54144

Степень с отрицательным целым показателем

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Но дай срок обдумать ответ. Повелитель был ответ приказание твое исполняется. Повелитель ответили ему математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет. Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний' час ответил старик.

Русский

2014-03-09

295.5 KB

29 чел.

Степень с отрицательным целым показателем

8 класс

Тип урока. Урок изучения и первичного закрепления новых знаний, который является первым   в системе уроков по теме "Степень с целым показателем".

Цель урока. Ознакомить учащихся с понятием степени с целым показателем и научить применять ее при вычислениях и преобразованиях.

Общеобразовательный аспект

1. Продолжить формирование общеучебных умений и навыков:

умение планировать свою деятельность при решении задач;

умение контролировать свою деятельность при решении задач;

умение рассуждать, обобщать, делать выводы;

умение выполнять задания вычислительного и аналитического характера на всех этапах урока;

умение работать по образцу и в сходной ситуации при первичном закреплении.

2. Продолжить формирование специальных умений и навыков:

умение работать с учебником при объяснении нового материала;

умение проводить решения, пользуясь теоретическими сведениями.

Развивающий аспект

1.  Продолжить развитие умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать изученные факты, выбирать рациональный  способ решения.

  1.   Продолжить развитие логического мышления.
  2.   Развивать познавательный интерес учащихся к предмету.

Воспитательный аспект

Реализовать комплексный подход к воспитанию.

1. Воспитание воли, умение доводить начатое до конца, преодолевать трудности.

  1.  Формировать самооценку знаний, критическое отношение к себе, творческую активность, аккуратность, дисциплину, внимание.
  2.  Расширять представление об окружающем мире.

Оборудование. Мультимедийное, презентация.

Методы обучения: по источнику приобретённых знаний – словесные, практические, наглядные;

по уровню познавательной активности – проблемный, частично-поисковый.

Ход урока

  1.  Ознакомление с темой урока.

После приветствия с учащимися под восточную музыку учитель знакомит учащихся с легендой о шахматах (слайды 3 – 5).

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индийский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что игра изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель — его звали Сета — явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

— Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал,— сказал царь.

Мудрец поклонился.

— Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание,— продолжал царь.— Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

— Не робей,— ободрил его царь.— Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его!

— Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

— Повелитель,— сказал Сета,— прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

— Простое пшеничное зерно? — изумился царь.

— Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать два зерна, за третью — четыре, за четвертую — 8, за пятую— 16, за шестую — 32...

— Довольно! — с раздражением прервал его царь.— Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай! Слуги мои вынесут тебе мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца. ,

 

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

— Повелитель,— был ответ,— приказание твое, исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился — он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь Шерам еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

— Повелитель,— ответили ему,— математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

—  Почему медлят с этим делом?! — гневно воскликнул царь.— Завтра, прежде чем я проснусь, всё до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю!

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

— Прежде чем скажешь о твоем деле,— объявил Шерам.— я желаю услышать, выдана ли наконец Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

— Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний' час,— ответил старик.— Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико...

— Как бы велико оно ни было,— надменно перебил царь,— житницы мои не оскудеют! Награда обещана и должна быть выдана...

— Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыри. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число,—сказал он в раздумье.

— Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

 

Такова легенда. Если желаете представить себе всю огромность этого числового великана, прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения подобного количества зерен. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна была бы занять объем примерно в 12 000 000 000 000 куб. м, или 12 000 куб. км. При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 000 000 км, то есть вдвое дальше, чем от Земли до Солнца!

Вопрос. О каком математическом понятии идёт речь в легенде?

Ответ. О степени.

Вопрос. Именно с этим понятием мы и будем работать сегодня на уроке. Что называют степенью?

Ответ. Произведение n одинаковых множителей, равных a.

Вопрос. Как называют a и n?

Ответ. n –показатель степени, a – основание степени.

Вопрос. Что можно сказать о виде числа n?

Ответ. n – натуральное число.

  1.  Актуализация изучения темы.

Далее учащимся предлагается разминка на повторение свойств степени с натуральным показателем.

1 разминка: 6-7 слайды и 38 - 42 слайды.

6 слайд:

Первый  пример на умножение степеней с одинаковыми основаниями. Если забыл, то подсказка – курсором надо навести на сову. Переход на слайд 38 – правило. Чтобы вернуться, надо курсором навести на совёнка. Если не забыл – то ответ (чтобы появился ответ, надо нажать стрелочку в левом нижнем углу).

