54561

Основні методи доведення нерівностей

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета: освітня: систематизувати та відкоригувати вміння та навички доводити нерівності різними методами: використання означення нерівності доведення від супротивного використання відомої нерівності виділення квадрата двочлена застосування ключових нерівностей; перевірити та встановити рівень оволодіння учнями способів доведення нерівностей вміння та навички у нестандартних ситуаціях творчість учнів у завданнях найвищого рівня завданнях олімпіадного характеру; повторити глибоко осмислити навчальний матеріал з метою формування...

Украинкский

2014-03-16

255.5 KB

65 чел.

Тема: Основні методи доведення нерівностей.

Мета: освітня: систематизувати та відкоригувати вміння та навички доводити нерівності різними методами: використання означення нерівності, доведення від супротивного, використання відомої  нерівності, виділення квадрата двочлена,  застосування ключових нерівностей; перевірити та встановити рівень оволодіння учнями  способів  доведення нерівностей, вміння та навички у нестандартних ситуаціях, творчість учнів у завданнях найвищого рівня, завданнях олімпіадного характеру; повторити, глибоко осмислити навчальний матеріал з метою формування свідомого, а не формального розуміння застосування основних методів доведення нерівностей;   

розвиваюча: розвивати вміння лаконічно й математично грамотно висловлювати свою думку, навчати учнів правильно будувати виступи, повідомлення, критично сприймати виступи інших учнів;

виховна: виховувати працьовитість, спостережливість, кмітливість.

Тип уроку: узагальнення та систематизації знань.

Обладнання: мультимедійна дошка, проектор, слайди, конверт із завданнями.

Учні повинні вміти та знати: основні методи доведення нерівностей;  доводити нерівність Коші для двох невід’ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел,  розв’язувати вправи, у яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей.

                               Хід уроку

  1.  Організаційний момент

Слова вчителя. Урок розпочинаю словами Анатоля Франса «Вчитись можна тільки весело. Щоб перетравити знання, треба їх поглинати з апетитом». Наводжу «веселий» приклад.

Коли невстигаючого учня запитали таблицю множення: 9×2=18

                                                                                                9×3=27

                                                                                                9Ч4=36

                                                                                                9Ч5=45

                                                                                                9Ч6=54

                                                                                                9Ч7=63

                                                                                                9Ч8=72

                                                                                                9×9=81,

Він, аби не стояти стовпом, з горя почав у стовпчику відповідей писати:

«Раз не знаю, два не знаю, три не знаю…»

Потім, дійшовши до кінця, у розпачі написав ще й знизу вгору:

«Раз не знаю, два (не знаю, три не знаю…»  І був здивований, коли йому сказали:

«Знає!» А з вами таких курйозів не траплялося?

II. Повідомлення теми й мети уроку, очікуваних результатів. Мотивація навчальної діяльності.

Слова вчителя. Сьогодні ми з вами перевіримо, а на якому рівні засвоїли ми тему «Доведення нерівностей». До нас звернулися за практичною допомогою учасники Всеукраїнського конкурсу «Діти за гуманне ставлення до тварин» – учні нашої школи – з проханням провести розрахунки: з металу потрібно зробити каркас вольєра для безпритульних собак у формі прямокутного паралелепіпеда найбільшого об’єму за наявної кількості матеріалу загальної довжини  

Для того, щоб розв’язати цю прикладну задачу, ми повинні систематизувати та відкоригувати вміння та навички доводити нерівності різними методами. Розпочинаю перехресне опитування трьох учнів, які мають високий рівень знань, з метою відновлення в пам’яті учнів тих розрізнених фактів, які будуть використовуватись на уроці. Вони утворюють так зване «зовнішнє коло»,  члени якого продуктивно працюють протягом уроку, уважно слухають відповіді учнів, не перебиваючи їх, лише піднімають сигнальну картку в разі виявлення помилки, звертають увагу на правильність думок, точність відповіді, раціональність вибору методу розв’язування, включаються в роботу, коли розв’язуємо завдання поглибленого рівня.

III. Актуалізація опорних знань

  1.  Бліцопитування.

Учні дають відповіді на запитання.

Завдання для бліцопитування мають на меті перевірити навички розв’язування та доведення нерівностей. Результати опитування допоможуть далі скоригувати роботу або зупинитися для усунення прогалин у знаннях учнів. (Завдання для бліцопитування проектуються на екран у формі  навчальної презентації).

  1.  Що означає довести нерівність? (переконатися в її справедливості).
    1.  Які нерівності є очевидними, тобто виконуються при всіх значеннях змінних, які до них входять? (а2≥0; -а2-1<0; ; (а-b)4≥0.)
    2.  Довести, що середнє арифметичне двох  невід’ємних чисел не менше, ніж їх середнє геометричне, тобто ≥, покажіть, що рівність можлива, коли а=b .
    3.  Дано доведення нерівності, прокоментувати кожний логічний крок його.

