54172

Применение свойств действий при вычислениях и решении уравнений в 5-м и 6-м классах

Научная статья

Педагогика и дидактика

На усвоение этих свойств достаточно на такой ранней стадии устные упражнения с дальнейшим переходом к письменным упражнениям, развивая у учеников умение и навыки работы с числовыми выражениями, решении уравнений без использования правил нахождения неизвестного компонента действия: развивая у учеников творческий подход к решению математических задач.

Русский

2014-03-10

151.5 KB

7 чел.

Применение свойств действий при вычислениях и решении уравнений в 5м и 6м классах

При изучении темы «Натуральные числа и действия с ними» в 5м классе важно добиться от учеников усвоения свойств действий, таких как: 1) основное свойство действия; 2) изменение результата действия в зависимости от изменения компонента действия; 3) свойство нуля и единицы при сложении, вычитании и умножении, делении соответственно. В начальной школе уже в 3м и 4м классах на уроках математики этим вопросам должно уделяться большое внимание, готовя учеников к школе 2й ступени. На усвоение этих свойств достаточно на такой ранней стадии устные упражнения с дальнейшим переходом к письменным упражнениям, развивая у учеников умение и навыки работы с числовыми выражениями, решении уравнений без использования правил нахождения неизвестного компонента действия: развивая у учеников творческий подход к решению математических задач.

При изучении математики в 5й классе по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» выполняя устные упражнения на сложение и вычитание методом округления одного из компонентов в действия можно добиться усвоения учениками основного свойства этих действий.

Например:

  1.  37+49=36+50=40-46=86;
  2.  74+48=72+50=80+42=122;
  3.  73-38=75-40=35;
  4.  112-87=115=90=25;

Ученик должен эти свойства действий 1й ступени усвоить и применять их не только при выполнении устных упражнений, но и выполняя письменные работы. Т.е. основное свойство (мы его можем называть по аналогии с основным свойством деления) сложения другим так; если одно слагаемое увеличить (уменьшить) на несколько единиц, а другое соответственно уменьшить (увеличить) настолько же единиц, то сумма не изменится.

Основное свойство вычитания: если одновременно уменьшаемое и вычитаемое увеличить (уменьшить) на некоторое число, то разность не изменится. Если эти свойства ученик усвоил, то он их может самостоятельно применять не только при вычитаниях, но и при решении уравнений, упрощении буквенных выражений, а не прибегать к известным правилам нахождения неизвестного компонента действия, не забывая свойства нуля a+0=a и a-0=a. Важно при изучении темы «Сложение и вычитание» добиться от учеников усвоения не только этих основных свойств действий, но и добиться усвоения и других свойств, таких как изменение результата действия в зависимости от изменения одного из компонентов действия или изменении одновременно обоих компонентов, что не мало важно знать и при решении задач. Упражнения такого вида в учебнике 5го класса есть. Выполняя их не только устно, (как правило, многие учителя так и делают) нужно и письменно поработать с ними, приучая учеников работать с буквенными выражениями, закрепляя навыки вычитания суммы, разности.

Примеры:

  1.  Как изменится сумма чисел, если одно слагаемое увеличить на 75, а другое уменьшить на 38.

Пусть a+b=c, тогда (a+75)+(b+38)=(a+b)+(75-38)=c+37.

Вывод: сумма увеличится на 37.

  1.  Как изменится разность чисел, если уменьшаемое увеличить на 17, а разность уменьшить на 20.

Пусть a-b=c, тогда (a+17)-(b-20)=a+17-b+20=(a-b)+(17+20)=c+37.

Вывод: разность увеличится на 37.

После того как ученик усвоил эти свойства действий можно их применять успешно при решении более сложных уравнений.

Примеры:

  1.  (m-124)+316=900;

(m-124+124)+(316-124)=900;

m+192=900

Применив основное свойство сложения, получили упрощение или (m-124+124)+316=900+124; m+316=1024.

Продолжаем дальше

m+(192-192)=900-192 или m+(316-316)=1024-316;

Вот и правило, откуда правило нахождения неизвестного слагаемого.

