53565

Практичне заняття щодо використання Законів Кеплера

Конспект урока

Педагогика и дидактика

На уроках астрономії в школі обмежується як правило вивченням формулювань і використанням законів для розрахунку параметрів руху планет сонячної системи відповідно до третього закону. Кеплера і практично використати їх для розрахунку часу мандрівки до планет сонячної системи. Всі планети обертаються навколо Сонця по еліптичним орбітам в одному з фокусів яких знаходиться Сонце; 2.Радіусвектор планети за рівні проміжки часу замітає однакові площі; 3.

Украинкский

2014-02-28

1.73 MB

1 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 4

Урок №5   астрономії в 11 класі.

Розробив: учитель 1 категорії КЗОСЗОШ № 19 м. Дніпропетровська          Сидоренков Є.Є.

Консультант: доцент каф. фізики ДНУЗТ ім. академіка В.Лазаряна, к.т.н.        Гришечкін С.А.

Редактор: учитель – методист Пономаренко В.В.

Передмова.

Вивчення законів Й. Кеплера ( 1571р.-1630 р.) на уроках астрономії в школі  обмежується, як правило, вивченням формулювань і використанням законів для  розрахунку параметрів руху планет сонячної системи  відповідно до третього закону. Мета цієї розробки: розширити межі уявлення учнями про практичну цінність законів Й.Кеплера.

Тема: Практичне заняття щодо використання Законів Кеплера.  

Мета:Ознайомитись із  законами Й. Кеплера і практично використати їх для розрахунку часу  мандрівки до планет сонячної системи.

Теоретичні відомості.

Йохан Кеплер відкривав свої закони, спираючись на роботи датського вченого Тихо Браге (1546р.-1601р. ) і свої багатолітні спостереження. Результатом його праці стали три основних закони небесної механіки:

1. Всі планети обертаються навколо Сонця по еліптичним орбітам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце;

2.Радіус-вектор планети за рівні проміжки часу «замітає» однакові площі;

3.Відношення квадратів періодів обертання планет дорівнює відношенню кубів великих на- півосей:      =         (1).

Важливою гіпотезою великого І.Н’ютона була та, що і інші тіла обертаються по еліптичним орбітам навколо центрів тяжіння, наприклад, супутники навколо планет, а вільне падіння тіла  і  його обертання по еліптичній траєкторії за своєю природою однакові. Гіпотеза привела до відкриття закону всесвітнього тяжіння:

F=G·          (1),

де М – маса планети,m- маса супутника, R- відстань між взаємодіючими тілами.  Цей закон  не міг бути відкритим  без спадщини Й.Кеплера.

Для подальшої роботи на уроці знадобиться використання відомого   кінематичного рівняння рівномірного обертального руху: φ(t) = φ0+Wt, де φ- кути в радіанах,W- кутова швидкість обертання.

Постановка задачі.

Міжпланетні подорожі - давня мрія людства. Основні питання, що ставляться для її здійснення: яким способом  здійснити переліт і скільки для цього знадобиться часу?  Для вирішення цих задач учені спираються на закони Й.Кеплера і І.Нютона.

Німецький учений  В. Гоман запропонував використовувати еліптичні траєкторії (гомановські траєкторії) для таких подорожей, оскільки сама природа підказала їх вигляд з точки зору мінімізації енергетичних  витрат. Український учений Ю.В. Кондратюк (О.Г.Шаргей)(1897р.- 1941р.)  у січні

1929 р. опублікував свою книгу «Завоювання міжпланетних просторів», в якій детально описав спосіб здійснення міжпланетної подорожі так званою «трасою Кондратюка».

Основні ідеї використання таких траєкторій полягають у тому, щоб з мінімальними витратами енергії довести літальний апарат по еліптичній траєкторії до точки простору, де він зустрінеться з іншою планетою, яка опиниться там завдяки своєму  природному руху.

На малюнку 1 наведена схема міжпланетного перельоту. Планети 1  і 2 мають свої траєкторії руху навколо  Сонця С.   Літальний апарат має еліптичну траєкторію, яка перетинає  траєкторії планет. Цілком зрозуміло, з малюнку, що еліпс, який  є траєкторією руху літального апарату, має свою велику напіввісь:

а = (R1+R2)/2           (2),

де R1і R2- відповідні напівосі обертання планет навколо  Сонця. Залишається тільки стартувати в потрібний час з планети 1.

Рішення задачі.

 

На малюнку 2  наведено положення планет 1 і 2, літального апарату ЛА і траєкторії руху. В точку А рухаються планета 2 і ЛА. Від точки старту на планеті 1  до точки А літальний апарат пройде шлях, що дорівнює половині одного повного оберту. За третім  законом Й.Кеплера:

      

                                               (3),

де Т1- період  обертання планети1, Тла – період обертання ЛА, R1, а - великі напівосі обертання планети 1 і літального апарату відповідно. Якщо припустити, що планетою 1 буде Земля, то R1= 1 а.о., Т1= 1рік. В такому випадку:

Тла =                                   (4).

