53701

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Ввести понятие первообразной; доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции применяя определение первообразной; ввести определение неопределенного интеграла; доказать свойства неопределенного интеграла; отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла. Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции F x ее...

Русский

2014-03-02

138.5 KB

16 чел.

                                    ОТКРЫТЫЙ  УРОК  ПО  ТЕМЕ

           « ПЕРВООБРАЗНАЯ  И  НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ  ИНТЕГРАЛ.

                 СВОЙСТВА  НЕОПРЕДЕЛЕННОГО  ИНТЕГРАЛА».

                     

                                                    2 часа.

 

                 11 а  класс  с  углубленным  изучением  математики

                                    Проблемное   изложение.                

                    Проблемно – поисковые  технологии  обучения.

                                        13  декабря  2000г.

          ПЕРВООБРАЗНАЯ  И  НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ  ИНТЕГРАЛ.

              СВОЙСТВА  НЕОПРЕДЕЛЕННОГО  ИНТЕГРАЛА.

  ЦЕЛЬ УРОКА :

    

                           -   активизировать  мыслительную  деятельность;

                           -   способствовать  усвоению  способов  исследова-

                               ния;

                           -  обеспечить  более  прочное  усвоение  знаний.

 ЗАДАЧИ  УРОКА:  

                             

  •  ввести  понятие  первообразной;
  •  доказать  теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);
  •  ввести определение неопределенного интеграла;
  •  доказать свойства неопределенного интеграла;
  •  отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.

 ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ  РАБОТА : 

                              

  •  повторить  правила и формулы дифференцирования
  •  понятие  дифференциала.

                                       ХОД  УРОКА

Предлагается  решить задачи.  Условия задач записаны на доске.

Учащиеся дают ответы по решению задач  1, 2.

(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-

  цирования ).

          1.  Закон  движения  тела  S(t) ,  найти  его мгновенную          

               скорость  в  любой  момент  времени.

                   -                          V(t) =  S(t).

          2.  Зная, что количество  электричества,  протекающего          

             через  проводник выражается  формулой   q (t)  =  3t - 2 t,                

             выведите  формулу для  вычисления  силы  тока в  любой

             момент времени t.

                          -                          I (t) =  6t -  2.

       

           3 . Зная  скорость движущегося тела в каждый момент вре-

               мени, найти закон его движения.                                                                                                                                            

  1.  Зная , что сила тока проходящего через проводник в лю-

  бой момент времени  I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для   

   определения количества электричества, проходящего

   через проводник.

Учитель :  Возможно ли решить  задачи № 3 и 4 используя

                 имеющиеся у нас средства ?

                 ( Создание  проблемной ситуации ).

Предположения учащихся :

              -  Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,        

                 обратную дифференцированию.

              -  Операция дифференцирования сопоставляет заданной          

                 функции  F (x )  ее  производную.

                                     F (x)  =  f (x).

    Учитель : В чем заключается задача , дифференцированию?

Вывод  учащихся :

       -  Исходя  из данной  функции  f (x) , найти  такую функцию

          F (x) производной которой  является f (x) ,  т.е.

                          f (x) = F(x) .

 Учитель :

       Такая операция называется интегрированием, точнее      

       неопределенным интегрированием.

             Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.

             Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.

            Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие  из них -  физическая задача определения пройденного  за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

            В чем  состоит  неопределенность этой обратной операции  предстоит выяснить.

           Введем  определение. ( кратко символически записывается

                                                   на  доске ).

Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут

                          ке X, называют первообразной для функции задан-

                          ной на том же промежутке, если для  всех   x  X  

                          выполняется  равенство

                         

                         F(x) = f (x)          или   d F(x) =  f (x)  dx .

Например.  ( x) = 2x,  из этого равенства следует, что функция

                     x является  первообразной на всей числовой оси

                    для функции 2x.

Используя  определение  первообразной , выполните  упражнение

   № 2 ( 1,3,6 ) .  Проверьте, что функция  F является первообраз-

                            ной для функции f, если

1)  F (x) =  2 cos 2x ,          f (x) =  x  -  4 sin 2x .

2)  F (x) =  tgх  -  cos 5x ,          f (x) =    +  5 sin 5x.

3)  F (x)  = x sin x  +   ,   f (x) = 4x sinx  + x cosx  + .

     Решения  примеров записывают на доске учащиеся, комменти-

     руя свои действия.

