54142

Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Узагальнити та систематизувати знання студентів з теми Дослідження функції і побудова її графіка за допомогою похідної. Знайдемо стаціонарні точки функції. За допомогою другої похідної знаходимо напрямки опуклості і точки перегину графіка функції: критична точка другого роду.

Украинкский

2014-03-09

624 KB

7 чел.

План відкритого заняття.

ТЕМА: Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка.

МЕТОДИЧНА МЕТА. Показати використання адаптивної системи навчання

    на занятті узагальнення та систематизації знань.

ДИДАКТИЧНА МЕТА. Узагальнити та систематизувати знання студентів з

   теми «Дослідження функції і побудова її графіка за допомогою похідної».

   Ознайомити студентів з можливостями програми MathCAD у  дослідженні

   функцій. Розвивати світогляд студентів, інтерес до математики; сприяти

    розвиткові логічного мислення; навчати прийомів самоконтролю та

    взаємоконтролю.

ВИХОВНА МЕТА. Виховувати культуру математичної мови, ерудованість

   та наполегливість, взаємодопомогу, відповідальність.

ВИД ЗАНЯТТЯ. Семінар.

ТИП ЗАНЯТТЯ. Узагальнення та систематизації знань.

МІЖПРЕДМЕТНИЙ ЗВ'ЯЗОК:

              ЗАБЕЗПЕЧУЮЧІ: математика, інформатика.

              ЗАБЕЗПЕЧУВАНІ: економіка підприємства, бухгалтерський облік.

ТЕХНІЧНІ ЗАСОБИ НАВЧАННЯ:комп’ютер, програма MathCAD, мм ПРОЕКТОР.

МЕТОДИЧНЕ ЗАБЕСПЕЧЕННЯ: картки самоконтролю, роздатковий

      матеріал, кодопозитиви, проблемні питання, опорні конспекти,

      презентації.

ЗМІСТ І ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційний момент.         

Відзначити відсутніх, перевірити наявність учбових приладів, записати дату проведення і тему заняття. Кожен студент  одержує картку самоконтролю, де відмічає у балах свою роботу на уроці. (Додаток А)

2. Актуалізація опорних знань.        

    2.1. Перевірити домашнє завдання за допомогою кодоскопу  та відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашнього завдання.

№ 1. Дослідити функцію на монотонність, екстремум, опуклість та знайти точки перегину. 

Розв’язання.

Область визначення є множина всіх дійсних чисел.

Знайдемо стаціонарні точки функції: , . Відмітимо критичні точки  першого роду  на числовій прямій і досліджуємо знак похідної в кожному із одержаних проміжків:

                                     

   

                             

Функція зростає при , спадає при ;

- точка максимуму, - точка мінімуму, .

За допомогою другої похідної знаходимо напрямки опуклості і точки перегину графіка функції: , - критична точка другого роду,. Досліджуєм знаки другої похідної:

                                       

 

Графік функції повернутий опуклістю вниз на интервалі; і вгору ;

- точка перегину, . 

2. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку:

                                          

 Розв’язання.

Знайдемо похідну функції і критичні точки першого роду з умови .

                                             

 Знайдемо значення функції на кінцях відрізку та у критичних точках:

                                ;        

таким чином,  та .

Викладач підводить підсумок за виконанням домашнього завдання, студенти виставляють бали у картки самоконтролю.

                  

   2.2. Викладач. А зараз я вам пропоную заповнити таблицю – тест, за допомогою якого ми повторимо обчислення похідної та побудову елементарних графіків.(Перевірка здійснюється за допомогою слайда з усними коментаріями). (Додаток Б)

Завдання-таблиця, у клітках якої потрібно знаком «+» указати відповідність «функція – графік похідної цієї функції».

Графік

Функція

похідна

у' = 2 – 3х2

+

 

 

 

 

 

у' = х2 + 2

 

 

+

 

 

 

у' = х

 

+

 

 

 

 

у' = 2 - х

 

 

 

+

 

 

у = 2х – 7

у' = 2

 

 

 

 

 

+

у = 2х + х4 

у' = 2 + 4х3

 

 

 

 

+

 

2.3. Викладач. На попередньому уроці ми розглянули як за допомогою похідної знаходять проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції, проміжки опуклості функції, точки перегину.

     Студентам пропонують повторити матеріал: демонструється презентація програми «Дослідження функцій та побудова графіків».

Фронтальне опитування: (у картки взаємоконтролю студенти виставляють бали)  

  1.  Сформулюйте умови зростання та спадання функції.
  2.  Сформулюйте необхідну умову існування екстремуму функції.
  3.  Сформулюйте достатні умови існування екстремуму функції.
  4.  Як знайти точку екстремуму функції?
  5.  Сформулюйте  необхідну умову опуклості кривої.
  6.  Сформулюйте достатню умову опуклості кривої.
  7.  Як знайти напрямки опуклості і точки перегину кривої?
  8.  Які види асимптот ви знаєте?
  9.  Як знайти похилу, вертикальну та горизонтальну асимптоти?

