53908

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Какое уравнение называют квадратным уравнение вида ах2bxc=0 где х – переменная а bс числа причем а≠0 числа а bс называются коэффициентами квадратного уравнения; а первый коэффициент b второй коэффициент с свободный член Например: 2х24х8=0 Какое квадратное уравнение называется приведенным Приведенным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение в котором первый коэффициент равен 1 т. а=1 Например: х23х10=0 Какое квадратное уравнение называется неполным Неполным квадратным уравнением...

Русский

2014-03-05

208 KB

1 чел.

Итоговый урок по теме: «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Цель:

  •  Систематизировать, обобщить и расширить знания и умения учащихся по теме;
  •  Способствовать формированию у учеников математических знаний как важной неотъемлемой составляющей общей культуры человека;
  •  Развивать творческие способности учеников путем решения уравнений разными способами;
  •  Развивать интуицию;
  •  Воспитывать аккуратность.

Ход  урока:

І. Организационный момент.

ІІ. Актуализация.

Интеллигентный человек – это человек, который в том числе знает все о немногом и понемногу обо всем.

Сегодня мы повторим изученный материал по теме: „Решение квадратных уравнений”. Умение решать квадратные уравнения еще в древности было вызвано потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, и земляными работами военного характера, а так же это умение поможет при сдаче выпускных экзаменов за 9 класс, при решении показательных, тригонометрических, логарифмических уравнений на уроках алгебры и начала анализа в 10-11 классах.

Эти знания вам пригодяться при тестировании для поступления и учебы в ВУЗах нетолько математической, технической и экономической направленности, но и в медицинских и естественно-гуманитарных.

Например, некоторые задачи по географии, биологии, химии, физики решаются с помощью квадратных уравнений.

По итогам анкетированич, многие из вас собираются получать образование в различных ВУЗах и после окончания их вам предстоит использовать полученные знания для участия в формирование инновационной среды нашей страны.

А.П.Чехов сказал: „В человеке должно быть все прекрасно: и душа, и мысли, и тело”. А девизом нашего урока я взяла слова Годфри Харди: „Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики”.

ІІІ. Проверка усвоения учащимися изучаемой темы.

Прежде, чем мы приступим к решению квадратных уравнений, повторим изученный материал.

  •  Какое уравнение называют квадратным?

(уравнение вида ах2+bx+c=0, где х – переменная, а, b,с – числа, причем а≠0

числа  а, b,с – называются коэффициентами квадратного уравнения;

а – первый коэффициент

b – второй коэффициент

с – свободный член)

Например: 2х2+4х-8=0

  •  Какое квадратное уравнение называется приведенным?

(Приведенным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, т.е. а=1)

Например: х2+3х-10=0

  •  Какое квадратное уравнение называется неполным?

(Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов  b или с равен 0)

Например: х2+2х=0

ІV. НА   ДОСКЕ  ЗАПИСАНО УРАВНЕНИЕ:  2х2+х-3=0

Прежде чем начать решать уравнение, вспомним способы решения.

1 СПОСОБ

           Для решения квадратного уравнения необходимо вычислить дискриминант по формуле  D2-4ас

  1.  Если D<0, то квадратное уравнение корней не имеет
  2.  Если D=0, то квадратное уравнение имеет два равных корня, х12=
  3.  Если D>0, то квадратное уравнение имеет два разных действительных корня

  

   Решим уравнение:

  2х2+х-3=0

D2-4ас=1+24=25>0,   2п

        

          

Ответ:  

2 СПОСОБ

 С помощью теоремы Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведения корней – свободному члену, т.е. если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения

х2+рх+q=0, то х12=-р, х1 · х2=q

2+х-3=0

;  

Ответ:  ;  

3 СПОСОБ

Свойство суммы коэффициентов квадратного уравнения

Утверждение 1. Если сумма коэффициентов квадратного уравнения  ах2+bx+c=0, где а≠0, равняется нулю, то ;  (х12 – корни уравнения)

Доказательство

Сначала докажем, что любое квадратное уравнение, коэффициенты которого удовлетворяют условию а+b+c=0, имеет корни, то есть D≥0.

Действительно,

D= b2-4ас= b2-4(-b-с)с= b2+4 bс=4с2=( b+2с)2≥0

Для любых b и с.

Поделим обе части данного уравнения на а≠о. Получим возведенное квадратное уравнение вида .

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

,

.

По условию а+b+c=0, ведь, b=-a-c=-(a+c). Это значить , что

Получим:

,

х1=1, , что и нужно было доказать.

