54561

Основні методи доведення нерівностей

Конспект урока

Педагогика и дидактика

Мета: освітня: систематизувати та відкоригувати вміння та навички доводити нерівності різними методами: використання означення нерівності доведення від супротивного використання відомої нерівності виділення квадрата двочлена застосування ключових нерівностей; перевірити та встановити рівень оволодіння учнями способів доведення нерівностей вміння та навички у нестандартних ситуаціях творчість учнів у завданнях найвищого рівня завданнях олімпіадного характеру; повторити глибоко осмислити навчальний матеріал з метою формування...

Украинкский

2014-03-16

255.5 KB

64 чел.

Тема: Основні методи доведення нерівностей.

Мета: освітня: систематизувати та відкоригувати вміння та навички доводити нерівності різними методами: використання означення нерівності, доведення від супротивного, використання відомої  нерівності, виділення квадрата двочлена,  застосування ключових нерівностей; перевірити та встановити рівень оволодіння учнями  способів  доведення нерівностей, вміння та навички у нестандартних ситуаціях, творчість учнів у завданнях найвищого рівня, завданнях олімпіадного характеру; повторити, глибоко осмислити навчальний матеріал з метою формування свідомого, а не формального розуміння застосування основних методів доведення нерівностей;   

розвиваюча: розвивати вміння лаконічно й математично грамотно висловлювати свою думку, навчати учнів правильно будувати виступи, повідомлення, критично сприймати виступи інших учнів;

виховна: виховувати працьовитість, спостережливість, кмітливість.

Тип уроку: узагальнення та систематизації знань.

Обладнання: мультимедійна дошка, проектор, слайди, конверт із завданнями.

Учні повинні вміти та знати: основні методи доведення нерівностей;  доводити нерівність Коші для двох невід’ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел,  розв’язувати вправи, у яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей.

                               Хід уроку

  1.  Організаційний момент

Слова вчителя. Урок розпочинаю словами Анатоля Франса «Вчитись можна тільки весело. Щоб перетравити знання, треба їх поглинати з апетитом». Наводжу «веселий» приклад.

Коли невстигаючого учня запитали таблицю множення: 9×2=18

                                                                                                9×3=27

                                                                                                9Ч4=36

                                                                                                9Ч5=45

                                                                                                9Ч6=54

                                                                                                9Ч7=63

                                                                                                9Ч8=72

                                                                                                9×9=81,

Він, аби не стояти стовпом, з горя почав у стовпчику відповідей писати:

«Раз не знаю, два не знаю, три не знаю…»

Потім, дійшовши до кінця, у розпачі написав ще й знизу вгору:

«Раз не знаю, два (не знаю, три не знаю…»  І був здивований, коли йому сказали:

«Знає!» А з вами таких курйозів не траплялося?

II. Повідомлення теми й мети уроку, очікуваних результатів. Мотивація навчальної діяльності.

Слова вчителя. Сьогодні ми з вами перевіримо, а на якому рівні засвоїли ми тему «Доведення нерівностей». До нас звернулися за практичною допомогою учасники Всеукраїнського конкурсу «Діти за гуманне ставлення до тварин» – учні нашої школи – з проханням провести розрахунки: з металу потрібно зробити каркас вольєра для безпритульних собак у формі прямокутного паралелепіпеда найбільшого об’єму за наявної кількості матеріалу загальної довжини  

Для того, щоб розв’язати цю прикладну задачу, ми повинні систематизувати та відкоригувати вміння та навички доводити нерівності різними методами. Розпочинаю перехресне опитування трьох учнів, які мають високий рівень знань, з метою відновлення в пам’яті учнів тих розрізнених фактів, які будуть використовуватись на уроці. Вони утворюють так зване «зовнішнє коло»,  члени якого продуктивно працюють протягом уроку, уважно слухають відповіді учнів, не перебиваючи їх, лише піднімають сигнальну картку в разі виявлення помилки, звертають увагу на правильність думок, точність відповіді, раціональність вибору методу розв’язування, включаються в роботу, коли розв’язуємо завдання поглибленого рівня.

III. Актуалізація опорних знань

  1.  Бліцопитування.

Учні дають відповіді на запитання.