Учитель :

                 Является  ли  функция  х единственной первообразной   

                 для функции  2х ?

Учащиеся  приводят  примеры

                                                        х +  3 ;   х  -  92,  и  т.д. ,

  Вывод  делают сами учащиеся :

              любая функция имеет бесконечно  много первообразных.

              Всякая  функция вида  х + С,  где С – некоторое  число,

              является первообразной  функции  х.

  Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку

 учителя.

   Теорема.        Если функция f имеет на промежутке  первообраз-

                    ную  F, то для любого числа С функция  F + C  также

                    является  первообразной для  f . Иных первообразных

                    функция f  на Х не имеет.

   Доказательство проводят учащиеся  под руководством учителя.

            а)  Т.к.  F  - первообразная  для f  на  промежутке Х, то

                 F (x)  =  f (x)  для  всех  х  Х.

                 Тогда  для    х Х   для  любого С  имеем :

                 ( F (x) + C )  =   f (x) .  Это  значит, что  F (x) + C - тоже  

                 первообразная  f  на  Х .

 

            б)  Докажем , что  иных  первообразных  на  Х  функция f

                 не имеет.

                 Предположим , что  Ф тоже  первообразная  для  f  на Х.

                 Тогда   Ф(x)  =  f (x)  и  потому  для всех  х Х  имеем :

                 Ф (x) -  F (x)  =  f (x)  -  f (x)  =  0,  следовательно

                 Ф - F  постоянна  на  Х.  Пусть  Ф (x) – F (x)  =  C , тогда

                 Ф (x)  =  F (x)  + C,  значит  любая  первообразная  

                 функции  f  на  Х  имеет  вид  F + C.

 

 Учитель :  в  чем заключается задача отыскания всех первообраз-

                   ных для данной функции ?

 Вывод  формулируют учащиеся:

                  Задача отыскания всех  первообразных, решается

                  отысканием  какой-нибудь одной: если такая первооб-

                  разная найдена, то любая другая получается из нее

                  прибавлением постоянной.

Учитель  формулирует определение неопределенного интеграла.

 Определение 2.   Совокупность  всех первообразных функции  f 

                               называют  неопределенным  интегралом  этой

                               функции.

 Обозначение.          ;                   -  читается  интеграл.

                      =   F (x)  +  C,    где  F – одна из первообразных

                                                              для  f ,  С  пробегает множество

                                                              действительных  чисел.

                                                

                    f          - подынтегральная функция;

                    f (x)dx - подынтегральное выражение;

                    х          - переменная  интегрирования;

                    С         - постоянная  интегрирования.

Свойства  неопределенного  интеграла учащиеся изучают по учебнику самостоятельно и  выписывают их в тетрадь.

  1.  d ( )  =  f  (x) dx.
  2.    =   F (x)  +  C.
  3.  Интеграл  суммы  равен  сумме  интегралов  слагаемых.

       =      +    .

  1.  Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

       =   A .

  1.  T.k.  ( x ) =  ( ) x,  то  при   - 1,

        =     =    +  С.

Применение  сделанных  выводов на  практике, в процессе решения примеров.

      Используя  свойства  неопределенного интеграла, решите  примеры  № 1 (2,3 ).

  Вычислите  интегралы.

 

  1.   ,
  2.  Какие  свойства  неопределенного  интеграла  следует  применить, решая  следующий  пример ?

    .

  Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски

 комментирует выполняемые действия.

Учитель :

                    Теперь  вы  можете  решить физическую задачу

               определения  пройденного пути по известной скорости ?    

               по  известному  ускорению ?

               Решите задачи  № 3 и 4 и запишите решение в тетрадь.

               Учитель выборочно проверяет запись решения.

Решите  задачу.  Тело свободно падает в пустоте. Пусть  s (t) –

                            координата тела в момент t .

                            Т.о.  g  =  s(t)   и   g  -  постоянная.       

                            Требуется найти функцию  s (t) – закон движения.

