54132

Застосування диференціального, інтегрального обчислень та інших елементів математики в фізиці та техніці

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Розвивати уміння узагальнювати цілісну систему знань уміння реалізувати практичні зв’язки курсу математики і фізики з майбутньою професією уміння через організацію ділової рольової гри відображувати виробничу ситуацію. Розв’язання Потужність Р в зовнішньому колі дорівнює різниці повної потужності джерела і P1=EI потужності що губиться всередині джерела Р2=I2rтобто P=P1P2 ; P=EII2r 1 – напруга зовнішнього кола як функція сили струму. Доки Мальцев Павло розв’язував задачу на дошці клас бере участь в її обговоренні. Йде засідання...

Украинкский

2014-03-09

303 KB

2 чел.

PAGE  1

Дайте молодим те, в чому вони відчувають потребу, щоб стали незалежними від нас, робити свій вибір.

(К. Поппер)

Застосування диференціального, інтегрального обчислень та інших елементів математики в фізиці та техніці.

Мета: провести співбесіду з учнями по теоретичному та практичному змісту теми “Похідна та інтеграл в фізиці та техніці”, встановити міжпредметні зв’язки між економікою, математикою і фізикою, підвищуючи цим ефективність політехнічної, практичної спрямованості навчання.

Розвивати уміння узагальнювати цілісну систему знань, уміння реалізувати практичні зв’язки курсу математики і фізики з майбутньою професією, уміння через організацію ділової рольової гри відображувати виробничу ситуацію.Набуття учнями публічних виступів і дискутувань, відстоювання своєї позиції.

Чому б ви хотіли навчитись і якої мети досягти?!

ХІД УРОКУ

Вступ

Півроку залишилось до того моменту, коли ви підете в самостійне життя.І доки сплине цей час ви повинні обрати, а дехтоце вже зробив, свій шлях, свою професію.

Саме сьогодні на цьому незвичному уроці вам буде надана можливість зануритись у світ професій, відчути себе у ролі інженера, конструктора, економіста, будівельника, радіометриста, бактеріолога, а також відчуєте складність деяких побутових проблем, що стають на шляху домогосподарки, або господаря дому.

Оголошується тема і мета уроку:

І так 2020 рік сучасний аграрно промисловий комплекс.

Уявіть собі, що Мальцев Павло Вікторович закінчив електро технічний факультет Харківського Національного технічного університету С/Г і пішов працювати провідним інженером машинобудівної станції.

Іде селекторна нарада і перед ним начальником РЄМ поставлена задача:

Шановний Павле Вікторовичу, я начальник районної електромережі, Кудін Сергій Валерійович, прошу вас виконати відповідальне завдання.

У нас в районній електромережі є джерело напруги з відомою електрорушійною силою і заданим внутрішнім опором. Це джерело замкнуто на реостат:

1) Виразіть потужність зовнішнього кола, як функцію сили струму;

2) Проведіть розрахунки, при якій силі струму потужність буде найбільшою

Павло отримує завдання і виконує його на окремій дошці.

Розв’язання

Потужність Р в зовнішньому колі дорівнює різниці повної потужності джерела і  P1=E*I потужності що губиться всередині джерела Р2=I2*r,тобто P=P1-P2 ;

P=E*I-I2*r (1) – напруга зовнішнього кола, як функція сили струму.

Визначимо максимум цієї функції. Для цього знайдемо похідну від потужності Р і прирівняємо її нулю:

P′=0                P′(I)=E-2Ir

Звідси знайдемо максимальне значення сили струму:

E-2Ir = 0;                   E=2Ir;                   I= (2)

Підставимо (2) в (1) і обчислимо максимальну потужність:

1) Pmax=E·     3) Pmax=

2)Pmax=            4) Pmax=(3)

Виразимо К.К.Д. джерела:

                     (4)

- пряма лінія, це ясно із формули (4)

Із рівняння (10 і із графіка видно, що кожному заданому значенню потужності (крім максимального) відповідають два значення сили струму.

(Звучить запис)

Відмінно (добре) Мальцев Павло Ви (не) виправдали мої сподівання, і я запишу Вам подяку в трудову книжку.

Доки Мальцев Павло розвязував задачу на дошці, клас бере участь в її обговоренні.