а2b2+ а2+ b2+4≥6аb.

Доведення. а2b2+ а2+ b2+4-6аb= а2b2-4 аb+4+ а2-2 аb+ b2 =( аb -2)2 +(а-b)2≥0. ( аb -2)2≥0, (а-b)2≥0. Отже, нерівність доведена.

  1.  Сформулювати означення нерівності. Навести приклади.
    1.  Про що вам говорять прізвища видатного французького вченого Огюстена Луї Коші та видатного українського вченого Віктора Яковича Буняковського? (повідомлення учнів)

Після бліц-турніру на екран проектується таблиця, що містить короткі відповіді на запропоновані питання.

2.Слова вчителя. Інформацію, яку ми повторили,  на сьогоднішньому уроці ми систематизуємо та конкретизуємо.  З’являється опорна схема:

необхідно       перетворити

  

3. Доведіть нерівність:(коментоване розв’язання).

а) (a-1)( a+3)>( a+4)(a-2);

б) 2a2+b2+с2≥2a(b+с);

в) x2+42≥7(2x-1);

г) a3+b3 ab(a+b), якщо a≥0, b≥0.

Що було використано в ході доведення нерівностей? Учні роблять висновки, представники «зовнішнього»  дають оцінку відповідям.

4.Доведіть нерівність: (усно) учні вказують

а) (а-2)(а+2)+11>0;  б)(а+6)2>12а;  в) х(х+4)+6>4х; г)(а+5)(а-2)>(а-5)(а+8);

д) х(х+10)<(х+5)2;   е)>2х;   ж) (а+b)2b.

Незважаючи на результат діагностики та рівень навчальних досягнень учнів є доцільним повторити, систематизувати й узагальнити знання  та вміння із зазначеної теми.

5.Застосуємо технологію «Асоціативний кущ» – повторимо відомості про методи доведення нерівностей.


 

 


IV
. Узагальнення та систематизація вмінь та навичок. Застосування знань учнів для доведення нерівностей.

1. Ігрове завдання

Захист методів доведення нерівностей

Завдання для групи: доведіть нерівність і захистіть спосіб доведення, що ви обрали

Всі застосовані методи доведення нерівностей (записує вчитель)

Колективне обговорення і розв’язання поставленого завдання

Лідери груп жеребкуванням обирають метод доведення нерівностей для рівняння.

Нерівності для захисту:

а)  для будь-яких дійсних  значень;

б) , якщо

в), якщо >0 і b>0;

г), якщо >0, b>0.

д)для довільних значень змінних.

е)доведіть, що при будь-яких значеннях а, b, с хоча б одна з нерівностей    

є правильною.

Взаємодія з іншими група ми-складання запитань, співпраця груп під час розв’язування спільної для всього класу  задачі (у випадку, коли група не впоралася зі своїм завданням). Учні в групі доводять нерівність, обирають учня, який буде захищати метод доведення.

Запис розв’язання на дошці.

У ході захисту учні з інших груп ставлять запитання, шукають помилки, допущені під час доведення. Представники «зовнішнього кола» дають оцінку роботи групи

2. Розв’язування вправ для захисту.

а) для будь-яких дійсних  значень х.

Розв’язання. Перетворюватимемо ліву частину, подавши  у вигляді , маємо:

= Рівність маємо лише при  і х  4 = 0 одночасно, що неможливо. Отже, остаточно , що і треба довести.  

б) , якщо    

Розв’язання. Розглянемо різницю  

оскільки  і . Тоді, що й треба довести.

в), якщо >0 і b>0;

Розв’язання. Застосуємо до чисел>0 і >0  нерівність Коші. Маємо.  Звідси  тоді , що і треба було довести.

г), якщо >0, b>0.

Розв’язання. Як відомо   Додавши ці нерівності, маємо , що і треба довести.

д) для довільних значень змінних.

Розв’язання. Нехай нерівність, що доводиться є неправильною. Тоді знайдуться такі числа а, а b b  що буде правильною нерівність

 звідси >;

>  ;

+<0;

<0. Остання нерівність є неправильною. Отримана суперечність означає, що нерівність є неправильною.

е)доведіть, що при будь-яких значеннях а, b, с хоча б одна з нерівностей є правильною

.

Вказівка. Нехай твердження, що доводиться, хибне. Тоді правильними є нерівності

Додавши ці нерівності, отримаємо суперечність.

  1.  Представники «зовнішнього кола» демонструють розв’язування олімпіадних завдань.

