53908

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Какое уравнение называют квадратным уравнение вида ах2bxc=0 где х – переменная а bс числа причем а≠0 числа а bс называются коэффициентами квадратного уравнения; а первый коэффициент b второй коэффициент с свободный член Например: 2х24х8=0 Какое квадратное уравнение называется приведенным Приведенным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение в котором первый коэффициент равен 1 т. а=1 Например: х23х10=0 Какое квадратное уравнение называется неполным Неполным квадратным уравнением...

Русский

2014-03-05

208 KB

1 чел.

Итоговый урок по теме: «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Цель:

  •  Систематизировать, обобщить и расширить знания и умения учащихся по теме;
  •  Способствовать формированию у учеников математических знаний как важной неотъемлемой составляющей общей культуры человека;
  •  Развивать творческие способности учеников путем решения уравнений разными способами;
  •  Развивать интуицию;
  •  Воспитывать аккуратность.

Ход  урока:

І. Организационный момент.

ІІ. Актуализация.

Интеллигентный человек – это человек, который в том числе знает все о немногом и понемногу обо всем.

Сегодня мы повторим изученный материал по теме: „Решение квадратных уравнений”. Умение решать квадратные уравнения еще в древности было вызвано потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, и земляными работами военного характера, а так же это умение поможет при сдаче выпускных экзаменов за 9 класс, при решении показательных, тригонометрических, логарифмических уравнений на уроках алгебры и начала анализа в 10-11 классах.

Эти знания вам пригодяться при тестировании для поступления и учебы в ВУЗах нетолько математической, технической и экономической направленности, но и в медицинских и естественно-гуманитарных.

Например, некоторые задачи по географии, биологии, химии, физики решаются с помощью квадратных уравнений.

По итогам анкетированич, многие из вас собираются получать образование в различных ВУЗах и после окончания их вам предстоит использовать полученные знания для участия в формирование инновационной среды нашей страны.

А.П.Чехов сказал: „В человеке должно быть все прекрасно: и душа, и мысли, и тело”. А девизом нашего урока я взяла слова Годфри Харди: „Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики”.

ІІІ. Проверка усвоения учащимися изучаемой темы.

Прежде, чем мы приступим к решению квадратных уравнений, повторим изученный материал.

  •  Какое уравнение называют квадратным?

(уравнение вида ах2+bx+c=0, где х – переменная, а, b,с – числа, причем а≠0

числа  а, b,с – называются коэффициентами квадратного уравнения;

а – первый коэффициент

b – второй коэффициент

с – свободный член)

Например: 2х2+4х-8=0

  •  Какое квадратное уравнение называется приведенным?

(Приведенным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, т.е. а=1)

Например: х2+3х-10=0

  •  Какое квадратное уравнение называется неполным?

(Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов  b или с равен 0)

Например: х2+2х=0

ІV. НА   ДОСКЕ  ЗАПИСАНО УРАВНЕНИЕ:  2х2+х-3=0

Прежде чем начать решать уравнение, вспомним способы решения.

1 СПОСОБ

           Для решения квадратного уравнения необходимо вычислить дискриминант по формуле  D2-4ас

  1.  Если D<0, то квадратное уравнение корней не имеет
  2.  Если D=0, то квадратное уравнение имеет два равных корня, х12=
  3.  Если D>0, то квадратное уравнение имеет два разных действительных корня

  

   Решим уравнение:

  2х2+х-3=0

D2-4ас=1+24=25>0,   2п

        

          

Ответ:  

2 СПОСОБ

 С помощью теоремы Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведения корней – свободному члену, т.е. если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения

х2+рх+q=0, то х12=-р, х1 · х2=q

2+х-3=0

;  

Ответ:  ;  

3 СПОСОБ

Свойство суммы коэффициентов квадратного уравнения

Утверждение 1. Если сумма коэффициентов квадратного уравнения  ах2+bx+c=0, где а≠0, равняется нулю, то ;  (х12 – корни уравнения)

Доказательство

Сначала докажем, что любое квадратное уравнение, коэффициенты которого удовлетворяют условию а+b+c=0, имеет корни, то есть D≥0.

Действительно,

D= b2-4ас= b2-4(-b-с)с= b2+4 bс=4с2=( b+2с)2≥0

Для любых b и с.

Поделим обе части данного уравнения на а≠о. Получим возведенное квадратное уравнение вида .

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

,

.

По условию а+b+c=0, ведь, b=-a-c=-(a+c). Это значить , что

Получим:

,

х1=1, , что и нужно было доказать.