  1.  Умова існування електричного струму;
  2.  Навіщо джерело струму замкнуто на реостат;
  3.  Що таке E, P, I струму?
  4.   Що називається функцією y=f(x).

ЗАДАЧА 2 (конструкторська)

Перед нами кабінет головного конструктора Овчарова Віталія Вікторовича. Секретар запрошує помічника головного конструктора Ярошенко Олену Юріївну. Йде засідання, випускник Харківського будівельного інститута і головний конструктор ставить завдання:

Шановна Олено Юріївно, розрахуйте терміново кутову швидкість ω(t) обертання маховика в сучасному точильному верстаті в момент часу 2 секунди, щоб маховик, затриманий тормозом, не прирвав роботу верстата, а за цей час повернувся на певний кут , і визначте, в який момент часу маховик зупиниться?

Розвязання:

1);                    2);                      3), якщо t=2c,

4)

Якщо маховик зупиниться, значить .

0=4-0,6t

0,6t=4

T=6,6 c

Відповідь : кутова швидкість маховика 2,8 об/с, це достатня швидкість обертання, щоб не перервати роботу верстата; маховик зупиниться через 6,6 с після початку роботи.

Клас бере участь в обговоренні задачі:

  1.  Що таке кутова і лінійна швидкості маховика?
  2.  Сформулюйте правило обчислення похідних.
  3.  Чому маховик зупиниться?

(Слова подяки)

Провідний економіст АПК, випускниця Київського аграрно-економічного університету – Семенова Тетяна Олександрівна провела розрахунки:

В цей час слово надається вчителю економіки Мерефянського ліцею –     Шевчук О.А.

Диференціальне числення дає змогу розв’язувати великий спектр задач економічного змісту, досліджувати економічні процеси, явища. Розв’язування задач економічного змісту методами диференціального числення вимагає введення фрагментів економічних теорій, які доцільно вводити після вивчення та закріплення відповідного математичного матеріалу.

Досвід показав ефективність такої послідовності вивчення застосування похідної до розв’язання прикладних задач економічного змісту: 1) введення економічного змісту похідної; 2) розв’язання прикладних задач на застосування похідної та відносної похідної (еластичності) функції; 3) дослідження динаміки функцій в економічних процесах.

Розглянемо зазначену послідовність роботи.

1. Економічний зміст похідної

З економічним змістом похідної ознайомимося на конкретних прикладах після засвоєння правил диференціювання.

а) Задача про продуктивність праці.

Нехай функція u=u(t) виражає кількість виробленої продукції u за час t. Необхідно знайти продуктивність праці в момент t0. Очевидно, за період часу від t0 до t0 t кількість виробленої продукції зміниться від значення u0= u(t0) до значення u0 u= u(t0 t); тоді середня продуктивність праці за цей період часу . Очевидно, що продуктивність праці в момент t0 можна визначити як границю середньої продуктивності праці за час від t0 до t0 t при Δ t0, тобто

  .

Отже, похідна обсягу виробленої продукції щодо часу (t0) – це продуктивність праці в момент часу t0. застосування економічного змісту похідної закріплюємо розв’язуванням таких прикладів:

Приклад. Обсяг продукції u (ум. од.) цеху протягом робочого дня є функцією u=- t-5t+75 t+425, де tчас (год.). Зайти продуктивність праці через 2 год. від початку роботи.

Розв’язання

Продуктивність праці визначається похідною  (t). Тоді (t)= (- t-5t+75 t+425)’=-3t-10t+75. знаходимо:

продуктивність праці у момент часу t=2, тоді (2)=-3·22-10·2+75=-36-20+75=19 (од.)

Відповідь. продуктивність праці через 2 год. від початку роботи становить 19 одиниць.

Розглянемо ще одне поняття, що ілюструє економічний зміст похідної.

б) Граничний ефект виробництва.

Граничні витрати. Витрати виробництва К будемо розглядати як функцію випущеної продукції х. Нехай Δх – приріст продукції, тоді Δ К – приріст витрат виробництва і  - середній приріст витрат виробництва на одиницю продукції.

Похідна = виражає граничні витрати виробництва і наближено характеризує додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількості продукції, що випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами, а тільки змінними (на сировину, паливо і т. п.).

