54180

Метод розмірностей

Научная статья

Педагогика и дидактика

Однак виявляється що метод розмірностей може бути використаний не тільки і не скільки для перевірки правильності розвязку поставленої задачі але й для виведення з точністю до константи невідомих співвідношень між фізичними величинами. 1 Основним фундаментальним підходом методу розмірностей є те що будьяку таку функцію ми можемо представити у вигляді наступного виразу y = C x1α x2β x3γ xnω 2 де C безрозмірна константа;...

Украинкский

2014-03-10

342 KB

2 чел.

Метод  розмірностей

Більшість  величин  з  якими  ми  стикаємось  в  повсякденному  житті  вимірюється  в  певних  одиницях  (маса – кг,  час – сек,  і  т.д.).  Здійснюючи  певні  математичні  дії  з  такими  величинами  ми  оперуємо  не  тільки  ними,  але  і  їхніми  розмінностями,  тобто  величинами  і  одиницями  в  яких  вони  вимірюються:  тобто  2 кг + 3 кг = 5 кг,  але  нонсенсом  буде  2 кг + 3 м.  Таким  чином,  перевіряючи  розмірності  наших  величин  в  правій  і   лівій  частині  рівнянь  ми  контролюємо  правильність  розв’язку.  Однак,  виявляється,  що  метод  розмірностей  може  бути  використаний  не  тільки  і  не  скільки  для  перевірки  правильності  розв’язку  поставленої  задачі,  але  й  для  виведення  з  точністю  до  константи  невідомих  співвідношень  між  фізичними  величинами.

Дії  з  розмінностями  зводяться  до  пошуку  математичних  операцій,  що  пов’язують  різні  розмірності  між  собою.  В  загальному  випадку  якщо  величина  y  є  функцією  інших  величин,  то  ми  можемо  записати

y = f (x1, x2, …, xn).  (1)

Основним  фундаментальним  підходом  методу  розмірностей  є  те,  що  будь-яку  таку  функцію  ми  можемо  представити  у  вигляді  наступного  виразу

y = C x1α x2β x3γ ··· xnω,  (2)

де  C – безрозмірна  константа;

α, β, γ, …, ω – невідомі  константи  (чи  степеневі  показники),  які  потрібно  знайти,  склавши  систему  відповідних  рівнянь.

Очевидно,  що  для  коректної  постановки  задачі  і  її  розв’язання  кількість  рівнянь  повинна  співпадати  з  кількістю  невідомих  показників.  Так  з  допомогою  піднесення  до  степеня  можна  перетворювати  метри  лінійні  (відстані)  в  метри  квадратні  (площа),  та  в  метри  кубічні  (об’єм).

Існують  різні  способи  вимірювання  фізичних  величин,  а  саме:

а) прямі  (наприклад,  відстань – лінійкою,  час – секундоміром).

б) непрямі,  або  опосередковані  (наприклад,  напруга,  швидкість,  вимірювання  температури).

Величини,  вибір  одиниць  вимірювання  яких  не  залежить  від  інших  величин  називаються  основними,  а  ті,  вимірювання  яких  залежить  від  вимірювання  інших – похідними  (доцентрове  прискорення:  a = υ2/r;  сила:       F = m · a;  прискорення:  a = υ/t).

Введемо  для  зручності  такі  позначення:

 (3)

Тут  слід  зазначити,  що  вигляд  будь-якої  величини  взятої  в  квадратні  дужки  означає  її  розмірність,  а  означення    характеризує  ситуацію,  коли  певні  буквенні  позначення  вводяться  за  означенням.

Суть  методу  розмірностей  полягає  в  тому,  що  якщо  деяка  величина  y  є  функцією  незалежних  змінних  інших  x1, x2, …, xn  і  ця  функція  має  вигляд

y = f (x1, x2, …, xn)

то  ця  залежність  вірна  тоді  і  тільки  тоді,  коли  виконується  співвідношення

.  (4)

Нехай  ми  маємо  три  функції:  y,  f,  φ.  Математичні  дії  з  цими  функціями  зводяться  до  того,  що  аналогічні  дії  ми  можемо  здійснювати  із  їхніми  розмінностями.  Існують  основні  чотири  правила  дій  з  розмінностями:

а)    (5)

б)    (5)

в)    (5)

г)    (5)

Так  в  загальному  випадку,  якщо  ми  маємо  представлення  невідомої  функції  y = f (x1, x2, …, xn)  у  вигляді  y = C x1α x2β x3γ ··· xnω  то  при  цьому  можливі  дві  ситуації:

а) C = const  (що  буває  дуже  часто)  і  при  цьому  автоматично  розмірність  C:

.

б) C = C (x1, x2, …, xn),  але  ці  xi  перебувають  в  таких  комбінаціях,  що  дають  безрозмірну  величину,  і  знову  ж  розмірність  C:

.