Получаем в итоге m+0=708, m=708

  1.  (134+x)-583=426;

(134+x-134)-583=426-134;

Изменение уменьшаемого на 134, влечёт уменьшение разности на 134.

В итоге получаем упрощение х-583=292;

                                                х-(583-583)=292+583

Уменьшение вычитаемого на 583 влечёт увеличение разности на 583.

В итоге х-0=875;

            х=873.

Выполняя решение уравнений с применением свойств действия, ученик учится применять скобки, видоизменять выражение и не прибегать к традиционным правилам, нам найти неизменный компонент действия. Если ученик усвоил эти свойства действий 1й ступени на натуральных числах, то он будет успешно их применять и при изучении темы «Дробные числа и действия с ними», «Рациональные числа» в 6 классе.

Примеры

Решить уравнение:

  1.  (1,34+х)-58,3=4,26;

(х+1,34-1,34)-58,3=4,26-1,34;

Уменьшение уменьшаемого на 1,34 влечёт уменьшение разности на 1,34. Получаем упрощение левой части уравнения х-58,3=2,92;

Уменьшаем вычитаемое до нуля, это изменение влечёт увеличение разности на 58,3, получаем х-0=2,92+58,3, т.е. получаем, как и по правилу нахождения неизвестного уменьшаемого х=61,22.

  1.  40,3-(63,4-а)=36,62;

40,3-(63,4-а-23,1)=36,62+23,1;

Уменьшение вычитаемого на 23,1 влечёт увеличение разности на 23,1.

Получаем 40,3-(40,1-а)=59,72; (40,3-40,1)+а=59,72.

Уменьшая вычитаемое на а, получаем увеличение разности на а в итоге упрощение

0,2+а=59,72

а+(0,2-0,2)=59,72-0,2;

В итоге а+0=59,52;

             а=59,52

  1.  4,75-(х-0,67)=3,025;

4,75-(х-0,67+0,67)=3,025-0,67;

Увеличение вычитаемого на 0,67 влечёт уменьшение разности на 0,67, получаем упрощение левой части уравнения.

4,75-(х+0)=2,355;

4,75-х=2,355;

4,75-(х+2,355)=2,355-2,355;

Увеличение вычитаемого влечёт уменьшение разности в итоге 4,75-(х+2,355)=0.

Значит х+2,355=4,75;

х+(2,355-2,355)=4,75-2,355;

х+0=2,395;

х=2,395

  1.  х+7=4;

х+(7-7)=4-7;

Уменьшение слагаемого на 7 влечёт уменьшение суммы на 7.

Имеем х+0=4-7;

(4+3)-7-3;

Увеличение уменьшаемого на 3 влечёт уменьшение разности на 3.

х-7-7-3;

х=-3

  1.  -4,5-х=9;

(-4,5+4,5)-х=9+4,5

Увеличение уменьшаемого на 4,5 влечёт увеличение разности на 4,5.

Получаем 0-х=13,5

-х=13,5;

х=-13,5

  1.  -1,2+х=0,6;

(-1,2+1,2)+х=0,6+1,2;

0+х=1,8;

х=1,8

  1.    

Увеличение уменьшаемого и вычитаемого на не изменяет разности, имеем

Получаем упрощение

Уменьшение вычитаемого на  влечёт увеличение разности на .

В итоге

В такой же последовательности нужно добиться от учеников усвоение свойств действий умножения и деления при изучении темы «Умножение и деление натуральных чисел».

Основное свойство умножения: если   один множитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, а другой уменьшить (увеличить) во столько же раз, то произведение не изменится. Это свойство удобно применять не только при устных вычислениях, но и при выполнении письменных работ, сводя к примеру умножения двузначных чисел к умножению на однозначное число.

  1.  738*14=(738*2)* =1476*7=10332;
  2.  16*25=*(25*4)=4*100=400;
  3.  125*32=(125*8)*=1000*4=4000.

Изменение результата действия умножения от изменения компонента действию ученик также должен усвоить. А при выполнении устных и письменных работ. Основное свойство частного:

если делимое и делитель одновременно увеличить (уменьшить) в несколько раз, то частное не изменится. Ученик его обязан знать ещё с начальной школы, а изменение частного, в зависимости от изменения компонентов действия в результате выполнения устных и письменных работ.