Граничний виторг. Нехай U(x) – виторг від продажу х одиниць товару. Тоді границя  називається граничним виторгом. Аналогічно означаються граничний прибуток, граничний продукт, гранична корисність, гранична ціна.

У результаті такої роботи має скластись уява, що функція y=f(x) моделює деякий економічний процес, а похідна  виступає як швидкість зміни цього процесу з часом або стосовно іншого досліджуваного фактору, тобто характеризує його граничний ефект.

Розв’язуючи задачі на закріплення економічного змісту похідної, основну увагу слід звернути на інтерпретацію знайдених результатів.

Приклад. На основі статистичних досліджень фірма встановила функцію прибутку від ціни р за одиницю продукції: f(p)=-50p2+500p. Визначити граничний прибуток фірми залежно від ціни p, розрахувати його при p=2; p=5; p=10 (тис. грн..).

Розв’язання

Граничний прибуток визначається похідною . Тоді

=(-50 p2+500 p)’=-100p+500, обчислюємо =-100·2+500=300 (тис. грн..), =-100·5+500=0, =-100·10+500=-500 (тис. грн.).

 Задача 3 (побутова)

1)Будуючи будинок в суху ясну погоду Канівець Роман Олександрович легко витягував цвяхи. Раптом пройшов дощ, дошки намокли, і цвяхи стало витягувати важко. Чому? Як ви думаєте Романе Олександрович?

Відповідь: Справа в тому, що сила тертя залежить не лише від коефіцієнту тертя, а і від сили зажиму, яка у випадку набряклої дошки значно більша, ніж в сухій.

2)Під час відпустки група альпіністок у складі: Неблієнко Людмили, Ятколенко Карини, Горбатенко Ірини, відпочиваючи на великій  висоті гори Еверест, зголоднівши, вирішили приготувати обід. Кинувши в горщик з кипячою водою напівфабрикати, вони очікували, що за півгодини суп буде готовий. Але глянувши у горщик Людмила здивувалась, що продукти не зварились. В чому причина?

Відповідь: При пониженому атмосферному тиску (а чим вище, тим тиск менший), вода кипить при температурі значно нижчій 1000 С. А продукти розмякшуються під дією підвищеної температури, а не внаслідок процесу кипіння.

Задача 4 (спортивна)

Майстер спорту, випускниця Харківського інституту фізичної культури, з легкої атлетики  всім відома Волковая Анна Сергіївна штовхнула ядро, масою 10 кг. По траекторії  . Яку діючу силу приклала Аня до ядра, і яка кінетична енергія ядра через 2 с після початку руху?

Розвязання:

;

;

Змінну «a» (прискорення) викликано силою по 2 закону Ньютона:

а) F=ma;       F=10·2=20 H;

б) ;   ;     

(Слова подяки)

Обговорення задачі з учителями:

  1.  Який закон руху застосовується в цій задачі?
  2.  Правило знаходження другої похідної.
  3.  В якому випадку тіло має кінетичну енергію?

А тепер уявимо собі що ми знаходимось на засіданні кафедри фізико – математичних наук Харківського державного національного університету. Перед нами з доповіддю виступає аспірат кафедри наук Скачков Владислав Вадимович який зупиняється на деякихфактах із життя вчених необхідних для подальшої нашої роботи. 

ІІ урок

На попередніх уроках ми розглядали, як широко застосовується інтеграл у фізиці і техніці. Пригадаємо: які труднощі були при виконанні домашнього завдання:

  •  на чому слід зупинитись, на що звернути увагу?
  •  хто повністю виконав домашню роботу? (в залікову таблицю поставити 4 бали)
  •  незрозуміле виконуємо на дошці.

                                                         № 13(2)

S=

№17

m=

Величини

Співвідношення

Знаходження похідної

Знаходження інтеграла

1

S-переміщення

V-швидкість

ΔS=v(t)Δt

    

    v(t)=s'(t)

          t2

S=v(t)dt

         t1

2

A-робота

F-сила

ΔA=F(x)Δx

F(x)=A'(t)

        x2

A=N(t)dt

        x1

3

A-робота

N-потужність

     

    ΔA=N(t)Δt

   N(t)=A'(t)

         t2

A=N(t)dt

        t1

4

m-маса тонкого стержня

 p-лінійна                  густина

Δm=p(x)Δx

p(x)=m'(x)

         x2

   m=p(x)dt

              x1

5

q-електричний заряд

I-сила струму

Δq=I(t)Δt

    

    I(t)=q'(t)

         t2

q=I(t)dt

               t1

6

Q-кількість теплоти

C-теплоемність

ΔQ=c(t)Δt

C(t)=Q'(t)

         t2

Q=c(t)dt

               t1

 

Сприйняття і усвідомлення поняття диференціального рівняння та його розв’язання.

