54142

Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Узагальнити та систематизувати знання студентів з теми Дослідження функції і побудова її графіка за допомогою похідної. Знайдемо стаціонарні точки функції. За допомогою другої похідної знаходимо напрямки опуклості і точки перегину графіка функції: критична точка другого роду.

Украинкский

2014-03-09

624 KB

7 чел.

План відкритого заняття.

ТЕМА: Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка.

МЕТОДИЧНА МЕТА. Показати використання адаптивної системи навчання

    на занятті узагальнення та систематизації знань.

ДИДАКТИЧНА МЕТА. Узагальнити та систематизувати знання студентів з

   теми «Дослідження функції і побудова її графіка за допомогою похідної».

   Ознайомити студентів з можливостями програми MathCAD у  дослідженні

   функцій. Розвивати світогляд студентів, інтерес до математики; сприяти

    розвиткові логічного мислення; навчати прийомів самоконтролю та

    взаємоконтролю.

ВИХОВНА МЕТА. Виховувати культуру математичної мови, ерудованість

   та наполегливість, взаємодопомогу, відповідальність.

ВИД ЗАНЯТТЯ. Семінар.

ТИП ЗАНЯТТЯ. Узагальнення та систематизації знань.

МІЖПРЕДМЕТНИЙ ЗВ'ЯЗОК:

              ЗАБЕЗПЕЧУЮЧІ: математика, інформатика.

              ЗАБЕЗПЕЧУВАНІ: економіка підприємства, бухгалтерський облік.

ТЕХНІЧНІ ЗАСОБИ НАВЧАННЯ:комп’ютер, програма MathCAD, мм ПРОЕКТОР.

МЕТОДИЧНЕ ЗАБЕСПЕЧЕННЯ: картки самоконтролю, роздатковий

      матеріал, кодопозитиви, проблемні питання, опорні конспекти,

      презентації.

ЗМІСТ І ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційний момент.         

Відзначити відсутніх, перевірити наявність учбових приладів, записати дату проведення і тему заняття. Кожен студент  одержує картку самоконтролю, де відмічає у балах свою роботу на уроці. (Додаток А)

2. Актуалізація опорних знань.        

    2.1. Перевірити домашнє завдання за допомогою кодоскопу  та відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашнього завдання.

№ 1. Дослідити функцію на монотонність, екстремум, опуклість та знайти точки перегину. 

Розв’язання.

Область визначення є множина всіх дійсних чисел.

Знайдемо стаціонарні точки функції: , . Відмітимо критичні точки  першого роду  на числовій прямій і досліджуємо знак похідної в кожному із одержаних проміжків:

                                     

   

                             

Функція зростає при , спадає при ;

- точка максимуму, - точка мінімуму, .

За допомогою другої похідної знаходимо напрямки опуклості і точки перегину графіка функції: , - критична точка другого роду,. Досліджуєм знаки другої похідної:

                                       

 

Графік функції повернутий опуклістю вниз на интервалі; і вгору ;

- точка перегину, . 

2. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку:

                                          

 Розв’язання.

Знайдемо похідну функції і критичні точки першого роду з умови .

                                             

 Знайдемо значення функції на кінцях відрізку та у критичних точках:

                                ;        

таким чином,  та .

Викладач підводить підсумок за виконанням домашнього завдання, студенти виставляють бали у картки самоконтролю.

                  

   2.2. Викладач. А зараз я вам пропоную заповнити таблицю – тест, за допомогою якого ми повторимо обчислення похідної та побудову елементарних графіків.(Перевірка здійснюється за допомогою слайда з усними коментаріями). (Додаток Б)

Завдання-таблиця, у клітках якої потрібно знаком «+» указати відповідність «функція – графік похідної цієї функції».

Графік

Функція

похідна

у' = 2 – 3х2

+

 

 

 

 

 

у' = х2 + 2

 

 

+

 

 

 

у' = х

 

+

 

 

 

 

у' = 2 - х

 

 

 

+

 

 

у = 2х – 7

у' = 2

 

 

 

 

 

+

у = 2х + х4 

у' = 2 + 4х3

 

 

 

 

+

 

2.3. Викладач. На попередньому уроці ми розглянули як за допомогою похідної знаходять проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції, проміжки опуклості функції, точки перегину.

