53228

ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ, ЩО МІСТЯТЬ МОДУЛЬ

Научная статья

Педагогика и дидактика

Метою профільного навчання, як одного з напрямків модернізації математичної освіти є забезпечення поглибленого вивчання предмета й підготовка учнів до продовження освіти. Основним напрямком модернізації математичної шкільної освіти є відпрацьовування механізмів підсумкової атестації через введення зовнішнього незалежного тестування.

Украинкский

2014-02-24

128.5 KB

2 чел.

ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ, ЩО
МІСТЯТЬ МОДУЛЬ

           Математика є система інструментів для розв'язку певних класів задач. Задачі ці походять із різних сфер людської практики, але для школяра вони не є практично значимими. Знайома ситуація на уроці фізики або інформатики: зіштовхнувшись із задачею, що допускає математичний розв'язок, школяр не розпізнає її. Сучасний ринок праці висуває свої вимоги до випускників. З'явилася потреба в новому освітньому результаті, що не зводиться до простої комбінації відомостей і навичок, а орієнтованим на розв'язок реальних задач. Цей тип освітніх результатів став називатися компетентностями. Переглядаються освітні програми, вводяться нові предмети, спеціальні курси й факультативи. Одним з таких спеціальних курсів в 9- 11-х профільних і предпрофильных класах може бути « Розв'язок рівнянь і нерівностей з параметрами й модулем».

         Метою профільного навчання, як одного з напрямків модернізації математичної освіти є забезпечення поглибленого вивчання предмета й підготовка учнів до продовження освіти. Основним напрямком модернізації математичної шкільної освіти є відпрацьовування механізмів підсумкової атестації через введення зовнішнього незалежного тестування. У завданнях ЗНО по математиці з розгорнутою відповіддю (частина 3), а також з короткою відповіддю (частина 2), зустрічаються задачі з параметрами й модулем. Поява таких завдань на іспитах далеко не випадково, тому що з їхньою допомогою перевіряється техніка володіння формулами елементарної математики й методами розв'язку рівнянь і нерівностей, уміння вишиковувати логічний ланцюжок міркувань і математична культура учнів. У той же час, розв'язку задач із параметрами в шкільній програмі приділяється мало уваги. Більшість учнів або зовсім не справляються з такими задачами, або приводять громіздкі викладення. Причиною цього є відсутність системи завдань по даній темі в шкільних підручниках.

          Поняття функціональної залежності, будучи одним із центральних у математиці, пронизує всі її додатки, воно, як жодне інше, привчає сприймати величини в їхній живій мінливості, у взаємному зв'язку й обумовленості. Вивчення поведінки функцій і побудова їх графіків є важливим розділом шкільного курсу. Вільне володіння технікою побудови графіків часто допомагає вирішувати складні задачі, а часом є єдиним засобом їх розв'язку. Крім того, уміння будувати графіки функцій становить великий інтерес для самих учнів. Однак на базі основної школи матеріал, пов'язаний із цим питанням, представлений трохи хаотично, вивчається недостатньо повно, багато важливих моментів не входять у програму. Ціль  курсу – прояснити й доповнити шкільний матеріал, пов'язаний з функціями й побудовою  графіків.

Побудова графіків функцій виду у = f(|x|); у = |f(x)|; у= |f(|x|)|; у = |f1(x)| + |f2(x)|  + … + |fn(x)|.

Мета: навчити учнів будувати графіки, що містять модуль; закріпити вивчений матеріал у ході виконання вправ.

Коли в «стандартні» функції, які задають прямі, параболи, гіперболи, включають знак модуля, їх графіки стають незвичайними. Щоб навчитися будувати такі графіки, треба володіти прийманнями побудови графіків елементарних функцій, а також твердо знати й розуміти визначення модуля числа.

Для побудови всіх типів графіків учням досить добре розуміти визначення модуля й знати види найпростіших графіків, вивчаємих у школі. Доцільно розглядати побудову графіків у наступній послідовності:

у = f(|x|);   у = |f(x)|;   у = |f(|x|)|;    у= |f(x)| + |g (x)| + …; |у| = f(x); |у| = |f(x)|.

