53701

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Ввести понятие первообразной; доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции применяя определение первообразной; ввести определение неопределенного интеграла; доказать свойства неопределенного интеграла; отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла. Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции F x ее...

Русский

2014-03-02

138.5 KB

16 чел.

                                    ОТКРЫТЫЙ  УРОК  ПО  ТЕМЕ

           « ПЕРВООБРАЗНАЯ  И  НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ  ИНТЕГРАЛ.

                 СВОЙСТВА  НЕОПРЕДЕЛЕННОГО  ИНТЕГРАЛА».

                     

                                                    2 часа.

 

                 11 а  класс  с  углубленным  изучением  математики

                                    Проблемное   изложение.                

                    Проблемно – поисковые  технологии  обучения.

                                        13  декабря  2000г.

          ПЕРВООБРАЗНАЯ  И  НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ  ИНТЕГРАЛ.

              СВОЙСТВА  НЕОПРЕДЕЛЕННОГО  ИНТЕГРАЛА.

  ЦЕЛЬ УРОКА :

    

                           -   активизировать  мыслительную  деятельность;

                           -   способствовать  усвоению  способов  исследова-

                               ния;

                           -  обеспечить  более  прочное  усвоение  знаний.

 ЗАДАЧИ  УРОКА:  

                             

  •  ввести  понятие  первообразной;
  •  доказать  теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);
  •  ввести определение неопределенного интеграла;
  •  доказать свойства неопределенного интеграла;
  •  отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.

 ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ  РАБОТА : 

                              

  •  повторить  правила и формулы дифференцирования
  •  понятие  дифференциала.

                                       ХОД  УРОКА

Предлагается  решить задачи.  Условия задач записаны на доске.

Учащиеся дают ответы по решению задач  1, 2.

(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-

  цирования ).

          1.  Закон  движения  тела  S(t) ,  найти  его мгновенную          

               скорость  в  любой  момент  времени.

                   -                          V(t) =  S(t).

          2.  Зная, что количество  электричества,  протекающего          

             через  проводник выражается  формулой   q (t)  =  3t - 2 t,                

             выведите  формулу для  вычисления  силы  тока в  любой

             момент времени t.

                          -                          I (t) =  6t -  2.

       

           3 . Зная  скорость движущегося тела в каждый момент вре-

               мени, найти закон его движения.                                                                                                                                            

  1.  Зная , что сила тока проходящего через проводник в лю-

  бой момент времени  I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для   

   определения количества электричества, проходящего

   через проводник.

Учитель :  Возможно ли решить  задачи № 3 и 4 используя

                 имеющиеся у нас средства ?

                 ( Создание  проблемной ситуации ).

Предположения учащихся :

              -  Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,        

                 обратную дифференцированию.

              -  Операция дифференцирования сопоставляет заданной          

                 функции  F (x )  ее  производную.

                                     F (x)  =  f (x).

    Учитель : В чем заключается задача , дифференцированию?

Вывод  учащихся :

       -  Исходя  из данной  функции  f (x) , найти  такую функцию

          F (x) производной которой  является f (x) ,  т.е.

                          f (x) = F(x) .

 Учитель :

       Такая операция называется интегрированием, точнее      

       неопределенным интегрированием.

             Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.

             Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.

            Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие  из них -  физическая задача определения пройденного  за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

            В чем  состоит  неопределенность этой обратной операции  предстоит выяснить.

           Введем  определение. ( кратко символически записывается

                                                   на  доске ).

Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут

                          ке X, называют первообразной для функции задан-

                          ной на том же промежутке, если для  всех   x  X  

                          выполняется  равенство

                         

                         F(x) = f (x)          или   d F(x) =  f (x)  dx .

Например.  ( x) = 2x,  из этого равенства следует, что функция

                     x является  первообразной на всей числовой оси

                    для функции 2x.

Используя  определение  первообразной , выполните  упражнение

   № 2 ( 1,3,6 ) .  Проверьте, что функция  F является первообраз-

                            ной для функции f, если

1)  F (x) =  2 cos 2x ,          f (x) =  x  -  4 sin 2x .

2)  F (x) =  tgх  -  cos 5x ,          f (x) =    +  5 sin 5x.

3)  F (x)  = x sin x  +   ,   f (x) = 4x sinx  + x cosx  + .

     Решения  примеров записывают на доске учащиеся, комменти-

     руя свои действия.

Учитель :

                 Является  ли  функция  х единственной первообразной   

                 для функции  2х ?

Учащиеся  приводят  примеры

                                                        х +  3 ;   х  -  92,  и  т.д. ,

  Вывод  делают сами учащиеся :

              любая функция имеет бесконечно  много первообразных.

              Всякая  функция вида  х + С,  где С – некоторое  число,

              является первообразной  функции  х.

  Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку

 учителя.

   Теорема.        Если функция f имеет на промежутке  первообраз-

                    ную  F, то для любого числа С функция  F + C  также

                    является  первообразной для  f . Иных первообразных

                    функция f  на Х не имеет.

   Доказательство проводят учащиеся  под руководством учителя.

            а)  Т.к.  F  - первообразная  для f  на  промежутке Х, то

                 F (x)  =  f (x)  для  всех  х  Х.

                 Тогда  для    х Х   для  любого С  имеем :

                 ( F (x) + C )  =   f (x) .  Это  значит, что  F (x) + C - тоже  

                 первообразная  f  на  Х .

