54201

Математична конференція «Золотий переріз – душа гармонії»

Конспект урока

Педагогика и дидактика

І називається вона Золотий переріз душа гармонії. Теорему Піфагора знає кожен школяр а про золотий переріз – далеко не всі. Про золотий переріз знали ще в Давньому Єгипті й Вавилоні в Індії та Китаї.

Украинкский

2014-03-11

502 KB

16 чел.

Математична конференція

«Золотий переріз – душа гармонії»

Геометрія володіє двома скарбами: одне з них - теорема Піфагора, друге - поділ відрізка в середньому й крайньому відношенні.

І. Кеплер

Пропонуємо вашій увазі розробку позакласного заходу, який реалізує прикладну спрямованість математики, а також допоможе учням орієнтуватися в навколишньому світі. Учні повинні сприймати світ у цілому, а не лише з точки зору окремого предмета. Таким чином, у дітей формується власний погляд на майбутню професію та подальше отримання освіти.

Мета: прищеплювати учням інтерес до вивчення математики; формувати уявлення про ідеї математики та їх роль у пізнанні навколишнього світу; розвивати мислення, розумову активність, пізнавальну самостійність, потребу в самоосвіті, формувати науковий світогляд; виховувати загальнолюдські духовні цінності.

ХІД ЗАХОДУ

Учитель

Великі твори мистецтва, візерунки й вигадливі форми, які зустрічаються в природі, багато століть захоплюють людство своєю красою та гармонією. А створює цю гармонію цариця наук – математика. Наша конференція присвячена темі «золотого перерізу». І називається вона «Золотий переріз - душа гармонії».

Учасники конференції - учні старших класів, які захоплюються математикою, будуть працювати в різних секціях.

Йоганн Кеплер говорив, що геометрія володіє двома скарбами - теоремою Піфагора та Золотим перерізом. Якщо перший із цих скарбів можна порівняти з мірою золота, то другий – із коштовним каменем.

Теорему Піфагора знає кожен школяр, а про «золотий переріз» – далеко не всі. Сьогодні ми спробуємо дізнатися більше про цей «коштовний камінь».

 Учень 1. 

Про золотий переріз знали ще в Давньому Єгипті й Вавилоні, в Індії та Китаї. Великий Піфагор створив таємну школу, де вивчалася містична суть «золотого перерізу». Евклід застосував його, створюючи свою геометрію, а Фідій - свої безсмертні скульптури. Платон розповідав, що Всесвіт влаштований згідно з «золотим перерізом». Вищу гармонію «золотого перерізу» будуть проповідувати Леонардо да Вінчі й Мікеланджело, адже краса та «золотий переріз» – це одне й теж. А християнські містики малюватимуть на стінах своїх монастирів пентаграми «золотого перерізу», рятуючись від Диявола. При цьому вчені - від Пачолі до Ейнштейна – шукатимуть, але так і не знайдуть його точного значення. Нескінченний ряд після коми - 0,6180339887...

Так що ж таке «золотий переріз»?

Учитель.

Кажуть, що точка С ділить відрізок АВ у «золотому перерізі», якщо АС: АВ = ВС: АС.

Золотий переріз-це такий розподіл цілого на дві нерівні частини, при якому більша частина відноситься до цілого, як менша до більшої.

Такий поділ відрізка з часів стародавніх греків називається діленням відрізка в крайньому й середньому відношенні.

Нехай АВ = а, АС = х, тоді ВС = а – х.

Пропорція АС:АВ = ВС:АС має вигляд .

Звідси, х2 = а2 – ах,

x2 + ах – а2 = 0, х>0

x1,2 =

x1 =  - не задовольняє умові х>0.

x2 =

Число φ = = 0,618034...  0,62 називається числом Фідія, давньогрецького скульптора, у творіннях якого часто зустрічається це число.

Таким чином, х  0,62а, а - х  0,38а і частини «золотого перерізу» складають приблизно 62% і 38% всього відрізка.