     Студентам пропонують повторити матеріал: демонструється презентація програми «Дослідження функцій та побудова графіків».

Фронтальне опитування: (у картки взаємоконтролю студенти виставляють бали)  

  1.  Сформулюйте умови зростання та спадання функції.
  2.  Сформулюйте необхідну умову існування екстремуму функції.
  3.  Сформулюйте достатні умови існування екстремуму функції.
  4.  Як знайти точку екстремуму функції?
  5.  Сформулюйте  необхідну умову опуклості кривої.
  6.  Сформулюйте достатню умову опуклості кривої.
  7.  Як знайти напрямки опуклості і точки перегину кривої?
  8.  Які види асимптот ви знаєте?
  9.  Як знайти похилу, вертикальну та горизонтальну асимптоти?

 3. Мотивація пізнавальної діяльності.       

    Викладач. Поняття похідної-фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджуються процеси і явища в природних, соціальних і економічних науках.

    Однією із основних задач математики є дослідження функції. Використання похідної значно полегшує задачу дослідження функції, а разом с тим і побудови її графіка.

     При застосуванні MathCAD студенти получають можливість використовувати знання, одержані при вивченні дисципліни «Інформатика».

Можливості MathCAD  дають можливість будувати графіки, обчислювати похідну та ін . Правильність рішення можливо перевірити у MathCAD. Для цього необхідно скористуватися  правилами знаходження экстремума функції, засобами математичного аналізу. Знайти похідну функції і розв’язати одержане рівняння допоможуть панелі “Калькулус” і “Символіка”.

На занятті ми будемо досліджувати функції не тільки за допомогою диференціального числення, але й за допомогою можливостей MathCAD.  

4. Узагальнення та систематизація знань.      

     Колективне розв’язування задач.

4.1.За допомогою програми MathCAD дослідити та побудувати графік функції  .

                  

 

4.2. Викладач. В економіці часто користуються середніми величинами: обчислюють середню собівартість продукції, середню продуктивність  праці. Проте, при вивченні деяких процесів в економці зустрічаємося з такими задачами, де потрібно з’ясувати, на яку величину зростуть витрати виробництва, якщо збільшити  обсяг продукції, і, навпаки, наскільки зменшаться витрати виробництва, якщо скоротити обсяг продукції;  з’ясувати залежність попиту на товар від ціни на нього. Середні величини відповіді на таки питання не дають. Розглянемо це на конкретному прикладі.

Нехай фірма планує збільшити ціну на товар. Необхідно дослідити, як при цьому зміниться попит на цей товар. Під попитом ми розуміємо обсяг суспільної потреби, яка виражається в грошах (іншими словами, попит – це кількість грошей, яки покупці спроможні заплатити за товар при певному рівні ціни на нього). При підвищенні ціни на товар зменшується попит, а при зниженні – збільшується. Отже, попит  на товар є функцією ціни , де - ціна,  - попит. Відомо, що функція попиту для даного ринку має вигляд: . Ставиться задача: з якою швидкістю змінюється попит при зміні ціни за умови, що початкова його ціна становить 2 грн.

Графік функції  має вигляд. (Додаток В)

Оскільки залежність попиту від ціни продукції виражається функцією , то при зміні ціни від  до попит змінюється від значення  до . Треба звернути увагу, що , оскільки попит зменшився.

Отже, .

Швидкість зміни попиту в момент ціни  можна визначити як граничне значення відношення  при , тобто визначити, як швидко зменшиться попит на товар при надзвичайно малому підвищені ціни, тобто миттєву швидкість зміни попиту.

Функція      є похідною функції  .

Для , .

Отже, миттєве значення зниження попиту становить 0,625 одиниці.

Графік  побудований  у пакети  MathCAD.

     

5. Розв’язування задач.        