Второй  пример на деление степеней с одинаковыми основаниями. Если забыл, то подсказка – курсором надо навести на сову. Переход на слайд 39 – правило. Чтобы вернуться, надо курсором навести на совёнка. Если не забыл – то ответ (чтобы появился ответ, надо нажать стрелочку в левом нижнем углу).

Третий  пример на возведение степени  в степень. Если забыл, то подсказка – курсором надо навести на сову. Переход на слайд 40 – правило. Чтобы вернуться, надо курсором навести на совёнка. Если не забыл – то ответ (чтобы появился ответ, надо нажать стрелочку в левом нижнем углу).

Четвёртый  пример на возведение в степень произведения. Если забыл, то подсказка – курсором надо навести на сову. Переход на слайд 41 – правило. Чтобы вернуться, надо курсором навести на совёнка. Если не забыл – то ответ (чтобы появился ответ, надо нажать стрелочку в левом нижнем углу).

Пятый  пример на возведение в степень частного. Если забыл, то подсказка – курсором надо навести на сову. Переход на слайд 42 – правило. Чтобы вернуться, надо курсором навести на совёнка. Если не забыл – то ответ (чтобы появился ответ, надо нажать стрелочку в левом нижнем углу). Чтобы перейти к следующему слайду, т.е. к 4 слайду, надо нажать стрелочку в левом нижнем углу.

7 слайд «Запомни». Повторение некоторых правил. В правом нижнем углу «ВОЗВРАЩЕНИЕ К СОДЕРЖАНИЮ», т.е. переход ко 1 слайду – темы двух  разминок.

Работа 1 разминки проходит как индивидуально, так и фронтально.

2 разминка: 8 – 9 слайд.

8 слайд «Тест с самопроверкой». Учащиеся устно решают примеры, которые появляются поочередно при нажатии стрелочки в левом нижнем углу  и находят ответы – соответствие букв. Буквы записывают на листочках, чтобы видеть в конце результат. Работа индивидуальная.

9 слайд «Проверка». Учащиеся должны получить фамилию немецкого математика – Штифель. В правом нижнем углу «ВОЗВРАЩЕНИЕ К СОДЕРЖАНИЮ», т.е. переход к 1 слайду – темы двух разминок.

Историческая справка. Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке. Англичанин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесообразности употребления отрицательных показателей. Исаак Ньютон стал применять их систематически. В одном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А2, А3 и т.д., так я ... вместо 1/а, 1/а2, 1/а3 пишу а-1, а-2, а-3и т.д."

3. Мотивация изучения темы.

При решении примеров второй разминки у учащихся возникает проблема: появляется степень с отрицательным целым показателем.

Взгляните на число     .  Как вы думаете, это положительное или отрицательное число?

"Не верь глазам своим" - сказал бы Козьма Прутков тому, кто считает это число отрицательным. И сейчас мы разберемся, что вообще означает такая запись.

  1.  Изучение нового материала. Первичное закрепление. (слайды 12-14)

Упражнение 1. Найдите закономерность и продолжите ряд чисел ...1000, 100, 10,...

(1, 1/10, 1/100, 1/1000...).

Упражнение 2. Представьте каждое из этих чисел в виде степени числа 10:

...1000,100,10,   1,   1/10,   1/100,1/1000...

(... 103, 102, 101, 10°, 1/101, 1/102,   1/103...)

Упражнение 3. Подпишите под этими числами показатели степеней:

3,     2,    1,   0,....

Продолжив этот ряд, мы получим числа -1, -2, -3 и т.д.

Сравним показатели соседних степеней. Показатель каждой степени на 1 меньше следующего. Распространим этот закон на числа справа от 10°. Получим: 1/101 = 10-1, 1/102 = 10-2...

Получается такая строка:

10-3, 10-2, 10-1, 10°, 101, 102, 103...

Вопрос. Можем ли мы взять степень с другим основанием? С любым?

Ответ. Кроме 0.

Вывод. Итак, мы можем это соглашение распространить на любое число а, отличное от нуля. Запишите в тетради формулу:

Работа с учебником

Вы узнали о том, что существуют степени с отрицательным показателем. Откройте учебники на стр. 96-98 и закончите следующие предложения:

  1.  Если                                                 
  2.  Если                                            

Эта работа полезна тем, что учит учащихся выделять основное в тексте.

Следующее упражнение целесообразно для формирования алгоритма вычисления значения выражений, содержащих степень с отрицательным целым показателем.

Упражнение 4. Вычисли значение выражения:

Учащимся предлагается проанализировать последовательность предложенных шагов, установить верную последовательность и обобщить алгоритм вычисления значений такого типа выражений (содержащих степень с отрицательным показателем).

