54093

Методы решения иррациональных уравнений (их таксономия)

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Тип урока: по критерию ведущей цели – урок повторения закрепления таксономии методов решения иррациональных уравнений на основе деятельностного подхода в обучении; по критерию ведущего дидактического метода – урок эвристического полилога урок проблемного воссоздания методов решения иррациональных уравнений; по критерию ведущего матема тического содержания – урок одной задачи одного уравнения урок практикум; по критерию типа информационного взаимодействия учащихся и учителя – урок сотворчества сотрудничества и соревновательности....

Русский

2015-04-22

474.5 KB

3 чел.

Предмет: «Алгебра и математический анализ: 10 - 11 классы».

Профильный класс: 10-11 с углубленным изучением математики.

Тема: «Методы решения иррациональных уравнений (их таксономия)».

Эпиграф урока:                                         «Решение задач – практическое ис
                                                              кусство, подобное плаванию, катанию
                                                              на лыжах или игре на фортепиано;
                                                              научиться ему можно, только подра-
                                                              жая хорошим образцам и постоянно
                                                              практикуясь.»

                                                                    (Дьердь Пойя  (1887 - 1985) )

Цель и психолого-педагогические задачи урока (сдвоенного):

Ι. Общеобразовательная (нормативная) цель (на этапе подготовки к, ЦТ): на материале одного задания выборочно повторить и закрепить некоторые методы решения иррациональных уравнений по дидактическому принципу смены приоритетов: «нахождение идей решения и/или получение ответа» (А.А. Деркач, Н.В. Кузьмина, В.А. Сластёнин, А.А. Окунев, И.Ф. Шарыгин).

ΙΙ. Задачи математического развития учащихся: на нестандартном учебно-математическом материале продолжить развитие ментального опыта учащихся, содержательной когнитивной структуры их математического интеллекта, в том числе, способностей к логико-дедуктивному и индуктивному, аналитическому и синтетическому обратимому мышлению (Ж. Пиаже, В.А. Крутецкий ), к алгебраическому и образно-графическому мышлению (В.И. Арнольд, А.Г. Мордкович, Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин), к содержательному обобщению и конкретизации (В.В. Давыдов, Л.В. Занков), к рефлексии и самостоятельности как метакогнитивной способности (Р. Стернберг, М.А. Холодная) школьников; продолжить развитие культуры устной и письменной речи как психологических механизмов учебно-математического интеллекта.

III. Воспитательные задачи: продолжить личностно ориентированное воспитание у школьников познавательного интереса к математике, ответственности, чувства долга, академической самостоятельности, коммуникативного умения сотрудничать с классом, учителем, соклассниками; аутогогической способности к соревновательной учебно-математической деятельности, стремления к высоким и высшим её результатам (акмеический мотив).

Тип урока: по критерию ведущей цели – урок повторения, закрепления, таксономии методов решения иррациональных уравнений на основе деятельностного подхода в обучении; по критерию ведущего дидактического метода – урок эвристического полилога, урок проблемного воссоздания методов решения иррациональных уравнений; по критерию ведущего матема-


тического содержания – урок одной задачи (одного уравнения), урок - практикум; по критерию типа информационного взаимодействия учащихся и учителя – урок сотворчества, сотрудничества и соревновательности.

Оборудование урока:

  1.  Учебная литература:
    1.  Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса: учеб пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики /Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2001. – С.111-114;
    2.  Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. сред. шк. /Б.М. Ивлев [и др.]. – М.: Просвещение, 1990. – С.19-20.
  2.  Экран, мультимедийный проектор,  4 слайда, подготовленные в компьютерной системе ««Mathematica-5»».

Ход урока

I этап урока. Объявление темы и главной образовательной цели урока; стимулирование чувства долга, ответственности, познавательного интереса учащихся при подготовке к и ЦТ.

II этап урока. Оценка качества и коррекция уровня выполнения домашней работы. Ответы на вопросы учащихся. Экспресс-контроль самостоятельных решений следующих иррациональных уравнений:

  1.   ( Решение методом перехода к системе уравнений относительно новых переменных. Ответ: );
  2.   ( Решение на основе теоремы о корне. Ответ: );
  3.   ( Решение на основе использования монотонности функции. Ответ:).

