо осі ОХ.

3. Отриманий графік симетрично відбиваємо щодо осі ОХ.

        Приклад.

Побудувати графік рівняння |у| = |1 – х|.

1-й спосіб.

|у| = |1 – х|  Û  

    2-й спосіб.

1. Будуємо графік функції у = 1 – х.

2. Графік у = |1 – х| одержуємо із графіка у = 1 – х, симетрично відобразивши ту частину, що лежить під віссю ОХ, щодо осі ОХ.

3. Графік |у| = |1 – х| одержуємо із графіка
у = |1 – х|, відобразивши останній симетрично щодо осі ОХ.

                                    ГРАФІКИ КВАДРАТИЧНИХ ФУНКЦІЙ, які містять знак
                                                                       МОДУЛ
я

1. Графік функції у = |f(x)| маємо із графіка у = f(x) у такий спосіб: частина графіка у = f(x), що лежить над віссю ОХ, зберігається, частина його, що лежить під віссю ОХ, відбивається симетрично щодо осі ОХ.

2. Графік функції у = f(|x|) маємо із графіка функції у = f(x) у такий спосіб: при х ≥ 0 графік     у = f(x) зберігається, а при х < 0 отримана частина графіка відбивається симетрично щодо осі ОУ.

Розглянемо наступні приклади.

Приклад1.

а) у = х2 – |х| – 6;

Розвязок .

1) Будуємо графік функції у = х2 х – 6  (I).

2) Графік  у = х2 – |х| – 6 (II) одержуємо із графіка у = х2х – 6 відбиттям симетрично осі ОУ частини графіка при х ≥ 0.

  

               

Приклад 2.

б) у = |х2х – 6|.

1) Будуємо графік функції у = х2 –  х – 6  (I).

2) Графік  функції у = |х2х – 6| (II) одержуємо із графіка у = х2х – 6 (I) відбиттям симетрично щодо осі ОХ частини графіка, розташованої нижче осі ОХ

Приклад 3.

в) у = |х2 – |х| – 6|.

1) Будуємо графік функції у = х2х – 6  (I).

2) Графік у = х2 – |х| – 6  (II) одержуємо із графіка (I) відбиттям симетрично осі ОУ частини графіка х ≥ 0.

3) Графік у = |х2 – |х| – 6| (III) одержуємо із графіка (II) відбиттям симетрично щодо осі ОХ частини графіка, розташованої нижче осі ОХ.

Графіки неявних функцій, аналітичний вираз яких містить знак модуля.

            У розглянутих вище прикладах функції були задані аналітично, тобто формулами, що зв'язують відповідні значення аргументу й функції, причому у всіх прикладах у лівій частині рівності, що визначає функцію, стояв у, а в правій – вираз, що залежить від х. Функціональна залежність може бути задана й рівнянням, не дозволеним щодо залежної змінної. Такі функції називаються неявними. 

Приклад 1.   Побудувати множину точок |х|+|у| = 1.

         Функція  парна щодо координатних осей. А тому досить розглянути функцію тільки в I чверті, тобто при х ≥ 0, у ≥0. Оскільки при цьому |х| =х і |у| = у, задана функція приймає вид        х + у = 1. Отже, будуємо графік прямої у = 1 – х, який лежить в  I чверті. 

Потім добудовуємо графік, користуючись        симетрією, щодо осей ОХ і ОУ. Одержуємо квадрат з вершинами (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; –1).

               

                1  у

                                     |х|+|у| = 1

                   0             1        х

Приклад 2.       Побудувати графік |у| – |x| = 3.

Тому що графік симетричний відносно осі ОХ і ОУ, то спочатку будуємо його частину   ух = 3, тобто  у = х + 3  де х ≥ 0, у ≥ 0 (в I чверті). Потім відображаємо симетрично щодо осей координат.                                                                         

        

Приклад 3.  Аналогічно будуємо     |х| – |у| = 3.                                 

                                   у

                     -3             0           3                   х

Приклад 4. Побудувати множину точок ||х| – |у|| = 1.

Дане рівняння еквівалентне двом рівнянням |х| – |у| = 1   і  |у| – |х| = 1.  Отже, шуканий графік   об'єднання  двох  графіків, розглянутих  раніше.

                                          у      

                                                        

                                             1

                             -1                              1                    х

                                           -1

        

Приклад 5. Побудуйте геометричне місце точок, координати яких задовольняють рівнянню ||х| + |у| - 1,5|= 0,5.

