5400

Метод проецирования

Контрольная

Математика и математический анализ

Метод проецирования 1.1. Центральное проецирование Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения проекций геометрических фигур. В основу построения любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следу...

Русский

2012-12-09

216.5 KB

136 чел.

Метод проецирования

1.1. Центральное проецирование

Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения проекций геометрических фигур.

В основу построения любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следующем: в пространстве выбирают произвольную точку S – центр проецирования, и плоскость, не проходящую через точку S – плоскость проецирования (рис.1).

Рис. 1.

А, АS, А, В – точки в пространствеS – центр проекцийSA), SB) – проецирующие лучи А11- проекции точек А и В

– плоскость проекций

SA) ∩= А1

SB) ∩В1

Чтобы спроецировать точку А пространства на плоскость , через центр проецирования S и точку А проводят прямую до ее  пересечения с плоскостью проекций (рис.1).

Рис. 2.

Проекцией фигуры называют множество проекций всех ее точек.

Проекция криволинейной фигуры представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности  и плоскости проекций (рис.2).

Свойства центрального проецирования:

Так как через две различные точки можно провести одну и только одну прямую, то при заданном центре проецирования и плоскости проекций, каждая точка пространства будет иметь одну и только одну центральную проекцию.

Рис.3.

Обратное утверждение – каждой центральной проекции точки однозначно соответствует точка пространства, не имеет смысла. Поэтому одна центральная проекция точки не дает возможности судить о положении самой точки в пространстве. Для того, чтобы сделать возможным определение положения точки в пространстве по ее центральным проекциям, необходимо иметь две центральные проекции этой точки, полученные из двух различных центров (рис.3).

1.2.ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Широкое применение в практике получил тот случай, когда центр проецирования удален в бесконечность. Проецирующие лучи при этом параллельны между собой, и проекции точек, фигур и тел получают названия параллельных проекций.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные и косоугольные.

В первом случае плоскость проекций с направлением проецирования образует угол 90о, а во втором не равный 90о (рис.4 и рис.5).

Рис. 4.

Рис.5.

Каждой точке пространства соответствует только одна параллельная проекция. Обратное утверждение не имеет смысла.

Для определения точки в пространстве необходимо иметь две ее параллельные проекции, полученные при различных направлениях проецирования (рис.6).

Рис. 6.

В дальнейшем мы будем пользоваться параллельными проекциями, ортогональными (прямоугольными) и аксонометрическими, причем первые будут прямоугольными, а вторые прямоугольными и косоугольными.

1. 3. Ортогональные проекции точки (Эпюр Монжа).

Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендикулярными) к этим двум плоскостям.

Одну из этих плоскостей проекций  располагают горизонтально, а вторую – вертикально. Плоскость  называется горизонтальной плоскостью проекций, – фронтальной. Плоскости  и  бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций (координат) и обозначается ОХ.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла (четверти) I, II, III, IV (рис.7).

Рис.7. Система взаимно перпендикулярных плоскостей проекций

При построении проекций необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.

А1 – горизонтальная проекция точки А

А2 - фронтальная проекция точки А

Проецирующие лучи определяют плоскость

(АА2АА1) перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения – оси ОХ. Эта плоскость пересекает  и  по отрезкам прямых А1Ах и А2Ах, которые образуют с осью Х и друг с другом прямые углы с вершиной в точке Ах

АА1 = А2Ах – расстояние от точки А до

АА2 = А1Ах -  расстояние от точки А до

Ортогональные проекции точки на две взаимно перпендикулярные плоскости вполне определяют положение точки в пространстве.

Построение проекций точек в 4-х угловых пространствах показано на рис.8.

Рис.8.

Чтобы получить плоский чертеж, плоскость  совмещают вращением вокруг оси ОХ с плоскостью .

Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (рис.9).

             I

II

III

IV

N

M

Рис.9.

Проекции одной и той же точки на две взаимно перпендикулярные плоскости располагаются на прямой, перпендикулярной оси проекций х12.

Эта прямая называется направлением проецирования или линией проекционной связи.

1.4. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Так как каждая фигура или тело представляют собой совокупность точек, то можно утверждать, что две ортогональные проекции предмета вполне определяют его форму.

Однако на практике часто возникает необходимость создания дополнительных проекций. - профильная плоскость проекции [AA3 ] (рис.10).

Рис. 10

Проекции точек на профильную плоскость проекций называются профильными проекциями – А3.

Плоскости проекций попарно пересекаясь определяют три оси ОX; ОY и ОZ, которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О.

А1Ау = Х – абсцисса (расстояние от точки до )

А1Ах= Y - ординат (расстояние от точки до )

А2Ах = - аппликата (расстояние от точки до )

Длины проецирующих перпендикуляров, определяющих расстояние точки до плоскостей проекций, являются координатами точки. Задание точки осуществляется в следующем виде: А (Х, Y, Z). Знаки координат Х, Y, Z в четырех угловых пространствах показаны в таблице1.

Таблица 1

X

Y

Z

I

+

+

+

II

+

-

+

III

+

-

-

IV

+

+

-

1.5. БИССЕКТОРНЫЕ ПЛОСКОСТИ (ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ И ПЛОСКОСТЬ ТОЖДЕСТВА)

Плоскость, которая проходит через I и III угловые пространства и делит их пополам, называется плоскостью симметрии и обозначается  (рис. 11).

Плоскость, которая проходит через II и IV угловые пространства и делит их пополам, называется плоскостью тождества и обозначается (рис.12).

Рис. 11

Рис. 12.

Рис.13..

