54254

Функціональна залежність в системі прикладних задач шкільного курсу математики

Научная статья

Педагогика и дидактика

Стаття містить приклад класифікації прикладних задач та аналіз способу їх розв’язання, узагальнений алгоритм розв’язування задач прикладного характеру. Основне її завдання спонукати використання прикладних задач при вивченні функціональної лінії шкільного курсу математики.

Украинкский

2014-04-02

631.08 KB

8 чел.

Анотація:

Стаття містить приклад класифікації прикладних задач та аналіз способу їх розв’язання, узагальнений алгоритм розв’язування задач прикладного характеру. Основне  її завдання спонукати використання прикладних задач при вивченні функціональної лінії шкільного курсу математики.

Прокопенко Т.М.

Функціональна залежність в системі прикладних задач шкільного курсу математики

Математика в житті людини займає особливе місце. Ми настільки з’єдналися з нею, що навіть не помічаємо цього.

З математики починається все. Народження людини супроводжується звучанням перших цифр в її житті: зріст, вага. Дитина ще не може вимовити слово «математика», а вже розв’язує задачі по підрахунку пальчиків, кубиків, іграшок. Та й батьки про математику не забувають, готуючи їжу для малечі.

Математичних задач дуже багато і складність їх з кожним роком зростає. Заняття математикою, розв’язування математичних задач розвиває особистість, робить її цілеспрямованою, активнішою, самостійною.

Здавалось би, що після школи математика ніде не пригодиться. На жаль! Тут приходиться використовувати математику ще більше. Під час навчання в вузі, на роботі чи вдома потрібно постійно розв’язувати задачі, і не тільки математичні. Яка ймовірність успішної здачі іспиту? Скільки коштів потрібно заробити, щоб купити  квартиру? Скільки можна отримувати, якщо займатися математикою і розв’язком математичних задач? Яким повинен бути об’єм вашого дому і скільки для цього потрібно цегли? Як правильно розрахувати, щоб народилась дівчинка чи хлопчик? І тут на допомогу прийде математика. Вона крокує поряд з  людиною, робить її життя комфортним.

Швидко змінюється світ і саме життя. В нього входять нові технології. Тільки математика і розв’язування задач в традиційному розумінні не змінює себе.  Математичні закони перевірені і систематизовані, тому людина в важкі моменти може покластися на неї. Математика не підведе.

Процес розв’язування прикладних задач передбачає побудову або створення певного математичного об’єкта: формули, графіка, таблиці, тобто здійснення конструктивної роботи. Особливістю розв’язання прикладних задач є те, що поряд із репродуктивними і вивідними вони включають й інтуїтивні процеси здогадки спрямовані на одержання нової та перетворення існуючої інформації.

При розв’язуванні прикладних задач працюють евристичні пошукові стратегії:

  1.  залучення наочних моделей;
  2.  тимчасове спрощення задачі шляхом відкидання частини умов;
  3.  варіювання окремих елементів системи з метою визначення їх впливу на шукану модель;
  4.  введення допоміжних елементів;
  5.  переформулювання задачі;
  6.  розбиття складної задачі на підзадачі;
  7.  розглядання окремих (граничних) випадків;
  8.  застосування допоміжних побудов;
  9.  виведення наслідків.

Найчастіше використовується не один евристичний прийом, а відразу декілька. Такий підхід дає змогу реалізувати ідею функціональної залежності, оскільки зі зміною одного параметра змінюються інші, або навіть модель в цілому.

Аналіз системи задач основної школи на функціональну тематику дає змогу класифікувати їх за заданням функції.

Задачі, що у процесі розв’язування вимагають здійснення переходу від одного способу задання функції до іншого  містять репродуктивний характер. Тобто застосування мінімуму знань: знаходити область значень, заданої графіком, таблицею, формулою, будувати графіки елементарних функцій.

Задачі на перехід від опису ситуації до формули мають ускладнену структуру. Вимагають попереднього аналізу умови та розбиття умови задачі на підзадачі.

Задача 1. Маса одного цвяха 4гр., а маса порожнього ящика 600гр. Задати формулою залежність між масою ящика зі цвяхами m (у гр.) в якому х цвяхів.

Розв’язання:

З’ясувати, що є аргументом, а що функцією.

В даному випадку m – маса ящика зі цвяхами є функцією, а х- кількість цвяхів.

D(у): 0х, причому аргумент може набувати тільки цілих значень. 

Е(у): 600у.   Формула матиме такий вигляд: m= 600+4х.

Задача 2. Складіть формулу функції, яка виражає залежність плати за користування телефоном від тривалості розмов, якщо абонентна плата складає  35грн., а вартість однієї хвилини розмови 15коп. Врахувати, що 100хв надаються безкоштовно, а ПДВ становить 20%.

