54296

Феномен стрічки Мебіуса

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Основне питання: В чому полягає феномен стрічки Мебіуса Основні проблеми: Звідки у стрічки така назва У чому її властивості що так турбують людство Чому космічний корабель може повернутись до місця старту Що таке топологія Який звязок між стрічкою Мебіуса і життям людини У кожного з нас є інтуїтивне поняття про те що таке поверхня. Чи може бути щось несподіване чи навіть таємне у такому звичному понятті Приклад стрічки Мебіуса показує що може. Основні питання: Як отримати ЛМ лист Мебіуса Якщо зафарбовувати ЛМ у...

Украинкский

2014-03-11

2.17 MB

15 чел.

Феномен стрічки Мебіуса.

Основне питання: В чому полягає феномен стрічки Мебіуса?

Основні проблеми:

  1.  Звідки у стрічки така назва? 
  2.  У чому її властивості, що так турбують людство?
  3.  Чому космічний корабель може повернутись до місця старту?
  4.  Що таке топологія?
  5.  Який зв'язок між стрічкою Мебіуса і життям людини?

У кожного з нас є інтуїтивне поняття про те, що таке «поверхня». Поверхня аркуша паперу, поверхня стін класу, поверхня земної кулі відомі усім. Чи може бути щось несподіване чи навіть таємне у такому звичному понятті? Приклад стрічки Мебіуса показує, що може.

Кажуть, що придумав свою стрічку Фердинанд Мебіус, коли спостерігав за дівчиною, яка одягала на шию шарф.

Основні питання:

  1.  Як отримати ЛМ (лист Мебіуса)?
  2.  Якщо зафарбовувати ЛМ у будь-якому напрямі, то яка частина стрічки виявиться зафарбованою?
  3.  Що отримаємо, якщо розріжемо ЛМ вздовж по середині?
  4.  Що отримаємо, якщо розріжемо ЛМ вздовж, відступивши третину від краю?
  5.  Що вийде, якщо перекрутити ЛМ два рази, а потім розрізати вздовж по середині?
  6.  На різних сторонах ЛМ сидять павук і муха. Чи зможе павук підкрастися до мухи, не переступаючи країв стрічки?

Відповіді на питання експерименту:

  1.  Беремо паперову стрічку АВСD. Докладаємо її кінці АВ і СD один до одного і склеюємо. Але не абияк, а так, щоб точка А збіглася з точкою D, а точка B з точкою С. Отримаємо таке перекручене кільце, яке і називається стрічкою Мебіуса.

  1.  Чим же вона знаменита? А тим, що поверхня стрічки Мебіуса має тільки одну сторону. Це легко перевірити, якщо взяти олівець і почати зафарбовувати стрічку в якому-небудь напрямі. Незабаром ви повернетеся в те місце, звідки почали. Подивіться уважно:: зафарбованою виявилась вся стрічка цілком! Адже ви її не перевертали, щоб зафарбовувати з іншого боку. Та і не змогли б перевернути, навіть якщо б дуже захотіли. Тому що поверхня стрічки Мебіуса - одностороння. Ось така у неї цікава властивість.

  1.  Що ж з цієї властивості виходить? А виходять дивовижні перетворення стрічки, якщо розрізати її уподовж. У одній руці у вас ножиці. У іншій велике кільце, склеєне з довгої паперової стрічки. Ножиці протикають цю стрічку і акуратно розрізають її уподовж - точно посередині. "Ну ось, - подумаєте ви, - зараз вийдуть два окремі кільця. Але що це? Замість двох кілець виходить одне! Причому воно більше і тонше початкового і називають його «афганською стрічкою». "
  2.  А ось якщо розрізати стрічку на відстані третини її ширини від краю, то отримаємо відразу два кільця - одне велике і зчеплене з ним маленьке. Якщо ж розрізати ще і маленьке кільце уподовж посередині, то вас у руках опиниться переплетення двох кілець - однакових за розміром, але разних по ширині. Ну а що, цікаво, вийде, якщо перед склеюванням стрічки перекрутити її двічі (тобто на 360 градусів)? Така поверхня буде вже двосторонньою. І щоб зафарбувати все кільце цілком, вам доведеться неодмінно перевернути стрічку на іншу сторону.
  3.  Якщо на внутрішню сторону звичайного кільця посадити павука, а на зовнішню муху і дозволити їм повзти як завгодно, заборонивши при цьому перелазити через краї стрічки, то павук не зможе добратися до мухи, чи не так? Але якщо їх обох посадити на лист Мебіуса, то бідна муха буде з’їдена, якщо, звісно, ж павук повзтиме швидше!

Історична дані.