Методические указания для начинающего учителя. Приведём возможные решения указанных заданий.

  1.  Решение уравнения :

Введём в рассмотрение две новые переменные:

,      (1)

.      (2)

Тогда u+v=4. Так как х+41= u4, 41 – х = v4 , то, сложив почленно эти два равенства, получим: u4+ v4=82. Для нахождения u и v имеем систему

        (3)


Её решим, используя двукратно формулу a2+b2=(a+b)2 – 2ab. Из равенства  следует, что (u2+v2)2 –  2u2v2=82, то есть ((u+v)2 – 2uv)2
– 2
u2v2=82. С учетом того, что , получаем (16 – 2uv)2 –  2u2v2=82 256 – 64uv+4u2v2 – 2u2v2 – 82=0 2u2v2  – 64uv+174=0

(uv)2 – 32(uv)+87=0. По теореме, обратной теореме Виета, получаем, что uv=3 или uv=29. Поэтому система (3) равносильна следующей совокупности двух систем:

Вторая система последней совокупности решений не имеет, так как в уравнении  дискриминант D<0. Значит, она равносильна следующей совокупности:

или

Возвращаясь к x, получаем:

Ответ: 40.

  1.  Решение уравнения :

Введём в рассмотрение функцию f(y)=. Тогда исходное уравнение можно представить в виде   f(2x+1)+f(x)=0  f(2x + 1) = – f(x).

Заметим, что функция f(y) является нечётной на R, поэтому последнее уравнение можно переписать так: f(2x + 1) = f ( – x).   (4)

Кроме того, она монотонно возрастает на всей своей области определения. Действительно, её производная положительна на R:

f /(y)=>0.

Поэтому на основании достаточного условия монотонности функция f(y) возрастает на R. В силу теоремы о корне из уравнения (4) следует, что

2х + 1 = – х  . 

Ответ: .

  1.  Решение уравнения .

Перепишем уравнение в виде . Введём в рассмотрение функцию  f(x)=1+. Тогда полученное уравнение примет вид    f(f(x))=x.

Для решения уравнений такого вида можно применить следующее

Утверждение. Если функция f(x) непрерывна и монотонно возрастает на промежутке X, то уравнения f(x)=x  и  f(f(x))=x равносильны на X.

Введённая в рассмотрение непрерывная функция f(x)=1+ монотонно возрастает при x 0. В соответствии с приведённым утверждением имеем: f(x)= x  1+=х   

Ответ: .

ΙΙΙ этап урока. Деятельностный подход в систематизации  методов
решения иррациональных уравнений типа  (*).

Методические указания для начинающего учителя. Принцип смены приоритетов при эвристическом диалоге, связанном с фронтальным повторением и обсуждением по выбору учащихся восьми методов решения иррациональных уравнений, предполагает:

  1.  повторение (устно/полуписьменно) стержневых идей и логики операционального состава того или иного метода;
    1.  письменное решение уравнения с целью получения точного окончательного ответа при реализации другого метода;
    2.  сравнение методов решений по таким критериям, как:
      1.  оригинальность - традиционность идеи,
      2.  объём логических аргументаций и вычислений,
      3.  реализация внутри-, межпредметных связей,
      4.  скорость получения ответа, затраты учебного времени,
      5.  эстетическая привлекательность метода,
      6.  распространенность метода в задачном материале;
      7.  составление таксономии задач по методам их решения (деятельностный подход).

Приведем все 8 способов решения.


1 способ решения методом равносильных переходов по схеме:

      Имеем: (*)     

 Выпишем уравнение последней смешанной системы и решим его:

     2 + x2 – 2x = 1 – x2  2x2 – 2x + 1 = 0  (x)2 – 2(x)1 + 1 = 0  

(x - 1)2 = 0   x = 1    x =  / 2.

 Возвращаясь к прерванной схеме равносильности, получим:

       (*)             x =   / 2. Ответ :  x =  / 2 .

 Графическая интерпретация 1 способа решения в плоскости xOy.

