53748

Теорема Виета

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Предметные результаты: наблюдать и анализировать связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Формулировать и доказывать теорему Виета, а также обратную теорему, применять теоремы для решения уравнений и задач.

Русский

2014-03-02

95 KB

5 чел.

Конспект урока (8 класс п.23. Теорема Виета)

Тема урока "Терема Виета"

Цели урока

Предметные результаты: наблюдать и анализировать связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Формулировать и доказывать теорему Виета, а также обратную теорему, применять теоремы для  решения уравнений и задач.

Метапредметные результаты: использовать приемы умственной деятельности – анализ, классификация, обобщение и подведение под понятие; ставить цель исследования, выдвигать гипотезы представлять информацию в символической и табличной формах.

Личностные: формирование мотивации – интереса к изучению математики за счет включения примеров из биографии Виета, приема запоминания формулировки теоремы Виета, самостоятельного открытия знаний, выполнения заданий, раскрывающих все основные варианты соответствующей деятельности.

Ход урока

I. Самостоятельная работа

Решить уравнения:

1) х2 – 6х + 8 = 0;                                  3) 3x2  =  x + 2;  

2) х2 – 2х = 5;                                        4)  х2 + 4х – 7 = 5+3х–2х2.

II. Актуализация знаний

1. Что записано на доске? [Квадратные уравнения.]

2. Докажите, что данные уравнения квадратные.

3. Какие виды квадратных уравнений записаны? [Приведенные и неприведенные уравнения.]

Проводится взаимопроверка. Учитель называет правильные ответы. Ученики обмениваются тетрадями и делают проверку. Оценка 5 выставляется за все правильно решенные задания и т.д.

Уравнение

Корни

Сумма корней

Произведение корней

х2–6х+8=0

х2–2х–5=0

3x2x–2=0

3х2+х2=0

х2+рх+q=0

ax2+bx+c=0

Уравнение

Корни

Сумма

корней

Произведение корней

х2–6х+8=0

4 и 2

6

8

х2–2х–5=0

2

–5

3x2x–2=0

3х2+х2=0

–1 и

х2+рх+q=0

и

р

q

ax2+bx+c=0

и

III. Постановка проблемы и открытие нового знания

Найдите сумму и произведение корней. Какое предположение можно сделать? Сравните сумму и произведение корней с коэффициентами уравнения в первом столбце.

Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Сформулируйте утверждение.

[Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену.]

IV. Исторический материал

Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540-1603 гг).

Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была его увлечением, хобби, благодаря упорному труду он добился больших результатов. Виет в 1591 г. ввел буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений, стало возможным свойства уравнений и корней записывать общими формулами.

Недостатком алгебры Виета было то, что он признавал только положительные числа. Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал искусственные приемы решения, что отнимало много времени, и усложняло решение.

Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, т.е. той зависимостью, которая называется «теоремой Виета».

V. Доказательство теоремы Виета

1. Дано: х2 + рх + q = 0. Доказать:

1) х1 + х2 = –р;               2) х1  х2 = q.

2. Сформулируйте обратную теорему Виета.

Если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2+рх+q=0.

3. Сформулируйте теорему Виета для произвольного квадратного уравнения.

ах2 + bx + c = 0, а 0, х2 + .

1) х1 + х2=–;                  2) х1  х2 = .

4. Проверьте равенства для уравнений 3 и 4 из самостоятельной работы.

VI. Способ запоминания теоремы Виета

Чтобы лучше запомнить эти формулы можно выучить стихотворение

«Теорема Виета».

По праву  стихом быть достойным воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше скажи постоянства такого

Умножишь ты корни и дробь уж готова:

В числителе С, в знаменателе А

И сумма корней тоже дроби равна,

Хоть с минусом дробь та, что за беда:

В числителе В, в знаменателе А.

VII. Первичное закрепление изученного материала

Показать примеры применения прямой и обратной теорем Виета

1. Проверьте, правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

а) х2 + 3х – 40 = 0, х1 = –8, х2 = 5;

б) х2 + 2х – 3 = 0, х1 = –1, х2 = 3;

в) 2х2 – 5х – 3 = 0, х1 = –, х2 = 3.

2. Найдите корни квадратного уравнения, применяя теорему, обратную теореме Виета:

а) х2 – 6х + 5 = 0;       б) х2 – 7х + 12 = 0;          в) х2 х – 12 = 0.

3. Составьте приведенные квадратные уравнения, если его корни равны:

а) х1 = –3, х2 = 1;        б) х1 = –3, х2 = –4;            в) х1 = 5, х2 = 6.

4. Проверьте выполнимость теоремы Виета для уравнения:

1) х2 – 2х – 9 = 0, р = –2, q = –9.

х1 =1 – , х2 = 1 + , х1 + х2 = 2,  х1  х2 = –9.

2) 2х2 + 7х – 6 = 0, р = , q = –3.

х1=, х2=, х1 + х2=–,  х1  х2 = –3.

5. Найдите: х2, р, если известно х2 + рх – 35 = 0, х1 = 7.