Утверждение 2. Если коэффициент квадратного уравнения ах2+bx+c=0, где а≠0, удовлетворяют условию а-b+c=0, тогда х1=-1, , (х12 – корни уравнения).

Доказательство аналогичное доказательству утверждения 1.

22-3=0

Решение:

а-b+c= 7-9+2=0

а-b+c= 2+1-3=0

то есть, х1=1, х2=

Ответ: :  , .

4 СПОСОБ

Способ «перекидывания» коэффициентов

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2+bx+c=0, где а≠0

Квадратное  уравнение имеет действительные корни, если D=b24ac ≥0  и по теореме Виета

 

Умножим обе части уравнения (*) на а, получим:          а2х2+bаx+cа=0

Пусть ах=у, тогда уравнение имеет вид:                            у2+bу+са=0          (**)

Оно имеет действительные корни, потому что его дискриминант такой же, как и уравнение (*). Тогда, найдя корни уравнения (**) по теореме Виета, получим корни уравнения (*):

,

(Во время решения коэффициент а умножается на свободный член, будто «перекидывается» к нему, поэтому этот способ назвали способом «перекидывания»).

Применяется, если корни уравнения у2-by+ca=0 удобно находить по теореме Виета.

Пример:

2+х-3=0

у2+у-6=0

у12=-1

у1·у2=-6

у1=-3, у2=2

;  

Ответ:  ;  .

5 СПОСОБ

Рассмотрим следующий способ решения квадратного уравнения  х2+px+q=0

 Положим  

После подстановки уравнение примет вид: х2+2аbx+b2=0. Прибавив и отняв а2х2, получим (ax+b)2-a2x2+x2=0, или )2- , и далее: (px+2q)2-p2x2+4qx2=0, (px+2q)2=; откуда после преобразований  

Пример: 2х2+х-3=0        1:2

               

 

 

 

Ответ: ;  

V. ПРИШЛО ВРЕМЯ ОТДОХНУТЬ (под музыку)

Все знают, что лучший отдых – это смена деятельности. Сядьте удобнее, закройте глаза, постарайтесь взглянуть во внутрь себя. А теперь представьте льва – царя зверей – сильного могучего, уверенного в себе; спокойного и мудрого. Он красив и выдержан, горд и свободен. Покажите это своей осанкой и выражением лица.

Этого льва зовут как каждого из вас. У него ваши глаза, руки, ноги, тело. У льва не бывает нерешенных задач, невыполненных поручений, ему все по плечу. Он все сможет, если захочет. Любая задача решаема, если знать нужный алгоритм решения; квадратное уравнение можно решить, если знать формулы корней; Лев – каждый из вас.

Посмотрите на меня мои гордые Львы, улыбнитесь мне своей царственной улыбкой и продолжаем набираться мудрости. Возвращаемся к решению уравнений приводимых к квадратным.

Ученик. 

Я хочу поделиться своими наблюдениями. Девочкам это будет тоже интересно, Мужчины при встрече обмениваются рукопожатием. Рукопожатие возникло в средние века, когда рыцари при встрече, проявляли свои миролюбивые намерения, снимая перчатку и протягивали руку вперед, обнажая ладонь, показывая тем самым, что так нет оружия. Рукопожатие может быть крепким, вялым, холодным, даже мокрым. А ведь должно оно быть теплым, с добротой.

Сегодня, 25 февраля, у нас в стране, в Киеве, проходит церемония инаугурации  Президента Украины В.Ф. Януковича.

Уже вчера в Киев стали прилетать иностранные гости для участия в празднике. Гостей в аэропорту встречали официальные лица Украины. При встрече они обменивались рукопожатием. А Вы знаете, я насчитала их 66. А сколько же было делегаций?

Задача решается просто алгебраически. Каждый из участников пожал (х-1) руку. Значит, всех рукопожатий должно быть х(х-1). Но надо принять во внимание, что когда первый человек пожимает руку второму, то второй пожимает руку первому и эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х-1). Имеем уравнение:

или после преобразований,

х2-х-132=0

откуда

   х1=12     х2=-11

так как отрицательное решение (-11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень. В рукопожатии участвовало 12 человек, т.е. 25 февраля в Киев прибыло 12 делегаций.

Уравнения, степень который выше двух, иногда удается решить, введя некую переменную, Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнение четвертой степени, имеющие вид ах4+вх2+с=0.