           Викладач. Наприкінці нашого заняття пропоную всім студентам виконати самостійну роботу.

 Орієнтована самостійна робота:

 Дослідити та побудувати графік функції  . За допомогою пакета MathCAD зробити перевірку.

Розв’язання.

1. .

2.   функція непарна.

3. .

4.  - вертикальні асимптоти.

    де    

                          

                          горизонтальна асимптота.

5.

     т.к.

Отже, критичних точок нема.

        >0

 >0

        >0

Функція зростає  при .

 

6.

 коли

 <0,  >0,  <0, >0. 

Графік функції повернутий опуклістю вниз на интервалі

і вгору ;

- точка перегину,  

                

6. Підсумок уроку.

    У картках самоконтролю студенти підраховують набрані бали та виставляють оцінки за шкалою: 8 - та більш – оцінка «5»,

              5 - 7      -  оцінка «4»,

     2 - 4        -  оцінка «3».      

    Студенти аналізують ефективність використаних методів навчання.

     Час, що залишився до кінця заняття можна використати на виявлення труднощів. Які виникли при розв’язуванні задач.

7. Домашнє завдання .        

    Дослідити функцію та побудувати ії графік .

 

ЛІТЕРАТУРА

  1.  Математика: Підручник / О. М. Афанасьєва, Я. С. Бродський, О. Л. Павлов, А. К. Сліпенко.- К.: Вища шк..,2001.- 447 с.: іл.
  2.  Дидактичні матеріали з математики: Навч. посіб. / О. М. Афанасьєва, Я. С. Бродський, О. Л. Павлов, А. К. Сліпенко.- К.: Вища шк..,2001.- 271 с.: іл.
  3.  Алгебра и начала анализа./Под ред. Г.Н.Яковлева. М.,1981.- ч.1, ч.2.
  4.  Богомолов В.Н. Практические занятия по математике.М.,1982.
  5.  Кутепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. М.,1974.
  6.  Сергиенко Л.Ю., Самойленко П. И. Планирование ученого процесса по математике: Учеб.- метод. пособие для преподавателей серед. спец. учеб. заведений.- М.: Высш. Шк..,1987.- 424 с.: ил.

Додаток А

               Талон самоконтролю

Прізвище, ім’я __________________________

Група___________________

1.

Домашнє завдання         2б

2.

Таблиця-тест                   1б

3.

Усна робота              по  1б      

4.

Самостійна робота         3б

5.

Всього

Додаток Б

Завдання-таблиця, у клітках якої потрібно знаком «+» указати відповідність «функція – графік похідної цієї функції».

Графік

Функція

похідна

у' =

 

 

 

 

 

у' =

 

 

 

 

 

у' =

 

 

 

 

 

у' =

 

 

 

 

 

у = 2х – 7

у' =

 

 

 

 

 

у = 2х + х4 

у' =

 

 

 

 

 