 3. Мотивація пізнавальної діяльності.       

    Викладач. Поняття похідної-фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджуються процеси і явища в природних, соціальних і економічних науках.

    Однією із основних задач математики є дослідження функції. Використання похідної значно полегшує задачу дослідження функції, а разом с тим і побудови її графіка.

     При застосуванні MathCAD студенти получають можливість використовувати знання, одержані при вивченні дисципліни «Інформатика».

Можливості MathCAD  дають можливість будувати графіки, обчислювати похідну та ін . Правильність рішення можливо перевірити у MathCAD. Для цього необхідно скористуватися  правилами знаходження экстремума функції, засобами математичного аналізу. Знайти похідну функції і розв’язати одержане рівняння допоможуть панелі “Калькулус” і “Символіка”.

На занятті ми будемо досліджувати функції не тільки за допомогою диференціального числення, але й за допомогою можливостей MathCAD.  

4. Узагальнення та систематизація знань.      

     Колективне розв’язування задач.

4.1.За допомогою програми MathCAD дослідити та побудувати графік функції  .

                  

 

4.2. Викладач. В економіці часто користуються середніми величинами: обчислюють середню собівартість продукції, середню продуктивність  праці. Проте, при вивченні деяких процесів в економці зустрічаємося з такими задачами, де потрібно з’ясувати, на яку величину зростуть витрати виробництва, якщо збільшити  обсяг продукції, і, навпаки, наскільки зменшаться витрати виробництва, якщо скоротити обсяг продукції;  з’ясувати залежність попиту на товар від ціни на нього. Середні величини відповіді на таки питання не дають. Розглянемо це на конкретному прикладі.

Нехай фірма планує збільшити ціну на товар. Необхідно дослідити, як при цьому зміниться попит на цей товар. Під попитом ми розуміємо обсяг суспільної потреби, яка виражається в грошах (іншими словами, попит – це кількість грошей, яки покупці спроможні заплатити за товар при певному рівні ціни на нього). При підвищенні ціни на товар зменшується попит, а при зниженні – збільшується. Отже, попит  на товар є функцією ціни , де - ціна,  - попит. Відомо, що функція попиту для даного ринку має вигляд: . Ставиться задача: з якою швидкістю змінюється попит при зміні ціни за умови, що початкова його ціна становить 2 грн.

Графік функції  має вигляд. (Додаток В)

Оскільки залежність попиту від ціни продукції виражається функцією , то при зміні ціни від  до попит змінюється від значення  до . Треба звернути увагу, що , оскільки попит зменшився.

Отже, .

Швидкість зміни попиту в момент ціни  можна визначити як граничне значення відношення  при , тобто визначити, як швидко зменшиться попит на товар при надзвичайно малому підвищені ціни, тобто миттєву швидкість зміни попиту.

Функція      є похідною функції  .

Для , .

Отже, миттєве значення зниження попиту становить 0,625 одиниці.

Графік  побудований  у пакети  MathCAD.

     

5. Розв’язування задач.        

           Викладач. Наприкінці нашого заняття пропоную всім студентам виконати самостійну роботу.

 Орієнтована самостійна робота:

 Дослідити та побудувати графік функції  . За допомогою пакета MathCAD зробити перевірку.

Розв’язання.

1. .

2.   функція непарна.

3. .

4.  - вертикальні асимптоти.

    де    

                          

                          горизонтальна асимптота.

5.

     т.к.

Отже, критичних точок нема.

        >0

 >0

        >0

Функція зростає  при .

 

6.

 коли

 <0,  >0,  <0, >0. 

Графік функції повернутий опуклістю вниз на интервалі

і вгору ;

- точка перегину,  

                

6. Підсумок уроку.

    У картках самоконтролю студенти підраховують набрані бали та виставляють оцінки за шкалою: 8 - та більш – оцінка «5»,

              5 - 7      -  оцінка «4»,

     2 - 4        -  оцінка «3».      

    Студенти аналізують ефективність використаних методів навчання.

     Час, що залишився до кінця заняття можна використати на виявлення труднощів. Які виникли при розв’язуванні задач.

7. Домашнє завдання .        

    Дослідити функцію та побудувати ії графік .

 

ЛІТЕРАТУРА

  1.  Математика: Підручник / О. М. Афанасьєва, Я. С. Бродський, О. Л. Павлов, А. К. Сліпенко.- К.: Вища шк..,2001.- 447 с.: іл.
  2.  Дидактичні матеріали з математики: Навч. посіб. / О. М. Афанасьєва, Я. С. Бродський, О. Л. Павлов, А. К. Сліпенко.- К.: Вища шк..,2001.- 271 с.: іл.
  3.  Алгебра и начала анализа./Под ред. Г.Н.Яковлева. М.,1981.- ч.1, ч.2.
  4.  Богомолов В.Н. Практические занятия по математике.М.,1982.
  5.  Кутепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. М.,1974.
  6.  Сергиенко Л.Ю., Самойленко П. И. Планирование ученого процесса по математике: Учеб.- метод. пособие для преподавателей серед. спец. учеб. заведений.- М.: Высш. Шк..,1987.- 424 с.: ил.