 

     

            

            

  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41513. Психологія особистості керівника 311 KB
  Феномен керівника в історії розвитку суспільства Мотиваційна сфера особистості керівника Труднощі вимоги та обмеження у роботі керівників Якості і риси керівника Проблема статі в управлінні Ортобіоз особистості керівника Регресивний розвиток керівника та управлінська деформація 1.Феномен керівника в історії розвитку суспільства Давні історичні політичні та соціальні вчення Єгипту Китаю Греції Риму та інших країн відображали не лише основні риси ранніх типів суспільства а й певні характерологічні особливості правителів...
41514. ПСИХОЛОГІЧНІ ЧИННИКИ ОЦІНЮВАННЯ УПРАВЛІНСЬКИХ КАДРІВ 110.5 KB
  Роль оцінювання працівників у процесі управління Соціальнопсихологічні завдання оцінювання Оцінювання за головними параметрами діяльності класифікація характеристика елементів класифікації Установки і форми поведінки керівників під час оцінювання підлеглих Характеристика сучасного менеджера управлінця 1. Роль оцінювання працівників у процесі управління Оцінювання працівників є складовою процесу управління. Головна мета оцінювання: 1.
41515. УПРАВЛІНСЬКЕ КОНСУЛЬТУВАННЯ І БІЗНЕС 79 KB
  Специфіка найму і роботи штатних та зовнішніх управлінських консультантів Головні стилі роботи консультанта. Особливості діяльності консультантів. Специфіка найму і роботи штатних та швшнініх управлінських консультантів У розвинених країнах широко використовується особливий вид діяльності управлінське консультування. Зауважимо що жодна значна перебудова у фірмах Заходу не обходилась без запрошення консультантів.
41516. Соціальні та психологічні аспекти керівництва 147 KB
  Соціальні та психологічні аспекти керівництва Кадри управління. Кадри управління. Кадри управління є складовою частиною управління ця частина системи має: відповідну кваліфікацію. Зокрема керівників залежно від профілю колективів котрі вони очолюють прийнято поділяти на лінійних та функціональних а від рівня і місця в загальній системі управління господарством на керівників відповідних ланок управління вищої середньої низової ланок.
41517. Колегіальний підхід в прийнятті управлінських рішень 177.5 KB
  Функція планування передбачає рішення про те якими повинні бути цілі організації і що повинні робити члени організації щоб досягнути цих цілей. Стратегічне планування сприяє зниженню ризику під час прийняття рішення. Вторинна інформація це дані зібрані раніше для цілей що відмінні від цілей пов'язаних з вирішенням досліджуваної проблеми. Інтерес науковців до цієї проблеми зумовлений тим що в рішеннях фіксується вся сукупність відносин котрі виникають у процесі трудової діяльності і управління організацією.
41518. Основи групової самоорганізації 124.5 KB
  Думка щодо органічності суспільства і людини виражена шведським вченим Еммануїлом Сведенборгом 1688 1772: Існує чітка функціональна подібність між людством народом і окремим індивідом. А теоцентричний представник філософського езотеризму Володимир Олексійович Шмаков 1929 доводив виказану позицію раціональними методами: Вірно виявлена загальна ідея організму однаково застосовна до людини і суспільства але в останньому вона виявляється з більшою силою і багатоманіттям.тому і заперечення того що суспільство є організмом і повне...
41519. КОНФЛІКТИ В СИСТЕМІ УПРАВЛІННЯ ПСИХОЛОГІЧНА ПІДГОТОВКА ДО НОВОВВЕДЕНЬ 180 KB
  Поняття конфлікту. Поняття інновація та нововведення Головні передумови позитивного ставлення до нововведень 1 Поняття конфлікту. Позитивний ефект конструктивного конфлікту для окремої людини може виявлятися і в тощ' що при його вирішенні відбувається усунення внутрішнього психічного напруження і як наслідок буде знайдено вихід зі стану фрустрації. Під час аналізу конфлікту дуже важливо з'ясувати справжні причини його виникнення.
41520. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ПСИХОЛОГІЇ УПРАВЛІННЯ 112 KB
  Психологія управління на Заході Поняття про науку управління Поняття управління використовують у різних науках. Відповідно до трьох головних сфер розвитку об'єктивного світу нежива природа жива природа суспільство можна виокремити головні види управління: управління в неживій природі; управління в живій природі; управління у суспільстві.
41521. Особистість в системі управління 205 KB
  Теорії особистості та їх використання в управлінській практиці Активність особистості як форма вияву її індивідуальності творчості та професіоналізму Соціальна позиція та роль особистості в організації Рівень домагань особистості та їх значення в управлінських відносинах Соціальні норми як регулятори поведінки особистості 2. Теорії особистості та їх використання в управлінській практиці У процесі осмислення психологічною наукою сутності особистості особливостей її розвитку самореалізації взаємодії із зовнішнім середовищем...