Проведемо невеликий експеримент.

Пропонуємо вам на вибір 5 різних прямокутників. На аркуші напишіть номер того прямокутника, який сподобався найбільше.

Як бачимо, найбільше подобається людям саме той прямокутник, сторони якого знаходяться в золотому відношенні.

Даний експеримент доводить, що відношення довжин відрізків, яке дорівнює числу Фідія, найбільш приємне для людського ока.

До речі, саме такими є розміри стандартних книг, документів, поштових листів, кредитних карток.

«Золотий переріз» дуже розповсюджений серед скульпторів, архітекторів і художників.

Слово представникам секції живопису.

Учень 2.

«Золотий переріз» був особливо популярним в епоху Відродження. Вибираючи розміри самої картини, намагалися, щоб її сторони перебували в золотому відношенні. Такий прямокутник стали називати «золотим». Цей термін уперше увів Леонардо да Вінчі. Прикладом такого прямокутника є картина Сальвадора Далі «Таємна вечеря». Перевірте це.

Подивіться уважно на пейзажі І.А. Айвазовського, І.В. Левітана.

Як бачите, лінія горизонту на жодному з них не проходить по середині полотна. Вона обов'язково ділить його на частини, відношення площ яких 0,618... Саме таке відношення виявляється сприятливим для сприйняття зображення глядачами.

Мотиви «золотого перерізу» можна знайти й у композиційному вирішенні картин. У вас на столах лежить репродукція картини І. Шишкіна «Корабельная роща».

На передньому плані бачимо яскраво освітлену сонцем сосну, праворуч від якої пагорок. Працюючи у своїй секції, ми знайшли на цій картині «золоті» відношення. Давайте разом перевіримо, що сосна ділить картину по вертикалі, а пагорб по горизонталі в «золотому відношенні».

Розглянемо ще один приклад. Перед вами картина І. Сурікова  «Бояриня Морозова».

Композиція цієї картини - діагональна. Двома основними драматичними точками є рука Морозової та рука жебрачки. Якщо з цих точок опустити перпендикуляри до сторін прямокутника (картини), то отримаємо «золоті прямокутники».

Золотий прямокутник має цікаві властивості. Зараз ми разом із вами їх вивчимо.

Якщо від золотого прямокутника зі сторонами а і b (а>b) відрізати квадрат зі стороною b, то отримаємо прямокутник зі сторонами b і а - b, який теж золотий.

У вас на партах лежать прямокутники. Поміряйте їх сторони й знайдіть відношення меншої сторони до більшої.

Накресліть квадрат зі стороною, рівною ширині прямокутника.

Виміряйте сторони отриманого маленького прямокутника та знайдіть їх відношення, як минулого разу, і т.д. Продовжуючи цей процес, ми щоразу будемо отримувати прямокутник менших розмірів, і знову золотий.

Про «золотий переріз» знали Піфагор і його учні (VI століття до н.е.). У філософській школі Піфагора, крім філософії та математики, вивчали й гармонію. Світ, вважали вони, складається з протилежностей, а гармонія приводить протилежності до єдності. Гармонія ж полягає в числових відношеннях. Піфагорійці приписували числам різні властивості. Так, парні числа вони називали жіночими, непарні (крім 1)-чоловічими. Число 5 - як сума першого жіночого числа (2) та першого чоловічого (3) - вважалося символом любові. Звідси така увага до пентаграми, що має 5 кутів.

Саме її вони обрали символом свого союзу. Вона вважалася амулетом здоров'я.

Чим же цікава пентаграма з математичної точки зору?

Слово надається представнику секції математиків.


Учень 3.

Побудуємо спочатку правильний п'ятикутник. З центру кола послідовно відкладемо центральні кути, рівні 360 °: 5 = 72 °. Сторони кутів перетинають коло в точках А, В, С, D, Е. З’єднавши їх послідовно, одержимо правильний п'ятикутник.