Уравнение вида  ах4+вх2+с=0, где а≠0, являются квадратными относительно х2 и называются биквадратными уравнениям.

 № 1  Решим биквадратное уравнение.

4-10х2+1=0

для этого введем новую переменную, обозначив х2 через t.

x2=t 

Получим квадратное уравнение с переменной t

9t2-10t+1=0

a=9, b=-10, c=1

D=(-5)2-9·1=25-9=16>0, 2 корня

Ответ: х1=-1, х2=1, х3=; х4=.

№2  решим уравнение, приводимое к квадратному, способом введения новой переменной  (2х2+х-1)(2х2+х-4)-2=0

  1.  2+х-1=t

t·(t-3)+2=0

t2-3t+2=0

D=b2-4ac=9-8=1>0? 2k

2x2+x-1=2

2x2-x-1-1=0

2x2+x-3=0

2x2+x-2=0

D=b2-4ac=1+24=25

D=b2-4ac=1+16=17>0, 2t

x1=

x3=

x2=

x4=

2) 2x2+x=t

3) 2x2+x-4=t

Уравнение примет вид

(t-3)t+2=0

(t-1)(t-4)+2=0

t2+3t+2=0

t2-5t+6=0

D=1

D=1

t1=

t1=3    t2=2

2x2+x-4=-1             2x2+x-4=-2

2x2+x=3                 2x2+x=2

2x2+x-3=0              2x2+x-2=0

2x2+x-3=0              2x2+x-2=0

     

x1                     Х1=

x1 х1= 

x2=                  Х2=

x2= х2=

№3  (x2+x-3)2-12x2-12x+63=0

Для решения уравнения необходимо применить группирование и вынесение множителя за скобки (x2+x-3)2-12(x2+x)+63=0. Введем новую переменную, обозначим х2+х-3 через t

Получим х2+х-3=t, тогда

х2+х=t+3

Решим уравнение:

t2-12(t+3)+63=0

t2-12t-36=63=0

t2-12t=27=0

D=(-6)2-1·27=36-27=9 >0, 2k

t1=

Значит:  х2+х-3=9                       или                                    х2+х-3=3

Х2+х-12=0      х2+х-6=0

Д=1+48=49>0, 2к                                                           Д=25

x1,2=                                                                x3.4=

x1=      x3=

x2=-4         x2=-3

Ответ: x1=3   x2=-4   x3=2   x4=-3.

VІ. Самостоятельная работа.

Т Е С Т

1

2-7х=0

1

2+5х=0

2

-2х2-х-12=0

2

Х2-4х-5=0

3

Х2-8х+12=0

3

2+4х+1=0

4

Х2=4

4

(х-2)х=0

5

Х2-х=0

5

2=0

6

2-16х+3=0

6

35х2+2х-1=0

7

-5х2=0

7

Х2-9=0

а) выпишите номера полных квадратных уравнений

б) выпишите коэффициенты а,b,с в уравнении  (2)

в) выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень

г) выпишите коэффициенты  а,b,с  в уравнении (1)

д) найдите дискриминант в уравнении (6)

е) найдите дискриминант в уравнении (3) и сделайте вывод о количестве корней.

ОТВЕТЫ  НА  ТЕСТ

а

2,3,6

а

2,3,6

б

а=-3, в=-1, с=-12

б

а=1, в=-4, с=-5

в

7

в

5

г

а=2, в=-7, с=0

г

а=3, в=5, с=0

д

Д=196

д

Д=144

е

Д=16>0, 2к

е

Д=4>0, 2к

VІІ. Домашнее задание №347, №354.

VІІІ.  ИТОГ УРОКА. На уроке мы повторили определение квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, формулы корней квадратного уравнения. Способы решений квадратных уравнений, способы решений уравнений, приводимых к квадратным.

ЛИТЕРАТУРА:

  1.  Агрономов Н.А. Об одном решении квадратного уравнения// Наука, М., 1989
  2.  Роева Т.Г. Алгебра. Геометрия 9кл.// Учебное издание, 2002
  3.  Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. Учебник для 9 классов средней школы//1990
  4.  Фадеев Д.К. Алгебра 6-8-М (Библиотека учителя математики) 1983
  5.  Мерзляк А.Г. и др. Алгебра. Учебник для 9 классов общеобразовательных учебных заведений. Харьков гимназия, 2009
  6.  Н.Гайбуллаев, И.Дырченко, Развитие математических способностей учащихся. Ташкент, «Укитувчи», 1987
  7.  В.Коваленко. Дидактические игры на уроках математики. Москва «Просвещение», 1990
  8.  Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. Наука, 1970.
  9.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21139. АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 58.5 KB
  Как правило в результате автоматизации технологического процесса создаётся АСУ ТП. Основа автоматизации технологических процессов это перераспределение потоков вещества и энергии в соответствии с принятым критерием управления оптимальности. Цели автоматизации Основными целями автоматизации технологического процесса являются: Повышение эффективности производственного процесса. Задачи автоматизации и их решение Цели достигаются посредством решения следующих задач автоматизации технологического процесса: Улучшение качества регулирования...
21140. Временная нестабильность ЭВМ 29 KB
  С течением времени в деталях сборочных единицах и отдельных элементах происходят необратимые процессы что приводит к изменению их механических физикохимических и электрических характеристик. Чтобы уменьшить зависимость характеристик ЭВМ от времени необходимо выполнить мероприятия по стабилизации параметров отдельных его элементов. Наиболее сильное влияние оказывает на погрешность ЭВМ изменение свойств во времени таких элементов как моментные пружины постоянные магниты и резисторы.
21141. Всё о производстве транзисторов, микросхем и миниатюризации 175 KB
  Для этого используются специальные тщательно согласованные с реальными приборами физические модели транзисторов и других функциональных элементов. Сюда входят научная разработка и воплощение в кремний все более быстрых и маленьких транзисторов см. следующую страницу про закон Мура цепей связи между ними и прочим обрамлением микроструктур на кристалле создание технологий изготовления рисунка линий и транзисторов на поверхности кремния новых материалов и оборудования для этого а также manufacturability область знаний о том как...
21142. Защита герметизацией 27 KB
  Это также приводит к увеличению внутренних механических напряжений возникающих за счет различных температурных коэффициентов линейного расширения ТКЛР компаунда и заливаемых деталей. На ТКЛР компаунда можно влиять введением наполнителя. Так ТКЛР полимеризованной эпоксидной смолы без наполнителя составляет примерно 70106 град1 а с наполнителем в виде пылевидного кварца в два раза меньше. ТКЛР материалов деталей входящих в состав сборочных единиц лежат в пределах от 4106 град1 керамика до 16106 град1 медь.
21143. Защита конструкций от внешних воздействий 52.5 KB
  Для защиты от вибрации и ударов применяют амортизаторы или демпферы. Амортизаторы от линейных перегрузок не защищают. Амортизаторы резинометаллические просты в изготовления защищают от вибрации в любом направлении. Амортизаторы пружинные защищают от вибрации только в основном направлении.
21144. Защита покрытиями 31.5 KB
  Негальванические покрытия. К металлическим покрытиям относятся: вакуумное испарение практически любым металлом и почти на любые подложки толщина слоя зависит от скорости и времени испарения вещества; катодное распыление перенос металла с катода на анод при тлеющем разряде в газах; горячее распыление расплавленный металл распыляется сжатым газом толщина пленки от 30 мкм до нескольких миллиметров которым можно нанести любое металлическое покрытие на поверхность любого материала. К неметаллическим покрытиям относятся лакокрасочные...
21145. Звуки BIOS 141 KB
  ru Дата: 20:13:17 14 11 01 BIOS Beep Sound core list AWARD BIOS Beep Sound Massage 1 short System booting is normally. 2 short CMOS setting error 1 long1 short DRAM ERROR 1 long2 short Display card or monitor connected error 1 long3 short Keyboard Error 1 long9 short ROM Error Long continuous DRAM hasn't inset correctly. Short continuous POWER supply has problem. AMI BIOS 1 short DRAM Flash Error 2 short DRAM ECC Check Error 3 short DRAM Detect Fail 5 short CPU Error 6 short Keyboard...
21146. Виды политических систем в современном мире 49 KB
  Для демократических политических систем характерно наличие государственных органов в центре и на местах, легальное существование на ряду с правящими партиями и оппозиционных...
21147. Методы обеспечения и повышения надежности 26.5 KB
  Общие методы реализуются на стадиях проектирования и производства и осуществляются следующими путями: максимальным упрощением принципиальной схемы с одновременным уменьшением числа элементов с невысокой надежностью; ослаблением влияния внешних воздействий герметизацией амортизацией охлаждением и т. Специальные методы реализуются путем облегчения режима работы элементов схем и конструкции предварительной тренировкой элементов резервированием и др. Облегчение режима работы схемных элементов снижает интенсивность отказов. Для учета нагрузки...