1) Выполнить возведение в степень;

2) Выполнить действия с дробями;

3) Заменить степени с отрицательными показателями на степени с натуральными показателями.

Верная последовательность выполнения шагов:

  1.  Заменить степени с отрицательными показателями на степени с натуральными показателями;
  2.  Выполнить возведение в степень;

3) Выполнить действия с дробями.

Вопрос. Имеет ли смысл выражение 0-5?

Ответ. Нет, т.к. основание степени с отрицательным показателем должно быть отлично от нуля.

Вывод. 0n имеет смысл только при положительных значениях n.

Вопрос. Теперь вы знаете, что число 10-24 является положительным. А можно ли это число записать с положительным показателем?

Ответ. Можно. Оно равно дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе - степень с тем же основанием, но с противоположным показателем. 10-24= 5.

Групповая работа (слайды 19-23)

Каждый ряд получает задание, связанное со здоровьем человека, так как на данный момент актуальной является проблема внедрения здоровосберегающих технологий.

Восточная мудрость гласит: “Если ты думаешь на год вперед – посади семя. Если ты думаешь на десятилетия вперед, - посади дерево. Если ты думаешь на век вперед, воспитай человека”.

Человек – совершенство природы. Но для того, чтобы он мог пользоваться благами жизни, наслаждаться её красотой, очень важно иметь здоровье.

1 ряд     «ВИТАМИНЫ»: упростите выражения и узнайте, какие витамины наиболее необходимы в ежедневном рационе человека.

2 ряд    «МИНЕРАЛЫ»: выполните действия и узнайте, какие минеральные вещества и микроэлементы необходимы нашему организму для полноценного развития. 

3 ряд   «ПРОДУКТЫ»: представьте выражение в виде степени и узнайте, в каких продуктах содержится наибольшее количество витаминов.

Информация о витаминах

Витамин А: необходим для нормального роста и развития состояния кожи и иммунитета; дефицит этого витамина приводит к куриной  слепоте, риску появления злокачественных опухолей.

Витамин С: отвечает за иммунитет, целостность стенок сосудов.

Витамин Д: дефицит витамина ведёт к снижению крепости костной ткани.

Витамин Е: необходим для нормального полового развития девочек и мальчиков.

Витамин В6: поддерживает нормальное состояние слизистых и кожи.

Информация о микроэлементах и минеральных веществах

НАТРИЙ: содержание натрия в организме означает количество воды.

КАЛИЙ: способствует выведению воды из организма.

КАЛЬЦИЙ: необходим для построения и формирования костей и зубов.

ЖЕЛЕЗО: необходимо для образования гемоглобина – переносчика кислорода ко всем органам человеческого тела.

ФТОР: необходим для образования эмали зубов.

5. Подведение итогов.

Физкультминутка (слайды 28-31)

Учащимся даётся установка: «Расслабьтесь. Выпрямите спины и внимательно следите за движением шарика на экране, повторяя его движение не только глазами, но и головой.» Это упражнение позволит снять напряжение спины и зрения.

Теперь можно переключиться на математический лад. Подведение итогов начнём с теста с взаимопроверкой.

Тест с взаимопроверкой (слайды 24 -25)

Перед началом диагностики результатов первичного закрепления темы урока, учащимся предлагается «поссорится», то есть отвернуться от своего соседа. Им необходимо выполнить тест с множественным выбором ответа. Следует заметить, что верный ответ только один. Учащимся требуется записать лишь букву, соответствующую, по их мнению, правильному ответу. После окончания диагностической работы учащиеся обмениваются работами и проверяют друг у друга ответы. Результаты теста не оцениваются, так как его главная функция – диагностическая. В качестве оценки  - пожелания.

Ответы:

1

2

3

4

5

6

7

8

В

Г

Б

Б

Г

Г

Б

А

(Слайды 32 – 34) Известный математик К. Вейерштрасс сказал: «Нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе».

Если минус нам не нравится,

С этим горем можно справиться:

Знак меняем в показателе,

Степень пишем в знаменателе,

Сверху ставим единичку.

Получается? Отлично!

Коль числитель единица,

Степень в знаменателе,

Пишем мы ее как степень

С целым показателем:

Дробную черту стираем,

Единицу убираем

И еще, конечно, минус

В показатель добавляем

Интегрированное домашнее задание

  •  Обязательный уровень: прочитать п. 10 стр.96-98, устно ответить на вопросы 1 – 6 стр.98; решить №№ 460(в), 461, 466;
  •  Повышенный уровень: решить №№ 480(г), 481(в,г), 488;
  •  Творческий уровень: составьте математическую шифровку, используя степень с целым отрицательным показателем.

