54172

Применение свойств действий при вычислениях и решении уравнений в 5-м и 6-м классах

Научная статья

Педагогика и дидактика

На усвоение этих свойств достаточно на такой ранней стадии устные упражнения с дальнейшим переходом к письменным упражнениям, развивая у учеников умение и навыки работы с числовыми выражениями, решении уравнений без использования правил нахождения неизвестного компонента действия: развивая у учеников творческий подход к решению математических задач.

Русский

2014-03-10

151.5 KB

7 чел.

Применение свойств действий при вычислениях и решении уравнений в 5м и 6м классах

При изучении темы «Натуральные числа и действия с ними» в 5м классе важно добиться от учеников усвоения свойств действий, таких как: 1) основное свойство действия; 2) изменение результата действия в зависимости от изменения компонента действия; 3) свойство нуля и единицы при сложении, вычитании и умножении, делении соответственно. В начальной школе уже в 3м и 4м классах на уроках математики этим вопросам должно уделяться большое внимание, готовя учеников к школе 2й ступени. На усвоение этих свойств достаточно на такой ранней стадии устные упражнения с дальнейшим переходом к письменным упражнениям, развивая у учеников умение и навыки работы с числовыми выражениями, решении уравнений без использования правил нахождения неизвестного компонента действия: развивая у учеников творческий подход к решению математических задач.

При изучении математики в 5й классе по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» выполняя устные упражнения на сложение и вычитание методом округления одного из компонентов в действия можно добиться усвоения учениками основного свойства этих действий.

Например:

  1.  37+49=36+50=40-46=86;
  2.  74+48=72+50=80+42=122;
  3.  73-38=75-40=35;
  4.  112-87=115=90=25;

Ученик должен эти свойства действий 1й ступени усвоить и применять их не только при выполнении устных упражнений, но и выполняя письменные работы. Т.е. основное свойство (мы его можем называть по аналогии с основным свойством деления) сложения другим так; если одно слагаемое увеличить (уменьшить) на несколько единиц, а другое соответственно уменьшить (увеличить) настолько же единиц, то сумма не изменится.

Основное свойство вычитания: если одновременно уменьшаемое и вычитаемое увеличить (уменьшить) на некоторое число, то разность не изменится. Если эти свойства ученик усвоил, то он их может самостоятельно применять не только при вычитаниях, но и при решении уравнений, упрощении буквенных выражений, а не прибегать к известным правилам нахождения неизвестного компонента действия, не забывая свойства нуля a+0=a и a-0=a. Важно при изучении темы «Сложение и вычитание» добиться от учеников усвоения не только этих основных свойств действий, но и добиться усвоения и других свойств, таких как изменение результата действия в зависимости от изменения одного из компонентов действия или изменении одновременно обоих компонентов, что не мало важно знать и при решении задач. Упражнения такого вида в учебнике 5го класса есть. Выполняя их не только устно, (как правило, многие учителя так и делают) нужно и письменно поработать с ними, приучая учеников работать с буквенными выражениями, закрепляя навыки вычитания суммы, разности.

Примеры:

  1.  Как изменится сумма чисел, если одно слагаемое увеличить на 75, а другое уменьшить на 38.

Пусть a+b=c, тогда (a+75)+(b+38)=(a+b)+(75-38)=c+37.

Вывод: сумма увеличится на 37.

  1.  Как изменится разность чисел, если уменьшаемое увеличить на 17, а разность уменьшить на 20.

Пусть a-b=c, тогда (a+17)-(b-20)=a+17-b+20=(a-b)+(17+20)=c+37.

Вывод: разность увеличится на 37.

После того как ученик усвоил эти свойства действий можно их применять успешно при решении более сложных уравнений.

Примеры:

  1.  (m-124)+316=900;

(m-124+124)+(316-124)=900;

m+192=900

Применив основное свойство сложения, получили упрощение или (m-124+124)+316=900+124; m+316=1024.

Продолжаем дальше

m+(192-192)=900-192 или m+(316-316)=1024-316;

Вот и правило, откуда правило нахождения неизвестного слагаемого.

