54201

Математична конференція «Золотий переріз – душа гармонії»

Конспект урока

Педагогика и дидактика

І називається вона Золотий переріз душа гармонії. Теорему Піфагора знає кожен школяр а про золотий переріз далеко не всі. Про золотий переріз знали ще в Давньому Єгипті й Вавилоні в Індії та Китаї.

Украинкский

2014-03-11

502 KB

19 чел.

Математична конференція

«Золотий переріз – душа гармонії»

Геометрія володіє двома скарбами: одне з них - теорема Піфагора, друге - поділ відрізка в середньому й крайньому відношенні.

І. Кеплер

Пропонуємо вашій увазі розробку позакласного заходу, який реалізує прикладну спрямованість математики, а також допоможе учням орієнтуватися в навколишньому світі. Учні повинні сприймати світ у цілому, а не лише з точки зору окремого предмета. Таким чином, у дітей формується власний погляд на майбутню професію та подальше отримання освіти.

Мета: прищеплювати учням інтерес до вивчення математики; формувати уявлення про ідеї математики та їх роль у пізнанні навколишнього світу; розвивати мислення, розумову активність, пізнавальну самостійність, потребу в самоосвіті, формувати науковий світогляд; виховувати загальнолюдські духовні цінності.

ХІД ЗАХОДУ

Учитель

Великі твори мистецтва, візерунки й вигадливі форми, які зустрічаються в природі, багато століть захоплюють людство своєю красою та гармонією. А створює цю гармонію цариця наук – математика. Наша конференція присвячена темі «золотого перерізу». І називається вона «Золотий переріз - душа гармонії».

Учасники конференції - учні старших класів, які захоплюються математикою, будуть працювати в різних секціях.

Йоганн Кеплер говорив, що геометрія володіє двома скарбами - теоремою Піфагора та Золотим перерізом. Якщо перший із цих скарбів можна порівняти з мірою золота, то другий – із коштовним каменем.

Теорему Піфагора знає кожен школяр, а про «золотий переріз» – далеко не всі. Сьогодні ми спробуємо дізнатися більше про цей «коштовний камінь».

 Учень 1. 

Про золотий переріз знали ще в Давньому Єгипті й Вавилоні, в Індії та Китаї. Великий Піфагор створив таємну школу, де вивчалася містична суть «золотого перерізу». Евклід застосував його, створюючи свою геометрію, а Фідій - свої безсмертні скульптури. Платон розповідав, що Всесвіт влаштований згідно з «золотим перерізом». Вищу гармонію «золотого перерізу» будуть проповідувати Леонардо да Вінчі й Мікеланджело, адже краса та «золотий переріз» – це одне й теж. А християнські містики малюватимуть на стінах своїх монастирів пентаграми «золотого перерізу», рятуючись від Диявола. При цьому вчені - від Пачолі до Ейнштейна – шукатимуть, але так і не знайдуть його точного значення. Нескінченний ряд після коми - 0,6180339887...

Так що ж таке «золотий переріз»?

Учитель.

Кажуть, що точка С ділить відрізок АВ у «золотому перерізі», якщо АС: АВ = ВС: АС.

Золотий переріз-це такий розподіл цілого на дві нерівні частини, при якому більша частина відноситься до цілого, як менша до більшої.

Такий поділ відрізка з часів стародавніх греків називається діленням відрізка в крайньому й середньому відношенні.

Нехай АВ = а, АС = х, тоді ВС = а – х.

Пропорція АС:АВ = ВС:АС має вигляд .

Звідси, х2 = а2 – ах,

x2 + ах – а2 = 0, х>0

x1,2 =

x1 =  - не задовольняє умові х>0.

x2 =

Число φ = = 0,618034...  0,62 називається числом Фідія, давньогрецького скульптора, у творіннях якого часто зустрічається це число.

Таким чином, х  0,62а, а - х  0,38а і частини «золотого перерізу» складають приблизно 62% і 38% всього відрізка.

Проведемо невеликий експеримент.

Пропонуємо вам на вибір 5 різних прямокутників. На аркуші напишіть номер того прямокутника, який сподобався найбільше.

