54172

Применение свойств действий при вычислениях и решении уравнений в 5-м и 6-м классах

Научная статья

Педагогика и дидактика

На усвоение этих свойств достаточно на такой ранней стадии устные упражнения с дальнейшим переходом к письменным упражнениям, развивая у учеников умение и навыки работы с числовыми выражениями, решении уравнений без использования правил нахождения неизвестного компонента действия: развивая у учеников творческий подход к решению математических задач.

Русский

2014-03-10

151.5 KB

7 чел.

Применение свойств действий при вычислениях и решении уравнений в 5м и 6м классах

При изучении темы «Натуральные числа и действия с ними» в 5м классе важно добиться от учеников усвоения свойств действий, таких как: 1) основное свойство действия; 2) изменение результата действия в зависимости от изменения компонента действия; 3) свойство нуля и единицы при сложении, вычитании и умножении, делении соответственно. В начальной школе уже в 3м и 4м классах на уроках математики этим вопросам должно уделяться большое внимание, готовя учеников к школе 2й ступени. На усвоение этих свойств достаточно на такой ранней стадии устные упражнения с дальнейшим переходом к письменным упражнениям, развивая у учеников умение и навыки работы с числовыми выражениями, решении уравнений без использования правил нахождения неизвестного компонента действия: развивая у учеников творческий подход к решению математических задач.

При изучении математики в 5й классе по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» выполняя устные упражнения на сложение и вычитание методом округления одного из компонентов в действия можно добиться усвоения учениками основного свойства этих действий.

Например:

  1.  37+49=36+50=40-46=86;
  2.  74+48=72+50=80+42=122;
  3.  73-38=75-40=35;
  4.  112-87=115=90=25;

Ученик должен эти свойства действий 1й ступени усвоить и применять их не только при выполнении устных упражнений, но и выполняя письменные работы. Т.е. основное свойство (мы его можем называть по аналогии с основным свойством деления) сложения другим так; если одно слагаемое увеличить (уменьшить) на несколько единиц, а другое соответственно уменьшить (увеличить) настолько же единиц, то сумма не изменится.

Основное свойство вычитания: если одновременно уменьшаемое и вычитаемое увеличить (уменьшить) на некоторое число, то разность не изменится. Если эти свойства ученик усвоил, то он их может самостоятельно применять не только при вычитаниях, но и при решении уравнений, упрощении буквенных выражений, а не прибегать к известным правилам нахождения неизвестного компонента действия, не забывая свойства нуля a+0=a и a-0=a. Важно при изучении темы «Сложение и вычитание» добиться от учеников усвоения не только этих основных свойств действий, но и добиться усвоения и других свойств, таких как изменение результата действия в зависимости от изменения одного из компонентов действия или изменении одновременно обоих компонентов, что не мало важно знать и при решении задач. Упражнения такого вида в учебнике 5го класса есть. Выполняя их не только устно, (как правило, многие учителя так и делают) нужно и письменно поработать с ними, приучая учеников работать с буквенными выражениями, закрепляя навыки вычитания суммы, разности.

Примеры:

  1.  Как изменится сумма чисел, если одно слагаемое увеличить на 75, а другое уменьшить на 38.

Пусть a+b=c, тогда (a+75)+(b+38)=(a+b)+(75-38)=c+37.

Вывод: сумма увеличится на 37.

  1.  Как изменится разность чисел, если уменьшаемое увеличить на 17, а разность уменьшить на 20.

Пусть a-b=c, тогда (a+17)-(b-20)=a+17-b+20=(a-b)+(17+20)=c+37.

Вывод: разность увеличится на 37.

После того как ученик усвоил эти свойства действий можно их применять успешно при решении более сложных уравнений.

Примеры:

  1.  (m-124)+316=900;

(m-124+124)+(316-124)=900;

m+192=900

Применив основное свойство сложения, получили упрощение или (m-124+124)+316=900+124; m+316=1024.

Продолжаем дальше

m+(192-192)=900-192 или m+(316-316)=1024-316;

Вот и правило, откуда правило нахождения неизвестного слагаемого.

Получаем в итоге m+0=708, m=708

  1.  (134+x)-583=426;

(134+x-134)-583=426-134;

Изменение уменьшаемого на 134, влечёт уменьшение разности на 134.

В итоге получаем упрощение х-583=292;

                                                х-(583-583)=292+583

Уменьшение вычитаемого на 583 влечёт увеличение разности на 583.

В итоге х-0=875;

            х=873.

Выполняя решение уравнений с применением свойств действия, ученик учится применять скобки, видоизменять выражение и не прибегать к традиционным правилам, нам найти неизменный компонент действия. Если ученик усвоил эти свойства действий 1й ступени на натуральных числах, то он будет успешно их применять и при изучении темы «Дробные числа и действия с ними», «Рациональные числа» в 6 классе.