Половина шляху повного оберту ЛА займе половину часу Тла:

t= 0,5 Тла= 0,5=0,5         (5).

Згідно цієї формули розраховується час на подолання ЛА відстані від Землі, до точки  А зустрічі з планетою 2.  

Для розв’язання задачі скористаємося довідниковими значеннями Rі Т для планет сонячної системи.

Таблиця №1. Параметри руху планет.

Планета

Меркурій

Венера

Земля

Марс

Юпітер

Сатурн

Уран

Нептун

Т,рік

0,24

0,62

1

1,88

11,86

29,46

84,1

164,79

R,а.о.

0,39

0,72

1

1,52

5,2

9,54

19,18

30,06

Розрахуємо параметри перельоту на прикладі подорожі до Марсу.

Проведемо розрахунок  половини періоду обертання ЛА   (час вимірюємо в роках, а відстані - в астрономічних одиницях):

   tла = 0,5 =0,707 року =258 діб.

Аналогічні розрахунки маємо можливість  провести для інших планет.

Розглянемо  початкові умови старту ЛА. Для того, щоб Марс і літальний апарат досягли одночасно точки А ( дивись мал. 2), потрібно,щоб старт ЛА відбувався в той час, коли Марсу залишається рухатися до точки А відрізок часу, що дорівнює  tла. Відношення періодів руху Землі і Марса складає:1,88 на користь Марса, таким же є і обернене відношення кутових швидкостей:

= 1,88. Таким чином, запуск літального апарату з поверхні Землі повинен відбуватися в той момент, коли  кут між напрямом на Землю( планета1) і на Марс (планета2) сягне:

φ0=    tла (                                (6),

де , - кутові швидкості летального апарату і Марсу відповідно.

Розрахуємо кут φ0:

φ0= tла ·2π ·(  -  ) = 0,707р· 2π( - ) = 0,248 π рад = 44,60.

До моменту зустрічі планети і літального апарату Земля пройде кутову відстань, яка дорівнюватиме куту між напрямами С1 і СВ (див. мал. 2).

Оскільки мандрівка ЛА продовжується tла років, то Земля випередить Марс на кут між напрямами СВ і СА: ∆φ = tла ( - φ0             (7).

Розрахуємо кутове випередження:

∆φ = tла ·2π ·(  -  ) - φ0 = 0,707 р ·2π·(  - )- 0,248π= 0,41π=

1,3 рад=74,50.

Таким чином, Земля випереджає Марс на 74,5 градуса в кінці мандрівки ЛА на Марс (див.мал.2).

Щоб повернутися назад на Землю з Марса треба виконати початкові умови: стартувати в потрібний момент часу. Стартувати від  Марса потрібно в момент кутового відставання Землі від Марса на кут ∆φ. Тільки в такому випадку ЛА і Земля витрачають однаковий час для переміщення в точку зустрічі. Після посадки на  Марс  такі умови настануть через час ∆t, який можна вирахувати з кінематичного рівняння обертального руху планет в системі обертання Марса:

2π -2∆φ =  ∆W∆ t         (8),

де ∆W- різниця кутових швидкостей планет.

 ∆t =  =  років = 1,26 років=460 діб.

Після відриву від Марса  витрачається ще час tла для мандрівки з Марса на Землю. Загальний час мандрівки на Марс складе τ= 976 діб.

Для розрахунку параметрів мандрівки на внутрішні планети сонячної системи (Меркурій і Венеру ) потрібно враховувати , що кутова швидкість цих планет більша, ніж у Землі. Рівняння 6,7,8 будуть мати наступний вигляд відповідно:

φ0=    tла (;  ∆φ = tла ( - φ0;  

2π -2∆φ =  ∆W∆ t , де  tла- час мандрівки ЛА на внутрішню планету, який дорівнює половині періоду обертання ЛА по гоманівській траєкторії,    - відповідні кутові швидкості планети, Землі і літального апарату.

При розрахунках кутів обертання  для великих зовнішніх планет треба враховувати додаткові   оберти Землі навколо Сонця, додаючи в рівняння фазу 2π для кожного оберту. Наприклад, для Юпітера  рівняння  (8) має вигляд:  4π -2∆φ = ∆W∆ t.

Треба зауважити на те, що швидкість руху ЛА пов’язана лише з рухом планет і не залежить від технічних характеристик літального апарату. Його технічні можливості повинні повністю відповідати вимогам законів небесної механіки, які відкрив Й.Кеплер.

Аналогічними розрахунками ми маємо можливість визначити час і умови космічних подорожей до інших планет сонячної системи.

Ці розрахунки учні повинні зробити самостійно з використанням таблиці №1, і рівнянь 5,6,7,8. Результати розрахунків занесемо  в таблицю № 2.

Таблиця 2. Результати розрахунків для подорожей до планет сонячної системи.

Планета

Меркурій

Венера

Юпітер

Тп, роки

0,24

0,62

11,86

R, а.о.