Получаем в итоге m+0=708, m=708

  1.  (134+x)-583=426;

(134+x-134)-583=426-134;

Изменение уменьшаемого на 134, влечёт уменьшение разности на 134.

В итоге получаем упрощение х-583=292;

                                                х-(583-583)=292+583

Уменьшение вычитаемого на 583 влечёт увеличение разности на 583.

В итоге х-0=875;

            х=873.

Выполняя решение уравнений с применением свойств действия, ученик учится применять скобки, видоизменять выражение и не прибегать к традиционным правилам, нам найти неизменный компонент действия. Если ученик усвоил эти свойства действий 1й ступени на натуральных числах, то он будет успешно их применять и при изучении темы «Дробные числа и действия с ними», «Рациональные числа» в 6 классе.

Примеры

Решить уравнение:

  1.  (1,34+х)-58,3=4,26;

(х+1,34-1,34)-58,3=4,26-1,34;

Уменьшение уменьшаемого на 1,34 влечёт уменьшение разности на 1,34. Получаем упрощение левой части уравнения х-58,3=2,92;

Уменьшаем вычитаемое до нуля, это изменение влечёт увеличение разности на 58,3, получаем х-0=2,92+58,3, т.е. получаем, как и по правилу нахождения неизвестного уменьшаемого х=61,22.

  1.  40,3-(63,4-а)=36,62;

40,3-(63,4-а-23,1)=36,62+23,1;

Уменьшение вычитаемого на 23,1 влечёт увеличение разности на 23,1.

Получаем 40,3-(40,1-а)=59,72; (40,3-40,1)+а=59,72.

Уменьшая вычитаемое на а, получаем увеличение разности на а в итоге упрощение

0,2+а=59,72

а+(0,2-0,2)=59,72-0,2;

В итоге а+0=59,52;

             а=59,52

  1.  4,75-(х-0,67)=3,025;

4,75-(х-0,67+0,67)=3,025-0,67;

Увеличение вычитаемого на 0,67 влечёт уменьшение разности на 0,67, получаем упрощение левой части уравнения.

4,75-(х+0)=2,355;

4,75-х=2,355;

4,75-(х+2,355)=2,355-2,355;

Увеличение вычитаемого влечёт уменьшение разности в итоге 4,75-(х+2,355)=0.

Значит х+2,355=4,75;

х+(2,355-2,355)=4,75-2,355;

х+0=2,395;

х=2,395

  1.  х+7=4;

х+(7-7)=4-7;

Уменьшение слагаемого на 7 влечёт уменьшение суммы на 7.

Имеем х+0=4-7;

(4+3)-7-3;

Увеличение уменьшаемого на 3 влечёт уменьшение разности на 3.

х-7-7-3;

х=-3

  1.  -4,5-х=9;

(-4,5+4,5)-х=9+4,5

Увеличение уменьшаемого на 4,5 влечёт увеличение разности на 4,5.

Получаем 0-х=13,5

-х=13,5;

х=-13,5

  1.  -1,2+х=0,6;

(-1,2+1,2)+х=0,6+1,2;

0+х=1,8;

х=1,8

  1.    

Увеличение уменьшаемого и вычитаемого на не изменяет разности, имеем

Получаем упрощение

Уменьшение вычитаемого на  влечёт увеличение разности на .

В итоге

В такой же последовательности нужно добиться от учеников усвоение свойств действий умножения и деления при изучении темы «Умножение и деление натуральных чисел».

Основное свойство умножения: если   один множитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, а другой уменьшить (увеличить) во столько же раз, то произведение не изменится. Это свойство удобно применять не только при устных вычислениях, но и при выполнении письменных работ, сводя к примеру умножения двузначных чисел к умножению на однозначное число.

  1.  738*14=(738*2)* =1476*7=10332;
  2.  16*25=*(25*4)=4*100=400;
  3.  125*32=(125*8)*=1000*4=4000.

Изменение результата действия умножения от изменения компонента действию ученик также должен усвоить. А при выполнении устных и письменных работ. Основное свойство частного:

если делимое и делитель одновременно увеличить (уменьшить) в несколько раз, то частное не изменится. Ученик его обязан знать ещё с начальной школы, а изменение частного, в зависимости от изменения компонентов действия в результате выполнения устных и письменных работ.

