54180

Метод розмірностей

Научная статья

Педагогика и дидактика

Однак виявляється що метод розмірностей може бути використаний не тільки і не скільки для перевірки правильності розв’язку поставленої задачі але й для виведення з точністю до константи невідомих співвідношень між фізичними величинами. 1 Основним фундаментальним підходом методу розмірностей є те що будьяку таку функцію ми можемо представити у вигляді наступного виразу y = C x1α x2β x3γ xnω 2 де C – безрозмірна константа;...

Украинкский

2014-03-10

342 KB

1 чел.

Метод  розмірностей

Більшість  величин  з  якими  ми  стикаємось  в  повсякденному  житті  вимірюється  в  певних  одиницях  (маса – кг,  час – сек,  і  т.д.).  Здійснюючи  певні  математичні  дії  з  такими  величинами  ми  оперуємо  не  тільки  ними,  але  і  їхніми  розмінностями,  тобто  величинами  і  одиницями  в  яких  вони  вимірюються:  тобто  2 кг + 3 кг = 5 кг,  але  нонсенсом  буде  2 кг + 3 м.  Таким  чином,  перевіряючи  розмірності  наших  величин  в  правій  і   лівій  частині  рівнянь  ми  контролюємо  правильність  розв’язку.  Однак,  виявляється,  що  метод  розмірностей  може  бути  використаний  не  тільки  і  не  скільки  для  перевірки  правильності  розв’язку  поставленої  задачі,  але  й  для  виведення  з  точністю  до  константи  невідомих  співвідношень  між  фізичними  величинами.

Дії  з  розмінностями  зводяться  до  пошуку  математичних  операцій,  що  пов’язують  різні  розмірності  між  собою.  В  загальному  випадку  якщо  величина  y  є  функцією  інших  величин,  то  ми  можемо  записати

y = f (x1, x2, …, xn).  (1)

Основним  фундаментальним  підходом  методу  розмірностей  є  те,  що  будь-яку  таку  функцію  ми  можемо  представити  у  вигляді  наступного  виразу

y = C x1α x2β x3γ ··· xnω,  (2)

де  C – безрозмірна  константа;

α, β, γ, …, ω – невідомі  константи  (чи  степеневі  показники),  які  потрібно  знайти,  склавши  систему  відповідних  рівнянь.

Очевидно,  що  для  коректної  постановки  задачі  і  її  розв’язання  кількість  рівнянь  повинна  співпадати  з  кількістю  невідомих  показників.  Так  з  допомогою  піднесення  до  степеня  можна  перетворювати  метри  лінійні  (відстані)  в  метри  квадратні  (площа),  та  в  метри  кубічні  (об’єм).

Існують  різні  способи  вимірювання  фізичних  величин,  а  саме:

а) прямі  (наприклад,  відстань – лінійкою,  час – секундоміром).

б) непрямі,  або  опосередковані  (наприклад,  напруга,  швидкість,  вимірювання  температури).

Величини,  вибір  одиниць  вимірювання  яких  не  залежить  від  інших  величин  називаються  основними,  а  ті,  вимірювання  яких  залежить  від  вимірювання  інших – похідними  (доцентрове  прискорення:  a = υ2/r;  сила:       F = m · a;  прискорення:  a = υ/t).

Введемо  для  зручності  такі  позначення:

 (3)

Тут  слід  зазначити,  що  вигляд  будь-якої  величини  взятої  в  квадратні  дужки  означає  її  розмірність,  а  означення    характеризує  ситуацію,  коли  певні  буквенні  позначення  вводяться  за  означенням.

Суть  методу  розмірностей  полягає  в  тому,  що  якщо  деяка  величина  y  є  функцією  незалежних  змінних  інших  x1, x2, …, xn  і  ця  функція  має  вигляд

y = f (x1, x2, …, xn)

то  ця  залежність  вірна  тоді  і  тільки  тоді,  коли  виконується  співвідношення

.  (4)

Нехай  ми  маємо  три  функції:  y,  f,  φ.  Математичні  дії  з  цими  функціями  зводяться  до  того,  що  аналогічні  дії  ми  можемо  здійснювати  із  їхніми  розмінностями.  Існують  основні  чотири  правила  дій  з  розмінностями:

а)    (5)

б)    (5)

в)    (5)

г)    (5)

Так  в  загальному  випадку,  якщо  ми  маємо  представлення  невідомої  функції  y = f (x1, x2, …, xn)  у  вигляді  y = C x1α x2β x3γ ··· xnω  то  при  цьому  можливі  дві  ситуації:

а) C = const  (що  буває  дуже  часто)  і  при  цьому  автоматично  розмірність  C:

.

б) C = C (x1, x2, …, xn),  але  ці  xi  перебувають  в  таких  комбінаціях,  що  дають  безрозмірну  величину,  і  знову  ж  розмірність  C:

.

Коли  спостерігається  випадок,  що  розмірність  константи  не дорівнює  одиниці  ()  як  наприклад,  у  випадку  сили  гравітаційної  взаємодії

,

то  для  знаходження  шуканої  функції  y  потрібно  експериментально  знайти  розмірність  невідомої  константи  і  застосувати  співвідношення  (5) б):

тільки  замість  функції  φ  буде  розмірність  [C],  і  тому

.

В  цьому  випадку  константи  C  (коли  вони  мають  розмірність)  називають  фундаментальними  фізичними  сталими.