Як бачимо, найбільше подобається людям саме той прямокутник, сторони якого знаходяться в золотому відношенні.

Даний експеримент доводить, що відношення довжин відрізків, яке дорівнює числу Фідія, найбільш приємне для людського ока.

До речі, саме такими є розміри стандартних книг, документів, поштових листів, кредитних карток.

«Золотий переріз» дуже розповсюджений серед скульпторів, архітекторів і художників.

Слово представникам секції живопису.

Учень 2.

«Золотий переріз» був особливо популярним в епоху Відродження. Вибираючи розміри самої картини, намагалися, щоб її сторони перебували в золотому відношенні. Такий прямокутник стали називати «золотим». Цей термін уперше увів Леонардо да Вінчі. Прикладом такого прямокутника є картина Сальвадора Далі «Таємна вечеря». Перевірте це.

Подивіться уважно на пейзажі І.А. Айвазовського, І.В. Левітана.

Як бачите, лінія горизонту на жодному з них не проходить по середині полотна. Вона обов'язково ділить його на частини, відношення площ яких 0,618... Саме таке відношення виявляється сприятливим для сприйняття зображення глядачами.

Мотиви «золотого перерізу» можна знайти й у композиційному вирішенні картин. У вас на столах лежить репродукція картини І. Шишкіна «Корабельная роща».

На передньому плані бачимо яскраво освітлену сонцем сосну, праворуч від якої пагорок. Працюючи у своїй секції, ми знайшли на цій картині «золоті» відношення. Давайте разом перевіримо, що сосна ділить картину по вертикалі, а пагорб по горизонталі в «золотому відношенні».

Розглянемо ще один приклад. Перед вами картина І. Сурікова  «Бояриня Морозова».

Композиція цієї картини - діагональна. Двома основними драматичними точками є рука Морозової та рука жебрачки. Якщо з цих точок опустити перпендикуляри до сторін прямокутника (картини), то отримаємо «золоті прямокутники».

Золотий прямокутник має цікаві властивості. Зараз ми разом із вами їх вивчимо.

Якщо від золотого прямокутника зі сторонами а і b (а>b) відрізати квадрат зі стороною b, то отримаємо прямокутник зі сторонами b і а - b, який теж золотий.

У вас на партах лежать прямокутники. Поміряйте їх сторони й знайдіть відношення меншої сторони до більшої.

Накресліть квадрат зі стороною, рівною ширині прямокутника.

Виміряйте сторони отриманого маленького прямокутника та знайдіть їх відношення, як минулого разу, і т.д. Продовжуючи цей процес, ми щоразу будемо отримувати прямокутник менших розмірів, і знову золотий.

Про «золотий переріз» знали Піфагор і його учні (VI століття до н.е.). У філософській школі Піфагора, крім філософії та математики, вивчали й гармонію. Світ, вважали вони, складається з протилежностей, а гармонія приводить протилежності до єдності. Гармонія ж полягає в числових відношеннях. Піфагорійці приписували числам різні властивості. Так, парні числа вони називали жіночими, непарні (крім 1)-чоловічими. Число 5 - як сума першого жіночого числа (2) та першого чоловічого (3) - вважалося символом любові. Звідси така увага до пентаграми, що має 5 кутів.

Саме її вони обрали символом свого союзу. Вона вважалася амулетом здоров'я.

Чим же цікава пентаграма з математичної точки зору?

Слово надається представнику секції математиків.


Учень 3.

Побудуємо спочатку правильний п'ятикутник. З центру кола послідовно відкладемо центральні кути, рівні 360 °: 5 = 72 °. Сторони кутів перетинають коло в точках А, В, С, D, Е. З’єднавши їх послідовно, одержимо правильний п'ятикутник.

 

А тепер проведемо в цьому п'ятикутнику всі діагоналі. Вони утворюють правильний зірчастий п'ятикутник, тобто знамениту пентаграму.

Цікаво, що сторони пентаграми, перерізаючись, утворюють знову правильний п'ятикутник, у якому переріз діагоналей дає нам нову пентаграму, а в перерізі її сторін знову бачимо правильний п'ятикутник, який відкриває можливість побудови нової пентаграми. І так далі до нескінченності.

