53908

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Какое уравнение называют квадратным уравнение вида ах2bxc=0 где х переменная а bс числа причем а≠0 числа а bс называются коэффициентами квадратного уравнения; а первый коэффициент b второй коэффициент с свободный член Например: 2х24х8=0 Какое квадратное уравнение называется приведенным Приведенным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение в котором первый коэффициент равен 1 т. а=1 Например: х23х10=0 Какое квадратное уравнение называется неполным Неполным квадратным уравнением...

Русский

2014-03-05

208 KB

1 чел.

Итоговый урок по теме: «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Цель:

  •  Систематизировать, обобщить и расширить знания и умения учащихся по теме;
  •  Способствовать формированию у учеников математических знаний как важной неотъемлемой составляющей общей культуры человека;
  •  Развивать творческие способности учеников путем решения уравнений разными способами;
  •  Развивать интуицию;
  •  Воспитывать аккуратность.

Ход  урока:

І. Организационный момент.

ІІ. Актуализация.

Интеллигентный человек – это человек, который в том числе знает все о немногом и понемногу обо всем.

Сегодня мы повторим изученный материал по теме: „Решение квадратных уравнений”. Умение решать квадратные уравнения еще в древности было вызвано потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, и земляными работами военного характера, а так же это умение поможет при сдаче выпускных экзаменов за 9 класс, при решении показательных, тригонометрических, логарифмических уравнений на уроках алгебры и начала анализа в 10-11 классах.

Эти знания вам пригодяться при тестировании для поступления и учебы в ВУЗах нетолько математической, технической и экономической направленности, но и в медицинских и естественно-гуманитарных.

Например, некоторые задачи по географии, биологии, химии, физики решаются с помощью квадратных уравнений.

По итогам анкетированич, многие из вас собираются получать образование в различных ВУЗах и после окончания их вам предстоит использовать полученные знания для участия в формирование инновационной среды нашей страны.

А.П.Чехов сказал: „В человеке должно быть все прекрасно: и душа, и мысли, и тело”. А девизом нашего урока я взяла слова Годфри Харди: „Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики”.

ІІІ. Проверка усвоения учащимися изучаемой темы.

Прежде, чем мы приступим к решению квадратных уравнений, повторим изученный материал.

  •  Какое уравнение называют квадратным?

(уравнение вида ах2+bx+c=0, где х – переменная, а, b,с – числа, причем а≠0

числа  а, b,с – называются коэффициентами квадратного уравнения;

а – первый коэффициент

b – второй коэффициент

с – свободный член)

Например: 2х2+4х-8=0

  •  Какое квадратное уравнение называется приведенным?

(Приведенным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, т.е. а=1)

Например: х2+3х-10=0

  •  Какое квадратное уравнение называется неполным?

(Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов  b или с равен 0)

Например: х2+2х=0

ІV. НА   ДОСКЕ  ЗАПИСАНО УРАВНЕНИЕ:  2х2+х-3=0

Прежде чем начать решать уравнение, вспомним способы решения.

1 СПОСОБ

           Для решения квадратного уравнения необходимо вычислить дискриминант по формуле  D2-4ас

  1.  Если D<0, то квадратное уравнение корней не имеет
  2.  Если D=0, то квадратное уравнение имеет два равных корня, х12=
  3.  Если D>0, то квадратное уравнение имеет два разных действительных корня

  

   Решим уравнение:

  2х2+х-3=0

D2-4ас=1+24=25>0,   2п

        

          

Ответ:  

2 СПОСОБ

 С помощью теоремы Виета.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведения корней – свободному члену, т.е. если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения

х2+рх+q=0, то х12=-р, х1 · х2=q

2+х-3=0

;  

Ответ:  ;  

3 СПОСОБ

Свойство суммы коэффициентов квадратного уравнения

Утверждение 1. Если сумма коэффициентов квадратного уравнения  ах2+bx+c=0, где а≠0, равняется нулю, то ;  (х12 – корни уравнения)

Доказательство

Сначала докажем, что любое квадратное уравнение, коэффициенты которого удовлетворяют условию а+b+c=0, имеет корни, то есть D≥0.

Действительно,

D= b2-4ас= b2-4(-b-с)с= b2+4 bс=4с2=( b+2с)2≥0

Для любых b и с.

Поделим обе части данного уравнения на а≠о. Получим возведенное квадратное уравнение вида .

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

,

.

По условию а+b+c=0, ведь, b=-a-c=-(a+c). Это значить , что

Получим:

,

х1=1, , что и нужно было доказать.

