53748

Теорема Виета

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Предметные результаты: наблюдать и анализировать связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Формулировать и доказывать теорему Виета, а также обратную теорему, применять теоремы для решения уравнений и задач.

Русский

2014-03-02

95 KB

5 чел.

Конспект урока (8 класс п.23. Теорема Виета)

Тема урока "Терема Виета"

Цели урока

Предметные результаты: наблюдать и анализировать связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Формулировать и доказывать теорему Виета, а также обратную теорему, применять теоремы для  решения уравнений и задач.

Метапредметные результаты: использовать приемы умственной деятельности – анализ, классификация, обобщение и подведение под понятие; ставить цель исследования, выдвигать гипотезы представлять информацию в символической и табличной формах.

Личностные: формирование мотивации – интереса к изучению математики за счет включения примеров из биографии Виета, приема запоминания формулировки теоремы Виета, самостоятельного открытия знаний, выполнения заданий, раскрывающих все основные варианты соответствующей деятельности.

Ход урока

I. Самостоятельная работа

Решить уравнения:

1) х2 – 6х + 8 = 0;                                  3) 3x2  =  x + 2;  

2) х2 – 2х = 5;                                        4)  х2 + 4х – 7 = 5+3х–2х2.

II. Актуализация знаний

1. Что записано на доске? [Квадратные уравнения.]

2. Докажите, что данные уравнения квадратные.

3. Какие виды квадратных уравнений записаны? [Приведенные и неприведенные уравнения.]

Проводится взаимопроверка. Учитель называет правильные ответы. Ученики обмениваются тетрадями и делают проверку. Оценка 5 выставляется за все правильно решенные задания и т.д.

Уравнение

Корни

Сумма корней

Произведение корней

х2–6х+8=0

х2–2х–5=0

3x2x–2=0

3х2+х2=0

х2+рх+q=0

ax2+bx+c=0

Уравнение

Корни

Сумма

корней

Произведение корней

х2–6х+8=0

4 и 2

6

8

х2–2х–5=0

2

–5

3x2x–2=0

3х2+х2=0

–1 и

х2+рх+q=0

и

р

q

ax2+bx+c=0

и

III. Постановка проблемы и открытие нового знания

Найдите сумму и произведение корней. Какое предположение можно сделать? Сравните сумму и произведение корней с коэффициентами уравнения в первом столбце.

Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Сформулируйте утверждение.

[Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену.]

IV. Исторический материал

Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540-1603 гг).

Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была его увлечением, хобби, благодаря упорному труду он добился больших результатов. Виет в 1591 г. ввел буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений, стало возможным свойства уравнений и корней записывать общими формулами.

Недостатком алгебры Виета было то, что он признавал только положительные числа. Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал искусственные приемы решения, что отнимало много времени, и усложняло решение.

Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, т.е. той зависимостью, которая называется «теоремой Виета».

V. Доказательство теоремы Виета

1. Дано: х2 + рх + q = 0. Доказать:

1) х1 + х2 = –р;               2) х1  х2 = q.

2. Сформулируйте обратную теорему Виета.

Если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2+рх+q=0.

3. Сформулируйте теорему Виета для произвольного квадратного уравнения.

ах2 + bx + c = 0, а 0, х2 + .

1) х1 + х2=–;                  2) х1  х2 = .

4. Проверьте равенства для уравнений 3 и 4 из самостоятельной работы.

VI. Способ запоминания теоремы Виета

Чтобы лучше запомнить эти формулы можно выучить стихотворение

«Теорема Виета».

По праву  стихом быть достойным воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше скажи постоянства такого

Умножишь ты корни и дробь уж готова:

В числителе С, в знаменателе А

И сумма корней тоже дроби равна,

Хоть с минусом дробь та, что за беда:

В числителе В, в знаменателе А.

VII. Первичное закрепление изученного материала

Показать примеры применения прямой и обратной теорем Виета

1. Проверьте, правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

а) х2 + 3х – 40 = 0, х1 = –8, х2 = 5;

б) х2 + 2х – 3 = 0, х1 = –1, х2 = 3;

в) 2х2 – 5х – 3 = 0, х1 = –, х2 = 3.

2. Найдите корни квадратного уравнения, применяя теорему, обратную теореме Виета:

а) х2 – 6х + 5 = 0;       б) х2 – 7х + 12 = 0;          в) х2 х – 12 = 0.

3. Составьте приведенные квадратные уравнения, если его корни равны:

а) х1 = –3, х2 = 1;        б) х1 = –3, х2 = –4;            в) х1 = 5, х2 = 6.

4. Проверьте выполнимость теоремы Виета для уравнения:

1) х2 – 2х – 9 = 0, р = –2, q = –9.

х1 =1 – , х2 = 1 + , х1 + х2 = 2,  х1  х2 = –9.

2) 2х2 + 7х – 6 = 0, р = , q = –3.

х1=, х2=, х1 + х2=–,  х1  х2 = –3.

5. Найдите: х2, р, если известно х2 + рх – 35 = 0, х1 = 7.