Стрічку Мебіуса було виявлено німецьким математиком Августом Фердинандом Мебіуса в 1858 р. серпня Фердинанд Мебіус - німецький геометр, професор Лейпцігського університету першої половини XIX століття. До нього вважалося, що будь-яка поверхня (наприклад, лист паперу) має дві сторони. Мебіус зробив вражаюче відкриття - отримав поверхню, яка має лише одну сторону.

Топологічні властивості.

Проста смужка паперу, але перекручена усього лише раз і склеєна потім в кільце, відразу ж перетворюється на загадкову стрічку Мебіуса і набуває дивовижних властивостей. Такі властивості поверхонь і просторів вивчає спеціальний розділ математики – ТОПОЛОГІЯ (по-іншому - "геометрія положень").

Дивовижні властивості листа Мебіуса - він має один край, один бік,  - не пов'язані з його положенням у просторі, з поняттями відстані, кута і тим не менше мають цілком геометричний характер.

Топологічні властивості.

  •  Односторонність
  •  Неперервність
  •  Зєднаність
  •  Орієнтованість
  •  «Хроматичний номер» ЛМ дорівнює 6.

Схожі об’єкти.

Лист Мебіуса інколи називають прародичем символу безмежності, оскільки, перебуваючи на поверхні стрічки, можна пересуватись по ній вічно. Але це не відповідає дійсності, оскільки символ використовувався для позначення безмежності впродовж двох сторіч до винаходу стрічки Мебіуса.

Пляшка Клейна




Пляшка Клейна — це визначена неорієнтована поверхня (тобто. двовимірний многовид). Пляшка Клейна вперше була описана в 1882 г. німецьким математиком Ф. Клейном. Вона тісно пов'язана зі стрічкою Мебіуса. Щоб побудувати модель пляшки Клейна, необхідно взяти пляшку з отвором у дні, витягнути горло пляшки, зігнути його вниз, і одягнути його через отвір у стінці пляшки, приєднати до отвору на дні пляшки.
На відміну від звичайної склянки в цього об'єкта немає “краю”, де б поверхня різко закінчувалася. На відміну від повітряної кулі можна пройти шлях зсередини назовні не перетинаючи поверхню ( тобто насправді в цього об'єкта немає понять всередині і ззовні). Якщо розрізати пляшку Клейна пополам вздовж її осі симетрії, то результатом буде стрічка Мебіуса.

Практичне застосування.

Стрічка Мебіуса не тільки вправа для розуму, вона і цілком практично застосовується. У вигляді стрічки Мебіуса роблять смугу стрічкового конвеєра, що дозволяє йому працювати довше, тому що вся поверхня стрічки рівномірно зношується. Ще застосовуються стрічки Мебіуса в системах запису на безперервну плівку (щоб подвоїти час запису), в матричних принтерах барвна стрічка також мала вигляд листа Мебіуса для збільшення терміну придатності.

Наука і техніка

  •  Физики-теоретики прийшли до висновку, що наш Всесвіт найбільш вірогідно замкнутий у ту ж саму стрічку. Згідно теорії відносності Эйнштейна і його припущенням, що космічний корабель, постійно рухаючись вперед, може повернутись до місця старту, підтверджує необмеженість і скінченність Всесвіту, зігнутого в просторі великого числа вимірів.
  •  З цього, в свою чергу, можна зробити висновок про реальність теорії дзеркальних світів, адже астронавти, рухаючись по стрічці Мебіуса, повертаються у вихідну точку, перетворюються в дзеркальних своїх двійників – серце зміщується вправо, правші стають лівшами, спіраль ДНК змінює напрям закрученості.
  •  

Існує гіпотеза, що спіраль ДНК сама по собі є фрагментом стрічки Мебіуса і тільки тому генетичний код такий складний для розшифрування і сприйняття. Більш того – така структура логічно пояснює причину настання біологічної смерті – спіраль замикається сама на собі і відбувається самознищення. Крім того фізики стверджують, що всі оптичні закони засновані на властивостях стрічки Мебіуса, в тому числі відображення в дзеркалі – це своєрідне перенесення в часі, короткочасне, що триває долі секунди, адже ми бачимо перед собою дзеркального двійника.

Зліва: модель стрічки Мебіуса з ДНК із 11 кольоровими двійними спіралями, а також зображення стрічок, отримане з допомогою атомно-силового мікроскопа. Справа: розрізання стрічки (ілюстрація з журналу Nature Nanotechnology).

Мистецтво. Культура. Архітектура.

 

Стрічка  Мебіуса надихнула багатьох художників на створення відомих скульптур і картин.

