53908

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Какое уравнение называют квадратным уравнение вида ах2bxc=0 где х – переменная а bс числа причем а≠0 числа а bс называются коэффициентами квадратного уравнения; а первый коэффициент b второй коэффициент с свободный член Например: 2х24х8=0 Какое квадратное уравнение называется приведенным Приведенным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение в котором первый коэффициент равен 1 т. а=1 Например: х23х10=0 Какое квадратное уравнение называется неполным Неполным квадратным уравнением...

Русский

2014-03-05

208 KB

1 чел.

Итоговый урок по теме: «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Цель:

  •  Систематизировать, обобщить и расширить знания и умения учащихся по теме;
  •  Способствовать формированию у учеников математических знаний как важной неотъемлемой составляющей общей культуры человека;
  •  Развивать творческие способности учеников путем решения уравнений разными способами;
  •  Развивать интуицию;
  •  Воспитывать аккуратность.

Ход  урока:

І. Организационный момент.

ІІ. Актуализация.

Интеллигентный человек – это человек, который в том числе знает все о немногом и понемногу обо всем.

Сегодня мы повторим изученный материал по теме: „Решение квадратных уравнений”. Умение решать квадратные уравнения еще в древности было вызвано потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, и земляными работами военного характера, а так же это умение поможет при сдаче выпускных экзаменов за 9 класс, при решении показательных, тригонометрических, логарифмических уравнений на уроках алгебры и начала анализа в 10-11 классах.

Эти знания вам пригодяться при тестировании для поступления и учебы в ВУЗах нетолько математической, технической и экономической направленности, но и в медицинских и естественно-гуманитарных.

Например, некоторые задачи по географии, биологии, химии, физики решаются с помощью квадратных уравнений.

По итогам анкетированич, многие из вас собираются получать образование в различных ВУЗах и после окончания их вам предстоит использовать полученные знания для участия в формирование инновационной среды нашей страны.

А.П.Чехов сказал: „В человеке должно быть все прекрасно: и душа, и мысли, и тело”. А девизом нашего урока я взяла слова Годфри Харди: „Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики”.

ІІІ. Проверка усвоения учащимися изучаемой темы.

Прежде, чем мы приступим к решению квадратных уравнений, повторим изученный материал.

  •  Какое уравнение называют квадратным?

(уравнение вида ах2+bx+c=0, где х – переменная, а, b,с – числа, причем а≠0

числа  а, b,с – называются коэффициентами квадратного уравнения;

а – первый коэффициент

b – второй коэффициент

с – свободный член)

Например: 2х2+4х-8=0

  •  Какое квадратное уравнение называется приведенным?

(Приведенным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, т.е. а=1)

Например: х2+3х-10=0

  •  Какое квадратное уравнение называется неполным?

(Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов  b или с равен 0)

Например: х2+2х=0

ІV. НА   ДОСКЕ  ЗАПИСАНО УРАВНЕНИЕ:  2х2+х-3=0

Прежде чем начать решать уравнение, вспомним способы решения.

1 СПОСОБ

           Для решения квадратного уравнения необходимо вычислить дискриминант по формуле  D2-4ас

  1.  Если D<0, то квадратное уравнение корней не имеет
  2.  Если D=0, то квадратное уравнение имеет два равных корня, х12=
  3.  Если D>0, то квадратное уравнение имеет два разных действительных корня

  

   Решим уравнение:

  2х2+х-3=0

D2-4ас=1+24=25>0,   2п

        

          

Ответ:  

2 СПОСОБ

 С помощью теоремы Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведения корней – свободному члену, т.е. если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения

х2+рх+q=0, то х12=-р, х1 · х2=q

2+х-3=0

;  

Ответ:  ;  

3 СПОСОБ

Свойство суммы коэффициентов квадратного уравнения

Утверждение 1. Если сумма коэффициентов квадратного уравнения  ах2+bx+c=0, где а≠0, равняется нулю, то ;  (х12 – корни уравнения)

Доказательство

Сначала докажем, что любое квадратное уравнение, коэффициенты которого удовлетворяют условию а+b+c=0, имеет корни, то есть D≥0.