 Дане рівняння еквівалентне двом рівнянням |х| + |у| = 1   і  |х| + |у| = 2.  Отже, шуканий графік   об'єднання  двох  графіків, розглянутих раніше.

                                 у

                              2

                              1

                               0                   2        х

 Література.

  1.  Болтянский, В. Г., Сидоров, Ю. В., Шабунин, М. І. Лекції й задачі по елементарній математиці. - М.: Наука, 1971.
  2.  Н.А.Вирченко, І.І. Ляшко, К.І. Зшивальників, Довідник. Графіки функцій.-Київ,Наукова думка, 1979.
  3.  Галицький М. Л., Гольдман, А. М., Звавич, Л. І. Планування навчального  матеріалу для 8 класу з поглибленим вивчанням математики: методичний посібник. - М., 1988.
  4.  Галицький М. Л, Мошкович, С.І. Шварцбурд, Поглиблене вивчання курсу алгебри й математичного аналізу. Москва, Освіта,1990.
  5.  Горнштейн, П., Мерзляк, А., Полонский, В., Якир, М. Экзамін по математиці і його підводні рифи. - М.: Илекса; Харків: Гімназія, 1998.
  6.  Сканави, М. І. Збірник задач по математиці для вступників у втузи. -Москва, Освіта,1990,
  7.  Сивашинский, І. Х. Елементарні функції й графіки. - М.: Наука, 1968.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18127. Розподіл електронів в твердому тілі за енергіями 879.5 KB
  Розподіл електронів в твердому тілі за енергіями Спочатку цей розподіл було знайдено чисто експериментально Фермі та Діраком. Задача полягає в тому щоб знайти число електронів що мають енергії в інтервалі Е Е dE тобто знайти функціюзакон розподілу електронів за е
18128. Термоелектронна емісія (ТЕЕ) 160.77 KB
  Термоелектронна емісія ТЕЕ ТЕЕ є випромінювання електронів розжареними тілами. Джерело енергії збудження електронів – теплова енергія гратки. Густина струму термоемісії для кожного тіла є універсальною функцією параметри якої залежать від природи цього тіла структ...
18129. Вплив зовнішнього електричного поля на термоемісію катоду 188.56 KB
  Вплив зовнішнього електричного поля на термоемісію катоду Для того щоб визначити струм емісії катода необхідно зібрати елементарну схему що містить вікуумний діод ВД й джерела живлення з вимірювальними приладами. Діод має пряморозжарюваний W катод 1 і анод 2. ...
18130. Вплив КРП на ВАХ дiоду 200.71 KB
  Вплив КРП на ВАХ дiоду На практицi зустрiчається декiлька випадкiв впливу КРП на ВАХ. Маємо вакуумний дiод у якого анод i катод виготовлено з одного матерiалу наприклад з вольфраму тобто еа=ек. В зв€язку з цим маємо таку картину. Рiвнi Фермi Eok=Eoa. Значить Vкрп=0. Ро
18131. Зниження роботи виходу плівкових катодів 179.1 KB
  Зниження роботи виходу плівкових катодів пояснюється таким чином. Розглянемо спочатку WCs катод. Як відомо у. Потенціал іонізації атому. Потенціальна діаграма системи WCs це має такий вигляд: На цьому рисунку адатом цезію знаходиться на великі
18132. Фотоелектронна емісія 247.05 KB
  Фотоелектронна емісія Фотоелектронна емісія або зовнішній фотоелектричний ефект це випромінювання електронів поверхнею твердого тіла або рідини під впливом падаючих на неї квантів світла. Фотоефект був відкритий Герцем у 1882 році. Осн...
18133. Автоелектронна емісія 449.19 KB
  Автоелектронна емісія Автоелектронною емісією називається емісія електронів яка обумовлена сильним електричним полем у поверхні твердого тіла. Цю емісію ще називають холодною емісією електростатичною емісією тунельною емісією. При розгляданні впливу на термо...
18134. Вплив електричного поля на поверхневу іонізацію (автоіонізація) 350.78 KB
  Вплив електричного поля на поверхневу іонізацію автоіонізація Експериментальні дослідження ПІ відразу показали що зовнішнє електричне поле якщо воно тягне іони тобто на катоді €œ€ а на колекторі іонів €œ€œ поліпшує процес іонної емісії: ступінь поверхне...
18135. Развитие волоконно-оптических систем в мире и на Украине 724.12 KB
  Лекция 1. Развитие волоконнооптических систем в мире и на Украине Основное направление в применении волоконнооптических систем – это создание и эксплуатация волоконных линий связи. Необходимость развития волоконнооптических линий связи ВОЛС была определена потр