Розв’язання:

З’ясувати, що є аргументом, а що функцією.

У даному випадку  у - плата за користування телефоном (у грн.), а аргумент х - час розмов. Далі необхідно встановити область визначення та область значень:

D(у): 0х, причому аргумент може набувати тільки цілих значень. 

Е(у): 35у.

Спочатку потрібно розбити складену задачу на підзадачі: доцільно скласти спочатку формулу без врахування безкоштовних хвилин та ПДВ. В такому разі формула набуде виду: у = 35 + 0,15х, при 0х

Якщо за перші 100 хвилин плата не береться, то при 0х значення функції стале і дорівнює абонплаті, тобто у=35. Якщо абонент розмовляв більше ніж 100 хвилин, то з нього беруть додаткову плату за (х-100) хвилин. Становитиме вона 0,15(х-100)грн. Отже,

у =

На наступному етапі врахуємо ПДВ, що складає 20%.

у =  .

Проаналізуємо отриману формулу на відповідність. Для цього можна надати аргументу значення більшого за 100 і обчислити плату за телефон арифметично та  за формулою. Результати мають збігатися.

Задачі на побудову графіка функції вимагають попереднього аналізу властивостей функції та її часткового дослідження. Та послідовність виконання побудови є стандартною. Будуючи графіки функцій математичних моделей переходимо від конкретної задачі практичного змісту до класу функцій, які математично описують ці задачі, тобто узагальнення інформації.

Задача 3. Тиск вітру на плоску стіну наближено обчислюється за формулою: р=0,1U²,де р – тиск вітру в Н/м², а U- швидкість вітру в м/с. Побудуйте графік функції зміни тиску вітру на стіну залежно від зміни швидкості вітру. (Алгебра,9. Ю.І.Мальований, №264)

Розв’язання:

З’ясувати, що є аргументом, а що функцією. В даному випадку  (в м/с) – набуває значень аргументу, р- тиск вітру (в Н/м²)  - значень функції.

Встановити область визначення та область значень:

D(у): 0х, Е(у): 0у.

Побудова графіка функції зводиться до побудови параболи виду у=κх².

Шуканий графік отримують унаслідок відповідного його стиснення вздовж осі ординат у к разів.

Задача 4. Одна сторона прямокутника на 2м більша від другої. Якою може бути довжина цієї сторони, якщо площа прямокутника менша від 80м²?(Алгебра,9. Ю.І.Мальований, №270)

Розв’язання:

З’ясувати, що є аргументом, а що функцією. В даному випадку (в м) – набуває значень аргументу і є шириною даного прямокутника, у- площа прямокутника (в м²)  набуває значень функції.

Необхідно встановити область визначення та область значень:

D(у): 0х,  Е(у): 0у.

За умовою задачі довжина прямокутника становить (х+2)м. Площа даної фігури х∙(х+2)м² та не перевищує 80м². Скласти квадратну нерівність:

х∙(х+2)80,

х²+2х-800,

1) Знайти нулі функції:

2) Знайти координати вершини параболи:

3) Побудувати схематичне зображення графіка.

Оскільки ширина, довжина величини додатні, а площа менша за 80м²,то 0хОтже, довжина складатиме величину (х+2) 10м.

Ситуації можуть бути описані й докладніше, можуть бути наведені ті чи інші числові дані, що позначиться на мірі загальності графіка. Але головне – зобразити  графічно динаміку описаного процесу.

Корисними є обернені завдання тобто задачі на добір реальних ситуацій, відповідних заданим графікам, формулам.

Для даного типу задач враховується об’єктивна можливість існування такої ситуації чи процесу.

Формули задач даного типу здебільшого елементарних функцій.

Завдання фактично полягає в тому, щоб навести власний приклад практичного застосування тієї чи іншої функції.

Задача 5.

Наведіть приклад реальної залежності для функції у=κх+𝑏. Аналіз:

Функція у=κх+𝑏 є сумою деяких одночленів, а отже одиниці вимірювання у, κх та 𝑏 мають бути однакові. Крім того, значення 𝑏 – стале число. Припустимо, у – відстань, тоді κх  та 𝑏 та сама величина, причому κх – швидкість і час, де швидкість є сталою.

Побудова:

Рреальна залежність:

Туристи до обіду подолали 𝑏км,а після обіду рухались хгод зі сталою швидкістю κ км/год. Пройдений за день шлях можна знайти за формулою у=κх+𝑏.

Можливі ускладнення такого характеру, коли пропонується одразу описи кількох ситуацій та зображення графіків:

Задача 6. Установіть, який з графіків відповідає кожній з описаних ситуацій. (Алгебра,7. Г.П.Бевз, В.Г.Бевз. №930)

Аналіз умови:

Звернути увагу:

  1.  стрибки м’яча не обов’язково мають бути рівними;
  2.  маса груші має залишкову вагу після сушки;
  3.  процес висушування відбувається нерівномірно;
  4.  трава має початкову висоту.