Действительно,

D= b2-4ас= b2-4(-b-с)с= b2+4 bс=4с2=( b+2с)2≥0

Для любых b и с.

Поделим обе части данного уравнения на а≠о. Получим возведенное квадратное уравнение вида .

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

,

.

По условию а+b+c=0, ведь, b=-a-c=-(a+c). Это значить , что

Получим:

,

х1=1, , что и нужно было доказать.

Утверждение 2. Если коэффициент квадратного уравнения ах2+bx+c=0, где а≠0, удовлетворяют условию а-b+c=0, тогда х1=-1, , (х12 – корни уравнения).

Доказательство аналогичное доказательству утверждения 1.

22-3=0

Решение:

а-b+c= 7-9+2=0

а-b+c= 2+1-3=0

то есть, х1=1, х2=

Ответ: :  , .

4 СПОСОБ

Способ «перекидывания» коэффициентов

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2+bx+c=0, где а≠0

Квадратное  уравнение имеет действительные корни, если D=b24ac ≥0  и по теореме Виета

 

Умножим обе части уравнения (*) на а, получим:          а2х2+bаx+cа=0

Пусть ах=у, тогда уравнение имеет вид:                            у2+bу+са=0          (**)

Оно имеет действительные корни, потому что его дискриминант такой же, как и уравнение (*). Тогда, найдя корни уравнения (**) по теореме Виета, получим корни уравнения (*):

,

(Во время решения коэффициент а умножается на свободный член, будто «перекидывается» к нему, поэтому этот способ назвали способом «перекидывания»).

Применяется, если корни уравнения у2-by+ca=0 удобно находить по теореме Виета.

Пример:

2+х-3=0

у2+у-6=0

у12=-1

у1·у2=-6

у1=-3, у2=2

;  

Ответ:  ;  .

5 СПОСОБ

Рассмотрим следующий способ решения квадратного уравнения  х2+px+q=0

 Положим  

После подстановки уравнение примет вид: х2+2аbx+b2=0. Прибавив и отняв а2х2, получим (ax+b)2-a2x2+x2=0, или )2- , и далее: (px+2q)2-p2x2+4qx2=0, (px+2q)2=; откуда после преобразований  

Пример: 2х2+х-3=0        1:2

               

 

 

 

Ответ: ;  

V. ПРИШЛО ВРЕМЯ ОТДОХНУТЬ (под музыку)

Все знают, что лучший отдых – это смена деятельности. Сядьте удобнее, закройте глаза, постарайтесь взглянуть во внутрь себя. А теперь представьте льва – царя зверей – сильного могучего, уверенного в себе; спокойного и мудрого. Он красив и выдержан, горд и свободен. Покажите это своей осанкой и выражением лица.

Этого льва зовут как каждого из вас. У него ваши глаза, руки, ноги, тело. У льва не бывает нерешенных задач, невыполненных поручений, ему все по плечу. Он все сможет, если захочет. Любая задача решаема, если знать нужный алгоритм решения; квадратное уравнение можно решить, если знать формулы корней; Лев – каждый из вас.

Посмотрите на меня мои гордые Львы, улыбнитесь мне своей царственной улыбкой и продолжаем набираться мудрости. Возвращаемся к решению уравнений приводимых к квадратным.

Ученик. 

Я хочу поделиться своими наблюдениями. Девочкам это будет тоже интересно, Мужчины при встрече обмениваются рукопожатием. Рукопожатие возникло в средние века, когда рыцари при встрече, проявляли свои миролюбивые намерения, снимая перчатку и протягивали руку вперед, обнажая ладонь, показывая тем самым, что так нет оружия. Рукопожатие может быть крепким, вялым, холодным, даже мокрым. А ведь должно оно быть теплым, с добротой.

Сегодня, 25 февраля, у нас в стране, в Киеве, проходит церемония инаугурации  Президента Украины В.Ф. Януковича.