На рис.13 изображен вид А пересекающихся плоскостей ; ; ; , на котором легко определяются координаты точек A, B, C, D, принадлежащих плоскостям  и .

Координаты Y и Z точек, лежащих на плоскости симметрии одинаковы по величине и по знаку: Уа = ZА ; -УС = ZС.

Координаты Y и Z точек, лежащих на плоскости тождества одинаковы по величине, но противоположны по знаку: -УВ = ZВ; УD = - ZD

1.6. ТОЧКИ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО БИССЕКТОРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ.

Пусть точка L симметрична точке К относительно (рис.14). Тогда координата YК равна по величине и по знаку координате ZL  (YК = ZL), а координата ZК равна по величине и по знаку координате YL  (ZК = YL).

Координаты Y и Z точек, симметричных относительно плоскости симметрии, равны по величине и по знаку координатам Z и Y заданных точек.

Пусть точка М симметрична точке К относительно плоскости тождества (рис.15). Тогда координаты YК равны по величине, но противоположны по знаку координате –ZМ, а координата ZК равна по величине, но противоположна по знаку координате –YМ (YК = –ZМ; ZК = –YМ).

       

А

А

Рис.14

Рис. 15.

1.8.ТОЧКИ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Пусть точка В симметрична точке А относительно плоскости (рис.16).

Рис.16

У точек симметричных  относительно горизонтальной плоскости проекций  координата Z меняет знак на противоположный ZА= -ZВ. А(Х,Y,Z); В(Х,Y,-Z).

Пусть точка С симметрична точке А относительно плоскости проекций . У точек, симметричных относительно фронтальной плоскости проекций  координата Y меняет знак на противоположный -YC= YA. А(Х,Y,Z); С(Х,-Y,Z).

Пусть точка D симметрична точке А относительно оси проекций ОХ. У точек, симметричных относительно оси проекций ОХ, координаты Y и Z меняют знак на противоположный YD= -YA; ZD= -ZA. А(Х,Y,Z); D(Х,-Y,-Z).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77688. Характеристики Жестких дисков 144.5 KB
  За 45 лет прошедших с момента появления первых устройств магнитного хранения данных поверхностная плотность записи выросла более чем в пять миллионов раз. Емкость накопителя С декабря 1998 года Международная электротехническая комиссия МЭК занимающаяся стандартизацией в области электротехники представила в качестве официального стандарта систему названий и символов единиц измерения для использования в области обработки и передачи данных. На основании этого значения можно сделать вывод об эффективности того или иного способа записи...
77689. Физические основы магнитной записи сигналов 37 KB
  Эти объемы называемые доменами обладают магнитным моментом самопроизвольной намагниченностью даже при отсутствии внешнего намагничивающего поля. Для ферромагнетиков характерен гистерезис при перемагничивании внешним магнитным полем то есть запаздывание изменений намагниченности вещества при изменении намагничивающего поля. 1 приведена основная характеристика ферромагнетиков зависимость магнитной индукции В от напряженности Н намагничивающего поля так называемая петля гистерезиса. Петля гистерезиса ферромагнетика и ее особые точки Если...
77690. Способы кодирования данных 121 KB
  Эти моменты изменения полярности называются сменой знака. Каждая смена знака приводит к тому что считывающая головка выдает импульс напряжения; именно эти импульсы устройство регистрирует во время чтения данных. Но при этом считывающая головка генерирует не совсем тот сигнал который был записан; на самом деле она создает ряд импульсов каждый из которых соответствует моменту смены знака. Это устройство преобразует двоичные данные в электрические сигналы оптимизированные в аспекте размещения зон смены знака на дорожке записи.
77691. Аппаратная реализация RLL-кодирования 56.5 KB
  Наибольшее распространение по крайней мере для жестких дисков PC получило так называемое кодирование с ограниченной длиной отрезка или RLLкодирование. Математики и инженеры считают способ 27 RLL разновидностью записи с групповым кодированием Groupoded Recording GCR. Обычная форма способа 27 RLL относится к кодированию GCR с переменной длиной.
77692. Ограничения емкости дисков 36.5 KB
  Соответствующие ограничения определяются как интерфейсом T так и версиями BIOS см. Кроме того в зависимости от версии BIOS значение этого ограничения может находиться еще ниже например на отметке в 84 Гбайт или даже 512 Мбайт. Это может случиться в результате наложения ограничений для T на ограничения BIOS что в конечном итоге может привести к еще большим ограничениям. BIOS обращается к драйверу жесткого диска с помощью прерывания INT13h которое предоставляет функции чтения и записи на диск на уровне секторов.
77693. Функциональная схема управления жесткого диска 287.5 KB
  Плата с электронными компонентами крепится снизу к шасси накопителя. приведена функциональная схема типичного накопителя на примере SCSI. Элементы изображенные в левой части схемы внутри области обведенной штрихпунктирной линией с надписью HD располагаются в изолированном блоке головок и магнитных дисков а элементы обведенные линией с надписью ПМ на печатном модуле накопителя.
77696. Перпендикулярная запись, гибридные накопители и прочие технологии 68 KB
  Направление эволюции С момента появления первых жестких дисков и до недавних пор совершенствование винчестеров в основном двигалось в одном направлении в сторону увеличения плотности записи просто методом масштабирования. Вполне возможно эволюция протекала бы в подобном ключе и до сегодняшнего дня однако в дело вмешалась сама природа поставив на пути дальнейшего роста плотности записи так называемый эффект супермагнетизма. Таким образом чем больше магнитных частиц можно втиснуть на один квадратный дюйм поверхности тем большей окажется...