Решение. х1х2 = –35, 7х2 = –35, х2 = –5; х1 + х2= –р, 7–5=–р, р= –2.    

Ответ: х2 = –5, р = –2.

VIII. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Вопрос 1. Можно ли, не решая самого уравнения

x2–2x+3=0, сказать, чему равна сумма его корней?

Скорее всего, ученики скажут, что число 2. Однако этот ответ неверен, так как это уравнение вообще не имеет корней: x2–2x+3=x2–2x+1+2=(x–1)2+22>0.

Следовательно, прежде чем ответить на вопрос о сумме и произведении корней, необходимо проверить, существуют ли корни у заданного квадратного уравнения.

Вопрос 2. Каков по знаку дискриминант уравнения 

х2–2x–9=0?

Вопрос 3. Могут ли оба корня уравнения х2–2x–9=0 быть положительными?

[Нет, х1х2 = –9, значит, корни разных знаков.]

Вопрос 4.  Можно ли утверждать, что модуль положительного корня уравнения х2–2x–9=0 больше модуля отрицательного?

[Да, можно, потому что х1+х2=2>0.]

Домашнее задание. п.23, №329 (2), 330 (2), 332 (1,4), 333 (2,4).

Творческое задание для сильных учеников:

«Доказать, что если в квадратном уравнении ах2+bx+c=0:

1) а + b + c = 0, то х1 = 1, х2 = ;                  

2) а – b + c = 0, то х1 = –1, х2= –».


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47397. Национальный вопрос в Испании в Новейшее время 426 KB
  Показать борьбу национальных меньшинств за национально-территориальную автономию в 1918-1939 годах; рассмотреть национальную политику режима Франко в 1939-1975 годах; охарактеризовать децентрализацию государственного устройства Испании; выделить политико-правовое положение иммигрантов в Испании
47398. Изучение хозяйственно-ценных признаков у сортов озимой мягкой пшеницы 269.5 KB
  В воздушно-сухом зерне пшеницы содержится: белка. Зерно пшеницы используется для получения муки а также в крупяной макаронной и кондитерской промышленности 37. Велико и организационно-хозяйственное значение озимой пшеницы. Во-вторых более раннее созревание озимой пшеницы по сравнению с яровыми культурами уменьшает напряженность и уборочных работ дает возможность уйти от летней засухи.
47399. Особенности обработки зерна на примере ТОО “Пригородное” 586.5 KB
  Хозяйство расположено на территории со сложным рельефом: долины рек Шограш, Содимы, Емы и многочисленных ручьёв. По почвенно-геоботаническому районированию относится к подзоне средней тайги. Лесные массивы неоднородны, с преобладанием ели и берёзы; в подлеске – рябина, черёмуха и др.Почвенный покров хозяйства сложный.
47400. Современное положение пластиковых карт в России 731.5 KB
  Пластиковые карты как платежный инструмент. Держатель карты. Далее рассматривается процедура расчетов с использованием платежной карты. они выпускают и обслуживают карты международных национальных и локальных систем.
47401. Интернет-трейдинг в России и за рубежом: состояние и перспективы развития 335 KB
  Интернеттрейдинг в России и за рубежом: состояние и перспективы развития. Развитие Интернеттрейдинга в России. Функционирование систем Интернеттрейдинга: российский и зарубежный опыт. Интернеттрейдинг в России и за рубежом: состояние и перспективы развития.
47402. Банковские операции: состояние и перспективы развития 318.5 KB
  Роль коммерческого банка в развитии экономики. в Генуе “Банка ди Сан Джорджоâ€. Через коммерческие банки осуществляются безналичные расчеты через корреспондентские счета в центральных банках. До 80 капитала акционерных коммерческих банков которых насчитывалось около 50 было сосредоточено в 18 банках.
47403. Оценка конкурентоспособности предприятий торговли и основные направления её повышения 441 KB
  Конкурентоспособность предприятия торговли. Сущность конкурентоспособности предприятия торговли и факторы ее определяющие. Методы оценки конкурентоспособности торгового предприятия. Управление конкурентоспособностью предприятия.
47404. Проектирование заготовочно-сборочного цеха 365 KB
  После вырубания стельку надсекают в носочнопучковой части для увеличения гибкости на ширину 2560 мм. Обычно удаляемые газы выводят по высоким трубам рассеивания и большой скоростью. Среднемесячная заработная плата одного работающего руб. Среднемесячная заработная плата одного рабочегосдельщика руб.
47405. Анализ работы технологии Тандем на Покамасовском месторождении НГДУ Лангепаснефть 1.27 MB
  Подсчет запасов нефти и растворенного газа по состоянию на 1. Начальные балансовые извлекаемые запасы нефти составляли по категории С1 163356 75920 тыс. Повышенный газовый фактор низкая продуктивность пластов существенная не стационарность процессов фильтрации тяжелый вывод скважин на режим после глушения и другие осложнения значительно затрудняют работу серийного насосного погружного оборудования для добычи нефти.