0,39

0,72

5,2

t ла, роки

0,29

0,4

2,73

φ0,град

255,5

52,2

277(88)

∆φ, град

75

36

262,5(97,5)

∆t, доба

67

486

219

τ, доба

278,7

778

2212

Всі розрахункові формули наведені нижче.

 tла= 0,5 Тла= 0,5=0,5;   φ0= tла ·2π ·(  -  );

∆φ = tла ·2π ·(  -  ) - φ0; 2π -2∆φ = ∆W∆ t; τ = ∆t + 2 tла.

Висновки:

1. Закони Й.Кеплера стали початком   космічної ери людства.

2.Подорожі  людини до інших планет  сонячної системи цілком реальні.

3. Учні школи мають можливість на уроках астрономії отримати уяву про значення і використання фундаментальних законів фізики в нашому житті.


Перелік використаної літератури і джерела інформації.

1. Воронцов-Велямінов Б.А.,Страут Є.К., Астрономія  11 клас, ПОВ «Дрофа», Москва,2002р.

2.Пришляк М.П., Астрономія 11 клас, «Ранок», Харків,2005р.

3.Климшин І.А.,Крячко І.П., Астрономія 11 клас, «Знання України»,2003р.

4.А.Костюк, Уроки астрономії, «Підручники і посібники», Тернопіль 2003р.

5.Л.А.Кірик, К.П.Бондаренко, Астрономія,Самостійні роботи, «Гімназія»,Харков 2002р.

6.ММЦ м. Дніпропетровська, Електронні посібники БУФ 2011р.,2012р.


Й. Кеплер

R1

R2

C

1

2

Мал. 1. Схема міжпланетної подорожі летального апарату по гоманівській траєкторії.

2

А

ЛА

С

Мал.2. Схема розташування  обєктів

φ0

в

∆φ


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69627. Теорія прийняття рішень в задачах управління та контролю 32 KB
  Торгівельна фірма що продає взуття оптовим покупцям на вітчизняному ринку повинна вирішити яку кількість пар потрібно виготовити щоб задовольнити попит покупців і отримати максимальний прибуток. Закупівельна ціна однієї пари взуття становить 95 якщо партія менша 1000 штук та 90 якщо...
69628. Формування матриці альтернатив, використання класичних критеріїв вибору 48.91 KB
  Мета: набути навиків у проведенні аналізів варіантів рішень та формуванні матриці альтернатив. Завдання Сформувати матрицю рішень відповідно до поставленої задачі. Задача №1 Завод випускає тонізуючий напій у 40-літрових бочках. Витрати на виробництво одного літра напою складають...
69629. МАІ – метод аналізу ієрархій. Метод Сааті 111 KB
  Побудувати дерево ієрархії відповідно до своєї теми, на якому вказати мету, критерії та альтернативи. Визначити експертів, які будуть оцінювати альтернативи за даними критеріями за 9 – ти бальною шкалою. Визначити пріоритети критеріїв, в які входять : компоненти власного вектору...
69630. Інформаційні управляючі системи і технології 485.5 KB
  Мета методичних вказівок – допомогти студентам заочної форми навчання вирішувати задачі прийняття рішень з використанням математико-статистичних моделей та нових інформаційних технологій. Основна форма занять студентів заочної форми навчання – самостійне опрацювання навчального матеріалу...
69631. Теорія прийняття рішень в задачах управління і контролю: Методичні вказівки 633.5 KB
  Вирішення Наносимо фактичні значення на графік який представлено на рисунку 1. Формуємо таблицю 2 за результатами розрахунків суми кожної партії за 4 квартали ковзні середні за 4 квартали і центровані ковзні середні значення стовпці...
69632. МАІ – метод аналізу ієрархій. Метод Сааті 202.5 KB
  Розрядність системи. Система може бути 32–ох та 64–ох розрядною. Звичайно, якщо розрядність більша, тим більше окремих функцій комп’ютера буде доступно для користувача. Тактова частота. Основна одиниця виміру частоти тактів у синхронних колах, що визначає кількість елементарних...
69633. Розроблення, аналіз та визначення адекватності прогнозованих адитивних моделей при прийнятті рішень 204 KB
  Проаналізувати вихідні дані та згладити їх методом ковзного середнього. Побудувати прогнозну модель з адитивною компонентою з урахуванням показників сезонності. Визначити адекватність моделі тренда. Зробити прогноз на найближчі 2 квартали.
69634. Обчислення пропускної здатності каналу зв’язку 126 KB
  Якщо вважати що канал зв’язку це сукупність засобів призначених для передачі інформації від джерела повідомлень до адресата то під пропускною здатністю каналу зв’язку можна вважати його максимальну швидкість передачі інформації.
69635. Особливості застосування ентропії 283 KB
  Поняття ентропії Ентропія в теорії інформації міра хаотичності інформації невизначеність появи будь якого символу первинного алфавіту. Якщо ж врахувати що деякі поєднання символів зустрічаються дуже рідко то невизначеність ще більше зменшується у цьому випадку говорять...