53701

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Ввести понятие первообразной; доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции применяя определение первообразной; ввести определение неопределенного интеграла; доказать свойства неопределенного интеграла; отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла. Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции F x ее...

Русский

2014-03-02

138.5 KB

16 чел.

                                    ОТКРЫТЫЙ  УРОК  ПО  ТЕМЕ

           « ПЕРВООБРАЗНАЯ  И  НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ  ИНТЕГРАЛ.

                 СВОЙСТВА  НЕОПРЕДЕЛЕННОГО  ИНТЕГРАЛА».

                     

                                                    2 часа.

 

                 11 а  класс  с  углубленным  изучением  математики

                                    Проблемное   изложение.                

                    Проблемно – поисковые  технологии  обучения.

                                        13  декабря  2000г.

          ПЕРВООБРАЗНАЯ  И  НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ  ИНТЕГРАЛ.

              СВОЙСТВА  НЕОПРЕДЕЛЕННОГО  ИНТЕГРАЛА.

  ЦЕЛЬ УРОКА :

    

                           -   активизировать  мыслительную  деятельность;

                           -   способствовать  усвоению  способов  исследова-

                               ния;

                           -  обеспечить  более  прочное  усвоение  знаний.

 ЗАДАЧИ  УРОКА:  

                             

  •  ввести  понятие  первообразной;
  •  доказать  теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);
  •  ввести определение неопределенного интеграла;
  •  доказать свойства неопределенного интеграла;
  •  отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.

 ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ  РАБОТА : 

                              

  •  повторить  правила и формулы дифференцирования
  •  понятие  дифференциала.

                                       ХОД  УРОКА

Предлагается  решить задачи.  Условия задач записаны на доске.

Учащиеся дают ответы по решению задач  1, 2.

(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-

  цирования ).

          1.  Закон  движения  тела  S(t) ,  найти  его мгновенную          

               скорость  в  любой  момент  времени.

                   -                          V(t) =  S(t).

          2.  Зная, что количество  электричества,  протекающего          

             через  проводник выражается  формулой   q (t)  =  3t - 2 t,                

             выведите  формулу для  вычисления  силы  тока в  любой

             момент времени t.

                          -                          I (t) =  6t -  2.

       

           3 . Зная  скорость движущегося тела в каждый момент вре-

               мени, найти закон его движения.                                                                                                                                            

  1.  Зная , что сила тока проходящего через проводник в лю-

  бой момент времени  I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для   

   определения количества электричества, проходящего

   через проводник.

Учитель :  Возможно ли решить  задачи № 3 и 4 используя

                 имеющиеся у нас средства ?

                 ( Создание  проблемной ситуации ).

Предположения учащихся :

              -  Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,        

                 обратную дифференцированию.

              -  Операция дифференцирования сопоставляет заданной          

                 функции  F (x )  ее  производную.

                                     F (x)  =  f (x).

    Учитель : В чем заключается задача , дифференцированию?

Вывод  учащихся :

       -  Исходя  из данной  функции  f (x) , найти  такую функцию

          F (x) производной которой  является f (x) ,  т.е.

                          f (x) = F(x) .

 Учитель :

       Такая операция называется интегрированием, точнее      

       неопределенным интегрированием.

             Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.

             Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.

            Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие  из них -  физическая задача определения пройденного  за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

            В чем  состоит  неопределенность этой обратной операции  предстоит выяснить.

           Введем  определение. ( кратко символически записывается

                                                   на  доске ).

Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут

                          ке X, называют первообразной для функции задан-

                          ной на том же промежутке, если для  всех   x  X  

                          выполняется  равенство

                         

                         F(x) = f (x)          или   d F(x) =  f (x)  dx .

Например.  ( x) = 2x,  из этого равенства следует, что функция

                     x является  первообразной на всей числовой оси

                    для функции 2x.

Используя  определение  первообразной , выполните  упражнение

   № 2 ( 1,3,6 ) .  Проверьте, что функция  F является первообраз-

                            ной для функции f, если

1)  F (x) =  2 cos 2x ,          f (x) =  x  -  4 sin 2x .

2)  F (x) =  tgх  -  cos 5x ,          f (x) =    +  5 sin 5x.