Тепер розглянемо пентаграму.

З’єднаємо точки К і F. Раніше відзначалося, що п’ятикутник KLFPM – правильний, тобто KLF = 108°. Тоді  1 = 2 = 36°, але . З того що  випливає, що EC||KF, а тоді трикутники BEP і BKF подібні. BE:BK=BP:BF. Позначимо BE = a і BK=x, тоді а:х=х:(а – х), або х2 + ах – а2=0. Таким чином, ми отримали те ж рівняння, розв’язком якого є . Про це рівняння ми згадували на початку заходу. Отже, BK:BE= φ.

Такий зірчастий п'ятикутник можна зустріти в арабських геометричних орнаментах.

Існує й «золотий» трикутник. Це рівнобедрений трикутник, у якого відношення довжини основи до довжини бічної сторони дорівнює φ. Це трикутники ABD, АСЕ і т.д. Композиція відомої картини Леонардо да Вінчі «Мона Ліза» заснована саме на золотих трикутниках. Подивіться.

 Учитель

А тепер послухаємо представника секції «Скульптура».

Учень 4.

Звернемося до скульптури. Подивіться на ілюстрації картин із зображеннями фігур Аполлона Бельведерського та Венери Мілоської. Їх форми заворожують красою й гармонією. І все тому, що будова тіла людини теж «золота пропорція».

 

Розглянемо застосування «золотого перерізу» в древньогрецькій скульптурі Поликлета «Дорифор».

 

У цій статуї ми багато разів зустрічаємо застосування числа  φ. Так, пупок ( точка О) ділить висоту статуї у відношенні «золотого перерізу». Отже, якщо висоту АВ прийняти за одиницю, АО= φ, але тоді ОВ=1- φ. На малюнку показано, що відстань ОВ дорівнює  φ2. Чи не має в цьому протиріччя? Перевіримо це. Якщо вважати, що  1- φ= φ2, то отримаємо рівняння φ2+ φ-1=0. Звідси φ=, тобто отримали те ж саме значення φ, яке обчислили раніше. Проаналізуємо інші пропорції знаменитої статуї. Відстань від стопи списоносця до його коліна дорівнює φ3. Висота шиї разом із головою – φ4, довжина шиї до вуха – φ5, а відстань від вуха до маківки – φ6. Таким чином, у цій статуї ми бачимо геометричну прогресію зі знаменником φ:  1, φ, φ2, φ3, φ4, φ5, φ6.

Учитель.

Скульптори стверджують, що талія ділить людське тіло у відношенні «золотого перерізу». Давайте перевіримо, наскільки фігура сучасної людини відповідає ідеалу краси. У вас на столах сантиметри. Свій зріст вам відомий. Виміряйте відстань від підлоги до талії й знайдіть відношення цієї відстані до зросту (результати окремо юнаків і дівчат записуються на дошці).

Вимірювання декількох тисяч людських тіл показали, що для чоловіків цей показник дорівнює 8: 13 ≈ 0,6154, а жінок 5: 8 = 0,625. Так що пропорції чоловіків ближче до «золотого перерізу», ніж у жінок.

Зараз ми послухаємо наших архітекторів. Адже недарма кажуть, що архітектура - це геометрія в камені. «Золотий переріз» використовували  архітектори для знаходження гармонійних пропорцій споруд. Слово представнику секції архітекторів.

Учень 5.

Відношення висоти найкрасивіших будівель до їх довжини становить 0,618. Серед найкрасивіших прикладів архітектурних шедеврів хочеться відзначити:

  •  Капелу Пацці у Флоренції
  •  Відомий усьому світу Колізей
  •  Єгипетські піраміди
  •  Першу клінічну лікарню імені Пирогова в Москві
  •  Будинок із химерами в Києві
  •  Символом гармонії й архітектурної досконалості є храм Софії Київської.

Чарівна краса та гармонійність будови визначаються низкою взаємозалежних відносин «Золотого перерізу» Під пропорцією в архітектурі розуміють будь-яку закономірність у співвідношеннях частин, яка пов'язує ці частини в ціле.

