53748

Теорема Виета

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Предметные результаты: наблюдать и анализировать связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Формулировать и доказывать теорему Виета, а также обратную теорему, применять теоремы для решения уравнений и задач.

Русский

2014-03-02

95 KB

5 чел.

Конспект урока (8 класс п.23. Теорема Виета)

Тема урока "Терема Виета"

Цели урока

Предметные результаты: наблюдать и анализировать связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Формулировать и доказывать теорему Виета, а также обратную теорему, применять теоремы для  решения уравнений и задач.

Метапредметные результаты: использовать приемы умственной деятельности – анализ, классификация, обобщение и подведение под понятие; ставить цель исследования, выдвигать гипотезы представлять информацию в символической и табличной формах.

Личностные: формирование мотивации – интереса к изучению математики за счет включения примеров из биографии Виета, приема запоминания формулировки теоремы Виета, самостоятельного открытия знаний, выполнения заданий, раскрывающих все основные варианты соответствующей деятельности.

Ход урока

I. Самостоятельная работа

Решить уравнения:

1) х2 – 6х + 8 = 0;                                  3) 3x2  =  x + 2;  

2) х2 – 2х = 5;                                        4)  х2 + 4х – 7 = 5+3х–2х2.

II. Актуализация знаний

1. Что записано на доске? [Квадратные уравнения.]

2. Докажите, что данные уравнения квадратные.

3. Какие виды квадратных уравнений записаны? [Приведенные и неприведенные уравнения.]

Проводится взаимопроверка. Учитель называет правильные ответы. Ученики обмениваются тетрадями и делают проверку. Оценка 5 выставляется за все правильно решенные задания и т.д.

Уравнение

Корни

Сумма корней

Произведение корней

х2–6х+8=0

х2–2х–5=0

3x2x–2=0

3х2+х2=0

х2+рх+q=0

ax2+bx+c=0

Уравнение

Корни

Сумма

корней

Произведение корней

х2–6х+8=0

4 и 2

6

8

х2–2х–5=0

2

–5

3x2x–2=0

3х2+х2=0

–1 и

х2+рх+q=0

и

р

q

ax2+bx+c=0

и

III. Постановка проблемы и открытие нового знания

Найдите сумму и произведение корней. Какое предположение можно сделать? Сравните сумму и произведение корней с коэффициентами уравнения в первом столбце.

Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Сформулируйте утверждение.

[Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену.]

IV. Исторический материал

Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540-1603 гг).

Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была его увлечением, хобби, благодаря упорному труду он добился больших результатов. Виет в 1591 г. ввел буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений, стало возможным свойства уравнений и корней записывать общими формулами.

Недостатком алгебры Виета было то, что он признавал только положительные числа. Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал искусственные приемы решения, что отнимало много времени, и усложняло решение.

Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, т.е. той зависимостью, которая называется «теоремой Виета».

V. Доказательство теоремы Виета

1. Дано: х2 + рх + q = 0. Доказать:

1) х1 + х2 = –р;               2) х1  х2 = q.

2. Сформулируйте обратную теорему Виета.

Если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2+рх+q=0.

3. Сформулируйте теорему Виета для произвольного квадратного уравнения.

ах2 + bx + c = 0, а 0, х2 + .

1) х1 + х2=–;                  2) х1  х2 = .

4. Проверьте равенства для уравнений 3 и 4 из самостоятельной работы.

VI. Способ запоминания теоремы Виета

Чтобы лучше запомнить эти формулы можно выучить стихотворение

«Теорема Виета».

По праву  стихом быть достойным воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше скажи постоянства такого

Умножишь ты корни и дробь уж готова:

В числителе С, в знаменателе А

И сумма корней тоже дроби равна,

Хоть с минусом дробь та, что за беда:

В числителе В, в знаменателе А.

VII. Первичное закрепление изученного материала

Показать примеры применения прямой и обратной теорем Виета

1. Проверьте, правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

а) х2 + 3х – 40 = 0, х1 = –8, х2 = 5;

б) х2 + 2х – 3 = 0, х1 = –1, х2 = 3;

в) 2х2 – 5х – 3 = 0, х1 = –, х2 = 3.

2. Найдите корни квадратного уравнения, применяя теорему, обратную теореме Виета:

а) х2 – 6х + 5 = 0;       б) х2 – 7х + 12 = 0;          в) х2 х – 12 = 0.

3. Составьте приведенные квадратные уравнения, если его корни равны:

а) х1 = –3, х2 = 1;        б) х1 = –3, х2 = –4;            в) х1 = 5, х2 = 6.

4. Проверьте выполнимость теоремы Виета для уравнения:

1) х2 – 2х – 9 = 0, р = –2, q = –9.

х1 =1 – , х2 = 1 + , х1 + х2 = 2,  х1  х2 = –9.

2) 2х2 + 7х – 6 = 0, р = , q = –3.