Додаток В

Швидкість змінення попиту при зміні ціни


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81563. Белки мембран - интегральные, поверхностные, «заякоренные». Значение посттрансляционных модификаций в образовании функциональных мембранных белков 104.74 KB
  Мембранные белки контактирующие с гидрофобной частью липидного бислоя должны быть амфифильными. Белки мембран различаются по своему положению в мембране. Они могут глубоко проникать в липидный бислой или даже пронизывать его интегральные белки либо разными способами прикрепляться к мембране поверхностные белки. Поверхностные белки.
81564. Механизмы переноса веществ через мембраны: простая диффузия, первично-активный транспорт (Nа+-К+-АТФаза, Са2+-АТФаза), пассивный симпорт и антипорт, вторично-активный транспорт 106.69 KB
  Перенос некоторых неорганических ионов идёт против градиента концентрации при участии транспортных АТФаз ионных насосов. АТФазы различаются по ионной специфичности количеству переносимых ионов направлению транспорта. В результате функционирования АТФазы переносимые ионы накапливаются с одной стороны мембраны.
81565. Трансмембранная передача сигнала. Участие мембран в активации внутриклеточных регуляторных систем - аденилатциклазной и инозитолфосфатной в передаче гормонального сигнала 109.02 KB
  Важное свойство мембран - способность воспринимать и передавать внутрь клетки сигналы из внешней среды. \"Узнавание\" сигнальных молекул осуществляется с помощью белков-рецепторов, встроенных в клеточную мембрану клеток-мишеней или находящихся в клетке. Клетку-мишень определяют по способности избирательно связывать данную сигнальную молекулу
81566. Коллаген: особенности аминокислотного состава, первичной и пространственной структуры. Роль аскорбиновой кислоты в гидоксилировании пролина и лизина 108.5 KB
  В межклеточном матриксе молекулы коллагена образуют полимеры называемые фибриллами коллагена. Фибриллы коллагена обладают огромной прочностью и практически нерастяжимы. Молекулы коллагена состоят из трёх полипептидных цепей называемых αцепями. Первичная структура αцепей коллагена необычна так как каждая третья аминокислота в полипептидной цепи представлена глицином около 1 4 аминокислотных остатков составляют пролин или 4гидроксипролин около 11 аланин.
81567. Особенности биосинтеза и созревания коллагена. Проявления недостаточности витамина С 106.89 KB
  Синтез и созревание коллагена сложный многоэтапный процесс начинающийся в клетке а завершающийся в межклеточном матриксе. Синтез и созревание коллагена включают в себя целый ряд посттрансляционных изменений: гидроксилирование пролина и лизина с образованием гидроксипролина Hyp и гидроксилизина Hyl; гликозилирование гидроксилизина; частичный протеолиз отщепление сигнального пептида а также N и Сконцевых пропептидов; образование тройной спирали. Синтез полипептидных цепей коллагена.
81568. Особенности строения и функции эластина 103.27 KB
  Эластин содержит довольно много пролина и лизина но лишь немного гидроксипролина; полностью отсутствует гидроксилизин. В образовании этих сшивок участвуют остатки лизина двух трёх или четырёх пептидных цепей. Предполагают что эти гетероциклические соединения формируются следующим образом: вначале 3 остатка лизина окисляются до соответствующих εальдегидов а затем происходит их соединение с четвёртым остатком лизина с образованием замещённого пиридинового кольца. Окисление остатков лизина в εальдегиды осуществляется медьзависимой...
81569. Гликозаминогликаны и протеогликаны. Строение и функции. Роль гиалуроновой кислоты в организации межклеточного матрикса 192.62 KB
  Протеогликаны высокомолекулярные соединения состоящие из белка 510 и гликозаминогликанов 9095. Протеогликаны отличаются от большой группы белков которые называют гликопротеинами. Гликозаминогликаны и протеогликаны являясь обязательными компонентами межклеточного матрикса играют важную роль в межклеточных взаимодействиях формировании и поддержании формы клеток и органов образовании каркаса при формировании тканей.
81570. Адгезивные белки межклеточного матрикса: фибронектин и ламинин, их строение и функции. Роль этих белков в межклеточных взаимодействиях и развитии опухолей 104.14 KB
  К первой группе белков с выраженными адгезивными свойствами относят фибронектин ламинин нидоген фибриллярные коллагены и коллаген IV типа; их относят к белкам зрелой соединительной ткани. Фибронектин. Фибронектин один из ключевых белков межклеточного матрикса неколлагеновый структурный гликопротеин синтезируемый и выделяемый в межклеточное пространство многими клетками.
81571. Структурная организация межклеточного матрикса. Изменения соединительной ткани при старении, коллагенозах. Роль коллагеназы при заживлении ран. Оксипролинурия 112.48 KB
  Роль коллагеназы при заживлении ран. Коллаген IX типа антипараллельно присоединяется к фибриллам коллагена II типа. Его глобулярный НК4домен основный он не связан с фибриллами коллагена II типа и поэтому к нему может присоединяться такой компонент матрикса как гиалуроновая кислота. Микрофибриллы которые образуются тетрамерами коллагена VI типа присоединяются к фибриллам коллагена II типа и к гиалуроновой кислоте.