Вершиною світового мистецтва вважається афінський Парфенон. Це класичний витвір давньогрецької архітектури. Парфенон підкорює красою форм і закономірністю пропорцій.

Багато мистецтвознавців  намагалися розкрити секрет могутнього емоційного впливу, як ця споруда діє на глядача, шукали й знаходили у відношеннях його частин    «золотий переріз». Так, прийнявши за одиницю ширину фасаду споруди, можна отримати геометричну прогресію. Відстань між другою й сьомою колонами дорівнює φ, між третьою й шостою φ2, між четвертою й п’ятою φ4. Такі ж закономірності ми бачимо в  споруді відносно висоти. Поєднавши їх, отримаємо прогресію 1, φ, φ2, φ3, φ4, м, φ6. Порівнюючи малюнки, бачимо, що співвідношення довжини споруди до її висоти дорівнює співвідношенню людського зросту до довжини нижньої частини тіла. Висота даху Парфенона відноситься до відстані між дахом і капітелями колон, як φ4: φ5, тобто як відрізок ВС відноситься до відрізку ЕС.

Учитель.

Данину «золотому перерізу» віддали також композитори й поети. Слово секції музики та поезії.     

Учень 6.

Ще в 1925 році мистецтвознавець Л.Л. Сабанєєв, проаналізувавши 1770 музичних творів 42 авторів, показав, що, дійсно, і музика підвладна цій великій пропорції. Тільки в нашому випадку на пропорційні частини ділиться не відрізок точкою, а проміжок часу кульмінацією. Майже у всіх класичних музичних творах цей поділ відбувається саме в «золотому перерізі». Причому, чим талановитіший композитор, тим у більшій кількості його творів знайдено «золотих перерізів». У Бетховена, Бородіна, Гайдна, Моцарта, Скрябіна, Шопена та Шуберта «золоті перерізи» знайдені в 90% усіх творів. На думку Сабанєєва, «золотий переріз» призводить до враження особливої стрункості музичного твору. Цей результат він перевірив на 27 етюдах Шопена й знайшов у них 178 «золотих перерізів». При цьому виявилося, що не тільки великі частини етюдів діляться за тривалістю у відношенні «золотого перерізу», але й частини етюдів усередині найчастіше діляться в такому ж відношенні.

Послухаємо «Увертюру»  у виконанні Асії Ахат.

Отже, можна визнати, що «золота пропорція» є критерієм гармонії композиції музичного твору.

Учень 7.

Виявляється, «золотий переріз» використовували, як це не дивно, у кінематографії.

Відомо, що Сергій Ейзенштейн штучно побудував фільм «Броненосець Потьомкін» за правилами «золотого перерізу». Він розбив стрічку на п'ять частин. У перших трьох дія розгортається на кораблі. У двох останніх - в Одесі, під час повстання. Цей перехід до міста відбувається точно в точці «золотого перерізу». Та й у кожній частині є свій перелом, що діє за законом «золотого перерізу». У кадрі, сцені, епізоді відбувається якийсь стрибок у розвитку теми: сюжету, настрою. Ейзенштейн вважав, що, оскільки такий перехід близький до точки «золотого перерізу», він сприймається як найбільш закономірний і природний.

 

Учень 8.

«Золотий переріз» у поезії проявляється як наявність визначального моменту вірша (кульмінації, смислового перелому, головної думки або їх поєднань) у рядку, що припадає на точку розподілу загального числа рядків вірша в "золотій" пропорції. Це можна побачити на прикладі вірша  «Из Пиндемонти» О.С. Пушкіна.

Не дорого ценю я громкие права,

От коих не одна кружится голова.

Я не робщу о том, что отказали боги

Мне в сладкой участи оспаривать налоги,

Или мешать царям друг с другом воевать;

И мало горя мне, свободно ли печать

Морочит олухов иль чуткая цензура

В журнальных замыслах стесняет балагура.

Все это, видите ль, слова, слова, слова.

Иные, лучшие мне дороги права;

Иная, лучшая потребна мне свобода:

Зависеть от властей, зависеть от народа -

Не все ли нам равно? Бог с ними.

