53701

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Ввести понятие первообразной; доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции применяя определение первообразной; ввести определение неопределенного интеграла; доказать свойства неопределенного интеграла; отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла. Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции F x ее...

Русский

2014-03-02

138.5 KB

16 чел.

                                    ОТКРЫТЫЙ  УРОК  ПО  ТЕМЕ

           « ПЕРВООБРАЗНАЯ  И  НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ  ИНТЕГРАЛ.

                 СВОЙСТВА  НЕОПРЕДЕЛЕННОГО  ИНТЕГРАЛА».

                     

                                                    2 часа.

 

                 11 а  класс  с  углубленным  изучением  математики

                                    Проблемное   изложение.                

                    Проблемно – поисковые  технологии  обучения.

                                        13  декабря  2000г.

          ПЕРВООБРАЗНАЯ  И  НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ  ИНТЕГРАЛ.

              СВОЙСТВА  НЕОПРЕДЕЛЕННОГО  ИНТЕГРАЛА.

  ЦЕЛЬ УРОКА :

    

                           -   активизировать  мыслительную  деятельность;

                           -   способствовать  усвоению  способов  исследова-

                               ния;

                           -  обеспечить  более  прочное  усвоение  знаний.

 ЗАДАЧИ  УРОКА:  

                             

  •  ввести  понятие  первообразной;
  •  доказать  теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);
  •  ввести определение неопределенного интеграла;
  •  доказать свойства неопределенного интеграла;
  •  отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.

 ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ  РАБОТА : 

                              

  •  повторить  правила и формулы дифференцирования
  •  понятие  дифференциала.

                                       ХОД  УРОКА

Предлагается  решить задачи.  Условия задач записаны на доске.

Учащиеся дают ответы по решению задач  1, 2.

(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-

  цирования ).

          1.  Закон  движения  тела  S(t) ,  найти  его мгновенную          

               скорость  в  любой  момент  времени.

                   -                          V(t) =  S(t).

          2.  Зная, что количество  электричества,  протекающего          

             через  проводник выражается  формулой   q (t)  =  3t - 2 t,                

             выведите  формулу для  вычисления  силы  тока в  любой

             момент времени t.

                          -                          I (t) =  6t -  2.

       

           3 . Зная  скорость движущегося тела в каждый момент вре-

               мени, найти закон его движения.                                                                                                                                            

  1.  Зная , что сила тока проходящего через проводник в лю-

  бой момент времени  I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для   

   определения количества электричества, проходящего

   через проводник.

Учитель :  Возможно ли решить  задачи № 3 и 4 используя

                 имеющиеся у нас средства ?

                 ( Создание  проблемной ситуации ).

Предположения учащихся :

              -  Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,        

                 обратную дифференцированию.

              -  Операция дифференцирования сопоставляет заданной          

                 функции  F (x )  ее  производную.

                                     F (x)  =  f (x).

    Учитель : В чем заключается задача , дифференцированию?

Вывод  учащихся :

       -  Исходя  из данной  функции  f (x) , найти  такую функцию

          F (x) производной которой  является f (x) ,  т.е.

                          f (x) = F(x) .

 Учитель :

       Такая операция называется интегрированием, точнее      

       неопределенным интегрированием.

             Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.

             Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.

            Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие  из них -  физическая задача определения пройденного  за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

            В чем  состоит  неопределенность этой обратной операции  предстоит выяснить.

           Введем  определение. ( кратко символически записывается

                                                   на  доске ).

Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут

                          ке X, называют первообразной для функции задан-

                          ной на том же промежутке, если для  всех   x  X  

                          выполняется  равенство

                         

                         F(x) = f (x)          или   d F(x) =  f (x)  dx .

Например.  ( x) = 2x,  из этого равенства следует, что функция

                     x является  первообразной на всей числовой оси

                    для функции 2x.

Используя  определение  первообразной , выполните  упражнение

   № 2 ( 1,3,6 ) .  Проверьте, что функция  F является первообраз-

                            ной для функции f, если

1)  F (x) =  2 cos 2x ,          f (x) =  x  -  4 sin 2x .

2)  F (x) =  tgх  -  cos 5x ,          f (x) =    +  5 sin 5x.

