53228

ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ, ЩО МІСТЯТЬ МОДУЛЬ

Научная статья

Педагогика и дидактика

Метою профільного навчання, як одного з напрямків модернізації математичної освіти є забезпечення поглибленого вивчання предмета й підготовка учнів до продовження освіти. Основним напрямком модернізації математичної шкільної освіти є відпрацьовування механізмів підсумкової атестації через введення зовнішнього незалежного тестування.

Украинкский

2014-02-24

128.5 KB

2 чел.

ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ, ЩО
МІСТЯТЬ МОДУЛЬ

           Математика є система інструментів для розв'язку певних класів задач. Задачі ці походять із різних сфер людської практики, але для школяра вони не є практично значимими. Знайома ситуація на уроці фізики або інформатики: зіштовхнувшись із задачею, що допускає математичний розв'язок, школяр не розпізнає її. Сучасний ринок праці висуває свої вимоги до випускників. З'явилася потреба в новому освітньому результаті, що не зводиться до простої комбінації відомостей і навичок, а орієнтованим на розв'язок реальних задач. Цей тип освітніх результатів став називатися компетентностями. Переглядаються освітні програми, вводяться нові предмети, спеціальні курси й факультативи. Одним з таких спеціальних курсів в 9- 11-х профільних і предпрофильных класах може бути « Розв'язок рівнянь і нерівностей з параметрами й модулем».

         Метою профільного навчання, як одного з напрямків модернізації математичної освіти є забезпечення поглибленого вивчання предмета й підготовка учнів до продовження освіти. Основним напрямком модернізації математичної шкільної освіти є відпрацьовування механізмів підсумкової атестації через введення зовнішнього незалежного тестування. У завданнях ЗНО по математиці з розгорнутою відповіддю (частина 3), а також з короткою відповіддю (частина 2), зустрічаються задачі з параметрами й модулем. Поява таких завдань на іспитах далеко не випадково, тому що з їхньою допомогою перевіряється техніка володіння формулами елементарної математики й методами розв'язку рівнянь і нерівностей, уміння вишиковувати логічний ланцюжок міркувань і математична культура учнів. У той же час, розв'язку задач із параметрами в шкільній програмі приділяється мало уваги. Більшість учнів або зовсім не справляються з такими задачами, або приводять громіздкі викладення. Причиною цього є відсутність системи завдань по даній темі в шкільних підручниках.

          Поняття функціональної залежності, будучи одним із центральних у математиці, пронизує всі її додатки, воно, як жодне інше, привчає сприймати величини в їхній живій мінливості, у взаємному зв'язку й обумовленості. Вивчення поведінки функцій і побудова їх графіків є важливим розділом шкільного курсу. Вільне володіння технікою побудови графіків часто допомагає вирішувати складні задачі, а часом є єдиним засобом їх розв'язку. Крім того, уміння будувати графіки функцій становить великий інтерес для самих учнів. Однак на базі основної школи матеріал, пов'язаний із цим питанням, представлений трохи хаотично, вивчається недостатньо повно, багато важливих моментів не входять у програму. Ціль  курсу – прояснити й доповнити шкільний матеріал, пов'язаний з функціями й побудовою  графіків.

Побудова графіків функцій виду у = f(|x|); у = |f(x)|; у= |f(|x|)|; у = |f1(x)| + |f2(x)|  + … + |fn(x)|.

Мета: навчити учнів будувати графіки, що містять модуль; закріпити вивчений матеріал у ході виконання вправ.

Коли в «стандартні» функції, які задають прямі, параболи, гіперболи, включають знак модуля, їх графіки стають незвичайними. Щоб навчитися будувати такі графіки, треба володіти прийманнями побудови графіків елементарних функцій, а також твердо знати й розуміти визначення модуля числа.

Для побудови всіх типів графіків учням досить добре розуміти визначення модуля й знати види найпростіших графіків, вивчаємих у школі. Доцільно розглядати побудову графіків у наступній послідовності:

у = f(|x|);   у = |f(x)|;   у = |f(|x|)|;    у= |f(x)| + |g (x)| + …; |у| = f(x); |у| = |f(x)|.

