5361

Пример решения задачи по разделу Переходные процессы

Задача

Физика

Пример решения задачи по разделу Переходные процессы Задача. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений посл...

Русский

2014-12-21

184 KB

117 чел.

Пример решения задачи по разделу Переходные процессы

Задача. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.

Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = , где – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Параметры цепи: R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.

Решение.

Классический метод.

Решение задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:

i(t) = iпр(t) +  iсв(t);     u(t) = uпр(t)+  uсв(t),                          (1)

где , а .

1. Находим токи и напряжения докоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2. Индуктивность закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток i1(0–) равен току i3(0–), ток i2(0–) равен нулю, и в схеме всего один контур.

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:

,

откуда

= 4 А.

Напряжение на емкости равно нулю [uC(0–) = 0].

2. Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис. 3. По первому закону коммутации iL(0–) = iL(0+), т.е. ток i3(0+) = 4 А. По второму закону коммутации uC(0–) = uC(0+) = 0.

Для контура, образованного ЭДС Е, сопротивлением R2 и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем:

или

;

i1(0+) = i2(0+) + i3(0+) = 14 А.

Напряжение на сопротивлении R2 равно Е – uC(0+) = 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.

3. Рассчитываем принужденные составляющие токов и напряжений для . Как и для докоммутационного режима индуктивность закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима.

= 10 А;

            = 100 В;      ;       

4. Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр(0+) + iсв(0+) и u(0+) = uпр(0+) + uсв(0+).

iсв1(0+) = 4 А; iсв2(0+) = 10 А; iсв3(0+) = –6 А; uсвL(0+) = uсвС(0+) = 0; .

5. Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации (t = 0+), для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положив Е = 0.

;

                                   (2)

Производную тока через индуктивность можно найти, используя выражение: , а производную напряжения на емкости – из уравнения . Т.е.

 и  ,

откуда

;                                 (3)

Подставляя (3) в (2), после решения получаем:

;     ;     ;    

Все полученные результаты заносим в таблицу.

i1

i2

i3

uL

uC

uR2

t = 0+

14

10

4

0

0

100

10

0

10

0

0

100

4

10

–6

0

0

0

–105

–105

0

106

106

–106

6. Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входное сопротивление для синусоидального тока . Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2:

.

Заменим jw на р и приравняем полученное уравнение нулю. Получим:

или

R2CLp2 + pL + R2 = 0.

Откуда находим корни р1 и р2.

            р1 = –1127,       р2 = –8873.

7. Определим постоянные интегрирования А1 и А2. Для чего составим систему уравнений:

;                 

         

или

;

Например, определим постоянные интегрирования для тока i1 и напряжения uL. Для тока i1 уравнения запишутся в следующем виде:

4 = А1i + А2i;                 

.

После решения:                 А1i = –8,328 А,   А2i = 12,328 А.       

для напряжения uL:

;                 

.

После решения:            = 129,1 В,   = –129,1 В.              

8. Ток i1 cогласно (1) изменяется во времени по закону:

i1(t) = 10 – 8,328е–1127t + 12,328e–8873t,

а напряжение uL:

uL(t) = 129,1e1127t – 129,1 e–8873t.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17856. Рынок земли, задача 82 KB
  Задача 7 Тема: Рынок земли Исходные данные: Год рождения ГР = 1982 Месяц рождения МР = 7 День рождения ДР = 15 Спрос на продукцию аграрной отрасли характеризуется функцией QD = ГР МР ´ P = 1982 – 7Р Технология аграрного
17857. Рынок труда 3.04 MB
  Задача 8 Тема: Рынок труда Исходные данные: Год рожденияГР = 2000 Месяц рожденияМР = 8 День рождения ДР = 8 Спрос на продукцию угольной отрасли характеризуется функцией: QD = ГР – МР × P = 2000 – 8P. Технология производства угля задана производственной функцией: ...
17858. Рынок капитала 2.97 MB
  Задача 9 Тема: Рынок капитала Исходные данные: Год рожденияГР = 1968 Месяц рождения МР = 9 День рождения ДР = 1 Спрос на продукцию микропроцессорной отрасли удовлетворяемый корпорацией характеризуется функцией: QD = ГР – МР ´ P = 1968 – 9Р. Технология прои
17859. Рынок информации 3.1 MB
  Задача 10 Тема: Рынок информации Исходные данные: Год рождения ГР = 2001 Месяц рожденияМР = 10 День рожденияДР = 20 Спрос на продукцию информационной отрасли характеризуется функцией: QD = ГР – МР ´ P = 2001 – 10Р Технология производства информац
17860. Общественные блага и внешние эффекты 48 KB
  Задача 11 Тема Общественные блага и внешние эффекты Исходные данные: Год Вашего рожденияГР = 1999 Месяц Вашего рожденияМР = 11 День Вашего рожденияДР = 31 Общая величина выгоды в денежном выражении которая обеспечивается при производстве стирального поро...
17861. Общее равновесие 63 KB
  Задача 12 Тема Общее равновесие Исходные данные: Год рождения студентаГР = 2001 Месяц рождения студентаМР = 12 День рождения студентаДР = 12 Задана матрица прямых расходов А и вектор товарных выпусков отраслей экономики D: A ...
17862. Институциональные аспекты рыночного хозяйства 556.5 KB
  Лекция 1 Вводная Тема: Предмет и метод микроэкономики Учебная цель лекции: изложить основные особенности объекта являющегося предметом изучения микроэкономики получение ответа на вопросы: 1 Что изучает микроэкономика 2 Для чего нужны экономические знания 3 С ...
17863. Теория предельной полезности и поведение потребителя 314.5 KB
  Лекция 2 Тема: Теория предельной полезности и поведение потребителя Учебная цель лекции: изложить основные положения теории предельной полезности дать понятия потребностей экономических благ равновесия потребителя оказать содействие развитию у студентов ...
17864. Ординалистская теория поведения потребителя 296.5 KB
  Лекция 3 Тема: Ординалистская теория поведения потребителя Учебная цель лекции: изложить основные положения порядковой теории полезности дать понятия кривой безразличия равновесия потребителя оказать содействие развитию у студентов экономического мышлени...