5400

Метод проецирования

Контрольная

Математика и математический анализ

Метод проецирования 1.1. Центральное проецирование Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения проекций геометрических фигур. В основу построения любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следу...

Русский

2012-12-09

216.5 KB

134 чел.

Метод проецирования

1.1. Центральное проецирование

Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения проекций геометрических фигур.

В основу построения любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следующем: в пространстве выбирают произвольную точку S – центр проецирования, и плоскость, не проходящую через точку S – плоскость проецирования (рис.1).

Рис. 1.

А, АS, А, В – точки в пространствеS – центр проекцийSA), SB) – проецирующие лучи А11- проекции точек А и В

– плоскость проекций

SA) ∩= А1

SB) ∩В1

Чтобы спроецировать точку А пространства на плоскость , через центр проецирования S и точку А проводят прямую до ее  пересечения с плоскостью проекций (рис.1).

Рис. 2.

Проекцией фигуры называют множество проекций всех ее точек.

Проекция криволинейной фигуры представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности  и плоскости проекций (рис.2).

Свойства центрального проецирования:

Так как через две различные точки можно провести одну и только одну прямую, то при заданном центре проецирования и плоскости проекций, каждая точка пространства будет иметь одну и только одну центральную проекцию.

Рис.3.

Обратное утверждение – каждой центральной проекции точки однозначно соответствует точка пространства, не имеет смысла. Поэтому одна центральная проекция точки не дает возможности судить о положении самой точки в пространстве. Для того, чтобы сделать возможным определение положения точки в пространстве по ее центральным проекциям, необходимо иметь две центральные проекции этой точки, полученные из двух различных центров (рис.3).

1.2.ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Широкое применение в практике получил тот случай, когда центр проецирования удален в бесконечность. Проецирующие лучи при этом параллельны между собой, и проекции точек, фигур и тел получают названия параллельных проекций.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные и косоугольные.

В первом случае плоскость проекций с направлением проецирования образует угол 90о, а во втором не равный 90о (рис.4 и рис.5).

Рис. 4.

Рис.5.

Каждой точке пространства соответствует только одна параллельная проекция. Обратное утверждение не имеет смысла.

Для определения точки в пространстве необходимо иметь две ее параллельные проекции, полученные при различных направлениях проецирования (рис.6).

Рис. 6.

В дальнейшем мы будем пользоваться параллельными проекциями, ортогональными (прямоугольными) и аксонометрическими, причем первые будут прямоугольными, а вторые прямоугольными и косоугольными.

1. 3. Ортогональные проекции точки (Эпюр Монжа).

Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендикулярными) к этим двум плоскостям.

Одну из этих плоскостей проекций  располагают горизонтально, а вторую – вертикально. Плоскость  называется горизонтальной плоскостью проекций, – фронтальной. Плоскости  и  бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций (координат) и обозначается ОХ.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла (четверти) I, II, III, IV (рис.7).

Рис.7. Система взаимно перпендикулярных плоскостей проекций

При построении проекций необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.

А1 – горизонтальная проекция точки А

А2 - фронтальная проекция точки А

Проецирующие лучи определяют плоскость

(АА2АА1) перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения – оси ОХ. Эта плоскость пересекает  и  по отрезкам прямых А1Ах и А2Ах, которые образуют с осью Х и друг с другом прямые углы с вершиной в точке Ах

АА1 = А2Ах – расстояние от точки А до

АА2 = А1Ах -  расстояние от точки А до

Ортогональные проекции точки на две взаимно перпендикулярные плоскости вполне определяют положение точки в пространстве.

Построение проекций точек в 4-х угловых пространствах показано на рис.8.

Рис.8.

Чтобы получить плоский чертеж, плоскость  совмещают вращением вокруг оси ОХ с плоскостью .

Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (рис.9).

             I

II

III

IV

N

M

Рис.9.

Проекции одной и той же точки на две взаимно перпендикулярные плоскости располагаются на прямой, перпендикулярной оси проекций х12.

Эта прямая называется направлением проецирования или линией проекционной связи.

1.4. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Так как каждая фигура или тело представляют собой совокупность точек, то можно утверждать, что две ортогональные проекции предмета вполне определяют его форму.

Однако на практике часто возникает необходимость создания дополнительных проекций. - профильная плоскость проекции [AA3 ] (рис.10).

Рис. 10

Проекции точек на профильную плоскость проекций называются профильными проекциями – А3.

Плоскости проекций попарно пересекаясь определяют три оси ОX; ОY и ОZ, которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О.

А1Ау = Х – абсцисса (расстояние от точки до )

А1Ах= Y - ординат (расстояние от точки до )

А2Ах = - аппликата (расстояние от точки до )

Длины проецирующих перпендикуляров, определяющих расстояние точки до плоскостей проекций, являются координатами точки. Задание точки осуществляется в следующем виде: А (Х, Y, Z). Знаки координат Х, Y, Z в четырех угловых пространствах показаны в таблице1.

Таблица 1

X

Y

Z

I

+

+

+

II

+

-

+

III

+

-

-

IV

+

+

-

1.5. БИССЕКТОРНЫЕ ПЛОСКОСТИ (ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ И ПЛОСКОСТЬ ТОЖДЕСТВА)

Плоскость, которая проходит через I и III угловые пространства и делит их пополам, называется плоскостью симметрии и обозначается  (рис. 11).

Плоскость, которая проходит через II и IV угловые пространства и делит их пополам, называется плоскостью тождества и обозначается (рис.12).

Рис. 11

Рис. 12.

Рис.13..

