54180

Метод розмірностей

Научная статья

Педагогика и дидактика

Однак виявляється що метод розмірностей може бути використаний не тільки і не скільки для перевірки правильності розв’язку поставленої задачі але й для виведення з точністю до константи невідомих співвідношень між фізичними величинами. 1 Основним фундаментальним підходом методу розмірностей є те що будьяку таку функцію ми можемо представити у вигляді наступного виразу y = C x1α x2β x3γ xnω 2 де C – безрозмірна константа;...

Украинкский

2014-03-10

342 KB

1 чел.

Метод  розмірностей

Більшість  величин  з  якими  ми  стикаємось  в  повсякденному  житті  вимірюється  в  певних  одиницях  (маса – кг,  час – сек,  і  т.д.).  Здійснюючи  певні  математичні  дії  з  такими  величинами  ми  оперуємо  не  тільки  ними,  але  і  їхніми  розмінностями,  тобто  величинами  і  одиницями  в  яких  вони  вимірюються:  тобто  2 кг + 3 кг = 5 кг,  але  нонсенсом  буде  2 кг + 3 м.  Таким  чином,  перевіряючи  розмірності  наших  величин  в  правій  і   лівій  частині  рівнянь  ми  контролюємо  правильність  розв’язку.  Однак,  виявляється,  що  метод  розмірностей  може  бути  використаний  не  тільки  і  не  скільки  для  перевірки  правильності  розв’язку  поставленої  задачі,  але  й  для  виведення  з  точністю  до  константи  невідомих  співвідношень  між  фізичними  величинами.

Дії  з  розмінностями  зводяться  до  пошуку  математичних  операцій,  що  пов’язують  різні  розмірності  між  собою.  В  загальному  випадку  якщо  величина  y  є  функцією  інших  величин,  то  ми  можемо  записати

y = f (x1, x2, …, xn).  (1)

Основним  фундаментальним  підходом  методу  розмірностей  є  те,  що  будь-яку  таку  функцію  ми  можемо  представити  у  вигляді  наступного  виразу

y = C x1α x2β x3γ ··· xnω,  (2)

де  C – безрозмірна  константа;

α, β, γ, …, ω – невідомі  константи  (чи  степеневі  показники),  які  потрібно  знайти,  склавши  систему  відповідних  рівнянь.

Очевидно,  що  для  коректної  постановки  задачі  і  її  розв’язання  кількість  рівнянь  повинна  співпадати  з  кількістю  невідомих  показників.  Так  з  допомогою  піднесення  до  степеня  можна  перетворювати  метри  лінійні  (відстані)  в  метри  квадратні  (площа),  та  в  метри  кубічні  (об’єм).

Існують  різні  способи  вимірювання  фізичних  величин,  а  саме:

а) прямі  (наприклад,  відстань – лінійкою,  час – секундоміром).

б) непрямі,  або  опосередковані  (наприклад,  напруга,  швидкість,  вимірювання  температури).

Величини,  вибір  одиниць  вимірювання  яких  не  залежить  від  інших  величин  називаються  основними,  а  ті,  вимірювання  яких  залежить  від  вимірювання  інших – похідними  (доцентрове  прискорення:  a = υ2/r;  сила:       F = m · a;  прискорення:  a = υ/t).

Введемо  для  зручності  такі  позначення:

 (3)

Тут  слід  зазначити,  що  вигляд  будь-якої  величини  взятої  в  квадратні  дужки  означає  її  розмірність,  а  означення    характеризує  ситуацію,  коли  певні  буквенні  позначення  вводяться  за  означенням.

Суть  методу  розмірностей  полягає  в  тому,  що  якщо  деяка  величина  y  є  функцією  незалежних  змінних  інших  x1, x2, …, xn  і  ця  функція  має  вигляд

y = f (x1, x2, …, xn)

то  ця  залежність  вірна  тоді  і  тільки  тоді,  коли  виконується  співвідношення

.  (4)

Нехай  ми  маємо  три  функції:  y,  f,  φ.  Математичні  дії  з  цими  функціями  зводяться  до  того,  що  аналогічні  дії  ми  можемо  здійснювати  із  їхніми  розмінностями.  Існують  основні  чотири  правила  дій  з  розмінностями:

а)    (5)

б)    (5)

в)    (5)

г)    (5)

Так  в  загальному  випадку,  якщо  ми  маємо  представлення  невідомої  функції  y = f (x1, x2, …, xn)  у  вигляді  y = C x1α x2β x3γ ··· xnω  то  при  цьому  можливі  дві  ситуації:

а) C = const  (що  буває  дуже  часто)  і  при  цьому  автоматично  розмірність  C:

.

б) C = C (x1, x2, …, xn),  але  ці  xi  перебувають  в  таких  комбінаціях,  що  дають  безрозмірну  величину,  і  знову  ж  розмірність  C:

.

Коли  спостерігається  випадок,  що  розмірність  константи  не дорівнює  одиниці  ()  як  наприклад,  у  випадку  сили  гравітаційної  взаємодії

,

то  для  знаходження  шуканої  функції  y  потрібно  експериментально  знайти  розмірність  невідомої  константи  і  застосувати  співвідношення  (5) б):

тільки  замість  функції  φ  буде  розмірність  [C],  і  тому

.