Побудова графіків слід здійснювати двома способами:

1) на підставі визначення модуля;

2) на підставі правил (алгоритмів) геометричного перетворення графіків функцій.

   Побудова графіка функції у = f(|x|).

у = f(|x|)  =

Отже, графік функції у = f(|x|) складається із двох графіків: у = f(x) – у правій півплощині, у = f(–x) – у лівій півплощині. Виходячи із цього, можна сформулювати правило (алгоритм). Графік функції у = f(|x|) виходить із графіка функції у = f(x) у такий спосіб: при х ³ 0 графік зберігається, а при х < 0 отримана частина графіка відображається симетрично щодо осі ОУ.

Приклад.       Побудувати графік функції          у = 2 |x| – 2.

1-й  с п .     у = 2 |x| – 2  Û  

2-й  с п .

а) Будуємо графік функції у = 2x – 2 для х > 0.  

б) Добудовуємо його ліву частину для х < 0, симетрично побудованої щодо осі ОУ

                                   Графік функції у = |f(x)|.

|f(x)| =

Звідси випливає алгоритм побудови графіків функції у = |f(x)|.

а) Будуємо графік функції f(x).

б) Частина графіка у = f(x), що лежить над віссю ОХ, зберігається, частина його, що лежить під віссю ОХ, відображається симетрично щодо осі ОХ.

Приклад.       Побудувати графік функції у = |х – 2|.

1. Побудова.

а) Будуємо графік функції у = х – 2.

б) Графік нижньої півплощини відображаємо нагору симетрично щодо осі  ОХ.

      2. у = |х – 2|  Û  

                              Побудова графіка функції у = |f(|x|)|.

Щоб побудувати графік функції у = |f(|x|)|, треба спочатку побудувати графік функції у = f(x) при х > 0, потім при х < 0 побудувати зображення, симетричне йому щодо осі ОУ, а потім на інтервалах, де f(|x|) < 0, побудувати зображення, симетричне графіку f(|x|) щодо осі ОХ.

Приклад.      Побудувати графік функції у = |1 – |х||.

Побудова.   1.    у = |1 – |х||  Û   Û 

Побудова 2.

1) Будуємо графік функції у = 1 – х.

2) Графік функції у = 1 – |х|, маємо із графіка функції у = 1 – х відбиттям  симетрично             ( при х ³ 0) щодо осі ОУ.

3) Графік  функції  у = |1 – |х||,  маємо із графіка функції у = 1 – |х| відображенням симетрично осі ОХ нижньої частини графіка.

                 Побудова графіків виду у = |f1(x)| + |f2(x)| + … + |fn(x)|.

При побудові графіків функцій такого роду найпоширенішим є метод, при якому знак модуля розкривається на підставі самого визначення модуля. Як правило, область припустимих значень даної функції розбивають на множини, на кожній з яких вираз, що розташован під знаком модуля, зберігає знак. На кожній такій множині функцію записують без знака модуля й будують графік. Об'єднання множини розв'язків, знайдених на всіх частинах області припустимих значень функції, становить множину всіх точок графіка заданої функції.

 Приклад.  Побудувати графік функції у = |х – 1| + |х – 3|. Знайти найменше значення функції.

Р е ш е н и е.  Точки  х = 1 і х = 3 розбивають числову вісь на три проміжки, для кожного запишемо функцію:

1) при х £ 1 маємо у = 4 – 2х;

2) при 1 < х £ 3 маємо у = 2;

3) при х > 3 маємо у = 2х – 4.

        Приклад .    Побудувати графік функції у = |х| – |х – 1|.

Алгоритм побудови:

1) Знайдемо нулі кожного підмодульного виразу х = 0 і х = 1.

2) Складемо таблицю, у якій крім 0 і 1 записуємо по одному цілому праворуч і ліворуч від цих значень.