Завдання для бліцопитування мають на меті перевірити навички розв’язування та доведення нерівностей. Результати опитування допоможуть далі скоригувати роботу або зупинитися для усунення прогалин у знаннях учнів. (Завдання для бліцопитування проектуються на екран у формі  навчальної презентації).

  1.  Що означає довести нерівність? (переконатися в її справедливості).
    1.  Які нерівності є очевидними, тобто виконуються при всіх значеннях змінних, які до них входять? (а2≥0; -а2-1<0; ; (а-b)4≥0.)
    2.  Довести, що середнє арифметичне двох  невід’ємних чисел не менше, ніж їх середнє геометричне, тобто ≥, покажіть, що рівність можлива, коли а=b .
    3.  Дано доведення нерівності, прокоментувати кожний логічний крок його.

а2b2+ а2+ b2+4≥6аb.

Доведення. а2b2+ а2+ b2+4-6аb= а2b2-4 аb+4+ а2-2 аb+ b2 =( аb -2)2 +(а-b)2≥0. ( аb -2)2≥0, (а-b)2≥0. Отже, нерівність доведена.

  1.  Сформулювати означення нерівності. Навести приклади.
    1.  Про що вам говорять прізвища видатного французького вченого Огюстена Луї Коші та видатного українського вченого Віктора Яковича Буняковського? (повідомлення учнів)

Після бліц-турніру на екран проектується таблиця, що містить короткі відповіді на запропоновані питання.

2.Слова вчителя. Інформацію, яку ми повторили,  на сьогоднішньому уроці ми систематизуємо та конкретизуємо.  З’являється опорна схема:

необхідно       перетворити

  

3. Доведіть нерівність:(коментоване розв’язання).

а) (a-1)( a+3)>( a+4)(a-2);

б) 2a2+b2+с2≥2a(b+с);

в) x2+42≥7(2x-1);

г) a3+b3 ab(a+b), якщо a≥0, b≥0.

Що було використано в ході доведення нерівностей? Учні роблять висновки, представники «зовнішнього»  дають оцінку відповідям.

4.Доведіть нерівність: (усно) учні вказують

а) (а-2)(а+2)+11>0;  б)(а+6)2>12а;  в) х(х+4)+6>4х; г)(а+5)(а-2)>(а-5)(а+8);

д) х(х+10)<(х+5)2;   е)>2х;   ж) (а+b)2b.

Незважаючи на результат діагностики та рівень навчальних досягнень учнів є доцільним повторити, систематизувати й узагальнити знання  та вміння із зазначеної теми.

5.Застосуємо технологію «Асоціативний кущ» – повторимо відомості про методи доведення нерівностей.


 

 


IV
. Узагальнення та систематизація вмінь та навичок. Застосування знань учнів для доведення нерівностей.

1. Ігрове завдання

Захист методів доведення нерівностей

Завдання для групи: доведіть нерівність і захистіть спосіб доведення, що ви обрали

Всі застосовані методи доведення нерівностей (записує вчитель)

Колективне обговорення і розв’язання поставленого завдання

Лідери груп жеребкуванням обирають метод доведення нерівностей для рівняння.

Нерівності для захисту:

а)  для будь-яких дійсних  значень;

б) , якщо

в), якщо >0 і b>0;

г), якщо >0, b>0.

д)для довільних значень змінних.

е)доведіть, що при будь-яких значеннях а, b, с хоча б одна з нерівностей    

є правильною.

Взаємодія з іншими група ми-складання запитань, співпраця груп під час розв’язування спільної для всього класу  задачі (у випадку, коли група не впоралася зі своїм завданням). Учні в групі доводять нерівність, обирають учня, який буде захищати метод доведення.

Запис розв’язання на дошці.

У ході захисту учні з інших груп ставлять запитання, шукають помилки, допущені під час доведення. Представники «зовнішнього кола» дають оцінку роботи групи

2. Розв’язування вправ для захисту.

а) для будь-яких дійсних  значень х.

Розв’язання. Перетворюватимемо ліву частину, подавши  у вигляді , маємо:

= Рівність маємо лише при  і х  4 = 0 одночасно, що неможливо. Отже, остаточно , що і треба довести.  

б) , якщо    

Розв’язання. Розглянемо різницю  

оскільки  і . Тоді, що й треба довести.