В  цьому  випадку  константи  C  (коли  вони  мають  розмірність)  називають  фундаментальними  фізичними  сталими.

Приклад  1.

З  допомогою  методу  розмірностей  знайти  прискорення  точки,  що  рівномірно  рухається  по  колу  з  постійною  лінійною  швидкістю  υ.

 Алгоритм  розв’язку

1. Від  чого  може  залежати  а  при  русі  по  колу?

2. Припускаємо,  що  прискорення  може  залежати  від:

 а)  радіуса  R

 б)  маси  m

 в)  лінійної  швидкості  υ.

3. Представимо  нашу  шукану  залежність  у  вигляді

а = f ( R, m, υ ).

4. Використовуючи  основний  фундаментальний  підхід  методу  розмірностей  (2)  запишемо  нашу  шукану  функцію  у  вигляді

а = C · Rα · mβ · υγ.  (6)

5. Запишемо  окремо  розмірності  кожної  з  величин  використовуючи  співвідношення  (3):

6. Вигляд  цих  розмірностей  підставимо  у  співвідношення  (6),  та  застосуємо  основну  фундаментальну  тотожність  методу  розмірностей  (4).

В  нашому  випадку  вона  матиме  вигляд:

[а] = [C · Rα · mβ · υγ],

або  ж  використовуючи  правило  (5) б):

[а] = [C] · [Rα] · [mβ] · [υγ].

7. У  це  співвідношення  підставляємо  значення  розмірностей:

.

8. Прирівнюючи  показники  степенів  для  різних  фізичних  величин  в  правій  та  лівій  частині  відповідно,  отримуємо  наступну  систему  рівнянь:

 

Враховуючи,  те  що  при  рівності  степеневих  функцій,  при  однакових  їх  основах,  автоматично  випливає  тотожна  рівність  їх  показників,  отримуємо  наступну  систему  рівнянь:

                        

        Згадаємо  наше  співвідношення

а = C · Rα · mβ · υγ

і  підставимо  в  нього  розв’язки  нашої  системи  рівнянь:

.

Ми  знаємо,  що  C = 1.

      Володимир Григорчук

      вчитель фізики Річківської ЗШ

PAGE   \* MERGEFORMAT 4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4575. Раскраска графа способом разработки программного продукта 403.33 KB
  Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кенигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов. Впервые...
4576. Создание программы для рисования кривых второго порядка в среде Borland C++ Builder 6 437 KB
  Введение В рамках данного курсового проекта требуется написать программу, рисующую кривые второго порядка. Для разработки была использована среда разработки BorlandC++ Builder 6. Формулировка поставленной задачи Написать программу, рисующую кр...
4577. Покрывающее дерево. Концепция алгоритма Краскала 252.41 KB
  Алгоритм Краскала может строить дерево одновременно для нескольких компонент связности, которые в процессе решения объединяются в одно связанное дерево. Полный граф задается списком ребер. Перед работой список ребер сортируется по возрастанию длины....
4578. Философия человека 185 KB
  Философия человека Понятие философской антропологии. Проблема человека в истории философии. Проблема определения сущности человека. Философские проблемы антропосоциогенеза. Смысл и ценность жизни человека. Введение. С развитием общества ...
4579. Визначення максимальної енергії бета-частинок у спектрі 78 KB
  Визначення максимальної енергіїбета-частинок у спектрі Мета роботи: визначення максимальної енергії бета-частинок в спектрі. Короткі теоретичні відомості Бета-розпад — це самовільний процес, в якому нестабільне ядро перетворюєтьс...
4580. Вивчення прискорення вільного падіння тіла за допомогою фізичного маятника 103 KB
  Вивчення прискорення вільного падіння тіла за допомогою фізичного маятника Мета роботи. Вивчити вільні незатухаючі коливання фізичного маятника і визначити прискорення вільного падіння. Теоретичні відомості. Коливання - це процес, який п...
4581. Управление затратами предприятия на примере ООО «Кормилец» 184.81 KB
  Дать характеристику и классификацию издержек обращения в торговых предприятиях; изучить методы управления затратами; дать характеристику деятельности ООО «Кормилец»; сделать анализ финансового состояния предприятия; разработать план мероприятия по управлению затратами; дать оценку эффективности данных мероприятий...
4582. Сучасні технології захисту інформації в комп’ютерних системах і мережах 2.15 MB
  Частина друга присвячена питанням захисту інформації в комп’ютерних мережах. До її складу входять роботи: Перехоплення мережевого обміну, Сканування TCP/IP мереж, Засоби аналізу захищеності, Міжмережеві екрани, Системи виявлення атак. Лаборатор...
4583. Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач 80 KB
  Використання методу Монте-Карло для вирішення стохастичних і детермінованих задач. Мета роботи:Ознайомитись з методом статистичних випробувань (метод Монте-Карло), та його застосуванням для вирішення стохастичних та детермінованих задач. Метод...