3)  F (x)  = x sin x  +   ,   f (x) = 4x sinx  + x cosx  + .

     Решения  примеров записывают на доске учащиеся, комменти-

     руя свои действия.

Учитель :

                 Является  ли  функция  х единственной первообразной   

                 для функции  2х ?

Учащиеся  приводят  примеры

                                                        х +  3 ;   х  -  92,  и  т.д. ,

  Вывод  делают сами учащиеся :

              любая функция имеет бесконечно  много первообразных.

              Всякая  функция вида  х + С,  где С – некоторое  число,

              является первообразной  функции  х.

  Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку

 учителя.

   Теорема.        Если функция f имеет на промежутке  первообраз-

                    ную  F, то для любого числа С функция  F + C  также

                    является  первообразной для  f . Иных первообразных

                    функция f  на Х не имеет.

   Доказательство проводят учащиеся  под руководством учителя.

            а)  Т.к.  F  - первообразная  для f  на  промежутке Х, то

                 F (x)  =  f (x)  для  всех  х  Х.

                 Тогда  для    х Х   для  любого С  имеем :

                 ( F (x) + C )  =   f (x) .  Это  значит, что  F (x) + C - тоже  

                 первообразная  f  на  Х .

 

            б)  Докажем , что  иных  первообразных  на  Х  функция f

                 не имеет.

                 Предположим , что  Ф тоже  первообразная  для  f  на Х.

                 Тогда   Ф(x)  =  f (x)  и  потому  для всех  х Х  имеем :

                 Ф (x) -  F (x)  =  f (x)  -  f (x)  =  0,  следовательно

                 Ф - F  постоянна  на  Х.  Пусть  Ф (x) – F (x)  =  C , тогда

                 Ф (x)  =  F (x)  + C,  значит  любая  первообразная  

                 функции  f  на  Х  имеет  вид  F + C.

 

 Учитель :  в  чем заключается задача отыскания всех первообраз-

                   ных для данной функции ?

 Вывод  формулируют учащиеся:

                  Задача отыскания всех  первообразных, решается

                  отысканием  какой-нибудь одной: если такая первооб-

                  разная найдена, то любая другая получается из нее

                  прибавлением постоянной.

Учитель  формулирует определение неопределенного интеграла.

 Определение 2.   Совокупность  всех первообразных функции  f 

                               называют  неопределенным  интегралом  этой

                               функции.

 Обозначение.          ;                   -  читается  интеграл.

                      =   F (x)  +  C,    где  F – одна из первообразных

                                                              для  f ,  С  пробегает множество

                                                              действительных  чисел.

                                                

                    f          - подынтегральная функция;

                    f (x)dx - подынтегральное выражение;

                    х          - переменная  интегрирования;

                    С         - постоянная  интегрирования.

Свойства  неопределенного  интеграла учащиеся изучают по учебнику самостоятельно и  выписывают их в тетрадь.

  1.  d ( )  =  f  (x) dx.
  2.    =   F (x)  +  C.
  3.  Интеграл  суммы  равен  сумме  интегралов  слагаемых.

       =      +    .

  1.  Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

       =   A .

  1.  T.k.  ( x ) =  ( ) x,  то  при   - 1,

        =     =    +  С.

Применение  сделанных  выводов на  практике, в процессе решения примеров.

      Используя  свойства  неопределенного интеграла, решите  примеры  № 1 (2,3 ).

  Вычислите  интегралы.

 

  1.   ,
  2.  Какие  свойства  неопределенного  интеграла  следует  применить, решая  следующий  пример ?

    .

  Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски

 комментирует выполняемые действия.

Учитель :

                    Теперь  вы  можете  решить физическую задачу

               определения  пройденного пути по известной скорости ?    

               по  известному  ускорению ?

               Решите задачи  № 3 и 4 и запишите решение в тетрадь.

               Учитель выборочно проверяет запись решения.

Решите  задачу.  Тело свободно падает в пустоте. Пусть  s (t) –

                            координата тела в момент t .

                            Т.о.  g  =  s(t)   и   g  -  постоянная.       

                            Требуется найти функцию  s (t) – закон движения.

