54177

Новые информационные технологии в профильном обучении математики на примере темы „Многогранники” в 11 классе

Научная статья

Педагогика и дидактика

Рассмотрение различных случаев взаимного расположения диагоналей ребер и граней многогранника использование для этого моделей и готовых чертежей способствует развитию пространственных представлений учащихся их интуиции Рис. Особо подчеркиваются характеристические свойства призмы.

Русский

2014-03-10

827.5 KB

15 чел.

PAGE  4

Новые информационные технологии в профильном обучении математики на примере темы „Многогранники” в 11 классе общеобразовательной школы

                              Славянская А.С.,

                                   учитель математики

                                                   частной общеобразовательной

школы І-ІІІ ступеней «Современник»

  1.  Общее описание темы «Многогранники» (11 класс, 16 часов)

Изучение темы «Многогранники» начинается с введения понятия многогранника. Многогранник трактуется как тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Для введения понятия многогранника учащимся понадобятся знания из курса планиметрии, которые необходимо актуализировать, наиболее важными из которых являются: понятие многоугольника, элементы многоугольника, выпуклые многоугольники, а также в этой теме повторяются треугольники, параллелограммы. Актуализацию темы можно провести с помощью программы «Открытая Математика 2.5. Планиметрия» (Открытая Математика 2.5. Планиметрия → Глава 9).

Весьма важным этапом изучения этой темы является формирование понятия выпуклого многогранника. Наряду с выпуклым многогранником учащиеся должны наблюдать и модели невыпуклых многогранников, только в результате такого сравнения можно выработать правильное представление о выпуклых многогранниках. Можно рассмотреть пункт «Исходные понятия и определения» в программе «Открытая Математика 2.5. Планиметрия» (Открытая Математика 2.5. Планиметрия → Глава 9).

Необходимо также повторить вопросы из курса стереометрии: параллельные и скрещивающиеся прямые, параллельность прямых и плоскостей в пространстве, перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. Особое внимание при повторении необходимо обратить на двухгранные углы, построение линейных углов для двухгранных углов многоугольников. Повторение можно осуществить с помощью программы «Открытая Математика 2.5. Стереометрия» (Открытая Математика 2.5. Стереометрия → Глав 2 и 3).

В большинстве школьных учебников элементы: грань, ребра, вершины вводятся для любого многогранника. Это влечет многие трудности логического и методического характера. Следует отметить удачное решение вопроса А. В. Погореловым: он водит понятие грани, ребра и вершины только для выпуклого многогранника. Введение этих понятий целесообразно осуществлять с помощью программы «Открытая Математика 2.5. Стереометрия» (Открытая Математика 2.5. Стереометрия →  Глава 4 → § 4.1).

Рис.1.1

Рис. 1.2

Рассмотрение различных случаев взаимного расположения диагоналей, ребер и граней многогранника, использование для этого моделей и готовых чертежей способствует развитию пространственных представлений учащихся, их интуиции (Рис. 1.2).

При изучении призм основное внимание уделяется рассмотрению их частного вида – параллелепипеда. Целесообразно провести аналогию их с параллелограммами, а учащимся самостоятельно формулировать аналогичные свойства параллелепипеда и глубже их усвоить. (Открытая Математика 2.5. Стереометрия → Глава 4 → § 4.6).

В процессе работы над понятием «призма» необходимо показать модели различных призм, прямых и наклонных. При наблюдении подмечается то, что является общим для всех призм, и на основе этого дается определение призмы. Можно рассмотреть с помощью программы «Уроки геометрии 10-11»(издатель «Кирилл и Мефодий», ч.1): Регистрация → Содержание → Многогранники → Урок 15-16.

Изучение же пирамиды можно начать с рассмотрения способа ее построения с помощью «Уроки геометрии 10-11»(издатель «Кирилл и Мефодий», ч.1): Регистрация → Содержание → Многогранники → Урок 17, а потом дать определение этого многогранника.

Построение ведется по следующему плану:

  •  на плоскости строят некоторый многоугольник;
  •  вне точки построенного многоугольника выбирается произвольная точка;
  •  эта точка соединяется отрезками с точками полученного многогранника;
  •   полученный многогранник является пирамидой.