Введём в рассмотрение 2 функции: а) y(x) =      
 б)
y(x) =  – x. Графиком первой из них является верхняя полуокружность окружности  x2 + y2 = 1, с центром (0; 0) и радиусом R = 1. Графиком второй – прямая, касающаяся её в точке с найденной выше абсциссой xo =  / 2, заметим, что  yo = / 2. (См. слайд №1).

СЛАЙД №1.


2 способ: применение производной функции
к её исследованию на наибольшее и наименьшее значение

  Введём в рассмотрение функцию f(x) = x + , найдём её область определения D(f) и множество значений Е(f).

1) D(f): 1 – x2 ≥ 0   x2 ≤ 1 | x | ≤ 1. Итак, D(f) = [-1; 1].

2) Так как рассматриваемая функция непрерывна на отрезке  [-1; 1], то по й теореме Вейерштрасса она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значения. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке [a; b] функции, имеющей на интервале (a; b) конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу (a; b), а также в концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее значения.

 

а) f´(x) = ( x +  )´ =  1 –=.

б) f´(x) = 0, если   = x     

 

    Так как  x =  1 /  принадлежит интервалу ( – 1; 1), то x =  1 /  - критическая точка данной функции (по определению).

в) Вычислим: f(–1) = –1, f(1) = 1, f( 1 /  ) = (1 /   ) +  =
= 2 /  = .

      

Таким образом,  =  f( 1 /  ) = ,   = f(–1) = –1,

Е(f) = [–1; ] и данное уравнение имеет единственный корень x =  / 2.

Ответ:    x = / 2.


Графическая интерпретация 2-го способа решения
в плоскости
xOy

СЛАЙД №2
к уроку алгебры и математического анализа в 11 классе.


3 способ решения методом перехода к системе
уравнений относительно новых переменных

  Пусть  = t. Тогда   = t  

   Поэтому исходное уравнение относительно переменной x сводится к решению (методом подстановки) следующей смешанной системы:

 

 Ответ:    x =  / 2.

4 способ решения методом рационализации
биномиального выражения
xm(a + bxn)p,
где
a  и b - постоянные; m, n, p –рациональные числа

   Эвристическое правило. Если в биномиальном выражении xm(a + bxn)p:

1) p – целое, то возможна подстановка t = , где r – наименьшее общее  кратное знаменателей рациональных чисел   m и n;

2) m / n - целое, то возможна подстановка t = , где
s –знаменатель дроби p;

3)m / n + p - целое, то возможна подстановка t =, где
s –знаменатель  дроби p.

  Для данного уравнения  x +  =  биномиальное выражение

=  имеет следующие значения параметров: m = 0, n = 2, p = 1 / 2. Так как  m / n = 0 - целое, то удобно сделать подстановку  t =  (здесь s = 2). И решение данного уравнения 4-ым способом свелось к предыдущему 3-му способу.

 Ответ:    x =  / 2.


5 способ решения методом умножения
иррационального уравнения на функцию

1) Прежде чем умножить исходное уравнение  x +  =  (*) на функцию, «сопряжённую» его левой части, т.е. на алгебраическое выражение (x ), найдём его ноль методом равносильных переходов:

Проверка подстановкой (устно) в исходное уравнение убеждает, что  
x =  / 2 – его корень. Но он может быть не единственным для  исходного уравнения.

2) Перейдём к уравнению-следствию

|Разделим обе части на   |  

    От системы   

перейдём к новому уравнению-следствию, сложив оба уравнения:

      2x = x2 - 1 /  +        ( x – 1)2 = 0      x =  / 2.

Итак, других корней, кроме  x =  / 2, исходное уравнение не имеет.

   Ответ:    x =  / 2.

Методическое  замечание. В некоторых  пособиях, адресованных  школьникам  и абитуриентам, опромётчиво рекомендуется подход,  называемый методом «использования  формулы  сокращённого  умножения    А +  =  (A2B) / (A )». Но он может приводить при применении формулы“слева – направо” к потере корней, которые являются корнями уравнения вида  А  = 0.