Приклад  1.

З  допомогою  методу  розмірностей  знайти  прискорення  точки,  що  рівномірно  рухається  по  колу  з  постійною  лінійною  швидкістю  υ.

 Алгоритм  розв’язку

1. Від  чого  може  залежати  а  при  русі  по  колу?

2. Припускаємо,  що  прискорення  може  залежати  від:

 а)  радіуса  R

 б)  маси  m

 в)  лінійної  швидкості  υ.

3. Представимо  нашу  шукану  залежність  у  вигляді

а = f ( R, m, υ ).

4. Використовуючи  основний  фундаментальний  підхід  методу  розмірностей  (2)  запишемо  нашу  шукану  функцію  у  вигляді

а = C · Rα · mβ · υγ.  (6)

5. Запишемо  окремо  розмірності  кожної  з  величин  використовуючи  співвідношення  (3):

6. Вигляд  цих  розмірностей  підставимо  у  співвідношення  (6),  та  застосуємо  основну  фундаментальну  тотожність  методу  розмірностей  (4).

В  нашому  випадку  вона  матиме  вигляд:

[а] = [C · Rα · mβ · υγ],

або  ж  використовуючи  правило  (5) б):

[а] = [C] · [Rα] · [mβ] · [υγ].

7. У  це  співвідношення  підставляємо  значення  розмірностей:

.

8. Прирівнюючи  показники  степенів  для  різних  фізичних  величин  в  правій  та  лівій  частині  відповідно,  отримуємо  наступну  систему  рівнянь:

 

Враховуючи,  те  що  при  рівності  степеневих  функцій,  при  однакових  їх  основах,  автоматично  випливає  тотожна  рівність  їх  показників,  отримуємо  наступну  систему  рівнянь:

                        

        Згадаємо  наше  співвідношення

а = C · Rα · mβ · υγ

і  підставимо  в  нього  розв’язки  нашої  системи  рівнянь:

.

Ми  знаємо,  що  C = 1.

      Володимир Григорчук

      вчитель фізики Річківської ЗШ

PAGE   \* MERGEFORMAT 4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72274. Когнитивный диссонанс 33.45 KB
  Когнитивный диссонанс – цветочек из такого букета, и его аромат может изрядно отравлять жизнь. Знакомо ли Вам чувство сожаления после состоявшегося обдуманного выбора. А недовольство собой из-за того, что пора бы перестать делать то, что ты никак не можешь перестать делать...
72275. ПОПЕРЕЧНЫЕ ПРОФИЛИ ЗЕМЛЯНОГО ПОЛОТНА 1.85 MB
  Земляное полотно –- это инженерное сооружение из грунта на котором размещается верхнее строение железнодорожного пути. От надежности земляного полотна зависят техническая скорость движения поездов и разрешаемая статическая нагрузка на рельсы передаваемая от колесных пар вагонов...
72276. Средства обеспечения безопасности информации в сетях 262 KB
  Сервисные службы защиты информации являются ответственными за обеспечение основных требований пользователей, предъявляемых к телекоммуникационным системам (с точки зрения ее надежности). Причем данные службы должны функционировать во всех трех плоскостях: менеджмента, управления и пользовательской.
72277. Банковская и казначейская система исполнения бюджета. Сравнительный анализ 120.5 KB
  Федеральный бюджет является одним из главных инструментов государственного регулирования экономики, стимулирования производственных и социальных процессов. Его доходы служат финансовой базой деятельности государства, а расходы - удовлетворению общегосударственных потребностей.
72278. Корпоративные финансы: сущность, особенности и проблемы их формирования 41.44 KB
  Корпоративные группы в форме ФПГ представляют собой такие добровольные объединения предприятий которые позволяют строить партнерские отношения между государством и фирмами; крупным и мелким средним бизнесом; предприятиями и регионами в лице исполнительных...
72279. ЭПИЛЕПСИЯ 95.5 KB
  Наиболее часто эпилептические приступы встречаются в детском возрасте. Приступы у детей характеризуются не только высокой частотой но и большей степенью выраженности. Именно в период когда идет интенсивное развитие мозга приступы могут привести к вторичным изменениям со стороны психики ребенка.
72280. ЗАЩИТА ОТ ОШИБОК И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПОТЕРЬ ПАКЕТОВ В НИЗКОСКОРОСТНЫХ РЕЧЕВЫХ КОДЕКАХ. ТЕХНОЛОГИЯ MIMO В СИСТЕМАХ LTE 3.51 MB
  Типовой вокодер состоит из кодера (анализатора) и декодера (синтезатора) речевого сигнала. В реальной системе ЦРС декодер разделен с кодером цифровым каналом связи, в котором могут возникать ошибки. Обработка речи ведется, как правило, по кадрам фиксированной длительности с формированием...
72281. Основные требования системы качества - QoS 34.13 KB
  Все более актуальным становится корпоративное использование Интернета для удаленного доступа к данным, информационного поиска, обмена электронными сообщениями и других применений. Сервис-провайдеры отмечают огромный потенциал Интернета при работе с корпоративными клиентами, который еще не реализован.
72282. Синдром эмоционального выгорания 374.22 KB
  В современном обществе меняется отношение людей к работе. Люди теряют уверенность в стабильности своего социального и материального положения, в гарантированности рабочего места. Обостряется конкуренция за престижную и высокооплачиваемую работу.