 

     

            

            

  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27127. Цели и функции управления, их классификация. Управленческий цикл 14.7 KB
  Управленческий цикл Классификация целей управления: по содержанию например экономические социальные политические идеологические научнотехнические; по уровням управления общегосударственный отраслевой межотраслевой территориальный и локальный. Классификация функций органов управления: основные предметные функции для осуществления которых образован соответствующий орган исполнительной власти государственного управления; обеспечивающие – функции которые необходимы для успешной реализации предметных функций. Для осуществления...
27128. Функции управления. Управленческие циклы 198.5 KB
  Функции управления. Функция управления определенный вид управленческой деятельности который либо осуществляется достаточно регулярно и часто либо данный вид работ выполняется нерегулярно но их результаты имеют существенные последствия для организации. Я ПОДУМАЮ это определение слова функция Функции управления исходя из их роли в управлении предприятием делят на: 1. Классическим делением функций управления на подфункции является их деление по стадиям управленческого цикла.
27129. Ценовая политика 34 KB
  Ценовая политикаэто определение и поддержание на оптимальном уровне цен на товары с учетом их взаимосвязи в рамках ассортимента в условиях конкретного рынка а также своевременное изменение цен по товарам и рынкам для достижения максимально возможного успеха в конкретной рыночной ситуации. Структура ценовой политики: исходное ценообразование на товар ценообразование в рамках товарной номенклатуры изменение цены контроль за уровнем наценок устанавливаемых посредником создание барьеров по удержанию покупателей разработка программ...
27130. Конкурентные преимущества товара и фирмы на рынке 14.51 KB
  Конкурентное преимущество –характеристики свойства марки или товара которые создают для фирмы определенное превосходство над прямыми конкурентами. Эти характеристики могут относиться как к самому товару так и к дополнительнымуслугам формам производства сбыта или продаж специфичным для фирмы или товара. Конкурентное преимущество это те характеристики свойства товара или марки которые создают для фирмы определенное превосходство над своими прямыми конкурентами.
27131. Ситуационное лидерство (ситуационное руководство) 14.5 KB
  Ситуационное лидерство ситуационное руководство это стиль управления людьми предполагающий использование одного из четырех стилей управления в зависимости от ситуации и уровня развития сотрудников по отношению к задаче. Стили лидерства: Директивный стиль или Лидерство путем приказа высокая ориентация на задачу и низкая на людей. Наставнический стиль или Лидерство путем продажи идей совмещение высокой ориентированности на задачу и на людей. Поддерживающий стиль или Лидерство путем участия в организации процесса работы высокая...
27132. Оценка эффективности электронных и квазиэлектронных предприятий. Total Cost Ownership, Balanced Scorecard 36.5 KB
  в среднем можно ожидать около 5 учитывая что привлекать мы будем именно потенциальных покупателей а не случайных людей. Расчет: Колво покупателей = колво посетителей 100 х конверсии = 240.000 покупателей за 6 месяцев. Валовая прибыль = колво покупателей х средний чек = 12.
27133. Структурированная процесс-модель «бизнес-контент-менеджмент» 1.85 MB
  Структурированная процессмодель бизнесконтентменеджмент Одно из главных требований предъявляемых к построению современного электронного бизнесрешения как можно более быстрая трансформация бизнесидеи в конкретное решение которое соответствует запросам пользователя не требует значительных расходов на поддержку функционирует эффективно и с невысокими издержками и имеет стройную организацию. Структурированная процессмодель дает солидную основу для старта проекта Процессмодель концепция бизнес контент менеджмент состоит из...
27135. Электронная коммерция: B2B. Виртуальные торговые площадки 16.68 KB
  Виртуальные торговые площадки B2B англ. Возможности Интернет позволяют совершать покупки продажи в режиме реального времени и благодаря доступности Интернет в торговой деятельности площадки могут участвовать компании из разных точек земного шара. Площадки типа buyerdriven. В качестве примера можно взять автомобильную промышленность где GM Ford и Daimler Chrysler объединились для создания глобальной онлайновой торговой площадки или здравоохранение где Tenant Healthcare объединила усилия с Ventro ранее Chemdex для создания...