в), якщо >0 і b>0;

Розв’язання. Застосуємо до чисел>0 і >0  нерівність Коші. Маємо.  Звідси  тоді , що і треба було довести.

г), якщо >0, b>0.

Розв’язання. Як відомо   Додавши ці нерівності, маємо , що і треба довести.

д) для довільних значень змінних.

Розв’язання. Нехай нерівність, що доводиться є неправильною. Тоді знайдуться такі числа а, а b b  що буде правильною нерівність

 звідси >;

>  ;

+<0;

<0. Остання нерівність є неправильною. Отримана суперечність означає, що нерівність є неправильною.

е)доведіть, що при будь-яких значеннях а, b, с хоча б одна з нерівностей є правильною

.

Вказівка. Нехай твердження, що доводиться, хибне. Тоді правильними є нерівності

Додавши ці нерівності, отримаємо суперечність.

  1.  Представники «зовнішнього кола» демонструють розв’язування олімпіадних завдань.

1. Нехай   х та у – додатні дійсні числа. Доведіть нерівність

Розв’язання. Різниця між лівою і правою частинами дорівнює

 

Нерівність доведена.

2. Нехай х Доведіть, що

Доведення. Нехай  то наша нерівність еквівалентна нерівності >   з якої одержимо  Остання нерівність справедлива, бо    при х >0.

Якщо -1  то  

3. Нехай  і - додатні дійсні числа, для яких , .

Доведіть, що      

Доведення. Оскільки , , то за нерівністю між середнім арифметичним і середнім геометричним для двох додатних чисел маємо:                

, тобто  тому

Рівність досягається тоді і тільки тоді коли

  1.  Практичне застосування  методів доведення нерівностей.

Повертаємось до прикладної  задачі. У вигляді чого ми повинні змайструвати вольєри для безпритульних тварин, щоб вони мали найбільший об’єм?

Розв’язання. Позначимо довжину, ширину і висоту вольєра відповідно а, b, с. Тоді т=4 за умовою об’єм V= повинен бути найбільшим. Оскільки z, то вважаючи, що  z, маємо:  Тоді    Рівність можлива, коли а=b=с.

У  цьому випадку об’єм буде найбільшим. Тому вольєр повинен мати форму куба, довжину ребра якого знаходимо з рівняння   Звідки  х=

Задача 2. Вартість трактора дорівнює А, а його капітальний ремонт – r. Відомо, що трактор без ремонту може працювати n місяців, а з ремонтом m місяців. При яких співвідношеннях між А,  r   n  m  витрати після ремонту є рентабельними? При цьому треба врахувати, що після ремонту потужність трактора дорівнює потужності нового трактора.

Розв’язування.  середня вартість місячної експлуатації нового трактора;

(А+r) –  сумарна вартість трактора і ремонту;

             -  середня вартість місячної експлуатації трактора після ремонту.

      Капітальний ремонт трактора буде рентабельним , тобто виправдає себе, тільки в тому випадку, коли середня місячна вартість експлуатації трактора після ремонту буде не більша ніж середня вартість експлуатації до ремонту.  Тому отримаємо нестрогу нерівність.

звідки

«Аукціон» доведення нерівностей. ( Кожен учень обирає  й доводить  по чотири нерівності, за що отримує відповідну кількість балів). Ця робота розпочинається в класі, а закінчується вдома).

Увага на екран!

Група А (по 2 бали)

Група Б (по 3 бали)

Довести нерівність

Довести нерівність

А)

А)

Б)  

Б) де

В)

В) де  , ,

Г) ;

Г) Відомо, що  Довести, що

Д)          

Д)

Ж)

Ж)   

 VI. Підбиття підсумків

Прес-конференція. Обговорення того, наскільки продуктивною була робота по систематизації та корекції знань  та вміння доводити нерівності.

  •  Чи вносив вдалі пропозиції, які були враховані в ході розв’язування?
  •  Чи активно працював у групі?
  •  Чи узагальнював думки інших та просував роботу класу вперед?
  •  Чи змогли б ви, не володіючи методами доведення нерівності, доводити нерівності?
  •  Чи продуктивною була ваша робота? Що нового ви дізналися?
  •  Що на уроці було головним, цікавим?
  •  Чого ви навчилися? Чи поповнили свої знання? 