 

А тепер проведемо в цьому п'ятикутнику всі діагоналі. Вони утворюють правильний зірчастий п'ятикутник, тобто знамениту пентаграму.

Цікаво, що сторони пентаграми, перерізаючись, утворюють знову правильний п'ятикутник, у якому переріз діагоналей дає нам нову пентаграму, а в перерізі її сторін знову бачимо правильний п'ятикутник, який відкриває можливість побудови нової пентаграми. І так далі до нескінченності.

Тепер розглянемо пентаграму.

З’єднаємо точки К і F. Раніше відзначалося, що п’ятикутник KLFPM – правильний, тобто KLF = 108°. Тоді  1 = 2 = 36°, але . З того що  випливає, що EC||KF, а тоді трикутники BEP і BKF подібні. BE:BK=BP:BF. Позначимо BE = a і BK=x, тоді а:х=х:(а – х), або х2 + ах – а2=0. Таким чином, ми отримали те ж рівняння, розв’язком якого є . Про це рівняння ми згадували на початку заходу. Отже, BK:BE= φ.

Такий зірчастий п'ятикутник можна зустріти в арабських геометричних орнаментах.

Існує й «золотий» трикутник. Це рівнобедрений трикутник, у якого відношення довжини основи до довжини бічної сторони дорівнює φ. Це трикутники ABD, АСЕ і т.д. Композиція відомої картини Леонардо да Вінчі «Мона Ліза» заснована саме на золотих трикутниках. Подивіться.

 Учитель

А тепер послухаємо представника секції «Скульптура».

Учень 4.

Звернемося до скульптури. Подивіться на ілюстрації картин із зображеннями фігур Аполлона Бельведерського та Венери Мілоської. Їх форми заворожують красою й гармонією. І все тому, що будова тіла людини теж «золота пропорція».

 

Розглянемо застосування «золотого перерізу» в древньогрецькій скульптурі Поликлета «Дорифор».

 

У цій статуї ми багато разів зустрічаємо застосування числа  φ. Так, пупок ( точка О) ділить висоту статуї у відношенні «золотого перерізу». Отже, якщо висоту АВ прийняти за одиницю, АО= φ, але тоді ОВ=1- φ. На малюнку показано, що відстань ОВ дорівнює  φ2. Чи не має в цьому протиріччя? Перевіримо це. Якщо вважати, що  1- φ= φ2, то отримаємо рівняння φ2+ φ-1=0. Звідси φ=, тобто отримали те ж саме значення φ, яке обчислили раніше. Проаналізуємо інші пропорції знаменитої статуї. Відстань від стопи списоносця до його коліна дорівнює φ3. Висота шиї разом із головою – φ4, довжина шиї до вуха – φ5, а відстань від вуха до маківки – φ6. Таким чином, у цій статуї ми бачимо геометричну прогресію зі знаменником φ:  1, φ, φ2, φ3, φ4, φ5, φ6.

Учитель.

Скульптори стверджують, що талія ділить людське тіло у відношенні «золотого перерізу». Давайте перевіримо, наскільки фігура сучасної людини відповідає ідеалу краси. У вас на столах сантиметри. Свій зріст вам відомий. Виміряйте відстань від підлоги до талії й знайдіть відношення цієї відстані до зросту (результати окремо юнаків і дівчат записуються на дошці).

Вимірювання декількох тисяч людських тіл показали, що для чоловіків цей показник дорівнює 8: 13 ≈ 0,6154, а жінок 5: 8 = 0,625. Так що пропорції чоловіків ближче до «золотого перерізу», ніж у жінок.

Зараз ми послухаємо наших архітекторів. Адже недарма кажуть, що архітектура - це геометрія в камені. «Золотий переріз» використовували  архітектори для знаходження гармонійних пропорцій споруд. Слово представнику секції архітекторів.

Учень 5.