Уже вчера в Киев стали прилетать иностранные гости для участия в празднике. Гостей в аэропорту встречали официальные лица Украины. При встрече они обменивались рукопожатием. А Вы знаете, я насчитала их 66. А сколько же было делегаций?

Задача решается просто алгебраически. Каждый из участников пожал (х-1) руку. Значит, всех рукопожатий должно быть х(х-1). Но надо принять во внимание, что когда первый человек пожимает руку второму, то второй пожимает руку первому и эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х-1). Имеем уравнение:

или после преобразований,

х2-х-132=0

откуда

   х1=12     х2=-11

так как отрицательное решение (-11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень. В рукопожатии участвовало 12 человек, т.е. 25 февраля в Киев прибыло 12 делегаций.

Уравнения, степень который выше двух, иногда удается решить, введя некую переменную, Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнение четвертой степени, имеющие вид ах4+вх2+с=0.

Уравнение вида  ах4+вх2+с=0, где а≠0, являются квадратными относительно х2 и называются биквадратными уравнениям.

 № 1  Решим биквадратное уравнение.

4-10х2+1=0

для этого введем новую переменную, обозначив х2 через t.

x2=t 

Получим квадратное уравнение с переменной t

9t2-10t+1=0

a=9, b=-10, c=1

D=(-5)2-9·1=25-9=16>0, 2 корня

Ответ: х1=-1, х2=1, х3=; х4=.

№2  решим уравнение, приводимое к квадратному, способом введения новой переменной  (2х2+х-1)(2х2+х-4)-2=0

  1.  2+х-1=t

t·(t-3)+2=0

t2-3t+2=0

D=b2-4ac=9-8=1>0? 2k

2x2+x-1=2

2x2-x-1-1=0

2x2+x-3=0

2x2+x-2=0

D=b2-4ac=1+24=25

D=b2-4ac=1+16=17>0, 2t

x1=

x3=

x2=

x4=

2) 2x2+x=t

3) 2x2+x-4=t

Уравнение примет вид

(t-3)t+2=0

(t-1)(t-4)+2=0

t2+3t+2=0

t2-5t+6=0

D=1

D=1

t1=

t1=3    t2=2

2x2+x-4=-1             2x2+x-4=-2

2x2+x=3                 2x2+x=2

2x2+x-3=0              2x2+x-2=0

2x2+x-3=0              2x2+x-2=0

     

x1                     Х1=

x1 х1= 

x2=                  Х2=

x2= х2=

№3  (x2+x-3)2-12x2-12x+63=0

Для решения уравнения необходимо применить группирование и вынесение множителя за скобки (x2+x-3)2-12(x2+x)+63=0. Введем новую переменную, обозначим х2+х-3 через t

Получим х2+х-3=t, тогда

х2+х=t+3

Решим уравнение:

t2-12(t+3)+63=0

t2-12t-36=63=0

t2-12t=27=0

D=(-6)2-1·27=36-27=9 >0, 2k

t1=

Значит:  х2+х-3=9                       или                                    х2+х-3=3

Х2+х-12=0      х2+х-6=0

Д=1+48=49>0, 2к                                                           Д=25

x1,2=                                                                x3.4=

x1=      x3=

x2=-4         x2=-3

Ответ: x1=3   x2=-4   x3=2   x4=-3.

VІ. Самостоятельная работа.

Т Е С Т

1

2-7х=0

1

2+5х=0

2

-2х2-х-12=0

2

Х2-4х-5=0

3

Х2-8х+12=0

3

2+4х+1=0

4

Х2=4

4

(х-2)х=0

5

Х2-х=0

5

2=0

6

2-16х+3=0

6

35х2+2х-1=0

7

-5х2=0

7

Х2-9=0

а) выпишите номера полных квадратных уравнений

б) выпишите коэффициенты а,b,с в уравнении  (2)

в) выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень

г) выпишите коэффициенты  а,b,с  в уравнении (1)

д) найдите дискриминант в уравнении (6)

е) найдите дискриминант в уравнении (3) и сделайте вывод о количестве корней.