Приведенный в учебных пособиях способ построения пирамиды следует рассматривать как конструктивное доказательство существования этого многогранника.

Новым для учащихся является понятие высоты призмы, параллелепипеда и пирамиды, поэтому на построение высоты и на определение этого понятия нужно обратить особое внимание. Удачно изложено это понятие в «Уроки геометрии 10-11» (издатель «Кирилл и Мефодий», ч.1), рекомендуется рассмотреть задачи на вычисления высоты в уроке 15.

После введения понятия высоты можно перейти к рассмотрению формул для вычисления площади поверхности многогранников и площади боковой поверхности многогранников (Открытая Математика 2.5. Стереометрия → Глава 4).

Перед тем как перейти к решению задач на вычисление площади поверхности и других геометрических величин, на построение линейных углов для двугранных углов призмы и их вычисление, на построение углов между боковыми ребрами призмы и плоскостью основания и других задач, целесообразно ввести понятие прямой призмы и правильной призмы. С помощью программы «Уроки геометрии 10-11» (издатель «Кирилл и Мефодий», ч.1): Регистрация → Содержание → Многогранники → Урок 15, рекомендуется прорешать несколько задач по шагам, а после проверить знания учеников с помощью теста. Особо подчеркиваются характеристические свойства призмы.

Выводы делаются в процессе сравнительно рассмотрения моделей прямой и наклонных призм. Как частный случай прямой призмы рассматривается правильная призма.

Аналогично и для пирамид. Из всех выпуклых пирамид выделяется правильная пирамида с помощью двух признаков:

а) основание ее является правильным многоугольником;

б) основание высоты совпадает с центром основания.

Способы построения параллелепипеда и пирамиды является конструктивным доказательством их существования.

Понятие об усеченной пирамиде целесообразно ввести параллельно с изучением свойств сечений пирамиды плоскостью, параллельной основанию. При рассмотрении соответствующей теоремы удобно проиллюстрировать способ получения усеченной пирамиды из любой пирамиды и отличие усеченной пирамиды от призмы. «Уроки геометрии 10-11»(издатель «Кирилл и Мефодий», ч.1): Регистрация → Содержание → Многогранники → Урок 17.

Раздел о правильных многогранниках носит описательный характер. На его изучение целесообразно отвести отдельный урок, который можно провести либо с помощью «Уроки геометрии 10-11»(издатель «Кирилл и Мефодий», ч.1): Регистрация → Содержание → Многогранники → Урок 20 либо с помощью «Кудиц _ Стереометрия_ 10-11» (Многогранники → Правильные многогранники).

Понятие правильного многогранника вводится как обобщение уже известных учащимся понятий правильной призмы и правильной пирамиды. Кроме того, в курсе планиметрии было введено понятие правильного многоугольника, изучались некоторые его свойства. Учитель строит всю работу так, чтобы новое понятие «правильный многогранник» формировалось именно на основе этих же уже сложившихся представлений учащихся.

Материал о правильных многогранниках существенно дополняет и логически завершает раздел. Фактически здесь продолжается классификация многогранников; из выпуклых многогранников выделяются правильные. Правильные многогранники – яркий пример геометрических фигур, имеющих центр, оси и плоскости симметрии.

2. Этап актуализации знаний

Для этого этапа урока можно использовать тестовую программу ИКТС 1.21.

Формы проведения актуализации знаний:

1. Учащиеся садятся по одному за ПК и самостоятельно работают над тестом, который является контролирующим.

2. Работа в парах. Но этот вопрос является спорным, возможно активная позиция сильного учащегося и пассивная слабого.

3. Фронтальная работа. На интерактивной доске демонстрируется каждый вопрос теста и обсуждается со всем классом.


3. Этап ознакомления с новым материалом

При рассмотрении темы «Построение сечений многогранников» рассматриваются способы построения сечений. Наиболее эффективными методами является метод следов, метод внутреннего проектирования и метод, основанный на использовании аксиом и теорем стереометрии. Данные методы можно рассматривать с помощью программных средств «Кудиц _ Стереометрия_ 10-11»(рис.3.1), «КМ _ Уроки геометрии _ ч1»(рис.3.2), «Открытая Математика 2.5. Стереометрия» (рис. 3.2а).