Відношення висоти найкрасивіших будівель до їх довжини становить 0,618. Серед найкрасивіших прикладів архітектурних шедеврів хочеться відзначити:

  •  Капелу Пацці у Флоренції
  •  Відомий усьому світу Колізей
  •  Єгипетські піраміди
  •  Першу клінічну лікарню імені Пирогова в Москві
  •  Будинок із химерами в Києві
  •  Символом гармонії й архітектурної досконалості є храм Софії Київської.

Чарівна краса та гармонійність будови визначаються низкою взаємозалежних відносин «Золотого перерізу» Під пропорцією в архітектурі розуміють будь-яку закономірність у співвідношеннях частин, яка пов'язує ці частини в ціле.

Вершиною світового мистецтва вважається афінський Парфенон. Це класичний витвір давньогрецької архітектури. Парфенон підкорює красою форм і закономірністю пропорцій.

Багато мистецтвознавців  намагалися розкрити секрет могутнього емоційного впливу, як ця споруда діє на глядача, шукали й знаходили у відношеннях його частин    «золотий переріз». Так, прийнявши за одиницю ширину фасаду споруди, можна отримати геометричну прогресію. Відстань між другою й сьомою колонами дорівнює φ, між третьою й шостою φ2, між четвертою й п’ятою φ4. Такі ж закономірності ми бачимо в  споруді відносно висоти. Поєднавши їх, отримаємо прогресію 1, φ, φ2, φ3, φ4, м, φ6. Порівнюючи малюнки, бачимо, що співвідношення довжини споруди до її висоти дорівнює співвідношенню людського зросту до довжини нижньої частини тіла. Висота даху Парфенона відноситься до відстані між дахом і капітелями колон, як φ4: φ5, тобто як відрізок ВС відноситься до відрізку ЕС.

Учитель.

Данину «золотому перерізу» віддали також композитори й поети. Слово секції музики та поезії.     

Учень 6.

Ще в 1925 році мистецтвознавець Л.Л. Сабанєєв, проаналізувавши 1770 музичних творів 42 авторів, показав, що, дійсно, і музика підвладна цій великій пропорції. Тільки в нашому випадку на пропорційні частини ділиться не відрізок точкою, а проміжок часу кульмінацією. Майже у всіх класичних музичних творах цей поділ відбувається саме в «золотому перерізі». Причому, чим талановитіший композитор, тим у більшій кількості його творів знайдено «золотих перерізів». У Бетховена, Бородіна, Гайдна, Моцарта, Скрябіна, Шопена та Шуберта «золоті перерізи» знайдені в 90% усіх творів. На думку Сабанєєва, «золотий переріз» призводить до враження особливої стрункості музичного твору. Цей результат він перевірив на 27 етюдах Шопена й знайшов у них 178 «золотих перерізів». При цьому виявилося, що не тільки великі частини етюдів діляться за тривалістю у відношенні «золотого перерізу», але й частини етюдів усередині найчастіше діляться в такому ж відношенні.

Послухаємо «Увертюру»  у виконанні Асії Ахат.

Отже, можна визнати, що «золота пропорція» є критерієм гармонії композиції музичного твору.

Учень 7.

Виявляється, «золотий переріз» використовували, як це не дивно, у кінематографії.

Відомо, що Сергій Ейзенштейн штучно побудував фільм «Броненосець Потьомкін» за правилами «золотого перерізу». Він розбив стрічку на п'ять частин. У перших трьох дія розгортається на кораблі. У двох останніх - в Одесі, під час повстання. Цей перехід до міста відбувається точно в точці «золотого перерізу». Та й у кожній частині є свій перелом, що діє за законом «золотого перерізу». У кадрі, сцені, епізоді відбувається якийсь стрибок у розвитку теми: сюжету, настрою. Ейзенштейн вважав, що, оскільки такий перехід близький до точки «золотого перерізу», він сприймається як найбільш закономірний і природний.

 

Учень 8.