х

–1

0

1

2

у

–1

–1

1

1

3) Наносимо ці точки на координатну площину й з'єднуємо послідовно.

                           Побудова графіків виду |у| = f(x).

Враховуючи, що у формулі |у| = f(x), f(x) ³ 0, і на підставі визначення модуля

|у| =

Перепишемо формулу |у| = f(x) у вигляді у = ± f(x), де f(x) ³ 0.

Виходячи із цього, сформулюємо правило-алгоритм.

Для побудови графіків виду |у| = f(x) досить побудувати графік функції у = f(x) для тих х з області визначення, при яких f(x) ³ 0, і відбити отриману частину графіка симетрично щодо осі абсцис.

Таким чином, графік залежності |у| = f(x) складається із графіків двох функцій:

     у = f(x) і у = –f(x).

Приклад.   Побудувати графік функції |у| = 1 – х.

1-й спосіб.          |у| = 1 – х  Û  

      2-й спосіб.

1) Будуємо графік функції у = 1 – х.

2) Відбиваємо ту частину графіка, яка перебуває вище осі абсцис симетрично щодо осі абсцис.

                                            

                                  

                                    Побудова графіків виду |у| = |f(x)|.

Здійснюючи вже відомі перетворення графіків, виконуємо побудову спочатку графіка у = |f(x)|, а потім множину точок, координати яких задовольняють умові |у| = |f(x)|.

Побудова.

1. Будуємо графік функції у = f(x).

2. Частину графіка f(x) < 0, симетрично відображаємо щодо осі ОХ.

3. Отриманий графік симетрично відбиваємо щодо осі ОХ.

        Приклад.

Побудувати графік рівняння |у| = |1 – х|.

1-й спосіб.

|у| = |1 – х|  Û  

    2-й спосіб.

1. Будуємо графік функції у = 1 – х.

2. Графік у = |1 – х| одержуємо із графіка у = 1 – х, симетрично відобразивши ту частину, що лежить під віссю ОХ, щодо осі ОХ.

3. Графік |у| = |1 – х| одержуємо із графіка
у = |1 – х|, відобразивши останній симетрично щодо осі ОХ.

                                    ГРАФІКИ КВАДРАТИЧНИХ ФУНКЦІЙ, які містять знак
                                                                       МОДУЛ
я

1. Графік функції у = |f(x)| маємо із графіка у = f(x) у такий спосіб: частина графіка у = f(x), що лежить над віссю ОХ, зберігається, частина його, що лежить під віссю ОХ, відбивається симетрично щодо осі ОХ.

2. Графік функції у = f(|x|) маємо із графіка функції у = f(x) у такий спосіб: при х ≥ 0 графік     у = f(x) зберігається, а при х < 0 отримана частина графіка відбивається симетрично щодо осі ОУ.

Розглянемо наступні приклади.

Приклад1.

а) у = х2 – |х| – 6;

Розвязок .

1) Будуємо графік функції у = х2 х – 6  (I).

2) Графік  у = х2 – |х| – 6 (II) одержуємо із графіка у = х2х – 6 відбиттям симетрично осі ОУ частини графіка при х ≥ 0.

  

               

Приклад 2.

б) у = |х2х – 6|.

1) Будуємо графік функції у = х2 –  х – 6  (I).

2) Графік  функції у = |х2х – 6| (II) одержуємо із графіка у = х2х – 6 (I) відбиттям симетрично щодо осі ОХ частини графіка, розташованої нижче осі ОХ

Приклад 3.

в) у = |х2 – |х| – 6|.

1) Будуємо графік функції у = х2х – 6  (I).

2) Графік у = х2 – |х| – 6  (II) одержуємо із графіка (I) відбиттям симетрично осі ОУ частини графіка х ≥ 0.

3) Графік у = |х2 – |х| – 6| (III) одержуємо із графіка (II) відбиттям симетрично щодо осі ОХ частини графіка, розташованої нижче осі ОХ.