Рис.3.1

Рис.3.2

Рис.3.2а

Фрагмент этапа изучения нового материала лучше всего продемонстрировать с помощью презентации MS PowerPoint.

рис.3.3

Так же учащихся можно познакомить с программой GRAN-3D, которая может использоваться учениками для проверки сечений, полученных ими в ходе самостоятельного построения.

Фрагмент урока:

Учитель: Напомним, что многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну

Рис.3.4

сторону от плоскости любой из своих граней. Для выполнения сечения предназначена услуга Операции\Выполнить сечение, после обращения к которой нужно указать в поле Изображения (с помощью указателя мыши) плоскость сечения(объект типа Плоскость) и многогранник, который пересекается(объект типа Многогранник).

В случае утвердительного ответа на запрос «Создать ломаную, соответствующую контуру сечения?», который появится после указания плоскости и многогранника (рис.3.4), будет создан соответствующий объект типа Ломаная.

Рис.3.5

Далее появится дополнительный запрос «Создать объекты, которые отвечают частям

исходного многогранника в разных полупространствах относительно плоскости сечения?» (рис.3.5). В случае утвердительного ответа автоматически будут созданы два новых объекта типа Многогранник, которые будут иметь такое же название, как и базовый, но с пометками ч.1 и ч.2 соответственно, и будут соответствовать частям исходного объекта в разных полупространствах относительно плоскости сечения. В дальнейшем с вновь образовавшимися многогранниками можно оперировать как с отдельными объектами. В поле отчета появится площадь и длина периметра полученного сечения.

Следует подчеркнуть, что в программе предусмотрено выполнение сечений только выпуклых многогранников.

4. Этап закрепления нового материала

GRAN-3D.

Рекомендуем использовать GRAN-3D после решения каждой задачи для проверки полученных результатов.

Закрепление проходит в виде беседы учителя с учащимися.

Примеры:

Вычислить площадь сечения правильной пятиугольной прямой призмы

Рис.4.1

ABCDEFGHIJ плоскостью, которая проходит через сторону AB и вершину I, если объем призмы равняется 100 куб.ед., а радиус описанной вокруг основания окружности 3 ед. (рис.4.1а). Вычислить отношения объемов частей призмы в разных полупространствах относительно плоскости сечения.

Прежде всего необходимо создать модель указанной призмы, для чего удобно воспользоваться услугой Объект\Создать базовый объект (вкладыш Прямая правильная призма окна Создание базовых пространственных объектов). В поле Изображения появится изображение призмы ABCDEFGHIJ, представленное на рис.3.5. Далее необходимо создать модель плоскости сечения. Для этого удобно воспользоваться услугой Объект\Создать с экрана\Плоскость, после чего на соответствующий запрос программы (который появится в поле подсказки) необходимо указать в поле Изображения три точки, которые будут определять плоскость. Последовательно укажем на  вершины A, B и I призмы, после чего будет создана модель плоскости, которая проходит через указанные вершины (рис.4.1б).

Дале осталось применить операцию сечения, для чего необходимо воспользоваться услугой программы Операции\Выполнить сечение. На запрос, который появится в поле подсказки, необходимо последовательно указать в поле Изображения (с помощью мыши) плоскость сечения и многогранник, для чего необходимо последовательно указать на изображения плоскости и многогранника.

Рис.4.2

После этого на запрос «Создать ломаную, которая соответствует контуру сечения?»(рис.3.4) ответим Нет, а на запрос «Создать объекты, которые отвечают частям исходного многогранника в разных полупространствах относительно плоскости сечения?»(рис.3.5) ответим Да. При этом будут созданы два новых объекта-многогранника, соответствующие частям призмы в разных полупространствах относительно плоскости сечения, а в поле отчета появится значение площади сечения (28.239 кв.ед., рис.4.2).