Побудова графіків слід здійснювати двома способами:

1) на підставі визначення модуля;

2) на підставі правил (алгоритмів) геометричного перетворення графіків функцій.

   Побудова графіка функції у = f(|x|).

у = f(|x|)  =

Отже, графік функції у = f(|x|) складається із двох графіків: у = f(x) – у правій півплощині, у = f(–x) – у лівій півплощині. Виходячи із цього, можна сформулювати правило (алгоритм). Графік функції у = f(|x|) виходить із графіка функції у = f(x) у такий спосіб: при х ³ 0 графік зберігається, а при х < 0 отримана частина графіка відображається симетрично щодо осі ОУ.

Приклад.       Побудувати графік функції          у = 2 |x| – 2.

1-й  с п .     у = 2 |x| – 2  Û  

2-й  с п .

а) Будуємо графік функції у = 2x – 2 для х > 0.  

б) Добудовуємо його ліву частину для х < 0, симетрично побудованої щодо осі ОУ

                                   Графік функції у = |f(x)|.

|f(x)| =

Звідси випливає алгоритм побудови графіків функції у = |f(x)|.

а) Будуємо графік функції f(x).

б) Частина графіка у = f(x), що лежить над віссю ОХ, зберігається, частина його, що лежить під віссю ОХ, відображається симетрично щодо осі ОХ.

Приклад.       Побудувати графік функції у = |х – 2|.

1. Побудова.

а) Будуємо графік функції у = х – 2.

б) Графік нижньої півплощини відображаємо нагору симетрично щодо осі  ОХ.

      2. у = |х – 2|  Û  

                              Побудова графіка функції у = |f(|x|)|.

Щоб побудувати графік функції у = |f(|x|)|, треба спочатку побудувати графік функції у = f(x) при х > 0, потім при х < 0 побудувати зображення, симетричне йому щодо осі ОУ, а потім на інтервалах, де f(|x|) < 0, побудувати зображення, симетричне графіку f(|x|) щодо осі ОХ.

Приклад.      Побудувати графік функції у = |1 – |х||.

Побудова.   1.    у = |1 – |х||  Û   Û 

Побудова 2.

1) Будуємо графік функції у = 1 – х.

2) Графік функції у = 1 – |х|, маємо із графіка функції у = 1 – х відбиттям  симетрично             ( при х ³ 0) щодо осі ОУ.

3) Графік  функції  у = |1 – |х||,  маємо із графіка функції у = 1 – |х| відображенням симетрично осі ОХ нижньої частини графіка.

                 Побудова графіків виду у = |f1(x)| + |f2(x)| + … + |fn(x)|.

При побудові графіків функцій такого роду найпоширенішим є метод, при якому знак модуля розкривається на підставі самого визначення модуля. Як правило, область припустимих значень даної функції розбивають на множини, на кожній з яких вираз, що розташован під знаком модуля, зберігає знак. На кожній такій множині функцію записують без знака модуля й будують графік. Об'єднання множини розв'язків, знайдених на всіх частинах області припустимих значень функції, становить множину всіх точок графіка заданої функції.

 Приклад.  Побудувати графік функції у = |х – 1| + |х – 3|. Знайти найменше значення функції.

Р е ш е н и е.  Точки  х = 1 і х = 3 розбивають числову вісь на три проміжки, для кожного запишемо функцію:

1) при х £ 1 маємо у = 4 – 2х;

2) при 1 < х £ 3 маємо у = 2;

3) при х > 3 маємо у = 2х – 4.

        Приклад .    Побудувати графік функції у = |х| – |х – 1|.

Алгоритм побудови:

1) Знайдемо нулі кожного підмодульного виразу х = 0 і х = 1.

2) Складемо таблицю, у якій крім 0 і 1 записуємо по одному цілому праворуч і ліворуч від цих значень.