Примеры

  1.  Как изменится результат деления, если делимое увеличить в 10 раз, а делитель уменьшить в 5 раз.

Решение:

Пусть a:b=c, тогда (a*10):(b:5)=10a: = =(a:b)*(10*5)=c*50

Вывод: частное увеличится в 50 раз.

  1.  Как изменится частное, если делимое уменьшить в 6 раз, а делитель увеличить в 2 раза.

Решение:

Пусть a:b=c, тогда (a:b):(b*2)=:(b*2)===c:12

Вывод: частное уменьшится в 12 раз.

После того, как ученик усвоил эти свойства действий 2й ступени, их можно использовать при решении уравнений, не забывая свойства единицы а:1=а и а*1=а и а:а=1.

Примеры

  1.  х:15=225

х:(15:15)=225-15

Уменьшение делителя в 15 раз влечёт изменения, увеличение частного в 15 раз. Получаем

х:1=225*15

х=(225*5)*

х=1125*3;

х=3375

  1.  104у-12=1132;

104у-(12-12)=1132+12;

Изменение вычитаемого, уменьшаем на 12, влечёт увеличение разности на 12. Получаем упрощение:

104у-0=1144;

(104:104)у=1144:104

Уменьшение множителя в 104 раза влечёт уменьшение произведения в 104 раза.

1*у=

у=10+1;

у=11

  1.  29*(145-6z)=203;

(29:29)*(145-6z)=

1*(145-6z)=10-3;

Получаем упрощение

145-6z=7;

145-(6z+7)=7-7;

Увеличив вычитаемое на 7, получим уменьшение разности на 7. Получаем прощение 145-(6z+7)=0;

Значит 6z+7=145

            6z+(7-7)=145-7;

Уменьшение слагаемого на 7 влечёт уменьшение суммы на 7. Имеем

6z+0=138;

(6:6)z=138:6;

Уменьшение множителя в 6 раз влечёт уменьшение произведения в 6 раз.

1*z=

z=20+3;

z=23

Усвоив эти свойства действий 2й ступени на натуральных числах, ученик в дальнейшем будет использовать их и при изучении тем «Десятичные дроби», в 5м классе, «Обыкновенные дроби», «Рациональные числа» в 6м классе.

Примеры

  1.  0,38*301=====927,08
  2.  113,4:18=====6,3
  3.  29,76:48===(372:6):100==(60+2):100=0,62

Решить уравнение:

  1.  28,8:х-3,9=20,1;

   28,8:х-(3,9-3,9)=20,1+3,9;

Уменьшение вычитаемого на 3,9 влечёт увеличение разности на 3,9.

Получаем упрощение

28,8:х=24;

=24:24;

=1

Уменьшая делимое в 24 раза, получаем уменьшение частного в 24 раза.

В итоге имеем: (1+0,2):х=1;

Отсюда х=1,2;

  1.  =;

Увеличивая один из множителей в 7 раз, увеличиваем тем самым произведение в 7 раз.

В итоге получаем:

1*х=

х=4,5

  1.  

Увеличив делитель в 11 раз, получает уменьшение частного в 11 раз. Имеет:

х:6=

х:(6:6)=*6;

Уменьшив делитель в 6 раз, получаем увеличение частного в 6 раз. В итоге имеем х:1=

х=

  1.  

Уменьшим делимое в раз, это повлечёт уменьшение частного в  раза. Имеем

Отсюда

Уменьшение вычитаемого на  влечёт увеличение разности на . В итоге имеем

  1.  -0,8х=-5,6;

-0,8*(-5)х=-5,6*(-5)

4х=28;

х*(4:4)=-28:4;