Примеры

Решить уравнение:

  1.  (1,34+х)-58,3=4,26;

(х+1,34-1,34)-58,3=4,26-1,34;

Уменьшение уменьшаемого на 1,34 влечёт уменьшение разности на 1,34. Получаем упрощение левой части уравнения х-58,3=2,92;

Уменьшаем вычитаемое до нуля, это изменение влечёт увеличение разности на 58,3, получаем х-0=2,92+58,3, т.е. получаем, как и по правилу нахождения неизвестного уменьшаемого х=61,22.

  1.  40,3-(63,4-а)=36,62;

40,3-(63,4-а-23,1)=36,62+23,1;

Уменьшение вычитаемого на 23,1 влечёт увеличение разности на 23,1.

Получаем 40,3-(40,1-а)=59,72; (40,3-40,1)+а=59,72.

Уменьшая вычитаемое на а, получаем увеличение разности на а в итоге упрощение

0,2+а=59,72

а+(0,2-0,2)=59,72-0,2;

В итоге а+0=59,52;

             а=59,52

  1.  4,75-(х-0,67)=3,025;

4,75-(х-0,67+0,67)=3,025-0,67;

Увеличение вычитаемого на 0,67 влечёт уменьшение разности на 0,67, получаем упрощение левой части уравнения.

4,75-(х+0)=2,355;

4,75-х=2,355;

4,75-(х+2,355)=2,355-2,355;

Увеличение вычитаемого влечёт уменьшение разности в итоге 4,75-(х+2,355)=0.

Значит х+2,355=4,75;

х+(2,355-2,355)=4,75-2,355;

х+0=2,395;

х=2,395

  1.  х+7=4;

х+(7-7)=4-7;

Уменьшение слагаемого на 7 влечёт уменьшение суммы на 7.

Имеем х+0=4-7;

(4+3)-7-3;

Увеличение уменьшаемого на 3 влечёт уменьшение разности на 3.

х-7-7-3;

х=-3

  1.  -4,5-х=9;

(-4,5+4,5)-х=9+4,5

Увеличение уменьшаемого на 4,5 влечёт увеличение разности на 4,5.

Получаем 0-х=13,5

-х=13,5;

х=-13,5

  1.  -1,2+х=0,6;

(-1,2+1,2)+х=0,6+1,2;

0+х=1,8;

х=1,8

  1.    

Увеличение уменьшаемого и вычитаемого на не изменяет разности, имеем

Получаем упрощение

Уменьшение вычитаемого на  влечёт увеличение разности на .

В итоге

В такой же последовательности нужно добиться от учеников усвоение свойств действий умножения и деления при изучении темы «Умножение и деление натуральных чисел».

Основное свойство умножения: если   один множитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, а другой уменьшить (увеличить) во столько же раз, то произведение не изменится. Это свойство удобно применять не только при устных вычислениях, но и при выполнении письменных работ, сводя к примеру умножения двузначных чисел к умножению на однозначное число.

  1.  738*14=(738*2)* =1476*7=10332;
  2.  16*25=*(25*4)=4*100=400;
  3.  125*32=(125*8)*=1000*4=4000.

Изменение результата действия умножения от изменения компонента действию ученик также должен усвоить. А при выполнении устных и письменных работ. Основное свойство частного:

если делимое и делитель одновременно увеличить (уменьшить) в несколько раз, то частное не изменится. Ученик его обязан знать ещё с начальной школы, а изменение частного, в зависимости от изменения компонентов действия в результате выполнения устных и письменных работ.

Примеры

  1.  Как изменится результат деления, если делимое увеличить в 10 раз, а делитель уменьшить в 5 раз.

Решение:

Пусть a:b=c, тогда (a*10):(b:5)=10a: = =(a:b)*(10*5)=c*50

Вывод: частное увеличится в 50 раз.

  1.  Как изменится частное, если делимое уменьшить в 6 раз, а делитель увеличить в 2 раза.

Решение:

Пусть a:b=c, тогда (a:b):(b*2)=:(b*2)===c:12

Вывод: частное уменьшится в 12 раз.

После того, как ученик усвоил эти свойства действий 2й ступени, их можно использовать при решении уравнений, не забывая свойства единицы а:1=а и а*1=а и а:а=1.

Примеры

  1.  х:15=225

х:(15:15)=225-15

Уменьшение делителя в 15 раз влечёт изменения, увеличение частного в 15 раз. Получаем

х:1=225*15

х=(225*5)*

х=1125*3;

х=3375

  1.  104у-12=1132;

104у-(12-12)=1132+12;

Изменение вычитаемого, уменьшаем на 12, влечёт увеличение разности на 12. Получаем упрощение:

104у-0=1144;

(104:104)у=1144:104

Уменьшение множителя в 104 раза влечёт уменьшение произведения в 104 раза.