Графіки неявних функцій, аналітичний вираз яких містить знак модуля.

            У розглянутих вище прикладах функції були задані аналітично, тобто формулами, що зв'язують відповідні значення аргументу й функції, причому у всіх прикладах у лівій частині рівності, що визначає функцію, стояв у, а в правій – вираз, що залежить від х. Функціональна залежність може бути задана й рівнянням, не дозволеним щодо залежної змінної. Такі функції називаються неявними. 

Приклад 1.   Побудувати множину точок |х|+|у| = 1.

         Функція  парна щодо координатних осей. А тому досить розглянути функцію тільки в I чверті, тобто при х ≥ 0, у ≥0. Оскільки при цьому |х| =х і |у| = у, задана функція приймає вид        х + у = 1. Отже, будуємо графік прямої у = 1 – х, який лежить в  I чверті. 

Потім добудовуємо графік, користуючись        симетрією, щодо осей ОХ і ОУ. Одержуємо квадрат з вершинами (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; –1).

               

                1  у

                                     |х|+|у| = 1

                   0             1        х

Приклад 2.       Побудувати графік |у| – |x| = 3.

Тому що графік симетричний відносно осі ОХ і ОУ, то спочатку будуємо його частину   ух = 3, тобто  у = х + 3  де х ≥ 0, у ≥ 0 (в I чверті). Потім відображаємо симетрично щодо осей координат.                                                                         

        

Приклад 3.  Аналогічно будуємо     |х| – |у| = 3.                                 

                                   у

                     -3             0           3                   х

Приклад 4. Побудувати множину точок ||х| – |у|| = 1.

Дане рівняння еквівалентне двом рівнянням |х| – |у| = 1   і  |у| – |х| = 1.  Отже, шуканий графік   об'єднання  двох  графіків, розглянутих  раніше.

                                          у      

                                                        

                                             1

                             -1                              1                    х

                                           -1

        

Приклад 5. Побудуйте геометричне місце точок, координати яких задовольняють рівнянню ||х| + |у| - 1,5|= 0,5.

 Дане рівняння еквівалентне двом рівнянням |х| + |у| = 1   і  |х| + |у| = 2.  Отже, шуканий графік   об'єднання  двох  графіків, розглянутих раніше.

                                 у

                              2

                              1

                               0                   2        х

 Література.