х

–1

0

1

2

у

–1

–1

1

1

3) Наносимо ці точки на координатну площину й з'єднуємо послідовно.

                           Побудова графіків виду |у| = f(x).

Враховуючи, що у формулі |у| = f(x), f(x) ³ 0, і на підставі визначення модуля

|у| =

Перепишемо формулу |у| = f(x) у вигляді у = ± f(x), де f(x) ³ 0.

Виходячи із цього, сформулюємо правило-алгоритм.

Для побудови графіків виду |у| = f(x) досить побудувати графік функції у = f(x) для тих х з області визначення, при яких f(x) ³ 0, і відбити отриману частину графіка симетрично щодо осі абсцис.

Таким чином, графік залежності |у| = f(x) складається із графіків двох функцій:

     у = f(x) і у = –f(x).

Приклад.   Побудувати графік функції |у| = 1 – х.

1-й спосіб.          |у| = 1 – х  Û  

      2-й спосіб.

1) Будуємо графік функції у = 1 – х.

2) Відбиваємо ту частину графіка, яка перебуває вище осі абсцис симетрично щодо осі абсцис.

                                            

                                  

                                    Побудова графіків виду |у| = |f(x)|.

Здійснюючи вже відомі перетворення графіків, виконуємо побудову спочатку графіка у = |f(x)|, а потім множину точок, координати яких задовольняють умові |у| = |f(x)|.

Побудова.

1. Будуємо графік функції у = f(x).

2. Частину графіка f(x) < 0, симетрично відображаємо щодо осі ОХ.

3. Отриманий графік симетрично відбиваємо щодо осі ОХ.

        Приклад.

Побудувати графік рівняння |у| = |1 – х|.

1-й спосіб.

|у| = |1 – х|  Û  

    2-й спосіб.

1. Будуємо графік функції у = 1 – х.

2. Графік у = |1 – х| одержуємо із графіка у = 1 – х, симетрично відобразивши ту частину, що лежить під віссю ОХ, щодо осі ОХ.

3. Графік |у| = |1 – х| одержуємо із графіка
у = |1 – х|, відобразивши останній симетрично щодо осі ОХ.

                                    ГРАФІКИ КВАДРАТИЧНИХ ФУНКЦІЙ, які містять знак
                                                                       МОДУЛ
я

1. Графік функції у = |f(x)| маємо із графіка у = f(x) у такий спосіб: частина графіка у = f(x), що лежить над віссю ОХ, зберігається, частина його, що лежить під віссю ОХ, відбивається симетрично щодо осі ОХ.

2. Графік функції у = f(|x|) маємо із графіка функції у = f(x) у такий спосіб: при х ≥ 0 графік     у = f(x) зберігається, а при х < 0 отримана частина графіка відбивається симетрично щодо осі ОУ.

Розглянемо наступні приклади.

Приклад1.

а) у = х2 – |х| – 6;

Розвязок .

1) Будуємо графік функції у = х2 х – 6  (I).

2) Графік  у = х2 – |х| – 6 (II) одержуємо із графіка у = х2х – 6 відбиттям симетрично осі ОУ частини графіка при х ≥ 0.

  

               

Приклад 2.

б) у = |х2х – 6|.

1) Будуємо графік функції у = х2 –  х – 6  (I).

2) Графік  функції у = |х2х – 6| (II) одержуємо із графіка у = х2х – 6 (I) відбиттям симетрично щодо осі ОХ частини графіка, розташованої нижче осі ОХ

Приклад 3.

в) у = |х2 – |х| – 6|.

1) Будуємо графік функції у = х2х – 6  (I).

2) Графік у = х2 – |х| – 6  (II) одержуємо із графіка (I) відбиттям симетрично осі ОУ частини графіка х ≥ 0.

3) Графік у = |х2 – |х| – 6| (III) одержуємо із графіка (II) відбиттям симетрично щодо осі ОХ частини графіка, розташованої нижче осі ОХ.