Задача 7. Виберіть ситуацію відповідну функції, графік якої зображено на малюнку. (ЗНО, математика, пробне-2008)

  1.  Магазин щоразу отримує однакову партію деякого товару після його повної реалізації

(х - час, у - кількість товару).

  1.  Посудину під краном наповнюють водою, після чого її спорожняють і наповнюють знову

(х- час, у – об’єм води у посудині).

  1.  На газоні росте трава, яку регулярно скошують (х – час, у- висота трави).

Задачі на відтворення формули функції за таблицею, графіком розглядаються як засіб математичного моделювання процесів, явищ. Опис реальної ситуації мовою функцій власне і допомагає дослідити цю ситуацію.

Головним завданням евристичного алгоритму є зменшення невизначеності можливостей розв’язування прикладної задачі за рахунок часткового структурування й упорядкування. Дана послідовність кроків окреслює шлях перетворень над моделлю вихідної задачі. Очевидно, що дослідження властивостей заданої функції може здійснюватися різними способами залежно від змісту та вибраного способу розв’язання задачі. Тобто використовуватиметься один із способів дослідження функції або їх комбінація. На перший план виступає проблема вибору необхідного способу дослідження функції та  його ефективність у процесі розв’язування прикладної задачі.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66938. Даруйте радість людям – і стане світ багатшим 53.5 KB
  Виховувати в учнів почуття доброти чуйності милосердя поваги до людей; формувати активну життєву позицію яка проявляється в дієвій допомозі людям; формувати в учнів уміння формулювати судження виховувати високі моральні якості. Добро спішіть творити люди. Живіть добро звершайте Та нагород за це не вимагайте.
66939. «Сумні дати серця» (сторінками життя Василя Стефаника) 120.5 KB
  Мета:познайомити учнів із життєвим шляхом українського письменника Василя Стефаника, розкрити трагізм його життя; розвивати чуйність, увагу, спостережливість; виховувати почуття патріотизму, любові до України, її синів. У додатку – презентація «Надто добрий знавець народної мужицької душі (життя і творчість В.Стефаника)».
66940. Професія педагога: «за» і «проти» 38.5 KB
  Слово суддям заключне слово класного керівника хід класної години Класний керівник: Сьогодні моє слово до вас мої вихованці. На нашому ринзі незвичайна і дуже відповідальна зустріч зустріч захисників і противників професії педагога. У правому куті команда захисників професії.
66941. Внеклассное мероприятие по английскому языку «Великобритания» 35.5 KB
  Thank you, and now I want you to know more about our teams. Let introduce with our teams. The competition consists of several tasks. The 1st task is to answer the questions about Great Britain. If your answer is correct the team will get one point. If your answer is wrong the second team will be allowed to give the answer.
66942. Досліджую свою оселю 72.5 KB
  Мета: вчити учнів досліджувати своє довкілля, робити висновки зі своїх досліджень, формувати у дітей уявлення про різноманітність архітектурних споруд, викликати інтерес до пізнання через дослідження, розвивати прагнення прикрасити, зробити комфортнішою свою оселю...
66943. Від пірамід до хмарочосів 1.16 MB
  Мета заходу: ознайомити учнів – випускників шкіл з професією будівельника, показати велич та красу цієї професії, довести, що професія будівельника – це постійний пошук та нескінченна творчість, допомогти дитині зробити професійний вибір відповідно своїм здібностям, інтересам, нахилам.
66944. Закріплення звукового значення букви «ґе». Опрацювання тексту «Ґави і Галаган» 76 KB
  Хід уроку Організаційний момент Вчитель Стали діти рівненько привітайте один одного посмішками починаємо наш урок читання. Рідну мову ми вивчаємо ЇЇ любимо не забуваємо Вчитель Як ми будемо працювати Учні Працюватимемо старанно. Щоб почути у кінці Що у нашім першім класі Діти просто молодці...
66945. ПРОЩАВАЙ, БУКВАРИКУ, НАШ РОЗУМНИЙ ДРУЖЕ! МИ ТОБІ, БУКВАРИКУ, ДЯКУЄМО ДУЖЕ! 153 KB
  Мета. Узагальнити і систематизувати знання учнів з навчання грамоти, розвивати мовлення, логічне мислення, вміння читати, спостережливість, увагу,допитливість. Виховувати повагу один до одного, інтерес до навчання. Під музику до зали заходять діти.
66946. Праздник букваря 64.37 KB
  Учитель: Сегодня мы собрались, чтоб отметить первую маленькую победу в вашей жизни. Вы закончили знакомство с алфавитом, гласными и согласными звуками, научились складывать буквы в слоги, слоги - в слова, слова в предложения. Научились читать и писать.