У  кожного учня є лист самоконтролю, який вони отримали на початку уроку,  заповніть його. Для цього треба дати відповіді на запитання.

Лист самоконтролю.

  1.   Чи досяг я мети уроку?

Так.____                                Ні____

  1.  Я працював на  ____ % і заслуговую  оцінку_____

Зявляються на екрані слова: «Не махай на все рукою, не лінуйся, а учись, бо чого навчишся в школі знадобиться ще колись».


Література

  1.  Капіносов А.М.  Основи технології навчання: Посібник, Б-ка журналу «Математика в школах України», – Харків: Видавнича група «Основа», 2006.
  2.  Ковтонюк  М.М. Алгебра та початки аналізу.  Б-ка журналу «Математика в  школах України».Харків: Видавнича група  «Основа», 2006 р.
  3.  Маркова І.С.  Інтерактивні технології на уроках математики: Посібник.–Харків: «Основа», 2006.
  4.  Мерзляк А.Г., Полянський В.Б., Якір М.С. Алгебра: Підручник для класів з поглибленим вивченням математики, 9 клас – Харків, «Гімназія», 2009.  
  5.  Програма для класів з поглибленим вивченням математики, 8-11 класи (Уклад: Бурда М., Жалдак М. , Колесник Т., Хмара Т.,  Ядренко М. К.: «Шкільний світ», 2001р.
  6.  Прокопенко Н.С., Щекань Н.П. Відкриті уроки з математики. – Харків.: Видавнича група «Основа»,  2006.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43023. Информационная система. Оценка оплаты отгруженного товара 1.34 MB
  Омск 2010 Содержание Предметная область ПО автоматизации3 Описание ПО и функций решаемой задачи3 Документы ПО содержащие информацию необходимую для решения задачи.4 Постановка задачи.6 Организационноэкономическая сущность задачи6 Описание входной и выходной информации.6 Разработка информационного обеспечения задачи10 Информационный анализ ПО и выделение информационных объектов информационных объектов ИО...
43024. Построение усилителя переменного тока на базе операционных усилителей 213.5 KB
  Ульянова Ленина Кафедра САПР Пояснительная записка к курсовой работе “Построение усилителя переменного тока на базе операционных усилителей†Выполнил: Волох К. Введение 3 Техническое задание 4 Описание работы 5 Методика построения и расчета усилителя 8 Построение усилителя 9 Расчет усилителя 10 Заключение 11 Приложение: Принципиальная схема усилителя А4 Введение. В данном курсовике...
43025. Анализ хозяйственной деятельности предприятия 204 KB
  Сравнение и анализ динамических рядов показателей деятельности предприятия. Прогнозирование показателей на 2004 г с использованием формулы Лагранжа. Факторный анализ методом цепных подстановок.
43029. Проектирование фильтра нижних частот на основе микрополосковой линии 220.5 KB
  Цель работы Целью работы является проектирование фильтра нижних частот на основе микрополосковой линии определение продольных и поперечных величин всех его элементов. Основной задачей будет нахождение наиболее оптимальной модели фильтра удовлетворяющего заданным характеристикам задача синтеза. На первом этапе проектирования рассчитываются число элементов фильтра n и все k = 1 2. Желательно выбрать диэлектрик с возможно более высоким значением εr а высота h подложки влияет на механическую прочность в процессе изготовления сборки...
43030. Разработка базу дискографии музыкальных коллективов 3.57 MB
  Приведение отношения к 3НФ подразумевает, чтобы отношение было нормализовано по 2НФ и в отношении не существовало бы транзитивных зависимостей. Другими словами третья нормальная форма повышает требования второй нормальной формы: оно не ограничивается составными первичными ключами, а требует, чтобы ни один не ключевой столбец не зависел от другого не ключевого столбца. Любой не ключевой атрибут должен зависеть только от первичного ключа.
43031. Усилитель мощности звуковой частоты 956.5 KB
  Усилители низкой частоты являются одним из важнейших структурных элементов звуковоспроизводящих радиотехнических устройств. Развитие усилительных устройств тесно связано с совершенствованием электронных приборов, сначала ламп, затем транзисторов и интегральных микросхем. Резкий скачок в усовершенствовании усилителей произошел после того, как нашла применение отрицательная обратная связь.