До сьогоднішнього уроку ми розглядали рівняння, в яких невідомими були числа.

В математиці приходиться розглядати рівняння, в яких невідомими є функції, так задача на знаходження шляху  S(t) за даною швидкістю V(t) зводиться до розвязування рівняння ,  де V(t) – задана функція,

                                                           S(t) – шукана функція.

Наприклад, якщо V(t)=5-9t, то для знаходження S(t) треба розв’язати рівняння

Ці рівняння містять похідну невідомої функції. Такі рівняння називають диференціальними рівняннями.

І зараз одну із таких задач, що зводиться до виведення диференціальних рівнянь розвяже учень Яковенко Олександр.

ЗАДАЧА

Знайти розв’язання рівняння руху тіла із змінною масою, на прикладі руху ракети.

Розв’язання

В момент часу t маса ракети m, а її швидкість V. Через деякий час dt маса ракети стала m-dm, а швидкість – V+dV. V швидкість викидів газів із сопла.

Застосувавши закон збереження імпульсу, знайдемо зміну імпульсу (тобто кількість руху) dp.

dp= (m-dm)(V+dV)+(V+du-u) dm-mu

dp= mV+mdV-Vdm-d2mV+Vdm+d2um- udm

dp= mdV- udm (:dt)

dp=F· dt            F dt= mdV- udm.

                         F= mdV/ dt- udm/dm, якщо F=0

 m=dV/ dt=-u·dm/dt

V=- V dm/m+C

C=lnm0u

Після підстановки

V=uln(m0/m)

Це відношення називається формулою Ціолковського.

Слово Шестіалтинову Віктору Костянтиновичу – кандидату технічних наук, доценту Харківського Національного Технічного університету сільського господарства.

Усвідомлення матеріалу про практичне застосування диференціальних рівнянь.

Розв’язання багатьох фізичних, біологічних, технічних і інших практичних задач зводиться до розв’язання диференціального рівняння , де k – задане число.

Розв’язком цього рівняння є функції y=C, де С – const, що визначається умовою конкретної задачі.

Яке ж практичне застосування диференціальних рівнянь?

(Робота з підручником „Алгебра та початки аналізу” Шкіль 11 клас с. 156, Шкіль 10 – 11 клас с. 390)

Приклад 1 (розмноження бактерій)

Швидкість (t) розмноження бактерій пов’язана з масою m(t) бактерій в момент часу t рівнянням , де k – додатне число, яке залежить від виду бактерій і зовнішніх умов. Розв’язком цього рівняння є функції m(t)= C. Постійну С можна знайти, наприклад, із умови, що в момент t=0 маса бактерій  відома. Тоді m(0) =     = = C=С і тому m(t)= .

Приклад 2 (швидкість радіоактивного розпаду)

Якщо - швидкість радіоактивного розпаду в момент часу t, то =, де k – постійна, яка залежить від радіоактивної речовини. Розв’язками цього рівняння є функції  m(t)= C. Якщо в момент часу t маса дорівнювала , то С= і тому m(t)= . Слід зазначити, що на практиці швидкість розпаду радіоактивної речовини характеризується періодом піврозпаду, тобто, проміжком часу, за який розпадається половина даної речовини. Нехай Т – період піврозпаду, тоді при t=Т маємо , звідси k=. Отже, m(t)= .

Слово для представлення спеціалістів надається головному економісту.

За роботою по підвищенню врожайності зерно-бобових культур, та виробці нових біодобавок для інтенсивності росту великої рогатої худоби, та птиці, а також вирощуванні мікроорганізмів, які знищують гризунів і комах головний бактеріолог – випускник біофаку Харківського Національного Університету імені Каразіна Пономаренко Олексій Сергійович. Також ведеться співпраця з Артемівським спиртзаводом, а саме розведення корисних мікроорганізмів для бродіння Сусла (швидкого розпаду зерна), що використовується в спиртоіндустрії.