6 способ решения методом тригонометрической подстановки

Эвристическое правило. Если в иррациональное уравнение входит:

 1) радикал  , где  а ≠ 0, то можно сделать одну из двух тригонометрических подстановок:

     a) x = |a|sint, где   –π/2 ≤  t π/2, или

     б) x = |a|cost, где  0 ≤  t π;

 2) радикал , где  а ≠ 0, то можно сделать тригонометрическую подстановку x = |a|tgt, где   –π/2 <  t < π/2;

3) радикал , где  а ≠ 0, то можно сделать одну из двух тригонометрических подстановок:

    a) x = |a| / cost, где  0 ≤  t π  и tπ/2, или

    б) x = |a| /sint, где   –π/2 ≤  t π/2 и t ≠ 0.

  Рассмотрим два приёма (А,Б) рационализирующей тригонометрической подстановки.

  А-приём. Так как ОДЗ решаемого уравнения x +  =  есть отрезок [-1; 1], причём числа  x = ±1 не являются его корнями, то сделаем подстановку x = cost, где 0 < t < π, а поэтому sint > 0.  Для нахождения  cost (но не t) получим уравнение  cost + sint = ,  которое здесь удобнее всего решать методом возведения обеих частей в квадрат (переходом к однородному уравнению-следствию):  

 cos t + sin t =     (cos t + sin t)2 = 2    cos2t + sin2t + = 2    = cos2t + sin2t (однородное уравнение).

 Заметим, что  из последнего уравнения необходимо следует, что

> 0 и так как при  0 <  t < π   sin t > 0,  то cos t > 0.  Поэтому в уравнении   cos t + sin t =   обе части положительны и возведение его в квадрат на предыдущем шаге не приведёт к появлению посторонних корней. Итак, при 0 < t < π/2 имеем: (cos tsin t)2 = 0  cos t = sin t tg t = 1. Поэтому cos t = = 1 /   и x =  / 2.  Ответ:x =  / 2.

  Б-приём. Покажем решение уравнения x +  =  , где 1 < x <1,

с помощью  тригонометрической подстановки x = sin t, где  –π/2 <  t < π/2, а поэтому cos t > 0. Для нахождения  sin t получим уравнение cos t + sin t = , из которого следует, что (cos t + sin t)2 = 2  tg t = 1. По-прежнему здесь sin t и cos t положительны  и  0 <  t <  π/2.    Поэтому   
sin t  = = = 1 /   и   x =  / 2.  Ответ:    x = / 2.


7 способ решения на основе векторной формы неравенства
Коши-Буняковского
(вводится для школьников впервые)

  Введем в рассмотрение при  |x| < 1 два ненулевых вектора и (1; 1). Вычислим их скалярное произведение и длины:  , . На векторном языке исходное иррациональное уравнение запишется в виде . В неравенстве  Коши-Буняковского равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны, а для этого необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны. Для нахождения  1 < x < 1 имеем уравнение:

          

       

   Ответ:    x =  / 2.

8 способ решения методом  рационализирующей подстановки Эйлера

Эвристическое правило. Если функция R(x, ) является рациональной относительно выражений   x  и  , где  а ≠ 0  и  D =
= b2 –4ac > 0, то для её рационализации можно сделать подстановку Эйлера вида  t =  / (xx1), где x1 – один из корней квадратного трёхчлена  ax2+bx + c. Так как указанная подстановка при решении уравнения может приводить к потере корня x= x1, то необходимо всегда проверять, является ли значение  x= x1  его корнем .

   Рассмотрим два приёма (А,Б) рационализирующей подстановки Эйлера применительно к исходному уравнению.

A - приём. Для уравнения  x +  =   с ОДЗ = [–1; 1] значения
x = ±1 не являются корнями, и подстановка Эйлера   t =   не приведёт к потере корней. Причём при –1 < x < 1  x 1 < 0, поэтому t < 0.  

Выразим  x  и     через   t.


a) Для выражения      через   t < 0  имеем уравнение:

 = txt    | Т.к. х1<0 и  t < 0, то t xt > 0.| (t xt)2 = 1 – x2  (t2 + 1)x2 2t2x + (t21) = 0     Итак,  x =.