«Золотий переріз» у поезії проявляється як наявність визначального моменту вірша (кульмінації, смислового перелому, головної думки або їх поєднань) у рядку, що припадає на точку розподілу загального числа рядків вірша в "золотій" пропорції. Це можна побачити на прикладі вірша  «Из Пиндемонти» О.С. Пушкіна.

Не дорого ценю я громкие права,

От коих не одна кружится голова.

Я не робщу о том, что отказали боги

Мне в сладкой участи оспаривать налоги,

Или мешать царям друг с другом воевать;

И мало горя мне, свободно ли печать

Морочит олухов иль чуткая цензура

В журнальных замыслах стесняет балагура.

Все это, видите ль, слова, слова, слова.

Иные, лучшие мне дороги права;

Иная, лучшая потребна мне свобода:

Зависеть от властей, зависеть от народа -

Не все ли нам равно? Бог с ними.

Никому.

Отчета не давать, себе лишь самому

Служить и угождать; для власти, для ливреи

Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи;

По прихоти своей скитаться здесь и там,

Дивясь божественным природы красотам,

И пред созданьями искусств и вдохновенья

Трепеща радостно в восторгах умиленья.

Вот счастье! Вот права...

 В основу вірша покладено основний прийом – протиставлення.  Вірш ділиться на дві частини.

Перша частина (13 рядків) – «Їх цінності». Друга частина (8 рядків) «Мої цінності – висота духовної свободи», 8 / 13 ≈ 0,6154 – «золотий переріз».

Основні частини діляться на менші смислові одиниці (теми), які також знаходяться в «золотих відношеннях».

Розглянемо першу частину. Виділимо основні теми цієї частини.

Перша тема (5 рядків) – «Я не ціную служби», друга тема (8 рядків) – «Мрію про інше суспільство». І знову 5 / 8 ≈ 0,6. Першу тему розділимо на мікротеми.

Перша мікротема (2 рядки) – «Зневажаю послужливість». Друга мікротема (3 рядки) – «Не заперечую, що не служу». Виходить ряд: 2, 3, 5, 8, 13.

Учень 9

Це послідовність Фібоначчі.

Послідовністю Фібоначчі називається послідовність, перші два члени якої рівні 1, а кожний наступний – сумі двох попередніх. Таким чином, ця послідовність визначається так:

U1 =  1;  U2  =  1;  Un+2 = Un+1 + Un  n = 1; 2; 3; … 

1+1=2

   1+2=3

       2+3=5

        3+5=8

            5+8=13

       8+13=21

           13+21=34

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; … 

Учитель

Де ж зустрічаються числа Фібоначчі, які мають безпосередній зв'язок із «золотим перерізом», нам розкажуть біологи.

Учень 10

Візьмемо соняшник. Його насіння розташоване на спіралях, закручених вліво і вправо. Незалежно від того, скільки спіралей, вони завжди є сусідніми числами Фібоначчі, зазвичай це 34 і 55 спіралей.

Те ж саме можна побачити в шишках. Тут 8 і 13 спіралей.

Числа Фібоначчі зустрічаються й у капусті броколі. У неї так само є спіралі, закручені в різні боки. У залежності від того, яких вона розмірів, ці значення можуть мінятися, проте завжди будуть парою з ряду Фібоначчі.

Рекордсменом є ананас. У нього три системи спіралей. І всі ці три числа – сусідні числа ряду Фібоначчі. Зазвичай це 3, 5 і 8.

У квітах кількість пелюсток, як правило, збігається з числами з того ж ряду.

 

   

Учитель.

Ми дізналися про «золотий» прямокутник, трикутник і п’ятикутник. А зараз я хочу вас ознайомити з найбільш чудовою кривою - «золотою спіраллю». Для цього повернемося до наших прямокутників. З'єднаємо протилежні вершини квадратів плавною лінією й отримаємо криву, яка називається «золота спіраль».