Поруч з Олексієм веде роботу інженер-радіоізотопник – випускниця Харківського інституту радіоелектроніки Мірошніченко Яна Миколаївна. Вона веде розрахунки по налагодженню приладів, що визначають рівень іонізації у загазованих приміщеннях. Особливо необхідні такі прилади для роботи в забруднених зонах. Актуальною є проблема виявлення наявності ізотопів та їх дози у продуктах харчування(таких як мясо, молоко, птиця, хліб).

Учениця Пащенко Альона доповідає про загальний вигляд розвязання прикладних диференціальних рівнянь.

У житті часто зустрічаються процеси, які періодично повторюються, наприклад, коливальний рух маятника, струни, пружини і т. д.; процеси, повязані з електричним струмом, магнітним полем тощо. Розвязування багатьох таких задач зводиться до розвязування рівняння , де ω – задане додатне число, у=у(х), . Функцію  називають другою похідною функції у(х) і позначають  або коротко . Розвязком рівняння  є функції у(х)=С, де С,  - постійні, що визначаються  умовами конкретної задачі. Рівняння  називають диференціальним рівнянням гармонічних коливань, а у(х)=С - розвязком гармонічних коливань.

Самостійна робота по групам:

Зараз вам буде запропонована робота, у якій кожному буде надана можливість по „своїм силам” розвязати неменше 2-3 завдань різного характеру.

Результати роботи відразу будуть оцінені провідними спеціалістами аграрно-промислового комплексу: Яковенко Олександром, Семеновою Тетяною, Ярошенко Оленою, і відображені в залікових діагностичних планшетах кожного.

             1 група                                 2 група                                          3 група

1) Яковенко Олександр           1) Семенова Тетяна                  1) Ярошенко Олена

2) Шевчек Костянтин              2) Овчаров Віталій                   2) Мальцев Павло

3) Кудін Сергій                        3) Пономаренко Олексій          3) Лешик Степан

4) Канівець Роман                   4) Скачков Владислав               4) Черненко Світлана

5) Волковая Анна                    5) Ятколенко Карина                5) Горбатенко Ірина

6) Мірошніченко Яна             6) Неблієнко Людмила              6) Семененко Дарія

                                                 7) Роздайбіда Вікторія               7) Пащенко Олена

На кожному столі:

  •  картки-підказки;
  •  таблиці знаходження похідних;
  •  таблиці первісних.

№ 1                                                                             № 2

1) Знайти:                                                              1) Знайти

  1.  y=(3x-1)(+4)                                                   а)

б)   y=                                                           б)

в)   y=                                                         в)

2) Знайти:                                                              2) Знайти

y=                                                                     

3) Знайти: F(x)                                                            3) Знайти F(x)

                                                                  

4) Знайти:                                                                     4) Знайти:

                                                                        

5)                                                          

6) Обчислити:                                                              5) Обчислити:

                                                                

8) Обчислити площу фігури,                 6) Обчислити площину,обмеженої лініями:

обмеженої лініями:                                  

                            7)Розв’яжіть диференціальні рівняння:

9) Розвяжіть диференціальні рівняння:    

                                      

№ 3

  1.  Знайти :

а) у=

б) у=

в) у=

2) Знайти :

3)Знайти F(x)

4)Знайти а)

б)

5) Обчислити:

6) Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

7) Розвяжіть диференціальні рівняння:

Підсумок уроку

Доки наші провідні спеціалісти підводять остаточні підсумки, з’ясуємо чи досягли ми кінцевої мети уроку?

Запишіть на своїх заліково-діагностичних листах те, що слід допрацювати.

  1.  Що з уроку більше всього запамяталося?
  2.  Відмітьте на залікових листах, що вдалось, на що слід звернути увагу?

Досягнення мети:

  1.  похідна
  2.  похідні вищих порядків
  3.  обчислення інтеграла
  4.  обчислення площ за допомогою інтеграла
  5.  диференціальні рівняння
  6.  застосування похідної та інтеграла у фізиці

І так : до 50% засвоєні знання(1-6 балів) – молодший спеціаліст.