б) Выразим  через   t < 0  выражение   =  =

=  .  Для нахождения нового неизвестного  t ( t< 0 )  имеем рациональное уравнение:  –   =    (– 1)t2 + 2t + +(+ 1) = 0 t2 + 2t(+ 1) + (+ 1)2 = 0  (t + (+ 1))2 = 0
t = – (+ 1). Поэтому   x = = / 2.

Ответ:    x =  / 2.

Б  - приём. Покажем решение уравнения  x +  =  , где  1 < x < 1, с помощью подстановки Эйлера вида   t =, где t > 0 при   x + 1 > 0. Выразим  x  и    через  t > 0.

а) Для –1 < x < 1  и   t > 0  имеем уравнение:

= tx + t  (tx + t)2 = 1 – x2   (t2 + 1)x2 + 2 t2 x + (t2 – 1) = 0   

  Итак,  x = – .

б) Выразим через  t > 0  выражение   = = .

Для нахождения нового неизвестного  t ( t> 0 )  имеем рациональное уравнение:  (2t / (t2 + 1)) - ((t2 – 1) / (t2 + 1)) =       ( + 1)t2 – 2 t + (– 1) = 0  (t – (– 1))2 = 0   t =  – 1. Поэтому
x = –((–1)2–1)/(( - 1)2+1) = (2–)/ (2(2–))= /2.

Ответ: x =  / 2.


IV этап урока (запасной). Повторение функционально-графического метода исследования иррациональных уравнений с параметром.

Задание для самостоятельной работы  учащихся (два вариата).Сколько корней в зависимости от параметра а имеет иррациональное уравнение:  

1 вариант.                           2 вариант.

Упражнение целесообразно выполнить функционально-графическим методом в плоскости хОа с использованием приёма сечения графика функции а(х) семейством прямых а(х)=а0 (const), параллельных оси Ох.

Методические материалы для учителя.

Задание 1. Функционально-графический метод решения представлен на слайде №3.

Ответ:   1)  при  решений нет,

  1.  при  1 корень,
  2.  при  2 корня.

Задание 2. Функционально-графический метод решения представлен на слайде №4.

  1.  Ответ: 1)    при  решений нет,
    1.  при        1 корень,
    2.  при      2 корня,
    3.  при             3 корня.

Методическое указание. При наличии учебного времени в процессе выполнения ниже представленных заданий учитель фронтально в форме катехизической беседы контролирует знания учащимися следующих положений и определений теоретических понятий, разработанных авторами современных учебников математики: С.М. Никольским, М.И. Башмаковым, Ю.М. Колягиным, А.Г. Мордковичем, Г.В. Дорофеевым, Ю.Н. Макарычевым, Н.Г. Миндюк, А.Р. Рязановским, Н.Н. Решетниковым, А.В. Шевкиным и др1.


Определение 1.
 Уравнение f(x,a ) = 0 с параметром а – это семейство уравнений, определяемых параметром, от конкретных значений которого

зависит а) аналитический вид корней, б) количество корней, в) свойства корней. (Сформулированное определение позволяет констатировать наличие трёх основных типов задач на исследование уравнений с параметром.)    

Определение 2. Параметр а в уравнении f(x,a) = 0  - это величина, численные     значения которой заранее, до исследования, неизвестны, но от которых зависят аналитический вид корней, их свойства и количество (свойство двойственности параметра а).

Определение 3. ОДЗ уравнения f(x,a) = 0 с параметром а – это множество тех пар чисел (х; а), при которых выражение f(x,a) имеет смысл.

Определение 4. Решить уравнение f(x,a)=0 с параметром а – это значит для каждого допустимого значения параметра а установить соответствие вида х = х(а), с помощью которого для каждого значения параметра а указывается множество корней х данного уравнения.

Основной метод решения уравнения f(x,a) = 0 с параметром  а – метод исчерпывающего перебора случаев, при котором область допустимого изменения параметра а разбивается на конечное число промежутков, в каждом из которых исследование уравнения может быть проведено одним и тем же приёмом, способом и приводит к одному и тому же аналитическому виду корней х=х(а) (а также их количеству или свойству).

Ответ при исследовании уравнения f(x,a) = 0 с параметром  а – важная составная часть решения, состоящая из списка промежутков изменения параметра а с указанием для каждого из них аналитического вида корней х=х(а) (их количества или некоторого их свойства).