Додаток А

               Талон самоконтролю

Прізвище, ім’я __________________________

Група___________________

1.

Домашнє завдання         2б

2.

Таблиця-тест                   1б

3.

Усна робота              по  1б      

4.

Самостійна робота         3б

5.

Всього

Додаток Б

Завдання-таблиця, у клітках якої потрібно знаком «+» указати відповідність «функція – графік похідної цієї функції».

Графік

Функція

похідна

у' =

 

 

 

 

 

у' =

 

 

 

 

 

у' =

 

 

 

 

 

у' =

 

 

 

 

 

у = 2х – 7

у' =

 

 

 

 

 

у = 2х + х4 

у' =

 

 

 

 

 


Додаток В

Швидкість змінення попиту при зміні ціни


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24126. Диалектика как учение о всеобщей связи и развитии, её основные принципы. Диалектика и метафизика. Диалектика и синергетика 16.66 KB
  Диалектика как учение о всеобщей связи и развитии её основные принципы. Диалектика и метафизика. Диалектика и синергетика. Диалектика как учение о всеобщей связи и развитии Диалектика такое понимание мира и такой способ мышления при кот.
24127. Исторические типы диалектики. Законы и категории диалектики 17.53 KB
  Диалектика это философское учение о наиболее общих закономерных связях и развитиях. Вершина диалектики учение Гегеля который выделил учение о противоречии как источник развития движения силы развития. В живой материи при процессах развития накопление информации количества переходит в совершенствование качество генетического кода универсализацию и повышение жизнеспособности. Существуют процессы как развития так и деградации переходы как качества в количество так и количества в качество.
24129. Личность и индивид. Личность и общество, проблема отчуждения 16.37 KB
  Личность и индивид. Личность и общество проблема отчуждения. От этих двух понятий необходимо отличать понятие личность. Слово личность лат.
24130. Основные понятия философской аксиологии. Этические и эстетические ценности. Ценности современного общества 14.17 KB
  Этические и эстетические ценности. Ценности современного общества. Этические ценности это прежде всего ценности взаимоотношений с другими людьми. ЭСТЕТИЧЕСКИЕ ЦЕННОСТИ это ценности образного постижения мира в процессе любой деятельности человека прежде всего в искусстве на основе законов красоты и совершенства.
24131. Проблема смысла жизни, цели жизни, счастья 15.82 KB
  Проблема смысла жизни цели жизни счастья. Вопрос о смысле жизни это очень человеческий вопрос. С незапамятных времен вопрос о смысле жизни занимал человека. Когда же речь заходит о самом человеке и его жизни то уже ставится вопрос: Зачем Различное отношение людей к вопросу о смысле жизни нашло отражение в таких воззрениях как оптимизм пессимизм и скептицизм.
24132. Проблема смерти и бессмертия. Основные концепции бессмертия 14.36 KB
  Бессмертие идея о том что очевидный закон жизни что всё живое смертно может нарушаться. Понятие бессмертие следует отличать от понятий характеризующих возможность живого организма существовать долго в зависимости от скорости метаболизма в нём или существовать дольше обычных сроков существования для подобных организмов. В понятие бессмертие входят: бессмертие души представление о том что человеческая душа живёт вечно независимо от тела. бессмертие физического тела представление о вечно живущем человеке.
24133. Культура и цивилизация. Причины духовного кризиса современной цивилизации 14.31 KB
  Культура и цивилизация. Культура и цивилизация Цивилизация это преобразованный человеком мир внеположенных ему материальных объектов а культура это внутреннее достояние самого человека оценка его духовного развития его подавленности или свободы его полной зависимости от окружающего соц. Если культура с этой точки зрения формирует совершенную личность то цивилизация формирует идеального законопослушного члена общества довольствующегося предоставленными ему благами. Цивилизация Ц это синоним культуры В социальной философии...
24134. Понятие глобальных проблем: виды и взаимосвязь, пути их решения 18.5 KB
  Глобальные проблемы это совокупность проблем человечества которые встали перед ним во второй половине XX века и от решения которых зависит существование цивилизации и следовательно требующие согласованных международных действий для их решения. Эти проблемы характеризуются динамизмом возникают как объективный фактор развития общества и для своего решения требуют объединённых усилий всего человечества. Глобальные проблемы взаимосвязаны охватывают все стороны жизни людей и касаются всех стран мира. Стало очевидным глобальные проблемы...