54180

Метод розмірностей

Научная статья

Педагогика и дидактика

Однак виявляється що метод розмірностей може бути використаний не тільки і не скільки для перевірки правильності розв’язку поставленої задачі але й для виведення з точністю до константи невідомих співвідношень між фізичними величинами. 1 Основним фундаментальним підходом методу розмірностей є те що будьяку таку функцію ми можемо представити у вигляді наступного виразу y = C x1α x2β x3γ xnω 2 де C – безрозмірна константа;...

Украинкский

2014-03-10

342 KB

1 чел.

Метод  розмірностей

Більшість  величин  з  якими  ми  стикаємось  в  повсякденному  житті  вимірюється  в  певних  одиницях  (маса – кг,  час – сек,  і  т.д.).  Здійснюючи  певні  математичні  дії  з  такими  величинами  ми  оперуємо  не  тільки  ними,  але  і  їхніми  розмінностями,  тобто  величинами  і  одиницями  в  яких  вони  вимірюються:  тобто  2 кг + 3 кг = 5 кг,  але  нонсенсом  буде  2 кг + 3 м.  Таким  чином,  перевіряючи  розмірності  наших  величин  в  правій  і   лівій  частині  рівнянь  ми  контролюємо  правильність  розв’язку.  Однак,  виявляється,  що  метод  розмірностей  може  бути  використаний  не  тільки  і  не  скільки  для  перевірки  правильності  розв’язку  поставленої  задачі,  але  й  для  виведення  з  точністю  до  константи  невідомих  співвідношень  між  фізичними  величинами.

Дії  з  розмінностями  зводяться  до  пошуку  математичних  операцій,  що  пов’язують  різні  розмірності  між  собою.  В  загальному  випадку  якщо  величина  y  є  функцією  інших  величин,  то  ми  можемо  записати

y = f (x1, x2, …, xn).  (1)

Основним  фундаментальним  підходом  методу  розмірностей  є  те,  що  будь-яку  таку  функцію  ми  можемо  представити  у  вигляді  наступного  виразу

y = C x1α x2β x3γ ··· xnω,  (2)

де  C – безрозмірна  константа;

α, β, γ, …, ω – невідомі  константи  (чи  степеневі  показники),  які  потрібно  знайти,  склавши  систему  відповідних  рівнянь.

Очевидно,  що  для  коректної  постановки  задачі  і  її  розв’язання  кількість  рівнянь  повинна  співпадати  з  кількістю  невідомих  показників.  Так  з  допомогою  піднесення  до  степеня  можна  перетворювати  метри  лінійні  (відстані)  в  метри  квадратні  (площа),  та  в  метри  кубічні  (об’єм).

Існують  різні  способи  вимірювання  фізичних  величин,  а  саме:

а) прямі  (наприклад,  відстань – лінійкою,  час – секундоміром).

б) непрямі,  або  опосередковані  (наприклад,  напруга,  швидкість,  вимірювання  температури).

Величини,  вибір  одиниць  вимірювання  яких  не  залежить  від  інших  величин  називаються  основними,  а  ті,  вимірювання  яких  залежить  від  вимірювання  інших – похідними  (доцентрове  прискорення:  a = υ2/r;  сила:       F = m · a;  прискорення:  a = υ/t).

Введемо  для  зручності  такі  позначення:

 (3)

Тут  слід  зазначити,  що  вигляд  будь-якої  величини  взятої  в  квадратні  дужки  означає  її  розмірність,  а  означення    характеризує  ситуацію,  коли  певні  буквенні  позначення  вводяться  за  означенням.

Суть  методу  розмірностей  полягає  в  тому,  що  якщо  деяка  величина  y  є  функцією  незалежних  змінних  інших  x1, x2, …, xn  і  ця  функція  має  вигляд

y = f (x1, x2, …, xn)

то  ця  залежність  вірна  тоді  і  тільки  тоді,  коли  виконується  співвідношення

.  (4)

Нехай  ми  маємо  три  функції:  y,  f,  φ.  Математичні  дії  з  цими  функціями  зводяться  до  того,  що  аналогічні  дії  ми  можемо  здійснювати  із  їхніми  розмінностями.  Існують  основні  чотири  правила  дій  з  розмінностями:

а)    (5)

б)    (5)

в)    (5)

г)    (5)

Так  в  загальному  випадку,  якщо  ми  маємо  представлення  невідомої  функції  y = f (x1, x2, …, xn)  у  вигляді  y = C x1α x2β x3γ ··· xnω  то  при  цьому  можливі  дві  ситуації:

а) C = const  (що  буває  дуже  часто)  і  при  цьому  автоматично  розмірність  C:

.

б) C = C (x1, x2, …, xn),  але  ці  xi  перебувають  в  таких  комбінаціях,  що  дають  безрозмірну  величину,  і  знову  ж  розмірність  C:

.

Коли  спостерігається  випадок,  що  розмірність  константи  не дорівнює  одиниці  ()  як  наприклад,  у  випадку  сили  гравітаційної  взаємодії

,

то  для  знаходження  шуканої  функції  y  потрібно  експериментально  знайти  розмірність  невідомої  константи  і  застосувати  співвідношення  (5) б):

тільки  замість  функції  φ  буде  розмірність  [C],  і  тому

.