V этап урока. Постановка вариативного домашнего задания (метод распоряжения, четкого инструктажа). Его содержание может быть выражено следующими эпистемическими требованиями:

1. Повторите  по учебному пособию Н.Я. Виленкина. Алгебра и математический анализ для 11 класса /Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2000. – С. 111-114.

2. Выполните, по меньшей мере, двумя методами следующие задания из учебного пособия: Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. сред. шк. /Б.М. Ивлев [и др.]. – М.: Просвещение, 1990. – С.20 №153 (а,б):  
для каждого действительного числа а найдите все решения уравнения:

а)   Ответ: 1) при  нет решений;

2) при ,

3) при ,

4) при .


б)  

Ответ: 1) при  решений нет,

2) при  ,

3) при  .

Заметьте, что в ответе к №153(б) есть опечатка.

3. Выполните задание С4 из демо-версии 2003. Найдите все положительные значения параметра а, при которых в области определения функции

есть двузначные натуральные числа, но нет ни одного трёхзначного натурального числа.

Ответ: а(0,8; 0,98].

VI этап урока. Заключение урока (педагогические методы краткого обобщения, педагогической оценки и коррекции). Возможные аспекты гностической и рефлексивной активности преподавателя4):

  1.  теоретико-прикладные итоги урока (основные и нестандартные методы решения иррациональных уравнений, их таксономия); дифференцированная оценка уровней ментального опыта учащихся5): уровня усвоения ими темы, компетентности, качества устной и письменной математической речи (когнитивный аспект); уровня проявленного творчества (креативный аспект); уровня самостоятельности и рефлексии (метакогнитивный аспект); уровня инициативы, познавательного интереса к отдельным методам математического мышления (интенциональный аспект); уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким/ высшим показателям учебно-математической деятельности (акмеический аспект); культуры общения на уроке (коммуникативный аспект) и др.;
  2.  объявление аргументированных отметок, поурочного балла;
  3.  сбор тетрадей с домашней работой на выборочную или сплошную проверку.

Спасибо за урок, дети!

 4) Акмеология: учебник/ Под общ. ред. А.А. Деркача. – М.: Изд-во РАГС, 2002. –С.442-452 (Педагогическая акмеология); Кузьмина Н.В. Профессионализм деятельности преподавателя/ Н.В. Кузьмина. – М.: Высш. шк., 1989.-167с.

5) Холодная М.А. Интеллектуальное воспитание личности в условиях современного школьного образования // Современная психология: Справочное руководство. – М.: ИНФРА-М, 1999. – С.668-680.


ФУНКЦИОНАЛЬНО_ГРАФИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ  
С ПАРАМЕТРОМ
a В КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ xОa

СЛАЙД №3
к уроку алгебры и математического анализа в 11 классе
(выполнен в компьютерной системе «
Mathematica-5»).


ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ
С ПАРАМЕТРОМ
а В ПЛОСКОСТИ xОa