Графіки неявних функцій, аналітичний вираз яких містить знак модуля.

            У розглянутих вище прикладах функції були задані аналітично, тобто формулами, що зв'язують відповідні значення аргументу й функції, причому у всіх прикладах у лівій частині рівності, що визначає функцію, стояв у, а в правій – вираз, що залежить від х. Функціональна залежність може бути задана й рівнянням, не дозволеним щодо залежної змінної. Такі функції називаються неявними. 

Приклад 1.   Побудувати множину точок |х|+|у| = 1.

         Функція  парна щодо координатних осей. А тому досить розглянути функцію тільки в I чверті, тобто при х ≥ 0, у ≥0. Оскільки при цьому |х| =х і |у| = у, задана функція приймає вид        х + у = 1. Отже, будуємо графік прямої у = 1 – х, який лежить в  I чверті. 

Потім добудовуємо графік, користуючись        симетрією, щодо осей ОХ і ОУ. Одержуємо квадрат з вершинами (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; –1).

               

                1  у

                                     |х|+|у| = 1

                   0             1        х

Приклад 2.       Побудувати графік |у| – |x| = 3.

Тому що графік симетричний відносно осі ОХ і ОУ, то спочатку будуємо його частину   ух = 3, тобто  у = х + 3  де х ≥ 0, у ≥ 0 (в I чверті). Потім відображаємо симетрично щодо осей координат.                                                                         

        

Приклад 3.  Аналогічно будуємо     |х| – |у| = 3.                                 

                                   у

                     -3             0           3                   х

Приклад 4. Побудувати множину точок ||х| – |у|| = 1.

Дане рівняння еквівалентне двом рівнянням |х| – |у| = 1   і  |у| – |х| = 1.  Отже, шуканий графік   об'єднання  двох  графіків, розглянутих  раніше.

                                          у      

                                                        

                                             1

                             -1                              1                    х

                                           -1

        

Приклад 5. Побудуйте геометричне місце точок, координати яких задовольняють рівнянню ||х| + |у| - 1,5|= 0,5.

 Дане рівняння еквівалентне двом рівнянням |х| + |у| = 1   і  |х| + |у| = 2.  Отже, шуканий графік   об'єднання  двох  графіків, розглянутих раніше.

                                 у

                              2

                              1

                               0                   2        х

 Література.