  •  

Голландський художник  М.К. Ешер створив кілька літографій з використанням стрічки найбільш  відомою стала літографія «Стрічка Мебіуса ІІ», у якій червоні мурашки безконечно повзуть по стрічці.

  •  Картина Пола Білацика називається «Кельтська стрічка Мебіуса».За словами автора, ця картина – обєднання різних аспектів його життя.
  •  

Також стрічка Мебіуса часто використовується в зображеннях різних логотипів і торгових марках. Найяскравіший приклад – міжнародний символ повторного використання.

 

  •  

Компания Bugatti вирішила почати випуск не лише дорогих автомобілів, но й…парфумів. Згідно повідомлення представників концерну Volkswagen (саме ця фірма володіє Bugatti), всього буде продано лише 400 флаконів парфум. Кожен флакончик, зроблений з кришталю і покритий справжнім золотом, буде виконаний у вигляді листа Мебіуса.

  •   Стрічка Мебіуса постійно зустрічається в науковій фантастиці, наприклад в оповіданні Артура Кларка «Стіна Темряви», в творах уральського письменника Владислава Крапивіна, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В оповіданні «Лист Мебіуса» автора А.Дж.Дейча, бостонське метро будує нову лінію, маршрут якої стає настільки заплутаним, що перетворюється на стрічку Мебіуса, після чого на цій лінії зникають усі поїзди. За мотивами оповідання було знято фантастичний фільм «Мебіус» режисера Густаво Москера. Також ідея стрічки Мебіуса використовується в оповіданні М.Кліфтона «На стрічці Мебіуса»

  •  

З листом Мебіуса порівнюється сюжет роману сучасного російського письменника Олексія Шепелєва. З анотації до книги: «„Echo“» - літературна аналогія кільця Мебіуса: дві сюжетні лінії – «Хлопчиків» і «Дівчаток» - переплітаються, переходять одна в одну, але не перетинаються. 

Закінчення.

Она магнитофонной ленты удлиняет срок,     

Пружину делает рабочей впрок,

И ремень передач, штурвал и принтер

Используют её всеядный принцип.

    А если философией заняться,

    То право, я боюсь, вы будете смеяться,

    Но лента даже тут находит примененье,

    Чтоб объяснить заветных слов пересеченье.

Однако если в путь по ленте устремиться,

То впору будет тут и заблудиться,

Поскольку в перемычке ленты той

Уж вовсе нет материи живой.

 Вот так и смерть враз настигает нас.

    Когда судьбы окончится рассказ,

    Она по ленте Мёбиуса ускользает

    И нас с собой в дорогу забирает.

Бермудский треугольник тоже лента объясняет

Куда же корабли там прытко исчезают.

Попав в портал меж разными мирами,

Они, увы, навеки расстаются с нами.

    Курьёз, но и Вселенная по ленте той гуляет,

    Но перемычку ту не замыкает.

    Поскольку мудрость в ней соблюдена,

    То никогда не уничтожится она.

А астронавты, что по ленте той кочуют

И в космосе незванные ночуют,

Домой вернутся уж в обличии ином –

Зеркальном отражении своём.

    Но основной её сюрприз мерцает впереди,

    Поскольку лента путает понятья «вне – внутри»,

    А между небом и землёй есть «Мёбиусов дом»,

    И все противоположности бытуют в доме том.

Однако здесь не физики реальность управляет,                       

А установки психологии витают,

И коль душе угодно видеть эдак, а не так,

То с этим уж не справиться никак.

    И библиотека в этом доме есть,

    И, право, очень делает ей честь

    Тот факт, что «Книга Времени» реально

    Там помогает управлять заветной тайной   

Но главный я секрет приберегла к концу,

Поскольку нет уж равных этому венцу –

Познанию о том, что даже ДНК

Является фрагментом ленты той, во как!

    Вот почему генетикам так трудно код открыть,

    Что лента Мёбиуса, склонная хитрить,

    Всё время от вниманья ускользает,

    Расшифровать секрет не позволяет.

На ленту Мёбиуса взобралась сегодня я

И говорю оттуда вам, друзья:

Покуда лента эта существует,

Пусть больше ничего вас не волнует!


Геометрия: учеб. для 11 кл. школ с углубл. изучением математики / А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – М.: Просвещение, 2006.

Журнал. Математика в школе № 3 / 2007 г. Лист Мёбиуса. С.31. Н.Никифорова, А.Устинов.

Математика. 9-11 классы: Проектная деятельность учащихся / авт.-сост. М.В.Величко. – Волгоград: Учитель, 2007.

INTEL. Обучение для будущего: при поддержке Microsoft.2003 Intel Corporation.

file: // D \ материалы%20 из%20интернета\ Лист%20Мёбиуса%20 - %20Википедия.