1. Нехай   х та у – додатні дійсні числа. Доведіть нерівність

Розв’язання. Різниця між лівою і правою частинами дорівнює

 

Нерівність доведена.

2. Нехай х Доведіть, що

Доведення. Нехай  то наша нерівність еквівалентна нерівності >   з якої одержимо  Остання нерівність справедлива, бо    при х >0.

Якщо -1  то  

3. Нехай  і - додатні дійсні числа, для яких , .

Доведіть, що      

Доведення. Оскільки , , то за нерівністю між середнім арифметичним і середнім геометричним для двох додатних чисел маємо:                

, тобто  тому

Рівність досягається тоді і тільки тоді коли

  1.  Практичне застосування  методів доведення нерівностей.

Повертаємось до прикладної  задачі. У вигляді чого ми повинні змайструвати вольєри для безпритульних тварин, щоб вони мали найбільший об’єм?

Розв’язання. Позначимо довжину, ширину і висоту вольєра відповідно а, b, с. Тоді т=4 за умовою об’єм V= повинен бути найбільшим. Оскільки z, то вважаючи, що  z, маємо:  Тоді    Рівність можлива, коли а=b=с.

У  цьому випадку об’єм буде найбільшим. Тому вольєр повинен мати форму куба, довжину ребра якого знаходимо з рівняння   Звідки  х=

Задача 2. Вартість трактора дорівнює А, а його капітальний ремонт – r. Відомо, що трактор без ремонту може працювати n місяців, а з ремонтом m місяців. При яких співвідношеннях між А,  r   n  m  витрати після ремонту є рентабельними? При цьому треба врахувати, що після ремонту потужність трактора дорівнює потужності нового трактора.

Розв’язування.  середня вартість місячної експлуатації нового трактора;

(А+r) –  сумарна вартість трактора і ремонту;

             -  середня вартість місячної експлуатації трактора після ремонту.

      Капітальний ремонт трактора буде рентабельним , тобто виправдає себе, тільки в тому випадку, коли середня місячна вартість експлуатації трактора після ремонту буде не більша ніж середня вартість експлуатації до ремонту.  Тому отримаємо нестрогу нерівність.

звідки

«Аукціон» доведення нерівностей. ( Кожен учень обирає  й доводить  по чотири нерівності, за що отримує відповідну кількість балів). Ця робота розпочинається в класі, а закінчується вдома).

Увага на екран!

Група А (по 2 бали)

Група Б (по 3 бали)

Довести нерівність

Довести нерівність

А)

А)

Б)  

Б) де

В)

В) де  , ,

Г) ;

Г) Відомо, що  Довести, що

Д)          

Д)

Ж)

Ж)   

 VI. Підбиття підсумків

Прес-конференція. Обговорення того, наскільки продуктивною була робота по систематизації та корекції знань  та вміння доводити нерівності.

  •  Чи вносив вдалі пропозиції, які були враховані в ході розв’язування?
  •  Чи активно працював у групі?
  •  Чи узагальнював думки інших та просував роботу класу вперед?
  •  Чи змогли б ви, не володіючи методами доведення нерівності, доводити нерівності?
  •  Чи продуктивною була ваша робота? Що нового ви дізналися?
  •  Що на уроці було головним, цікавим?
  •  Чого ви навчилися? Чи поповнили свої знання? 

У  кожного учня є лист самоконтролю, який вони отримали на початку уроку,  заповніть його. Для цього треба дати відповіді на запитання.

Лист самоконтролю.

  1.   Чи досяг я мети уроку?

Так.____                                Ні____

  1.  Я працював на  ____ % і заслуговую  оцінку_____

Зявляються на екрані слова: «Не махай на все рукою, не лінуйся, а учись, бо чого навчишся в школі знадобиться ще колись».