Утверждение 2. Если коэффициент квадратного уравнения ах2+bx+c=0, где а≠0, удовлетворяют условию а-b+c=0, тогда х1=-1, , (х12 – корни уравнения).

Доказательство аналогичное доказательству утверждения 1.

22-3=0

Решение:

а-b+c= 7-9+2=0

а-b+c= 2+1-3=0

то есть, х1=1, х2=

Ответ: :  , .

4 СПОСОБ

Способ «перекидывания» коэффициентов

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2+bx+c=0, где а≠0

Квадратное  уравнение имеет действительные корни, если D=b24ac ≥0  и по теореме Виета

 

Умножим обе части уравнения (*) на а, получим:          а2х2+bаx+cа=0

Пусть ах=у, тогда уравнение имеет вид:                            у2+bу+са=0          (**)

Оно имеет действительные корни, потому что его дискриминант такой же, как и уравнение (*). Тогда, найдя корни уравнения (**) по теореме Виета, получим корни уравнения (*):

,

(Во время решения коэффициент а умножается на свободный член, будто «перекидывается» к нему, поэтому этот способ назвали способом «перекидывания»).

Применяется, если корни уравнения у2-by+ca=0 удобно находить по теореме Виета.

Пример:

2+х-3=0

у2+у-6=0

у12=-1

у1·у2=-6

у1=-3, у2=2

;  

Ответ:  ;  .

5 СПОСОБ

Рассмотрим следующий способ решения квадратного уравнения  х2+px+q=0

 Положим  

После подстановки уравнение примет вид: х2+2аbx+b2=0. Прибавив и отняв а2х2, получим (ax+b)2-a2x2+x2=0, или )2- , и далее: (px+2q)2-p2x2+4qx2=0, (px+2q)2=; откуда после преобразований  

Пример: 2х2+х-3=0        1:2

               

 

 

 

Ответ: ;  

V. ПРИШЛО ВРЕМЯ ОТДОХНУТЬ (под музыку)

Все знают, что лучший отдых – это смена деятельности. Сядьте удобнее, закройте глаза, постарайтесь взглянуть во внутрь себя. А теперь представьте льва – царя зверей – сильного могучего, уверенного в себе; спокойного и мудрого. Он красив и выдержан, горд и свободен. Покажите это своей осанкой и выражением лица.

Этого льва зовут как каждого из вас. У него ваши глаза, руки, ноги, тело. У льва не бывает нерешенных задач, невыполненных поручений, ему все по плечу. Он все сможет, если захочет. Любая задача решаема, если знать нужный алгоритм решения; квадратное уравнение можно решить, если знать формулы корней; Лев – каждый из вас.

Посмотрите на меня мои гордые Львы, улыбнитесь мне своей царственной улыбкой и продолжаем набираться мудрости. Возвращаемся к решению уравнений приводимых к квадратным.

Ученик. 

Я хочу поделиться своими наблюдениями. Девочкам это будет тоже интересно, Мужчины при встрече обмениваются рукопожатием. Рукопожатие возникло в средние века, когда рыцари при встрече, проявляли свои миролюбивые намерения, снимая перчатку и протягивали руку вперед, обнажая ладонь, показывая тем самым, что так нет оружия. Рукопожатие может быть крепким, вялым, холодным, даже мокрым. А ведь должно оно быть теплым, с добротой.

Сегодня, 25 февраля, у нас в стране, в Киеве, проходит церемония инаугурации  Президента Украины В.Ф. Януковича.

Уже вчера в Киев стали прилетать иностранные гости для участия в празднике. Гостей в аэропорту встречали официальные лица Украины. При встрече они обменивались рукопожатием. А Вы знаете, я насчитала их 66. А сколько же было делегаций?

Задача решается просто алгебраически. Каждый из участников пожал (х-1) руку. Значит, всех рукопожатий должно быть х(х-1). Но надо принять во внимание, что когда первый человек пожимает руку второму, то второй пожимает руку первому и эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х-1). Имеем уравнение:

или после преобразований,

х2-х-132=0

откуда

   х1=12     х2=-11

так как отрицательное решение (-11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень. В рукопожатии участвовало 12 человек, т.е. 25 февраля в Киев прибыло 12 делегаций.

Уравнения, степень который выше двух, иногда удается решить, введя некую переменную, Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнение четвертой степени, имеющие вид ах4+вх2+с=0.

Уравнение вида  ах4+вх2+с=0, где а≠0, являются квадратными относительно х2 и называются биквадратными уравнениям.

 № 1  Решим биквадратное уравнение.