ОТВЕТЫ  НА  ТЕСТ

а

2,3,6

а

2,3,6

б

а=-3, в=-1, с=-12

б

а=1, в=-4, с=-5

в

7

в

5

г

а=2, в=-7, с=0

г

а=3, в=5, с=0

д

Д=196

д

Д=144

е

Д=16>0, 2к

е

Д=4>0, 2к

VІІ. Домашнее задание №347, №354.

VІІІ.  ИТОГ УРОКА. На уроке мы повторили определение квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, формулы корней квадратного уравнения. Способы решений квадратных уравнений, способы решений уравнений, приводимых к квадратным.

ЛИТЕРАТУРА:

  1.  Агрономов Н.А. Об одном решении квадратного уравнения// Наука, М., 1989
  2.  Роева Т.Г. Алгебра. Геометрия 9кл.// Учебное издание, 2002
  3.  Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. Учебник для 9 классов средней школы//1990
  4.  Фадеев Д.К. Алгебра 6-8-М (Библиотека учителя математики) 1983
  5.  Мерзляк А.Г. и др. Алгебра. Учебник для 9 классов общеобразовательных учебных заведений. Харьков гимназия, 2009
  6.  Н.Гайбуллаев, И.Дырченко, Развитие математических способностей учащихся. Ташкент, «Укитувчи», 1987
  7.  В.Коваленко. Дидактические игры на уроках математики. Москва «Просвещение», 1990
  8.  Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. Наука, 1970.
  9.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5400. Метод проецирования 216.5 KB
  Метод проецирования 1.1. Центральное проецирование Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения проекций геометрических фигур. В основу построения любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следу...
5401. Философия: функции, этапы развития и современные подходы 96.5 KB
  Философия: функции, этапы развития и современные подходы. Вопрос 1 Типы мировоззрения, вопросы и периоды развития философии. Ценность любой философии, в конечном счёте, измеряется её способностью превратиться в живую популярную философию (А. Швейцер...
5402. Введение в управление качеством 99.5 KB
  Введение в управление качеством Качество как экономическая категория и объект управления Современные предприятия определяют качество как неотъемлемый, важный компонент, обеспечивающий конкурентоспособность и долгосрочное существование предприяти...
5403. Этический и коммуникативный аспект культуры речи 253.5 KB
  Этический и коммуникативный аспект культуры речи План 1. Общая характеристика коммуникативных и этических норм. Их взаимодействие 2. Этические и коммуникативные нормы в рамках коммуникативной ситуации 3. Речевой этикет 4. Коммуникативные качества ре...
5404. Генетика бактерий и вирусов 46.5 KB
  Генетика бактерий и вирусов. Молекулярная биология, изучающая фундаментальные основы жизни, является в значительной степени детищем микробиологии. В качестве основных объектов изучения в ней используют вирусы и бактерии, а основное направление- моле...
5405. Классификация теплового оборудования предприятий общепита 63.5 KB
  Классификация теплового оборудования предприятий общепита Тепловое оборудование предприятий общественного питания можно классифицировать следующим образом: 1) по организационно-техническому признаку 2) по функциональному или технологическому назнач...
5406. Введение в патологическую анатомию (патологию) 35 KB
  Введение в патологическую анатомию (патологию) В истории развития пат. Анатомии выделют 4 периода: Анатомический (с древности до начала 19 века) Микроскопический (с первой трети 19 века до 50х годов 20 века) Ультрамикроскопиеский (...
5407. Основы Windows. Копирование. Буфер обмена Программы Проводник и Мой компьютер 73 KB
  Основы Windows. Копирование. Буфер обмена Программы Проводник и Мой компьютер Корзина. Поиск файлов и папок 1.Выделение группы объектов 2.Определение объема памяти дисков, размера копируемых объектов 1.Копирование с помощью Буф...
5408. Введение в Microsoft NET 143 KB
  Введение в Microsoft .NET Любому современному программисту, который желает идти в ногу с последними веяниями, каждые несколько лет приходится переучиваться. Языки (C++, VisualBasic, Java), библиотеки (MFC, ATL, STL), архитектуры (COM, CORBA), ...