  1.  Болтянский, В. Г., Сидоров, Ю. В., Шабунин, М. І. Лекції й задачі по елементарній математиці. - М.: Наука, 1971.
  2.  Н.А.Вирченко, І.І. Ляшко, К.І. Зшивальників, Довідник. Графіки функцій.-Київ,Наукова думка, 1979.
  3.  Галицький М. Л., Гольдман, А. М., Звавич, Л. І. Планування навчального  матеріалу для 8 класу з поглибленим вивчанням математики: методичний посібник. - М., 1988.
  4.  Галицький М. Л, Мошкович, С.І. Шварцбурд, Поглиблене вивчання курсу алгебри й математичного аналізу. Москва, Освіта,1990.
  5.  Горнштейн, П., Мерзляк, А., Полонский, В., Якир, М. Экзамін по математиці і його підводні рифи. - М.: Илекса; Харків: Гімназія, 1998.
  6.  Сканави, М. І. Збірник задач по математиці для вступників у втузи. -Москва, Освіта,1990,
  7.  Сивашинский, І. Х. Елементарні функції й графіки. - М.: Наука, 1968.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36191. Огнестойкость строительных конструкций и классификация степени сгораемости материалов 43.5 KB
  Продолжительность в часах сопротивления строительной конструкции воздействию высокой температуры при пожаре до исчерпания ею несущей и ограждающей способности принято называть пределом огнестойкости. Предел огнестойкости конструкции определяется опытным или расчетным путем.Он измеряется в см и представляет собой размер повреждения конструкции в контрольной зоне в течение 15 мин. В соответствии со СНиП 11280 Противопожарные нормы проектирования зданий и сооружений по сгораемости строительные конструкции делятся на: несгораемые...
36192. Виды систем канализации. Устройство наружных и внутренних канализационных систем 20.42 KB
  Канализация представляет собой комплекс инженерных сооружений и мероприятий предназначенных для следующих целей: приема сточных вод в местах образования и транспортирования их к очистным сооружениям; очистки и обеззараживания сточных вод; утилизации полезных веществ содержащихся в сточных водах и в их осадке; выпуска очищенных вод в водоем. Системы канализации: Под системой канализации принято понимать совместное или разделительное отведение сточных вод. Общесплавными называют системы канализации при которых все сточные воды ...
36193. Двухтрубная система отопления с естественной циркуляцией и нижней разводкой 217.5 KB
  Удаление воздуха осуществляется либо через воздушные краны краны Маевского установленные на радиаторах отопления верхнего этажа либо через воздушную трубу соединяющую подающие стояки с расширительным баком. Преимущества нижней разводки отопления перед верхней разводкой: Меньшие потери теплоты так как магистральные трубопроводы не прокладываются на чердаке. При строительстве можно запускать систему отопления при недостроенных верхних этажах.
36194. Системы вентиляции 73.54 KB
  Результатом плохой вентиляции в помещении может стать: несвежий воздух неприятные запахи из кухни и туалетных комнат повышенная влажность конденсация влаги ощущение недостатка свежего воздуха. Существует два основных типа вентиляции: естественная вентиляция и принудительная вентиляция. Для создания усиления естественной вентиляции в стенах зданий прокладывают специальные вытяжные вентиляционные каналы ведущие в кухню в ванную и туалет.
36195. Сфера деятельности дизайнера пространственной среды и вопросы которые он должен решать в проектировании различных объектов 28 KB
  Суть дизайнерской деятельности: с одной стороны это комплекс знаний и навыков преобразованные в метод проектирования который в дальнейшем используется для создания дизайнпроекта; с другой это мировоззрение проектировщика его взгляд на объект проектирования и окружающий мир а также умение обобщать синтезировать вычленять существенные взаимосвязи и закономерности Дизайн и архитектура вместе образуют основу предметнопространственного окружения второй природы которую создает вокруг себя человек. Архитектура формирует ее стабильный...
36196. Методика подхода к проектированию объектов дизайна среды 37 KB
  Основными методами являются анализ синтез оценка Методы проектирования можно разделить на критерии: Обследование знакомство с ситуацией контекстом размещения будущего объекта перечнем свойств которыми он должен обладать. столкновения противоречий между обстоятельствами будущей жизни объекта и эксплуатационными характеристиками его структур. Так сделала многие свои открытия современная бионика почти копирующая в технических объектах принципы и конструкции подсмотренные у природы; субъективные когда автор воображает себя неким...
36197. Коммуникации как одна из фундаментальных тем архитектуры. Градостроительные идеи ХХ века 4.14 MB
  Городасады В 1898 г. вышла книга Городасады будущего где Э. Схема городасада Размышления Говарда стали основой будущих городовспутников широко распространенных и в России с середины XX в. Планировочная схема городасада представлена в виде круга опоясанного сельскохозяйственной зеленой зоной рис.
36198. Цвет и свет в формировании пространства 19.84 KB
  Понятие свет и цвет неразделимы. Цвет. Цветкак один из важнейших компонентов среды обитания человекав проектной практике организуется в соответствии с конкретными условиями с учетом психофизиологиипсихологии и эстетики.
36199. Эргономика 19.15 KB
  Задача: создание таких условий работы для человека которые бы способствовали сохранению здоровья повышению эффективности труда снижению утомляемости. Эргономические требования это требования которые предъявляются к системе человекмашинасреда в целях оптимизации деятельности человекаоператора с учетом его объективных характеристик и возможностей Факторы определяющие эргономические требования Социальнопсихологические факторы предполагают соответствие конструкции машины и организации раб. Психологические факторы предопределяют...