Слайд №4 к уроку
к уроку алгебры и математического анализа в 11 классе

1 А.Г. Мордкович. Алгебра. 8 кл.: Учебник для кл. с углубленным изучением математики. – М.: Мнемозина, 2002. – С.247-249; Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2003.  – С.342-343;  Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для шк. и классов с углубл. изуч. математики /Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, под ред. Г.В. Дорофеева. – М.: Просвещение, 1996. – С.161, 191-192; А.Р. Рязановский. Алгебра и начала анализа: 500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 2001. – С.71 и др.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39465. МЕТОДИКА РОЗРАХУНКУ ПIДСИЛЮВАЧА НИЗЬКОЇ ЧАСТОТИ 514.5 KB
  Провести розрахунок однотактного підсилювача низької частоти на біполярному транзисторі який задовольняє наступним вимогам: 1. Живлення підсилювача здійснюється від випрямлювача. При виборі схеми каскаду вирішальними є слідуючи вимоги: можливо більш проста i надійна схема; низький коефіцієнт гармонік; забезпечення живлення від випрямлювача відсутність вимог по ККД; нормальна робота підсилювача в широкому діапазоні температур. В підсилювачах звукової частоти найчастіше використовуються резистивнi каскади.
39466. Электрочайник 24.5 KB
  Большинство современных электрочайников изготавливаются из пластмассы что позволяет избежать ожогов при прикосновении к закипевшему чайнику а также помогает дольше удерживать высокую температуру воды в нём по сравнению с чайниками из металла. Кроме того они имеют автоматический выключатель на основе биметаллической пластины прозрачное окошко для контроля уровня воды есть не у всех моделей и контактную подставку позволяющую легко и быстро отключить чайник от питающего провода. в результате конвекции нижние прогретые слои воды поднимаются...
39467. Анализ процесса обновления лакокрасочного покрытия автомобиля средствами и методами управления качеством (QFD, FMEA и др.) 71.82 KB
  На первый взгляд многим может показаться что окраска автомобиля дело пяти минут не требующее особых усилий и специальных навыков. Другое дело доверить своего железного коня действительно тем кто занимается покраской кузова и деталей автомобиля профессионально. Кроме всего прочего при окрашивании автомобиля стоит уделять важное и особое внимание самой технологии окраски.
39468. Особенности формирования русской художественной культуры «Золотого века» 178.5 KB
  ЗОЛОТОЙ ВЕК РУССКОЙ КУЛЬТУРЫ. Особенности живописи второй половины XIX века. XIX век занимает особое место в истории русской художественной культуры. По количеству шедевров в литературе изобразительном искусстве музыке он несравним ни с каким другим периодом не только в истории русской но и мировой культуры. Объектом исследования данной работы являются особенности формирования русской художественной культуры Золотого века.
39469. МОРФОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕХНИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 109.5 KB
  ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ МОРФОЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Склонность к классифицированию является важным компонентом творчества. Целью морфологического анализа является выявление существующих моделей технического объекта одной структуры. Основными принципами морфологического анализа являются: а максимально точная формулировка поставленной проблемы; бравный интерес ко всем существующим техническим решениям объекта исследования; в ограничения и оценки не учитывают пока не выявлены все возможные решения объекта проектирования; г систематическое...
39470. МОРФОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ: АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ТЕХНИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 69.5 KB
  В дополнение выбирают критерий качества с помощью которого из двух или нескольких допустимых вариантов технического решения выбирают наилучший. Рассмотрим далее как производят выявление эффективных комбинаций альтернативных вариантов принадлежащих одному столбцу. В каждом столбце путем объединения двух и более альтернативных вариантов выявляют эффективную взаимоусиливающую комбинацию со следующим свойством: она в значительно большей мере устраняет какойлибо недостаток недостатки или улучшает критерий качества чем отдельные...
39471. Оценка налоговых рисков- методы планирования налоговых проверок 129.5 KB
  Показатели налоговой нагрузки представлены в приложении . Таким образом величина налоговой нагрузки за 2006 г.ru Группа критериев отражающих показатели деятельности плательщика Отражение в бухгалтерской или налоговой отчетности убытков в организации в течение двух и более календарных лет. Несоответствие темпов роста расходов темпам роста доходов по данным налоговой финансовой отчетности: а неоднократное приближение менее 5 к предельному значению установленных Налоговым кодексом показателей предоставляющих право применять...
39472. НАЛОГИ И НАЛОГОБЛОЖЕНИЕ 399 KB
  Курсовая работа выполняется студентами после изучения соответствующих глав Налогового Кодекса РФ, литературных источников по теме и производственной практики. За время практики студент собирает на предприятии необходимый фактический материал по теме курсовой работы. После прохождения практики собранные материалы обобщаются и студент приступает к написанию курсовой работы
39473. Порядок характеристики налогоплательщика 367 KB
  Оценка налоговой нагрузки Описать режим налогообложения исходя из вида деятельности предприятия организационноправовой формы и действующего налогового законодательства. При этом последовательно указывается: В связи с какими обстоятельствами возникли обязанности налогоплательщика плательщика сборов налогового агента ; Описание объектов обложения; Особенности формирования налоговой базы; Применяемые налоговые ставки ; Порядок исчисления налога сбора; Порядок и сроки уплаты. Кирову ИНН: 4345001066 КПП: 434501001; ОКАТО...