1*у=

у=10+1;

у=11

  1.  29*(145-6z)=203;

(29:29)*(145-6z)=

1*(145-6z)=10-3;

Получаем упрощение

145-6z=7;

145-(6z+7)=7-7;

Увеличив вычитаемое на 7, получим уменьшение разности на 7. Получаем прощение 145-(6z+7)=0;

Значит 6z+7=145

            6z+(7-7)=145-7;

Уменьшение слагаемого на 7 влечёт уменьшение суммы на 7. Имеем

6z+0=138;

(6:6)z=138:6;

Уменьшение множителя в 6 раз влечёт уменьшение произведения в 6 раз.

1*z=

z=20+3;

z=23

Усвоив эти свойства действий 2й ступени на натуральных числах, ученик в дальнейшем будет использовать их и при изучении тем «Десятичные дроби», в 5м классе, «Обыкновенные дроби», «Рациональные числа» в 6м классе.

Примеры

  1.  0,38*301=====927,08
  2.  113,4:18=====6,3
  3.  29,76:48===(372:6):100==(60+2):100=0,62

Решить уравнение:

  1.  28,8:х-3,9=20,1;

   28,8:х-(3,9-3,9)=20,1+3,9;

Уменьшение вычитаемого на 3,9 влечёт увеличение разности на 3,9.

Получаем упрощение

28,8:х=24;

=24:24;

=1

Уменьшая делимое в 24 раза, получаем уменьшение частного в 24 раза.

В итоге имеем: (1+0,2):х=1;

Отсюда х=1,2;

  1.  =;

Увеличивая один из множителей в 7 раз, увеличиваем тем самым произведение в 7 раз.

В итоге получаем:

1*х=

х=4,5

  1.  

Увеличив делитель в 11 раз, получает уменьшение частного в 11 раз. Имеет:

х:6=

х:(6:6)=*6;

Уменьшив делитель в 6 раз, получаем увеличение частного в 6 раз. В итоге имеем х:1=

х=

  1.  

Уменьшим делимое в раз, это повлечёт уменьшение частного в  раза. Имеем

Отсюда

Уменьшение вычитаемого на  влечёт увеличение разности на . В итоге имеем

  1.  -0,8х=-5,6;

-0,8*(-5)х=-5,6*(-5)

4х=28;

х*(4:4)=-28:4;

х*1=7

х=7

Использование свойств действий дает большое преимущество ученикам и многим из них это нравится делать. Это замечено мною давно из моей практики, т.к. это я пытаюсь привить каждому ученику на протяжении последних 12 лет, моей педагогической деятельности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76098. Международный маркетинг 192 KB
  Международная экономическая деятельность субъектов хозяйствования создает условия для их эффективного функционирования в современной рыночной экономике и формирует объективную основу интеграции России в мирохозяйственную систему.
76099. Конкурентоспособность предприятия 62.97 KB
  Цель данной курсовой работы – раскрыть понятие конкурентоспособности и выявить методы ее повышения. Задачи, направленные на выполнение этой цели: теоретическое обоснование и раскрытие сущности конкурентоспособности...
76100. Схема управления инкубатором 315.5 KB
  Требуется спроектировать контроллер инкубатора. В инкубаторе предусмотреть термометр, нагреватель, устройство для поворота лотка. Также необходимо предусмотреть дополнительное питание, которое может питать устройство несколько часов при отключении основного.
76103. Определение располагаемой мощности турбогенератора ТГВ – 300 76 KB
  К анормальным режимам работы синхронных машин связанные со значительными аварийными перегрузками или потерей возбуждения работа с недовозбуждением асинхронный ход работа при отказе системы охлаждения а также при появлении значительных несинусоидальности и несимметрии напряжения сети.
76104. Разработка и расчет телевизионного передатчика 3-5 каналов 412.69 KB
  Задачей данного курсового проекта является разработка и расчет ТВ передатчика предназначенного для работы в 3-ем 4-ом и 5-ом каналах 80МГц 88МГц 96МГц соответственно с выходной мощностью 10 Вт и нестабильностью рабочей частоты равной 90Гц.
76106. Разработка технологического процесса горячей объемной штамповки поковки удлиненной формы в плане на деталь «Рычаг» 2.2 MB
  Поковка рычага относится к поковкам удлиненной формы в плане и штампуется на двух видах универсального оборудования: штамповочном молоте и кривошипном горячештамповочном прессе. На горизонтально-ковочных машинах ее изготовление не возможно, так как она на имеет круглые поперечные сечения.