Утверждение 2. Если коэффициент квадратного уравнения ах2+bx+c=0, где а≠0, удовлетворяют условию а-b+c=0, тогда х1=-1, , (х12 – корни уравнения).

Доказательство аналогичное доказательству утверждения 1.

22-3=0

Решение:

а-b+c= 7-9+2=0

а-b+c= 2+1-3=0

то есть, х1=1, х2=

Ответ: :  , .

4 СПОСОБ

Способ «перекидывания» коэффициентов

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2+bx+c=0, где а≠0

Квадратное  уравнение имеет действительные корни, если D=b24ac ≥0  и по теореме Виета

 

Умножим обе части уравнения (*) на а, получим:          а2х2+bаx+cа=0

Пусть ах=у, тогда уравнение имеет вид:                            у2+bу+са=0          (**)

Оно имеет действительные корни, потому что его дискриминант такой же, как и уравнение (*). Тогда, найдя корни уравнения (**) по теореме Виета, получим корни уравнения (*):

,

(Во время решения коэффициент а умножается на свободный член, будто «перекидывается» к нему, поэтому этот способ назвали способом «перекидывания»).

Применяется, если корни уравнения у2-by+ca=0 удобно находить по теореме Виета.

Пример:

2+х-3=0

у2+у-6=0

у12=-1

у1·у2=-6

у1=-3, у2=2

;  

Ответ:  ;  .

5 СПОСОБ

Рассмотрим следующий способ решения квадратного уравнения  х2+px+q=0

 Положим  

После подстановки уравнение примет вид: х2+2аbx+b2=0. Прибавив и отняв а2х2, получим (ax+b)2-a2x2+x2=0, или )2- , и далее: (px+2q)2-p2x2+4qx2=0, (px+2q)2=; откуда после преобразований  

Пример: 2х2+х-3=0        1:2

               

 

 

 

Ответ: ;  

V. ПРИШЛО ВРЕМЯ ОТДОХНУТЬ (под музыку)

Все знают, что лучший отдых – это смена деятельности. Сядьте удобнее, закройте глаза, постарайтесь взглянуть во внутрь себя. А теперь представьте льва – царя зверей – сильного могучего, уверенного в себе; спокойного и мудрого. Он красив и выдержан, горд и свободен. Покажите это своей осанкой и выражением лица.

Этого льва зовут как каждого из вас. У него ваши глаза, руки, ноги, тело. У льва не бывает нерешенных задач, невыполненных поручений, ему все по плечу. Он все сможет, если захочет. Любая задача решаема, если знать нужный алгоритм решения; квадратное уравнение можно решить, если знать формулы корней; Лев – каждый из вас.

Посмотрите на меня мои гордые Львы, улыбнитесь мне своей царственной улыбкой и продолжаем набираться мудрости. Возвращаемся к решению уравнений приводимых к квадратным.

Ученик. 

Я хочу поделиться своими наблюдениями. Девочкам это будет тоже интересно, Мужчины при встрече обмениваются рукопожатием. Рукопожатие возникло в средние века, когда рыцари при встрече, проявляли свои миролюбивые намерения, снимая перчатку и протягивали руку вперед, обнажая ладонь, показывая тем самым, что так нет оружия. Рукопожатие может быть крепким, вялым, холодным, даже мокрым. А ведь должно оно быть теплым, с добротой.

Сегодня, 25 февраля, у нас в стране, в Киеве, проходит церемония инаугурации  Президента Украины В.Ф. Януковича.

Уже вчера в Киев стали прилетать иностранные гости для участия в празднике. Гостей в аэропорту встречали официальные лица Украины. При встрече они обменивались рукопожатием. А Вы знаете, я насчитала их 66. А сколько же было делегаций?

Задача решается просто алгебраически. Каждый из участников пожал (х-1) руку. Значит, всех рукопожатий должно быть х(х-1). Но надо принять во внимание, что когда первый человек пожимает руку второму, то второй пожимает руку первому и эти два рукопожатия следует считать за одно. Поэтому число пересчитанных рукопожатий вдвое меньше, нежели х(х-1). Имеем уравнение:

или после преобразований,

х2-х-132=0

откуда

   х1=12     х2=-11

так как отрицательное решение (-11 человек) в данном случае лишено реального смысла, мы его отбрасываем и сохраняем только первый корень. В рукопожатии участвовало 12 человек, т.е. 25 февраля в Киев прибыло 12 делегаций.

Уравнения, степень который выше двух, иногда удается решить, введя некую переменную, Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнение четвертой степени, имеющие вид ах4+вх2+с=0.