В  цьому  випадку  константи  C  (коли  вони  мають  розмірність)  називають  фундаментальними  фізичними  сталими.

Приклад  1.

З  допомогою  методу  розмірностей  знайти  прискорення  точки,  що  рівномірно  рухається  по  колу  з  постійною  лінійною  швидкістю  υ.

 Алгоритм  розв’язку

1. Від  чого  може  залежати  а  при  русі  по  колу?

2. Припускаємо,  що  прискорення  може  залежати  від:

 а)  радіуса  R

 б)  маси  m

 в)  лінійної  швидкості  υ.

3. Представимо  нашу  шукану  залежність  у  вигляді

а = f ( R, m, υ ).

4. Використовуючи  основний  фундаментальний  підхід  методу  розмірностей  (2)  запишемо  нашу  шукану  функцію  у  вигляді

а = C · Rα · mβ · υγ.  (6)

5. Запишемо  окремо  розмірності  кожної  з  величин  використовуючи  співвідношення  (3):

6. Вигляд  цих  розмірностей  підставимо  у  співвідношення  (6),  та  застосуємо  основну  фундаментальну  тотожність  методу  розмірностей  (4).

В  нашому  випадку  вона  матиме  вигляд:

[а] = [C · Rα · mβ · υγ],

або  ж  використовуючи  правило  (5) б):

[а] = [C] · [Rα] · [mβ] · [υγ].

7. У  це  співвідношення  підставляємо  значення  розмірностей:

.

8. Прирівнюючи  показники  степенів  для  різних  фізичних  величин  в  правій  та  лівій  частині  відповідно,  отримуємо  наступну  систему  рівнянь:

 

Враховуючи,  те  що  при  рівності  степеневих  функцій,  при  однакових  їх  основах,  автоматично  випливає  тотожна  рівність  їх  показників,  отримуємо  наступну  систему  рівнянь:

                        

        Згадаємо  наше  співвідношення

а = C · Rα · mβ · υγ

і  підставимо  в  нього  розв’язки  нашої  системи  рівнянь:

.

Ми  знаємо,  що  C = 1.

      Володимир Григорчук

      вчитель фізики Річківської ЗШ

PAGE   \* MERGEFORMAT 4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71518. Использование конструкторов и деструктора при проектировании пользовательского класса 144.21 KB
  Цель работы: Получить практические навыки в разработке алгоритмов и написании программ с использованием конструкторов и деструктора при проектировании пользовательского класса. Оборудование: IBM – совместимый компьютер, система программирования BC3.1, MVC++ 6.00.
71519. Разработка и отладка алгоритмов и программ с использованием указателей 313.5 KB
  Цель работы: Получить практические навыки в разработке алгоритмов и написании программ на языке С с использованием указателей. Оборудование: IBM – совместимый компьютер, система программирования BC3.1, MVC++ 6.00.
71520. Разработка и отладка алгоритмов и программ обработки массивов 233.01 KB
  Цель работы: Получить практические навыки в разработке алгоритмов и написании программ на языке С, обрабатывающих массивы. Оборудование: IBM – совместимый компьютер, система программирования BC3.1, MVC++ 6.00. Вариант 4 Дано натуральное число N. Сколько цифр в числе N?
71521. Мультимедиа технологии 147.51 KB
  Задан речевой сигнал (каждый отсчет представлен 16 битовым целым числом). Файл NAT.WAV Разделить сигнал на кадры по 240 отсчетов каждый. Кадр 77 из 179 Текущий кадр -1528 -2817 -3071 -2677 -2428 -2435 -2394 -1941 -966 316 1457 1962 1757 1220 392 -93 4 -74 -302 -943...
71522. Детали машин и основы конструирования (Курс лекций) 4.19 MB
  Курс лекций нацелен на формирование базовых знаний, необходимых для успешного последующего изучения машин, их конструкции и рабочих процессов, происходящих в них при обычных и экстремальных условиях. В свою очередь, Курс лекций базируется на знаниях, полученных при изучении естественнонаучных...
71523. Хозяйственное и трудовое право 669 KB
  Одним из основных условий успешного построения гражданского общества с рыночной экономикой является наличие у руководителей и специалистов глубоких знаний в области хозяйственного и трудового права и умение использовать их в хозяйственной практике..
71524. Лекции по курсу Истории Отечества 313 KB
  Угрофинские, финские, прибалтийские и балтийские народы, чуваши жили на территории современной России. Через территорию России проходили скифы, авары, унгры, булгары, хазары, сарматы. Были и остготы, создавшие первые государственные образования. Прародиной славян считается часть Польши...
71525. История науки и техники 140 KB
  Афины стали главным ремесленным центром Средиземноморья однако у греческих предпринимателей не хватало рабочей силы – тогда они стали покупать рабов. В греческих судах каждый должен был защищать себя сам; на этих процессах истцы и ответчики изощрялись в ораторском искусстве...