Примеры

  1.  Как изменится результат деления, если делимое увеличить в 10 раз, а делитель уменьшить в 5 раз.

Решение:

Пусть a:b=c, тогда (a*10):(b:5)=10a: = =(a:b)*(10*5)=c*50

Вывод: частное увеличится в 50 раз.

  1.  Как изменится частное, если делимое уменьшить в 6 раз, а делитель увеличить в 2 раза.

Решение:

Пусть a:b=c, тогда (a:b):(b*2)=:(b*2)===c:12

Вывод: частное уменьшится в 12 раз.

После того, как ученик усвоил эти свойства действий 2й ступени, их можно использовать при решении уравнений, не забывая свойства единицы а:1=а и а*1=а и а:а=1.

Примеры

  1.  х:15=225

х:(15:15)=225-15

Уменьшение делителя в 15 раз влечёт изменения, увеличение частного в 15 раз. Получаем

х:1=225*15

х=(225*5)*

х=1125*3;

х=3375

  1.  104у-12=1132;

104у-(12-12)=1132+12;

Изменение вычитаемого, уменьшаем на 12, влечёт увеличение разности на 12. Получаем упрощение:

104у-0=1144;

(104:104)у=1144:104

Уменьшение множителя в 104 раза влечёт уменьшение произведения в 104 раза.

1*у=

у=10+1;

у=11

  1.  29*(145-6z)=203;

(29:29)*(145-6z)=

1*(145-6z)=10-3;

Получаем упрощение

145-6z=7;

145-(6z+7)=7-7;

Увеличив вычитаемое на 7, получим уменьшение разности на 7. Получаем прощение 145-(6z+7)=0;

Значит 6z+7=145

            6z+(7-7)=145-7;

Уменьшение слагаемого на 7 влечёт уменьшение суммы на 7. Имеем

6z+0=138;

(6:6)z=138:6;

Уменьшение множителя в 6 раз влечёт уменьшение произведения в 6 раз.

1*z=

z=20+3;

z=23

Усвоив эти свойства действий 2й ступени на натуральных числах, ученик в дальнейшем будет использовать их и при изучении тем «Десятичные дроби», в 5м классе, «Обыкновенные дроби», «Рациональные числа» в 6м классе.

Примеры

  1.  0,38*301=====927,08
  2.  113,4:18=====6,3
  3.  29,76:48===(372:6):100==(60+2):100=0,62

Решить уравнение:

  1.  28,8:х-3,9=20,1;

   28,8:х-(3,9-3,9)=20,1+3,9;

Уменьшение вычитаемого на 3,9 влечёт увеличение разности на 3,9.

Получаем упрощение

28,8:х=24;

=24:24;

=1

Уменьшая делимое в 24 раза, получаем уменьшение частного в 24 раза.

В итоге имеем: (1+0,2):х=1;

Отсюда х=1,2;

  1.  =;

Увеличивая один из множителей в 7 раз, увеличиваем тем самым произведение в 7 раз.

В итоге получаем:

1*х=

х=4,5

  1.  

Увеличив делитель в 11 раз, получает уменьшение частного в 11 раз. Имеет:

х:6=

х:(6:6)=*6;

Уменьшив делитель в 6 раз, получаем увеличение частного в 6 раз. В итоге имеем х:1=

х=

  1.  

Уменьшим делимое в раз, это повлечёт уменьшение частного в  раза. Имеем

Отсюда

Уменьшение вычитаемого на  влечёт увеличение разности на . В итоге имеем

  1.  -0,8х=-5,6;

-0,8*(-5)х=-5,6*(-5)

4х=28;

х*(4:4)=-28:4;