Материал из свободной энциклопедии %20Википедия: «Бутылка Клейна»; «Искусство и технология»; «Открытые проблемы»; «Подобные объекты»; «Геометрия и топология».


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23900. Гомер Одиссея 26.48 KB
  Одиссея поэма сказочная и бытовая действие ее разворачивается с одной стороны в волшебных краях великанов и чудовищ где скитался Одиссей с другой в его маленьком царстве на острове Итаке и в ее окрестностях где ждали Одиссея его жена Пенелопа и его сын Телемах. Обо всем что было раньше Одиссей рассказывает на пиру в середине поэмы и рассказывает очень сжато: на все эти сказочные приключения в поэме приходится страниц пятьдесят из трехсот. В Троянской войне Одиссей очень много сделал для греков особенно там где нужна была...
23901. Еврипид Ифигения в Авлиде 17.11 KB
  Греки собрались на них огромным войском во главе его встал аргосский царь Агамемнон брат Менелая и муж Клитемнестры сестры Елены. Может быть Агамемнон на досуге развлекаясь охотою одной стрелою поразил лань и не в меру гордо воскликнул что сама Артемида не ударила бы метче а это было оскорблением богине. Гадатель сказал: богиня требует себе человеческой жертвы пусть на алтаре будет зарезана родная дочь Агамемнона и Клитемнестры красавица Ифигения. За Ифигенией послали гонцов: пусть ее привезут в греческий стан царь Агамемнон...
23902. Еврипид Ифигения в Тавриде 17.56 KB
  У великого аргосского царя Агамемнона главного вождя греческой рати в Троянской войне была жена Клитемнестра и было от нее трое детей: старшая дочь Ифигения средняя дочь Электра и младший сын Орест. Агамемнон сделал это; как это произошло Еврипид показал в трагедии Ифигения в Авлиде. При этом храме Ифигения стала жрицей.
23903. Еврипид Медея 17.48 KB
  В Колхиде правил могучий царь сын Солнца; дочь его царевнаволшебница Медея полюбила Ясона они поклялись друг Другу в верности и она спасла его. Вовторых когда они отплывали из Колхиды Медея из любви к мужу убила родного брата и разбросала куски его тела по берегу; преследовавшие их колхидяне задержались погребая его и не смогли настичь беглецов. Втретьих когда они вернулись в Иолк Медея чтобы спасти Ясона от коварства Пелия предложила дочерям Пелия зарезать их старого отца обещав после этого воскресить его юным.
23904. Софокл Антигона 17.64 KB
  Когда Эдип отрекся от власти и удалился в изгнание править стали вдвоем Этеокл и Полиник под надзором старого Креонта свойственника и советника Эдипа. После гибели Этеокла и Полиника власть над Фивами принял Креонт. Но Креонт думал не о людях и не о богах а о государстве и власти. Навстречу хору выходит Креонт и оглашает свой указ: герою честь злодею срам тело Полиника брошено на поругание к нему приставлена стража кто нарушит царский указ тому смерть.
23905. Софокл Трахинянки 17.08 KB
  Знаменит он только тем что в нем прожил свои последние годы величайший из греческих героев Геракл сын Зевса. Почти все греческие герои были царями в разных городах и городках кроме Геракла. Когда Геракл кончил свою подневольную службу он пошел на край Греции свататься к Деянире. Геракл схватился с богом в борьбе придавил его как гора; тот обернулся змеем Геракл стиснул ему горло; тот обернулся быком Геракл сломил ему рог.
23906. Филоктет - характеристика литературного героя 14.8 KB
  Филоктет характеристика литературного героя персонажа Филоктет ФИЛОКТЕТ герой трагедии Софокла Филоктет поставлена в 409 г. создали кроме Софокла и Эсхил и Еврипид обе хронологически предшествовали Софокловой но последние произведения не сохранились. на пути под Трою во время жертвоприношения у Софокла на Хрисе около Лемноса по другим версиям на о. исключительный для Софокла случай наученный Одиссеем выдает себя за жертву Атридов.
23907. Софокл Царь Эдип 16.7 KB
  Назвали мальчика Эдип. Эдип вырос сильным и умным. Эдип был в ужасе.
23908. Софокл Эдип в Колоне 16.43 KB
  Среди этой рощи стоял алтарь в честь героя Эдипа: считалось что этот фиванский герой здесь похоронен и охраняет эту землю. От кровосмесительного брака с матерью у Эдипа были два сына и две дочери: Этеокл и Полиник Антигона и Исмена. Когда Эдип ослепил себя за грехи и ушел от власти оба сына отшатнулись от него.