Никому.

Отчета не давать, себе лишь самому

Служить и угождать; для власти, для ливреи

Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи;

По прихоти своей скитаться здесь и там,

Дивясь божественным природы красотам,

И пред созданьями искусств и вдохновенья

Трепеща радостно в восторгах умиленья.

Вот счастье! Вот права...

 В основу вірша покладено основний прийом – протиставлення.  Вірш ділиться на дві частини.

Перша частина (13 рядків) – «Їх цінності». Друга частина (8 рядків) «Мої цінності – висота духовної свободи», 8 / 13 ≈ 0,6154 – «золотий переріз».

Основні частини діляться на менші смислові одиниці (теми), які також знаходяться в «золотих відношеннях».

Розглянемо першу частину. Виділимо основні теми цієї частини.

Перша тема (5 рядків) – «Я не ціную служби», друга тема (8 рядків) – «Мрію про інше суспільство». І знову 5 / 8 ≈ 0,6. Першу тему розділимо на мікротеми.

Перша мікротема (2 рядки) – «Зневажаю послужливість». Друга мікротема (3 рядки) – «Не заперечую, що не служу». Виходить ряд: 2, 3, 5, 8, 13.

Учень 9

Це послідовність Фібоначчі.

Послідовністю Фібоначчі називається послідовність, перші два члени якої рівні 1, а кожний наступний – сумі двох попередніх. Таким чином, ця послідовність визначається так:

U1 =  1;  U2  =  1;  Un+2 = Un+1 + Un  n = 1; 2; 3; … 

1+1=2

   1+2=3

       2+3=5

        3+5=8

            5+8=13

       8+13=21

           13+21=34

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; … 

Учитель

Де ж зустрічаються числа Фібоначчі, які мають безпосередній зв'язок із «золотим перерізом», нам розкажуть біологи.

Учень 10

Візьмемо соняшник. Його насіння розташоване на спіралях, закручених вліво і вправо. Незалежно від того, скільки спіралей, вони завжди є сусідніми числами Фібоначчі, зазвичай це 34 і 55 спіралей.

Те ж саме можна побачити в шишках. Тут 8 і 13 спіралей.

Числа Фібоначчі зустрічаються й у капусті броколі. У неї так само є спіралі, закручені в різні боки. У залежності від того, яких вона розмірів, ці значення можуть мінятися, проте завжди будуть парою з ряду Фібоначчі.

Рекордсменом є ананас. У нього три системи спіралей. І всі ці три числа – сусідні числа ряду Фібоначчі. Зазвичай це 3, 5 і 8.

У квітах кількість пелюсток, як правило, збігається з числами з того ж ряду.

 

   

Учитель.

Ми дізналися про «золотий» прямокутник, трикутник і п’ятикутник. А зараз я хочу вас ознайомити з найбільш чудовою кривою - «золотою спіраллю». Для цього повернемося до наших прямокутників. З'єднаємо протилежні вершини квадратів плавною лінією й отримаємо криву, яка називається «золота спіраль».

Це воістину чарівна крива, яку можна зустріти як у навколишньому світі, так і у творіннях рук людських. Докладніше про це в невеликому сюжеті.

(Відеоролик Gold Ratio)

Наша конференція наближається до кінця. І хочеться сказати на закінчення:

Гармонія вірша

І древнього собору,

І ніби я почув мелодію…

Волторна навіває враження гармонії і простоти,

Що в «золотому перерізі» знаходить вияв красоти.

Подоба років, подій дивних…

Не розумієм ми, допоки не відкриємо постійних,

Які пов’язують і душі, і віки...

