54172

Применение свойств действий при вычислениях и решении уравнений в 5-м и 6-м классах

Научная статья

Педагогика и дидактика

На усвоение этих свойств достаточно на такой ранней стадии устные упражнения с дальнейшим переходом к письменным упражнениям, развивая у учеников умение и навыки работы с числовыми выражениями, решении уравнений без использования правил нахождения неизвестного компонента действия: развивая у учеников творческий подход к решению математических задач.

Русский

2014-03-10

151.5 KB

7 чел.

Применение свойств действий при вычислениях и решении уравнений в 5м и 6м классах

При изучении темы «Натуральные числа и действия с ними» в 5м классе важно добиться от учеников усвоения свойств действий, таких как: 1) основное свойство действия; 2) изменение результата действия в зависимости от изменения компонента действия; 3) свойство нуля и единицы при сложении, вычитании и умножении, делении соответственно. В начальной школе уже в 3м и 4м классах на уроках математики этим вопросам должно уделяться большое внимание, готовя учеников к школе 2й ступени. На усвоение этих свойств достаточно на такой ранней стадии устные упражнения с дальнейшим переходом к письменным упражнениям, развивая у учеников умение и навыки работы с числовыми выражениями, решении уравнений без использования правил нахождения неизвестного компонента действия: развивая у учеников творческий подход к решению математических задач.

При изучении математики в 5й классе по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» выполняя устные упражнения на сложение и вычитание методом округления одного из компонентов в действия можно добиться усвоения учениками основного свойства этих действий.

Например:

  1.  37+49=36+50=40-46=86;
  2.  74+48=72+50=80+42=122;
  3.  73-38=75-40=35;
  4.  112-87=115=90=25;

Ученик должен эти свойства действий 1й ступени усвоить и применять их не только при выполнении устных упражнений, но и выполняя письменные работы. Т.е. основное свойство (мы его можем называть по аналогии с основным свойством деления) сложения другим так; если одно слагаемое увеличить (уменьшить) на несколько единиц, а другое соответственно уменьшить (увеличить) настолько же единиц, то сумма не изменится.

Основное свойство вычитания: если одновременно уменьшаемое и вычитаемое увеличить (уменьшить) на некоторое число, то разность не изменится. Если эти свойства ученик усвоил, то он их может самостоятельно применять не только при вычитаниях, но и при решении уравнений, упрощении буквенных выражений, а не прибегать к известным правилам нахождения неизвестного компонента действия, не забывая свойства нуля a+0=a и a-0=a. Важно при изучении темы «Сложение и вычитание» добиться от учеников усвоения не только этих основных свойств действий, но и добиться усвоения и других свойств, таких как изменение результата действия в зависимости от изменения одного из компонентов действия или изменении одновременно обоих компонентов, что не мало важно знать и при решении задач. Упражнения такого вида в учебнике 5го класса есть. Выполняя их не только устно, (как правило, многие учителя так и делают) нужно и письменно поработать с ними, приучая учеников работать с буквенными выражениями, закрепляя навыки вычитания суммы, разности.

Примеры:

  1.  Как изменится сумма чисел, если одно слагаемое увеличить на 75, а другое уменьшить на 38.

Пусть a+b=c, тогда (a+75)+(b+38)=(a+b)+(75-38)=c+37.

Вывод: сумма увеличится на 37.

  1.  Как изменится разность чисел, если уменьшаемое увеличить на 17, а разность уменьшить на 20.

Пусть a-b=c, тогда (a+17)-(b-20)=a+17-b+20=(a-b)+(17+20)=c+37.

Вывод: разность увеличится на 37.

После того как ученик усвоил эти свойства действий можно их применять успешно при решении более сложных уравнений.

Примеры:

  1.  (m-124)+316=900;

(m-124+124)+(316-124)=900;

m+192=900

Применив основное свойство сложения, получили упрощение или (m-124+124)+316=900+124; m+316=1024.

Продолжаем дальше

m+(192-192)=900-192 или m+(316-316)=1024-316;

Вот и правило, откуда правило нахождения неизвестного слагаемого.

Получаем в итоге m+0=708, m=708

  1.  (134+x)-583=426;

(134+x-134)-583=426-134;

Изменение уменьшаемого на 134, влечёт уменьшение разности на 134.

