5400

Метод проецирования

Контрольная

Математика и математический анализ

Метод проецирования 1.1. Центральное проецирование Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения проекций геометрических фигур. В основу построения любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следу...

Русский

2012-12-09

216.5 KB

134 чел.

Метод проецирования

1.1. Центральное проецирование

Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения проекций геометрических фигур.

В основу построения любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следующем: в пространстве выбирают произвольную точку S – центр проецирования, и плоскость, не проходящую через точку S – плоскость проецирования (рис.1).

Рис. 1.

А, АS, А, В – точки в пространствеS – центр проекцийSA), SB) – проецирующие лучи А11- проекции точек А и В

– плоскость проекций

SA) ∩= А1

SB) ∩В1

Чтобы спроецировать точку А пространства на плоскость , через центр проецирования S и точку А проводят прямую до ее  пересечения с плоскостью проекций (рис.1).

Рис. 2.

Проекцией фигуры называют множество проекций всех ее точек.

Проекция криволинейной фигуры представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности  и плоскости проекций (рис.2).

Свойства центрального проецирования:

Так как через две различные точки можно провести одну и только одну прямую, то при заданном центре проецирования и плоскости проекций, каждая точка пространства будет иметь одну и только одну центральную проекцию.

Рис.3.

Обратное утверждение – каждой центральной проекции точки однозначно соответствует точка пространства, не имеет смысла. Поэтому одна центральная проекция точки не дает возможности судить о положении самой точки в пространстве. Для того, чтобы сделать возможным определение положения точки в пространстве по ее центральным проекциям, необходимо иметь две центральные проекции этой точки, полученные из двух различных центров (рис.3).

1.2.ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Широкое применение в практике получил тот случай, когда центр проецирования удален в бесконечность. Проецирующие лучи при этом параллельны между собой, и проекции точек, фигур и тел получают названия параллельных проекций.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные и косоугольные.

В первом случае плоскость проекций с направлением проецирования образует угол 90о, а во втором не равный 90о (рис.4 и рис.5).

Рис. 4.

Рис.5.

Каждой точке пространства соответствует только одна параллельная проекция. Обратное утверждение не имеет смысла.

Для определения точки в пространстве необходимо иметь две ее параллельные проекции, полученные при различных направлениях проецирования (рис.6).

Рис. 6.

В дальнейшем мы будем пользоваться параллельными проекциями, ортогональными (прямоугольными) и аксонометрическими, причем первые будут прямоугольными, а вторые прямоугольными и косоугольными.

1. 3. Ортогональные проекции точки (Эпюр Монжа).

Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендикулярными) к этим двум плоскостям.

Одну из этих плоскостей проекций  располагают горизонтально, а вторую – вертикально. Плоскость  называется горизонтальной плоскостью проекций, – фронтальной. Плоскости  и  бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций (координат) и обозначается ОХ.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла (четверти) I, II, III, IV (рис.7).

Рис.7. Система взаимно перпендикулярных плоскостей проекций

При построении проекций необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.

А1 – горизонтальная проекция точки А

А2 - фронтальная проекция точки А

Проецирующие лучи определяют плоскость

(АА2АА1) перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения – оси ОХ. Эта плоскость пересекает  и  по отрезкам прямых А1Ах и А2Ах, которые образуют с осью Х и друг с другом прямые углы с вершиной в точке Ах

АА1 = А2Ах – расстояние от точки А до

АА2 = А1Ах -  расстояние от точки А до

Ортогональные проекции точки на две взаимно перпендикулярные плоскости вполне определяют положение точки в пространстве.

Построение проекций точек в 4-х угловых пространствах показано на рис.8.

Рис.8.

Чтобы получить плоский чертеж, плоскость  совмещают вращением вокруг оси ОХ с плоскостью .

Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (рис.9).

             I

II

III

IV

N

M

Рис.9.

Проекции одной и той же точки на две взаимно перпендикулярные плоскости располагаются на прямой, перпендикулярной оси проекций х12.