4-10х2+1=0

для этого введем новую переменную, обозначив х2 через t.

x2=t 

Получим квадратное уравнение с переменной t

9t2-10t+1=0

a=9, b=-10, c=1

D=(-5)2-9·1=25-9=16>0, 2 корня

Ответ: х1=-1, х2=1, х3=; х4=.

№2  решим уравнение, приводимое к квадратному, способом введения новой переменной  (2х2+х-1)(2х2+х-4)-2=0

  1.  2+х-1=t

t·(t-3)+2=0

t2-3t+2=0

D=b2-4ac=9-8=1>0? 2k

2x2+x-1=2

2x2-x-1-1=0

2x2+x-3=0

2x2+x-2=0

D=b2-4ac=1+24=25

D=b2-4ac=1+16=17>0, 2t

x1=

x3=

x2=

x4=

2) 2x2+x=t

3) 2x2+x-4=t

Уравнение примет вид

(t-3)t+2=0

(t-1)(t-4)+2=0

t2+3t+2=0

t2-5t+6=0

D=1

D=1

t1=

t1=3    t2=2

2x2+x-4=-1             2x2+x-4=-2

2x2+x=3                 2x2+x=2

2x2+x-3=0              2x2+x-2=0

2x2+x-3=0              2x2+x-2=0

     

x1                     Х1=

x1 х1= 

x2=                  Х2=

x2= х2=

№3  (x2+x-3)2-12x2-12x+63=0

Для решения уравнения необходимо применить группирование и вынесение множителя за скобки (x2+x-3)2-12(x2+x)+63=0. Введем новую переменную, обозначим х2+х-3 через t

Получим х2+х-3=t, тогда

х2+х=t+3

Решим уравнение:

t2-12(t+3)+63=0

t2-12t-36=63=0

t2-12t=27=0

D=(-6)2-1·27=36-27=9 >0, 2k

t1=

Значит:  х2+х-3=9                       или                                    х2+х-3=3

Х2+х-12=0      х2+х-6=0

Д=1+48=49>0, 2к                                                           Д=25

x1,2=                                                                x3.4=

x1=      x3=

x2=-4         x2=-3

Ответ: x1=3   x2=-4   x3=2   x4=-3.

VІ. Самостоятельная работа.

Т Е С Т

1

2-7х=0

1

2+5х=0

2

-2х2-х-12=0

2

Х2-4х-5=0

3

Х2-8х+12=0

3

2+4х+1=0

4

Х2=4

4

(х-2)х=0

5

Х2-х=0

5

2=0

6

2-16х+3=0

6

35х2+2х-1=0

7

-5х2=0

7

Х2-9=0

а) выпишите номера полных квадратных уравнений

б) выпишите коэффициенты а,b,с в уравнении  (2)

в) выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень

г) выпишите коэффициенты  а,b,с  в уравнении (1)

д) найдите дискриминант в уравнении (6)

е) найдите дискриминант в уравнении (3) и сделайте вывод о количестве корней.

ОТВЕТЫ  НА  ТЕСТ

а

2,3,6

а

2,3,6

б

а=-3, в=-1, с=-12

б

а=1, в=-4, с=-5

в

7

в

5

г

а=2, в=-7, с=0

г

а=3, в=5, с=0

д

Д=196

д

Д=144

е

Д=16>0, 2к

е

Д=4>0, 2к

VІІ. Домашнее задание №347, №354.

VІІІ.  ИТОГ УРОКА. На уроке мы повторили определение квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, формулы корней квадратного уравнения. Способы решений квадратных уравнений, способы решений уравнений, приводимых к квадратным.

ЛИТЕРАТУРА:

  1.  Агрономов Н.А. Об одном решении квадратного уравнения// Наука, М., 1989
  2.  Роева Т.Г. Алгебра. Геометрия 9кл.// Учебное издание, 2002
  3.  Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. Учебник для 9 классов средней школы//1990
  4.  Фадеев Д.К. Алгебра 6-8-М (Библиотека учителя математики) 1983
  5.  Мерзляк А.Г. и др. Алгебра. Учебник для 9 классов общеобразовательных учебных заведений. Харьков гимназия, 2009
  6.  Н.Гайбуллаев, И.Дырченко, Развитие математических способностей учащихся. Ташкент, «Укитувчи», 1987
  7.  В.Коваленко. Дидактические игры на уроках математики. Москва «Просвещение», 1990
  8.  Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. Наука, 1970.
  9.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20595. Молекулярная откачка 195 KB
  Молекулы газа находящиеся в канале соударяются с движущейся поверхностью получая приращение количества движения в направлении насоса предварительного разрежения. Дифференциальное уравнение течения газа через канал постоянного поперечного сечения в установившемся режиме к=const можно записать в виде разности прямого и обратного потоков: где проводимость канала с неподвижными сторонами; длина канала или . Для имеет максимальное значение а при имеет место набольшее значение коэффициента компрессии: В связи с тем что...
20596. Ионно-сорбционная откачка 361.5 KB
  Этот способ удаления газа получил название ионной откачки. Максимальная удельная геометрическая быстрота ионной откачки может быть определена по формуле: где μ коэффициент внедрения ионов удельная частота бомбардировки плотность ионного тока q электрический заряд; n молекулярная концентрация газа. Сорбционная активность этих пленок используется для хемосорбционной откачки. Поглощение инертных газов пленками практически не происходит что требует для их удаления применения вспомогательных средств откачки наиболее удобными...
20597. Электрические явления в вакууме 272.5 KB
  Вид элемента системы Вязкостный режим Молекулярный режим Круглое отверстие диаметром dм Отверстие произвольной формы площадью Ам2 Трубопровод диаметром d длиной l Трубопровод прямоугольного сечения авм Трубопровод с равносторонним треугольным сечением асторона м Трубопровод эллиптического сечения абольшая в малая оси м Труборовод диаметром d с коаксиально расположенным стержнем диаметром dг м а в 1 2 5 10 100   23 37 47 50 53 53  11 12 13 14 Электрические явления в вакууме Прохождение электрического тока...
20598. Понятие о вакууме и давлении 368 KB
  Вакуумсостояние газа при котором его давление ниже атмосферного. Вакуум количественно измеряется абсолютным давлением газа. Свойства газа при низких давлениях изучаются физикой вакуума являющейся разделом молекулярнокинетической теории газов. Основные допущения используемые в физике вакуума можно сформулировать в следующем виде: газ состоит из отдельных молекул; существует постоянное распределение молекул газа по скоростям т.
20599. Основы кодирования речевых сигналов 376.5 KB
  Существующие алгоритмы сжатия информации можно разделить на две большие группы: 1 алгоритмы сжатия без потерь: алгоритм ЛемпеляЗива LempelZiv LZ; RLE Run Length Encoding; кодирование Хаффмена Huffman Encoding; 2 алгоритмы сжатия с потерями: JPEG Joint Photographic Expert Group; MJPEG; MPEG Motion Picture Expert Group. MPEG ориентирован на обработку видео. Возникновение стандартов MPEG Активная разработка методов и стандартов сжатия видеоданных началась с появлением цифровых видеосистем. Но когда речь идет о...
20600. Речевые кодеки абонентских терминалов СПРС и ПСС 480.5 KB
  Обработка речи осуществляется в рамках принятой системы прерывистой передачи речи DTX. DTX управляется детектором активности речи VAD который обеспечивает обнаружение и выделение интервалов передачи речи с шумом и шума без речи даже в тех случаях когда уровень шума соизмерим с уровнем речи. В состав системы DTX входит также устройство формирования комфортного шума который включается и прослушивается в паузах речи когда передатчик отключен.
20601. Оценка качества передачи речевых сигналов 75.5 KB
  Обычно к параметрическим вокодерным относят системы требующие скорости передачи меньшие 16 кбит с. Обычно для обеспечения меньшей скорости передачи требуется применение более сложных алгоритмов т.1 Метод кодирования Скорость передачи кбит с Стандарт Современные приложения ИКМ 64 МСЭТ G.
20602. Модемы систем подвижной связи 649.5 KB
  Однако объем передачи данных по таким сетям имеет тенденцию к быстрому увеличению.3 DQPSK n 4 Требуемое отношения сигнал шум дБ 9 16 Скорость преобразования речи Кбит с 13 65 8 Алгоритм преобразования речи RPE LTP VSELP Типовой радиус соты км 0535 0520 Технологическое преимущество цифровой сотовой связи позволяет увеличивать емкость сетей снижать стоимость и повышать надежность передачи данных. К таким решениям можно отнести: построение сетей GSM на принципах модели открытых систем и интеллектуальных сетей; применение эффективных...
20603. Понятие о защите информации от несанкционированного доступа 109 KB
  Говорить о безопасности сотовой связи в общем нельзя. Если бы не было необходимости в идентификации то он получил бы вместе с аппаратом и доступ к счету жертвы у оператора связи. Принцип работы A3 известен только операторам связи а также разработчикам и производителям всевозможного сотового оборудования. Шифрование данных У любого стандарта сотовой связи есть один большой недостаток.