Уравнение вида  ах4+вх2+с=0, где а≠0, являются квадратными относительно х2 и называются биквадратными уравнениям.

 № 1  Решим биквадратное уравнение.

4-10х2+1=0

для этого введем новую переменную, обозначив х2 через t.

x2=t 

Получим квадратное уравнение с переменной t

9t2-10t+1=0

a=9, b=-10, c=1

D=(-5)2-9·1=25-9=16>0, 2 корня

Ответ: х1=-1, х2=1, х3=; х4=.

№2  решим уравнение, приводимое к квадратному, способом введения новой переменной  (2х2+х-1)(2х2+х-4)-2=0

  1.  2+х-1=t

t·(t-3)+2=0

t2-3t+2=0

D=b2-4ac=9-8=1>0? 2k

2x2+x-1=2

2x2-x-1-1=0

2x2+x-3=0

2x2+x-2=0

D=b2-4ac=1+24=25

D=b2-4ac=1+16=17>0, 2t

x1=

x3=

x2=

x4=

2) 2x2+x=t

3) 2x2+x-4=t

Уравнение примет вид

(t-3)t+2=0

(t-1)(t-4)+2=0

t2+3t+2=0

t2-5t+6=0

D=1

D=1

t1=

t1=3    t2=2

2x2+x-4=-1             2x2+x-4=-2

2x2+x=3                 2x2+x=2

2x2+x-3=0              2x2+x-2=0

2x2+x-3=0              2x2+x-2=0

     

x1                     Х1=

x1 х1= 

x2=                  Х2=

x2= х2=

№3  (x2+x-3)2-12x2-12x+63=0

Для решения уравнения необходимо применить группирование и вынесение множителя за скобки (x2+x-3)2-12(x2+x)+63=0. Введем новую переменную, обозначим х2+х-3 через t

Получим х2+х-3=t, тогда

х2+х=t+3

Решим уравнение:

t2-12(t+3)+63=0

t2-12t-36=63=0

t2-12t=27=0

D=(-6)2-1·27=36-27=9 >0, 2k

t1=

Значит:  х2+х-3=9                       или                                    х2+х-3=3

Х2+х-12=0      х2+х-6=0

Д=1+48=49>0, 2к                                                           Д=25

x1,2=                                                                x3.4=

x1=      x3=

x2=-4         x2=-3

Ответ: x1=3   x2=-4   x3=2   x4=-3.

VІ. Самостоятельная работа.

Т Е С Т

1

2-7х=0

1

2+5х=0

2

-2х2-х-12=0

2

Х2-4х-5=0

3

Х2-8х+12=0

3

2+4х+1=0

4

Х2=4

4

(х-2)х=0

5

Х2-х=0

5

2=0

6

2-16х+3=0

6

35х2+2х-1=0

7

-5х2=0

7

Х2-9=0

а) выпишите номера полных квадратных уравнений

б) выпишите коэффициенты а,b,с в уравнении  (2)

в) выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень

г) выпишите коэффициенты  а,b,с  в уравнении (1)

д) найдите дискриминант в уравнении (6)

е) найдите дискриминант в уравнении (3) и сделайте вывод о количестве корней.

ОТВЕТЫ  НА  ТЕСТ

а

2,3,6

а

2,3,6

б

а=-3, в=-1, с=-12

б

а=1, в=-4, с=-5

в

7

в

5

г

а=2, в=-7, с=0

г

а=3, в=5, с=0

д

Д=196

д

Д=144

е

Д=16>0, 2к

е

Д=4>0, 2к

VІІ. Домашнее задание №347, №354.

VІІІ.  ИТОГ УРОКА. На уроке мы повторили определение квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, формулы корней квадратного уравнения. Способы решений квадратных уравнений, способы решений уравнений, приводимых к квадратным.

ЛИТЕРАТУРА:

  1.  Агрономов Н.А. Об одном решении квадратного уравнения// Наука, М., 1989
  2.  Роева Т.Г. Алгебра. Геометрия 9кл.// Учебное издание, 2002
  3.  Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. Учебник для 9 классов средней школы//1990
  4.  Фадеев Д.К. Алгебра 6-8-М (Библиотека учителя математики) 1983
  5.  Мерзляк А.Г. и др. Алгебра. Учебник для 9 классов общеобразовательных учебных заведений. Харьков гимназия, 2009
  6.  Н.Гайбуллаев, И.Дырченко, Развитие математических способностей учащихся. Ташкент, «Укитувчи», 1987
  7.  В.Коваленко. Дидактические игры на уроках математики. Москва «Просвещение», 1990
  8.  Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. Наука, 1970.
  9.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65732. ПЕДАГОГІЧНІ УМОВИ ПІДВИЩЕННЯ КВАЛІФІКАЦІЇ ВЧИТЕЛІВ МИСТЕЦЬКИХ ДИСЦИПЛІН У СИСТЕМІ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ОСВІТИ 170.5 KB
  У сучасному постіндустріальному суспільстві ідеал гармонійно розвинутої особистості також набуває нового змісту тому система художньоестетичного виховання потребує появи вчителя нової формації особливо вчителя мистецьких дисциплін який має вирішувати ряд основних завдань...
65733. ФУНКЦІЇ ОРГАНІВ ДОСУДОВОГО СЛІДСТВА В КРИМІНАЛЬНОМУ ПРОЦЕСІ УКРАЇНИ 182 KB
  У науці кримінального процесу концепція щодо визначення кримінальнопроцесуальних функцій має більш як сторічну історію. Це пояснюється насамперед тим що правильне визначення кримінально-процесуальних функцій та їх...
65734. Активізація залучення прямих іноземних інвестицій в економіку України в умовах глобальної конкуренції 265.5 KB
  В умовах глобальної конкуренції роль прямих іноземних інвестицій ПІІ полягає в залученні не лише необхідних обсягів капіталу а й сучасних технологій методів управління та висококваліфікованих менеджерів. Разом з тим глобалізація світогосподарських взаємин за участю прямих іноземних інвестицій...
65735. Удосконалення розрахунку напружено-деформованого стану мостових конструкцій з урахуванням динамічного впливу вантажних поїздів 697.5 KB
  Штучні споруди є невідємною та важливою складовою транспортної системи країни однак до цього часу в Україні відсутні рекомендації з визначення швидкісних режимів руху поїздів мостами. Більш ніж 10 залізничних мостів в Україні внаслідок наявності дефектів є барєрними обєктами що призводить...
65736. ЖАНРОВІ МОДИФІКАЦІЇ В ПОЕЗІЇ В. СКОТТА ТА ПОЕТІВ-«ЛЕЙКІСТІВ» 139.5 KB
  Скотта і поетів лейкістів яких обєднували схожі світоглядні позиції та напрямки естетичних пошуків ще недостатньо повно висвітлені в науці особливо в аспекті засвоєння народних традицій що вплинули на картину світу британського романтизму на його ранньому етапі й зумовили подальші художні відкриття.
65737. МОДЕЛЮВАННЯ І ПРОГНОЗУВАННЯ ДІЇ НЮХОВОГО НАНОБІОСЕНСОРА НА ОСНОВІ МОЛЕКУЛИ БІЛКА ТИПУ GPCR 481.5 KB
  Причинами цього є поперше те що сучасна кремнієва електроніка досягає межі мініатюризації і для виведення її на якісно новий рівень розвитку створення так званого квантового комп'ютера необхідна нова фізична елементна база з елементами розміру порядку нанометра тобто розміру молекули.
65738. Робота та розрахунок сталевих нагельних з’єднань дерев’яних конструкцій за повторних навантажень 1.33 MB
  Велике значення мають дослідження міцнісних і деформативних характеристик нагельних з'єднань дерев'яних елементів при одноразових та повторних навантаженнях оскільки при експлуатації значна кількість дерев'яних конструкцій знаходяться саме в таких умовах.
65739. ПРАВОВЕ РЕГУЛЮВАННЯ ПРОТИДІЇ ІНФОРМАЦІЙНИМ ВІЙНАМ В УКРАЇНІ 155.5 KB
  Незважаючи на надзвичайну важливість забезпечення належного функціонування всіх сфер життєдіяльності людини суспільства та держави необхідність ефективного забезпечення інформаційної безпеки держави зокрема шляхом вироблення надійного механізму протидії інформаційним війнам...
65740. СТАН АНТИОКСИДАНТНОЇ СИСТЕМИ ТА НЕСПЕЦИФІЧНА РЕЗИСТЕНТНІСТЬ У ТВАРИН ЗА ДІЇ ПРОБІОТИКІВ БПС 44 ТА БПС Л 227.5 KB
  Мета роботи: зясувати вплив пробіотичних препаратів БПС44 та БПСЛ на стан антиоксидантної системи та неспецифічну резистентність молодняку великої рогатої худоби ВРХ та свиней; встановити фактори антагоністичної дії штамів бактерій компонентів пробіотиків.