Це воістину чарівна крива, яку можна зустріти як у навколишньому світі, так і у творіннях рук людських. Докладніше про це в невеликому сюжеті.

(Відеоролик Gold Ratio)

Наша конференція наближається до кінця. І хочеться сказати на закінчення:

Гармонія вірша

І древнього собору,

І ніби я почув мелодію…

Волторна навіває враження гармонії і простоти,

Що в «золотому перерізі» знаходить вияв красоти.

Подоба років, подій дивних…

Не розумієм ми, допоки не відкриємо постійних,

Які пов’язують і душі, і віки...

 

PAGE   \* MERGEFORMAT 4


А

С

В

SKIPIF 1 < 0               


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47793. СУДОВА ЕКСПЕРТОЛОГІЯ 194.5 KB
  Поняття судової експертизи. Поняття судової експертизи Ст. Фактичні підстави для призначення судової експертизи: ч.76 КПК – Обов’язкове призначення експертизи: для встановлення причин смерті; для встановлення тяжкості і характеру тілесних ушкоджень; для визначення психічного стану підозрюваного або обвинувачуваного при наявності у справі даних які викликають сумнів щодо його осудності; для встановлення статевої зрілості потерпілої у справах про злочини передбачені ст.
47794. Термічна обробка. Курс лекцій 620.5 KB
  Загальна характеристика термічної обробки Роль термічної обробки у матеріалознавстві Класифікація видів термічної обробки Основні положення теорії термічної обробки Роль термічної обробки у матеріалознавстві Фізикомеханічні і технологічні властивості металів і сплавів на практиці не задовольняють умовам виготовлення або експлуатації деталей виробів продукції машинобудування. Бочвар визначив такі види термічної обробки металів та сплавів залежно від характеру теплової дії: Власне термічна обробка ТО без зміни хімічного складу;...
47796. ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА 5.91 MB
  Класичне означення ймовірності появи події Ймовірність одне з основних понять теорії ймовірностей. Знайти ймовірність встановлення верстату що виготовлений: а третім заводом постачальником подія А; б першим заводомпостачальником подія В. Властивості ймовірності Ймовірність вірогідної події дорівнює одиниці. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.
47797. Информатика и вычислительная техника. Конспект лекций 3.51 MB
  Практические курсант должен по окончании курса иметь такие знания умения и навыки: Понятие информации ее виды формы и способы ее хранения передачи кодирования измерения; Назначение и функции операционных систем и операционных оболочек; Распространенное современное прикладное программное обеспечение назначение и основные функции систем обработки текстов электронных таблиц и их назначения системы управления базой данных Порядок составления алгоритмов и их реализацию. Создание базы данных в Microsoft Excel. Операции над базой...
47798. Основи екології. Курс лекцій 688.5 KB
  Науковотехнічний прогрес швидкість якого на декілька порядків перевищує швидкість адаптування організмів до змінених людиною умов існування породжує нові джерела збурення тиску на біосферу її забруднення знищення природних ресурсів катастрофічне зменшення біорозманіття. Трансграничні забруднення та локальні поліпшення стану довкілля за рахунок руйнування екосистем інших регіонів лише призведуть до подальшої деградації глобальної екосистеми та посилення небезпеки для всієї планети. Екологи України зробили вагомий внесок у розробку...
47800. Учёт и анализ расчётов с персоналом по оплате труда 421.5 KB
  Заработная плата представляет собой выраженную в денежной форме часть общественного продукта, которая выплачивается наёмному работнику исходя из количества и качества выполненного им труда, и максимальным пределом не ограничивается.
47801. Проект редуктора привода ленточного транспортера для перемещения багажа в аэропорту 1.15 MB
  Материалы для шестерни и зубчатого колеса выбираем по таблице «Механические характеристики сталей» При этом твердость поверхности НВ1 для материала шестерни устанавливаем на 20/25 единиц выше твердости поверхности НВ2.