х*1=7

х=7

Использование свойств действий дает большое преимущество ученикам и многим из них это нравится делать. Это замечено мною давно из моей практики, т.к. это я пытаюсь привить каждому ученику на протяжении последних 12 лет, моей педагогической деятельности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30129. Исследование методов позиционирования, а так же разработка устройства для дистанционного мониторинга технических объектов, транспортных средств и человека 873.95 KB
  Одним из основных компонентов системы позиционирования является устройство под названием GPSтрекер.4 Применение систем навигации Кроме навигации координаты получаемые благодаря спутниковым системам используются в следующих отраслях: Геодезия: с помощью систем навигации определяются точные координаты точек Картография: системы навигации используется в гражданской и военной картографии Навигация: с применением систем навигации осуществляется как морская так и дорожная навигация Спутниковый мониторинг транспорта: с помощью систем...
30130. Створення газети на тему «Молодь обирає спорт» у програмі Page Maker 639.28 KB
  Програма PageMaker є складовою частиною лінійки програмних продуктів фірми Adobe, до складу якої крім того входять Adobe Table, Adobe FrameMaker, Adobe PageMill, Adobe Photoshop, Adobe Illustrator, Adobe Streamline, Adobe Premier. Практично кожна з цих програм є світовим лідером в своїй області
30131. Создание управляющих программ с использованием сплайновой интерполяции типов AKIMA(ASPLINE), NURBS(BSPLINE) и кубического сплайна(CSPLINE). Воспроизведение сплайновой интерполяции в системе ЧПУ WinPCNC 184.33 KB
  Воспроизведение сплайновой интерполяции в системе ЧПУ WinPCNC Выполнил: студент гр. Ход Работы В процессе обучения будет рассмотрено использование сплайновой интерполяции на двух примерах. Будем использовать три основных типа сплайна: SPLINE kim сплайн BSPLINE NURBS сплайн CSPLINE кубический сплайн.
30132. Генерация и редактирование сплайн контуров. Создание и отработка управляющих программ 236.41 KB
  Полученную кривую можно сохранить в файле в формате txt, где будут записаны последовательности координат X и Y. Таким образом, с помощью программы можно не только просмотреть, как будет строиться та или иная кривая, но и использовать полученные оцифрованные точки в дальнейшем.
30133. Основы программирования в оболочке ОС UNIX 25.44 KB
  Пользователь имеет возможность присвоить переменной значение некоторой строки символов. Например команда mrk= usr ndy bin присваивает значение строки символов usr ndy bin переменной mrk типа строка символов . Для этого в соот ветствующем месте командной строки должно быть употреблено имя этой переменной которому предшествует метасимвол . Использование значения присвоенного некоторой переменной называется подстановкой.
30134. БАЗЫ ДАННЫХ 34.53 KB
  В начале работы следуют выбрать интересующего работника. После этого будут выведены данные о заданиях выбранного работника в соответствующую таблицу. При выборе конкретного задания выводятся данные о работниках.
30135. ИЗУЧЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РАСПРЕДЕЛЕННО ВЫПОЛНЯЮЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ 65.72 KB
  Осуществить построение топологии сети требуемого вида (рис. 3.1); выполнить широковещательную рассылку вводимого с клавиатуры сообщения от узла S на все остальные узлы. На узле, инициирующем рассылку, выводить (в виде матрицы) топологию сети и остовное дерево, на остальных хостах сети после получения сообщения выводить номер хоста и сам текст сообщения.
30136. Средства создания и сопровождения сайта 139.29 KB
  Подпись Дата Лист 2 КОГУ Проверил Бегун Э.контур утвердить Лит Листов КОГУ Лабораторная работа 9. Подпись Дата Лист 2 КОГУ Проверил Бегун Э.контур утвердить Лит Листов КОГУ создал hobby.
30137. Теория сплайнов. Параметры, влияющие на точность аппроксимации контура 3.81 MB
  SPLINE SPLINE kim spline проходит точно через заданные точки. Минимально допустимое количество точек определяется особенностями системы ЧПУ; например система ЧПУ Sinumerik позволяет построить кривые только через 6 смежных точек в то время как система ЧПУ WinPCNC через 4 точки в предельном случае можно использовать две точки но в этом случае кривая трактуется как отрезок прямой. Главная область применения этого типа сплайна прохождение через точки полученные от контрольноизмерительной машины КИМ или от аналогичных машин. В...