х1=, х2=, х1 + х2=–,  х1  х2 = –3.

5. Найдите: х2, р, если известно х2 + рх – 35 = 0, х1 = 7.

Решение. х1х2 = –35, 7х2 = –35, х2 = –5; х1 + х2= –р, 7–5=–р, р= –2.    

Ответ: х2 = –5, р = –2.

VIII. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Вопрос 1. Можно ли, не решая самого уравнения

x2–2x+3=0, сказать, чему равна сумма его корней?

Скорее всего, ученики скажут, что число 2. Однако этот ответ неверен, так как это уравнение вообще не имеет корней: x2–2x+3=x2–2x+1+2=(x–1)2+22>0.

Следовательно, прежде чем ответить на вопрос о сумме и произведении корней, необходимо проверить, существуют ли корни у заданного квадратного уравнения.

Вопрос 2. Каков по знаку дискриминант уравнения 

х2–2x–9=0?

Вопрос 3. Могут ли оба корня уравнения х2–2x–9=0 быть положительными?

[Нет, х1х2 = –9, значит, корни разных знаков.]

Вопрос 4.  Можно ли утверждать, что модуль положительного корня уравнения х2–2x–9=0 больше модуля отрицательного?

[Да, можно, потому что х1+х2=2>0.]

Домашнее задание. п.23, №329 (2), 330 (2), 332 (1,4), 333 (2,4).

Творческое задание для сильных учеников:

«Доказать, что если в квадратном уравнении ах2+bx+c=0:

1) а + b + c = 0, то х1 = 1, х2 = ;                  

2) а – b + c = 0, то х1 = –1, х2= –».


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54572. Спрос. Закон спроса. Факторы, влияющие на спрос 30.7 KB
  Спрос (D – от англ. demand) – это намерение потребителей, обеспеченное платежными средствами, приобрести данный товар. Наличие спроса на какой-либо товар означает согласие покупателя уплатить за него указанную цену.
54573. Моя Україна – моя Батьківщина. Незалежність України 52.5 KB
  Незалежність України Виховна година для учнів випускників Мета: формувати громадянську позицію в учнів розуміння особистої причетності до всіх подій які відбуваються в Україні шанобливе ставлення до нетлінних духовних скарбниць народу повагу до національних символів традицій оберегів; виховувати в учнів почуття патріотизму національної свідомості любові до рідного краю. Що таке Україна для кожного з вас учні наводять свої думки асоціації аргументують власне сприйняття України як держави наводять приклади з власного...
54574. Ніхто не має права ображати людину 49 KB
  Наш дзвінок вже дав сигнал Працювати час настав Ось і ти часу не гай Працювати починай Доброго дня діти Сідайте. Діти мене звати Вікторія Ігорівна і урок Я і Україна сьогодні проведу у вас я. Діти згадайте будьласка тему минулого вашого уроку. Молодці діти згадали ми з вами минулу тему.
54576. Німецькомовні країни. Розвиток монологічного мовлення 48 KB
  Über Deutschland, Österreich und die Schweiz haben wir vieles erfahren. Und noch gibt es zwei kleine Staaten, wo man deutsch spricht. Hört kleine Information über diese Staaten zu!
54577. ПРОГРАМА ДИСТАНЦІЙНОГО НАВЧАННЯ З НІМЕЦЬКОЇ МОВИ 96.5 KB
  Звісно відпочинок це також необхідна сторона нашого життя але головне завдання вчителя це компетентний учень і робота в режимі дистанційного навчання є чудовим інструментом для його виховання. Робота з текстом: Виписати та вивчити нові слова; Прочитати текст; Перекласти усно; Дати письмові відповіді на питання до тексту та переслати їх на електронну адресу вчителя. Робота з текстом: Виписати та вивчити нові слова; Прочитати текст; Перекласти усно; Виконати тестове завдання до тексту та переслати отримані відповіді на...
54578. Значення нітрогену та його сполук в природі та господарській діяльності людини 57.5 KB
  Сьогодні ми проведемо узагальнюючий урок з теми Підгрупа нітрогену. Щоб виконати завдання редакції необхідно заповнити таблицю Позитивна та негативна роль нітрогену та його сполук. Роль нітрогену та його сполук Позитивна Негативна ІІІ.
54579. НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНА КАРТКА (ПЛАН) ЗАНЯТТЯ 174 KB
  Мета завдання: Навчальна: зясувати соціальноекономічну сутність заробітної плати; визначити сфери державного регулювання оплати праці в умовах ринкових відносин; проаналізувати особливості організацій оплати праці на підприємстві; зясувати що лежить в основі побудови системи оплати праці на підприємстві в сучасних умовах; виявити переваги та недоліки різних систем...
54580. З Новим роком! 103.5 KB
  Принц Рік новий вже так близенько Кілька днів всього пройде. Принц Рік новий не за горами Крок за кроком і прийде. Але поки разом з нами Рік старий.