Эта прямая называется направлением проецирования или линией проекционной связи.

1.4. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Так как каждая фигура или тело представляют собой совокупность точек, то можно утверждать, что две ортогональные проекции предмета вполне определяют его форму.

Однако на практике часто возникает необходимость создания дополнительных проекций. - профильная плоскость проекции [AA3 ] (рис.10).

Рис. 10

Проекции точек на профильную плоскость проекций называются профильными проекциями – А3.

Плоскости проекций попарно пересекаясь определяют три оси ОX; ОY и ОZ, которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О.

А1Ау = Х – абсцисса (расстояние от точки до )

А1Ах= Y - ординат (расстояние от точки до )

А2Ах = - аппликата (расстояние от точки до )

Длины проецирующих перпендикуляров, определяющих расстояние точки до плоскостей проекций, являются координатами точки. Задание точки осуществляется в следующем виде: А (Х, Y, Z). Знаки координат Х, Y, Z в четырех угловых пространствах показаны в таблице1.

Таблица 1

X

Y

Z

I

+

+

+

II

+

-

+

III

+

-

-

IV

+

+

-

1.5. БИССЕКТОРНЫЕ ПЛОСКОСТИ (ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ И ПЛОСКОСТЬ ТОЖДЕСТВА)

Плоскость, которая проходит через I и III угловые пространства и делит их пополам, называется плоскостью симметрии и обозначается  (рис. 11).

Плоскость, которая проходит через II и IV угловые пространства и делит их пополам, называется плоскостью тождества и обозначается (рис.12).

Рис. 11

Рис. 12.

Рис.13..

На рис.13 изображен вид А пересекающихся плоскостей ; ; ; , на котором легко определяются координаты точек A, B, C, D, принадлежащих плоскостям  и .

Координаты Y и Z точек, лежащих на плоскости симметрии одинаковы по величине и по знаку: Уа = ZА ; -УС = ZС.

Координаты Y и Z точек, лежащих на плоскости тождества одинаковы по величине, но противоположны по знаку: -УВ = ZВ; УD = - ZD

1.6. ТОЧКИ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО БИССЕКТОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ.

Пусть точка L симметрична точке К относительно (рис.14). Тогда координата YК равна по величине и по знаку координате ZL  (YК = ZL), а координата ZК равна по величине и по знаку координате YL  (ZК = YL).

Координаты Y и Z точек, симметричных относительно плоскости симметрии, равны по величине и по знаку координатам Z и Y заданных точек.

Пусть точка М симметрична точке К относительно плоскости тождества (рис.15). Тогда координаты YК равны по величине, но противоположны по знаку координате –ZМ, а координата ZК равна по величине, но противоположна по знаку координате –YМ (YК = –ZМ; ZК = –YМ).

       

А

А

Рис.14

Рис. 15.

1.8.ТОЧКИ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Пусть точка В симметрична точке А относительно плоскости (рис.16).

Рис.16

У точек симметричных  относительно горизонтальной плоскости проекций  координата Z меняет знак на противоположный ZА= -ZВ. А(Х,Y,Z); В(Х,Y,-Z).

Пусть точка С симметрична точке А относительно плоскости проекций . У точек, симметричных относительно фронтальной плоскости проекций  координата Y меняет знак на противоположный -YC= YA. А(Х,Y,Z); С(Х,-Y,Z).