 

            б)  Докажем , что  иных  первообразных  на  Х  функция f

                 не имеет.

                 Предположим , что  Ф тоже  первообразная  для  f  на Х.

                 Тогда   Ф(x)  =  f (x)  и  потому  для всех  х Х  имеем :

                 Ф (x) -  F (x)  =  f (x)  -  f (x)  =  0,  следовательно

                 Ф - F  постоянна  на  Х.  Пусть  Ф (x) – F (x)  =  C , тогда

                 Ф (x)  =  F (x)  + C,  значит  любая  первообразная  

                 функции  f  на  Х  имеет  вид  F + C.

 

 Учитель :  в  чем заключается задача отыскания всех первообраз-

                   ных для данной функции ?

 Вывод  формулируют учащиеся:

                  Задача отыскания всех  первообразных, решается

                  отысканием  какой-нибудь одной: если такая первооб-

                  разная найдена, то любая другая получается из нее

                  прибавлением постоянной.

Учитель  формулирует определение неопределенного интеграла.

 Определение 2.   Совокупность  всех первообразных функции  f 

                               называют  неопределенным  интегралом  этой

                               функции.

 Обозначение.          ;                   -  читается  интеграл.

                      =   F (x)  +  C,    где  F – одна из первообразных

                                                              для  f ,  С  пробегает множество

                                                              действительных  чисел.

                                                

                    f          - подынтегральная функция;

                    f (x)dx - подынтегральное выражение;

                    х          - переменная  интегрирования;

                    С         - постоянная  интегрирования.

Свойства  неопределенного  интеграла учащиеся изучают по учебнику самостоятельно и  выписывают их в тетрадь.

  1.  d ( )  =  f  (x) dx.
  2.    =   F (x)  +  C.
  3.  Интеграл  суммы  равен  сумме  интегралов  слагаемых.

       =      +    .

  1.  Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

       =   A .

  1.  T.k.  ( x ) =  ( ) x,  то  при   - 1,

        =     =    +  С.

Применение  сделанных  выводов на  практике, в процессе решения примеров.

      Используя  свойства  неопределенного интеграла, решите  примеры  № 1 (2,3 ).

  Вычислите  интегралы.

 

  1.   ,
  2.  Какие  свойства  неопределенного  интеграла  следует  применить, решая  следующий  пример ?

    .

  Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски

 комментирует выполняемые действия.

Учитель :

                    Теперь  вы  можете  решить физическую задачу

               определения  пройденного пути по известной скорости ?    

               по  известному  ускорению ?

               Решите задачи  № 3 и 4 и запишите решение в тетрадь.

               Учитель выборочно проверяет запись решения.

Решите  задачу.  Тело свободно падает в пустоте. Пусть  s (t) –

                            координата тела в момент t .

                            Т.о.  g  =  s(t)   и   g  -  постоянная.       

                            Требуется найти функцию  s (t) – закон движения.

 

     

            

            

  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68755. English for future business economists 9.69 MB
  The goal of book is to develop and improve students’ English language skills in reading. The texts contain important information concerning the importance of business activity in our lives, different methods of classifying business activity, different forms of business ownership, production and costs of production.
68756. Друга іноземна (англійська) мова: Навчально-методичний посібник 1.35 MB
  Працюючи з посібником студенти навчаться: уживати модальні дієслова базові структури англійського пасивного речення для передачі простої інформації; неособові форми дієслова інфінітив герундій дієприкметники теперішнього та минулого часу; використовувати у власному мовленні прості мовленнєві фрази...
68759. Друга іноземна (німецька) мова: Методичні рекомендації до самостійної та індивідуальної роботи 508.5 KB
  Мета методичних рекомендацій до самостійної та індивідуальної роботи - допомогти студентам, які почали вивчати німецьку мову, раціонально розподілити програмний навчальний матеріал, правильно організувати самостійну роботу, ефективно застосовувати набуті знання й навички під час виконання індивідуальних завдань творчого характеру.
68760. Німецька мова: Методичні рекомендації 365.5 KB
  Мета методичних рекомендацій - допомогти студентам правильно організувати самостійну роботу, ефективно застосовувати набуті знання й навички під час виконання індивідуальних завдань творчого характеру.
68761. Німецька мова: Збірка завдань та роздаткових карток (для студентів) до Методичного посібника 1.73 MB
  Мета навчально методичної збірки, яка поєднує всі аутентичні та вітчизняні навчально методичні ресурси, що задовольняють викладання німецької мови у групах нормативного навчання, – допомогти студентам раціонально розподілити й засвоїти програмний навчальний матеріал, правильно організувати самостійну роботу...
68762. Хозяйственное и деловое право 242.5 KB
  Хозяйственное право субъекты и основные положения по предпринимательской деятельности. Предметом хозяйственного права являются общественные отношения в сфере предпринимательской деятельности и связанные с ними не коммерческие отношения включая отношения по государственному регулированию экономики.
68763. Логика: Вопросы к экзамену 311.5 KB
  Согласившись с одними утверждениями, мы вынуждены принять и те, что из них следуют, независимо от того, нравятся они нам или нет, способствуют нашим целям или, напротив, препятствуют им. Допустив одно, мы тем самым автоматически лишаем себя возможности утверждать другое, несовместимое с уже допущенным.