Рис.4.3

Последовательно установив указатель перечня объектов в положения, соответствующие вновь образовавшимся объектам (ч.1 Прямая правильная призма и  ч.2 Прямая правильная призма соответственно), в поле Характеристики получим их объемы (рис.4.2), которые равны соответственно 44.721 и  55.279 куб.ед. Итак, отношение объемов многогранников составляет .

Математика 5-11 кл, Практикум.

Етап закрепления так же можно организовать с помощью программы «Математика 5-11 кл. Практикум» (рис. 4.4) Каждый ученик самостоятельно выполняет задания, при необходимости учитель консультирует.

Рис. 4.4

5. Этап обобщения и систематизации знаний

На этом этапе возможно применение программы «НК – Слушатель. Математика абитуриенту 2.0». Ученикам предлагаются задачи, которые они решают с помощью тренажера по шагам (рис.5.1). Для учеников, которые нуждаются в помощи, тренажер выдает стратегию решения задачи. Сильные ученики могут решают задачи самостоятельно, вводят полученный ответ и, в случае правильного ответа переходят к следующей задаче.

Рис. 5.1

6. Этап постановки домашнего задания

 В качестве домашнего задания мы предлагаем ученикам решить задачи, а затем с помощью программы GRAN-3D проверить их. Аналогичные задачи были рассмотрены на уроке.

1.Вычислить площадь сечения прямого параллелепипеда ABCDEFGH плоскостью, проходящей через большие стороны верхнего и нижнего оснований, которые лежат в противоположных боковых гранях (AB и GH), если высота параллелепипеда 65, а один из углов между сторонами основания длиной 20 и 30 равен 440.

2.Вычислить площадь и длину периметра сечения куба ABCDEFGH плоскостью, которая проходит через вершины G, E, D.

3.Вычислить площадь сечения прямой правильной треугольной призмы ABCDEF плоскостью, проходящей через сторону AB основания и середину бокового ребра CF, если высота призмы 8, а радиус окружности, описанной вокруг основания, 5.

4.Вычислить длину сечения правильной 7-угольной пирамиды ABCDEFGH (A - вершина пирамиды) плоскостью, которая проходит через сторону BC основания и середину бокового ребра AF, если длина стороны основания 10, а высота пирамиды 15.

7. Организация творческой работы учащихся

В качестве домашней творческой работы для развития познавательного интереса и творческой активности учащихся можно дать учащихся разработать презентации MS PowerPoint на следующие темы:

  1.   «Полуправильные» кристаллы;
  2.   Архимедовы тела;
  3.   Золотая пропорция в додекаэдре и икосаэдре;
  4.   Каскады из правильных многогранников;
  5.   Кристаллы в живой природе;
  6.   Применение кристаллов;
  7.   Почему математическое понятие "правильный многогранник" занимало видное место в философской картине мира?;
  8.   Кристаллы и правильные многогранники;

 


Список использованной литературы

1. Слєпкань З. І. Методика навчання математики: Підручник. – 2 – ге вид., допов. і переробл. – К.: Вища шк.., 2006. – 582 с.: іл.

2. Г. П. Бевз Методика викладання математики, К.: Вища школа., 1972. – 336с.

3. Погорєлов О.В. Геометрія: Підруч. для 7-11 кл. серед. шк.-К.:Рад. шк., 1991.-325 с.

4. Компьютер на уроках геометрии: Пособие для учителей /М.И.Жалдак, А.В.Витюк.-К: НПУ имени М.П.Драгоманова, 2001.-6 с.:ил.

5. Геометрия: Учебное пособие для 10 – 11 кл. средн. шк. / А. С. Атанасян, В. Ф. Бутусов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1992

6. Готман Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения.—М.: МЦНМО, 2006.—160 с.: ил.

7. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия: Учеб. Для 7-11 кл. серед. Шк.. – М.: Просвещение, 1992. – 352с.