3)  F (x)  = x sin x  +   ,   f (x) = 4x sinx  + x cosx  + .

     Решения  примеров записывают на доске учащиеся, комменти-

     руя свои действия.

Учитель :

                 Является  ли  функция  х единственной первообразной   

                 для функции  2х ?

Учащиеся  приводят  примеры

                                                        х +  3 ;   х  -  92,  и  т.д. ,

  Вывод  делают сами учащиеся :

              любая функция имеет бесконечно  много первообразных.

              Всякая  функция вида  х + С,  где С – некоторое  число,

              является первообразной  функции  х.

  Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку

 учителя.

   Теорема.        Если функция f имеет на промежутке  первообраз-

                    ную  F, то для любого числа С функция  F + C  также

                    является  первообразной для  f . Иных первообразных

                    функция f  на Х не имеет.

   Доказательство проводят учащиеся  под руководством учителя.

            а)  Т.к.  F  - первообразная  для f  на  промежутке Х, то

                 F (x)  =  f (x)  для  всех  х  Х.

                 Тогда  для    х Х   для  любого С  имеем :

                 ( F (x) + C )  =   f (x) .  Это  значит, что  F (x) + C - тоже  

                 первообразная  f  на  Х .

 

            б)  Докажем , что  иных  первообразных  на  Х  функция f

                 не имеет.

                 Предположим , что  Ф тоже  первообразная  для  f  на Х.

                 Тогда   Ф(x)  =  f (x)  и  потому  для всех  х Х  имеем :

                 Ф (x) -  F (x)  =  f (x)  -  f (x)  =  0,  следовательно

                 Ф - F  постоянна  на  Х.  Пусть  Ф (x) – F (x)  =  C , тогда

                 Ф (x)  =  F (x)  + C,  значит  любая  первообразная  

                 функции  f  на  Х  имеет  вид  F + C.

 

 Учитель :  в  чем заключается задача отыскания всех первообраз-

                   ных для данной функции ?

 Вывод  формулируют учащиеся:

                  Задача отыскания всех  первообразных, решается

                  отысканием  какой-нибудь одной: если такая первооб-

                  разная найдена, то любая другая получается из нее

                  прибавлением постоянной.

Учитель  формулирует определение неопределенного интеграла.

 Определение 2.   Совокупность  всех первообразных функции  f 

                               называют  неопределенным  интегралом  этой

                               функции.

 Обозначение.          ;                   -  читается  интеграл.

                      =   F (x)  +  C,    где  F – одна из первообразных

                                                              для  f ,  С  пробегает множество

                                                              действительных  чисел.

                                                

                    f          - подынтегральная функция;

                    f (x)dx - подынтегральное выражение;

                    х          - переменная  интегрирования;

                    С         - постоянная  интегрирования.

Свойства  неопределенного  интеграла учащиеся изучают по учебнику самостоятельно и  выписывают их в тетрадь.

  1.  d ( )  =  f  (x) dx.
  2.    =   F (x)  +  C.
  3.  Интеграл  суммы  равен  сумме  интегралов  слагаемых.

       =      +    .

  1.  Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

       =   A .

  1.  T.k.  ( x ) =  ( ) x,  то  при   - 1,

        =     =    +  С.

Применение  сделанных  выводов на  практике, в процессе решения примеров.

      Используя  свойства  неопределенного интеграла, решите  примеры  № 1 (2,3 ).

  Вычислите  интегралы.

 

  1.   ,
  2.  Какие  свойства  неопределенного  интеграла  следует  применить, решая  следующий  пример ?

    .

  Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски

 комментирует выполняемые действия.

Учитель :

                    Теперь  вы  можете  решить физическую задачу

               определения  пройденного пути по известной скорости ?    

               по  известному  ускорению ?

               Решите задачи  № 3 и 4 и запишите решение в тетрадь.

               Учитель выборочно проверяет запись решения.

Решите  задачу.  Тело свободно падает в пустоте. Пусть  s (t) –

                            координата тела в момент t .

                            Т.о.  g  =  s(t)   и   g  -  постоянная.       

                            Требуется найти функцию  s (t) – закон движения.