В итоге получаем упрощение х-583=292;

                                                х-(583-583)=292+583

Уменьшение вычитаемого на 583 влечёт увеличение разности на 583.

В итоге х-0=875;

            х=873.

Выполняя решение уравнений с применением свойств действия, ученик учится применять скобки, видоизменять выражение и не прибегать к традиционным правилам, нам найти неизменный компонент действия. Если ученик усвоил эти свойства действий 1й ступени на натуральных числах, то он будет успешно их применять и при изучении темы «Дробные числа и действия с ними», «Рациональные числа» в 6 классе.

Примеры

Решить уравнение:

  1.  (1,34+х)-58,3=4,26;

(х+1,34-1,34)-58,3=4,26-1,34;

Уменьшение уменьшаемого на 1,34 влечёт уменьшение разности на 1,34. Получаем упрощение левой части уравнения х-58,3=2,92;

Уменьшаем вычитаемое до нуля, это изменение влечёт увеличение разности на 58,3, получаем х-0=2,92+58,3, т.е. получаем, как и по правилу нахождения неизвестного уменьшаемого х=61,22.

  1.  40,3-(63,4-а)=36,62;

40,3-(63,4-а-23,1)=36,62+23,1;

Уменьшение вычитаемого на 23,1 влечёт увеличение разности на 23,1.

Получаем 40,3-(40,1-а)=59,72; (40,3-40,1)+а=59,72.

Уменьшая вычитаемое на а, получаем увеличение разности на а в итоге упрощение

0,2+а=59,72

а+(0,2-0,2)=59,72-0,2;

В итоге а+0=59,52;

             а=59,52

  1.  4,75-(х-0,67)=3,025;

4,75-(х-0,67+0,67)=3,025-0,67;

Увеличение вычитаемого на 0,67 влечёт уменьшение разности на 0,67, получаем упрощение левой части уравнения.

4,75-(х+0)=2,355;

4,75-х=2,355;

4,75-(х+2,355)=2,355-2,355;

Увеличение вычитаемого влечёт уменьшение разности в итоге 4,75-(х+2,355)=0.

Значит х+2,355=4,75;

х+(2,355-2,355)=4,75-2,355;

х+0=2,395;

х=2,395

  1.  х+7=4;

х+(7-7)=4-7;

Уменьшение слагаемого на 7 влечёт уменьшение суммы на 7.

Имеем х+0=4-7;

(4+3)-7-3;

Увеличение уменьшаемого на 3 влечёт уменьшение разности на 3.

х-7-7-3;

х=-3

  1.  -4,5-х=9;

(-4,5+4,5)-х=9+4,5

Увеличение уменьшаемого на 4,5 влечёт увеличение разности на 4,5.

Получаем 0-х=13,5

-х=13,5;

х=-13,5

  1.  -1,2+х=0,6;

(-1,2+1,2)+х=0,6+1,2;

0+х=1,8;

х=1,8

  1.    

Увеличение уменьшаемого и вычитаемого на не изменяет разности, имеем

Получаем упрощение

Уменьшение вычитаемого на  влечёт увеличение разности на .

В итоге

В такой же последовательности нужно добиться от учеников усвоение свойств действий умножения и деления при изучении темы «Умножение и деление натуральных чисел».

Основное свойство умножения: если   один множитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, а другой уменьшить (увеличить) во столько же раз, то произведение не изменится. Это свойство удобно применять не только при устных вычислениях, но и при выполнении письменных работ, сводя к примеру умножения двузначных чисел к умножению на однозначное число.

  1.  738*14=(738*2)* =1476*7=10332;
  2.  16*25=*(25*4)=4*100=400;
  3.  125*32=(125*8)*=1000*4=4000.

Изменение результата действия умножения от изменения компонента действию ученик также должен усвоить. А при выполнении устных и письменных работ. Основное свойство частного:

если делимое и делитель одновременно увеличить (уменьшить) в несколько раз, то частное не изменится. Ученик его обязан знать ещё с начальной школы, а изменение частного, в зависимости от изменения компонентов действия в результате выполнения устных и письменных работ.

Примеры

  1.  Как изменится результат деления, если делимое увеличить в 10 раз, а делитель уменьшить в 5 раз.

Решение:

Пусть a:b=c, тогда (a*10):(b:5)=10a: = =(a:b)*(10*5)=c*50

Вывод: частное увеличится в 50 раз.