  1.  Болтянский, В. Г., Сидоров, Ю. В., Шабунин, М. І. Лекції й задачі по елементарній математиці. - М.: Наука, 1971.
  2.  Н.А.Вирченко, І.І. Ляшко, К.І. Зшивальників, Довідник. Графіки функцій.-Київ,Наукова думка, 1979.
  3.  Галицький М. Л., Гольдман, А. М., Звавич, Л. І. Планування навчального  матеріалу для 8 класу з поглибленим вивчанням математики: методичний посібник. - М., 1988.
  4.  Галицький М. Л, Мошкович, С.І. Шварцбурд, Поглиблене вивчання курсу алгебри й математичного аналізу. Москва, Освіта,1990.
  5.  Горнштейн, П., Мерзляк, А., Полонский, В., Якир, М. Экзамін по математиці і його підводні рифи. - М.: Илекса; Харків: Гімназія, 1998.
  6.  Сканави, М. І. Збірник задач по математиці для вступників у втузи. -Москва, Освіта,1990,
  7.  Сивашинский, І. Х. Елементарні функції й графіки. - М.: Наука, 1968.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46549. ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ АТП НА АВТОМОБИЛЕЙ 1.67 MB
  Важнейшими направлениями в проектировании должны быть типизация проектных решений на базе унификации объемно-планировочных решений, а также широкое применение типовых проектов. В целях сокращения трудоемкости и сроков проектирования, повышения экономичности проектных решений,
46550. Общая характеристика ФЗ "об окружающей среде" 19.85 KB
  Общая характеристика ФЗ об окружающей среде Определенный комплекс мер соответствующий законодательным нормам и принципам предназначенный для ограничения отрицательного влияния деятельности человека на природу называется – охрана окружающей среды или в научной сфере – прикладной экологией. Стоит отметить что проблема загрязнения окружающей среды несмотря на серьезную борьбу с ней с каждым днем становится все сильней Законодательная база в сфере охраны окружающей среды весьма широка. В отличие от осуществления деятельности в области...
46551. Система планов на предприятии и их взаимосвязь 41 KB
  ехнико-экономическое планирование предусматривает разработку целостной системы показателей развития техники и экономики предприятия в их единстве и взаимозависимости как по месту, так и по времени действия. В ходе данного этапа планирования обосновываются оптимальные объемы производства на основе учета взаимодействия спроса и предложения на продукцию и услуги
46552. Основные закономерности изнашивания. Работоспособность деталей и узлов машин 19.89 KB
  Виды изнашивания в машинах Механическое изнашивание изнашивание в результате механических воздействий. Абразивное изнашивание механическое изнашивание материала в результате режущего или царапающего действия твердых тел или частиц. Абразивная эрозия гидро и газоабразивное изнашивание основной вид изнашивания деталей насосов трубопроводов арматуры дымососов вентиляторов эжекторов пескоструйныхаппаратов в результате воздействия твердых тел или частиц увлекаемых потоком жидкости или газа. Усталостное изнашивание часто является...
46553. Смазочные материалы. Назначение. Классификация. Основные параметры и свойства смазочных материалов 22.23 KB
  Полутвёрдыми полужидкими расплавленные металлы солидолы консталины и др жидкими автомобильные и другие машинные масла газообразными углекислый газ азот инертные газы. Растительные масла получают путем переработки семян определенных растений. – животные масла вырабатывают из животных жиров баранье и говяжье сало технический рыбий жир костное и спермацетовые масла и др. – органические масла по сравнению с нефтяными обладают более высокими смазывающими свойствами и более низкой термической устойчивостью.
46554. THE ADVERB 19.95 KB
  The adverb is a word denoting circumstances or characteristics which attend or modify an action, state, or quality. It may also intensify a quality or characteristics From this definition it is difficult to define dverbs s clss becuse they comprise most heterogeneous group of words nd there is considerble overlp between the clss nd other word clsses. longside such undoubtful dverbs s here now often seldom lwys there re mny others which lso function s words of other clsses. Thus dverbs like ded ded tired cler to get cler wy clen I've clen forgotten slow esy he would sy tht slow nd esy coincide with corresponding djectives ded body cler wters clen hnds. dverbs like pst bove re...
46555. Система Управления БД 19.99 KB
  БД это именованная совокупность данных отражающая состояние объектов и их отношений в заданной предметной области. Банк данных является современной формой организации хранения и доступа к информации. Банк данных – это система специальным образом организованных данных баз данных программных технических языковых организационнометодических средств предназначенных для обеспечения централизованного накопления и коллективного многоцелевого использования данных. Банк данных является сложной системой включающей в себя все обеспечивающие...
46556. Затратный подход к оценке предприятия 20.02 KB
  Суть данного подхода заключается в том что сначала оцениваются и суммируются все активы предприятия нематериальные активы здания машины оборудование запасы дебиторская задолженность финансовые вложения и т. Далее из полученной суммы вычитают текущую стоимость обязательств предприятия. Итоговая величина показывает стоимость собственного капитала предприятия.
46557. Природопользование 20.05 KB
  Предусмотренная лесным законодательством система мер направленных на организацию рационального использования и воспроизводство лесов их охрану от загрязнения истощения и уничтожения защиту от пожаров вредителей и болезней образует понятие правовой охраны лесов. Охрана и защита лесов осуществляется лесхозами государственной лесной охраной базами авиационной охраны лесов и другими организациями лесного хозяйства. Экологические требования и меры входящие в содержание правовой охраны лесов адресованы всем субъектам: организациям ведущим...