Решение. х1х2 = –35, 7х2 = –35, х2 = –5; х1 + х2= –р, 7–5=–р, р= –2.    

Ответ: х2 = –5, р = –2.

VIII. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Вопрос 1. Можно ли, не решая самого уравнения

x2–2x+3=0, сказать, чему равна сумма его корней?

Скорее всего, ученики скажут, что число 2. Однако этот ответ неверен, так как это уравнение вообще не имеет корней: x2–2x+3=x2–2x+1+2=(x–1)2+22>0.

Следовательно, прежде чем ответить на вопрос о сумме и произведении корней, необходимо проверить, существуют ли корни у заданного квадратного уравнения.

Вопрос 2. Каков по знаку дискриминант уравнения 

х2–2x–9=0?

Вопрос 3. Могут ли оба корня уравнения х2–2x–9=0 быть положительными?

[Нет, х1х2 = –9, значит, корни разных знаков.]

Вопрос 4.  Можно ли утверждать, что модуль положительного корня уравнения х2–2x–9=0 больше модуля отрицательного?

[Да, можно, потому что х1+х2=2>0.]

Домашнее задание. п.23, №329 (2), 330 (2), 332 (1,4), 333 (2,4).

Творческое задание для сильных учеников:

«Доказать, что если в квадратном уравнении ах2+bx+c=0:

1) а + b + c = 0, то х1 = 1, х2 = ;                  

2) а – b + c = 0, то х1 = –1, х2= –».


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45083. Память,мнестическая деятельность, сила памяти 49.5 KB
  Сила памяти зависит от: степени концентрации внимания на поступающую информацию эмоционального отношения к ней заинтересованности а также от: общего состояния человека степени тренированности характера психических процессов. расстройства памяти 2 Два вида фиксации информации: кратковременная память следы внешних раздражений удерживаются в памяти до тех пор пока существует источник сигналов а затем угасают долговременная информация сохраняется в памяти долгие годы. расстройства памяти...
45084. Классификация эмоций 46.5 KB
  Нарушения эмоциональной сферы 2 Классификация эмоций Настроение Нарушения эмоционального статуса высшие социальные Э проявляются в патриотизме товариществе дружбе в трудовой доблести в чувстве долга перед родиной обществом. Нарушения: депрессия эйфория дисфория слабодушие эмоциональная тупость. нарушения эмоциональной сферы 3 Депрессия выражается стойким угнетением настроения унынием тоской. нарушения эмоциональной сферы 4 Эйфория выражается благодушным блаженным...
45087. Расстройства интеллекта 36 KB
  Расстройства интеллекта 2 Нарушение интеллекта у больных длительно страдающих шизофренией наблюдается дефект интеллекта в первую очередь изменение качественной стороны психических процессов. расстройства интеллекта 3 Нарушение интеллекта при апато-абулическом синдроме Апатоабулический синдром – характерно снижение интеллектуальной деятельности: больные для решения задач применяют лишь знания полученные до болезни на легкие вопросы отвечают правильно а со сложными не справляются не могут...
45088. Нарушения сознания 27 KB
  Самосознание в онтогенезе претерпевает сложные изменения: от осознания своего телесного соматического я до осознания своих сложных психических процессов в результате которых появляется способность решать задачи стоящие перед человеком в обществе. нарушения сознания 2 Симптомы расстроенного сознания К. Ясперс Часто у больных с тяжелыми соматическими нарушениями наблюдаются расстройства сознания.
45089. Синдромы и симптомы в психиатрии 184.5 KB
  Синдромы и симптомы в психиатрии 2 Малые и большие синдромы Синдромы могут быть малыми и большими. синдромы и симптомы в психиатрии 3 Клиническая картина синдромов Клиническая картина синдромов складывается из: позитивных расстройств галлюцинаторно-бредовые кататонические аффективные и ряд других и негативных расстройств эмоционально-волевое оскудение психопатизация личности слабоумие. Позитивные и негативные синдромы обычно проявляются в тесной взаимосвязи. синдромы и симптомы в психиатрии...
45090. Органическое расстройство личности (F07.0) 28.5 KB
  Этиология Причиной являются эпилепсия тяжелые и повторные черепно-мозговые травмы энцефалиты детские церебральные параличи к которым присоединяются соматические расстройства. Распространенность Считается что органические расстройства личности развиваются у 5 10 больных эпилепсией с продолжительностью заболевания более 10 лет. Хотя на первых этапах расстройства памяти не характерны они могут прогрессировать и в этом случае следует говорить о деменции. Наиболее точно органические расстройства личности дифференцируются от деменций на...
45091. Психические и поведенческие расстройства вследствие употребления психоактивных веществ (F1) 28 KB
  В данную группу входят расстройства тяжесть которых варьирует от неосложненного опьянения до выраженных психотических расстройств и деменции но при этом все они могут быть объяснены употреблением одного или нескольких психоактивных веществ. Конкретное употребляемое вещество часто определяет всю клинику например картину интоксикации психоза хотя деменции в результате употребления различных веществ могут быть похожи. Выделяют расстройства вследствие употребления алкоголя F10 опиоидов F11 каннабиоидов F12 седативных и снотворных...