Коли  спостерігається  випадок,  що  розмірність  константи  не дорівнює  одиниці  ()  як  наприклад,  у  випадку  сили  гравітаційної  взаємодії

,

то  для  знаходження  шуканої  функції  y  потрібно  експериментально  знайти  розмірність  невідомої  константи  і  застосувати  співвідношення  (5) б):

тільки  замість  функції  φ  буде  розмірність  [C],  і  тому

.

В  цьому  випадку  константи  C  (коли  вони  мають  розмірність)  називають  фундаментальними  фізичними  сталими.

Приклад  1.

З  допомогою  методу  розмірностей  знайти  прискорення  точки,  що  рівномірно  рухається  по  колу  з  постійною  лінійною  швидкістю  υ.

 Алгоритм  розв’язку

1. Від  чого  може  залежати  а  при  русі  по  колу?

2. Припускаємо,  що  прискорення  може  залежати  від:

 а)  радіуса  R

 б)  маси  m

 в)  лінійної  швидкості  υ.

3. Представимо  нашу  шукану  залежність  у  вигляді

а = f ( R, m, υ ).

4. Використовуючи  основний  фундаментальний  підхід  методу  розмірностей  (2)  запишемо  нашу  шукану  функцію  у  вигляді

а = C · Rα · mβ · υγ.  (6)

5. Запишемо  окремо  розмірності  кожної  з  величин  використовуючи  співвідношення  (3):

6. Вигляд  цих  розмірностей  підставимо  у  співвідношення  (6),  та  застосуємо  основну  фундаментальну  тотожність  методу  розмірностей  (4).

В  нашому  випадку  вона  матиме  вигляд:

[а] = [C · Rα · mβ · υγ],

або  ж  використовуючи  правило  (5) б):

[а] = [C] · [Rα] · [mβ] · [υγ].

7. У  це  співвідношення  підставляємо  значення  розмірностей:

.

8. Прирівнюючи  показники  степенів  для  різних  фізичних  величин  в  правій  та  лівій  частині  відповідно,  отримуємо  наступну  систему  рівнянь:

 

Враховуючи,  те  що  при  рівності  степеневих  функцій,  при  однакових  їх  основах,  автоматично  випливає  тотожна  рівність  їх  показників,  отримуємо  наступну  систему  рівнянь:

                        

        Згадаємо  наше  співвідношення

а = C · Rα · mβ · υγ

і  підставимо  в  нього  розв’язки  нашої  системи  рівнянь:

.

Ми  знаємо,  що  C = 1.

      Володимир Григорчук

      вчитель фізики Річківської ЗШ

PAGE   \* MERGEFORMAT 4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1603. Методика и степень разбавления спермы 19.18 KB
  Для разбавления спермы используют специальные среды, создающие следующие преимущества: получается большой объем спермы, что имеет важное практическое значение для интенсивного использования ценных производителей, в сперме, смешанной с некоторыми разбавителями, спермии переходят из активного в анабиотическое состояние.
1604. Методы определения течки, охоты, полового и овуляции у разных видов животных 20.38 KB
  Течка — выделение прозрачной слизи из половых органов самки. Характеризуется покраснением и набуханием слизистой оболочки преддверия влагалища и влагалищной части шейки матки.
1605. Методы стимуляции половой функции самок и самцов 21.74 KB
  Регулируются половые функции самок сложным комплексом реакций на определенные раздражители, возникающие как внутри организма, так и исходящие из внешней среды. Решающую роль в проявлении функции размножения выполняет центральная нервная система, регулирующая секрецию гормонов.
1606. Морфофункциональная характеристика вымени 21.04 KB
  Молочная железа, вымя коровы - железистый орган, состоящий из четырех четвертей, каждая из них внизу оканчивается соском. У некоторых коров имеются по две, реже по четыре дополнительные четверти, обычно слаборазвитые, не имеющие железистой ткани и соскового канала.
1607. Морфофункциональные особенности половых органов кобыл 20.32 KB
  Половый органы состоят из вульва, клитор, преддверье влагалища, влагалище, матка. У кобыл матка двурогая: от ее относительно большого тела отходят, направляясь вверх к позвоночнику, два рога.
1608. Морфофункциональные особенности половых органов свиней 18.62 KB
  Половые органы хряка представлены парными органами: семенниками (яичками) с придатками, семяпроводами и семенными канатиками, придаточными половыми железами, и непарными органами: мошонкой, мочеполовым каналом, половым членом и препуцием...
1609. Морфофункциональные особенности строения половых органов быка 20.86 KB
  Половые органы состоят из двух половых желез – семенников с придатками и спермиопроводов, которые включают в себя внутренние половые протоки. Придаток семенника представляет собой трубку, которая идет по всей длине семенника.
1610. Наружные методы исследования на беременность животных разных видов 19.32 KB
  Наружное исследование слагается из рефлексологического метода, осмотра, пальпации и аускультации. При осмотре устанавливается асимметрия правой и левой брюшных стенок со второй половины беременности.
1611. Нейрогуморальная регуляция беременности 21.39 KB
  Необходимым условием для возникновения и течения половых циклов является наличие двух групп гормонов: гонадотропных и гонадальных (овариальных).