Диагностика эмоционального фона

Учащимся предлагается проанализировать своё настроение и эмоциональное состояние после проведенного урока, результат данного анализа представляется в виде смайлика на полях тетради.

Интерактивное упражнение «Незаконченное предложение»

Учитель формулирует незаконченное предложение, а учащимся предлагается продолжить по итогам своей деятельности во время урока:

«Сегодня на уроке я узнал …»

« Наиболее трудным для меня было…»

«Больше всего мне понравилось…»

«Завтра я буду более успешным, потому что…»

Ответы учащихся позволят учителю иметь представление о характере трудностей, которые испытывают учащиеся во время изучения рассматриваемой темы, а также будут формировать состояние успеха у учащегося.

Хронометраж урока

Ознакомление с темой урока. Легенда о шахматах.    4 минуты

Актуализация опорных знаний – 4 минуты

Мотивация введения понятия. Изучение нового понятия с первичным закреплением. - 17 минут

Групповая работа с дальнейшим представлением её результатов. – 10 минут

Подведение итогов (физкультминутка, тест  с взаимопроверкой, анализ рефлексии, анализ домашнего задания) – 10 минут.

Резерв – (слайды 43-45) историческая справка

Предложенный выбор длительности каждой составляющей плана урока связан со следующими особенностями усвоения информации учащимися в разные интервалы урока.

Интервал урока

Усвоение информации

1 – 4 мин

60%

5 – 24 мин

80%

25 – 34 мин

50%

35 – 45 мин

6%


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2406. Теорія та практика страхування 477 KB
  Поняття страхової послуги, її необхідність і сутність. Економічна необхідність і значення медичного страхування. Роль реклами в реалізації страхових послуг. Страхування врожаю сільськогосподарських культур та багаторічних насаджень. Страхові посередники та їх роль в реалізації страхових послуг.
2407. Составление программ, использующих процедуры и функции пользователя 323.99 KB
  Написать программу решения следующей задачи: Даны четыре пары чисел: A, a, B, b, C, c, D, d, - которые являются соответственно наружными и внутренними радиусами колец. Найти общую площадь этих колец.
2408. Исследование нелинейной автономной двухкомпонентной системы с дискретным временем 1.18 MB
  Из проведенного анализа двухкомпонентной нелинейной автономной системы видно, что процессы, наблюдаемые в таких системах могут быть весьма разнообразными. Так в системе возможны периодические и хаотические колебания.
2409. Экономика как наука изучающая отношения в сфере производства 512.57 KB
  Экономика – совокупность отношений между людьми в сфере производства, распределения, обмена и потребления продуктов труда, соответствующая данной степени развития общества. Воспроизводство – неповторимо повторяющиеся процессы производства, а также распределения, обмена и потребления.
2410. Основы физики. Теория и практика 307.77 KB
  Закон сохранения заряда. Закон Кулона. Диэлектрическая проницаемость вещества. Применение теоремы Гаусса к расчёту некоторых электрических полей в вакууме. Проводники в электрическом поле. Распределение зарядов в проводнике. Закон Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах. Магнитный момент кругового тока. Закон Ампера.
2411. Особенности системы автоматизированного проектирования 101.5 KB
  Неавтоматизированное проектирование - проектирование осуществляется человеком; автоматизированное проектирование, при котором отдельные этапы или задачи осуществляются взаимодействием человека и ЭВМ, автоматическое проектирование, при котором все этапы и задачи осуществляются ЭВМ без участия человека.
2412. Иновационные информационные технологии 96.36 KB
  Факторы, оказывающие сдерживающее влияние на процесс становления рынка программных продуктов. Технология ASP. Объекты ADO. Пакетная модификация. Перемещение между записями в результирующем множестве ADO. Специальные значения свойства ADO Recordset.
2413. Выбор методом анализа иерархий с помощью MathCAD по 4 видам и 4 признаком. Методы очистки сточных вод 3.72 MB
  Элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их воздействию (весу, или интенсивности) на общую для них характеристику. Сравнивая набор составляющих проблемы друг с другом, получается квадратная матрица вида.
2414. Сучасні системи математичної обробки інформації. Система Mathcad. Програмування в середовищі Mathcad 327.72 KB
  Задачі обробки одновимірних та двовимірних масивів. Приклад розв'язування транспортної задачі в середовищі Mathcad. Локальний екстремум. Організація обчислень з розгалуженнями. Локальний оператор присвоєння. Принцип програмування в Mathcad. Панель програмування.