 

PAGE   \* MERGEFORMAT 4


А

С

В

SKIPIF 1 < 0               


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30397. Основные достижения и цивилизационное значение империи Александра Македонского 36.08 KB
  Основные достижения и цивилизационное значение империи Александра Македонского На фоне упадка грекоримской и персидской цивилизаций на роль регионального лидера начинает претендовать Македония. Задача создания единой экономической системы империи не ставилась: усилие по созданию единой нации; создание единого культа обожествления Александра Македонского. Создание империи Александра Македонского можно считать не вторым подъемом античной цивилизации а завершением ее первого кризиса. Именно политика Македонского заложила основы т.
30398. Эллинистические государства: основные достижения и цивилизационное значение 44.48 KB
  Самоуправляемые гражданские общины эпохи эллинизма. Сельские общины внутренним самоуправлением народное собрание общественный земельный фонд взносы на нужды общины; земледельцы личносвободные свобода передвижения. Земли храмов стали постепенно раздаваться в аренду членам общины. Поэтому гражданские общины активно поддерживали римскую империю когда та завоевывала ослабевшие эллинистические государства.
30399. Римская республика: основные особенности и достижения 40.7 KB
  Госаппарат: Сенат патриции куриатные коммиции затем всадники и плебеи центуриатные коммиции магистратуры цензор консулы административное военное управление квестор суд казна преторы административное управление суд эдилы муниципальное управление. Культура приобретает прикладной характер который определялся необходимостью контроля и упорядочивания духовной жизни людей; управление духовным миром.
30400. Римская Империя: основные особенности и достижения 32.74 KB
  Постепенная натурализация с х производства внутри одной латифундии укрупнение производства приводит к возможности организации собственного небольшого ремесленного производства что уменьшает зависимость от торговли. Рост технологий позволил развить арендаторство интенсификация производства повышение дохода. Достижения: смешанная экономика с развитой локальной и региональной специализацией что значительно повысило эффективность производства; .
30401. Переход античных обществ к феодализму 45.38 KB
  Главная особенность сохранение на территории Византии многочисленных пережитков достижений античности: значительность рабского труда в экономике крупные города с развитым ремеслом и торговлей сильное централизованное государство развитая античная культура и римское право. Пережитки античности сдерживали развитие феодальных отношений. Территория Апеннин захвачена варварскими племенами которые сыграли двоякую роль: разрушены многие неэффективные технологии античности особенно рабовладение...
30402. Переход от феодальной к индустриальной цивилизации на истор. Примере 43.19 KB
  Формируется новая система представлений о предназначении и роли человека. Подъем производительных сил уровня материального производства связанный с успехами городов развитием ремесел и зарождением мануфактуры расширением внутренних и международных торговых связей вызвал к жизни потребность в новой идеологии новом отношении человека к самому себе и окружающему миру. Гуманисты эпохи Возрождения провозглашали что ценность человека определяется прежде всего его личными достоинствами а не положением в обществе. Одним из высших достоинств...
30403. Переход к локальной цивилизации в реликтовую фазу на историческом примере 40.1 KB
  Переход к локальной цивилизации в реликтовую фазу на историческом примере Наиболее характерным примером реликтовой цивилизации является остров Пасхи. Поэтому вся древесина ушла на удобрения и статуи задолго до конца цивилизации лишая население шанса покинуть остров каноэ из дерева. В ходе этих действий была разрушена политическая и духовная жизнь цивилизации. Вывод: гибель цивилизации о.
30404. Понятие «цивилизация». Развитие подходов к толкованию термина, история возникновения цивилизационной теории 44.96 KB
  Понятие цивилизация. а Понятие цивилизация Слово цивилизация связано с обозначением качественного рубежа в истории человечества. Понятие цивилизация впервые употребил французский экономист Виктор Мирабо 17151789 в трактате Друг законов в 1757 г. б Развитие подходов к толкованию термина В античные времена цивилизация в лице греческого и римского мира противопоставлялась варварам не владеющим греческим и латинским языками не знающим греческой и римской культуры.
30405. Цивилизационный и формационный подходы к толкованию термина: сходства и различия 73 KB
  Большее внимание уделяется внутреннему миру человека и общественному сознанию при этом сохраняется определяющее значение экономики в развитии человеческой цивилизации Формационный метод позволяет вывести общий закон исторического развития человеческого сообщества и отметить общие черты общественных укладов разных стран и разных народов находящихся на одной исторической ступени живущих при одном общественном строе. Формационный метод не раскрывает особенностей культур и исторических путей народов и других социальных общностей. В пределах...