На рис.13 изображен вид А пересекающихся плоскостей ; ; ; , на котором легко определяются координаты точек A, B, C, D, принадлежащих плоскостям  и .

Координаты Y и Z точек, лежащих на плоскости симметрии одинаковы по величине и по знаку: Уа = ZА ; -УС = ZС.

Координаты Y и Z точек, лежащих на плоскости тождества одинаковы по величине, но противоположны по знаку: -УВ = ZВ; УD = - ZD

1.6. ТОЧКИ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО БИССЕКТОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ.

Пусть точка L симметрична точке К относительно (рис.14). Тогда координата YК равна по величине и по знаку координате ZL  (YК = ZL), а координата ZК равна по величине и по знаку координате YL  (ZК = YL).

Координаты Y и Z точек, симметричных относительно плоскости симметрии, равны по величине и по знаку координатам Z и Y заданных точек.

Пусть точка М симметрична точке К относительно плоскости тождества (рис.15). Тогда координаты YК равны по величине, но противоположны по знаку координате –ZМ, а координата ZК равна по величине, но противоположна по знаку координате –YМ (YК = –ZМ; ZК = –YМ).

       

А

А

Рис.14

Рис. 15.

1.8.ТОЧКИ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Пусть точка В симметрична точке А относительно плоскости (рис.16).

Рис.16

У точек симметричных  относительно горизонтальной плоскости проекций  координата Z меняет знак на противоположный ZА= -ZВ. А(Х,Y,Z); В(Х,Y,-Z).

Пусть точка С симметрична точке А относительно плоскости проекций . У точек, симметричных относительно фронтальной плоскости проекций  координата Y меняет знак на противоположный -YC= YA. А(Х,Y,Z); С(Х,-Y,Z).

Пусть точка D симметрична точке А относительно оси проекций ОХ. У точек, симметричных относительно оси проекций ОХ, координаты Y и Z меняют знак на противоположный YD= -YA; ZD= -ZA. А(Х,Y,Z); D(Х,-Y,-Z).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73987. Проведение уроков информатики по теме: «Кодирование информации» с использованием интернет-технологий 1.03 MB
  В данной дипломной работе показаны примерные уроки для изучения темы «Кодирование информации» в средней школе. Достигнута цель работы изучение и применение методов обучения темы «Кодирование информации» в средней школе. Не смотря на сложность материала большого объема информации на тему «Кодирование информации» в школьном планирование уделено крайне мало часов
73988. Специфика партиципарной коммуникации в газетах мурманской области (на примере городской газеты города Мурманска «Вечерний Мурманск») 354 KB
  Выявить особенности развития партиципарной журналистики в современных российских печатных СМИ, рассмотреть приемы и специфику организации взаимоотношений регионального печатного издания и его аудитории, выявить перспективные методы реализации принципов партиципарности...
73989. Разработка конкурентной стратегии на рынке целлюлозы на предприятии ЦБК 589.5 KB
  Стратегия лидерства по издержкам – снижение полных издержек производства и реализации товаров, стратегия широкой дифференциации (лидеры по качеству) – придание товарам компании специфических черта, отличающих их от товаров конкурентов, стратегия оптимальных издержек – получение преимуществ фирмой за счет сочетания низких издержек и широкой дифференциации товаров...
73990. Возрастные особенности волевой регуляции у подростков и старшеклассников 535.5 KB
  Воля проходит свое развитие в течение многих этапов возрастного становления личности на протяжении всей жизнедеятельности, приближаясь к регулятивным функциям воли. Мы предполагаем, что в подростковом возрасте при развитости воли все еще недостаточно сформирована волевая регуляция, влияющая на произвольное поведение и деятельность подростков
73991. Сравнение возможностей инструментария разработки программного обеспечения графических процессоров 358 KB
  Обобщим основные отличия между архитектурами центрального графического процессора. CPU создан для последовательного исполнения одного потока инструкций с максимальной производительностью, а GPU спроектирован таким образом чтобы единовременно исполнять как можно большее число параллельных потоков...
73992. Весільна фотографія, засоби та прийоми композиційного рішення і технологічного виконання фоторобіт 1005.89 KB
  Весільна фотографія - напрям у фотографії, покликаний художньо відобразити події, що відбуваються під час весілля. Цей жанр у фотографії вимагає від фотографа вміння поєднувати у своїй роботі такі жанри, як портрет, фотожурналістика, документальна фотографія, художня фотографія.
73993. Порядок учета посреднических операций 105.61 KB
  Рассмотрение порядка учета посреднических операций, как с точки зрения посредников, так и с точки зрения организаций приобретающих и реализующих товары (работы, услуги) через посредников, а также раскрытие особенностей налогообложения посреднических сделок
73994. Организация финансовой работы на предприятии ЗАО Алтайстройдеталь 708.75 KB
  Изучить содержание и основные принципы организации финансовой работы на предприятии; ознакомиться со структурой и основными функциональными обязанностями отдельных финансовых служб предприятия; рассмотреть порядок организации финансовой работы предприятия на примере ЗАО Алтайстройдеталь; предложить мероприятия по совершенствованию финансовой деятельности предприятия.
73995. Экономическая политика первых лет Советской власти: от военного коммунизма к нэпу 17.8 KB
  Вопервых потому что с нэпом часто связывают идеи о возможности осуществления иного нежели сталинский варианта развития страны о возможности иной модели социализма а вовторых борьба в руководстве страны в связи с осуществлением нэпа позволяет понять сущность политической системы СССР сложившейся в результате последующего завершения нэпа. К основным принципам нэпа можно отнести: денационализацию части средней и мелкой промышленности провозглашение свободы торговли допущение частного капитала в экономику в том числе и иностранного ...