8. Белаш О.Л. Побудова перерізів многогранників. 10 – й клас / Математика. – 2001. - №29(137)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48027. Логіка. Конспекти лекцій 846.5 KB
  Поняття і судження Основними формами абстрактного мислення є поняття судження й умовиводи. Судження – форма мислення в якій щонебудь стверджується або заперечується про предмети їхні властивості або відносини. Поняття судження умовивід мають свою специфічну форму структуру.
48028. ЛОГІКА. ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ 4.48 MB
  Теоретичні питання для самоконтролю Що означає термін логіка і в чому полягає проблема визначення логіки як науки Назвіть об'єкт предмет вивчення формальної логіки Яку сторону мислення вивчає логіка Що таке пізнання форми мислення Який взаємозв'язок між пізнанням і мисленням Що означає поняття абстрактне мислення Дайте визначення логічної форми істинності та правильності думки Дайте визначення мови та назвіть основні види знаків Що таке процес формалізації в вузькому та широкому значенні Що таке зміст і значення мовних виразів...
48029. Моделі і методи прийняття рішень в економіці 779.5 KB
  Оптимізація календарного плану реалізації запасів сільськогосподарської продукції за умов цінового ризику. У числі найвідоміших задач математичного програмування можна назвати такі: оптимізація виробничої програми фірми оптимізація плану перевезень продукції оптимізація варіанту розподілу завдань між виконавцями оптимізація плану введення в дію нових виробничих потужностей оптимізація портфеля фінансових активів тощо. За умов забезпечення випуску заданих обсягів виробництва продукції й обмежень із кількості основних виробничих ресурсів...
48030. МОДЕЛИРОВАНИЕ, АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ 2.2 MB
  Пудовкина МОДЕЛИРОВАНИЕ АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ БИЗНЕСПРОЦЕССОВ Учебное пособие Челябинск Издательство ЮУрГУ 2006 УДК Пудовкина С. Учебное пособие предназначено для студентов изучающих дисциплины Математические методы и модели в экономике Математическая экономика Моделирование экономических систем и процессов Имитационное моделирование Анализ и оптимизация бизнеспроцессов и обучающихся по специальностям Менеджмент организаций Экономика и управление на предприятии Финансы и кредит Прикладная информатика в экономике....
48031. Макроекономіка. Опорний конспект 1.62 MB
  Сукупні видатки і ВВП. Високий і зростаючий рівень національного виробництва тобто рівень реального валового внутрішнього продукту ВВП. Сукупним вимірником національного виробництва виступає валовий внутрішній продукт ВВП що виражає ринкову вартість кінцевих товарів і послуг. Агреговані величини характеризують ринкову кон'юнктуру і її зміну ринкова ставка відсотка ВВП загальний рівень цін рівень інфляції рівень безробіття й ін.
48032. Етика. Курс лекцій 2.21 MB
  СЕНС ЖИТТЯ І СТАВЛЕННЯ ДО СМЕРТІ Звідки постає проблема сенсу життя людини 150 Способи осмислення людського буття 155 Феномен смерті 166 Життя як дарунок і відповідь 176 Лекція 7. МОРАЛЬНА САМОСВІДОМІСТЬ Поняття моральної самосвідомості 221 Честь і гідність людини 223 Совість – центральний чинник моральної самосвідомості людини 229 Розкаяння 238 Поняття сорому 241 Лекція 9. ДІЯ І СВОБОДА ЛЮДИНИ Поняття свободи етичний аспект 259 Свобода дії свобода вибору свобода волі 261 Свобода як моральна цінність людського буття 269 ...
48034. Математична теорія 286.5 KB
  Функції та їх властивості. Кажуть що задано функцію з областю визначення X якщо кожному елементу х з цієї множини ставиться у відповідність рівно одне значення y з деякої множини Y Дві функції однакові якщо: однаковий закон відповідності; однакова область визначення. Графік функції множина точок на координатній площині координати яких задовольняють дане співвідношення Ознака графіка функції. Якщо кожна лінія координатної площини є графіком функції якщо кожна пряма паралельна до Оу перетинає цю лінію в одній точці або...
48035. Понятийный аппарат менеджмента, его теоретические основы 87.5 KB
  Понятие организации Для эффективного функционирования менеджмента должна быть создана организация в которой осуществляется деятельность менеджеров. Понятие организации в менеджменте с течением времени претерпело ряд существенных изменений. Из всего многообразия определений понятие организации можно выделить следующие.