  1.  Как изменится частное, если делимое уменьшить в 6 раз, а делитель увеличить в 2 раза.

Решение:

Пусть a:b=c, тогда (a:b):(b*2)=:(b*2)===c:12

Вывод: частное уменьшится в 12 раз.

После того, как ученик усвоил эти свойства действий 2й ступени, их можно использовать при решении уравнений, не забывая свойства единицы а:1=а и а*1=а и а:а=1.

Примеры

  1.  х:15=225

х:(15:15)=225-15

Уменьшение делителя в 15 раз влечёт изменения, увеличение частного в 15 раз. Получаем

х:1=225*15

х=(225*5)*

х=1125*3;

х=3375

  1.  104у-12=1132;

104у-(12-12)=1132+12;

Изменение вычитаемого, уменьшаем на 12, влечёт увеличение разности на 12. Получаем упрощение:

104у-0=1144;

(104:104)у=1144:104

Уменьшение множителя в 104 раза влечёт уменьшение произведения в 104 раза.

1*у=

у=10+1;

у=11

  1.  29*(145-6z)=203;

(29:29)*(145-6z)=

1*(145-6z)=10-3;

Получаем упрощение

145-6z=7;

145-(6z+7)=7-7;

Увеличив вычитаемое на 7, получим уменьшение разности на 7. Получаем прощение 145-(6z+7)=0;

Значит 6z+7=145

            6z+(7-7)=145-7;

Уменьшение слагаемого на 7 влечёт уменьшение суммы на 7. Имеем

6z+0=138;

(6:6)z=138:6;

Уменьшение множителя в 6 раз влечёт уменьшение произведения в 6 раз.

1*z=

z=20+3;

z=23

Усвоив эти свойства действий 2й ступени на натуральных числах, ученик в дальнейшем будет использовать их и при изучении тем «Десятичные дроби», в 5м классе, «Обыкновенные дроби», «Рациональные числа» в 6м классе.

Примеры

  1.  0,38*301=====927,08
  2.  113,4:18=====6,3
  3.  29,76:48===(372:6):100==(60+2):100=0,62

Решить уравнение:

  1.  28,8:х-3,9=20,1;

   28,8:х-(3,9-3,9)=20,1+3,9;

Уменьшение вычитаемого на 3,9 влечёт увеличение разности на 3,9.

Получаем упрощение

28,8:х=24;

=24:24;

=1

Уменьшая делимое в 24 раза, получаем уменьшение частного в 24 раза.

В итоге имеем: (1+0,2):х=1;

Отсюда х=1,2;

  1.  =;

Увеличивая один из множителей в 7 раз, увеличиваем тем самым произведение в 7 раз.

В итоге получаем:

1*х=

х=4,5

  1.  

Увеличив делитель в 11 раз, получает уменьшение частного в 11 раз. Имеет:

х:6=

х:(6:6)=*6;

Уменьшив делитель в 6 раз, получаем увеличение частного в 6 раз. В итоге имеем х:1=

х=

  1.  

Уменьшим делимое в раз, это повлечёт уменьшение частного в  раза. Имеем

Отсюда

Уменьшение вычитаемого на  влечёт увеличение разности на . В итоге имеем

  1.  -0,8х=-5,6;

-0,8*(-5)х=-5,6*(-5)

4х=28;

х*(4:4)=-28:4;

