5361

Пример решения задачи по разделу Переходные процессы

Задача

Физика

Пример решения задачи по разделу Переходные процессы Задача. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений посл...

Русский

2014-12-21

184 KB

116 чел.

Пример решения задачи по разделу Переходные процессы

Задача. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.

Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = , где – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Параметры цепи: R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.

Решение.

Классический метод.

Решение задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:

i(t) = iпр(t) +  iсв(t);     u(t) = uпр(t)+  uсв(t),                          (1)

где , а .

1. Находим токи и напряжения докоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2. Индуктивность закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток i1(0–) равен току i3(0–), ток i2(0–) равен нулю, и в схеме всего один контур.

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:

,

откуда

= 4 А.

Напряжение на емкости равно нулю [uC(0–) = 0].

2. Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис. 3. По первому закону коммутации iL(0–) = iL(0+), т.е. ток i3(0+) = 4 А. По второму закону коммутации uC(0–) = uC(0+) = 0.

Для контура, образованного ЭДС Е, сопротивлением R2 и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем:

или

;

i1(0+) = i2(0+) + i3(0+) = 14 А.

Напряжение на сопротивлении R2 равно Е – uC(0+) = 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.

3. Рассчитываем принужденные составляющие токов и напряжений для . Как и для докоммутационного режима индуктивность закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима.

= 10 А;

            = 100 В;      ;       

4. Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр(0+) + iсв(0+) и u(0+) = uпр(0+) + uсв(0+).

iсв1(0+) = 4 А; iсв2(0+) = 10 А; iсв3(0+) = –6 А; uсвL(0+) = uсвС(0+) = 0; .

5. Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации (t = 0+), для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положив Е = 0.

;

                                   (2)

Производную тока через индуктивность можно найти, используя выражение: , а производную напряжения на емкости – из уравнения . Т.е.

 и  ,

откуда

;                                 (3)

Подставляя (3) в (2), после решения получаем:

;     ;     ;    

Все полученные результаты заносим в таблицу.

i1

i2

i3

uL

uC

uR2

t = 0+

14

10

4

0

0

100

10

0

10

0

0

100

4

10

–6

0

0

0

–105

–105

0

106

106

–106

6. Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входное сопротивление для синусоидального тока . Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2:

.

Заменим jw на р и приравняем полученное уравнение нулю. Получим:

или

R2CLp2 + pL + R2 = 0.

Откуда находим корни р1 и р2.

            р1 = –1127,       р2 = –8873.

7. Определим постоянные интегрирования А1 и А2. Для чего составим систему уравнений:

;                 

         

или

;

Например, определим постоянные интегрирования для тока i1 и напряжения uL. Для тока i1 уравнения запишутся в следующем виде:

4 = А1i + А2i;                 

.

После решения:                 А1i = –8,328 А,   А2i = 12,328 А.       

для напряжения uL:

;                 

.

После решения:            = 129,1 В,   = –129,1 В.              

8. Ток i1 cогласно (1) изменяется во времени по закону:

i1(t) = 10 – 8,328е–1127t + 12,328e–8873t,

а напряжение uL:

uL(t) = 129,1e1127t – 129,1 e–8873t.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61239. Личность А. С. Грибоедова: «Всё в нём было необыкновенно привлекательно» (А. С. Пушкин) 25.36 KB
  Всё в нём было необыкновенно привлекательно А. Так вот ребята сегодня я вам предлагаю познакомиться или даже лучше подружиться с личностью замечательного русского драматурга автора самой цитируемой комедии...
61241. МАТЕРИАЛЫ ВЫСОКОЙ ПРОВОДИМОСТИ 305 KB
  Углеродистые материалы. Наиболее широкое применение среди этих материалов имеет графит – одна из разновидностей чистого углерода. К ценным свойствам графита относятся малое удельное сопротивление, хорошая теплопроводность, а также стойкость ко многим агрессивным химическим средам.
61243. THE IMPORTANCE OF LEARNING ENGLISH 15.57 KB
  What should we do? Who is to blame? These questions are regularly asked by any high school English teacher at least twice a year: after winter and summer academic sessions.