Пусть точка D симметрична точке А относительно оси проекций ОХ. У точек, симметричных относительно оси проекций ОХ, координаты Y и Z меняют знак на противоположный YD= -YA; ZD= -ZA. А(Х,Y,Z); D(Х,-Y,-Z).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49960. Общая физика. Лабораторный практикум 2.47 MB
  На каждое лабораторное занятие студенты должны приносить с собой: а лабораторный журнал тетрадь в клетку не менее 48 листов. Все черновые записи делаются на левой стороне листа лабораторного журнала; е окончательный результат представляют в стандартном виде суказанием среднего значения измеряемой величины абсолютнойотносительной погрешности вычисленных по методу Стьюдента инадежности измерений. Например результат измерений плотности твердого тела в стандартном виде = 65 03 103 кг м3 ε = 5 при α = 095 где ...
49961. Электричество и магнетизм. Лабораторный практикум 7.26 MB
  Позднее он высказал предположение что все магнитные явления обусловлены токами причем магнитные свойства постоянных магнитов связаны с токами постоянно циркулирующими внутри этих магнитов. Cогласно закону Био Савара-Лапласа где I сила тока в проводнике d l вектор имеющий длину элементарного отрезка проводника и направленный по направлению тока r радиус вектор соединяющий элемент с рассматриваемой точкой P. Напряженность магнитного поля подчиняется принципу суперпозиции а согласно закону Био Савара-Лапласа 6...
49962. ПОСТОЯННОМ ДАВЛЕНИИ И ОБЪЕМЕ 291.5 KB
  Изучение процессов в идеальных газах определение отношения теплоемкостей Оборудование.3 Увеличение внутренней энергии идеального газа в случае изменения его температуры на здесь i число степеней свободы молекулы под которым подразумевается число независимых координат определяющих положение молекулы в пространстве: i =3 для одноатомной; i =5 для двухатомной; i =6 для трех и многоатомной; R универсальная газовая постоянная ; R= 831 Дж мольК. При расширении газа система выполняет работу 5.4 молярная...
49963. МЕДИЦИНСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ НАСЕЛЕНИЯ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ МЕРОПРИЯТИЙ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ 85 KB
  Качественной особенностью современных форм ведения войны является выход из строя на территории очага массового поражения основного числа медицинских учреждений, органов управления, разрушение стройной системы оказания помощи населению.
49964. Перевірка закону Ома для електричного кола постійного струму 117 KB
  Виміряти силу струму в колі за допомогою амперметра. За допомогою вольтметра виміряти: а напругу на опорі R б напругу на клемах магазину опорів в ЕРС джерела струму. Обчислити враховуючи що внутрішній опір джерела струму малий порівняно з зовнішнім.
49965. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ВОЗДУХА ИНТЕРФЕРОМЕТРОМ ЖАМЕНА 125 KB
  Интерференцией света называется сложение световых пучков ведущее к образованию светлых и темных полос. В противном случае в каждой точке пространства волны будут то усиливать то ослаблять друг друга и глаз воспринимая усредненную картину не обнаружит интерференционных полос. В поле зрения окуляра зрительной трубы 4 появятся интерференционные полосы параллельные ребру двухгранного угла  который составляют фронты интерферирующих волн. Наклоном одной из пластин можно менять и ориентацию и ширину интерференционных полос.
49966. ОРГАНИЗАЦИЯ БЕЗОПАСНОГО ПРОИЗВОДСТВА РАБОТ ПОВЫШЕННОЙ ОПАСНОСТИ 107 KB
  Порядок выполнения работы: Изучить список работ с повышенной опасностью на выполнение которых выдается наряд-допуск. Изучить порядок проведения работ и оформления наряда-допуска.
49967. ПРОВЕРКА СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТИ В ПРОИЗВОДСТВЕННОМ ПОМЕЩЕНИИ 116.5 KB
  Такие указатели содержат лампочку и добавочное сопротивление. Лампочка светится от активного тока утечки протекающего через тело человека но сопротивление резистора добавочное сопротивление таково что этот ток не ощущается человеком. Качество изоляции определяется ее сопротивлением. Например сопротивление изоляции проводов для внутренних электрических проводок на участке между снятыми предохранителями должно быть не менее 05 МОм.
49968. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ 208.5 KB
  Для того чтобы понять принцип действия дифракционных решеток рассмотрим распределение интенсивности света на экране при интерференции от N одинаковых точечных источников электромагнитных волн. Интенсивность в точке света наблюдения Р определяется квадратом амплитуды электромагнитной волны : Выразим величину Ар через амплитуды электромагнитных волн источников ак . образуются так называемые главные максимумы интенсивность света в которых пропорциональна квадрату числа источников.N1 интенсивность света равна нулю.