від 50% - 75% (6-9 балів) – спеціаліст

більше 75% - старший спеціаліст

Домашнє завдання

Теоретична відповідь

Практичне завдання

Самостійна робота

10-12 балів червоний

7-9 балів зелений

1-6 балів   синій

У кожній справі є доробок.

А у народі зветься він жнива.

А в нас сьогодні в підсумку по темі

Бал відповідний за знання.

Домашня робота

Старші спеціалісти та спеціалісти: §28, скласти прикладні задачі із застосуванням знань з фізики, економіки, техніки.

Молодші спеціалісти: §28, №73 (б), 74 (4) с. 153.


                                             

ЛІТЕРАТУРА

  1.  Апанасов П.Т., Апанасов Н.П.Сборник математических задач с практическим содержанием. – М.: Просвещение, 1987. – 110 с.
    1.  Бродский Я.С.., Слипенко А.К. Производная и интеграл в неравенствах, уравнениях, тождествах – К.: Вища шк., 1988. – 120
    2.  Виленкин Н.Я., Функции в природе и технике: Книга для внеклассного чтения, 9-10 класс. – М.: Просвещение, 1985, - 192 с.
    3.  Дороговцев А.Я. Інтеграл та його застосування. – К.: Вища школа, 1974. – 128 с.
    4.  Кириченко В., Бала ханова О. Інтегрований урок-семінар в 11 класі з поглибленим вивченням математики // Математика в школі. – 206. - № 6. – С.26-31
    5.  Стасюк В., Григулич  С., Використання похідної функції на прикладах розв'язування економічних задач // Математика в школі. – 2008. - № 5. – С.35-41


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3812. Показатели качества торговых услуг и методы их оценки 307.5 KB
  Показатели качества торговых услуг и методы их оценки Введение Современный этап экономического развития, переживаемый Россией, характеризуется достаточно устойчивым ростом экономики, сопровождающимся изменением структуры ВВП. Данные среднегодовых те...
3813. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕНЫ С ОРИЕНТАЦИЕЙ НА СПРОС 104.5 KB
  Введение Установление определенной цены на товар или услугу служит для последующей их продажи и получения прибыли. Очень важно назначить цену таким образом, чтобы она не оказалась слишком высокой или слишком низкой. В малом бизнесе установление нужн...
3814. Ценообразование на разных типах рынков 228.5 KB
  Введение Производство товаров зависит от издержек, которые в свою очередь определяются ценами на факторы производства. Эти факторы имеют свой рынок, на котором они продаются и покупаются, а цена на них устанавливается в соответствии с законами спрос...
3815. Печать русской православной Церкви: традиции и перспективы 84.5 KB
  Печать русской православной Церкви: традиции и перспективы Конец 80-х – начало 90-х годов нашего столетия стало началом возрождения системы печати Русской православной церкви. Причем ее становление происходит с использованием богатого опыта изд...
3816. Цикличность развития рыночной экономики 125 KB
  Введение Цикличность экономического развития и ее причины Экономический рост — это не плавный, равномерно совершающийся подъём. В движении общественного производства есть годы, когда рост общего объема производства происходит очень быстро...
3817. Национальная модель социальной защиты Республики Беларусь 118 KB
  Введение Социальная защита населения является первоочередной задачей для большинства стран мира. В мировой практике насчитывается большое количество моделей социальной защиты, которые отличаются друг от друга источниками финансирования, способами по...
3818. Построение робототехнических и автоматизированных линий и комплексов на мебельном предприятии 1.05 MB
  Введение Успешное мебельное производство предполагает предварительный глубокий анализ всех его составных частей, современных тенденций и процессов. Не менее важно знать, в чем конкретно состоит влияние того или иного составляющего на весь комплекс в...
3819. Классификация тесных двойных систем. Алгоритм ZET 88 KB
  Введение Изучение фотометрических и абсолютных элементов тесных двойных систем, находящихся на разных стадиях эволюции, представляет большой интерес с точки зрения статистического исследования этих систем, изучения строения Галактики, а также теории...
3820. Теоретические основы экономического анализа инвестиционных проектов 392.5 KB
  Теоретические основы экономического анализа инвестиционных проектов. Прежде чем рассматривать вопросы анализа инвестиционных проектов необходимо дать краткое понятие инвестиций. Инвестиции- вложение капитала с целью его последующего увеличени...