Література

  1.  Капіносов А.М.  Основи технології навчання: Посібник, Б-ка журналу «Математика в школах України», – Харків: Видавнича група «Основа», 2006.
  2.  Ковтонюк  М.М. Алгебра та початки аналізу.  Б-ка журналу «Математика в  школах України».Харків: Видавнича група  «Основа», 2006 р.
  3.  Маркова І.С.  Інтерактивні технології на уроках математики: Посібник.–Харків: «Основа», 2006.
  4.  Мерзляк А.Г., Полянський В.Б., Якір М.С. Алгебра: Підручник для класів з поглибленим вивченням математики, 9 клас – Харків, «Гімназія», 2009.  
  5.  Програма для класів з поглибленим вивченням математики, 8-11 класи (Уклад: Бурда М., Жалдак М. , Колесник Т., Хмара Т.,  Ядренко М. К.: «Шкільний світ», 2001р.
  6.  Прокопенко Н.С., Щекань Н.П. Відкриті уроки з математики. – Харків.: Видавнича група «Основа»,  2006.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40678. Прибыль предприятия, ее формирование и использование 53.5 KB
  Прибыль предприятия ее формирование и использование. Прибыль в рыночном хозяйстве является вознаграждением такого специфического фактора как предпринимательство. Вовторых мы не можем трактовать прибыль как своеобразную равновесную цену по аналогии с рынком труда капитала и земли. Предприниматель в результате выполнения этих функций вправе претендовать на определенный доход прибыль.
40679. Организационно-правовые формы предприятия и их развитие в современных условиях 44.5 KB
  Организационноправовые формы предприятия и их развитие в современных условиях Фирма хозяйствующий субъект обладающий экономической самостоятельностью для осуществления производственной деятельности с целью получения прибыли. В настоящее время наибольшее распространение получили следующие формы предприятий организаций: индивидуальные предприятия; товарищества; акционерные общества; объединения предприятий ФПГ; государственные предприятия; смешанные предприятия. Преимущества: быстрая организация предприятия открытие и закрытие;...
40680. Эффективность производственно-хозяйственной деятельности предприятия. Показатели экономической эффективности 38.5 KB
  Эффективность производства важнейшая качественная характеристика хозяйствования на всех уровнях. Под экономической эффективностью производства понимается степень использования производственного потенциала которая выявляется соотношением результатов и затрат общественного производства. Чем выше результат при тех же затратах чем быстрее он растет в расчете на единицу затрат общественно необходимого труда или чем меньше затрат на единицу полезного эффекта тем выше эффективность производства. Эффективность производства это показатель...
40681. Производительность труда и ее показатели 27.5 KB
  Под ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬЮ ТРУДА понимается рациональная созидательная производительность людей эффективность которой определяется отношением затраченного рабочего времени и количества произведенной продукции. Производительность труда измеряется количеством продукции вырабатываемой работником в сфере материального производства за единицу рабочего времени или количеством времени которое затрачивается на производство единицы продукции. Повышение производительности труда ведет к увеличению количества продукции производимой в единицу времени...
40682. Себестоимость: структура и пути снижения 29 KB
  Под себестоимостью продукции понимают выраженные в денежной форме текущие затраты предприятия на производство и реализацию продукции. Себестоимость продукции является одним из важнейших качественных показателей эффективности производства который позволяет осуществлять контроль над затратами живого и овеществленного труда и оценивать результаты производственной и хозяйственной деятельности предприятия. Снижение себестоимости продукции способствует увеличению внутрипроизводственных накоплений ускорению расширенного воспроизводства росту...
40683. Трудовые ресурсы и трудовой потенциал страны, региона 36.5 KB
  Подавляющую часть трудовых ресурсов составляет население в трудоспособном возрасте. Основное пополнение трудовых ресурсов происходит и будет происходить в будущем за счет населения моложе трудоспособного возраста. Трудовой потенциал есть совокупность всех трудовых возможностей как отдельного человека так и различных групп работников общества в целом. В отличие от трудовых ресурсов определяющих количество и структуру труда трудовой потенциал характеризует его качество и потенциальные возможности.
40684. Трудовые ресурсы предприятия и эффективность их использования 31.5 KB
  Более развернутое представление о возможностях и способностях рабочей силы дает понятие трудового потенциала как обобщающая характеристика человеческого фактора производства. Вместе с тем понятия трудовых ресурсов рабочей силы и трудового потенциала по существу не нацелены на изучение индивидуальных качеств человека как работника и личности. Поэтому более естественным понятием является человек труда как индивидуализированный элемент трудовых ресурсов владелец рабочей силы обладатель трудового потенциала. ...
40685. Стратегическое планирование на предприятии 29.5 KB
  Стратегия представляет собой систему управленческих решений определяющих перспективные направления развития организации сферы форм и способы ее деятельности в условиях окружающей среды и порядок распределения ресурсов для достижения поставленных целей. По содержанию стратегия это модель действий инструмент для достижения целей организации. Главной задачей разработки стратегии является достижение конкурентных преимуществ и рентабельности организации. В общем виде стратегии могут быть классифицированы следующим образом: корпоративные...
40686. Структура кадров предприятия и пути ее совершенствования 54.5 KB
  В организации состоящей из многих частей должна осуществляться определенным образом координация их деятельности. Данная координация выступает основой структуры организации которую обычно определяют как совокупность устойчивых связей в организации. Связи между частями организации осуществляются через каналы коммуникации. Виды связей соответствуют видам тех отношений между частями организации которые объединяют части в единое целое.