х*1=7

х=7

Использование свойств действий дает большое преимущество ученикам и многим из них это нравится делать. Это замечено мною давно из моей практики, т.к. это я пытаюсь привить каждому ученику на протяжении последних 12 лет, моей педагогической деятельности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64900. ТОНКІ ПЛІВКИ НАНОКРИСТАЛІЧНОГО КРЕМНІЮ, ЛЕГОВАНІ ЄВРОПІЄМ ТА ІТРІЄМ ДЛЯ ОПТОЕЛЕКТРОНІКИ 410.5 KB
  Останнім часом в оптоелектроніці намітився перехід до тонкоплівкових технологій через їх простоту та відносно низьку вартість. Найбільш перспективним матеріалом, як і в об’ємному виконанні, залишається кремній, завдяки дешевій та добре відпрацьованій інтегральній технології.
64901. Правове регулювання укладення шлюбів громадянами України у державах Європейського Союзу та їх визнання в Україні 403.3 KB
  Робота виконана у Харківському національному університеті внутрішніх справ Міністерство внутрішніх справ України. Пріоритетним завданням зовнішньої та внутрішньої політики України на початку ХХІ ст.
64902. ФІНАНСОВИЙ МОНІТОРИНГ У ЗАБЕЗПЕЧЕННІ ФУНКЦІОНУВАННЯ СИСТЕМИ ЕКОНОМІЧНОЇ БЕЗПЕКИ БАНКІВСЬКИХ УСТАНОВ В УКРАЇНІ 1 MB
  Глобалізація економіки призводить до загострення низки негативних проблем, серед яких і відмивання доходів, одержаних злочинним шляхом. Для кожної країни протидія легалізації доходів, одержаних злочинним шляхом, є питанням національної безпеки.
64903. ПРАВОВА ПРИРОДА ПОДАТКОВИХ СПОРІВ В УКРАЇНІ 144 KB
  Дослідження податкових спорів має вагоме практичне значення. На практиці виникає багато труднощів повязаних із відсутністю науково обґрунтованих методологічних підходів до розвязання податкових спорів які становлять значну частину від загального обєму адміністративних справ.
64904. АВТОМАТИЗАЦІЯ КЕРУВАННЯ ПРОЦЕСОМ АЕРОЗОЛЬНОГО НАНОКАТАЛІЗУ В СИСТЕМАХ УТИЛІЗАЦІЇ ВІДХОДІВ ХЛОРОРГАНІЧНОГО СИНТЕЗУ 195 KB
  Актуальною задачею в звязку з цим є подальший розвиток наукових досліджень в області автоматизації процесів аерозольного нанокаталізу з застосуванням сучасних методів керування та програмнотехнічних засобів що дозволило б суттєво підвищити екологічну безпеку утилізації...
64905. Мультигармонічні плазмо-пучкові супергетеродинні лазери на вільних електронах 668 KB
  Серед можливих конструкцій супергетеродинних лазерів на вільних електронах які найбільш перспективні для практичної реалізації необхідно виділити двопотокові та плазмопучкові ЛВЕ. Незважаючи на те що саме плазмопучкова версія супергетеродинного ЛВЕ була запропонована першою основний розвиток...
64906. БАНКІВСЬКЕ КРЕДИТУВАННЯ ЕКСПОРТНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ ПІДПРИЄМСТВ В УКРАЇНІ 258 KB
  У свою чергу умови кредитування є одним із чинників конкурентної боротьби окремих підприємств і держав у цілому на міжнародних ринках збуту оскільки кредит так само як ціна або якість продукції розширює можливості експортера щодо збуту а імпортера щодо придбання товарів та послуг.
64907. ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ВИГОТОВЛЕННЯ ЗОВНІШНІХ НАПІВКРУГЛИХ ШЛІЦЬОВИХ КАНАВОК У ВАЛАХ ТА НАПРАВЛЯЮЧИХ 170 KB
  Для досягнення поставленої мети в роботі розвязуються такі задачі: провести аналіз конструкцій і технологій виготовлення шліцьових валів і направляючих з аналізом їх на технологічність щодо виготовлення ремонтопридатності й експлуатаційної надійності та довговічності...
64908. АДМІНІСТРАТИВНІ ПРОЦЕДУРИ ПРОХОДЖЕННЯ СЛУЖБИ В ОРГАНАХ ВНУТРІШНІХ СПРАВ 178 KB
  Становлення правової держави в Україні вимагає реального утвердження принципу верховенства права, зміцнення законності та правопорядку в країні, забезпечення прав і свобод громадян. Вирішення цього завдання, з одного боку, потребує посилення правоохоронної функції держави...