х*1=7

х=7

Использование свойств действий дает большое преимущество ученикам и многим из них это нравится делать. Это замечено мною давно из моей практики, т.к. это я пытаюсь привить каждому ученику на протяжении последних 12 лет, моей педагогической деятельности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20962. Шифрування та дешифрування даних за допомогою алгоритмів підстановки (заміна) 69.72 KB
  Програма дешифрування інформації повернення початкового вигляду файла; а також оцінити правильність процедури шифрування дешифрування відсутність зміни результату відносно початкового файлу. Підготовка даних полягає в: Введення вихідного тексту; Створення тимчасового текстового файлу файл 1 та занесення в нього вихідного тексту; Створення тимчасового текстового файлу файл 2 для подальшого занесення в нього результатів роботи програми; Введенні або автоматичному виборі ключа; Для режиму дешифрування якщо ключ...
20963. Шифрування та дешифрування даних з використанням режиму шифрування 98.95 KB
  Індивідуальні завдання: алгоритм Counter Mode CTR Текст програми AutoSeededRandomPool prng; SecByteBlock keyAES::DEFAULT_KEYLENGTH; prng.size ; byte ctr[ AES::BLOCKSIZE ]; prng.GenerateBlock ctr sizeofctr ; string plain = CTR Mode Test ; string cipher encoded recovered; try { cout plain text: plain endl; CTR_Mode AES ::Encryption e; e.size ctr ; The StreamTransformationFilter adds padding as required.
20964. Шифрування та дешифрування даних за допомогою алгоритмів гамування 30.38 KB
  Індивідуальні завдання : конгруэнтные генераторы Линейными конгруэнтными генераторами являются генераторы следующей формы: в которых это nый член последовательности а предыдущий член последовательности. Период такого генератора не больше чем m. Если a b и m подобраны правильно то генератор будет генератором с максимальным периодом и его период будет равен m. Например для линейного конгруэнтного генератора b должно быть взаимно простым с m.
20965. Використання алгоритмів шифрування з відкритими ключами 45.99 KB
  Постановка задачі Необхідно розробити і налагодити дві програми: Програма шифрування інформації з використанням визначених алгоритмів. Програма дешифрування інформації повернення початкового вигляду файла; а також оцінити правильність процедури шифрування дешифрування відсутність зміни результату відносно початкового файлу.09 funkcja f dla kazdej rundy czynniki pierwsze klucz zakryty p1 4 = 0 q1 4 = 0 p = 19; q = 23; n = pq; M = random n; print Message = M; print Cryptogram = C; C = M^2 n; m1= C ^...
20966. Використання односпрямованих хеш-функцій 170.04 KB
  І КІТ39 Практична робота №26 Використання односпрямованих хешфункцій за курсом Захист інформації у компютерних системах та мережах Ціль роботи : cтворення програм генерації дайджесту повідомлення за допомогою хешфункцій. Індивідуальні завдання: алгоритм HAVAL HAVAL однонаправленная хешфункция разработанная Yuliang Zheng англ. Для произвольного входного сообщения функция генерирует хешзначение называемое дайджестом сообщения которое может иметь длину 128 160 192 224 или 256 бит. Висновок: за час виконання практичноъ...
20967. Понятие мировоззрения, его структура и уровни. Формы мировоззрения: мифологическое, религиозное и философское 480 KB
  Систематизирует в самом общем виде представления человека о мире и самом себе. Антропоцентризм тип философского мировоззрения в центре которого стоит проблема человека Европа эпохи Возрождения нового и новейшего времени современные философские школы. Теоретическое мышление посредством абстракций обобщений сравнений идеализациий преодолевает границы образночувственного восприятия вскрывает существенные связи и отношения мира и человека выявляет новые горизонты познания и осмысления действительности. Поэтому осмысление проблем...
20968. Американская мечта, в творчестве Френсиса Фицджеральда 416 KB
  Анализируем непосредственно сам роман, подробнее останавливаемся на каждом из героев, даем подробный анализ их образов. Также мы посчитали нужным остановить свое внимание на так называемом феномене «американской мечты», так как он неразрывно связан с идеей и темой романа.
20969. Разграничение доступа к ресурсам в MS Windows 100.5 KB
  1] Лабораторная работа № 7 [1] Разграничение доступа к ресурсам в MS Windows [2] Оглавление [2.6] Критерии оценки работы Цели работы освоение средств защищенных версий операционной системы Windows предназначенных для: разграничения доступа субъектов к папкам и файлам; разграничения доступа субъектов к принтерам; разграничения доступа к разделам реестра; обеспечения конфиденциальности папок и файлов с помощью шифрующей файловой системы. Отношение субъектыобъекты можно представить в виде матрицы доступа в строках которой перечислены...
20970. Защита документов MS OFFICE WORD 59.5 KB
  В поле Пароль для открытия файла введите пароль а затем нажмите кнопку ОК. В поле Введите пароль еще раз повторно введите пароль а затем нажмите кнопку ОК. В поле Пароль разрешения записи введите пароль а затем нажмите кнопку ОК. В поле Введите пароль еще раз повторно введите пароль а затем нажмите кнопку ОК.